Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Алгебр
Комплекс тоо
$|z_1|=\dots=|z_n|=1$ ба $\sum\limits_{1}^n z_i=0$ бол $\forall z\in\mathbb C$-ийн хувьд
$$\sum|z-z_i|^2=n(|z|^2+1)$$
гэж батал.
$A_1,\dots,A_n$ нь нэгж тойрог дээр орших цэгүүд, $O$ нь тойргийн төв ба $\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{OA_i}=0$ бол тойргийн $\forall B$ цэгийн хувьд $\sum\limits_{1}^n |BA_i|\ge n$ гэж батал.
$a,b,c\in\mathbb C$ ялгаатай ба $|a|+|b|+|c|=1$ бол
$$|(a+b)(b+c)(c+a)|<\dfrac{8}{27}$$
гэж батал.
$n\in\mathbb N$, $v_i$, $|v_i|\le 1$, $i=\overline{1,n}$ хавтгайн векторууд бол
$$\exists\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\in\{+1,-1\}:\Big|\sum \varepsilon_i v_i\Big|\le\sqrt{2}$$
гэж батал.
$z_i\in\mathbb C$, $i=\overline{1,n}$ бол
$$\dfrac14\sum_{k=1}^n|z_k|\le\Big|\sum_{i\in I}z_i\Big|$$
байх $I\subseteq\{1,2,\dots,n\}$ дэд олонлог олдоно гэж үзүүл.
Функционал тэгшитгэл
Аливаа эерэг $x$-ийн хувьд $f(f(x))=x\cdot f(x)$ байх бүх тасралтгүй $f\colon ]0;+\infty[\to\mathbb R$ функцийг ол.