Тойрог ба дугуй

Дугуйн талбай

$S = 28.26 \, \text{см}^2$ бол радиусыг ол.

$\pi=3.14$ гэж үзээрэй.

A.

$1.5$ B.

$\dfrac{5}{2}$ C.

$2$ D.

$3$ E.

$6$

Шүргэгч ба огтлогчийн чанар

$AB$ -шүргэгч,

$BD$ -огтлогч,

$\angle DOC=60^\circ$ ,

$DC=CB$ ,

$AB=\sqrt6$ бол

$OB=?$

A.

$\sqrt3$ B.

$\dfrac{\sqrt3}{2}$ C.

$2$ D.

$1$ E.

$3$

Бодлого №2621

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$AC$ диагонал

$\sqrt2$ . Хэрэв

$\angle ABC=105^\circ$ ,

$\angle ACD=42^\circ$ ,

$\angle DAC=63^\circ$ бол

$ABD$ гурвалжинг багтаасан дугуйн талбайг ол.

Бодлого №2624

$r$ ба

$3r$ радиустай тойргууд гадаад байдлаар шүргэлцдэг. Эдгээр тойргуудын ерөнхий шүргэгчүүд ба тойргуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.

Бодлого №2628

Талын урт нь

$a$ , хурц өнцөг нь

$60^\circ$ байх ромбо өгөгдөв. Түүний их диагоналаар диаметр хийсэн тойрог байгуулав. а) Дугуйн талбайг ол. б) Ромбын талбай ба ромбын гадна орших дугуйн талбайн аль нь их вэ?

Бодлого №2629

$R$ радиустай тойргийн доторх орших

$P$ цэгийг дайруулан харилцан перпендикуляр хоёр хөвч татав. Эдгээрийн нэг нь тойргийн төв ба

$P$ цэгийг дайрсан шулуунтай

$\alpha>0$ өнцөг үүсгэх ба төвөөс

$a$ зайтай байв. Эдгээр хөвчүүдээр диагоналаа хийсэн дөрвөн өнцөгтөд дугуй багтсан бол энэ дугуйн талбайг ол.

Бодлого №2631

$64$ см.кв талбайтай дугуйд багтсан квадратын талыг ол.

Бодлого №2645

Ялгаатай радиус бүхий хоёр тойрог

$A$ цэгээр гадаад байдлаар шүргэлцэж байв.

$AB$ нь жижиг тойргийн диаметр бөгөөд

$B$ цэгээс том тойрогт

$M$ ба

$N$ цэгүүдээр шүргэх шүргэгчүүд татав.

$AM$ шулуун бага тойргийг

$K$ цэгээр огтлох ба

$MK=\sqrt{2-\sqrt{3}}$ ,

$\angle BMA=15^\circ$ байв.

$BM, BN$ шүргэгчүүд болон

$A$ -г агуулаагүй

$MN$ нумаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

Бодлого №2647

$3$ ба

$4$ катеттай тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдөв. Дугуйн диаметр том катеттай давхцах бол гипотенузаар хуваагдсан дугуйн хэсгүүдийн талбайг ол.

Бодлого №2649

$r$ радиустай тойргийн талбайг

$1:2$ харьцаагаар хуваах хөвчийн төгсгөлүүдийг дайруулан уг тойрогт шүргэгч шулуунууд татав.

$r$ -ын ямар утгад хөвч болон шүргэгч шулуунуудаар үүссэн гурвалжны талбай

$12\sqrt3$ -тай тэнцүү байх вэ?

Бодлого №2650

$60^\circ$ төв өнцөгтэй секторт дугуй багтав. Секторын радиус хэд байхад тойргийн талбай

$\pi$ -тэй тэнцэх вэ?

Бодлого №2651

$R$ радиустай хагас тойрогт

$R/2$ радиустай тойрог багтав. Хагас тойргийн үлдсэн хэсэгт

$R$ радиустай хагас тойрог,

$R/2$ радиустай тойрог, хагас тойргийн диаметр гурвыг шүргэх дугуй багтаав. Хэрэв

$R=4$ бол сүүлчийн тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2652

Зөв гурвалжны талууд

$a$ -тай тэнцүү. Түүнтэй ижил төвтэй

$a/3$ радиустай тойрог татав. Тойргийн гадна байрлах гурвалжны хэсгүүдийн талбайг тодорхойл.

Бодлого №2653

Дугуйн радиус

$R=6/\sqrt{4\pi-3\sqrt3}$ . Энэ дугуйг түүнд багтсан зөв гурвалжны талтай тэнцүү урттай хөвчөөр 2 сегментэд хуваав. Жижиг сегментийн талбайг ол.

Бодлого №2772

$1$ радиустай дугуйд

$AB=\sqrt{2}$ ба

$BC=\dfrac{10}{7}$ хөвчүүд татав. Хэрэв

$BAC$ нь хурц өнцөг бол дугуйн

$ABC$ өнцөг доторх хэсгийн талбайг ол.

Уяатай ямааны бэлчээрийн талбай

Тулга ямаагаа 5 м урттай уяагаар

$2\times 3$ м хэмжээтэй тэгш өнцөгт хэлбэртэй хашааны гадна талд, аль нэг тэгш өнцөгийн оройгоос нь уяжээ. Тэгвэл ямааны өвс идэж чадах талбайн хэмжээг ол.

A.

$10\pi$ B.

$20\pi$ C.

$22\pi$ D.

$25\pi$ E.

$30\pi$

Цагираг

$AOD$ ба

$BOC$ нь нэг төвтэй тойргийн секторууд ба

$\measuredangle AOD=60^\circ$ болно. Хэрэв

$OB=7$ ба

$AB=2$ бол будагдсан хэсгийн талбай нь:

A.

$\pi$ B.

$2\pi$ C.

$\dfrac72\pi$ D.

$\dfrac{13}{3}\pi$ E.

$\dfrac{16}{3}\pi$

ЭЕШ 2015 D №16

$8$ см талтай квадратад тойрог багтсан бол зурагт үзүүлсэн будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$(32\pi-64)$ см.кв B.

$(64-8\pi)$ см.кв C.

$16\pi$ см.кв D.

$(64-16\pi)$ см.кв E.

$64$ см.кв

Тойрогт багтсан квадрат

Квадратын талбайг уг квадратыг багтаасан дугуйн талбайд харьцуулсан харьцаа аль нь вэ?

A.

$\dfrac{1}{\pi}$ B.

$\dfrac{\pi}{2}$ C.

$\dfrac{2}{\pi}$ D.

$\dfrac{4}{\pi}$ E.

$\dfrac{\pi}{4}$

ЭЕШ 2015 A №16

4см талтай квадратад тойрог багтсан бол зурагт үзүүлсэн будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$(8\pi-16)$ см.кв B.

$(16-2\pi)$ см.кв C.

$16$ см.кв D.

$(16-4\pi)$ см.кв E.

$4\pi$ см.кв

Хагас дугуйн талбай

Жижиг хагас дугуйн радиусууд нь

$4$ ба

$3$ нэгж бол будагдсан хэсгийн талбай хэд вэ?

A.

$9\pi$ B.

$10\pi$ C.

$11\pi$ D.

$12\pi$ E.

$13\pi$

ЭЕШ 2015 B №16

$10$ см талтай квадратад тойрог багтсан бол зурагт үзүүлсэн будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$(50\pi-100)$ см.кв B.

$(100-25\pi)$ см.кв C.

$50\pi$ см.кв D.

$100$ см.кв E.

$25\pi$ см.кв

ЭЕШ 2015 C №16

$6$ см талтай квадратад тойрог багтсан бол зурагт үзүүлсэн будагдсан хэсгийн талбайг ол.

$10$ см талтай квадратад тойрог багтсан бол зурагт үзүүлсэн будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$(18\pi-6)$ см.кв B.

$(36+9\pi)$ см.кв C.

$9\pi$ см.кв D.

$(36-9\pi)$ см.кв E.

$36$ см.кв

Багтсан зөв зургаан өнцөгт

Тойрогт багтсан зөв 6 өнцөгтийн периметр 24 бол зурагт дүрслэгдсэн будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$2\pi+\sqrt3$ B.

$8\pi-12\sqrt3$ C.

$4\pi-2\sqrt3$ D.

$16\pi-24\sqrt3$ E.

$24\pi-12\sqrt3$

Цагираг

$AOD$ ба

$BOC$ нь нэг төвтэй тойргийн секторууд ба

$\measuredangle AOD=45^\circ$ болно. Хэрэв

$OB=7\sqrt2$ ба

$AB=2\sqrt2$ бол харлуулсан хэсгийн талбай нь:

A.

$7\pi$ B.

$8\pi$ C.

$5\pi$ D.

$4\pi$ E.

$2\pi$

Цагираг

$AOD$ ба

$BOC$ нь нэг төвтэй тойргийн секторууд ба

$\measuredangle AOD=30^\circ$ болно. Хэрэв

$OB=7\sqrt2$ ба

$AB=2\sqrt2$ бол харлуулсан хэсгийн талбай нь:

A.

$7\pi$ B.

$3\pi$ C.

$\dfrac{8\pi}{3}$ D.

$\dfrac{16\pi}{3}$ E.

$5\pi$

Уяатай ямааны бэлчээрийн талбай

Тулга ямаагаа 5 м урттай уяагаар

$1\times 4$ м хэмжээтэй хашааны гадна нэг өнцгөөс уяжээ. Тэгвэл ямааны өвс идэж болох талбай ямар хэмжээтэй байх вэ?

A.

$10\pi$ B.

$20\pi$ C.

$22\pi$ D.

$23\pi$ E.

$30\pi$

Бодлого №14253

Дараах зурагт

$O$ цэг тойргийн төв.

$OA=OB=5$ см (радиусууд) бол будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$6.25\pi-12.5$ B.

$25\pi-25$ C.

$25\pi$ D.

$12.5\pi-25$ E.

$25\pi-12.5$

Хагас дугуйн талбай

Жижиг хагас дугуйн талбайнууд нь

$16$ ба

$9$ квадрат нэгж бол будагдсан хэсгийн талбай хэд вэ?

A.

$18$ B.

$20$ C.

$22$ D.

$24$ E.

$26$

Бодлого №7868

$4$ см урттай

$AB$ хэрчмийн

$A$ цэгт төвтэй

$2(\sqrt{3}-1)$ см радиустай тойрог ба

$B$ цэгт төвтэй

$2\sqrt{2}$ см радиустай тойргууд

$C$ ,

$D$ цэгт огтлолцдог гэе.

$\measuredangle CAD =\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ ба

$\measuredangle CBD =\dfrac{\pi}{\fbox{b}}$ , дугуйнуудын ерөнхий хэсгийн талбай нь

$\dfrac{\pi}{3}(\fbox{c}-2\sqrt{\fbox{d}} )-(\fbox{e}\sqrt{3}-2)$ см

$^2$ байна.

Бодлого №7919

Харилцан перпендикуляр

$OA$ ,

$OB$ шулуунууд ба төв

$O_1$ нь

$OA$ шулуун дээр орших

$\sqrt{2}$ радиус бүхий тойрог өгөв.

$OO_1=5\sqrt{2}+3\sqrt{6}$ бол

$AOB$ өнцөгт багтан өгсөн тойргийг шүргэх бага тойргийн радиус

$\fbox{a}\sqrt{2}+2\sqrt{\fbox{b}}$ байна. Энэ үед уг хоёр тойрог ба

$OA$ шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$7\sqrt{3}+\fbox{cd}-2\sqrt{3}\pi-\dfrac{\fbox{ef} \pi}{6}$ болно.

Бодлого №7920

Харилцан перпендикуляр

$OA$ ,

$OB$ шулуунууд ба төв

$O_1$ нь

$OA$ шулуун дээр орших

$\sqrt{3}$ радиус бүхий тойрог өгөв.

$OO_1=5\sqrt{3}+9$ бол

$AOB$ өнцөгт багтан өгсөн тойргийг шүргэх бага тойргийн радиус

$\fbox{a}\sqrt{3}+\sqrt{\fbox{b}}$ байна. Энэ үед уг хоёр тойрог ба

$OA$ шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$\dfrac{\fbox{cd}}{2}\sqrt{3}+18-3\sqrt{3}\pi-\dfrac{\fbox{ef} \pi}{4}$ байна.

Бодлого №7921

Нэгж радиустай,

$O$ цэгт төвтэй, төвийн өнцөг нь

$\dfrac{2}{3}\pi$ байх

$OAB$ секторт багтсан тойргийн радиус

$\sqrt{\fbox{a}}(\fbox{b}-\sqrt{3})$ байна. Энэхүү тойргийн

$OA$ ,

$OB$ хэрчмийг шүргэсэн цэгүүдийг харгалзан

$A_1$ ,

$B_1$ ,

$AB$ нумыг шүргэсэн цэгийг

$O_1$ гэе.

$A_1B_1$ богино нум ба

$OA_1$ ,

$OB_1$ хэрчмүүдээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$\dfrac{\fbox{cd} -2\pi}{2}+\dfrac{2\pi-\fbox{ef}}{3}\sqrt{3}$ болно.

Бодлого №7922

$\sqrt{3}$ радиустай,

$O$ цэгт төвтэй, төвийн өнцөг нь

$\dfrac{\pi}{3}$ байх

$OAB$ секторт багтсан тойргийн радиус

$\fbox{a}(\fbox{b}-\sqrt{3})$ байна. Энэхүү тойргийн

$OA$ ,

$OB$ хэрчмийг шүргэсэн цэгүүдийг харгалзан

$A_1$ ,

$B_1$ ,

$AB$ нумыг шүргэсэн цэгийг

$O_1$ гэе.

$A_1B_1$ богино нум ба

$OA_1$ ,

$OB_1$ хэрчмүүдээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$\fbox{cd}\sqrt{3}\pi +3\sqrt{3}-\fbox{ef}$ болно.

Бодлого №7941

$ABC$ гурвалжны

$AC$ тал болон

$AB$ ,

$BC$ талын үргэлжлэлийг шүргэсэн тойргийн радиус

$\sqrt{3}$ байв.

$ABC$ гурвалжны талбай

$\sqrt{3}(2-\sqrt{3})$ ба

$\measuredangle BAC=60^{\circ}$ байсан бол

$AB=\sqrt{\fbox{a}}-\fbox{b}$ ,

$\measuredangle BCA=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}$ ,

$BC=\fbox{d}-\sqrt{\fbox{e}}$ болно. Тойргийн төвөөс

$AB$ ,

$BC$ талуудад буулгасан перепендикулярууд,

$AB$ ,

$BC$ талуудын үргэлжлэл болон

$AC$ талаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$\fbox{f}-\fbox{g}\sqrt{3}$ болно.

Бодлого №7942

$ABC$ гурвалжны

$AC$ тал болон

$AB$ ,

$BC$ талын үргэлжлэлийг шүргэсэн тойргийн радиус

$\sqrt{6}$ ,

$ABC$ гурвалжны талбай

$2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})$ ба

$\measuredangle BAC=30^{\circ}$ байсан бол

$AB=\sqrt{\fbox{a}}-\sqrt{\fbox{b}}$ ,

$\measuredangle BCA=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}$ ба

$BC=3\sqrt{\fbox{d}}-\sqrt{\fbox{e}}$ болно. Тойргийн төвөөс

$AB$ ,

$BC$ талуудад буулгасан перепендикулярууд,

$AB$ ,

$BC$ талуудын үргэлжлэл болон

$AC$ талаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$\fbox{fg}-\fbox{h}\sqrt{3}$ болно.

Бодлого №7953

$AB$ ,

$AC$ нь нэгж радиустай тойргийн харилцан перепендикуляр радиусиуд бөгөөд

$P$ цэг

$BC$ нум дээр оршино.

$P$ цэгийн

$AC$ хэрчим дээрх перепендикулярын суурийг

$Q$ гээд

$C$ цэг нь

$Q$ ,

$R$ хоёрын хооронд оршиж байхаар

$PQRS$ квадратыг байгуулав.

$PS$ ,

$SR$ ,

$CR$ хэрчмүүд болон

$PC$ нумаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$S$ нь хамгийн их байх үед квадратын талын урт

$\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна. Энэ үед

$S=\sqrt{\fbox{c}}\dfrac{1+2\sqrt{3}}{ \fbox{d}}$ байна.

$S=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\pi}{8}$ үед

$PQ=\dfrac{1}{\fbox{e}}$ ба

$\measuredangle PAQ=\dfrac{\pi}{\fbox{f}}$ болно.

ЭЕШ 2011 C №24

Тойргийн

$AB$ ба

$AC$ хоёр хөвч ижил урттай ба хоорондох өнцөг нь

$\dfrac{\pi}{3}$ хэмжээтэй юм.

Тойргийн төв $O$ гэвэл $\measuredangle BOC=\dfrac{2\pi}{\fbox{a}}$ ба $\measuredangle BOA=\dfrac{\fbox{b}\pi}{\fbox{c}}$ байна.
$AB$ ба $AC$ шулууны хооронд хашигдсан дугуйн хэсгийг дугуйн нийт талбайд харьцуулсан харьцаа $\dfrac{\fbox{d}\pi+3\sqrt{3}}{\fbox{e}\pi}$
$AB$ талын уртыг тойргийн радиуст харьцуулсан харьцаа $\sqrt{\fbox{f}}$ байна.

Бодлого №2618

$R$ ба

$\frac{R}{2}$ радиустай тойргууд гадаад байдлаар шүргэлцэж байв. Хэрвээ тойргийн төвүүдийг холбосон хэрчимтэй

$30^\circ$ өнцөг үүсгэдэг,

$2R$ урттай хэрчмийн нэг төгсгөл жижиг тойргийн төвтэй давхцаж байсан бол энэ хэрчмийн тойргуудын гадна байрлах хэсгийн уртыг нийт хэрчмийн уртад харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2623

$Q$ талбайтай цагираг өгөгдөв. Бага тойргийг шүргэх том тойргийн хөвчийн уртыг ол.

Бодлого №2626

Огтлолцсон

$2$ тойргийн радиусууд

$13$ ба

$15$ , тэдгээрийн ерөнхий хөвчийн урт

$24$ байв. Хэрэв эдгээр тойргийн төвүүд нөгөөгийнхөө гадна байрладаг гэвэл төвүүдийн хоорондох зайг ол.

Бодлого №2630

$6$ радиустай тойрог дотор орших цэг түүнийг дайрсан хөвчийг

$5$ ба

$4$ урттай хэсгүүдэд хуваадаг бол уг цэгээс тойрог хүртэл ямар зайтай вэ?

Бодлого №2641

Тойргийн

$AB$ ба

$CD$ хөвчүүд перпендикуляр бөгөөд өөр хоорондоо огтлолцдог.

$AD=m$ ,

$BC=n$ бол тойргийн диаметрийг ол.

Сорилго №2, 2019-2020

Тойргийн хөвчийн урт

$10$ см. Уг хөвчийн нэг төгсгөлийг дайруулан тойргийн шүргэгч шулуун ба нөгөө төгсгөлийг дайруулан түүнтэй параллель шулуун татав. Хэрэв энэ шулуунаар үүсэх хөвчийн урт

$12$ см бол тойргийн радиусыг ол.

A.

$6.5$ см B.

$6.25$ см C.

$7$ см D.

$7.5$ см E.

$7.25$ см

ЭЕШ 2011 A №5

Параллел 2 хөвчийн урт 40 ба 48, хоорондох зай 22 бол тойргийн радиусыг ол. (Тойргийн төв хөвчүүдийн хооронд оршино гэж үзнэ.)

A.

$25$ B.

$33$ C.

$\dfrac{142}{11}$ D.

$\dfrac{315}{11}$ E.

$\dfrac{355}{11}$

Бодлого №4743

$BC$ хөвчийн дундаж цэгээс

$AB$ диаметр хүртэлх зай 1-тэй тэнцүү ба

$\angle BAC=30^\circ$ бол

$AC$ хөвчийн уртыг ол.

A.

$1$ B.

$2$ C.

$4$ D.

$2\sqrt{3}$ E.

$4\sqrt{3}$

Бодлого №7737

$ABC$ гурвалжны

$BC$ талын медианы үргэлжлэл багтаасан тойрогтой

$D$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв

$BC=a$ тал медиантайгаа ижил урттай бол

$AD$ -ийн урт аль нь вэ?

A.

$\dfrac23a$ B.

$\dfrac34a$ C.

$\dfrac54a$ D.

$\dfrac65a$ E.

$\dfrac32a$

Хөвч ба хөвчийн үзүүрт татсан шүргэгчийн хоорондох өнцөг

$r$ радиустай тойргийн хөвчийн нэг үзүүр, нөгөө үзүүрт татсан шүргэгчээс

$a$ зайтай байжээ. Хөвчийн урт ямар байх вэ?

A.

$\dfrac12\sqrt{ar}$ B.

$\dfrac{a^2+r^2}{2r}$ C.

$2\sqrt{r(a-r)}$ D.

$\sqrt{2ar}$ E.

$2\sqrt{ar}$

Тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх зай

$P$ цэг 11 см радиустай тойргийн төвөөс 7 см зайд байв.

$P$ цэгийг дайрсан 18 см урттай хөвчийн

$P$ цэгээр хуваагдах хоёр хэсгийн аль их урттайг нь ямар урттай байх вэ?

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14

Огтлолцсон хөвчүүдийн чанар

Тойргийн

$AB$ хөвчийн дундаж цэг

$M$ -ийг дайруулан түүнд перпендикуляр

$\ell$ шулуун татав. Энэ шулууны тойргийг огтлох цэгүүд нь

$C$ ,

$D$ ба

$MC=8$ ,

$MD=2$ бол

$AB$ хэрчмийн уртыг ол.

A.

$5$ B.

$6$ C.

$\sqrt{51}$ D.

$4\sqrt{3}$ E.

$8$

Тойргийн хөвч ба диаметр

$O$ төвтэй тойргийн хувьд

$OP=6$ ,

$AP=4$ ,

$BP=16$ бол тойргийн радиусыг ол.

A.

$20$ B.

$17$ C.

$15$ D.

$12$ E.

$10$

ЭЕШ 2011 C №24

Тойргийн

$AB$ ба

$AC$ хоёр хөвч ижил урттай ба хоорондох өнцөг нь

$\dfrac{\pi}{3}$ хэмжээтэй юм.

Тойргийн төв $O$ гэвэл $\measuredangle BOC=\dfrac{2\pi}{\fbox{a}}$ ба $\measuredangle BOA=\dfrac{\fbox{b}\pi}{\fbox{c}}$ байна.
$AB$ ба $AC$ шулууны хооронд хашигдсан дугуйн хэсгийг дугуйн нийт талбайд харьцуулсан харьцаа $\dfrac{\fbox{d}\pi+3\sqrt{3}}{\fbox{e}\pi}$
$AB$ талын уртыг тойргийн радиуст харьцуулсан харьцаа $\sqrt{\fbox{f}}$ байна.

Бодлого №2619

$O$ төвтэй тойргийн гадна оршиж байгаа

$K$ цэгээс

$MK$ ,

$NK$ гэсэн 2 шүргэгч шулуун татав (

$M$ ба

$N$ нь шүргэлтийн цэгүүд цэг).

$MN$ хөвч дээр

$C$ (

$MC< CN$ ) цэг авч

$C$ цэгийг дайруулан

$OC$ -тэй перпендикуляр шулуун татахад

$NK$ -тэй

$B$ цэгт огтлолцов. Хэрэв тойргийн радиус

$R$ ,

$\angle MKN=\alpha$ ,

$MC=b$ бол

$CB$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2632

Радиусын харьцаа

$2/3$ -тай тэнцүү

$2$ тойрог дотоод байдлаар шүргэлцэнэ. Жижиг тойргийн төвийг дайруулан төвүүдийг дайрсан шулуунтай перпендикуляр шулуун шугам татав. Энэ шулууны том тойрогтой огтлолцсон цэгээс жижиг тойрогт шүргэгч шулуунууд татав. Энэ шүргэгчүүдийн хоорондох өнцгийг ол.

Бодлого №2633

Тойргийн гадна талд тойргийн төвөөс диаметртэй тэнцүү зайд байрлах цэгээс тойрогт татсан шүргэгчүүдийн хоорондох өнцгийг ол.

Ерөнхий шүргэгчийн урт

Гадаад байдлаар шүргэлцсэн хоёр тойргийн радиусууд

$3$ ба

$4$ байв. Хэрвээ

$\ell$ шулуун тойргуудыг

$A$ ба

$B$

$(A\neq B)$ цэгүүдэд шүргэх бол

$AB$ хэрчмийн урт аль нь вэ?

A.

$7$ B.

$12$ C.

$5$ D.

$4\sqrt{3}$ E.

$5\sqrt{2}$

Дотоод ерөнхий шүргэгчийн урт

$5$ ба

$12$ радиустай тойргуудын төвүүд хоорондоо 25 зайтай байв. Тойргуудын дотоод ерөнхий шүргэгчийн уртыг ол.

A.

$16$ B.

$2\sqrt{17}$ C.

$5\sqrt{15}$ D.

$17$ E.

$4\sqrt{21}$

Шүргэгч дээр оройтой квадрат

Хэрэв квадратын 2 орой нь

$R$ радиустай

$C$ тойрог дээр, үлдсэн хоёр орой нь

$C$ тойрогт татсан нэгэн шүргэгч шулуун дээр орших бол квадратын талыг ол.

A.

$2R$ B.

$\dfrac{\sqrt2}{2}R$ C.

$\dfrac{8\pi}{5}$ D.

$\dfrac{8\pi}{3}$ E.

$4R$

ЭЕШ 2017 D №27

Зурагт өгөгдсөн дотоод байдлаар шүргэлцсэн хоёр тойргийн

$TA$ нь ерөнхий шүргэгч,

$TC$ том тойргийн огтлогч, жижиг тойргийн шүргэгч болно.

$DC=2$ ,

$CB=1$ бол

$TA$ -г ол.

A.

$1$ B.

$3$ C.

$2$ D.

$4$ E.

$3.5$

ЭЕШ 2017 D №27

Гадаад шүргэлцсэн тойргуудын радиусууд нь 3 см ба 5 см байв. Эдгээр тойргуудад татсан шүргэлцлийн цэгийг нь дайраагүй ерөнхий шүргэгч шулууны шүргэлтийн цэгүүдээр үүсэх хэрчмийн уртыг ол.

A.

$4\sqrt{3}$ B.

$8$ C.

$2\sqrt{15}$ D.

$4\sqrt{15}$ E.

$5\sqrt{5}$

ЭЕШ 2017 D №27

Гадаад шүргэлцсэн тойргуудын радиусууд нь 2 см ба 4 см байв. Эдгээр тойргуудад татсан шүргэлцлийн цэгийг нь дайраагүй ерөнхий шүргэгч шулууны шүргэлтийн цэгүүдээр үүсэх хэрчмийн уртыг ол.

A.

$3\sqrt{3}$ B.

$6$ C.

$4$ D.

$4\sqrt{2}$ E.

$\sqrt{15}$

ЭЕШ 2017 B №27

Зурагт өгөгдсөн дотоод байдлаар шүргэлцсэн хоёр тойргийн

$TA$ нь ерөнхий шүргэгч,

$TC$ том тойргийн огтлогч, жижиг тойргийн шүргэгч болно.

$DC=3$ ,

$CB=2$ бол

$TA$ -г ол.

A.

$8$ B.

$5.5$ C.

$5$ D.

$4$ E.

$6$

Шүргэгч ба хөвчийн урт

$O$ төвтэй тойргийн

$T$ цэг дээрх шүргэгч дээр

$T$ цэгийн нэг талд байрлах

$P$ ,

$Q$ цэгүүд авав (

$PT< QT$ ).

$OP$ ,

$OQ$ хэрчмүүдийн тойрогтой огтлолцох цэгийг харгалзан

$R$ ,

$S$ ,

$\measuredangle OQT=\theta$ гэвэл

$\lim \limits _{P\rightarrow T}\dfrac{RS}{PQ}=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}\sin \theta}{\sqrt{1+\sin \theta }}$ болно.
$\lim \limits _{P\rightarrow T}\dfrac{RS}{PQ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ байх үеийн $\theta$ -ийн утга нь $\fbox{bc}^{\circ}$ байна.

Бодлого №2622

$R$ радиустай тойргийн диаметр нь зөв гурвалжны нэг тал болно. Гурвалжны тойрог доторх хэсгийн талбайг ол.

Бодлого №2636

Ижил радиустай хоёр тойрог

$C$ цэгээр гадаад байдлаар шүргэлцэнэ. Үүнээс гадна энэ 2 тойрог

$A$ ба

$B$ цэгээр

$6,5$ радиустай

$3$ дахь тойрогтой гадаад байдлаар шүргэлцэнэ.

$AB=5$ бол

$ABC$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2642

$R$ радиустай тойрогт адил хажуут

$ABC$ (

$AB=BC$ ) адил хажуут гурвалжин багтах ба

$\angle BAC=\alpha$ .

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2643

Тойрог

$O$ оройтой өнцгийг

$A, B$ цэгүүдээр шүргэнэ. Энэ тойрог дээр

$AOB$ гурвалжин дотор

$C$ цэг авав.

$C$ цэгээс

$A$ ба

$B$ цэгүүд хүртэлх зайнууд харгалзан

$a$ ба

$b$ бол

$C$ цэгээс

$AB$ хөвч хүртэлх зайг ол.

Бодлого №2770

$K, L, M, N, P$ цэгүүд

$2\sqrt {2}$ радиустай тойрог дээр дээрх дарааллаараа байрласан байв. Хэрэв

$LM\parallel KN$ ,

$KM\parallel NP$ ,

$MN\parallel LP$ ,

$\angle LOM=45^{\circ}$ ба

$O$ нь

$LN$ ба

$MP$ хөвчүүдийн огтолцлын цэг бол

$KLM$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2773

$A$ ба

$B$ цэгүүдэд төвтэй харгалзан

$2$ ба

$1$ радиустай 2 тойрог бие биенээ шүргэж байв. Энэ 2 тойргийг зэрэг шүргэх шулуун дээр

$C$ цэг байрласан ба

$AB$ хэрчмийн дунджаас

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ зайд байв. Хэрэв

$S>2$ бол

$ABC$ гурвалжны талбай

$S$ -г ол.

Бодлого №2774

Тойргийн диаметр

$MN$ -ийн урт 16. Энэ тойргийн

$M$ цэгт татсан шүргэгч шулуун дээр

$MP$ хэрчмийн урт 15-аас их байхаар

$P$ цэг авав.

$P$ цэгийг дайруулан өөр нэг шүргэгч шулуун татахад тэр нь

$MN$ шулуунтай

$Q$ цэгт огтлолцов. Хэрэв

$MPQ$ гурвалжны периметр 72 бол түүний талбайг ол.

Бодлого №2775

$O$ төвтэй тойрогт

$ABCD$ трапец багтав.

$AD\parallel BC$ ,

$AD=7$ ,

$BC=3$ ,

$\angle BCD=120^{\circ}$ ,

$BM$ хөвч нь

$AD$ хэрчмийг

$N$ цэгт огтолж

$ND=2$ байв.

$BOM$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2776

$O$ төвтэй тойрогт

$ABCD$ трапец багтжээ.

$AB\parallel DC$ ,

$AB=5$ ,

$DC=1$ ,

$\angle ABC=60^{\circ}$ . Мөн

$K$ цэг

$AB$ хэрчид харъяалагдах ба

$AK=2$ байв.

$CK$ шулуун тойргийг

$C$ -ээс гадна

$F$ цэгээр огтлох бол

$OFC$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2777

$ABCD$ ба

$ACDE$ трапецуудын

$AC$ ба

$AD$ их сууриуд тэнцүү бөгөөд эдгээр трапецууд нэг тойрогт багтсан байв. Хэрэв

$ABCD$ трапецийн диагоналуудын огтлолцлын цэг нь

$O$ ба

$ADE$ гурвалжны талбай

$1+\sqrt {3}$ ,

$\angle COD=60^{\circ}$ бол тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2800

$ABC$ гурвалжны

$AB$ тал дээр орших

$M$ ба

$N$ цэгүүдэд төвтэй 2 тойрог бие биенээ шүргэнэ. Эдгээр тойргууд

$AC$ ба

$BC$ талуудыг харгалзан

$A, P$ ба

$B, Q$ цэгүүдээр огтлох ба

$AM=PM=2$ ,

$BN=QN=5$ байв. Хэрэв

$AQN$ гурвалжны талбайг

$MPB$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцаа

$15\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ ба

$AP=\dfrac25QB\sqrt{\dfrac{2+\sqrt3}{3}}$ бол

$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2801

2 тойрог

$K$ ба

$L$ цэгүүдээр огтлолцох ба тойргийн төвүүд нь

$KL$ шулууны нэг талд нь байрлана.

$A$ ба

$B$ цэгүүд өөр өөр тойрог дээр орших бөгөөд

$AK$ шулуун нь нэг тойргийг нь

$K$ цэгт шүргэх ба

$BK$ шулуун нөгөө тойргийг нь мөн адил

$K$ цэгт шүргэнэ.

$AL$ хэрчмийн урт 3,

$BL$ хэрчмийн урт 6 ба

$AKB$ өнцгийн тангенс

$-0.5$ бол

$AKB$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2803

2 тойрог

$A$ ба

$K$ цэгүүдээр огтлолцох ба тойргийн төвүүд нь

$AK$ шулууны өөр өөр талд нь байрлана.

$B$ ба

$C$ цэгүүд өөр өөр тойрог дээр орших бөгөөд

$AB$ шулуун нь нэг тойргийг нь

$A$ цэгт шүргэх ба

$AC$ шулуун нөгөө тойргийг нь мөн адил

$A$ цэгт шүргэнэ.

$BK$ хэрчмийн урт 1,

$CK$ хэрчмийн урт 4 ба

$CAB$ өнцгийн тангенс

$\dfrac{1}{\sqrt{15}}$ бол

$ABC$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2804

Төвүүд нь

$MPN$ гурвалжны

$MN$ тал дээр байрлах, бие биеэ гадаад байдлаар шүргэх тойргууд

$MP$ ба

$PN$ талуудыг харгалзан

$M, D$ ба

$N, C$ цэгүүдээр огтолно. Тойргуудын төвүүд нь харгалзан

$O_1$ ,

$O_2$ ба

$MO_1=O_1D=3$ ,

$NO_2=CO_2=6$ байв. Хэрэв

$MCO_2$ гурвалжны талбайг

$O_1DN$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцаа

$\dfrac85\sqrt3$ ба

$PN=MP\sqrt{2-\sqrt3}$ бол

$MNP$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2806

$r$ ба

$R$ (

$r< R$ ) радиустай 2 тойргийн нэг дотоод ерөнхий шүргэгч нь нэг гадаад ерөнхий шүргэгчид перпенпикуляр байв. Эдгээр шүргэгчүүд ба өөр нэг дотоод ерөнхий шүргэгчээр үүсэх гурвалжны талбайг ол.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндрөөр хуваагдсан хэсгүүд

5 нэгж радиустай тойрог багтаасан тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз шүргэлтийн цэгээр 10, 15 нэгж урт хэсгүүдэд хуваагдсан бол өндрийн сууриар ямар урттай хэсгүүдэд хуваагдах вэ?

A. 12, 13 B. 11, 14 C. 10, 15 D. 9, 16 E. 8, 1

Бодлого №7750

15, 20 нэгж урт катетуудтай тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн төвөөс гипотенузэд буулгасан өндөр хүртэлх зай аль нь вэ?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 E. 6

Геометрийн бодлого хариунаас бодох

$ABC$ гурвалжины багтаасан тойргийн радиус

$R$ , багтсан тойргийн төв

$J$ ,

$\measuredangle CAB=\alpha$ ,

$\measuredangle ABC=\beta$ ,

$\measuredangle BCA=\gamma$ бол

$AJ$ хэрчмийн урт ямар байх вэ?

A.

$2R\cos\alpha$ B.

$R\sin\alpha$ C.

$4R\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2$ D.

$4R\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\gamma}2$ E.

$2R\sin\alpha$

Бодлого №7766

$ABC$ гурвалжны багтаасан тойргийн радиус

$R$ ,

$\measuredangle CAB=\alpha$ ,

$\measuredangle ABC=\beta$ ,

$\measuredangle BCA=\gamma$ бол

$A$ оройгоос

$B$ ,

$C$ хоёр оройн гадаад өнцгийн биссектрисийн огтлолцол хүртэлх зай аль нь вэ?

A.

$4R\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2$ B.

$2R\sin\frac{\alpha}2$ C.

$2R\cos\frac{\alpha}2$ D.

$4R\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\gamma}2$

Бодлого №7767

$ABC$ гурвалжны багтаасан тойргийн радиус

$R$ ,

$\measuredangle CAB=\alpha$ ,

$\measuredangle ABC=\beta$ ,

$\measuredangle BCA=\gamma$ байжээ. Хэрэв

$B$ ,

$C$ орой дахь гадаад өнцгийн биссектрисийн огтлолцсон цэг

$J_1$ бол

$BJ_1$ хэрчмийн урт ямар байх вэ?

A.

$4R\sin\frac{\alpha}2\cos\frac{\gamma}2$ B.

$4R\sin\frac{\gamma}2\cos\frac{\alpha}2$ C.

$2R\cos\frac{\beta}2$ D.

$2R\sin\frac{\alpha}2$

Бодлого №7768

$R$ радиустай тойрогт багтсан

$ABC$ гурвалжны

$\measuredangle CAB\mbox{=}\alpha$ ,

$\measuredangle ABC=\beta$ ,

$\measuredangle BCA=\gamma$ бол багтсан тойргийн радиус ямар байх вэ?

A.

$2R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ B.

$2R\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$ C.

$4R\sin\frac{\alpha}2\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\gamma}2$ D.

$4R\cos\frac{\alpha}2\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2$

Бодлого №7769

$R$ радиустай тойрогт багтсан

$ABC$ гурвалжны

$\measuredangle CAB=\alpha$ ,

$\measuredangle ABC=\beta$ ,

$\measuredangle BCA=\gamma$ бол

$BC$ талын гадуур багтсан тойргийн радиусын урт аль вэ?

A.

$4R\sin\frac{\alpha}2\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2$ B.

$4R\cos\frac{\alpha}2\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\gamma}2$ C.

$4R\tg\frac{\alpha}2$ D.

$4R\ctg\frac{\alpha}2$

Бодлого №7770

$ABC$ гурвалжны

$C$ оройгоос, багтсан тойргийн

$AC$ талыг шүргэсэн цэг хүртэлх зай

$p-c$ ,

$\measuredangle CBA=\beta$ бол

$BC$ талын гадуур багтсан тойргийн радиус аль вэ?

A.

$(p-c)\ctg\frac{\beta}2$ B.

$(p-c)\tg\frac{\beta}2$ C.

$(p-c)\sin\frac{\beta}2$ D.

$(p-c)\cos\frac{\beta}2$

Бодлого №7771

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог

$AB$ талыг

$M$ цэгт шүргэнэ. Хэрэв гурвалжны талбай 60 кв.нэгж,

$AM:MB=8:5$ ,

$AB=AC$ бол

$A$ оройгоос багтсан тойргийн төв хүртэлх зай хэд байх вэ?

A. 18 B.

$\frac{35}2$ C.

$\frac{26}3$ D.

$\frac{84}5$

Бодлого №7772

$BC>CA=AB$ байх

$ABC$ гурвалжинд багтсан

$\frac{4\sqrt5}5$ радиустай тойрог

$AB$ талыг

$AM:MB=1:2$ байх

$M$ цэгт шүргэсэн бол

$A$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн урт хэд байх вэ?

A.

$4\sqrt5$ B. 6 C.

$3\sqrt2$ D.

$2\sqrt5$

Бодлого №7773

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв

$J$ , багтаасан тойргийн радиус

$R$ байжээ. Хэрэв

$\measuredangle BAC=\alpha$ бол

$BC$ талын гадуур багтсан тойргийн төвөөс

$J$ хүртэлх зай аль вэ?

A.

$4R\sin\frac{\alpha}2$ B.

$4R\sin\alpha$ C.

$2R\cos\alpha$ D.

$2R\cos\frac{\alpha}2$

Бодлого №7774

$ABC$ гурвалжны багтаасан тойргийн радиус

$R$ ,

$\measuredangle ABC=\beta$ ,

$\measuredangle BCA=\gamma$ ,

$\measuredangle CAB=60^\circ$ ,

$BC$ талын гадуур багтсан тойргийн төв

$J$ бол

$JBC$ гурвалжны талбай аль вэ?

A.

$3R^2\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2$ B.

$\sqrt3R^2\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2$ C.

$3R^2\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\gamma}2$ D.

$\sqrt3R^2\sin\frac{\beta}2\sin\frac{\gamma}2$

Бодлого №7775

$ABC$ гурвалжны

$BC$ талыг шүргэсэн

$R$ радиустай хагас тойргийн

$AB$ ,

$AC$ хоёр талтай огтлолцсон цэг нь

$BC$ талтай параллель диаметрийн хоёр үзүүр байжээ. Хэрэв

$h:R=m:n$ , үүнд

$h$ нь

$BC$ талд буусан өндөр бол

$BC$ талын урт ямар байх вэ?

A.

$\frac{mR}{m+n}$ B.

$\frac{2mR}{|m-n|}$ C.

$\frac{2mR}{m+n}$ D.

$\frac{mR}{|m-n|}$

Бодлого №7776

$ABC$ гурвалжны

$BC$ талыг шүргэсэн тойргийн

$AB$ ,

$AC$ талтай огтлолцсон цэгүүд нь

$BC$ талтай параллель диаметрийн хоёр үзүүр байжээ. Хэрэв

$BC=a$ , түүнд буусан өндрийн урт

$h$ байсан бол тойргийн радиус ямар байх вэ?

A.

$\frac{ah}{a+2h}$ B.

$\frac{ah}{a+h}$ C.

$\frac{ah}{|a-h|}$ D.

$\frac{ah}{2a-h}$

Бодлого №7777

$ABC$ гурвалжны

$BC$ талын медианы суурь

$M$ ,

$AB=10$ ,

$AC=6$ бол

$ABM$ ,

$ACM$ хоёр гурвалжинд багтсан тойргийн

$AM$ -ийг шүргэсэн цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Бодлого №7778

$AB=AC$ гурвалжны

$BC$ талыг

$M$ цэг 5, 9 урттай хэсгүүдэд хуваасан бол

$ABM$ ,

$ACM$ хоёр гурвалжинд багтсан тойргийн

$AM$ талтай шүргэлцсэн цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

Бодлого №7779

20 дм периметртэй

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн

$BC$ талтай параллель шүргэгчийн, гурвалжин дотор орших хэрчмийн урт 24 см бол

$BC$ талын урт аль вэ?

A. 3 дм, 60 см B. 40 см, 6 дм C. 8 дм, 4 дм D. 6 дм, 8 дм

Бодлого №7780

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн

$AB$ талтай параллель шүргэгч

$CA$ ,

$BC$ хоёр талыг

$M$ ,

$N$ цэгт огтолжээ. Хэрэв

$MCN$ гурвалжны периметр 24 см,

$MN=6$ см бол

$AB$ талын урт хэдэн см байх вэ?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

Бодлого №7782

24 см суурьтай адил хажуут гурвалжинд багтсан тойрогт, гурвалжны тал тус бүртэй параллель шүргэгч татахад үүссэн гурван жижиг гурвалжны периметрийн нийлбэр 9.6 дм бол хажуу талын урт нь хэдэн см байх вэ?

A. 40 B. 38 C. 36 D. 34 E. 32

Бодлого №7783

Гурвалжны

$60^\circ$ өнцгийн эсрэг орших тал 16 см, багтсан тойргийн радиус 4 см бол талбай нь хэд вэ?

A.

$64+\frac{16}{\sqrt3}$ B.

$64+16\sqrt3$ C.

$64$ D. ийм гурвалжин байхгүй

Бодлого №7784

3 нэгж радиустай тойрог багтаасан гурвалжны талбай 36 кв.нэгж бол

$2\arctg\frac12$ өнцгийн эсрэг орших тал хэдэн нэгж байх вэ?

A.

$\frac{15}2$ B.

$\frac{21}2$ C. 8 D. 6

Бодлого №7786

3 нэгж радиустай тойрог багтаасан тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 15 нэгж бол хурц өнцгүүд нь хэд хэд вэ?

A.

$\arcsin\frac35, \arcsin\frac45$ B.

$\arcsin\frac5{13}, \arcsin\frac{12}{13}$ C.

$\arctg\frac34, \arctg\frac{12}5$ D.

$\arctg\frac43, \arctg\frac5{12}$

Бодлого №7787

$BC=10$ ,

$CA=7$ ,

$AB=9$ талтай гурвалжны

$BC$ тал дээр

$D$ цэгийг

$ABD$ ,

$ACD$ хоёр гурвалжинд багтсан тойрог шүргэлцэж байхаар авсан бол

$BD$ хэрчмийн урт ямар байх вэ?

A. 6 B. 5 C. 7 D. 4

Бодлого №7788

$BC=13$ ,

$AB=15$ гурвалжны

$BC$ тал дээр

$D$ цэгийг

$ABD$ ,

$ACD$ гурвалжинд багтсан тойргууд шүргэлцэж байхаар авахад

$CD=4$ байсан бол

$AC$ талын урт аль нь вэ?

A. 8 B. 10 C. 5 D. 4

Бодлого №7789

$R$ радиустай тойрогт багтсан хурц өнцөгт

$ABC$ гурвалжны

$A$ оройгоос татсан

$AH$ өндрийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой

$A_1$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв

$\measuredangle ABC=\beta$ ,

$\measuredangle ACB=\gamma$ бол

$AA_1$ хэрчмийн урт аль нь вэ?

A.

$2R\sin\beta\sin\gamma$ B.

$2R\cos(\gamma-\beta)$ C.

$2R\sin(\beta+\gamma)$ D.

$2R\sin(\beta-\gamma)$

Бодлого №7790

$R$ радиустай тойрогт багтсан хурц өнцөгт

$ABC$ гурвалжны

$A$ оройгоос татсан өндрийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой

$D$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв орто төвөөс

$D$ цэг хүртэлх зай

$2R\cos\gamma$ байсан бол

$\measuredangle ABC$ аль нь вэ?

A.

$60^\circ$ B.

$30^\circ$ C.

$45^\circ$ D.

$36^\circ$

Бодлого №7791

Тэгш өнцөгт гурвалжны

$AB$ гипотенуз

$2\sqrt{\sqrt3+1}$ , түүнд налсан өнцгүүд

$30^\circ$ ,

$60^\circ$ , багтсан тойргийн төв

$J$ бол

$JAB$ гурвалжны талбай ямар байх вэ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Бодлого №7792

$ABC$ гурвалжны

$\measuredangle BAC=\alpha$ , багтаасан тойргийн радиус

$R$ , багтсан тойргийн төв

$J$ бол

$JBC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус аль нь вэ?

A.

$2R\cos\frac{\alpha}2$ B.

$R\sin\frac{\alpha}2$ C.

$R\tg\alpha$ D.

$2R\sin\frac{\alpha}2$

Бодлого №7793

10 см радиустай тойрогт багтсан адил хажуут гурвалжны суурь, түүнд буусан өндөр хоёрын нийлбэр диаметртэй нь тэнцүү бол суурь нь хэдэн см вэ?

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

Бодлого №7794

Гурвалжныг багтаасан тойргийн нэг диаметр талыг 4 см, 6 см хэсгүүдэд хувааж, уг талтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэсэн бол тойргийн радиус хэдэн см вэ?

A.

$2\sqrt5$ B. 5 C.

$2\sqrt{3}$ D. 9 E.

$2\sqrt7$

Бодлого №7795

Тэгш өнцөгт гурвалжны богино катет диаметр нь болсон хагас тойрог, тэр катетад налсан хурц өнцгийн биссектрисийг 3:1 харьцаатай хэсгүүдэд хуваасан бол энэ өнцөг аль нь вэ?

A.

$60^\circ$ B.

$30^\circ$ C.

$75^\circ$ D.

$45^\circ$

Бодлого №7796

Тэгш өнцөгт гурвалжны богино катет диаметр нь болсон тойрог гипотенузийг 3:1 харьцаатай хэсгүүдэд хуваасан бол энэ катетад налсан хурц өнцөг аль нь вэ?

A.

$60^\circ$ B.

$30^\circ$ C.

$75^\circ$ D.

$45^\circ$

Бодлого №7797

$ABC$ гурвалжны

$A,B,C$ оройн дотоод өнцгийн биссектрис багтаасан тойрогтой харгалзан

$A_1,B_1,C_1$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв

$\overset{\smile}{B_1C_1}:\overset{\smile}{C_1A_1}:\overset{\smile}{A_1B_1}=15:14:7$ бол багтсан тойргийн төвөөс гурвалжны талууд ямар ямар өнцгөөр харагдах вэ?

A.

$105^\circ, 110^\circ, 145^\circ$ B.

$100^\circ, 115^\circ, 145^\circ$ C.

$105^\circ, 115^\circ, 135^\circ$ D.

$110^\circ, 120^\circ, 130^\circ$

Бодлого №7798

$ABC$ гурвалжны

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ талд тулсан багтаасан тойргийн нумууд

$5:15:12$ харьцаатай бол багтсан тойргийн төвөөс тал тус бүрийн харагдах өнцөг хэдэн градус вэ?

A.

$120^\circ30', 122^\circ30', 135^\circ$ B.

$105^\circ, 110^\circ, 145^\circ$ C.

$140^\circ30', 110^\circ30', 145^\circ$ D.

$123^\circ45', 104^\circ3'45'', 132^\circ11'15''$

Бодлого №7799

6 см,

$3\sqrt5$ см катеттай гурвалжны тэгш өнцгийн орой дээр төвтэй 6 см радиустай тойргийн гипотенуз дээр орших хөвчийн урт хэдэн см вэ?

A. 8 B. 7 C.

$4\sqrt3$ D.

$2\sqrt5$

Бодлого №7800

Тэгш өнцөгт

$ABC$ гурвалжны катетууд

$BC=a< b=AC$ байжээ.

$C$ төв,

$a$ радиустай тойрог гипотенузийг

$D$ цэгт огтолсон бөгөөд

$ADC$ ,

$BDC$ гурвалжнууд адил хажуутай байсан бол

$ABC$ гурвалжны хурц өнцгүүдийн хэмжээ аль вэ?

A.

$15^\circ, 75^\circ$ B.

$20^\circ, 70^\circ$ C.

$25^\circ, 65^\circ$ D.

$30^\circ, 60^\circ$

Бодлого №7801

$ABC$ гурвалжны хамгийн богино тал

$BC=a$ байжээ.

$C$ төвтэй

$a$ радиустай тойрог

$AB$ талыг

$D$ цэгт огтолно.

$AD$ нь

$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиустай тэнцүү байсан бол дотоод гурван өнцгийн хамаарал аль нь вэ?

A.

$7\alpha-5\beta+\gamma=0$ B.

$5\alpha-2\beta+\gamma=0$ C.

$3\alpha-2\beta+2\gamma=0$ D.

$4\alpha-3\beta+\gamma=0$ E.

$4\alpha+3\beta+\gamma=0$

Бодлого №7802

$R$ радиустай тойрогт багтсан

$ABC$ гурвалжны

$BC=a$ ,

$\measuredangle CAB=\alpha$ ,

$\measuredangle ABC=\beta$ байжээ. Хэрэв

$AB$ тал дээр

$AD=2R\sin(\beta-\alpha)$ байхаар

$D$ цэг авсан бол

$CD$ ямар урттай вэ?

A.

$2a\cos\beta$ B.

$R\cos\beta-a$ C.

$a\cos\beta$ D.

$a$

Бодлого №7803

15 см гипотенузтэй тэгш өнцөгт гурвалжны талбай

$54 \mbox{см}^2$ бол багтсан тойргийн диаметрын урт аль нь вэ?

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

Бодлого №7804

3 см радиустай тойрог багтаасан тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузэд буусан өндөр 80 мм бол гипотенузийн урт аль нь вэ?

A. 12 см B. 11 мм C. 6 см D. 90 мм

Бодлого №7805

Тэгш өнцөгт

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог

$AC$ катетыг

$AD:DC=2:1$ харьцаагаар хуваах

$D$ цэгт шүргэжээ.

$AB=10$ нэгж бол

$AC$ хэдэн нэгж вэ?

A. 6 B.

$2\sqrt3$ C. 4 D.

$3\sqrt2$

Бодлого №7806

Тэгш өнцөгт

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог

$BC$ ,

$CA$ катетуудыг харгалзан

$D$ ,

$E$ цэгт шүргэжээ. Хэрэв

$AE:EC=5:3$ бол

$CD:DB$ ямар байх вэ?

A. 1:4 B. 3:2 C. 2:1 D. 4:3

Бодлого №7807

Зөв

$ABC$ гурвалжин багтаасан

$R$ радиустай тойргийн төвийг дайрсан

$\ell$ шулуун татахад, гурвалжны гурван оройгоос

$\ell$ шулуун хүртэлх зайн квадратуудын нийлбэр тогтмол байдаг бол тэр нийлбэрийг

$R=2$ см байхад ол.

A. 6 B. 9 C. 12 D. 8

Бодлого №7808

Тойргийн аль ч цэгээс түүнд багтсан зөв гурвалжны гурван орой хүртэлх зайн нэг нь нөгөө хоёрын нийлбэртэй тэнцдэг.

$R=\sqrt6-\sqrt2$ радиустай тойрогт багтсан зөв

$ABC$ гурвалжин өгсөн бол

$\overset{\smile}{BP}:\overset{\smile}{PC}=1:3$ байх

$P$ цэг авахад

$BP+PC$ аль нь вэ?

A. 5 B. 3 C. 2 D. 1

Бодлого №7809

Адил хажуут гурвалжны суурь 6, хажуу тал 10 нэгж бол багтсан тойргийн хоёр хажуу талыг шүргэсэн цэгийн хоорондох зай хэдэн нэгж вэ?

A. 5 B. 4.2 C. 4.8 D. 4

Бодлого №7810

Адил хажуут гурвалжны талууд 5, 5, 6 бол багтсан тойргийн хоёр хажуу талыг шүргэсэн цэгийг холбоход үүссэн жижиг гурвалжны талбай хэдэн кв.нэгж вэ?

A. 3 B. 1.92 C. 2.8 D. 1.52 E. 1.44

Бодлого №7811

$AB=6$ ,

$AC=4$ талтай гурвалжинд багтсан тойргийн төв

$J$ ,

$S_{JCA}=S_B$ ,

$S_{JAB}=S_C$ гэвэл

$S_B:(S_B+S_C)$ ямар байх вэ?

A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 1:4

Бодлого №7812

$BC=a$ ,

$CA=b$ ,

$AB=c$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв

$J$ ,

$S_{JBC}=S_A$ байхад

$S_A=\frac13S_{ABC}$ бол гурвалжны талуудын хамаарал аль нь вэ?

A.

$a^2=bc$ B.

$\frac2a=\frac1b+\frac1c$ C.

$2a=b+c$ D.

$3a=b+c$

Бодлого №7813

$CA=CB$ байх

$ABC$ гурвалжны

$A$ оройд төвтэй

$AB$ радиустай тойрог

$BC$ талыг

$D$ цэгт огтолжээ. Хэрэв

$\measuredangle DAC=18^\circ$ бол

$\measuredangle BCA$ аль нь вэ?

A.

$40^\circ$ B.

$45^\circ$ C.

$50^\circ$ D.

$48^\circ$

Бодлого №7814

Ерөнхий

$AC$ талтай

$ABC$ ,

$ADC$ хоёр гурвалжны

$AD$ тал

$BAC$ өнцгийн,

$BC$ тал

$ACD$ өнцгийн биссектрис байв. Хэрэв

$BC$ ,

$AD$ талууд

$E$ цэгт огтлолцсон бөгөөд

$\measuredangle ABC=40^\circ$ ,

$\measuredangle CEA=80^\circ$ бол

$\measuredangle CDA$ хэдэн градус вэ?

A.

$20^\circ$ B.

$50^\circ$ C.

$45^\circ$ D.

$40^\circ$

Бодлого №7815

216 см

$^2$ талбайтай гурвалжны хоёр өндөр 18 см, 24 см бол үлдсэн өндөр хэдэн см вэ?

A. 24.5 B. 26.4 C. 14.4 D. 27

Бодлого №7816

$ABC$ гурвалжны

$BC$ ,

$CA$ талын гадуур багтсан хоёр тойргийн радиус 2 см, 6 см бол

$AB$ талд буусан өндөр хэдэн см вэ?

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Бодлого №7817

Гурвалжны гурван өндөр 40 см, 45 см, 72 см бол гадуур багтсан гурван тойргийн радиус хэд хэдэн см вэ?

A. 30, 40, 60 B. 40, 60, 90 C. 30, 40, 90 D. 30, 60, 90

Бодлого №7818

Гурвалжны гадуур багтсан гурван тойргийн радиус 8 см, 12 см, 24 см бол гурван өндөр хэд хэдэн см вэ?

A.

$\frac{25}2, 12, 16$ B.

$\frac{24}5, 14, 16$ C.

$\frac{48}5, 12, 16$ D.

$\frac{48}5, 12, 14$

Диаметртэй параллель хөвч

$10$ нэгж радиустай тойргийн диаметр дээр

$C$ цэг өгсөн ба

$AB$ хөвч нь уг диаметртэй параллель байв. Хэрэв

$\measuredangle ACB=90^{\circ}$ ,

$\measuredangle CAB=75^{\circ}$ байсан бол

$C$ цэгээс

$AB$ хэрчим хүртлэх зай

$h=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ болно. Мөн

$ABC$ гурвалжны талбай

$\fbox{cd}$ ,

$AB=\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}$ байна.

Бодлого №7892

$4\sqrt{7}$ нэгж радиустай тойргийн диаметр дээр

$C$ цэг өгсөн ба

$AB$ хөвч нь уг диаметртэй параллель байв. Хэрэв

$\measuredangle ACB=90^{\circ}$ ,

$\measuredangle CAB=60^{\circ}$ байсан бол

$C$ цэгээс

$AB$ хэрчим хүртлэх зай

$h=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ болно. Мөн

$ABC$ гурвалжны талбай

$\fbox{cd}\sqrt{\fbox{e}}$ ,

$AB=\fbox{fg}$ байна.

Гурвалжны талуудыг шүргэх тойрог

$ABC$ гурвалжны

$AB$ талын урт

$4$ ба

$AB$ тал дээр

$O$ төв нь орших,

$AC$ ,

$BC$ талуудыг

$O_1$ ,

$O_2$ цэгт шүргэх тойргийн радиус

$\dfrac{3}{10}\sqrt{15}$ ,

$AO=\dfrac{12}{5}$ бол

$\cos\measuredangle{ABC}=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ ,

$\dfrac{S_{BOO_2}}{S_{AOO_1}}=\dfrac{\fbox{ef}}{21}$ байна. Мөн

$\sin\measuredangle{BAC}=\dfrac{\sqrt{15}}{\fbox{g}}$ ,

$CO=\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{i}}\sqrt{6}$ болно.

Бодлого №7926

$ABC$ гурвалжины

$AC$ талын урт

$3$ ба төв

$O$ нь

$AC$ тал дээр оршин

$AC$ тал ба

$BC$ талыг

$O_1$ ,

$O_2$ цэгт шүргэх тойргийн радиус

$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ,

$AO=2$ бол

$\cos\widehat{BCA}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ ,

$\dfrac{S_{COO_2}}{S_{AOO_1}}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ байна. Мөн

$\sin\widehat{BAC}=\dfrac{\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ ,

$CO=\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{i}}\sqrt{10}$ болно.

Бодлого №7930

$AB=1$ ,

$AC=3$ катетууд бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг

$r$ ,

$AC$ талыг шүргэн гадуур багтсан тойргийн радиусыг

$R_{b}$ гэвэл

$r=3(\fbox{a}-\sqrt{\fbox{bc}} )/4$ ,

$R_{b}=13(\sqrt{\fbox{de}}+2)/{6}$ байна. Энэ хоёр тойргийн

$BC$ талыг шүргэх цэгүүдийг

$E_1$ ,

$E_2$ гэвэл

$E_1E_2=\dfrac{\fbox{fg}\sqrt{10}+\fbox{hi}}{12}$ болно.

Бодлого №7954

$AC$ нь

$O$ цэгт төвтэй, нэгж радиустай тойргийн диаметр ба тойргийн

$А$ ,

$C$ -ээс ялгаатай

$P$ цэгийг авав.

$O$ ,

$Q$ цэгүүд

$PC$ хэрчмийн хоёр талд орших ба

$PQC$ нь зөв гурвалжин үүсгэж байв.

$PQ$ ,

$CQ$ хэрчмүүд болон

$PC$ нумаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$S$ хамгийн их байх үед гурвалжны талын урт

$\sqrt{\fbox{a}}$ байна. Энэ үед

$S=\sqrt{\fbox{b}}-\dfrac{\pi}{ \fbox{c}}$ байна.

$S=\sqrt{3}/2-1/2-\pi/12$ үед

$PQ=\sqrt{\fbox{d}-\sqrt{\fbox{e}}}$ ба

$\measuredangle PAC=\dfrac{\pi}{\fbox{f}}$ болно.

Бодлого №7979

$4$ радиустай тойрог дээр

$A$ ,

$B$ ,

$C$ цэгүүд авчээ.

$|AB|=|BC|$ ,

$\measuredangle ABC=100^\circ$ байсан ба

$AB$ шулуун

$C$ цэгт татсан тойргийн шүргэгчийг

$D$ цэгээр огтолж байв.

$\measuredangle ADC=\fbox{ab}^\circ$ ба

$|AB|=\fbox{c}\sin \fbox{de}^\circ$ болох тул

$AB$ богино нумын урт

$\dfrac{\fbox{fg}}{9} \pi$ байна.

Тойрог ба өнцөг

$4$ радиустай тойрог дээр

$A$ ,

$B$ ,

$C$ цэгүүд авчээ.

$|AB|=|BC|$ ,

$\measuredangle ABC=110^\circ$ байсан ба

$AB$ шулуун

$C$ цэгт татсан тойргийн шүргэгчийг

$D$ цэгээр огтолж байв.

$\measuredangle ADC=\fbox{ab}^\circ$ ба

$|AB|=\fbox{c}\sin \fbox{de}^\circ$ болох тул

$AB$ богино нумын урт

$\dfrac{\fbox{f}}{18} \pi$ байна.

Бодлого №2627

Дугуй ба квадрат ерөнхий төвтэй бөгөөд ижил талбайтай. Квадратын тал

$1$ бол тойргийн квадрат доторх хэсгүүдийн нийлбэр уртыг ол.

Бодлого №2634

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналууд

$E$ цэгт огтлолцоно.

$AC$ шулуун дээр

$M$ цэг авахад

$\angle DME=80^\circ$ ,

$\angle ABD=60^\circ$ ,

$\angle CBD=70^\circ$ байв.

$M$ цэг

$AC$ диагонал дээр үү, эсвэл түүний үргэлжлэл дээр байрлах уу? Хариултаа үндэслэ.

Бодлого №2644

Тойрогт багтсан

$PQRS$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналууд

$D$ цэгт огтлолцоно.

$PR$ шулуун дээр

$A$ цэг авахд

$\angle SAD=50^\circ$ ,

$\angle PQS=70^\circ$ ,

$\angle RQS=60^\circ$ байв.

$A$ цэг хаана байрлах вэ?

$PR$ диагонал дээр үү, эсвэл түүний үргэлжлэл дээр үү? Хариултыг үндэслэ.

Бодлого №2646

$\sqrt5$ радиустай хагас дугуй дотор

$2$ орой нь хагас тойргийн диаметр дээр байх квадрат багтав. Квадратын талын уртыг ол.

Бодлого №2648

$120^\circ$ нумаар үүсэх дугуйн сегментэд

$\sqrt{19}-2$ радиустай квадрат багтав. Дугуйн радиусыг ол.

Багтаасан адил хажуут трапец

$r$ радиустай тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн сууриуд

$m:n$ харьцаатай бол хажуу талын урт ямар байх вэ?

A.

$\dfrac{2r^2}{\sqrt{mn}}$ B.

$\dfrac{r(m+n)}{\sqrt{mn}}$ C.

$\dfrac{r|m-n|}{\sqrt{mn}}$ D.

$\dfrac{r\sqrt{m^2+n^2}}{m+n}$ E.

$\dfrac{r^2}{\sqrt{mn}}$

Бодлого №7748

$r$ радиустай тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн сууриуд

$m:n$ харьцаатай бол дундаж шугамын урт аль нь вэ?

A.

$\dfrac{r(m+n)}{\sqrt{mn}}$ B.

$\dfrac{r(m+n)}{2\sqrt{mn}}$ C.

$\dfrac{r\sqrt{m^2+n^2}}{2(m+n)}$ D.

$r\cdot\dfrac{|m-n|}{\sqrt{mn}}$ E.

$\dfrac{r\sqrt{mn}}{2(m+n)}$

Квадратыг багтаасан ба квадратад багтсан тойрог

Квадратыг багтаасаан тойргийн уртыг, уг квадратад багтсан тойргийн уртад харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$2$ B.

$\sqrt2$ C.

$\dfrac{1}{\sqrt2}$ D.

$2\sqrt2$ E.

$\dfrac12$

Бодлого №13876

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$|AB|=2$ ,

$|BC|=3$ ,

$|CD|=1$ ,

$\angle ABC=60^\circ$ бол

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

A.

$3\sqrt{3}$ B.

$\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ C.

$2\sqrt{3}$ D.

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ E.

$\sqrt{3}$

ЭЕШ 2017 D №40

$ABC$ зөв гурвалжны талын урт нь

$7$ . Багтаасан тойргийн

$AC$ нум дээр

$AD=2DC$ байхаар

$D$ цэг авав.

$DC=\sqrt{\fbox{a}}$ тул $AD=\fbox{b}\sqrt{\fbox{a}}$ байна.
$BD=\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$ байна.
$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $\dfrac{\fbox{ef}\sqrt{3}}{4}$ байна.

ЭЕШ 2017 D №40

$ABC$ зөв гурвалжны талын урт нь

$\sqrt{7}$ . Багтаасан тойргийн

$AC$ нум дээр

$2AD=DC$ байхаар

$D$ цэг авав.

$AD=\fbox{a}$ тул $DC=\fbox{b}$ байна.
$BD=\fbox{c}$ байна.
$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $\dfrac{\fbox{d}\sqrt{3}}{\fbox{e}}$ байна.

Бодлого №5641

Тойрогт 2 хөвч

$C$ цэгт огтлолцдог бол

$x+y$ нь хэдэн градус байх вэ?

A.

$40^\circ$ B.

$50^\circ$ C.

$60^\circ$ D.

$160^\circ$ E.

$320^\circ$

Нумд тулсан өнцөг

$A$ ,

$B$ ,

$C$ цэгүүд нь тойргийг

$2:4:6$ харьцаатай нумуудад хуваадаг бол эдгээр цэгүүдээр үүсэх өнцгүүд нь аль вэ?

A.

$15^\circ$ ,

$45^\circ$ ,

$120^\circ$ B.

$30^\circ$ ,

$50^\circ$ ,

$100^\circ$ C.

$30^\circ$ ,

$60^\circ$ ,

$90^\circ$ D.

$20^\circ$ ,

$40^\circ$ ,

$60^\circ$ E.

$30^\circ$ ,

$70^\circ$ ,

$80^\circ$

2018 №A.18

Тойргийг

$1:2:3$ харьцаатай нумуудад хуваав. Хамгийн бага нумд тулсан төв өнцгийг ол.

A.

$20^\circ$ B.

$180^\circ$ C.

$30^\circ$ D.

$120^\circ$ E.

$60^\circ$

Нумд тулсан өнцөг

$A$ ,

$B$ ,

$C$ цэгүүд нь хагас тойргийг

$1:3:8$ харьцаатай нумуудад хуваадаг бол эдгээр цэгүүдээр үүсэх өнцгүүд нь аль вэ?

A.

$15^\circ$ ,

$45^\circ$ ,

$120^\circ$ B.

$30^\circ$ ,

$50^\circ$ ,

$100^\circ$ C.

$10^\circ$ ,

$30^\circ$ ,

$80^\circ$ D.

$20^\circ$ ,

$40^\circ$ ,

$60^\circ$ E.

$30^\circ$ ,

$70^\circ$ ,

$80^\circ$

Бодлого №2620

$r$ радиустай тойргийн төвөөс

$2r$ зайд байрлах

$A$ цэгийг дайруулан тойргийн төвөөс

$r/2$ зайтай шулуун татав. Энэ шулуун тойргийг

$B, C$ цэгээр огтолсон бол

$AB, AC$ -г ол.

Бодлого №2625

$O$ цэгт төвтэй

$R=6+4\sqrt2$ радиустай тойрог өгөгдсөн шулууныг

$A$ цэгт шүргэнэ. Тойрог дээр

$AOB$ өнцөг

$45^\circ$ байхаар

$B$ цэг авав. Тойргийг

$B$ цэгт шүргэдэг бөгөөд өгөгдсөн шулууныг шүргэх тойргийн радиусыг ол.

Шүргэгч ба огтлогч

$AB$ нь

$O$ цэгт төвтэй 2 радиустай тойргийн диаметр байв. Зурагт үзүүлсэн

$PT$ шүргэгч шулуун татахад

$\angle BAT=30^\circ$ байв.

$PB=BT=\fbox{a}$ ба

$PT=\sqrt{\fbox{bc}}$ байна.

2021 B №23

$\frac{dy}{dx}=4x-3$ ба

$P(-1,1)$ цэгийг дайрах муруйг ол.

A.

$y=2x^2-1$ B.

$y=2x^2-3x-4$ C.

$y=4x^2-3x-6$ см D.

$y=2x^2-3x+2$ см E.

$y=4x^2-3x$ см

2019 A №23

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтжээ. Хэрэв

$BC = 12$ см,

$CD = 20$ см,

$\measuredangle BAD = 60^\circ$ бол

$BD$ хэрчмийн уртыг олно уу?

A.

$24$ см B.

$28$ см C.

$26$ см D.

$32$ см E.

$30$ см

2019 A №23

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтжээ. Хэрэв

$BC = 8$ см,

$CD = 7$ см,

$\measuredangle BAD = 60^\circ$ бол

$BD$ хэрчмийн уртыг олно уу?

A.

$13$ см B.

$11$ см C.

$10$ см D.

$12$ см E.

$14$ см

2019 B №23

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтжээ. Хэрэв

$BC = 8$ см,

$CD =7$ см,

$\measuredangle BAD = 60^\circ$ бол

$BD$ хэрчмийн уртыг олно уу?

A.

$13$ см B.

$11$ см C.

$10$ см D.

$12$ см E.

$14$ см

Бодлого №2639

Хоёр тойрог дотоод байдлаар шүргэлцэнэ. Жижиг тойргийн төвийг дайрсан шулуун том тойргийг

$A$ ба

$D$ цэгт огтолно ба жижиг тойргийг В ба С цэгт огтолно. Хэрэв

$AB:BC:CD=2:4:3$ бол том тойргийн радиусийг жижиг тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2640

$O_1$ ба

$O_2$ төвтэй

$32$ радиустай

$2$ тойргууд огтлолцох ба

$O_1O_2$ хэрчмийг огтлох цэгүүд нь уг хэрчмийг гурван тэнцүү хэсэгт хуваана. Өгөгдсөн хоёр тойргийг дотор талаас нь шүргэх тойрог

$O_1O_2$ хэрчмийг ч мөн шүргэх бол энэ тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2675

$R$ ба

$r$ радиустай тойргууд гадаад байдлаар

$A$ цэгт шүргэлцэж байв. Уг хоёр тойргийн ерөнхий шүргэгч

$AD$ ба

$BC$ шулуунууд нь

$D$ цэгт огтлолцох бол

$AD^2=Rr$ гэж батал.

Бодлого №5745

Гурван тойрог хос хосоороо гадаад байдлаар шүргэлцэнэ. Тойргийн төвүүдийн хоорондох зай

$7, 8, 9$ см. Тойргуудын радиусыг ол.

A.

$3, 4, 5$ B.

$4, 5, 6$ C.

$3, 4, 6$ D.

$4, 4, 3$ E.

$4, 5, 7$

Шүргэсэн тойргийн ерөнхий хөвч

Гадна талаараа шүргэлцсэн 2 тойргийн ерөнхий цэгийг дайрсан шулуун дээр орших хоёр хөвчийн нэг нь нөгөөгийн

$\dfrac{m}{n}$ байжээ. Хэрэв 2 тойргийн төвийн хоорондох зай

$a$ бол радиусууд ямар байх вэ?

A.

$\sqrt{an}, \sqrt{am}$ B.

$\dfrac{am}{m+n} , \dfrac{an}{m+n}$ C.

$\dfrac{a(m+n)}{m} , \dfrac{a(m+n)}{n}$ D.

$\dfrac{am}{|m-n|} , \dfrac{an}{|m-n|}$ E.

$\sqrt{m^2-a^2} , \sqrt{n^2-a^2}$

ЭЕШ 2016 C №35

2см ба 18см радиустай 2 тойрог гадаад байдлаар шүргэлцжээ. Тэдгээрийн шүргэлтийн цэгийг дайрахгүй ерөнхий шүргэгч шулууны шүргэлтийн цэгүүд болон уг тойргийн төвүүд дээр оройтой 4-н өнцөгтийн талбайг олоорой.

A.

$125$ B.

$120$ C.

$100$ D.

$150$ E.

$120$

ЭЕШ 2016 D №35

4см ба 16см радиустай 2 тойрог гадаад байдлаар шүргэлцжээ. Тэдгээрийн шүргэлтийн цэгийг дайрахгүй ерөнхий шүргэгч шулууны шүргэлтийн цэгүүд болон уг тойргийн төвүүд дээр оройтой 4-н өнцөгтийн талбайг олоорой.

A.

$165$ B.

$168$ C.

$160$ D.

$150$ E.

$156$

ЭЕШ 2016 A №35

4см ба 1см радиустай 2 тойрог гадаад байдлаар шүргэлцжээ. Тэдгээрийн шүргэлтийн цэгийг дайрахгүй ерөнхий шүргэгч шулууны шүргэлтийн цэгүүд болон уг тойргийн төвүүд дээр оройтой 4-н өнцөгтийн талбайг олоорой.

A.

$12.5$ B.

$7.5$ C.

$10$ D.

$5$ E.

$15$

ЭЕШ 2016 B №35

4см ба 9см радиустай 2 тойрог гадаад байдлаар шүргэлцжээ. Тэдгээрийн шүргэлтийн цэгийг дайрахгүй ерөнхий шүргэгч шулууны шүргэлтийн цэгүүд болон уг тойргийн төвүүд дээр оройтой 4-н өнцөгтийн талбайг олоорой.

A.

$72.5$ B.

$78$ C.

$80$ D.

$65$ E.

$91$

Трапецийн талбай

4см ба 1см радиустай 2 тойрог гадаад байдлаар шүргэлцжээ. Тэдгээрийн шүргэлтийн цэгийг дайрахгүй ерөнхий шүргэгч шулууны шүргэлтийн цэгүүд болон уг тойргийн төвүүд дээр оройтой 4-н өнцөгтийн талбайг олоорой.

A.

$12.5$ B.

$7.5$ C.

$10$ D.

$5$ E.

$15$

Гадаад шүргэлцсэн тойргууд

$3r$ радиустай

$C_1$ тойрог,

$r$ радиустай

$C_2$ тойрогтой гадаад байдлаар

$A$ цэгт шүргэлцэнэ.

$A$ цэгийг үл дайрах

$\ell$ шулуун

$C_1$ тойргийг

$B$ цэгт,

$C_2$ тойргийг

$C$ цэгт шүргэх бол

$BC=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}r$ ;
$\measuredangle BAC=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}$ ;
$AB=\fbox{d}r$ ;
$AC=\sqrt{\fbox{e}}r$ ;
$S_{ABC}=\dfrac{\fbox{f}\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{h}}r^2$

байна.

Монгол Бодлогын Сан

Дугуйн талбай

Огтлогч шулуун

Сектор, сегментийн талбай

Тойргийн гадна оройтой өнцөг

Тойргийн урт

Тойргийн хөвч

Тойргийн шүргэгч

Тойрог ба гурвалжин

Тойрог ба дөрвөн өнцөгт

Тойрог ба өнцөг

Тойрог ба шулуун

Тойрог багтаасан дөрвөн өнцөгт

Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт

Хоёр тойргийн харицлан байршил

Хөвч ба шүргэгчийн хоорондох өнцөг

Шүргэлцсэн тойргууд

Монгол Бодлогын Сан