Монгол Бодлогын Сан

1. $\begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 4\end{pmatrix}$ бол $A^2+a\cdot A+b\cdot E=0$ байх $a, b$-г ол.
2. $x^n$-ийг $x^2-5x-6$-д хуваахад гарах үлдэгдэл $a_nx+b_n$-ийг ол.
3. $A^n$-ийг ол.

$\begin{pmatrix}-4 & -1\\ \phantom{-}5 & \phantom{-}2\end{pmatrix}$ матриц өгөв.

1. $A^{-1}=pE+qA$ байх $p$, $q$-г ол.
2. $(A^{-1})^n$-ийг ол.

$A=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 3\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $$A^2-\fbox{a}A+\fbox{b}E=0$$ биелэнэ. Түүнчлэн $$x^n=(x^2-\fbox{a}x+\fbox{b})Q(x)+nx+(1-n)$$ тул $$A^{10}=\begin{pmatrix} -\fbox{cd} & \fbox{ef}\\ -\fbox{ef} & \fbox{gh}\end{pmatrix}$$ байна.

Дараах тохиолдолд $kA$ матрицыг ол.

1. $k=2, \begin{pmatrix} -1 & \hfill 2\\ \hfill 3 & -4 \end{pmatrix}$
2. $k=-1, A=\begin{pmatrix} \hfill 1 & 2 & -1\\ -3 & 1 & \hfill 0 \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ 0 & \hfill 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} \hfill 2 & 2\\ -4 & 6 \end{pmatrix}$ бол $3X-B=X+4A$ тэгшитгэлийг бодож $X$ матрицыг ол.

1. $A, B$ нь матрицууд бол $2(3A-2B)-3(A-B)$ илэрхийллийг хялбарчил.
2. $A=\begin{pmatrix} \phantom{-}2 & 1\\ -3 & 0 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & -1\\ -7 & \phantom{-}3 \end{pmatrix}$ тохиолдолд өмнөх илэрхийллийн утгыг ол.

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ матрицын эсрэг матриц аль нь вэ?

A.$\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} -1 & -3\\ -2 & -4 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}^{-1}$     E.$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$    

$A=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ \phantom{-}4 & 0\\ \phantom{-}1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}2\\ 5 & -7\\ 0 & \phantom{-}9 \end{pmatrix}$ бол $3A+(2B-A)-4C$ матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} \phantom{-}0 &\phantom{-} 0\\ -8 & \phantom{-}38\\ \phantom{-}8 & -18 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 &\phantom{-}2\\ -2 & \phantom{-}38\\ \phantom{-}6 & -10 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} \phantom{-}6 &\phantom{-}24\\ -6 & \phantom{-}14\\ \phantom{-}8 & -10 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 0\\ \phantom{-}8 & 10\\ -8 & 18 \end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} \phantom{-}6 &\phantom{-}14\\ -6 & \phantom{-}24\\ \phantom{-}8 & -10 \end{pmatrix}$    

$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}, P=\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$ матрицууд байраа сольдог байх $\Longleftrightarrow$ $b=0, a=d$ болохыг батал.

$A=\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin30^\circ\\ \sin30^\circ & \phantom{-}\cos30^\circ \end{pmatrix} $ матрицын 2 ба 3 зэргийг ол.

Let $A=a\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$ $(a>0)$ and $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ satisfy $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Answer the following questions and write your answers in the boxes provided.

1. Find $a$.
2. Find the minimum positive integer $n$ such that $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$
3. Find $A^{2014}$.

$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $a+d=-1$, $ad-bc=1$ бол $A^3=E$ болохыг батал.

$$AB=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}, BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\5 & 0\end{pmatrix} $$ болно.

$A=\begin{pmatrix}3 & -1\\7 & -2\end{pmatrix}$ матрицын 2, 3, 4 зэргийг ол.

Үржих үйлдлийг гүйцэтгэ.

1. $\begin{pmatrix}1 & -2\\ 3 & \hfill 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hfill 5 \\ -6 \end{pmatrix}$
2. $\begin{pmatrix}2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4\\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
3. $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$AB$, $BA$ матрицуудыг ол. Эдгээр нь байраа сольдог матрицууд мөн үү? $$A=\begin{pmatrix} 3 & \phantom{-}4 & \phantom{-}2\\ 2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}3\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}6 & \phantom{-}10\\ 1 & -8 & -13\\ 1 & \phantom{-}7 & \phantom{-}11 \end{pmatrix}$$

$A=\begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}4\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}3 & -2\\ \phantom{-}2 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$ матрицын 2 ба 3 зэргийг ол.

$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $a+d=1, ad-bc=1$ нөхцөл биелэх бол $A^3=-E$ гэж батал.

$A=\begin{pmatrix}a & a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол. $a$-ийн энэ утгад $A^3, A^4, A^{25}, A^{30}$ матрицууд ямар байх вэ?

$A, B$ нь дараах нөхцөлийг хангах матрицууд байг: $$A+B=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}, A-B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$$ Дараах матрицуудыг ол.

1. $(A+B)(A-B)$
2. $A^2-B^2$

Дараах $A$ матрицуудын хувьд $A^2, A^3, A^4$-ийг тус тус ол.

1. $A=\begin{pmatrix}1 & \phantom{-}0\\0 & -2\end{pmatrix}$
2. $A=\begin{pmatrix}1 & 0\\3 & 1\end{pmatrix}$
3. $A=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$

$A^2, A, E$ матрицуудын хамаарлыг ашиглан дараах $A$ матрицын $A^3,A^4$-ийг ол.

1. $\begin{pmatrix}1 & -1\\3 & -2\end{pmatrix}$
2. $\begin{pmatrix}-2 & 7\\ \phantom{-}1 & 3\end{pmatrix}$
3. $\begin{pmatrix}4 & -2\\2 & -1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -5 & 3 \\

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $ \begin{pmatrix} \ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

A.$(2)$     B.$(-22)$     C.$\begin{pmatrix} -10 & 12 \\ \end{pmatrix}$     D.$ \begin{pmatrix} \ -10 \\ 12 \end{pmatrix}$     E.олох боломжгүй    

$341000$ тоог стандарт дүрсээр бич.

A.$34.1\cdot10^4$     B.$(34.1\cdot10^5)$     C.$(3.41\cdot10^5)$     D.$(0.341\cdot10^6)$     E.$(3.41\cdot10^3)$    

$\begin{pmatrix} -1 & 3 \\

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $ \begin{pmatrix} \ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

A.$(-11)$     B.$(1)$     C.$\begin{pmatrix} -5 & 6 \\ \end{pmatrix}$     D.$ \begin{pmatrix} \ -5 \\ 6 \end{pmatrix}$     E.олох боломжгүй    

$341000$ тоог стандарт дүрсээр бич.

A.$34.1\cdot10^4$     B.$(34.1\cdot10^5)$     C.$(3.41\cdot10^5)$     D.$(0.341\cdot10^6)$     E.$(3.41\cdot10^3)$    

$A=\begin{pmatrix} 0 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & -1\\ \end{pmatrix}$ бол $B\cdot A$ матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} -3 & -5\\ -1 & \phantom{-}5 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} -3 & 4\\ -7 & 6\end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 8 & -4\\ 7 & -6\end{pmatrix}$    

$A=\begin{pmatrix} 0 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & -1\\ \end{pmatrix}$ бол $A\cdot B$ матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} 8 & -1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} -8 & 4\\ -7 & 6\end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 8 & -4\\ 7 & -6\end{pmatrix}$    

$\begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & h\\ h & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ матрицын элементийг ол.

A.$ax^2+by^2$     B.$ax^2-hxy+by^2$     C.$ax^2+hxy+by^2$     D.$ax^2-2hxy+by^2$     E.$ax^2+2hxy+by^2$    

$\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}2 & 1\\ 2 & \phantom{-}3 & 0\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 10 \end{pmatrix}$ бол $x+y+z$-ийг ол.

A.$4$     B.$-4$     C.$8$     D.$12$     E.$16$    

$A=\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$ бол $A^3$ матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1 & -1\\ -1 & \phantom{-}5 & -3\\ \phantom{-}0 & -2 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} -4&\phantom{-}2&\phantom{-}6\\ -2&\phantom{-}12&-10\\ \phantom{-}4&-8&\phantom{-}6 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} -1&\phantom{-}0&\phantom{-}3\\ -2&\phantom{-}9&-8\\ \phantom{-}8&-4&\phantom{-}2 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} -2&\phantom{-}3&\phantom{-}3\\ -2&\phantom{-}6&-8\\ \phantom{-}2&-6&\phantom{-}1 \end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$    

$A=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ бол $AB-BA$ матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix}-4 & -4\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix}-4 & 0\\ -4 & 4\end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}$    

$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\ \hfill 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ бол $A\cdot B$ матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} 13 & 25\\ 12 & 27 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 11 & 20\\ 11 & 23 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} -1 & 10\\ 12 & -3 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 20 & 11\\ 21 & 32 \end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 32 & -2\\ 11 & -2 \end{pmatrix}$    

$A=\begin{pmatrix} \cos120^\circ & -\sin120^\circ\\ \sin120^\circ & \phantom{-}\cos120^\circ \end{pmatrix}$ бол $A^{2019}$-г ол.

A.$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 & -1 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$     E.Бодох боломжгүй    

$A=t\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл

1. $t=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{2}$ байна.
2. $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
3. $A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.

$A=t\begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\\ 1 & \hfill \sqrt3 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^6+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл

1. $t=\dfrac{1}{\fbox{a}}$ байна.
2. $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
3. $A^{2020}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.

$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & 0\\ -2 & \phantom{-}1 & 0\\ \phantom{-}0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

A.$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 & 1\\ 4 & -3 & 1\\ 7 & -6 & 1 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \phantom{-}0\\ 4 & 1 & -3\\ 7 & 1 & -6\end{pmatrix}$    

$2\times 3$ хэмжээтэй $\begin{pmatrix}1 & 0 & 5\\ 3 & 2 & 6\end{pmatrix}$ матрицын $(1, 3)$ ба $(2, 2)$ элементүүд хэдтэй тэнцүү вэ?

Дараах матрицуудын хэмжээсийг тодорхойл. $$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\ \hfill 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \hfill 2\\ 0 & 5 & -7\\ 2 & 0 & \hfill 9 \end{pmatrix} $$

$A$ матрицын $(i, j)$ элемент нь $a_{ij}$ гэдгийг ашиглан $a_{12}, a_{23}, a_{31}$ элементүүдийн үржвэрийг ол. 2-р мөр, 3-р багануудаас тогтох матрицууд нь юу вэ? $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

Матрицууд тэнцэх нөхцөлийг ашиглан $x, y, u, v$-г тус тус ол.

1. $\begin{pmatrix} x & 1\\ 3 & 2+y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 & u\\ u+v & 0 \end{pmatrix}$
2. $\begin{pmatrix} x+y & u-v\\ u+v & x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 & -1\\ 5 & \hfill 1 \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 2 & -1\\ -3 & 3 & \phantom{-}6 \end{pmatrix}$ матрицын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь худал вэ?

A.Хэмжээс нь $2\times3$     B.$a_{12}\cdot a_{21}=-6$     C.Хамгийн бага элемент нь $-3$     D.$a_{32}=6$     E.Тодорхойлогчгүй    

$\begin{pmatrix} x+y & u-v\\ x-y & u+v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 & -1\\ 9 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}$ бол $x-u$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A.$1$     B.$0$     C.$5$     D.$4$     E.$10$    

$\begin{pmatrix}y-15\\ 2y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$ бол $(x,y)$-г ол.

A.$(6,3)$     B.$(-8,-4)$     C.$(-6,-3)$     D.$(3,6)$     E.$(-3,-6)$    

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг ол.

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\ 2 & 7 & -2\\ 5 & 8 & \phantom{-}4 \end{vmatrix}$ тодорхойлогчийг ол.

A.$1$     B.$-17$     C.$-9$     D.$17$     E.$9$    

$ -1< a<3 $ үед $ \sqrt {(a+1)^2}+\sqrt {(a^2-6a+9)} $ илэрхийллийг хялбарчил.

A.$ 2a-2$     B.$ 4$     C.$ 2-2a$     D.$ -4$     E.$ 5 $    

$\begin{pmatrix} \sin73^{\circ} & \cos77^{\circ} \\ \sin17^{\circ} & \cos13^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$     B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     C.$\dfrac{1}{2}$     D.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E.$-\dfrac{1}{2}$    

$\begin{pmatrix} \sin53^{\circ} & \cos67^{\circ} \\ \sin37^{\circ} & \cos23^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$     B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     C.$\dfrac{1}{2}$     D.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E.$-\dfrac{1}{2}$    

$\begin{pmatrix} \sin53^{\circ} & \cos67^{\circ} \\ \sin37^{\circ} & \cos23^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A.$- \dfrac12 $     B.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $     C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$     D.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E.$\dfrac{1}{2}$    

$A=\begin{pmatrix}a & a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол. $a$-ийн энэ утгад $A^3, A^4, A^{25}, A^{30}$ матрицууд ямар байх вэ?

$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $A^3=0$ бол

1. $A$ матриц урвуугүй гэж батал.
2. $A^2=(a+d)A$ болохыг батал.
3. $A^2\neq 0$ байх $A$ матриц олдох уу?

$A=\begin{pmatrix}\phantom{-}a & \phantom{-}a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A.$-2$     B.$-1$     C.$0$     D.$1$     E.$2$    

$\begin{pmatrix}2 & -2\\2 & -3\end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

$A$ нь урвуутай матриц ба $k\not=0$ бол $(kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}$ болохыг батал.

$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матриц бол $AX=E$ байх $X$ матрицын хувьд $XA=E$ болохыг харуул.

Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.

$A$ урвуутай матриц бол дараах өгүүлбэрүүдийг батал.

1. Хэрэв $AB=AC$ бол $B=C$ байна.
2. Хэрэв $A^2-A+E=0$ бол $A+A^{-1}=E$ байна.

$A$ нь $A^2=E$ байх матриц ба $t$ нь бодит тоо байг.

1. $(A-tE)(A+tE)$ матрицыг ол.
2. Хэрэв $t^2\not=1$ бол $A+tE$ матриц урвуутайг батал.

$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ ба $A^\prime=\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}$ матрицууд $$AA^\prime=E\text{ ба }A^\prime A=E$$ нөхцөлүүдийг хангах бол $$a^2+b^2=c^2+d^2=1, ac+bd=0$$ ба $$a^2+c^2=b^2+d^2=1, ab+cd=0$$ болохыг батал.

Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.

1. $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$
2. $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 6\end{pmatrix}$

$AB$ матрицын урвуу матриц нь $B^{-1}A^{-1}$ матрицтай тэнцүү болохыг батал.

$\begin{pmatrix}2 & 5\\3 & 7\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}2 & 3\\5 & 7\end{pmatrix}$ тэгшитгэлийг бод.

$A=\begin{pmatrix}a-1 & 5\\2 & a+2\end{pmatrix}$ матриц урвуутай байх $a$ параметрийн утгыг ол.

$A=\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 6 & 2\end{pmatrix}$ ба $4A^{-1}+A$-ийг ол.

A.$\begin{pmatrix} \hfill 8 & -1\\ -6 & \hfill 2\end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} \hfill 4 & -2\\ -6 & \hfill 4\end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} 1 & -0.5\\ -3 & 2\end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 8 & -1\\ 0 & \phantom{-}6\end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 8 & -11\\ 4 & \phantom{-}10\end{pmatrix}$    

$A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ бол $A$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & -1\\ -2 & \phantom{-}3\end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix}-3 & -1\\ -2 & -1\end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1\\ -2 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix}$    

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\end{pmatrix}$ ба $4A^{-1}+A$-ийг ол.

A.$\begin{pmatrix} 10 & 25\\ 10 & 20\end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & 0\\ -3 & 4\end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 0\\ -3 & 0.5\end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 6 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 5 & -6\\ 3 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$    

$\begin{pmatrix} 2-x & 3\\ 2 & 1-x \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A.$x_1=-2$, $x_2=2$     B.$x_1=-1$, $x_2=4$     C.$x_1=-4$, $x_2=1$     D.$x_1=-1$, $x_2=0$     E.$x_1=-4$, $x_2=4$    

$\begin{pmatrix} x & 2\\ 3 & x+1 \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A.$x_1=-2$, $x_2=2$     B.$x_1=-1$, $x_2=4$     C.$x_1=-3$, $x_2=2$     D.$x_1=-1$, $x_2=0$     E.$x_1=-4$, $x_2=4$    

$A=\begin{pmatrix}a-1 & 2\\3 & a-2\end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A.$a=-4$ эсвэл $a=1$     B.$a=-4$     C.$a=1$     D.$a=4$ эсвэл $a=-1$     E.$a=4$    

$A=\begin{pmatrix}a-1 & 5\\2 & a+2\end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A.$a=-4$ эсвэл $a=3$     B.$a=-4$     C.$a=3$     D.$a=4$ эсвэл $a=-3$     E.$a=4$    

$\begin{pmatrix}2 & -2\\2 & -3\end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix}-1.5 & -1\\1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix}3 & -2\\2 & -2\end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix}1.5 & -1\\1 & -1\end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix}1.5 & -1\\-1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix}-1.5 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}$    

$\begin{pmatrix} 7 & 8\\ 6 & 7 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 7 & -2 \end{pmatrix}$ бол $X$ матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} 35 & 12\\ 31 & 10 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} -35 & -12\\ -31 & -10 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} -35 & -12\\ \phantom{-}31 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} -35 & 12\\ -31 & 10 \end{pmatrix}$     E.Ийм $X$ матриц олдохгүй    

$\begin{pmatrix} 2-x & 3\\ 2 & 1-x \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A.$x_1=-2$, $x_2=2$     B.$x_1=-1$, $x_2=4$     C.$x_1=-4$, $x_2=1$     D.$x_1=-1$, $x_2=0$     E.$x_1=-4$, $x_2=4$    

$\begin{pmatrix} 7 & 12\\ 5 & 10 \end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} 7 & 5\\ 12 & 10 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} \phantom{-}7 & -12\\ -5 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} \phantom{-}10 & -12\\ -5 & \phantom{-}7 \end{pmatrix}$     D.$\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} \phantom{-}10 & -12\\ -5 & \phantom{-}7 \end{pmatrix}$     E.$\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} \phantom{-}7 & -12\\ -5 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$    

$\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 4\end{pmatrix}$ матрицын хувийн утгуудыг ол.

$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A.эргүүлэлт     B.гомотет     C.тэнхлэгийн тэгш хэм     D.төвийн тэгш хэм     E.параллел зөөлт    

$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A.төвийн тэгш хэм     B.гомотет     C.тэнхлэгийн тэгш хэм     D.параллел зөөлт     E.эргүүлэлт    

$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.

1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)

$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.

1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)

$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.

1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)

$A(2,1)$, $B(2,4)$, $C(4,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.

1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},2)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},2)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)

$(1,0)$ цэгийг $(0,1)$ цэгт; $(0,1)$ цэгийг $(1,0)$ цэгт шилжүүлэх хувиргалтын матриц аль нь вэ?

A.$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1\\ -1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$    

Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $\alpha$ өнцгөөр эргүүлэх хувиргалтын матрицыг ол.

A.$\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 1 & -\alpha\\ \alpha & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \alpha\\ -\alpha & 1 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} \phantom{-}\cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$    

Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг $60^\circ$-ийн эргүүлэлт ба $\vec{\mathstrut v}=3\vec{\mathstrut i}+5\vec{\mathstrut j}$ векторын дагуух параллел зөөлтийг дараалан хэрэглэхэд $A(2,0)$ цэг ямар координаттай цэгт очих вэ?

A.$\begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt3 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} 4\\ 5-\sqrt3 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 4\\ 5+\sqrt3 \end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 5-\sqrt3\\ 4 \end{pmatrix}$    

$\begin{pmatrix} -1 & 0\\ \phantom{-}0 & 1 \end{pmatrix}$ аль хувиргалтын матриц вэ?

A.Цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ эргүүлэлт     B.Цагийн зүүний дагуу $90^\circ$ эргүүлэлт     C.Координатын эхийн хувь дахь төвийн тэгш хэм     D.$Ox$ тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм     E.$Oy$ тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм    

$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A.эргүүлэлт     B.гомотет     C.тэнхлэгийн тэгш хэм     D.төвийн тэгш хэм     E.параллел зөөлт    

$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ хувиргалтын матрицтай хувиргалтаар $(4,-2)$ цэгийн дүр аль цэг байх вэ?

A.$(3,0)$     B.$(0,1)$     C.$(2,-2)$     D.$(2,2)$     E.$(2,-1)$    

$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A.төвийн тэгш хэм     B.гомотет     C.тэнхлэгийн тэгш хэм     D.параллел зөөлт     E.эргүүлэлт    

$\left\{\begin{array}{c} 3x+7y=1\\ x+2y=0 \end{array}\right.$ тэгшитгэлийн системийг бод.

$\left\{\begin{aligned} x+3y+\phantom{2}z&=5\\ x+2y-\phantom{2}z&=1\\ 2x-\phantom{2}y+2z&=2 \end{aligned}\right.$ систем тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичвэл аль тэгшитгэл гарах вэ?

A.$\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     B.$\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}3 & \phantom{-}0\\ 0 & \phantom{-}2 & -1\\ 2 & -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     C.$\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1\\ 1 & \phantom{-}2 & -1\\ 2 & -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     D.$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     E.$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$    

$\left\{ \begin{array}{c} \phantom{-}6x-5y+7z=3\\ -7x+6y-\phantom{7}z=1\\ \end{array} \right.$ тэгшитгэлийг урвуу матриц ашиглан бодъё. $$\begin{pmatrix} \phantom{-}6 & -5\\ -7 & \phantom{-}6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-7z\\ 1+z \end{pmatrix}$$ тул $$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \fbox{a} & \fbox{b}\\ \fbox{c} & \fbox{d} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3-7z\\ 1+z \end{pmatrix}$$ байна. Иймд тэгшитгэлийн ерөнхий шийд $$(x,y,z)=(23-\fbox{ef}z,27-\fbox{gh}z,z)$$