Монгол Бодлогын Сан

$ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $CA$ талууд дээр харгалзан $C_1$, $A_1$, $B_1$ цэгүүд авав. Хэрвээ $$(AB,C_1)\cdot(BC,A_1)\cdot(CA,B_1)=1$$ бол $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцоно.

Аливаа $a$, $b$ комплекс тоонуудын хувьд $|a+b|\le|a|+|b|$ ба $|a-b|\le |a|+|b|$ тэнцэтгэл бишүүд биелэхийг батал. Тэнцэлдээ хүрэх нөхцөлийг тогтоо.

Комплекс хавтгайн $ABCD$ дөрвөн өнцөгт параллелограмм $\Leftrightarrow$ комплекс координатууд $a$, $b$, $c$, $d$-ийн хувьд $a+c=b+d$ тэнцэл биелэж байх явдал мөн гэж батал.

Хавтгай дээр $ABCD$ ба $A_1B_1C_1D_1$ параллелограммуд өгөгдөв. $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ хэрчмүүдийг нэгэн ижил харьцаанд хуваагч цэгүүд параллелограммын оройн цэгүүд гэж батал.

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AB$ ба $DC$ талууд $A$ ба $D$ оройгоос тооцоход $M$ ба $N$ цэгүүдээр $\lambda$ харьцаанд хуваагдана. Тэгвэл $MN$ хэрчим $AD$, $BC$ талуудын дундаж цэгүүдийг холбосон хэрчмийг $\lambda$ харьцаанд хуваах цэгээр огтлох ба өөрөө энэ шугамаар хагаслан хуваагдахыг батал.

$A(0)$, $B(b)$, $C(c)$ ба $(AB,C_1)=\gamma$, $(AC,B_1)=\beta$ ба $M=BB_1\cap CC_1$ бол $$M=\dfrac{\gamma}{\beta+\gamma+1}B+\dfrac{\beta}{\beta+\gamma+1}C$$ болохыг батал.

$z\cdot\overline{z}=1$ тойрог дээр $A$, $B$, $C$, $D$ цэгүүд оршдог гэе. $AB$ ба $CD$ огтлогч шулуунуудын огтлолцлын цэг $$\overline{z}=\dfrac{(a+b)-(c+d)}{ab-cd}$$ болохыг батал.

$O$ цэгийг дайраагүй шулуун дээрх $O$ цэгийн проекц нь $P(p)$ болог. $P$-г дайрсан $OP$ нормалтай шулуун тэгшитгэл $$p(\overline{p}-\overline{z})+\overline{p}(p-z)=0$$ буюу $$\overline{p}z+p\overline{z}=2p\overline{p}$$ болохыг батал.

$ABC$ гурвалжны багтаасан тойргийн төв $O$-г $AB$ талын хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад гарах цэг нь $D$ болог. Хэрвээ багтаасан тойргийн радиус $R$ бол $$CD^2=R^2+AC^2+BC^2-AB^2$$ гэж батал.

Тойргийн $AB$ нумын дундаж цэг $M$ болог. Энэ тойргийн дурын $N$ цэгийн хувьд $|AM^2-MN^2|=AN\cdot BN$ гэж батал.

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AC$ ба $BD$ диагоналуудын дундаж цэг нь харгалзан $M$, $N$ байв. $$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2$$ гэж батал.

$O$ цэгийг тойруулан $AB$ хэрчмийг $90^\circ$ эргүүлэхэд $A_1$, $B_1$ хэрчим гарсан гэе. $OAB_1$ гурвалжны медиан $OM$ нь $A_1B$ шулуунд перпендикуляр гэж батал.