Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Хязгаар
I гайхамшигт хязгаар
(lim тооны сүүлийн цифрийг ол.
A. 5
B. 7
C. 9
D. 3
E. 1
\Big(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tg 3x}{x}\Big)^{2007} хязгаарыг бодоход гарах тооны сүүлчийн цифрийг ол.
A. 5
B. 7
C. 9
D. 3
E. 1
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+6x+\sin 8x}{\sin4x-8x} хязгаарыг бод.
A. 0
B. -\dfrac72
C. \dfrac78
D. 1
E. -\dfrac34
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2}{\cos2x-1} хязгаарыг бод.
A. 2
B. 0
C. -2
D. -0.5
E. 0.5
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos2x-1}{x^2} хязгаарыг бод.
A. -0.5
B. 0
C. -2
D. 0.5
E. 2
Бутархайг хурааж бодох
- \lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x^3+1}{x+1} хязгаар бод.
- \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=3 бол a, b-г ол.
Дараах хязгаарыг бод.
- \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}
- \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^2-x-6}{x^2+x-2}
- \lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2-a^2}{x-a} (a\ne 0)
\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=6, \lim\limits_{x\to -2}f(x)=0 нөхцөлийг хангах f(x) квадрат функцийг ол.
Дараах хязгаарыг бод.
- \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^4-16}{x-2}
- \lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^5+x+2}{x+1}.
\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-8x+12}{x^2+4x-12} хязгаарыг бод.
A. -1
B. -0.5
C. 0
D. 1
E. +\infty
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+ax+b}{x-2}=2 бол a+b=?
A. -5
B. -4
C. -3
D. -2
E. -1
\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-8x+12}{x^2+4x-12} хязгаарыг бод.
A. -1
B. -0.5
C. 0
D. 1
E. +\infty
\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3-2^3}{x-2}=?
A. 8
B. 2x^2
C. -8
D. 4
E. 12
\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2+2x-15}{x^2-2x-3} хязгаарыг бод.
A. 1
B. 2
C. 3
D. -1
E. -2
\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{3x^2-2.5x-0.5}{x^2+x-2} хязгаарыг бод.
A. 1
B. \dfrac 23
C. \dfrac 67
D. \dfrac 76
E. \dfrac 32
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+3x-10}{x-2}=?
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
E. 6
\lim\limits_{x\to a}\Bigl(\displaystyle\frac{1}{x-a}-\displaystyle\frac{2a}{x^2-a^2}\Bigr) хязгаар бод.
A. \displaystyle\frac {1}{2a}
B. a
C. \displaystyle\frac{1}{4a}
D. 0.
\lim\limits_{x\to a}\displaystyle\frac{x^3-a^3}{x^2-a^2} хязгаар бод.
A. a
B. -a
C. \displaystyle\frac{3}{2}a
D. \displaystyle\frac{a}2.
\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x^2-3x+1}{3x^2-2x-1} хязгаарыг ол.
A. \dfrac14
B. \dfrac12
C. \dfrac16
D. \dfrac13
E. \dfrac15
\lim\limits_{x\to 1}\displaystyle\frac{x^2-1}{x^3-x^2+x-1} хязгаарыг ол.
A. 2
B. \dfrac 12
C. 1
D. 3
E. \dfrac 13
\lim\limits_{x\to 3}\displaystyle\frac{x^2-x-6}{x-3} хязгаарыг ол.
A. 3
B. 5
C. 7
D. 2
E. 0
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-ax-b}{x-2}=3 бол 2a+b=?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^3+x^2-12x}{x^2-9} хязгаарыг бод.
A. -7
B. -\dfrac72
C. 0
D. \dfrac72
E. Хязгаар оршин байхгүй
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x-2}{x^2-4} хязгаарыг бодоорой.
A. -0.5
B. -2
C. 0.25
D. -\dfrac14
E. -4
\lim\limits_{x\to4}\dfrac{x-4}{x^2-16} хязгаарыг бодоорой.
A. \dfrac18
B. -4
C. -\dfrac18
D. -\dfrac14
E. 8
\lim\limits_{x\to-6}\dfrac{x+6}{x^2-36} хязгаарыг бодоорой.
A. -\dfrac16
B. -12
C. \dfrac1{12}
D. -\dfrac1{12}
E. -6
\lim\limits_{x\to-3}\dfrac{x+3}{x^2-9} хязгаарыг бодоорой.
A. -\dfrac13
B. -3
C. -\dfrac16
D. \dfrac16
E. -6
\lim\limits_{x\to-6}\dfrac{x+6}{x^2-36} хязгаарыг бодоорой.
A. -\dfrac16
B. -12
C. \dfrac1{12}
D. -\dfrac1{12}
E. -6
\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3-8}{x-2}=?
A. 8
B. 2x^2
C. -8
D. 4
E. 12
\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3+8}{x+2}=?
A. 8
B. 2x^2
C. -8
D. 4
E. 12
\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{x^2+ax+b}{x+2}=4 бол a+b=?
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
E. 50
\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2-8x+15}{x^2+2x-15} хязгаарыг бод.
A. -2
B. 0.25
C. 0
D. -0.25
E. +\infty
\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^2-x-2}{x^2-1} хязгаарыг бод.
A. -\dfrac23
B. \dfrac23
C. \dfrac32
D. \infty
E. 0
\lim\limits_{x\to 2}\displaystyle\frac{x^2-\frac 52 x+1}{(x-2)^2}\cdot \sin(x-2)=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}} байна.
\lim\limits_{x\to-2}\displaystyle\frac{x^2-x-6}{x+2}=\fbox{ab}
\lim\limits_{x\to -3}\displaystyle\frac{x^2+x-6}{x+3}=\fbox{ab}
\lim\limits_{x\to-2}\displaystyle\frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-x-6}=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}} болно.
\lim\limits_{x\to 1}\displaystyle\frac{(x-1)\sqrt{2-x}}{x^2-1}=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}} болно.
\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x^2+ax+b}{x-3}=6 бол a=\fbox{a}, b=-\fbox{b} байна.
Дарааллын хязгаар
\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln^3 n}{\sqrt{n}}=0 болохыг батал.
\sqrt[4]{x\sqrt[4]{x\sqrt[4]{x\dots}}}=\sqrt[3]{4} бол x-г ол.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\dots\sqrt3}}}}_{n} хязгаар хэдтэй тэнцүү вэ?
A. 3
B. \infty
C. \sqrt3
D. 1
E. 9
\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\dots}}}}=?
A. \sqrt[3]{147}
B. \sqrt[3]{63}
C. \sqrt[4]{147}
D. \sqrt[4]{63}
E. 3\sqrt7
\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}}} илэрхийллийн утгыг ол.
A. 2
B. -3
C. 3
D. -2
E. \sqrt6
\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5\dots}}}}=?
A. \sqrt[3]{75}
B. \sqrt[3]{45}
C. \sqrt[4]{45}
D. \sqrt[4]{75}
E. 3\sqrt{5}
\sqrt[4]{x\sqrt[4]{x\sqrt[4]{x\dots}}}=\sqrt[3]{4} бол x=?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\dots}}}}=?
A. \sqrt[3]{75}
B. \sqrt[3]{45}
C. \sqrt[4]{45}
D. \sqrt[4]{75}
E. 5\sqrt3
\sqrt{7\sqrt{3\sqrt{7\sqrt{3\dots}}}}=?
A. \sqrt[3]{147}
B. \sqrt[3]{63}
C. \sqrt[4]{147}
D. \sqrt[4]{63}
E. 7\sqrt3
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{3 \cdot 5^{n-1}+3^{n+1}}{5^n+3^n}=? хязгаарыг бод.
A. 1
B. 5
C. \dfrac{5}{3}
D. 0
E. \dfrac{3}{5}
f(x)=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} бол f''(1)=?
A. 0
B. 3
C. 1
D. \dfrac{1}{2}
E. 2
\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt2\cdot\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[8]{2}\cdots\sqrt[2^n]{2} хязгаар хэдтэй тэнцүү вэ?
A. 4\sqrt2
B. 2\sqrt2
C. 4
D. \infty
E. 2
Лопиталын дүрэм
\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi} хязгаар бод.
\lim\limits_{x\to0} \dfrac{8x+\sin 6x}{x^{2} -4x+\sin 12x} хязгаарыг бод.
A. 1
B. \dfrac{3}{2}
C. \dfrac{7}{4}
D. \dfrac{7}{2}
E. 0
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{4x^4+2x^2+\sin^22x}{\cos2x+4x^2-1} хязгаарыг бод.
A. \dfrac{3}{2}
B. \dfrac{2}{3}
C. 3
D. 2
E. \dfrac{1}{6}
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} хязгаар бод.
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
E. 16
\lim\limits_{x\to \pi}\dfrac{x\sin x}{x-\pi} хязгаарыг бод.
A. 1
B. 0
C. \pi\cos\pi
D. \pi
E. \pi^2
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x+\tg x}{\sin x+2x^2} хязгаарыг бод.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos^2 x-1}{x}=?
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2x
E. \dfrac12
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1– \cos^22x}{2x^2+x^3} хязгаарыг бод.
A. 0
B. 1
C. 2
D. +\infty
E. -1
\lim\limits_{x\to a^6}\displaystyle\frac{a^3-\sqrt{x}}{a^2-\sqrt[3]{x}} хязгаар бод.
A. \displaystyle\frac{3}{2}a
B. a
C. 0
D. \displaystyle\frac{a}2.
\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{\ln(x^2-x+1)}{\ln(x^{10}+x+1)} хязгаар бод.
A. \displaystyle\frac{1}{5}
B. \displaystyle\frac {1}6
C. \displaystyle\frac 25
D. 1
\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{\ln(2+e^{3x})}{\ln(3+e^{2x})} хязгаар бод.
A. \displaystyle\frac{2}{3}
B. \displaystyle\frac{3}2
C. 3
D. 2
E. 1
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{1-\cos 4x}{2x^2\cos x} хязгаарыг ол.
A. 8
B. 7
C. \displaystyle\frac 14
D. 4
\lim\limits_{x\to \displaystyle\frac{\pi}2}\displaystyle\frac{\cos x}{\sin \displaystyle\frac x2-\cos \displaystyle\frac x2} хязгаарыг ол.
A. \sqrt{2}
B. \sqrt{3}
C. 2
D. -\sqrt{2}
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos^23x-\sin^23x}{6+\sin x}=?
A. \dfrac{1}{6}
B. \dfrac{1}{3}
C. \dfrac{1}{2}
D. 0
E. -\dfrac{1}{12}
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos2x}{4x^2} бод.
A. \dfrac14
B. \dfrac12
C. 1
D. 2
E. 0
\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x-1}{x-\frac{\pi}{2}} хязгаарыг ол.
A. -1
B. -\frac{1}{2}
C. 0
D. \frac{1}{2}
E. 1
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x-\sin6x}{x^2+10x-\sin4x} хязгаарыг бод.
A. -\dfrac12
B. 1
C. 0
D. \dfrac32
E. \dfrac3{10}
\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{\sin(x-\frac{\pi}{3})}{1-2\cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{3}}\displaystyle
\frac{\cos\Bigl(\frac{x}{\fbox{a}}-\frac{\pi}{\fbox{b}}\Bigr)}
{2\sin\Bigl(\frac{x}{\fbox{c}}+\frac{\pi}{\fbox d}\Bigr)}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\fbox{e}}} байна.
\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{\sin(x-\frac{\pi}{4})}{1-\sqrt{2}\cos x}=\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{\cos\Bigl(\frac{x}{\fbox{a}}-\frac{\pi}{\fbox{b}}\Bigr)}{\sqrt{2}\sin\Bigl(\frac{x}{\fbox{c}}+\frac{\pi}{\fbox d}\Bigr)}=\fbox{e} байна.
\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{6}}\dfrac{\sin\Big(x-\frac{\pi}{6}\Big)}{\cos\frac{\pi}{6}-\cos x}=\fbox{a} хязгаар бод.
Өрөөсгөл хязгаар
\lim\limits_{x\to 1-}\displaystyle\frac{|x-1|}{x-1}=\fbox{ab}, \lim\limits_{x\to 1+}\displaystyle\frac{|x-1|}{x-1}=\fbox{c}
\lim\limits_{x\to 3-}\displaystyle\frac{x-3}{|x-3|}=\fbox{ab}, \lim\limits_{x\to 3+}\displaystyle\frac{|x-3|}{x-3}=\fbox{c}
Тасралтгүй функц
\lim\limits_{x\to 0}\cos\left(\dfrac{x(x^2+1)}{(x+1)}\right) хязгаарыг бод.
A. -\infty
B. -1
C. 0
D. 1
E. \pi/2
Функцийн хязгаарын теоремууд
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+\frac12+\frac14+\dots+\frac{1}{2^n}}{1+\frac13+\frac19+\dots+\frac{1}{3^n}} хязгаар бод.
A. \displaystyle\frac 12
B. \displaystyle\frac 43
C. \displaystyle\frac 34
D. \displaystyle\frac 13
Функцийн цэг дээрх хязгаар
Хосмог ашиглан хялбарчлах
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x+1)\sin(x^2-4)}{\sqrt{3x-5}-1} хязгаарыг бод.
A. 3
B. 5
C. 8
D. \dfrac23
E. \dfrac13
\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x-\sqrt{4x-3}}{x^2-9} хязгаар бод.
A. \dfrac16
B. \dfrac1{18}
C. \dfrac1{36}
D. -\dfrac1{18}
E. -\dfrac1{36}
\lim\limits_{x\to4}\dfrac{x^2-16}{x-\sqrt{5x-4}} хязгаарыг ол.
A. \dfrac{3}{64}
B. 0
C. 21\dfrac13
D. \infty
E. \varnothing
Хязгаар бод.
\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1}
A. \dfrac12
B. 0
C. \infty
D. \dfrac{\sqrt3}{2}
E. 2
\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x^2-x-12}{\sqrt{x}-2}=?
A. 0
B. +\infty
C. 56
D. 14
E. 28
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})\sin(n^2) хязгаар бод.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
E. 5
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1})\cos(n^3) хязгаар бод.
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
E. 4
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}) хязгаарыг ол.
A. 1
B. 0
C. \displaystyle\frac 12
D. 2
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}) хязгаарыг ол.
A. 0
B. 1
C. \displaystyle\frac 13
D. 3
\lim\limits_{x\to a^2}\Bigl(\displaystyle\frac{2a}{x-a^2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}-a}\Bigr) хязгаар бод.
A. 0
B. \displaystyle\frac {1}{2a}
C. -\displaystyle\frac{1}{2a}
D. a
E. 2a
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt{x+a^2}-a}{x} хязгаар бод.
A. 0
B. \displaystyle\frac{1}{a}
C. a
D. \displaystyle\frac1{2a}.
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x}{\sqrt[3]{b+x}-\sqrt[3]{b-x}} хязгаар бод.
A. 0
B. \displaystyle\frac{3}{2}\sqrt[3]{b^2}
C. \sqrt[3]{b^2}
D. \displaystyle\frac{\sqrt[3]{b^2}}2
E. 1
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}} хязгаар бод.
A. 0
B. \dfrac 32
C. \dfrac 12
D. \dfrac 13
E. \dfrac 23
\lim\limits_{x\to8}\displaystyle\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2} хязгаар бод.
A. \displaystyle\frac{12}{5}
B. \displaystyle\frac {11}5
C. 9
D. \displaystyle\frac 13
E. 0
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt{1+\tg x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3} хязгаар бод.
A. 1
B. \displaystyle\frac {1}2
C. \displaystyle\frac 14
D. \displaystyle\frac13
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin x}-\sqrt{\cos x}} хязгаар бод.
A. 2
B. \displaystyle\frac 43
C. \displaystyle\frac 13
D. \displaystyle\frac12
\lim\limits_{x\to 1}\displaystyle\frac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} хязгаарыг ол.
A. 1
B. 2
C. 3
D. \displaystyle\frac13
\lim\limits_{x\to 10}\displaystyle\frac{\sqrt{x-1}-3}{x-10} хязгаарыг ол.
A. \displaystyle\frac 12
B. \displaystyle\frac 16
C. \displaystyle\frac 18
D. 1
\lim\limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^2+x}-x) хязгаарыг ол.
A. \displaystyle\frac 12
B. 2
C. \displaystyle\frac 13
D. 3
\lim\limits_{x\to \infty}(x-\sqrt{x^2-8}) хязгаарыг ол.
A. 1
B. 0
C. 2
D. \dfrac12
E. \dfrac13
\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2} хязгаарыг ол.
A. 3
B. 5
C. 7
D. 4
E. 6
\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3-2x^2-6x+4}{\sqrt{5x+14}-2}
A. 11.2
B. 9.2
C. 10.2
D. 13.2
E. 12.2
\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{x^2-9}{x+\sqrt{2x+15}} хязгаарыг ол.
A. -\dfrac29
B. \dfrac92
C. \dfrac32
D. -\dfrac92
E. -\dfrac34
\lim\limits_{x\to5}\dfrac{x^2-25}{x-\sqrt{6x-5}} хязгаарыг ол.
A. \dfrac{10}{4}
B. 0
C. 25
D. \infty
E. \varnothing
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n-1}) хязгаарыг бод.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2-n}-n) хязгаарыг бод.
A. \dfrac12
B. -\dfrac12
C. 1
D. \dfrac13
E. -\dfrac13
\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=?
A. \dfrac{3}{4}
B. 1
C. \dfrac{1}{4}
D. \dfrac{3}{2}
E. 2
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=?
A. \dfrac{3}{4}
B. 1
C. \dfrac{1}{4}
D. \dfrac{3}{2}
E. 2
\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2-a^2}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=
A. 0
B. 2a^{1.5}
C. 2a
D. 4a^{\frac23}
E. 4a^{\frac32}
\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x(x-2)}{\sqrt{3-x}-1}
A. 0
B. 2
C. -0.75
D. -4
E. -2
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x+1-\sqrt{x+1}}{x} хязгаар бод.
A. 0
B. 1
C. 1.5
D. 2
E. 2.5
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x+\sqrt{x+1}-1}{x} хязгаар бод.
A. 0
B. -1
C. 3.5
D. 2
E. 2.5
\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+8}-3}{x-1}=?
A. \dfrac{3}{4}
B. \dfrac{1}{4}
C. -\dfrac{3}{4}
D. \dfrac{1}{6}
E. \dfrac{1}{3}
\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-2x+2}-x) хязгаарыг бод.
A. 2
B. 0
C. -2
D. 1
E. -1
\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-4x+1}-x) хязгаарыг бод.
A. 2
B. 0
C. -2
D. 1
E. -1
Хязгаар бод.
\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1}
A. \frac12
B. 0
C. \infty
D. \frac{\sqrt3}{2}
E. 2
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}} хязгаар бод.
A. 0
B. \dfrac{1}{3}
C. 1
D. 3
E. \dfrac{2}{3}
\lim\limits_{x\to a^6}\displaystyle\frac{a^3-\sqrt x}{a^2-\sqrt[3]{x}}= \displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\cdot a байна.
\lim\limits_{x\to a^3}\displaystyle\frac{a-\sqrt[3]{x}}{x-a^3}=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot a^2} байна.
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{x}{\sqrt[3]{d-x}-\sqrt[3]{d+x}}=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\cdot \sqrt[3]{d^2} байна.
f(x)=x-\sqrt{x^2-2x} бол
байна.
| a | +\infty | -\infty |
| \lim\limits_{x\to a}f(x) | \fbox{a} | \fbox{b}\,\infty. |
f(x)=x+\sqrt{x^2-4x} бол
байна.
| a | +\infty | -\infty |
| \lim\limits_{x\to a}f(x) | \fbox{a}\,\infty | \fbox{b} |
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2-1}-n-1)=-\fbox a
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n})=\fbox a
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}} болно.
\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}} болно.
Хязгаар ба уламжлал
Дараах хязгааруудыг f(a) ба f^\prime (a)-аар илэрхийл.
- \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+2h)-f(a)}{h}
- \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}
- \lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}
- \lim\limits_{x\to 2}(2x^3-4x^2+3x-1) хязгаарыг бод.
- f(x)=2x^3-4 бол x=-1 цэг дээрх уламжлалыг ол.
- \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h^3-2h^2+3h}{h} хязгаарыг бод.
- y=x^2 функц өгөгдөв.
- Энэ функцийн графикийн x=1, x=1+h, (h\ne 0) абсцисстай цэгүүдийг дайрсан шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.
- Энэ функцийн x=1 цэг дээрх уламжлалыг ол.
Дараах хязгааруудыг бодож a, f(a), f^\prime (a)-аар илэрхийл.
- \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+4h)-f(a-2h)}{h}
- \lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^3f(x)-a^3f(a)}{x^2-a^2}.
f(x)=2x^2-2x+3 бол \lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} хязгаарыг бод.
A. 4
B. 0
C. 8
D. 2
E. 1
\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x\sin x-\alpha\sin\alpha}{x-\alpha} хязгаарыг бод.
A. \alpha\cos\alpha
B. \sin\alpha-\alpha\cos\alpha
C. \cos\alpha-\alpha\sin\alpha
D. \cos\alpha+\alpha\sin\alpha
E. \sin\alpha+\alpha\cos\alpha
f(x)=\cos 3x бол \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f\big(\frac{\pi}{2}+3\Delta x\big)-f\big(\frac{\pi}{2}\big)}{\Delta x} хязгаарыг ол.
A. -\dfrac13
B. \dfrac13
C. 1
D. 3
E. -3
f(x) нь дифферциалчлагдах функц бол \lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x f(x)-\alpha f(\alpha)}{x^2-\alpha^2}=?
A. \dfrac{f(\alpha)-\alpha f^\prime(\alpha)}{2\alpha}
B. f(\alpha)+\alpha f^\prime(\alpha)
C. \dfrac{f(\alpha)}{\alpha}-f^\prime(\alpha)
D. \dfrac{f(\alpha)+\alpha f^\prime(\alpha)}{2\alpha}
E. \dfrac{f(\alpha)}{\alpha}+f^\prime(\alpha)
f(x) нь дифферциалчлагдах функц бол \lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x^2f(x)-\alpha^2 f(\alpha)}{x-\alpha}=?
A. \alpha f^\prime(\alpha)
B. f^\prime(\alpha)
C. 2\alpha f^\prime(\alpha)
D. 2\alpha f(\alpha)-\alpha^2 f^\prime(\alpha)
E. 2\alpha f(\alpha)+\alpha^2 f^\prime(\alpha)
Хязгаарын тодорхойлолт
x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1} дараалал монотон буурахыг харуулж хязгаарыг ол.
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2^n}{3^n}=?
A. 0
B. 1
C. \frac23
D. +\infty
E. Хязгаар оршин байхгүй
\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n-2^n} хязгаар бод.
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
E. \sqrt{3}-\sqrt{2}
\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2n^3+1}{3n^3-2}} хязгаар бод.
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1
E. e
\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^n-3^n}=?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Хялбар хязгаарууд
- \lim\limits_{x\to 2}(2x^3-4x^2+3x-1) хязгаарыг бод.
- f(x)=2x^3-4 бол x=-1 цэг дээрх уламжлалыг ол.
- \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h^3-2h^2+3h}{h} хязгаарыг бод.
- y=x^2 функц өгөгдөв.
- Энэ функцийн графикийн x=1, x=1+h, (h\ne 0) абсцисстай цэгүүдийг дайрсан шулууны өнцгийн коэффициентийг ол.
- Энэ функцийн x=1 цэг дээрх уламжлалыг ол.
Дараах хязгааруудыг бод.
- \lim\limits_{x\to 1}(2x^2-3x+4)
- \lim\limits_{x\to 0}(2-3x+4x^3)
- \lim\limits_{b\to a}\dfrac{2b^3-2a^3}{b-a}
\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5\cdot3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n+2^n} хязгаарыг бод.
A. 5
B. 13/5
C. 17/5
D. 15
E. 1
\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{4\cdot13^{n+1}-11^n}{8\cdot13^n+11^n} хязгаарыг бод.
A. 1/2
B. 11/13
C. 13/2
D. 13
E. 13/8
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x-\sin6x}{x^2+10x-\sin4x} хязгаарыг бод.
A. -\dfrac12
B. 1
C. 0
D. \dfrac{3}{2}
E. \dfrac{3}{10}
\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{3 \cdot 5^{x+1}+3^{x-1}}{5^x+3^x}=? хязгаарыг бод.
A. 3
B. 5
C. 10
D. 15
E. \frac{47}{3}
f(x)=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} бол f''(3)=?
A. 0
B. 3
C. 1
D. \frac{1}{2}
E. 2
a_n=4\cdot 4^{\frac{1}{3}}\cdot 4^{\frac{1}{3^2}}\cdots 4^{\frac{1}{3^n}} бол \lim\limits_{n\to\infty}a_n хязгаарыг бод.
A. 3
B. 4
C. 16
D. 2\sqrt{2}
E. 8
f(x)=\sqrt{3x\sqrt{3x\sqrt{3x\dots}}}, x>0 бол f(x)=?
A. 3x
B. x
C. 3
D. 9
E. 9x
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n^2+1}{-2n^2+3n}=?
A. 0
B. -\dfrac{1}{2}
C. \dfrac12
D. +\infty
E. 1
f(x)=\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots}}}, x>0 бол f^\prime(x)=?
A. \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
B. \dfrac{1}{\sqrt{x}}
C. \dfrac{1}{2\sqrt[3]{x}}
D. x^{\frac13}
E. x^{-\frac13}
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1+3+\dots+(2n+1)}{n^2+2n-1}=?
A. \dfrac{1}{2}
B. 1
C. 0
D. +\infty
E. \dfrac{1}{4}
\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{8n^3-4n+1}-3n}{\sqrt{n^2-3}+3n} хязгаар бод.
A. -1
B. \dfrac 13
C. -\dfrac14
D. \dfrac54
E. 0
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2\sqrt{n^2+n-1}-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2-1}} хязгаар бод.
A. 0
B. \infty
C. 1
D. -\infty.
\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl(\sqrt{a}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt a}+\dots +\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{a^{n-1}}\Bigr) 0< a< 1 хязгаар бод.
A. 0
B. \displaystyle\frac {a\sqrt{a}}{a-1}
C. \sqrt{a}
D. \displaystyle\frac{\sqrt{a}}{a-1}.
\lim\limits_{n\to\infty}(1+x+x^2+\dots +x^n) |x|< 1 хязгаар бод.
A. 1
B. 0
C. \displaystyle\frac{1}{1-x}
D. -\displaystyle\frac{1}{1-x}.
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{n}{(n^2-1)\ln n} хязгаар бод.
A. 0
B. 1
C. 2.
D. 3
\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl[\Bigl(\displaystyle\frac{5n}{n-3.5}\Bigr)\displaystyle\frac{\ln (ne)}{\ln n}\Bigr] хязгаар бод.
A. 0
B. 1
C. 1.5
D. 5
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}(1+2+\dots+n) хязгаар бод.
A. \dfrac12
B. 1
C. 0
D. 2
E. \dfrac14
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{n^2+3n-2}{1+2+\dots+n} хязгаарыг ол.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. \dfrac12
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+3+5+\dots+(2n-1)}{n^2} хязгаарыг ол.
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
E. \infty
\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{6x^6+4x^2+5}{3x^6+2x+7} хязгаар бод.
A. 5
B. 2
C. 7
D. 3
\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{5x^3-8x^2+9}{10x^3+2x-10} хязгаар бод.
A. 10
B. \displaystyle\frac 15
C. \displaystyle\frac 12
D. \displaystyle\frac 13
\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+6}{2+n+3n^2}=?
A. \dfrac13
B. 2
C. \dfrac12
D. 3
E. 3
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{3 \cdot 5^{n-1}+3^{n+1}}{5^n+3^n}=? хязгаарыг бод.
A. 1
B. 5
C. \dfrac{5}{3}
D. 0
E. \dfrac{3}{5}
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2^{n+2}+3^{n+3}}{2^n+3^n}=\fbox {ab}
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{5\cdot 2^n-3\cdot 5^{n+1}}{100\cdot 2^n+2\cdot 5^n}=-\displaystyle\frac{\fbox{ab}}2
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+\frac12+\frac14+\dots+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{3^n}}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}} болно.
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}(1+2+3+\dots+n)=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}} болно.
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(1+n)^2}{2n^2}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}} болно.
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(2n+1)^4-(n-1)^4}{(2n+1)^4+(n-1)^4}=\displaystyle\frac{\fbox{cd}}{\fbox{ef}} болно.
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(3n+2)^2-(n-1)^2}{(3n+2)^2+(n-1)^2}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}} болно.
\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(2n+1)^3}{3n^3}=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}} болно.
\lim\limits_{x\to \infty}\Bigl(\displaystyle\frac{x^3}{2x^2-1}-\displaystyle\frac{x^2}{2x+1}\Bigr)=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}} болно.
\lim\limits_{x\to\infty}\displaystyle\frac{3x^2+1}{5-12x^2}=-\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}} болно.