Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Матриц

$A^2$, $A$, $E$ матрицын холбоо
Матрицын нэмэх, хасах, тоогоор үржих үйлдэл
Матрицын үржих үйлдэл
Мөр ба багана дээрх элементар хувиргалтын матриц
Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх, тэнцэх нөхцөл
Тодорхойлогч
Тэг болон нэгж матриц
Урвуу матриц
Хувийн утга, хувийн вектор
Хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх
Хувиргалтын матриц
Шугаман тэгшитгэлийн системийг матриц ашиглан бодох

$A^2$, $A$, $E$ матрицын холбоо

$A^2$, $A$, $E$ матрицуудын хамаарал (2)
  1. $\begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 4\end{pmatrix}$ бол $A^2+a\cdot A+b\cdot E=0$ байх $a, b$-г ол.
  2. $x^n$-ийг $x^2-5x-6$-д хуваахад гарах үлдэгдэл $a_nx+b_n$-ийг ол.
  3. $A^n$-ийг ол.
$A$, $A^{-1}$, $E$ матрицуудын хамаарал
$\begin{pmatrix}-4 & -1\\ \phantom{-}5 & \phantom{-}2\end{pmatrix}$ матриц өгөв.
  1. $A^{-1}=pE+qA$ байх $p$, $q$-г ол.
  2. $(A^{-1})^n$-ийг ол.
Бодлого №14358
$A=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 3\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $$A^2-\fbox{a}A+\fbox{b}E=0$$ биелэнэ. Түүнчлэн $$x^n=(x^2-\fbox{a}x+\fbox{b})Q(x)+nx+(1-n)$$ тул $$A^{10}=\begin{pmatrix} -\fbox{cd} & \fbox{ef}\\ -\fbox{ef} & \fbox{gh}\end{pmatrix}$$ байна.

Матрицын нэмэх, хасах, тоогоор үржих үйлдэл

Бодлого №10297
Дараах тохиолдолд $kA$ матрицыг ол.
  1. $k=2, \begin{pmatrix} -1 & \hfill 2\\ \hfill 3 & -4 \end{pmatrix}$
  2. $k=-1, A=\begin{pmatrix} \hfill 1 & 2 & -1\\ -3 & 1 & \hfill 0 \end{pmatrix}$
Бодлого №10300
$A=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ 0 & \hfill 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} \hfill 2 & 2\\ -4 & 6 \end{pmatrix}$ бол $3X-B=X+4A$ тэгшитгэлийг бодож $X$ матрицыг ол.
Матрицан илэрхийлэл
  1. $A, B$ нь матрицууд бол $2(3A-2B)-3(A-B)$ илэрхийллийг хялбарчил.
  2. $A=\begin{pmatrix} \phantom{-}2 & 1\\ -3 & 0 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & -1\\ -7 & \phantom{-}3 \end{pmatrix}$ тохиолдолд өмнөх илэрхийллийн утгыг ол.
Бодлого №14336
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ матрицын эсрэг матриц аль нь вэ?

A. $\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & -3\\ -2 & -4 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}^{-1}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$    
Бодлого №14337
$A=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ \phantom{-}4 & 0\\ \phantom{-}1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}2\\ 5 & -7\\ 0 & \phantom{-}9 \end{pmatrix}$ бол $3A+(2B-A)-4C$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 &\phantom{-} 0\\ -8 & \phantom{-}38\\ \phantom{-}8 & -18 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 &\phantom{-}2\\ -2 & \phantom{-}38\\ \phantom{-}6 & -10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}6 &\phantom{-}24\\ -6 & \phantom{-}14\\ \phantom{-}8 & -10 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 0\\ \phantom{-}8 & 10\\ -8 & 18 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} \phantom{-}6 &\phantom{-}14\\ -6 & \phantom{-}24\\ \phantom{-}8 & -10 \end{pmatrix}$    

Матрицын үржих үйлдэл

Бодлого №10206
$A=\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin30^\circ\\ \sin30^\circ & \phantom{-}\cos30^\circ \end{pmatrix} $ матрицын 2 ба 3 зэргийг ол.
Бодлого №10259
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}, P=\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$ матрицууд байраа сольдог байх $\Longleftrightarrow$ $b=0, a=d$ болохыг батал.
Бодлого №10260
$A^2, A, E$ матрицуудын хамаарлыг ашиглан дараах $A$ матрицын $A^3,A^4$-ийг ол.
  1. $\begin{pmatrix}1 & -1\\3 & -2\end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}-2 & 7\\ \phantom{-}1 & 3\end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}4 & -2\\2 & -1\end{pmatrix}$
Бодлого №10305
Дараах $A$ матрицуудын хувьд $A^2, A^3, A^4$-ийг тус тус ол.
  1. $A=\begin{pmatrix}1 & \phantom{-}0\\0 & -2\end{pmatrix}$
  2. $A=\begin{pmatrix}1 & 0\\3 & 1\end{pmatrix}$
  3. $A=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$
Бодлого №10400
$A, B$ нь дараах нөхцөлийг хангах матрицууд байг: $$A+B=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}, A-B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$$ Дараах матрицуудыг ол.
  1. $(A+B)(A-B)$
  2. $A^2-B^2$
Бодлого №10401
$A=\begin{pmatrix}a & a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол. $a$-ийн энэ утгад $A^3, A^4, A^{25}, A^{30}$ матрицууд ямар байх вэ?
Бодлого №10403
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $a+d=1, ad-bc=1$ нөхцөл биелэх бол $A^3=-E$ гэж батал.
Бодлого №10404
$A=\begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}4\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}3 & -2\\ \phantom{-}2 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$ матрицын 2 ба 3 зэргийг ол.
Бодлого №10415
$AB$, $BA$ матрицуудыг ол. Эдгээр нь байраа сольдог матрицууд мөн үү? $$A=\begin{pmatrix} 3 & \phantom{-}4 & \phantom{-}2\\ 2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}3\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}6 & \phantom{-}10\\ 1 & -8 & -13\\ 1 & \phantom{-}7 & \phantom{-}11 \end{pmatrix}$$
Матрицын үржих үйлдэл
Үржих үйлдлийг гүйцэтгэ.
  1. $\begin{pmatrix}1 & -2\\ 3 & \hfill 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hfill 5 \\ -6 \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4\\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
Матрицын зэрэг
$A=\begin{pmatrix}3 & -1\\7 & -2\end{pmatrix}$ матрицын 2, 3, 4 зэргийг ол.
Матрицуудын үржвэр
$$AB=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}, BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\5 & 0\end{pmatrix} $$ болно.
$A^2,~A,~E$ матрицуудын хамаарал (1)
$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $a+d=-1$, $ad-bc=1$ бол $A^3=E$ болохыг батал.
Бодлого №13
Let $A=a\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$ $(a>0)$ and $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ satisfy $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Answer the following questions and write your answers in the boxes provided.
  1. Find $a$.
  2. Find the minimum positive integer $n$ such that $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$
  3. Find $A^{2014}$.
Бодлого №14311
$A=\begin{pmatrix} \cos120^\circ & -\sin120^\circ\\ \sin120^\circ & \phantom{-}\cos120^\circ \end{pmatrix}$ бол $A^{2019}$-г ол.

A. $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 & -1 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$     E. Бодох боломжгүй    
Бодлого №14338
$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\ \hfill 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ бол $A\cdot B$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 13 & 25\\ 12 & 27 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 11 & 20\\ 11 & 23 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & 10\\ 12 & -3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 20 & 11\\ 21 & 32 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 32 & -2\\ 11 & -2 \end{pmatrix}$    
Бодлого №14339
$A=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ бол $AB-BA$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix}-4 & -4\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix}-4 & 0\\ -4 & 4\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}$    
Бодлого №14340
$A=\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$ бол $A^3$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1 & -1\\ -1 & \phantom{-}5 & -3\\ \phantom{-}0 & -2 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} -4&\phantom{-}2&\phantom{-}6\\ -2&\phantom{-}12&-10\\ \phantom{-}4&-8&\phantom{-}6 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1&\phantom{-}0&\phantom{-}3\\ -2&\phantom{-}9&-8\\ \phantom{-}8&-4&\phantom{-}2 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -2&\phantom{-}3&\phantom{-}3\\ -2&\phantom{-}6&-8\\ \phantom{-}2&-6&\phantom{-}1 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$    
Бодлого №14345
$\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}2 & 1\\ 2 & \phantom{-}3 & 0\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 10 \end{pmatrix}$ бол $x+y+z$-ийг ол.

A. $4$     B. $-4$     C. $8$     D. $12$     E. $16$    
Бодлого №14356
$\begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & h\\ h & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ матрицын элементийг ол.

A. $ax^2+by^2$     B. $ax^2-hxy+by^2$     C. $ax^2+hxy+by^2$     D. $ax^2-2hxy+by^2$     E. $ax^2+2hxy+by^2$    
Бодлого №14850
$A=\begin{pmatrix} 0 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & -1\\ \end{pmatrix}$ бол $A\cdot B$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 8 & -1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -8 & 4\\ -7 & 6\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 8 & -4\\ 7 & -6\end{pmatrix}$    
Бодлого №14866
$A=\begin{pmatrix} 0 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & -1\\ \end{pmatrix}$ бол $B\cdot A$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} -3 & -5\\ -1 & \phantom{-}5 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -3 & 4\\ -7 & 6\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 8 & -4\\ 7 & -6\end{pmatrix}$    
2021 B №02
$341000$ тоог стандарт дүрсээр бич.

A. $34.1\cdot10^4$     B. $(34.1\cdot10^5)$     C. $(3.41\cdot10^5)$     D. $(0.341\cdot10^6)$     E. $(3.41\cdot10^3)$    
2019 A №02
$\begin{pmatrix} -1 & 3 \\

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $ \begin{pmatrix} \ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

A. $(-11)$     B. $(1)$     C. $\begin{pmatrix} -5 & 6 \\ \end{pmatrix}$     D. $ \begin{pmatrix} \ -5 \\ 6 \end{pmatrix}$     E. олох боломжгүй    
2021 B №02
$341000$ тоог стандарт дүрсээр бич.

A. $34.1\cdot10^4$     B. $(34.1\cdot10^5)$     C. $(3.41\cdot10^5)$     D. $(0.341\cdot10^6)$     E. $(3.41\cdot10^3)$    
2019 B №02
$\begin{pmatrix} -5 & 3 \\

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $ \begin{pmatrix} \ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

A. $(2)$     B. $(-22)$     C. $\begin{pmatrix} -10 & 12 \\ \end{pmatrix}$     D. $ \begin{pmatrix} \ -10 \\ 12 \end{pmatrix}$     E. олох боломжгүй    
Бодлого №15825
$A=t\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл
  1. $t=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{2}$ байна.
  2. $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
  3. $A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.
Бодлого №15869
$A=t\begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\\ 1 & \hfill \sqrt3 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^6+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл
  1. $t=\dfrac{1}{\fbox{a}}$ байна.
  2. $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
  3. $A^{2020}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.

Мөр ба багана дээрх элементар хувиргалтын матриц

Бодлого №14354
$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & 0\\ -2 & \phantom{-}1 & 0\\ \phantom{-}0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

A. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 & 1\\ 4 & -3 & 1\\ 7 & -6 & 1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \phantom{-}0\\ 4 & 1 & -3\\ 7 & 1 & -6\end{pmatrix}$    

Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх, тэнцэх нөхцөл

Бодлого №10290
$2\times 3$ хэмжээтэй $\begin{pmatrix}1 & 0 & 5\\ 3 & 2 & 6\end{pmatrix}$ матрицын $(1, 3)$ ба $(2, 2)$ элементүүд хэдтэй тэнцүү вэ?
Бодлого №10291
Дараах матрицуудын хэмжээсийг тодорхойл. $$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\ \hfill 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \hfill 2\\ 0 & 5 & -7\\ 2 & 0 & \hfill 9 \end{pmatrix} $$
Бодлого №10292
$A$ матрицын $(i, j)$ элемент нь $a_{ij}$ гэдгийг ашиглан $a_{12}, a_{23}, a_{31}$ элементүүдийн үржвэрийг ол. 2-р мөр, 3-р багануудаас тогтох матрицууд нь юу вэ? $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
Бодлого №10293
Матрицууд тэнцэх нөхцөлийг ашиглан $x, y, u, v$-г тус тус ол.

  1. $\begin{pmatrix} x & 1\\ 3 & 2+y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 & u\\ u+v & 0 \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix} x+y & u-v\\ u+v & x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 & -1\\ 5 & \hfill 1 \end{pmatrix}$
Бодлого №14334
$A=\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 2 & -1\\ -3 & 3 & \phantom{-}6 \end{pmatrix}$ матрицын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь худал вэ?

A. Хэмжээс нь $2\times3$     B. $a_{12}\cdot a_{21}=-6$     C. Хамгийн бага элемент нь $-3$     D. $a_{32}=6$     E. Тодорхойлогчгүй    
Бодлого №14335
$\begin{pmatrix} x+y & u-v\\ x-y & u+v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 & -1\\ 9 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}$ бол $x-u$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $1$     B. $0$     C. $5$     D. $4$     E. $10$    
Бодлого №14347
$\begin{pmatrix}y-15\\ 2y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$ бол $(x,y)$-г ол.

A. $(6,3)$     B. $(-8,-4)$     C. $(-6,-3)$     D. $(3,6)$     E. $(-3,-6)$    

Тодорхойлогч

Тодорхойлогч
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг ол.
Бодлого №14348
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\ 2 & 7 & -2\\ 5 & 8 & \phantom{-}4 \end{vmatrix}$ тодорхойлогчийг ол.

A. $1$     B. $-17$     C. $-9$     D. $17$     E. $9$    
2021 B №13
$ -1< a<3 $ үед $ \sqrt {(a+1)^2}+\sqrt {(a^2-6a+9)} $ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $ 2a-2$     B. $ 4$     C. $ 2-2a$     D. $ -4$     E. $ 5 $    
2019 A №13
$\begin{pmatrix} \sin73^{\circ} & \cos77^{\circ} \\ \sin17^{\circ} & \cos13^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     C. $\dfrac{1}{2}$     D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E. $-\dfrac{1}{2}$    
2019 A №13
$\begin{pmatrix} \sin53^{\circ} & \cos67^{\circ} \\ \sin37^{\circ} & \cos23^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     C. $\dfrac{1}{2}$     D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E. $-\dfrac{1}{2}$    
2019 B №13
$\begin{pmatrix} \sin53^{\circ} & \cos67^{\circ} \\ \sin37^{\circ} & \cos23^{\circ} \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг олоорой.

A. $- \dfrac12 $     B. $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $     C. $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}$     D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     E. $\dfrac{1}{2}$    

Тэг болон нэгж матриц

Бодлого №10401
$A=\begin{pmatrix}a & a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол. $a$-ийн энэ утгад $A^3, A^4, A^{25}, A^{30}$ матрицууд ямар байх вэ?
Бодлого №10414
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $A^3=0$ бол
  1. $A$ матриц урвуугүй гэж батал.
  2. $A^2=(a+d)A$ болохыг батал.
  3. $A^2\neq 0$ байх $A$ матриц олдох уу?
Бодлого №14355
$A=\begin{pmatrix}\phantom{-}a & \phantom{-}a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $-2$     B. $-1$     C. $0$     D. $1$     E. $2$    

Урвуу матриц

Бодлого №10202
$A=\begin{pmatrix}a-1 & 5\\2 & a+2\end{pmatrix}$ матриц урвуутай байх $a$ параметрийн утгыг ол.
Бодлого №10256
$\begin{pmatrix}2 & -2\\2 & -3\end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.
Бодлого №10264
$A$ нь урвуутай матриц ба $k\not=0$ бол $(kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}$ болохыг батал.
Бодлого №10265
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матриц бол $AX=E$ байх $X$ матрицын хувьд $XA=E$ болохыг харуул.
Бодлого №10266
Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.
  1. $\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}1 & 3\\0 & 1\end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}2 & 5\\1 & 3\end{pmatrix}$
  4. $\begin{pmatrix}2 & -3\\4 & -6\end{pmatrix}$
  5. $\begin{pmatrix}\phantom{-}2 & -3\\ -5 & \phantom{-}5\end{pmatrix}$
  6. $\dfrac15\begin{pmatrix}-3 & 4\\ \phantom{-}4 & 3\end{pmatrix}$
Бодлого №10405
$A$ урвуутай матриц бол дараах өгүүлбэрүүдийг батал.
  1. Хэрэв $AB=AC$ бол $B=C$ байна.
  2. Хэрэв $A^2-A+E=0$ бол $A+A^{-1}=E$ байна.
Бодлого №10406
$A$ нь $A^2=E$ байх матриц ба $t$ нь бодит тоо байг.
  1. $(A-tE)(A+tE)$ матрицыг ол.
  2. Хэрэв $t^2\not=1$ бол $A+tE$ матриц урвуутайг батал.
Бодлого №10413
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ ба $A^\prime=\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}$ матрицууд $$AA^\prime=E\text{ ба }A^\prime A=E$$ нөхцөлүүдийг хангах бол $$a^2+b^2=c^2+d^2=1, ac+bd=0$$ ба $$a^2+c^2=b^2+d^2=1, ab+cd=0$$ болохыг батал.
Урвуу матриц
Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.

  1. $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$
  2. $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 6\end{pmatrix}$
Үржвэр матрицын урвуу
$AB$ матрицын урвуу матриц нь $B^{-1}A^{-1}$ матрицтай тэнцүү болохыг батал.
Матрицан тэгшитгэл
$\begin{pmatrix}2 & 5\\3 & 7\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}2 & 3\\5 & 7\end{pmatrix}$ тэгшитгэлийг бод.
Бодлого №14342
$\begin{pmatrix} 7 & 12\\ 5 & 10 \end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 7 & 5\\ 12 & 10 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \phantom{-}7 & -12\\ -5 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}10 & -12\\ -5 & \phantom{-}7 \end{pmatrix}$     D. $\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} \phantom{-}10 & -12\\ -5 & \phantom{-}7 \end{pmatrix}$     E. $\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} \phantom{-}7 & -12\\ -5 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$    
Сорилго №2, 2019-2020
$\begin{pmatrix} 2-x & 3\\ 2 & 1-x \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A. $x_1=-2$, $x_2=2$     B. $x_1=-1$, $x_2=4$     C. $x_1=-4$, $x_2=1$     D. $x_1=-1$, $x_2=0$     E. $x_1=-4$, $x_2=4$    
Бодлого №14344
$\begin{pmatrix} 7 & 8\\ 6 & 7 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 7 & -2 \end{pmatrix}$ бол $X$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 35 & 12\\ 31 & 10 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} -35 & -12\\ -31 & -10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -35 & -12\\ \phantom{-}31 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -35 & 12\\ -31 & 10 \end{pmatrix}$     E. Ийм $X$ матриц олдохгүй    
Бодлого №14687
$\begin{pmatrix}2 & -2\\2 & -3\end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix}-1.5 & -1\\1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix}3 & -2\\2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix}1.5 & -1\\1 & -1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix}1.5 & -1\\-1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix}-1.5 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}$    
Бодлого №15824
$A=\begin{pmatrix}a-1 & 5\\2 & a+2\end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $a=-4$ эсвэл $a=3$     B. $a=-4$     C. $a=3$     D. $a=4$ эсвэл $a=-3$     E. $a=4$    
Бодлого №15859
$A=\begin{pmatrix}a-1 & 2\\3 & a-2\end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $a=-4$ эсвэл $a=1$     B. $a=-4$     C. $a=1$     D. $a=4$ эсвэл $a=-1$     E. $a=4$    
Сорилго №2, 2019-2020
$\begin{pmatrix} x & 2\\ 3 & x+1 \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A. $x_1=-2$, $x_2=2$     B. $x_1=-1$, $x_2=4$     C. $x_1=-3$, $x_2=2$     D. $x_1=-1$, $x_2=0$     E. $x_1=-4$, $x_2=4$    
Сорилго №2, 2019-2020
$\begin{pmatrix} 2-x & 3\\ 2 & 1-x \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A. $x_1=-2$, $x_2=2$     B. $x_1=-1$, $x_2=4$     C. $x_1=-4$, $x_2=1$     D. $x_1=-1$, $x_2=0$     E. $x_1=-4$, $x_2=4$    
ЭЕШ 2020, B18
$A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\end{pmatrix}$ ба $4A^{-1}+A$-ийг ол.

A. $\begin{pmatrix} 10 & 25\\ 10 & 20\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & 0\\ -3 & 4\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 0\\ -3 & 0.5\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 6 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 5 & -6\\ 3 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$    
ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №18
$A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ бол $A$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & -1\\ -2 & \phantom{-}3\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix}-3 & -1\\ -2 & -1\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1\\ -2 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix}$    
ЭЕШ 2020, A18
$A=\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 6 & 2\end{pmatrix}$ ба $4A^{-1}+A$-ийг ол.

A. $\begin{pmatrix} \hfill 8 & -1\\ -6 & \hfill 2\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \hfill 4 & -2\\ -6 & \hfill 4\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & -0.5\\ -3 & 2\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 8 & -1\\ 0 & \phantom{-}6\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 8 & -11\\ 4 & \phantom{-}10\end{pmatrix}$    

Хувийн утга, хувийн вектор

Матрицын хувийн утга
$\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 4\end{pmatrix}$ матрицын хувийн утгуудыг ол.

Хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх

ЭЕШ 2020, B26
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A. эргүүлэлт     B. гомотет     C. тэнхлэгийн тэгш хэм     D. төвийн тэгш хэм     E. параллел зөөлт    
ЭЕШ 2020, A26
$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A. төвийн тэгш хэм     B. гомотет     C. тэнхлэгийн тэгш хэм     D. параллел зөөлт     E. эргүүлэлт    
2019 A №40
$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.
  1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
  2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)
2019 A №40
$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.
  1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
  2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)
2019 A №40
$A(1,1)$, $B(1,4)$, $C(3,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.
  1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},1)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},1)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
  2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)
2019 B №40
$A(2,1)$, $B(2,4)$, $C(4,1)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин өгчээ.
  1. Энэ гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй, цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх $A_1B_1C_1$ гурвалжны цэгүүдийн координатуудыг олбол $A_1(-\fbox{a},2)$ (1 оноо), $B_1(-\fbox{b},2)$ (1 оноо) , $C_1(-1,\fbox{c})$ (1 оноо)
  2. $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүдийн координатуудыг ашиглан хувиргалтын матрицыг олбол $\begin{pmatrix} \fbox{d} & -\fbox{e}\\ \fbox{f} & \phantom{-}\fbox{g} \end{pmatrix}$ (4 оноо)

Хувиргалтын матриц

Бодлого №14346
$(1,0)$ цэгийг $(0,1)$ цэгт; $(0,1)$ цэгийг $(1,0)$ цэгт шилжүүлэх хувиргалтын матриц аль нь вэ?

A. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1\\ -1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$    
Бодлого №14349
Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $\alpha$ өнцгөөр эргүүлэх хувиргалтын матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & -\alpha\\ \alpha & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \alpha\\ -\alpha & 1 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}\cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$    
Бодлого №14350
Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг $60^\circ$-ийн эргүүлэлт ба $\vec{\mathstrut v}=3\vec{\mathstrut i}+5\vec{\mathstrut j}$ векторын дагуух параллел зөөлтийг дараалан хэрэглэхэд $A(2,0)$ цэг ямар координаттай цэгт очих вэ?

A. $\begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt3 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 4\\ 5-\sqrt3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 4\\ 5+\sqrt3 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 5-\sqrt3\\ 4 \end{pmatrix}$    
Бодлого №14352
$\begin{pmatrix} -1 & 0\\ \phantom{-}0 & 1 \end{pmatrix}$ аль хувиргалтын матриц вэ?

A. Цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ эргүүлэлт     B. Цагийн зүүний дагуу $90^\circ$ эргүүлэлт     C. Координатын эхийн хувь дахь төвийн тэгш хэм     D. $Ox$ тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм     E. $Oy$ тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм    
ЭЕШ 2020, B26
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A. эргүүлэлт     B. гомотет     C. тэнхлэгийн тэгш хэм     D. төвийн тэгш хэм     E. параллел зөөлт    
ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №20
$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ хувиргалтын матрицтай хувиргалтаар $(4,-2)$ цэгийн дүр аль цэг байх вэ?

A. $(3,0)$     B. $(0,1)$     C. $(2,-2)$     D. $(2,2)$     E. $(2,-1)$    
ЭЕШ 2020, A26
$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$ матриц ямар хувиргалт тодорхойлох вэ?

A. төвийн тэгш хэм     B. гомотет     C. тэнхлэгийн тэгш хэм     D. параллел зөөлт     E. эргүүлэлт    

Шугаман тэгшитгэлийн системийг матриц ашиглан бодох

Тэгшитгэлийн систем
$\left\{\begin{array}{c} 3x+7y=1\\ x+2y=0 \end{array}\right.$ тэгшитгэлийн системийг бод.
Бодлого №14357
$\left\{\begin{aligned} x+3y+\phantom{2}z&=5\\ x+2y-\phantom{2}z&=1\\ 2x-\phantom{2}y+2z&=2 \end{aligned}\right.$ систем тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичвэл аль тэгшитгэл гарах вэ?

A. $\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}3 & \phantom{-}0\\ 0 & \phantom{-}2 & -1\\ 2 & -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1\\ 1 & \phantom{-}2 & -1\\ 2 & -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$    
Бодлого №14351
$\left\{ \begin{array}{c} \phantom{-}6x-5y+7z=3\\ -7x+6y-\phantom{7}z=1\\ \end{array} \right.$ тэгшитгэлийг урвуу матриц ашиглан бодъё. $$\begin{pmatrix} \phantom{-}6 & -5\\ -7 & \phantom{-}6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-7z\\ 1+z \end{pmatrix}$$ тул $$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \fbox{a} & \fbox{b}\\ \fbox{c} & \fbox{d} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3-7z\\ 1+z \end{pmatrix}$$ байна. Иймд тэгшитгэлийн ерөнхий шийд $$(x,y,z)=(23-\fbox{ef}z,27-\fbox{gh}z,z)$$