Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Holy guacamole! www.integral.mn сайт 2026-01-01-ээс шинэчлэгдэж www.mathminds.club хуудас руу шилжинэ.
Бином
Биномын ерөнхий гишүүний томьёо
$2^{50}\cdot C_{50}^{50}-2^{99}\cdot C_{50}^{49}+2^{98}\cdot C_{50}^{48}-\cdots-2^{1}\cdot C_{50}^1+1$ нийлбэрийг олоорой!
A.$1$ B.$2$ C.$2^{50}$ D.$2^{51}$ E.олох боломжгүй
$(3x+2)^{12}$ биномын задаргааны $x^5$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A.$11\cdot 2^7\cdot 3^9$ B.$11\cdot 2^9\cdot 3^7$ C.$11\cdot 2^9\cdot 3^3$ D.$2^7\cdot 3^5$ E.$11\cdot 2^{10}\cdot 3^7$
$(2x+3)^{8}$ биномын задаргааны $x^4$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A.$70$ B.$2^4\cdot 3^4$ C.$35\cdot 2^5\cdot 3^4$ D.$70\cdot 3^4$ E.$35\cdot 2^5$
$(2x+1)^{10}$ биномын задаргааны $x^3$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A.$2^3$ B.$2^{10}$ C.$15\cdot 2^6$ D.$15\cdot 2^{10}$ E.$15\cdot 2^{13}$
$\Big(x-\dfrac2{x^2}\Big)^6$ задаргааны $x$ агуулаагүй тогтмол гишүүнийг ол.
A.$32$ B.$36$ C.$48$ D.$60$ E.$64$
$\Big(2x^2-\dfrac1x\Big)^6$ задаргааны $x$ агуулаагүй тогтмол гишүүнийг ол.
A.32 B.36 C.48 D.60 E.64
$y=(\sqrt[3]{x}+1)^{100}$ функцийн уламжлалын $x^{10}$ өмнөх коэффициент нь хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$C_{100}^{30}$ B.$10C_{100}^{31}$ C.$11\cdot C_{100}^{11}$ D.$10C_{100}^{33}$ E.$11C_{100}^{33}$
$a>0$ ба $(a+x)^5$-ийн задаргааны $x^4$ ба $x^3$-ын өмнөх коэффицентүүдийн нийлбэр 50 бол $a$-г ол.
A.$1$ B.$2$ C.$3$ D.$4$ E.$5$
$a<0$ ба $(a+x)^5$-ийн задаргааны $x^4$ ба $x^3$-ын өмнөх коэффицентүүдийн нийлбэр 5 бол $a$-г ол.
A.$0$ B.$-1$ C.$-2$ D.$-3$ E.$-4$
$C_{20}^0+5\cdot C_{20}^1+25\cdot C_{20}^2+\dots+5^{19}\cdot C_{20}^{19}+5^{20}\cdot C_{20}^{20}$ нийлбэрийг ол.
A.$3^{20}$ B.$6^{20}$ C.$5^{20}$ D.$4^{20}$ E.$2^{20}$
$3^{100}\cdot C_{100}^{100}-3^{99}\cdot C_{100}^{99}+3^{98}\cdot C_{100}^{98}-\cdots-3^{1}\cdot C_{100}^1+1$ нийлбэрийг олоорой!
A.$2$ B.$3^{100}$ C.$2^{100}$ D.$2^{101}$ E.олох боломжгүй
$3^{50}\cdot C_{50}^{50}-3^{49}\cdot C_{50}^{49}+3^{48}\cdot C_{50}^{48}-\cdots-3^{1}\cdot C_{50}^1+1$ нийлбэрийг олоорой!
A.$2$ B.$3^{50}$ C.$2^{50}$ D.$2^{51}$ E.олох боломжгүй
$2^{100}\cdot C_{100}^{100}-2^{99}\cdot C_{100}^{99}+2^{98}\cdot C_{100}^{98}-\cdots-2^{1}\cdot C_{100}^1+1$ нийлбэрийг олоорой!
A.$2$ B.$1$ C.$2^{100}$ D.$2^{101}$ E.олох боломжгүй
$(2a+3b)^5$-ийн $a^4$-ийг агуулсан гишүүнийг бич.
A.$240a^4b$ B.$5a^4b$ C.$30a^4b$ D.$120a^4b$ E.$60a^4b$
$2^{100}\cdot C_{100}^{100}-2^{99}\cdot C_{100}^{99}+2^{98}\cdot C_{100}^{98}-\cdots-2^{1}\cdot C_{100}^1+1$ нийлбэрийг олоорой!
A.$2$ B.$1$ C.$2^{100}$ D.$2^{101}$ E.олох боломжгүй
$\left(2x^2+\dfrac{1}{x}\right)^9$ биномыг задлахад гарах $x$-ийг агуулаагүй гишүүнийг ол.
A.$C_9^3$ B.$2^2\cdot C_9^2$ C.$8C_9^6$ D.$2^6C_9^6$ E.$1$
$(2x+5)^{10}$ биномын задаргааны $x^5$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A.$63\cdot 2^3\cdot 5^5$ B.$63\cdot 2^7\cdot 5^5$ C.$63\cdot 2^2$ D.$2^7\cdot 5^5$ E.$63\cdot 2^5\cdot 5^7$
$(1-2y+3c)^{35}$-ийн задаргааны коэффициентүүдийн нийлбэрийг олоорой.
A.1 B.$6^{35}$ C.2 D.$2^{35}$
$(x-y)^{4}$ биномын задралыг бичээрэй.
A.$x^{4}-4x^{3}y+6x^{2}y^{2}-4xy^{3}+y^{4}$ B.$x^{4}-4x^{3}y-4xy^{3}+y^{4}$ C.$x^{4}4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$ D.$x^{4}-4x^{3}y-6x^{2}y^{2}-4xy^{3}+y^{4}$
$(a^{2}+2b)^{10}$-ийн задаргааны 4-р гишүүнийг олоорой.
A.$120a^{14}b^{3}$ B.$240a^{14}b$ C.$960a^{14}b^{3}$ D.$960a^{7}b^{3}$ E.$240a^{14}b^3$
$(x-y+c)^{3}$ гурван гишүүнтийн задаргааг олоорой.
A.$x^3+y^3+c^3-3x^2y+3x^2c+3y^2x+3y^2c+3c^2x-3c^2y$ B.$x^3-y^3+c^3-3x^2y+3x^2c+3y^2x+3y^2c+3c^2x-3c^2y-6xyc$ C.$x^3-y^3+c^3-3x^2y+3x^2c+3y^2x+3y^2c-3c^2y-6xyc$ D.$x^3+y^3+c^3-3x^2y+3x^2c+3y^2x+3y^2c+3c^2x-3c^2y+6xyc$
$O(0,0)$ цэгээс $B(3,6)$ цэг хүртэлх богино замын тоог олоорой.
A.20 B.72 C.80 D.84
$A(3,4)$ цэгээс $B(6,6)$ цэг хүртлэх богино замын тоог олоорой.
A.10 B.30 C.15 D.40
$\Big(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\Big)^{15}$ биномын задаргааны $x^5$-г агуулсан гишүүний дугаар хэд вэ?
A.$10$ B.$8$ C.$9$ D.$4$ E.$5$
$3^{50}\cdot C_{50}^{50}-3^{49}\cdot C_{50}^{49}+3^{48}\cdot C_{50}^{48}-\cdots-3^{1}\cdot C_{50}^1+1$ нийлбэрийг олоорой!
A.$2$ B.$3^{50}$ C.$2^{50}$ D.$2^{51}$ E.олох боломжгүй
$\Bigl(\dfrac x4-2x^{-1}\Bigr)^{10}$ биномын эхнээсээ 7-р гишүүн аль вэ?
A.$210x^{-2}$ B.$-\dfrac{155}{2x^2}$ C.$\dfrac{105}{2x^2}$ D.$-210x^{-2}$ E.$-\dfrac{155}{2x^2}$
$k$ нь 20-оос бага натурал тоо бол $C_{20}^k$ илэрхийлэл аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?
A.$\dfrac{20!}{k!}$ B.$A_{20}^k$ C.$A_{21}^{k+1}$ D.$C_{21}^{k+1}$ E.$C_{20}^{20-k}$
$\Big(x+\dfrac2x\Big)^6$-ийн задаргааны $x$-г агуулаагүй гишүүнийг ол.
A.$165$ B.$200$ C.$180$ D.$160$ E.$140$
$(x^2+1)^{2015}$-ийн задаргааны $x^{10}$ өмнөх коэффициент аль нь вэ?
A.$C_{2015}^{10}$ B.$A_{2015}^{2005}$ C.$P_{2005}$ D.$\dfrac{2015!}{5!\cdot 2010!}$ E.$\dfrac{2015!}{5!}$
$\Big(x+\dfrac1{x^2}\Big)^{9}$-ийн задаргааны $x$ агуулаагүй гишүүнийг ол.
A.$C_9^1$ B.$A_9^2$ C.$C_9^6$ D.$C_9^5$ E.$A_9^6$
$(x+y)^{12}$ биномын задаргаа дахь хамгийн их коэффициент аль вэ?
A.$C_{12}^5$ B.$C_{12}^6$ C.$C_{12}^7$ D.$C_{12}^8$ E.$C_{12}^9$
$\Bigl(\sqrt x-\dfrac{\sqrt2}{\sqrt[4]x}\Bigr)^8$ биномын дундаж гишүүн аль вэ?
A.$-70x$ B.$-280x$ C.$280x$ D.$140x$ E.$70x$
$(3x-y)^8$ биномын $x^3y^5$ ба $x^5y^3$-ын өмнөх коэффициентүүдийн нийлбэр аль вэ?
A.$216C_8^3$ B.$-216C_8^3$ C.$270C_8^3$ D.$-270C_8^3$ E.$-135C_8^3$
$(x-2y)^8$ биномын $x^6y^2$ ба $x^2y^6$-ын өмнөх коэффициентүүдийн нийлбэр аль вэ?
A.$60C_8^2$ B.$-60C_8^2$ C.$68C_8^2$ D.$-68C_8^2$ E.$64C_8^2$
$\Bigl(x^5+\dfrac1{x^3}\Bigr)^{50}$ биномын $C_{50}^nx^{10}$
гишүүнд оpж буй $n$-ын утга аль вэ?
A.$22$ B.$24$ C.$25$ D.$30$ E.$40$
$\Bigl(x^5+\dfrac1{x^2}\Bigr)^{21}$ биномын $x$-ийг агуулаагүй гишүүн (сул гишүүн)-ний дугаар хэд вэ?
A.$10$ B.$12$ C.$15$ D.$16$ E.$18$
$\Bigl(2x^3-\dfrac1{4x^2}\Bigr)^9$ биномын эхнээсээ 4-р гишүүн аль вэ?
A.$-84x^{12}$ B.$168x^{18}$ C.$-168x^{18}$ D.$84x^{12}$ E.$-32x^{18}$
$\Big(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\Big)^{15}$ биномын задаргааны $x^5$-г агуулсан гишүүний дугаар хэд вэ?
A.$10$ B.$8$ C.$9$ D.$4$ E.$5$
$y=(x^2+1)^{100}$ функцийн $y'$ уламжлалын $mx^{41}$ нэмэгдэхүүний коэффициент $m$ аль вэ?
A.$200C_{100}^{20}$ B.$200C_{99}^{20}$ C.$200C_{99}^{21}$ D.$200C_{100}^{21}$ E.$100C_{99}^{20}$
$y=(\sqrt x+1)^{20}$ функцийн уламжлал $y^\prime$-ын $mx^7$ нэмэгдэхүүний коэффициент $m$ аль вэ?
A.$10C_{20}^4$ B.$20C_{19}^4$ C.$10C_{19}^4$ D.$C_{19}^4$ E.$8C_{19}^4$
$(1+x)^n$ биномын задаргааны эхнээсээ 2,3 ба 4-р гишүүдийн коэффициентүүд арифметик прогресс үүсгэх $n$-ийн утгын олонлог аль вэ?
A.$\{10,7\}$ B.$\{9,7\}$ C.$\{8,2\}$ D.$\{2,7\}$ E.$\{7,9\}$
$(1+x)^n$ биномын задаргааны 5,6 ба 7-р гишүүдийн коэффициентүүд арифметик прогресс үүсгэх $n$-ийн утгын олонлог аль вэ?
A.$\{1,14\}$ B.$\{2,14\}$ C.$\{7,2\}$ D.$\{7,14\}$
$\Bigl(2\sqrt[x]{2^{-1}}+\dfrac4{\sqrt[4-x]4}\Bigr)^6$ биномын задаргааны эхнээсээ гурав дахь гишүүн нь 240 бол $x$-ийн утгын олонлог аль вэ?
A.$\{3,0\}$ B.$\{4,3\}$ C.$\{2\}$ D.$\{1,3\}$ E.$\{2,0\}$
$\biggl(\dfrac{\sqrt[5]{a^4}}{a^{\frac{x-1}x}}+a\cdot a^{\frac{x-1}{x+1}}\biggr)^8$ биномын задаргааны эхнээсээ дөрөв дэх гишүүн нь $56a^{5.5}$ бол $x$-ийн утгын олонлог аль вэ?
A.$\{4,2\}$ B.$\{3,5\}$ C.$\{-5,2\}$ D.$\{1,2\}$
$(2x+5)^{10}$ биномын задаргааны $x^5$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A.$63\cdot 2^3\cdot 5^5$ B.$63\cdot 2^7\cdot 5^5$ C.$63\cdot 2^2$ D.$2^7\cdot 5^5$ E.$63\cdot 2^5\cdot 5^7$
$(\sqrt[3]{3}+\sqrt{2})^{5}$ биномын задаргааны рационал гишүүн нь $\fbox{ab}$ байна.
$(\sqrt[3]{2}+\sqrt[4]{3})^{7}$ биномын задаргааны рационал гишүүн нь $\fbox{abc}$ байна.
$\left(x^2+\dfrac 1x\right)^m$ бином задаргааны нэг,
хоёр ба гуравдугаар гишүүний коэффициентуудын нийлбэр 46-тай
тэнцүү бол $m=\fbox{a}$ ба $x$ оролцоогүй гишүүн нь $\fbox{bc}$ байна.
$\left(x\sqrt x+\dfrac{1}{x^2}\right)^m$ бином задаргааны бүх коэффициентуудын нийлбэр 128 бол
$m=\fbox{a}$ ба $x$ оролцоогүй гишүүн нь $\fbox{bc}$ байна.
Комбинаторикийн томьёонууд
$n$ нь $15$-аас бага натурал тоо бол $C_{15}^n$ илэрхийлэл аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?
A.$A_{16}^{n+1}$ B.$A_{15}^{n}$ C.$C_{16}^{n+1}$ D.$C_{15}^{15-n}$ E.$C_{16}^n$
$C_x^6=C_x^4$ байх $x$-ийн хувьд $\dfrac{P_x}{A_x^2}=?$
A.$ {9!}$ B.$ \frac{1} {10!}$ C.$10!$ D.$8!$ E.$7!$
$C_x^6=C_x^4$ байх $x$-ийн хувьд $\dfrac{P_x}{A_x^2}=?$
A.${9!}$ B.$\dfrac{1}{8!}$ C.$10!$ D.$8!$ E.$7!$
$C_x^7=C_x^5$ байх $x$-ийн хувьд $\dfrac{P_x}{A_x^2}=?$
A.$ \dfrac{1}{10!}$ B.$ {10!}$ C.$12!$ D.$7!$ E.$5!$
$A_x^y=156$, $C_x^y=78$ бол $P_{(x-y)}$ нь хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$11$ B.$10!$ C.$8!$ D.$11!$ E.$9!$
$C_{18}^n=C_{18}^{n+2}$ бол $7\cdot C_n^7=A_{x+1}^2$ тэгшитгэлийн язгуур $x$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$10$ B.$9$ C.$8$ D.$7$ E.$6$
$ (\frac{1}{x-1}+\frac{x^2-3x}{x^2-1}) : \frac{2x-2}{x^2-x-2}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$ \frac{x+2}{2}$ B.$ \frac{(x-1)(x+2)}{2(x+1)}$ C.$ \frac{(x-1)(x-2)}{2(x+1)}$ D.$ \frac{x-2}{2}$ E.$ \frac{x+1}{2}$
$7!\cdot C_{10}^3=?$
A.$0$ B.$10\cdot 7!$ C.$C_{10}^7$ D.$A_{10}^3$ E.$A_{10}^7$
$C_8^2=?$
A.7 B.14 C.21 D.35 E.28
$A_6^4$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$1296$ B.$216$ C.$316$ D.$360$ E.$36$
$C_7^2=?$
A.7 B.14 C.21 D.35 E.42
$3\cdot C_{x-1}^2+(x-2)P_2=4\cdot A_{x-2}^2$
A.$3$ B.$4$ C.$5$ D.$6$ E.$7$
$A_6^4$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$1296$ B.$216$ C.$316$ D.$360$ E.$36$
$A_{n+2}^4=6\cdot P_4\cdot C_{n}^{n-2}$ тэгшитгэл бод.
A.4 B.5 C.6 D.7 E.8
$C_7^5=?$
A.7 B.14 C.21 D.35 E.42
$8!\cdot C_{10}^2=?$
A.$0$ B.$10\cdot 8!$ C.$C_{10}^8$ D.$A_{10}^2$ E.$A_{10}^8$
$(y+1)^6=y^6+6y^5+ay^4+20y^3+by^2+6y+1$ бол $a+b$-г ол.
A.$15$ B.$30$ C.$35$ D.$20$ E.$28$
$A_x^y=156$, $C_x^y=78$ бол $P_{(x-y)}$ нь хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$11$ B.$10!$ C.$8!$ D.$11!$ E.$9!$
$C_{18}^n=C_{18}^{n+2}$ бол $7\cdot C_n^7=A_{x+1}^2$ тэгшитгэлийн язгуур $x$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$10$ B.$9$ C.$8$ D.$7$ E.$6$
$n$ нь 10-аас бага натурал тоо бол $C_{10}^{n} $ илэрхийлэл аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?
A.$C_{10}^{11-n}$ B.$n!A_{10}^{n}$ C.$C_{10}^{10-n}$ D.$\dfrac{A_{10}^{n} }{(10-n)!} $ E.$C_{11}^{10-n} $
$$x_{n}=C_{n+3}^{2}-\dfrac{48}{187}C_{n+4}^{n} (n=1, 2, 3, \ldots)$$ дараалал $\fbox{a}$ ширхэг эерэг гишүүнтэй.
$$x_{n}=\dfrac{A_{n+4}^{4}}{P_{n+2}}-\dfrac{143}{4P_{n}}, (n=1, 2, 3, \ldots)$$ дараалал $\fbox{a}$ ширхэг сөрөг гишүүнтэй.
Паскалийн гурвалжин
$C_{10}^2=45$, $C_{10}^3=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3!}=120$ болохыг ашиглан $C_{11}^3$-ийг ол.
A.85 B.125 C.145 D.165 E.180
Полиномын задаргаа
$(3a+2b+c)^{27}$ задаргааны $a^4\cdot b^2\cdot c^{21}$ гишүүний коэффициентийг ол.
A.$\dfrac{6\cdot 27!}{4!\cdot 2!\cdot 2!}$ B.$324\cdot C_{27}^2\cdot C_{27}^4\cdot C_{27}^{21}$ C.$\dfrac{324\cdot 27!}{4!\cdot 2!\cdot 21!}$ D.$324\cdot A_{27}^2\cdot A_{27}^4\cdot A_{27}^{21}$ E.$324\cdot P_2\cdot P_4\cdot P_{21}$
$(1+2y+2x)^3$ задаргааны бүх коэффициентүүдийн нийлбэрийг ол.
A.125 B.$\dfrac{6!}{1!2!3!}$ C.120 D.100 E.80
$(2x+3y+z)^{30}$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн алгебр нийлбэр аль вэ?
A.$3^{30}$ B.$1$ C.$2^{30}$ D.$5^{30}$ E.$6^{30}$
$(x+y+z)^{10}$ биномын $mx^4y^4z^2$ гишүүний өмнөх коэффициент $m$ аль вэ?
A.$5880$ B.$3150$ C.$9450$ D.$1260$ E.$3200$
$(x-y+z)^8$ биномын $mx^3y^2z^3$-ын өмнөх $m$ коэффициент аль вэ?
A.$560$ B.$-560$ C.$280$ D.$-280$ E.$256$
$(1-2x+3y)^{30}$ биномын коэффициентүүдийн алгебр нийлбэр аль вэ?
A.$3^{30}$ B.$1$ C.$2^{30}$ D.$5^{30}$ E.$6^{30}$
$(-1+2x-3y)^{25}$ биномын коэффициентүүдийн алгебр нийлбэр аль вэ?
A.$2^{25}$ B.$-3^{25}$ C.$-2^{25}$ D.$-1$ E.$3^{25}$
$(1+x+y)^{2015}$-ийн задаргааны бүх коэффициентүүдийн нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$2^{2015}$ B.$3^{2015}-2^{2015}$ C.$3^{2015}$ D.$2\cdot 3^{2015}$ E.$1$
$(5a+3b+c)^{27}$ задаргааны $a^2\cdot b^2\cdot c^{23}$ гишүүний коэффициентийг ол.
A.$\dfrac{225\cdot 27!}{2!\cdot 2!\cdot 23!}$ B.$225\cdot C_{27}^2\cdot C_{27}^2\cdot C_{27}^{23}$ C.$\dfrac{15\cdot 27!}{2!\cdot 2!\cdot 23!}$ D.$15\cdot A_{27}^2\cdot A_{27}^4\cdot A_{27}^{21}$ E.$15\cdot P_2\cdot P_4\cdot P_{21}$
$(1-2y-2x)^4$ задаргааны бүх коэффициентүүдийн нийлбэрийг ол.
A.$64$ B.$\dfrac{6!}{1!2!3!}$ C.$120$ D.$36$ E.$81$
$(3a+2b+c)^{27}$ задаргааны $a^4\cdot b^2\cdot c^{21}$ гишүүний коэффициентийг ол.
A.$\dfrac{6\cdot 27!}{4!\cdot 2!\cdot 2!}$ B.$324\cdot C_{27}^2\cdot C_{27}^4\cdot C_{27}^{21}$ C.$\dfrac{324\cdot 27!}{4!\cdot 2!\cdot 21!}$ D.$324\cdot A_{27}^2\cdot A_{27}^4\cdot A_{27}^{21}$ E.$324\cdot P_2\cdot P_4\cdot P_{21}$
$(1-2y-2x)^4$ задаргааны бүх коэффициентүүдийн нийлбэрийг ол.
A.$64$ B.$\dfrac{6!}{1!2!3!}$ C.$120$ D.$36$ E.$81$
$(1+x^2-x^3)^9$ олон гишүүнтийн $x^8$ илэрхийллийг агуулсан гишүүний өмнөх коэффициент $\fbox{abc}$ байна.
$(1+x+\frac{6}{x})^{5}$ олон гишүүнтийн $x$-ийн зэргийг
агуулаагүй гишүүн $\fbox{abcd}$-тэй тэнцүү байна.
Траекторын арга
$A$ цэгээс эхлэн эсвэл дээш 1 нэгж, эсвэл баруун тийш 1 нэгж явсаар $B$ цэгийг дайран $C$ цэгт очих бүх ялгаатай замын тоог ол.
A.$9$ B.$8$ C.$10$ D.$11$ E.$12$