Монгол Бодлогын Сан

Нэг улсын хүн ам жилийн эхэнд (1 сарын 1-нд) 100 сая байсан ба жилийн дундаж өсөлт нь $1.4$ хувь бол $5$ жилийн дараа хэд хүрэх вэ?

Тахиаг $150^\circ$ хүртэл халаагаад шарах шүүгээнээс гаргав. Гаргаснаас хойш 3 минутын дараа температур нь $90^\circ$ болж буурсан бол $t$ хугацааны дараах тахианы температур $T(t)$ аль нь вэ? Тасалгааны температурыг тогтмол $20^\circ$ байсан гэж үз.

A. $T(t)=130^\circ\times\left(\dfrac{7}{13}\right)^{\frac{t}{3}}+20^\circ$     B. $T(t)=150^\circ-20^\circ\times t$     C. $T(t)=150^\circ-\dfrac{60^\circ}{t}$     D. $T(t)=130^\circ\times\left(\dfrac{7}{13}\right)^{\frac{t^2}{9}}+20^\circ$     E. $T(t)=150^\circ-\sqrt{3t}\times 20^\circ$    

Цацраг идэвхит бодисын хэмжээ анх 800 гр байв. 2 жилийн дараа хэмжээ нь 200 гр болсон бол 4 жилийн дараа ямар хэмжээтэй байх вэ?

A. 50 гр     B. 100 гр     C. 25 гр     D. 150 гр     E. 75 гр    

Тарган хүн турах зорилгоор сарын турш эрчимтэй дасгал хийхэд 156 кг-аас 144 кг болж багасав. Өдөр бүрийн жингийн алдагдал нь байгаа жиндээ пропорционал гэж тооцоод тэгшитгэл зохиож биеийн жинг хугацаанаас хамааруулж ол.

A. $m(t)=156-12t$     B. $m(t)=156-12t^2$     C. $m(t)=156\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^t$     D. $m(t)=144\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^t$     E. $m(t)=ce^{t}$    

2 м/сек хурдтай явж байсан завь өөрийн хурдтай пропорционал эсэргүүцлийн хүчний нөлөөгөөр хөдөлгөөнөө удаашруулж 4 секундийн дараа хурд нь 1 м/сек болов.

1. $\fbox{ab}$ секундийн дараа завины хурд 0.25 м/сек болно.
2. Завь зогсох хүртлээ $\dfrac{\fbox{c}}{\ln 2}$ м зам явна.

1 гр масстай материал цэг шулуун замаар $t=0$ эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дөр хөдлөв. Хугацааны $t=10$ секундэд хурд нь $0.5$ м/с, хүч нь $4\cdot 10^{-5}$ н болсон гэвэл 1 минутын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?

Бодолт. $m=10^{-\fbox{a}}kg$ тул $F(t)=10^{-\fbox{a}} kg\times \dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{ct}{v(t)}$ болно. $1N=1kg\times1m/s^2$ тул $$F(10)=\dfrac{c\cdot 10s}{0.5m/s}=4\cdot 10^{-5}kg\cdot m/s^2\Rightarrow c=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{c}} kg\cdot m^2/s^4$$ болно. Эндээс $$10^{-\fbox{a}}kg\times vdv=ctdt\Rightarrow vdv=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times t dt$$ болно. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг интегралчилбал $$\int vdt=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\int tdt$$ буюу $v^2=c_1t^2+C$, $c_1=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4$ болно. $t=0$ үед $v=0$ тул $C=0$ болно. Иймд $$v^2=c_1t^2$$ байна. $t=60s$ үед $$v^2=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times (60s)^2=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{g}}m^2/s^2$$ буюу хурд нь $v=\dfrac{\fbox{h}}{\sqrt{5}}m/s$ байна.

10 гр масстай материал цэг шулуун замаар $t=0$ эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дор хөдлөв. Хугацааны $t=10$ секундэд хурд нь $0.25$ м/с, хүч нь $8\cdot 10^{-5}$ н болсон гэвэл 30 секундын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?

Бодолт. $m=10^{-\fbox{a}}kg$ тул $F(t)=10^{-\fbox{a}} kg\times \dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{ct}{v(t)}$ болно. $1N=1kg\times1m/s^2$ тул $$F(10)=\dfrac{c\cdot 10s}{0.25m/s}=8\cdot 10^{-5}kg\cdot m/s^2\Rightarrow c=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{c}} kg\cdot m^2/s^4$$ болно. Эндээс $$10^{-\fbox{a}}kg\times vdv=ctdt\Rightarrow vdv=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times t dt$$ болно. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг интегралчилбал $$\int vdt=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\int tdt$$ буюу $v^2=c_1t^2+C$, $c_1=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4$ болно. $t=0$ үед $v=0$ тул $C=0$ болно. Иймд $$v^2=c_1t^2$$ байна. $t=30s$ үед $$v^2=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times (30s)^2=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{fg}}m^2/s^2$$ буюу хурд нь $v=\dfrac{\fbox{h}}{5\sqrt{2}}m/s$ байна.

$(1-x^2)y''-2xy'+\ell(\ell+1)y=0$ дифференциал тэгшитгэл бод.

$y^\prime=x^2$ дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?

A. $y=x^3+C$     B. $y=\dfrac{x^3}{3}+C$     C. $y=2x+C$     D. $y=e^{x^2}+C$     E. $y=x+C$    

$y^{\prime\prime}+9y=0$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?

A. $y=3x^2+c_1x+c_2$     B. $y=c_1e^{3x}+c_2$     C. $y=c_1e^{-3x}+c_2$     D. $y=c_1\cos3x+c_2\sin 3x$     E. шийдгүй    

$y^\prime-2xy-y=0$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?

A. $e^{x^2+x}+C$     B. $e^{x^2-x}+C$     C. $c_1e^{x^2+x}+c_2$     D. $Ce^{x^2-x}$     E. $Ce^{x^2+x}$    

$(2x+1)y^\prime=4x+2y$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $y=\ln|2x+1|+1+C(2x+1)$     B. $y=(2x+1)\ln|2x+1|+1+C(2x+1)$     C. $y=(2x+1)\ln|2x+1|+1+C$     D. $y=\ln|2x+1|+1+C(2x+1)$     E. $y=(2x+1)\ln|2x+1|-1+C(2x+1)$    

Дараах функцүүдийн аль нь $y^\prime=2y$ дифференциал тэгшитгэлийн шийд болох вэ?

A. $y=x^2$     B. $y=2e^x$     C. $y=e^{2x}$     D. $y=e^{\frac{x}{2}}$     E. $y=\dfrac{1}{x^2}$    

$y=cx$ муруйн бүл шийд нь болох дифференциал тэгшитгэл аль нь вэ?

A. $y^\prime=y$     B. $y^\prime x-y=0$     C. $y^\prime x-y=x$     D. $y^\prime=\dfrac{1}{x}$     E. $y^\prime=c$    

$yy^\prime=3$ дифференциал тэгшитгэлийн $x_0=6$ үед $y_0=10$ байх шийдийг ол.

A. $y=2x^2-62$     B. $y^2=4x^2-44$     C. $y^2=3x+94$     D. $y^2=6x+64$     E. $y^2=3x^2+28$    

$y^\prime=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$, $y(0)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $\ln y=\ln x+1$     B. $\arctg y=\arctg x$     C. $y=x$     D. $y=x+\dfrac{\pi}{4}$     E. $\arctg y=\arctg x+\dfrac{\pi}{4}$    

$xy^\prime+y=y^2$, $y(1)=0.5$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $y=\dfrac{x}{x+1}$     B. $y=\dfrac{x}{x-1}$     C. $y=\dfrac{1}{x+1}$     D. $y=\dfrac{1}{x^2+1}$     E. $y=-\dfrac{1}{x-1}$    

$y^\prime=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$, $y(0)=-1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $\ln y=\ln x-1$     B. $\arctg y=-\arctg x$     C. $y=x$     D. $y=x-\dfrac{\pi}{4}$     E. $\arctg y=\arctg x-\dfrac{\pi}{4}$    

$xydx+(x+1)dy=0$ дифференициал тэгшитгэл бод.

$\ln \cos ydx+x\tg ydy=0$ дифференициал тэгшитгэлийг бод.

$(xy^2+x)dx+(y-yx^2)dy=0$ дифференциал тэгшитгэл бод.

$y^\prime\cdot\sin x=y\cdot \ln y$, $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=e$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$\sin y\cos x dy=\cos y\sin x dx$, $y(0)=\dfrac{\pi}{4}$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$(x^2-1)\cdot y^\prime+2xy^2=0$, $y(0)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$\dfrac{y\cdot y^\prime}{x}+e^y=0$, $y(1)=0$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$(1+e^{2x})y^2dy=e^xdx$, $y(0)=0$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$y^\prime+\cos(x+2y)=\cos(x-2y)$, $y(0)=\dfrac{\pi}{4}$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$y^\prime=2^{x-y}$, $y(-3)=5$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$y\ln^3y+y^\prime\cdot\sqrt{x+1}=0$, $y\left(-\frac{15}{16}\right)=e$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$\dfrac{y}{y^\prime}=\ln y$, $y(2)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

$\dfrac{dx}{x(y-1)}+\dfrac{dy}{y(x+2)}=0$, $y(1)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

Нэг улсын хүн ам жилийн эхэнд (1 сарын 1-нд) 100 сая байсан ба жилийн дундаж өсөлт нь $1.4$ хувь бол $5$ жилийн дараа хэд хүрэх вэ?

Муруйн тухайн цэгт татсан шүргэгч шулуун, уг цэгийн ординат ба $Ox$ тэнхлэгээр байгуулагдсан гурвалжны талбай тогтмол $a^2$ бол уг муруйг ол.

Бие 10 минутын дотор $100^\circ$-аас $60^\circ$ болж хөрөв. Энэ үед орчны температур $20^\circ$ байсан гэвэл ямар хугацааны дараа биеийн температур $25^\circ$ болох вэ?

Ёроолдоо нүхтэй цилиндр сав босоо байрлалтай байв. Саванд байсан усны тал нь 5 минутанд гоожсон гэвэл уг савны ус ямар хугацаанд гоожиж дуусах вэ?

$0.4$ кг жинтэй хөл бөмбөгийг дээш нь $20$ м/c хурдтай шидэв. Агаарын эсэргүүцэл хурдны квадраттай пропорционал ба $1$ м/с хурдтай үед эсэргүүцэл $0.48$ гр болно. Бөмбөгний өндөрт гарах хугацаа ба хамгийн их өндрийг ол.

$2R=1.8$ м диаметртэй, $H=2.45$ м өндөр бүхий цилиндр саванд байгаа ус ёроолд нь буй $2r=6$ см диаметртэй нүхээр ямар хугацаанд урсан гарах вэ? (үүнд цилиндрийн тэнхлэг хавтгайд перпендикуляр)

$yy^\prime=3$ дифференциал тэгшитгэлийн $x_0=6$ үед $y_0=10$ байх шийдийг ол.

A. $y=2x^2-62$     B. $y^2=4x^2-44$     C. $y^2=3x+94$     D. $y^2=6x+64$     E. $y^2=3x^2+28$    

$y^\prime-2xy-y=0$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд аль нь вэ?

A. $e^{x^2+x}+C$     B. $e^{x^2-x}+C$     C. $c_1e^{x^2+x}+c_2$     D. $Ce^{x^2-x}$     E. $Ce^{x^2+x}$    

$\sqrt{y^2+1}\,\mathrm{d}x=xy\,\mathrm{d}y$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $y^2+1=\arctg x+C$     B. $y^2+1=e^{x}+C$     C. $\sqrt{y^2+1}=x+C$     D. $y=\ln |x|+C$     E. $\sqrt{y^2+1}=\ln |x|+C$    

$y^\prime=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$, $y(0)=1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $\ln y=\ln x+1$     B. $\arctg y=\arctg x$     C. $y=x$     D. $y=x+\dfrac{\pi}{4}$     E. $\arctg y=\arctg x+\dfrac{\pi}{4}$    

$y^\prime=3\sqrt[3]{y^2}$, $y(2)=0$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $y=(x-2)^{\frac13}$     B. $y=x^{\frac13}-2^{\frac13}$     C. $y=(x-2)^3$     D. $y=(x+2)^3$     E. $y=(x+2)^{\frac13}$    

$xy^\prime+y=y^2$, $y(1)=0.5$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $y=\dfrac{x}{x+1}$     B. $y=\dfrac{x}{x-1}$     C. $y=\dfrac{1}{x+1}$     D. $y=\dfrac{1}{x^2+1}$     E. $y=-\dfrac{1}{x-1}$    

Тарган хүн турах зорилгоор сарын турш эрчимтэй дасгал хийхэд 156 кг-аас 144 кг болж багасав. Өдөр бүрийн жингийн алдагдал нь байгаа жиндээ пропорционал гэж тооцоод тэгшитгэл зохиож биеийн жинг хугацаанаас хамааруулж ол.

A. $m(t)=156-12t$     B. $m(t)=156-12t^2$     C. $m(t)=156\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^t$     D. $m(t)=144\cdot\left(\dfrac{12}{13}\right)^t$     E. $m(t)=ce^{t}$    

$\sqrt{y^2-1}\,\mathrm{d}x=xy\,\mathrm{d}y$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $y^2-1=\arctg x+C$     B. $\sqrt{y^2-1}=\ln |x|+C$     C. $\sqrt{y^2-1}=x+C$     D. $y=\ln |x|+C$     E. $y^2-1=e^{x}+C$    

$\dfrac{dy}{dx}=y(y+2)$ дифференциал тэгшитгэлийн $x=0$, $y=-1$ байх шийдийг ол.

A. $y=x-1$     B. $-\dfrac{1}{y}=-e^{2x}+2$     C. $\dfrac{y}{y+2}=-e^{2x}+1$     D. $\dfrac{y}{y+2}=-e^{2x}$     E. $y=\dfrac{1}{x-1}$    

$y^\prime=\dfrac{1+y^2}{1+x^2}$, $y(0)=-1$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $\ln y=\ln x-1$     B. $\arctg y=-\arctg x$     C. $y=x$     D. $y=x-\dfrac{\pi}{4}$     E. $\arctg y=\arctg x-\dfrac{\pi}{4}$    

$y^\prime=3\sqrt[3]{y^2}$, $y(3)=0$ дифференциал тэгшитгэлийг бод.

A. $y=(x+3)^{\frac13}$     B. $y=x^{\frac13}-3^{\frac13}$     C. $y=(x+3)^3$     D. $y=(x-3)^3$     E. $y=(x-3)^{\frac13}$    

1 гр масстай материал цэг шулуун замаар $t=0$ эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дөр хөдлөв. Хугацааны $t=10$ секундэд хурд нь $0.5$ м/с, хүч нь $4\cdot 10^{-5}$ н болсон гэвэл 1 минутын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?

Бодолт. $m=10^{-\fbox{a}}kg$ тул $F(t)=10^{-\fbox{a}} kg\times \dfrac{dv(t)}{dt}=\dfrac{ct}{v(t)}$ болно. $1N=1kg\times1m/s^2$ тул $$F(10)=\dfrac{c\cdot 10s}{0.5m/s}=4\cdot 10^{-5}kg\cdot m/s^2\Rightarrow c=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{c}} kg\cdot m^2/s^4$$ болно. Эндээс $$10^{-\fbox{a}}kg\times vdv=ctdt\Rightarrow vdv=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times t dt$$ болно. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг интегралчилбал $$\int vdt=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\int tdt$$ буюу $v^2=c_1t^2+C$, $c_1=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4$ болно. $t=0$ үед $v=0$ тул $C=0$ болно. Иймд $$v^2=c_1t^2$$ байна. $t=60s$ үед $$v^2=\fbox{b}\cdot 10^{-\fbox{d}}m^2/s^4\times (60s)^2=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{g}}m^2/s^2$$ буюу хурд нь $v=\dfrac{\fbox{h}}{\sqrt{5}}m/s$ байна.