Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Илтгэгч ба логарифм тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш
$(a+b^{1/2})^x+(a-b^{1/2})^x=c$ хэлбэрийн тэгшитгэл
$(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x=4$ тэгшитгэл бод.
$(\sqrt{7-\sqrt{48}})^x+(\sqrt{7+\sqrt{48}})^x=14$ тэгшитгэл бод.
$(\sqrt{3+\sqrt{8}})^x+(\sqrt{3-\sqrt{8}})^x=6$ тэгшитгэл бод.
$\sqrt{(3+\sqrt8)^x}+\sqrt{(3-\sqrt8)^x}=6$ тэгшитгэл бод.
A. шийдгүй
B. $x=-2$
C. $x=2$
D. $x=0;\pm2$
E. $x=\pm2$
$\displaystyle \sqrt{31+8\sqrt{15}}^x+\sqrt{31-8\sqrt{15}}^x=62$
тэгшитгэлийг бод.
A. $-2$
B. 2
C. $\pm1$
D. $\pm2$
$\displaystyle (2-\sqrt3)^x+(2+\sqrt3)^x=14$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\pm1$
B. $\pm2$
C. -2
D. 2
$(2+\sqrt3)^x-(2-\sqrt3)^x=1.5$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\log_{2+\sqrt 3}2$
B. $x=\log_2(2+\sqrt 3)$
C. $x=\log_2(2-\sqrt 3)$
D. $x=\log_{2-\sqrt 3}2$
E. $\varnothing$
$\alpha\cdot a^{2x}+\beta\cdot a^x+\gamma=0$ хэлбэрийн тэгшитгэл
$2^{2x + 1} + 2^{x + 2}-16=0$
$4^{x}-5 \cdot 2^{x-\frac{1}{2}} + 2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$4^{x}-10 \cdot 2^{x-1}-24=0$
$4^{x}-3 \cdot 2^{x + 2}=64$
$9^{x}-8 \cdot 3^{x + 1}-81=0$ тэгшитгэлийг бод.
$9^{x}-75 \cdot 3^{x-1}-54=0$
$4 + 2^{x}=2^{2x-1}$
$3 \cdot 5^{2x-1}-2 \cdot 5^{x-1}=0.2$
$4^{x-1}-3 \cdot 2^{x-2}=1$
$25^{x} + 24 \cdot 5^{x-1}-1=0$
$2 \cdot 7^{3x}-5 \cdot 49^{3x} + 3=0$
$4^{-x}-\left( {{\dfrac{{1}}{{2}}}} \right)^{x-1}=8$
$25^{\frac{1}{x}} + 1=6 \cdot 5^{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}$ хамгийн бага шийдийг ол.
$16^{\frac{1}{x}}-20 \cdot 2^{\frac{2}{x}-2} + 4=0$
$4^{\frac{1}{x} + x}-5 \cdot 2^{\frac{1}{x} + x} + 4=0$
$2 \cdot 4^{\sqrt {x}}-5 \cdot 2^{\sqrt {x}} + 2=0$
$2^{x + 1}-11 + {\dfrac{{15}}{{2^{x} + 1}}}=0$
$100^x-10^x+a=0$ тэгшитгэл өгөгдөв.
- тэгшитгэл бодит шийдтэй байх $a$-ын утгын мужийг ол.
- тэгшитгэл $x< -1$ бодит шийдгүй байх $a$-ын утгын мужийг ол.
$2\cdot 16^{5x^2+9x}-16=31\cdot64^{\frac{5x^2+9x}{3}}$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
A. $\dfrac12$; $-16$
B. $-\dfrac12$; $16$
C. $2$; $\dfrac15$
D. $-2$; $\dfrac 15$
E. $-2$; $-\dfrac12$
$8^{\frac{8x^{2}-16x+3}{3}} +7\cdot 32^{\frac{4x^{2}-8x}{5}} =1$ тэгшитгэлийн шийд аль вэ?
A. $\dfrac{1}{2} ;\; \dfrac{3}{2} $
B. $-\dfrac{1}{2} ;\; \dfrac{3}{2} $
C. $-1;\; \dfrac{1}{8} $
D. $-\dfrac{1}{8} ;\; 1$
E. $-1;\; \dfrac{1}{2} $
$4^x-5\cdot 2^{x-\frac12}+2=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=1,5$
B. $x=-0.5$
C. $x_1=-0.5$, $x_2=1.5$
D. $x_1=-0.5$, $x_2=1.5$, $x_3=3.5$
E. шийдгүй
$25^x-6\cdot 5^x+5=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд аль нь вэ?
A. $x=0$
B. $x=1$
C. $x_1=0$, $x_{2,3}=\pm1$,
D. $x_1=0$, $x_2=-1$
E. $x_1=0$, $x_2=1$
$2\cdot 3^{x+1}-5\cdot 9^{x-2}=81$ тэгшитгэл бод.
A. $\{\log_316;5\}$
B. $\{4;5\}$
C. $\{4; \log_316.2\}$
D. $\{4;6\}$
E. $\varnothing$
$2^{3x+1}+1=4^x+2^{x+1}$ тэгшитгэл бод.
A. $\{2;3\}$
B. $\{1;-1\}$
C. $\{1;2\}$
D. $\{0;-1\}$
E. $\{0;2\}$
$\dfrac{6^{x+2}-216}{6^{2x}-36}=\dfrac67$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\{1;2\}$
B. $6$
C. $2$
D. $5$
E. $1$
$\dfrac{5^{x+2}-125}{5^{2x}-25}=\dfrac{5}{6}$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\{1;2\}$
B. $6$
C. $2$
D. $5$
E. $1$
$\dfrac{3^{x+2}-27}{3^{2x}-9}=\dfrac34$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\{1;2\}$
B. $9$
C. $2$
D. $3$
E. $1$
$\dfrac{4^{x+2}-64}{4^{2x}-16}=\dfrac45$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\{1;2\}$
B. $6$
C. $2$
D. $5$
E. $1$
$25^{x^2+3x+2}+4\cdot 125^{\frac{x^2+3x+2}{3}}=5$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
A. $-1$; $1$
B. $-2$; $1$
C. $-1$; $2$
D. $1$; $2$
E. $-2$; $-1$
$\dfrac{9}{2^{x-2}}=\dfrac{10+4^{\frac{x}{2}}}{4}$ тэгшитгэл $x=\fbox{a}$ шийдтэй байна.
$\dfrac{3^{2x}}{100^x}=2(0.3)^x+3$ тэгшитгэл $x=\log_{\frac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}}{3}$ шийдтэй байна.
$\alpha\cdot a^{x+b}+\beta\cdot a^{-x+c}=\gamma$ хэлбэрийн тэгшитгэл
$3^{x} + 3^{3-x}-12=0$ хамгийн бага язгуурыг ол.
$5^{x} + 5^{2-x}=26$ язгууруудын нийлбэрийг ол.
$4 \cdot 5^{x}-5^{-x} + \lg 100=5$
$2^{2 + x}-2^{2-x}=15$
$2^{2-x}=\dfrac{{4^{\frac{x}{2}}-1}}{3}$ тэгшитгэл бод.
$7^{x}-14 \cdot 7^{-x}=3^{\log _{3} 2} + 3$
$5^{x-1} + 5 \cdot \left( {0,2} \right)^{x-2}=26$
${\dfrac{{2^{x + 1} + 10}}{{4}}}={\dfrac{{9}}{{2^{x-2}}}}$
${\dfrac{{33-2^{x + 2}}}{{4}}}=2^{1-x}$
${\dfrac{{33-2^{2 + x}}}{{4}}}=2^{1-x}$ хамгийн бага язгуур
$2^{x^{2}-1} + 2^{4-x^{2}}=33$
$2^{\sqrt {x}}-2^{1-\sqrt {x}}=1$
$5^{\sqrt {x}}-5^{3-\sqrt {x}}=20$
${\dfrac{{2^{x}}}{{5^{x-1}}}} + 3={\dfrac{{5^{x}}}{{2^{x-1}}}}$
$\alpha\cdot a^{x+b}+\beta\cdot a^{x+c}+\gamma\cdot a^{x+d}=\delta$ хэлбэрийн тэгшитгэл
$2 \cdot 3^{x + 1}-6 \cdot 3^{x-1}-3^{x}=9$
$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3}=448$
$33 \cdot 2^{x-1}-2^{x + 1}=29$
$2-3^{x-2}=3^{x-1}$
$2^{x + 5} + 2^{3} \cdot 2^{x-1}-2^{2}=0$
$3^{x + 1} + 3^{x}=108$
$7^{x + 2}-\left( {{\dfrac{{1}}{{7}}}} \right) \cdot 7^{x + 1}-14 \cdot 7^{x-1} + 2 \cdot 7^{x}=48$
$4^{x-1} + 11 \cdot 4^{x-2}=15 \cdot 2^{-4}$
$2 \cdot 3^{x + 1}-6 \cdot 3^{x-1}=12$
$3^{x + 1}-2 \cdot 3^{x-1}4 \cdot 3^{x-2}=17$
$3^{2x-1} + 3^{2x-2}-3^{2x-4}=315$
$3^{x} + {\dfrac{{240}}{{3^{x}}}}={\dfrac{{9^{x-2}}}{{3^{x}}}}$
$3^{x-1} \cdot 2^{x + 1} + 2^{x-1} \cdot 3^{x + 2}={\dfrac{{7}}{{36}}}$
$2^{2x + 3} \cdot 3^{x} + 2 \cdot 4^{x} \cdot 3^{x + 2}={\dfrac{{13}}{{72}}}$
$3^{2x-3}-9^{x-1} + 27^{2x / 3}=675$
$5^{\lg x}=50-\left( {10^{\lg 5}} \right)^{\lg x}$
$2^{2x-1} + \left( {{\dfrac{{1}}{{2}}}} \right)^{2-2x} + 4^{x + 1}=\sqrt {{\dfrac{{1}}{{4^{3-2x}}}}} + 74$
$\alpha\cdot a^x+\beta\cdot b^x=0$ хэлбэрийн тэгшитгэл
$5^{2x}-7^{x}-7 \cdot 5^{2x + 1} + 5 \cdot 7^{x + 1}=0$ тэгшитгэлийг бод.
$9^{x}-2^{x+\frac{1}{2}}=2^{x+\frac{7}{2}}-3^{2x-1}$
$4^{X}-3^{X-\frac{1}{2}}=3^{X + \frac{1}{2}}-2^{2X-1}$
$25^{X} + 7^{X + \frac{1}{2}}=2\sqrt {7} \cdot 7^{X}-2 \cdot 5^{2X-1}$
$7^{x + 3}-7^{x + 2}-2^{x + 5} + 2 \cdot 0,25^{-(1 + 0,5x)}=0$
$3^{3x} + 9 \cdot 5^{2x}=5^{2x} + 9 \cdot 3^{3x}$
$3^{3x} + 9 \cdot 2^{2x}=4^{x} + 3^{2 + 3x}$
$2^{X^{2}-1}-3^{X^{2}}=3^{X^{2}-1}-2^{X^{2} + 2}$
$7 \cdot 3^{x + 1}-5^{x + 2}=3^{x + 4}-5^{x + 3}$ тэгшитгэлийг бод.
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $\dfrac12$
E. $-\dfrac12$
$5^{2x}-7^x-7\cdot 5^{2x+1}+5\cdot 7^{x+1}=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=-1$
B. $x=0$
C. $x=1$
D. $x=2$
E. $x=0.5$
$\log_a\log_b f(x)=c$ хэлбэрийн тэгшитгэл
$\log_2\log_5x=1$
$\log_5\log_2x=1$
$\log_2\log_{\frac12}\log_9x=0$
$\log_4\log_3\log_2(x^2-1)=0$
$\log_3(\log_3x)=2$ тэгшитгэлийг бод.
A. $3^4$
B. $3^6$
C. $3^7$
D. $3^8$
E. $3^9$
$\displaystyle\log_4(40+8\log_3(x+4))=3$ тэгшитгэлийг бод.
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
E. 25
$\displaystyle\log_3(61+10\log_5(x+6))=4$ тэгшитгэлийг бод.
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
$\log_4[\log_3(\log_2x)]=\dfrac12$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}$ мужид тодорхойлогдох ба $x=\fbox{b}^{\fbox{c}}$ шийдтэй.
$\log_3(\log_2(\log_2x))=0$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}$ мужид тодорхойлогдох ба $x=\fbox{b}$ шийдтэй.
$\log_ab=(\log_ba)^{-1}$ томъёог ашиглан бодох бодлогууд
$\log_5x-\log_x5=\dfrac32$
$3\log_8(x+1)=8+3\log_{x+1}8$ тэгшитгэлийн их шийдийг ол.
$5\log_4x+3\log_x4=8$ бүхэл шийдүүдийг ол.
$\log_x2-\log_4x+\dfrac67=0$
$\log_3x+\log_x9=3$
$\log_7x=5-\log_{\sqrt[3]x}49$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
$\log_x2\cdot\log_{2x}2=\log_42$.
$\log_5\sqrt{3x+4}\cdot\log_x5=1$.
$\log_x2+\log_{4x}4=1$
$\log_2(x+4)=\log_{4x+16}8$
Тэгшитгэл бод.
- $\log_3x-\log_x 9=1$
- $\left\{\begin{array}{clr} \log_2 \sqrt[3]{16x}+ \log_4 y=4\\ 3\log_8x-\log_2 \sqrt{y}=0. \end{array}\right.$
$\log_9(2x+3)\cdot\log_x3=1$ тэгшитгэлийг бод.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
$\log_4(x+12)\log_x2=1$ тэгшитгэлийг бод.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
$ \log_{7}{x}-\log_{x}{\dfrac{1}{7}}\geq2 $ тэнцэтгэл биш $ x>\fbox{a}, x\neq\fbox{b} $ мужид тодорхойлогдоно. тэнцэтгэл бишээ $ \log_{7}{x}+\dfrac{\fbox{c}}{\log_{7}{x}}\geq2 $ хэлбэртэй бичээд тодорхойлогдох мужаа тооцвол шийдийн олонлог $ x>\fbox{d} $ байна.
$ 2\log_{5}{\sqrt{x}}-2\geq\log_{x}{\dfrac{1}{5}} $ тэнцэтгэл биш нь $ x>\fbox{a}, x\neq{\fbox{b}} $ мужид тодорхойлогдох ба шийдийн олонлог нь $x>\fbox{c} $ байна.
$\log_{3}{(2x+1)}=2\log_{2x+1}{3}+1 $ тэгшитгэл $x>-\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}, x\neq0$ мужид тодорхойлогдох ба $x_1=\fbox{c}$, $x_2=-\dfrac{1}{\fbox{d}}$ шийдүүдтэй байна.
$2\log_{4}{(3x-2)}+2\log_{3x-2}{4}=5$ тэгшитгэл $x>\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}, x\neq1$ мужид тодорхойлогдох ба $x_1=\fbox{c}$, $x_2=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ шийдүүдтэй байна.
Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэл
$9^{\log_{25}x^2}+\log_{\sqrt2}2\sqrt2=\frac12\big(9^{1+\log_{25}x}-9^{\log_{25}x}\big)$ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол.
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
$4^{\log_{25}x^2}+\log_{3\sqrt3}27=4^{1+\log_{25}x}-4^{\log_{25}x}$ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол.
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
$\log_3x+\log_x3=2$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x_1=\dfrac{1}{\sqrt3}$, $x_2=3$
B. $x_1=\sqrt3$, $x=\dfrac{1}{3}$
C. $x=\dfrac{1}{\sqrt3}$
D. $x=3$
E. Шийдгүй
Логарифм тэнцэтгэл биш
$2\log_{0.5}(x-2)<\log_{0.5}(x+4)$ тэнцэтгэл биш бод.
A. $0< x< 5$
B. $2< x< 5$
C. $-4< x< 5$
D. $x>5$
E. $2< x$
$\log_2(x^2-x)<1$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $(-1;2)$
B. $(-1;0)\cup(1,2)$
C. $(-\infty,0)\cup(1;+\infty)$
D. $\left[\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}; 2\right)$
E. $\emptyset$
$\log_3\left(3^{x^2-x-9}+\dfrac{8}{27}\right)=\log_5 0.2$ тэгшитгэл бод.
A. $-2$
B. $3$
C. $\{-2,2\}$
D. $\{-2;3\}$
E. $\emptyset$
Логарифмчилж бодох тэгшитгэл
$x^{2\log_2x}=8$ тэгшитгэл бод.
A. $\{2^{\sqrt{1,5}}; 2^{-\sqrt{1,5}}\}$
B. $\{2^{\sqrt{1,5}}; 2\}$
C. $\{2^{-\sqrt{1,5}}; 2\}$
D. $\{2;4\}$
E. $\{2;3;4\}$
$2^{\log_x 5}=\dfrac{10}{x}$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
$\displaystyle x^{\log_5x}=625$ тэгшитгэлийг бод.
A. $0.04$
B. $25$
C. $\{0.04; 25\}$
D. $\{5; 25\}$
$\displaystyle x^{\lg x}=10000$ тэгшитгэлийг бод.
A. $0.01$
B. 100
C. $\{10; 100\}$
D. $\{0.01; 100\}$
$\displaystyle 5^{x-1}\cdot8^{\frac{x-1}x}=100$ тэгшитгэлийг бод.
A. $-\log_52$
B. 3
C. $\{-\log_52; 3\}$
D. 2
$\displaystyle 8^{\frac x{x-1}}=4\cdot3^{x+2}$ тэгшитгэлийг бод.
A. -2
B. -1
C. $\log_36$
D. $\{-2; \log_36\}$
$(2x)^{\log_2 x}=4$ тэгшитгэлийг бод.
A. $-2$; $1$
B. $2$
C. $\dfrac14$
D. $0.25$; $2$
E. $\varnothing$
$x^{\frac{1}{\lg x}}=\dfrac{9x-18}{x-2}$ бод.
A. $2$
B. шийдгүй
C. $10$
D. $1$
E. $38$
$x^{\frac{1}{\lg x}}=\dfrac{9x-18}{x-2}$ бод.
A. $3$
B. $9$
C. $2$
D. $10$
E. шийдгүй
$x^{3-\lg\big(\frac{100}{x}\big)}=100$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
A. $\big\{\frac{1}{10},10\big\}$
B. $\big\{\frac{1}{100},100\big\}$
C. $\big\{\frac{1}{10},100\big\}$
D. $\big\{\frac{1}{100},10\big\}$
E. $\{10,100\}$
$x^{2\log_2x}=8$ тэгшитгэл бод.
A. $\{2^{\sqrt{1.5}}, 2^{-\sqrt{1.5}}\}$
B. $\{2^{\sqrt{1.5}}, 2\}$
C. $\{2^{-\sqrt{1,5}}, 2\}$
D. $\{2,4\}$
E. $\{2,3,4\}$
$x^{2\log_4x}=16$ тэгшитгэл бод.
A. $\{4^{\sqrt{1.5}}, 4^{-\sqrt{1.5}}\}$
B. $\{4^{\sqrt{1.5}}, 4\}$
C. $\{4^{-\sqrt{1,5}}, 4\}$
D. $\left\{4,\dfrac14\right\}$
E. $\{1,2,4\}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}=(2x-1)^{\log_{\frac14}(1+7x-2x^2)}$ тэгшитгэл
- $\dfrac{\fbox{a}}{2}< x< \dfrac{\fbox{b}+\sqrt{57}}{\fbox{c}}$ мужид тодорхойлогдоно.
- Тэгшитгэлийн 2 талыг 2 сууриар логарифмчилан цааш нь хувиргавал $$\log_{\fbox{d}}(2x-1)(1-\log_2(1+7x-2x^2))=0$$ тэгшитгэлд шилжинэ.
- Эндээс тодорхойлогдох мужаа тооцвол $x=\fbox{e}$, $x=\dfrac{\fbox{f}+\sqrt{\fbox{gh}}}{4}$ шийдүүд олдоно.
$27\cdot x^{\log_{27}x}=x^{10/3}$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}$ мужид
тодорхойлогдох ба $x=\fbox{b},$ $x=\fbox{cd}^3$ шийдтэй.
$x^{2\lg^2x}=10x^3$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}$ мужид тодорхойлогдох ба
$x=\dfrac1{\fbox{bc}}$, $x=10^{\frac{1\pm\sqrt{\fbox{d}}}{2}}$ язгууруудтай.
$2^{x^2-3}\cdot 3^{x-2}=2$ тэгшитгэлийн нэг шийд нь $x_1=\fbox{a}$ нөгөө шийд нь $x_2=-\fbox{b}-\fbox{c}\log_62$
Суурь шилжүүлж бодох тэгшитгэл
$\log_2x+\log_5x=\log_510$
$\log_2x+\log_3x=\log_2x\cdot\log_3x$
$\log_3x+\log_3x=1$
$\log_{3x}3=\dfrac{1}{2}\log^2_x3$
$\log_x2\cdot\log_{2x}2=\log_{4x}2$
$\displaystyle \log_{2x}(8x)=\log_2(2x)$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\frac14$
B. 2
C. $\{\frac14; 2\}$
D. $\{\frac14; 4\}$
$\displaystyle\log_x3\cdot\log_{\frac x{81}}3=\log_{\frac
x{729}}3$ тэгшитгэлийг бод.
A. $9$
B. $27$
C. $\{9; 27\}$
D. $\{3; 27\}$
E. $\{3; 9\}$
$\log_{5x}\dfrac{5}{x}+\log_5^2x=1$ тэгшитгэлийг бодъё.
Тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь $x\neq\dfrac{1}{\fbox{a}}$ ба $x>\fbox{b}$ байна.
5 суурьт шилжүүлж бодвол $\dfrac{\fbox{c}-\log_5x}{\fbox{d}+\log_5x}+\log_5^2x=1$ болох $y=\log_5x$ орлуулга хийвэл $-\dfrac{(\fbox{c}-y)y(y+\fbox{e})}{\fbox{d}+y}=0$ тэгшитгэл үүснэ. Иймд $y_1=\fbox{c}$, $y_2=0$, $y_3=-\fbox{e}$ болох тул $x_1=\fbox{f}$, $x_2=\fbox{g}$, $x_3=\dfrac{1}{\fbox{hi}}$ гэсэн шийдүүд гарна.
5 суурьт шилжүүлж бодвол $\dfrac{\fbox{c}-\log_5x}{\fbox{d}+\log_5x}+\log_5^2x=1$ болох $y=\log_5x$ орлуулга хийвэл $-\dfrac{(\fbox{c}-y)y(y+\fbox{e})}{\fbox{d}+y}=0$ тэгшитгэл үүснэ. Иймд $y_1=\fbox{c}$, $y_2=0$, $y_3=-\fbox{e}$ болох тул $x_1=\fbox{f}$, $x_2=\fbox{g}$, $x_3=\dfrac{1}{\fbox{hi}}$ гэсэн шийдүүд гарна.
Төрөл бүрийн бодлогууд
$\alpha$, $\beta$ нь параллелограммын хөрш өнцгүүд ба $\dfrac{\sqrt3}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)$ бол $\alpha$, $\beta$-г ол.
$\dfrac{\sin(\alpha+\pi)}{\sin(\alpha+\dfrac{3\pi}{2})}+\dfrac{\cos(3\pi-\alpha)}{\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)-1}=\dfrac{A}{\cos\alpha}$ адилтгал биелэж байхаар $A$-г ол.
$\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=B\tg\dfrac{x}{2}$ адилтгал биелэж байхаар $B$-г ол.
$\sin^4\alpha+\dfrac14\sin^2(2\alpha+\pi)=(\sin\alpha)^k$ адилтгал биелэж байхаар $k$-г ол.
$2\sin4x(\cos^42x-\sin^42x)=\sin kx$ адилтгал биелэж байхаар $k$-г ол.
$\cos20^{\circ}+2\sin^255^{\circ}=1+\sqrt2\sin65^{\circ}$ тэнцэтгэлийг шалга.
$y=\cos2x$ функцийн график байгуул.
$y=\sin2x-1$ функцийн график байгуул.
$y=2^{\log_2\cos x}$ функцийн график байгуул.
$y=\cos\Big(x+\dfrac{\pi}{3}\Big)+\sin\Big(\dfrac{\pi}{6}-x\Big)$ функцийн график байгуул.
$\cos^2x+\cos^2(x+\alpha)-2\cos\alpha\cdot\cos x\cdot\cos(x+\alpha)$ илэрхийлэл $x$-ээс хамаарахгүй болохыг батал.
$y=\sin^2x$ функц үетэй юу? Үетэй бол үеийг ол.
$y=\cos\sqrt x$ функц үетэй юу? Үетэй бол үеийг ол.
$f(x)=\sin^22x+0.5\cos4x+2\sin^2x+\cos2x$ нь $x$-ээс хамаарахгүй тогтмол утга авахыг харуулж тэр утгийг ол.
$x=313,-313$ утгуудийн аль дээр $f(x)=\sin x$ функц эерэг утга авах вэ?
$x_{0}=\sin75^{\circ}$ тоо $4x^2-2\sqrt2x-1=0$ тэгшитгэлийн шийд болохыг үзүүл.
$f(x)=\lg(\sqrt{9\tg^2x+1}-3\tg x)$ функцийн тэгш сондгойг тодорхойл.
$\alpha$-ийн ямар утганд $2\sin\alpha=\sin2\alpha$ байх вэ?
$\cos\dfrac{\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac18$ байхыг батал.
$\sin\dfrac{2}{5\alpha}\cos\dfrac{\alpha}{2}-\sin3\alpha\cos\dfrac{\pi}{3}-\dfrac14 $-г үржвэр хэлбэрт хувирга.
$\sec\alpha-\cos\alpha+\sec60^{\circ}\cdot\cos2\alpha\sin3\alpha-\sin5\alpha $-г үржвэр хэлбэрт хувирга.
$\tg2x=-\dfrac34$ ба $\sin2x>0$ бол $\log_{\tg\frac{\pi}{6}}\tg x$ илэрхийлэл тодорхойлогдохыг харуулж утгыг ол.
$\sin(\delta+\frac{\pi}{4})+\cos(\delta+\frac{\pi}{4})=-\sqrt{\dfrac45}$ бол $\log_{\frac{14}{25}}|\cos\delta|+\log_{\frac{14}{25}}|\cos3\delta|$-г тооцоол.
$\arccos(\sin5.3)-\dfrac{5\pi}{2}$-г тооцоол.
$\sin x+\cos x=a$ бол $\dfrac{\sin^3x+\cos^3 x}{a(a^2-3)}$-г ол.
$0< \alpha< 90^{\circ}$ бол $\dfrac{\sqrt{1+\sin\alpha}-\sqrt{1-\sin\alpha}}{4\sin\dfrac{\alpha}{2}}$-г хялбарчил.
$\sin5\alpha\cdot\sin4\alpha+\sin4\alpha\cdot\sin3\alpha-\sin2\alpha\cdot\sin\alpha-2\sin3\alpha\cdot\sin5\alpha\cdot\cos\alpha$-г хялбарчил.
$\tg3\alpha-\tg(\dfrac{\pi}{3}-\alpha)\tg(\dfrac{\pi}{3+\alpha})\tg\alpha+1 $-г хялбарчил.
$(\sqrt5+1)\sin18^{\circ}$-г тооцоол.
$\sin\alpha+\cos\alpha=1.4$ ба $0< \alpha< \dfrac{\pi}{4}$ бол $3\tg\dfrac{\alpha}{2}$-г тооцоол.
$\sqrt5\sin(\dfrac12\arcctg(-\dfrac43))$-г тооцоол.
$x\sin^2\alpha+y\cos^2\alpha=1, y\sin^2\phi+x\cos^2\phi=1, x\tg\alpha=y\tg\phi$ тэгшитгэлээс $\alpha$ ба $\phi$-г илэрхийл.
$2\cos^2x-\cos2x=2\sin^2x-\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x=\dfrac14(2\sin^2x+\cos2x+1)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^26x-\sin^23x-1=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x\tg3x-2\sin x\sin\left(x+\dfrac{23\pi}{2}\right)=0, -\dfrac\pi2\le x\le\dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$(2\cos^2x-1)\sqrt{2x-x^2}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos^2x}{1-\cos x}=\dfrac1{2\sin^2\Big(\dfrac x2\Big)}+2\cos^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{(\sqrt3\cos x+\sin x)^2}{\sqrt3+2\sin2x}=\dfrac{\sqrt3}2$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{4\sin x-2\cos2x-1}{\cos2x+\sqrt3\cos x-2}=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x=\cos^2x+\dfrac12\log_{\sqrt2}\left(\dfrac1{\sin\Big(\dfrac\pi6\Big)}\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_{4-x^2}(\sin x+\cos x)=\log_{4-x^2}\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin2^x-\sin2^{x+1}=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_{1/\sin x}\cos^2x=\log_{\sqrt{\sin x}}\sqrt{7-\tg x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_{\ctg x}(\tg^2x-\sqrt3\tg x+\sqrt3)=-1$ тэгшитгэлийн $[1,8]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\log_{3}(2\sin x-1+18\sin^2x)=-\log_{1/3}(1-7\sin x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_2(3\sin x-\cos x)+\log_2\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_5\big((x+19)\cos x\big)=\log_5\left(\dfrac{x+19}{\cos x}\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_4\left(\dfrac{x-4}{\sin x}\right)=\log_4\big((x-14)\sin x\big)$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_3\big((x+10)\cos x\big)=\log_3\left(\dfrac{x+10}{\cos x}\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_3(2\sin x\sin 2x)+\log_{1/3}(5\cos x+4\sin 2x)=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_{27}\left(\sin2x-\dfrac13\cos x\right)=\dfrac13\log_3(-\cos x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\log_{\sin x}2\cdot\log_{\sin^2x}3=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{9-x^2}(2\sin2\pi x+5\cos\pi x)=0$ тэгшитгэлийг бод.
$81^{\sin^2x}+81^{\cos^2x}=30$ тэгшитгэлийг бод.
$4^{\sin^2x}-2^{-\cos4x}=0$ тэгшитгэлийг бод.
$3\cdot64^{2\sin^2\left(x+\frac\pi4\right)}-392\cdot8^{\sin2x}+16=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\left(3^{8x\ctg\pi x}\right)^x\cdot27^{5x\ctg\pi x}=9^{\ctg\pi x}$ тэгшитгэлийг бод.
$7^{1+\cos 2x}+49^{(\sin x+1)^2-2\sin x}=14\cdot 5^{\log_{\cos x}\cos^2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x=\cos\dfrac1x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos(\pi x^2)=\cos\big(\pi(x^2+2x)\big)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x\cos3x-9\cos^2x+5=14\sin x\sin3x-30\sin^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\sin3x+7+2\sin^2x=14\cos x\cos3x+7\cos^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2\left(x-\dfrac\pi6\right)\cos^6\left(x-\dfrac\pi6\right)-\sin^6\left(x-\dfrac\pi6\right)\sin^2\left(x+\dfrac\pi3\right)=\dfrac18\sin\left(2x-\dfrac\pi3\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(x-\dfrac\pi{12}\right)\cos^5\left(x-\dfrac\pi{12}\right)-\sin^5\left(x-\dfrac\pi{12}\right)\cos\left(x-\dfrac\pi{12}\right)=\dfrac14\cos\left(2x-\dfrac\pi6\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$8\sin^3x\sin3x-\cos6x-3\cos2x=-3\cos4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin\Big(\dfrac{3x}2\Big)}{\sin\Big(\dfrac{x}2\Big)}\cos\Big(\dfrac{\pi}5+2x\Big)=\cos\Big(2x+\dfrac{\pi}5\Big)+\cos\Big(3x+\dfrac{\pi}5\Big)+\dfrac23$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\sin4x-\cos4x=2\sin5x\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$5\cos2x+3\cos5x-4\sin5x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$3-\sin4x+3\sin2x-3\cos2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+3=3(\sin x+\cos x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac12\sin2x+1=\sin x+\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\cos x\cos2x\cos8x=\dfrac14\sin12x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos\left(2x-\dfrac\pi3\right)+1=\cos\left(x+\dfrac\pi3\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\tg x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos3x\cos^3x+\sin3x\sin^3x=0, 0^\circ< x< 70^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x+\cos3x=2\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x+\cos3x+(\sqrt3\cos x+\sin x)\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x\sin3x=\sin2x\cos3x+\sin x+\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$4\sin^2x\sin^22x=\cos4x\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\sin^4\left(x+\dfrac\pi4\right)=\dfrac14$ тэгшитгэлийг бод.
$8\sin^6\dfrac x2+\cos^3x-\cos2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\dfrac2{\sin x}=-\dfrac1{\cos^2\Big(\dfrac x2\Big)}0,5,~-100^\circ< x< 150^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$0,5(1+\cos x)\cos\left(\dfrac{5\pi}2-x\right)-\sin^3x=4\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2$ тэгшитгэлийн $\log_\pi(x+1)\ge1$ нөхцлийг хангах бүх шийдийг ол.
$(1+\sqrt3)\cos^2\dfrac x2+\tg\dfrac{11\pi}4=\sin x\left(\sin\dfrac{26\pi}{3}+\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)$ тэгшитгэлийн $y=\log_{\pi/4}\left(\dfrac{x-4\pi}{\pi-2x}\right)$ функцийн тодорхойлогдох мужид орох бүх шийдийг ол.
$\tg 2x+\tg\left(\dfrac\pi4-x\right)=a$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{a}{a-3\sin^22x}=3$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos(\sqrt x+\pi)+1=0$ тэгшитгэлийг бод.
$(4-\cos2x)(2+3\sin y)=12+13\cos^{-2}3z$ тэгшитгэлийг бод.
$x^2+2x\sin(xy)+1=0$ тэгшитгэлийг бод.
$(\cos4x-\cos2x)^2=\sin3x+5, 0^\circ< x< 360^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$5\sin2x-6\sin x\sin3x+\sin x=0, 0\le x\le\dfrac\pi3$ тэгшитгэлийг бод.
$\left|\sin\dfrac{\pi x}2-2\right|^{\log_2\left(2-\frac x\pi\right)}=(x^3-6x^2+5x+1)^{\arccos\left(\frac \pi2\right)}$ тэгшитгэлийн ядаж нэг шийдийг ол.
$\cos^4x=\dfrac14\cos2x+\dfrac12\cos^2x\cos8x$ тэгшитгэлийг бод.
$4\cos^4\dfrac x2=\cos\dfrac x2+2\cos^2\dfrac x2\cos 2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac1{\sqrt2}\sin^2\left(x+\dfrac\pi{12}\right)+\sin3x=\cos3x-\sqrt2, -2\pi\le x\le 2\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin x-\sqrt {\sin x}}{\cos x-\sqrt{\cos x}}=1$
$2\sqrt {3} \sin 5x-\sqrt {3} \sin x=\cos 24x\cos x + 2\cos 5x-6$
$\arccos {\dfrac{{1}}{{x^{2}}}}={\dfrac{{\pi} }{{2}}}(1-x^{4})$
$\arcsin {\dfrac{{1}}{{x}}}={\dfrac{{\pi x}}{{2}}}$
$\sqrt {\sin 2x}=\sqrt {\cos x-\sin x-1} $
$(\cos 2\pi z + \cos \pi y)^{2} + \sqrt {128-2y^{2}-2yz}=(yz-82)(4 + x^{2} + 4x\sin \pi z)$ тэгшитгэлийн шийд $(x, y, z)$-г ол.
$x^{2} + 1-2x\sin (\pi y) + \sqrt {yz-2z^{2}-64}=(41-yz)(\cos (2\pi y) + \cos (\pi z))^{2}$ тэгшитгэлийн шийд $(x, y, z)$-г ол.
$\sqrt{3-\tg^{2}\Big(\dfrac{3\pi x}{2}\Big)}\sin(\pi x)-\cos(\pi x)= 2$,
$6\sin\Big(x+\dfrac{\pi}{3}\Big)+\left|\sin\Big(x-\dfrac{\pi}{6}\Big)\right|= 1$
$\cos 3x =-\cos x\ctg\Big(x+\dfrac{\pi}{3}\Big)\ctg\Big(x+\dfrac{2\pi}{3}\Big)$
$\sin^{8}x + \cos^{8}x=\dfrac{17}{32}$
$\sin x + \sqrt {3} \cos x =-\sqrt {1 + 2\cos ^{2}x + \sqrt {3} \sin 2x} $, $0 \le x \le \pi $
$\sqrt {3} \sin x-\cos x=\sqrt {2-\cos 2x-\sqrt {3} \sin x} $, $-{\dfrac{{\pi} }{{2}}} \le x \le {\dfrac{{\pi} }{{2}}}$
$2\sin 2x-\tg x\sin {\dfrac{{29\pi} }{{6}}}=\sin {\dfrac{{19\pi }}{{3}}}$ тэгшитгэлийн ${\dfrac{{\pi ^{2}}}{{x}}} > 4x$ байх шийдийг ол.
$\tg^{3}x + \tg^{2}x + \ctg^{2}x + \ctg^{3}x-4=0$
$\sin ^{4}2x-\cos 2x + \tg^{2}\big(3x-\dfrac{\pi}{2}\big) + 3=\cos ^{3}x-4\sin x$ функц ийм байхад утгыг ол $y=\sqrt[{4}]{{(\cos 0,9\pi-\cos 0,1\pi )\cos x}}$
$\sin 2\pi x + \sin ^{2}4\pi x=\sin ^{2}6\pi x$ тэгшитгэлийн $\log _{4x-36} (10-x) < 1$ байх шийдийг ол.
$(\sin x-1)\big((\sin x + \sqrt {3} \cos x)\sin 4x-2
\big)=0$ тэгшитгэлийн $\lg\big((x + 2\pi)(- x-3\pi / 2) + 1\big)\ge 0$ байх шийдийг ол.
$\left\{\begin{array}{c}
x^{2} + 2x\sin y + 1=0 \\
8{\left| {x} \right|}y(x^{2} + y^{2}) + \pi ^{3} + 4\pi=0
\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}
\left(\cos y+\sin x-1\right)\left(\tg^{2}\big(x-\dfrac{\pi }{3}\big)+\tg^{2}\big(y+\dfrac{\pi}{6}\big)\right)= 0 \\
\left(\sin x-\cos y\right)\left(2-\sin 2y+\sin y\right)=0
\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}
17\cos 2x-7=21\sin x\cos 2y \\
\cos x=\sqrt {3\sin x} \cos y
\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}
(a^{2}-a)\sin\dfrac{x}{2}+\cos y=a+5 \\
3\sin\dfrac{x}{2}+\cos y=4
\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}
5x^{2} + 8xy + 4y^{2}=4 + 4x \\
\sin ^{2}(\pi x) + \sin ^{2}(\pi y)=0
\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}
\cos x + \cos y=1 \\
{4\sin x\sin y=3}
\end{array}\right.$
$2^{x \cdot \log _{2} 7} \cdot 7^{x^{2} + x}=1$
$3^{x \cdot \log _{3} 5} \cdot 5^{x^{2}-3x}=1$
$\sqrt {3^{\frac{1}{x}} + 7}=4$
$9^{x + 1} + 9^{2x-1}=54 \cdot 27^{x-1}$
$x^{2} \cdot 2^{x} + 2^{x}=x \cdot 2^{x + 1,5}$
$\sqrt[{x}]{{3}} \cdot \sqrt[{x}]{{5}}=225$
$2^{x-1}-2^{x-2}=6 \cdot 3^{2-x}$
${\dfrac{{1}}{{3}}} \cdot \sqrt[{x}]{{9}}={\dfrac{{3^{x-5}}}{{\left( {{\dfrac{{1}}{{27}}}} \right)^{x-1}}}}$
$4^{\sin x}+2^{5-2\sin x}=18$ тэгшитгэл бод.
$\sqrt3^{\tg 2x}-\dfrac{3\sqrt3}{3^{\tg 2x}}=0$ тэгшитгэл бод.
$2^{\cos^2x}-8^{\sin^2x}=0$ тэгшитгэл бод.
$25^{1-\cos6x}=5^{\frac{1}{\ctg3x}}$ тэгшитгэл бод.
$\cos(3\pi\cdot5^x)-\cos(\pi\cdot5^x)=\sin(\pi\cdot5^x)$ тэгшитгэл бод.
$8^x+18^x=2\cdot27^x$
$27^x+12^x=2\cdot8^x$
$32^{3(x^3-8)}=8^{19(2x-x^2)}$
$8^{4(x^3+8)}-16^{7(x^2+2x)}=0$
$\dfrac{4^x-2^{x+2}+3}{2^{\frac{x}{2}}-1}+2^{\frac{x}{2}}+1=0$
$\dfrac{9^x-82\cdot3^x+162-3^{{x}/{2}+2}}{3^{{x}/{2}}-9}=-9$
$2^{\sqrt{x+5}}=4\cdot2^{\sqrt{x-3}}$
$5^x\cdot2^{\frac{2x-1}{x+1}}=50$
$\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{x-1}\cdot\sqrt[x]{\dfrac{256}{81}}=\Big(\dfrac{16}{9}\Big)^{-1}$
$\sqrt[x]{81}-\sqrt[x]{9^{x+1}}+18=0$
$3^{\frac{x+2}{3x-4}}-7=2\cdot3^{\frac{5x-10}{3x-4}}$
$9^{\sqrt{x}+0.5}-39\cdot3^{\frac{x-2\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-1}}+12=0$
$2^{x+3}-3^{x^2+2x-6}=3^{x^2+2x-5}-2^{x}$
$(p-1)\cdot4^x-4\cdot2^x+(p+2)=0 $ тэгшитгэл ядаж нэг шийдтэй байх $p$-ийн бүх утгийг ол.
$a\cdot12^{|x|}=2-12^{-|x|} $ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ? Шийдүүдийг ол.
$2^{x^2-4x+5}=1+\sin^2\dfrac{\pi x}{4}$
$3^x+3^{2-x}=3\cdot(1+\cos2\pi x)$
$\Bigl(\dfrac13\Bigr)^{x^2+2x}=4-|\sin\dfrac{\pi}{4}(x-1)|$
$2^x+2^{-x}=2\cdot\cos\Big(\dfrac{x}{3}\Big)$
$2^{x+1}+2^{1-x}=1-4x-x^2$ тэгшитгэлийн шийдийн тоог тодорхойлж түүнийгээ нотол.
$8^{x+1}+8\cdot(0.5)^{3x}+3\cdot2^{x+3}=125-24\cdot(0.5)^x$
$5^{3x}+5^{3(1-x)}+15\cdot(5^x+5^{1-x})=216$
$2^{3x}-8\cdot2^{-3x}-6\cdot\Big(2^x-\dfrac{1}{2^{x-1}}\Big)=1$
$16^{x^2-\frac2x}-15\cdot4^{x^2}-4^{2+x}=0$
$4^{x^2-x}-10\cdot2^{x^2}+2^{2x+4}=0$
$8\cdot4^{-x+\frac1x}-4^x+2\cdot4^{\frac1x+1}-1=0$
$(x-3)^{3x^2-10x+3}=1$
$7^{x+3}\cdot3^{\frac{x+3}{x+2}}=1$ тэгшитгэлийн хамгийн бага шийдийг ол.
$\Big(x-\lg\dfrac{x}{2}\Big)^{\lg^22x-\lg\frac{x}{5}-1}=1$
$|x-3|^{3x^2-10x+3}=1$
$|x-2|^{10x^2-3x-1}=1$
$\sqrt[4]{|x-3|^{x+1}}=\sqrt[3]{|x-3|^{x-2}}$
$\left\{ \begin{array}{c} 3\cdot2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+a\\ x^2+y^2=1 \end{array} \right.$ тэгшитгэл цорын ганц шийдтэй байх $a$ параметрийн бүх утгыг ол.
$\left\{ \begin{array}{c} 5\cdot2^{|x|}+3|x|-2=5y+3x^2-5a\\ x^2+y^2=1 \end{array} \right.$ тэгшитгэл цорын ганц шийдтэй байх $a$ параметрийн бүх утгыг ол.
$\left\{ \begin{array}{c} (2-\sqrt3)^{x}+(2+\sqrt3)^x-5=a-2y+y^2\\ x^2+(2-a-a^2)y^2=0\\ 0\le y\le2 \end{array} \right.$ тэгшитгэл цорын ганц шийдтэй байх $a$ параметрийн бүх утгыг ол.
$\log_2(6-4^x)=x$
$\log_{0.5}(2^x-1)=x-1$
$\log_2(9-2^x)=3-x$.
$x+\log_2(2^x-31)=5$
$\log_3(3^x-2)=1-x$
$\lg2+\lg\bigl(4^{-x^2}+9\bigr)=1+\lg\bigl(2^{x^2}+1\bigr)$
$\log_3(3^{2x}-3^x-63)=x$
$\log_2(2^{x+3}+16)=2x+\log_23$
$\log_{\sqrt7}(3^{2x-2}-3^{x+1}+7^x)=2x$
$\dfrac{\log_2(9-2^x)}{3-x}=2\cdot2^{\log_{1/3}2}$
$\log_3\bigl(\log_9x+\dfrac12+9^x\bigr)=2x$
$1-x\log_62=\log_6(2^x+1)$
$\log_2(4^x+1)=x+\log_2(2^{x+3}-6)$
$\log_2(9^{x-1}+7)=2+\log_2(3^{x-1}+1)$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
$\Bigl(\dfrac19\Bigr)^{\log_3\sqrt{x+1}-\frac12\log_3(x^2-1)}=\sqrt{2(x-1)}$
$0.4^{\lg^2x+1}=6.25^{2-\lg^3x}$
$9^{\log_{25}x^2}+\log_{\sqrt2}2\sqrt2=\dfrac12\bigl(9^{\log_{25}x+1}-9^{\log_{25}x}\bigr) $
$\log_2(4^x+4)=x+\log_2(2^{x+1}-3) $
$1+\log_3(2^x-7)=\log_3(2^x-7)+\log_3(2^x-8) $
$4^{\log_9x}-6\cdot2^{\log_9x}+2^{\log_327}=0 $ тэгшитгэлийн хамгийн их шийдийг ол.
$\dfrac{9}{3x+2}>\dfrac{1+\log _{3}\left(x+6\right)}{x}$ тэнцэтгэл бишийг бод.
$\sin{\dfrac{x}{2}}+\cos{\dfrac{x}{2}}\le\dfrac{\sin x-3}{\sqrt{2}}$ тэнцэтгэл бишийг бод.
$3\cdot\sin 2\pi x\ge\sqrt{2}\cdot\sin 4\pi x+3\cdot\cos 2\pi x+\sqrt{32}$ тэнцэтгэл бишийг бод.
$\log_{2}\left({2x+3y-6z+3}\right)+\log_{2}\left({3x-2y+2z-2}\right)+\log_{2}\left({2y+4z-5x+2}\right)>z^{2}-9z+17$ тэнцэтгэл бишийн бүх бүхэл шийд $x, y, z$-г ол.
$\dfrac{1}{\sqrt{7+2x-4y+3z}}+\dfrac{3}{\sqrt{2y+2z-5x}}>\dfrac{2}{\sqrt{3x+2y-5z-4}}+x^{2}+7x+11$ тэнцэтгэл бишийн бүх бүхэл шийд $x, y, z$-г ол.
$\sin{\dfrac{\pi}{2}}\ge\cos\pi+\dfrac{\tg x+1}{1-
\tg x}+\left|{\tg\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\right|+\left(\cos\dfrac{\pi}{5}\right)^{\sin5x}+\left(\sin{\dfrac{3\pi}{10}}\right)^{\cos\left(5x+{\dfrac{\pi}{2}}\right)}$ тэнцэтгэл бишийг бод.
$f(x) = \cos x$ бол $\cos^{2}x - 2f^\prime(x) = \sin x \cdot f^\prime(x)$ тэгшитгэлийн $180^{\circ} < x < 270^{\circ}$ нөхцлийг хангах шийдийг ол.
- $4^{x\log_8x}=x\sqrt{x}$ тэгшитгэл бод.
- $\log_x (-x^2+x+2)\leq 1$ тэнцэтгэл биш бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ үед $(1+\sin\theta)(1+\cos \theta)$-ийн хамгийн их, хамгийн бага утгыг ол.
$F=\dfrac{\sin(\theta+30^{\circ})-\sin(\theta-30^{\circ})}{\sin(\theta+60^{\circ})}, 30^{\circ}\leq \theta \leq 60^{\circ}$ функцийн хамгийн их,
хамгийн бага утгыг ол.
$a$, $b$ бодит тоонууд. $8^x-a(4^x-1)+b(2^x-1)-1=0$ тэгшитгэл өгөв.
- Тэгшитгэл $0$ эсвэл сөрөг ялгаатай 3 шийдтэй үед $(a,b)$ мужийг дүрсэл.
- Энэ үед $b$-ын утгын мужийг ол.
$A$, $B$, $C$-эерэг өнцгүүдийн нийлбэр $A+B+C=180^{\circ}$ ба
$$\bigg\{
\begin{array}{cc}
\sin A\cdot \sin B=\cos C & \boldsymbol{\cdots}(1)\\
\sin A+\sin B=\sqrt{3}\sin C+1 & \boldsymbol{\cdots}(2)\\
\end{array}$$
бол $A$, $B$, $C$-г ол.
$0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}$, $0^{\circ}\leq y\leq 180^{\circ}$, $\cos 3x=\cos 3y$, $\sin x=\sin y$, $\cos x\ne \cos y$ нөхцлүүдийг хангах $x$, $y$ өнцгүүдийг ол.
$(\log_{10}x)^2-\log_{10}x^4+2(t^2+1)=0$ нь $\alpha,\beta$
гэсэн 2 бодит шийдтэй бол
- $\alpha >1,\beta>1$ болохыг үзүүл.
- $\log_\alpha \beta+\log_\beta \alpha$-ын утгын мужийг ол.
- $\log_2x+\log_2 y+\log_2 z=1+\log_2 (x+y+z),x\leq y\leq z$ байх бүх бүхэл $(x,y,z)$ хосуудыг ол.
- $\log_2 ax+\log_2 by+\log_2 cz=1+\log_2(ax+by+cz)$-ыг хангах бүхэл тоон хос $(x,y,z)$ оршин байх эерэг бүхэл $(a,b,c)$ хосууд хэчнээн ширхэг байх вэ?
$a, b, c$ нь нэгээс их тоонууд бол
- $\log_{ab}a+\log_{bc}b+\log_{ca}c>1$ гэж батал.
- $\log_{ab}a+\log_{bc}b+\log_{ca}c< 2$ гэж батал.
- $\log_{ab}a+\log_{bc}b+\log_{ca}c=\frac32$ байх $a, b, c$-г ол.
$A+B+C=180^{\circ}$ ба $\sin A\cdot \sin B=\cos C$,
$\sin A+\sin B=\sqrt{3}\sin C$ нөхцлийг хангадаг бол эерэг өнцөг
$A$, $B$, $C$-г ол.
$\sin 3x=\sin 3y$, $\cos 2x=\cos 2y$, $\sin x\ne \sin y$,
$0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}$, $0^{\circ}\leq y\leq
360^{\circ}$ нөхцлүүдийг хангах $x, y$-ийг ол.
$I=3\sin \theta\cdot \cos \theta-\sin \theta-\cos
\theta$ функцийн утгын мужийг ол.
$a>0 \sin 2\theta+2a(\sin \theta+\cos \theta)-1=0$ тэгшитгэлийн шийд
$[0^{\circ};90^{\circ}]$ мужид байх $a$ параметрийн утгын мужийг
ол.
$4^x+a\cdot 2^{x+1}+a^2-4=0$ тэгшитгэл нэг эерэг, нэг сөрөг шийдтэй байх $a$-ийн утгын мужийг ол.
$\log_3 \frac{x}{3}\leq 0; \log_2(2y-x+4)\leq \log_8(4-x)^2+\log_2 (x+1)$ нөхцөл биелэх үед $y-x$ илэрхийллийн утгын мужийг ол.
$(\log_2x)^2+(\log_2y)^2=\log_2x^3+\log_2y^3$
нөхцлийг хангах $x,y$-ийн хувьд $\frac{x}{y}$ илэрхийллийн хамгийн
их, хамгийн бага утгыг ол.
$(\log_{10}x)^2-\log_{10}x^4+2(t^2+1)=0$ тэгшитгэл шийдтэй байх $t$-ийн утгын мужийг ол.
$x$ эерэг тоо, $a$-өгөгдсөн эерэг тоо, $ax$ ба $ax^3$-ын бүхэл хэсэг тус бүр 5, 10 оронтой байв. Ийм байх $x$-ийн утгын мужийг $10^p< x< 10^q$ гэвэл $p$, $q$-г ол.
$\log_{a}(x+1)+\log_{a}(2-x)=-1$ хангах бодит $x$ оршин байх $a$-ын мужийг ол.
$\log_{2}(2x-3y+1)=\log_{2}x+\log_{2}(y+1)$-ыг хангах бүхэл $x, y$-ыг ол.
- $\log_{x}y+\log_{y}x,(x>1,y>1)$ илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.
- $x^3y^4=2^{12}$ бол $(\log_{2}x)(\log_{2}y)$ илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.
Тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
- $\log_3x=4$
- $\log_{\frac13}x>2$
$5^x+12^x=13^x$ бол $x=?$
A. $x=1$
B. $x=2$
C. $x=3$
D. $x=-1$
E. $x=-2$
Хэрэв $\lg(x+3)-\lg(x-1)=1$ бол $x=?$
A. $0$
B. $-\dfrac{13}{9}$
C. $\dfrac{13}{9}$
D. $\dfrac{16}{9}$
E. $2$
$\sqrt{x^2-9} \cdot \lg(1-x)=0$ тэгшитгэлийн шийд ол.
A. $-3; 3$
B. $0$
C. $-3$
D. $3$
E. $0,-3$
$2^{\log_3 {x^2}} \cdot 5^{\log_3 x}=400$ тэгшитгэл $k$ ширхэг шийдтэй ба эерэг нь шийд $a$ бол $k \cdot a =?$
A. 3
B. 4
C. 6
D. 9
E. 12
$\dfrac{6^{x+2}-216}{6^{2x}-36}=\dfrac67$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\{1;2\}$
B. $6$
C. $2$
D. $5$
E. $1$
$\log_2|\ctg x|+\log_4\dfrac{\sin x}{\cos x+2\sin x}=0$ тэгшитгэлийн $\big[\frac32;\frac52\big]$ завсар дахь шийдийг ол.
A. $\dfrac{\pi}{2}$
B. $\dfrac{3\pi}{2}$
C. $\dfrac{3\pi}{4}$
D. $\dfrac{\pi}{4}$
E. $\dfrac{5\pi}{4}$
$\dfrac{3^{x+2}-27}{3^{2x}-9}=\dfrac34$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\{1;2\}$
B. $9$
C. $2$
D. $3$
E. $1$
$4^{\log_{25}x^2}+\log_{3\sqrt3}27=4^{1+\log_{25}x}-4^{\log_{25}x}$ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг ол.
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
$3^x=81$ тэгшитгэлийг бод.
A. 3
B. 27
C. 9
D. 4
E. 5
$\log_3^2x-\log_316\cdot\log_2x+3=0$ тэгшитгэл бод.
A. $1$
B. $2$
C. $1$ ба $3$
D. $3$ ба $27$
E. $\varnothing$
$\log_{\sqrt{6}}(5-x)+\log_{\sqrt{6}}x^2=2$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $-1$
B. $3$
C. $2\sqrt{3}$
D. $6$
E. $5$
$\log_{x+2}(x^3+3x^2+2x)<2$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $\big]0;\frac{\sqrt5-1}{2}\big[$
B. $\big]-\frac{\sqrt5+1}{2};0\big[$
C. $]0;1[$
D. $\big]-\frac{\sqrt5+1}{2};+\infty\big[$
E. $]-2;-\sqrt{2}[\cup]0;\sqrt2[$
$\log_{x}(x^3+3x^2+2x)<2$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $]0;1[$
B. $\big]-\frac{\sqrt5+1}{2};+\infty\big[$
C. $\big]-\frac{\sqrt5+1}{2};0\big[$
D. $]-2;-\sqrt{2}[\cup]0;\sqrt2[$
E. $\big]0;\frac{\sqrt5-1}{2}\big[$
$2\log_x2+\log_4x=\dfrac52$ бол $\lg(3x+52)=?$
A. $2$
B. $2;\lg58$
C. $2;\lg\dfrac34$
D. $2;\lg82$
E. $\lg82$
$\log_x5+\log_{25}x=\dfrac32$ бол $\lg(4x)=?$
A. $2$
B. $2;1-\lg2$
C. $2;1+\lg2$
D. $2;\lg2$
E. $\lg20$
$\log_x3+\log_9x=\dfrac32$ бол $\lg(x^2+1)=?$
A. $1$
B. $1;\lg82$
C. $1;\lg\dfrac34$
D. $\lg0.7$
E. $\lg82$
$\log_x4+\log_{16}x=\dfrac32$ бол $\lg(6x+4)=?$
A. $2;\lg28$
B. $2$
C. $2;\lg\dfrac23$
D. $2;\lg0.75$
E. $\lg28$
$\log_x3+\log_9x=\dfrac32$ бол $\lg(x^2+1)=?$
A. $1$
B. $1;\lg82$
C. $1;\lg\dfrac34$
D. $\lg0.7$
E. $\lg82$
$(x+1)^{x^2-3x+2}=1$ тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?
A. $3$
B. $5$
C. $4$
D. $2$
E. $1$
$(x-1)x^{\ln x}=ex-e$ тэгшитгэл хэдэн ялгаатай бодит шийдтэй вэ?
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $4$
$(x-2)x^{\lg x}=10x-20$ тэгшитгэл хэдэн ялгаатай бодит шийдтэй вэ?
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $4$
$(x-6)^{x^2-15x+56}=1$ тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?
A. $3$
B. $5$
C. $4$
D. $2$
E. $1$
$\log_5(6-5^x)=1-x$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $6$
B. $0$
C. $5$
D. $1$
E. $2$
$\displaystyle 3^x=36$ бол $\displaystyle
x=\log_3{\fbox{a}}+\fbox{b}$ ба $\displaystyle x$-ийн бүхэл хэсэг нь $\displaystyle \fbox{c}$ байна.
$ (x+\log_{2}{p})^2=16x $ тэгшитгэл ялгаатай язгууруудтай байх $p$-ийн утга $0< p< \fbox{ab}$ байна.
$10^{\sqrt{\lg{x}}}+x^{\sqrt{\log_{x}{10}}}=200$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}$ мужид тодорхойлогдох ба $x=\fbox{bc}^{4}$ шийдтэй байна.
$2^{\sqrt{\log_{2}{x}}}=4-x^{\sqrt{\log_{x}{2}}}$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}$ мужид тодорхойлогдох ба $ x=\fbox{b} $ шийдтэй байна.
$(0.4)^{x^2-2}\cdot{(0.5)^{x-3}}=10$ тэгшитгэл $ x_1=\fbox{a}, x_2=\dfrac{\fbox{b}}{\log_{5}{2}-\fbox{c}}$ шийдүүдтэй.
$ 6^{\frac{2x-1}{x}}\cdot{0.75^{\frac{x}{x+1}}}=\sqrt[6]{2\cdot{3^{13}}} $ тэгшитгэл $ x\neq0, x\neq{-\fbox{a}} $ мужид тодорхойлогдоно. Тэгшитгэлээ цааш нь хувиргавал $ 2^{x^2-5x+\fbox{b}}=3^{\fbox{c}x^2-7x-6} $ хэлбэрт шилжих ба $ x_1=2, x_2=\dfrac{\fbox{d}}{1-6\log_{6}{\fbox{e}}} $ шийдүүдтэй байна.
$ \dfrac{1}{\sqrt{3x-5}}=(3x-5)^{\log_{\frac{1}{25}}{(2+5x-x^2)}} -$ тэгшитгэл $\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}< x< \dfrac{\fbox{c}+\sqrt{33}}{\fbox{d}} $ мужид тодорхойлогдоно. Тэгшитгэлийн хоёр талыг 2 - сууриар логарифмчилан цааш нь хувиргаж $ \log_{2}{(3x-5)}(\log_{\fbox{e}}{(2+5x-x^2)}-1)=0 $ хэлбэрт оруулъя. Эндээс тодорхойлогдох мужаа тооцвол $ x=\fbox{f} , x=\dfrac{\fbox{g}+\sqrt{\fbox{hi}}}{2} $ шийдүүд олдоно.
$ \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}=(2x-1)^{\log_{\frac{1}{4}}{(1+7x-2x^2)}} -$ тэгшитгэл $ \dfrac{\fbox{a}}{2}< x< \dfrac{\fbox{b}+\sqrt{57}}{\fbox{c}} $ мужид тодорхойлогдоно. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн 2 талыг 2- сууриар логарифмчилан цааш нь хувиргавал $ \log_{\fbox{d}}{(2x-1)}(1-\log_{2}{(1+7x-2x^2)})=0 $ тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс тодорхойлогдох мужаа тооцвол $ x=\fbox{e}, x=\dfrac{\fbox{f}+\sqrt{\fbox{gh}}}{4}$ шийдүүд олдоно.
$ \log_{1-2x^2}{x}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{\log_{2}{(1-2x^2)^4}} $ тэгшитгэл $ 0< x< \dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}} $ мужид тодорхойлогдох ба $ x=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}} $ шийдтэй байна.
$\log_{x+4}{(x^2-1)}=\log_{x+4}{(5-x)} $ тэгшитгэл $ -\fbox{a}< x< -1, 1< x< \fbox{b}, x\neq{-3} $ мужид тодорхойлогдох ба $ x=\fbox{c} $ язгууртай байна.
$ (x-4)^2\log_{4}{(x-1)}-2\log_{4}{(x-1)^2}=(x-4)^2\log_{x-1}{4}-2\log_{x-1}{16} $ тэгшитгэл $ \fbox{a}< x\neq{\fbox{b}} $ мужид тодорхойлогдох ба $x_1=\fbox{c}, x_2=\dfrac{5}{\fbox{d}}, x_3=\fbox{e} $ шийдүүдтэй байна.
$$\sqrt{x}(9^{\sqrt{x^2-3}}-3^{\sqrt{x^2-3}})=3^{2\sqrt{x^2-3}+1}- 3^{\sqrt{x^2-3}+1}+6\sqrt{x}-18$$
тэгшитгэл $ x\geq{\sqrt{\fbox{a}}} $ мужид тодорхойлогдоно. Тэгшитгэлээ дээрх мужид нь хувиргавал
$$(\sqrt{x}-3)(\fbox{b}^{\sqrt{x^2-3}}-3^{\sqrt{x^2-3}}-6)=0$$
тэгшитгэлд шилжих ба уг тэгшитгэлээ бодож тодорхойлогдох мужаа тооцвол $ x=\fbox{c}, x=\fbox{d}$ ($\fbox{c}<\fbox{d}$) шийдүүд олдоно.
$x^2\log_{6}{\sqrt{5x^2-2x-3}}-x\log_{\frac{1}{6}}{(5x^2-2x-3)}=x^2+2x $ тэгшитгэл $ x< -\dfrac{\fbox{a}}{5}, x>\fbox{b} $ мужид тодорхойлогдох ба $(x^2+\fbox{c}x)(\log_{6}{(5x^2-2x-3)}-2)=0$ тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс тодорхойлогдох мужаа тооцвол $x_1=-\fbox{d}, x_2=\fbox{e}, x_3=-\dfrac{13}{\fbox{f}}$ шийдүүдтэй.
$(\frac{2}{7})^{x^2-1}\cdot(\frac{49}{4})^{2x}=(\frac{8}{343})^{\frac{4}{3}}$ тэгшитгэл $ (\frac{2}{7})^{x^2-\fbox{a}x-\fbox{b}}=(\frac{2}{7})^{\fbox{c}}$ болох тул шийдийн олонлог $\{ \fbox{d}, -\fbox{e}\}$ байна.
$ (\sqrt{7}+1)^x+2^{x+1}(\sqrt{7}+4)^x=10 $ тэгшитгэл $ 2(\sqrt{7}+\fbox{a})^{2x}+(\sqrt{7}+\fbox{a})^x-10=0 $ болж шийд нь $ x=\log_{\sqrt{7}+\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.
$\log_2(9-4^{\sqrt{1-|x|}})=3-2\sqrt{1-|x|}$ тэгшитгэл
$-\fbox{a}\leq x\leq \fbox{b}$ мужид тодорхойлогдох ба
$x=\pm\fbox{c}$ шийдтэй.
$\log_4(17-2^{\sqrt{2-|x|}})=0,5(4-\sqrt{2-|x|})$ тэгшитгэл
$-\fbox{a}\leq x\leq \fbox{b}$ мужид тодорхойлогдох ба
$x=\pm\fbox{c}$ шийдтэй.
$2^{1+2\cos 5x}+16^{\sin^2 2.5x}=9$ тэгшитгэлд $\fbox{a}^{\cos
5x}=t$-орлуулга хийж хувиргавал $2t^2-9t+\fbox{b}=0$ тэгшитгэлд
шилжих ба $t_1=4, t_2=\dfrac1{\fbox{c}}$-шийдүүдтэй. Орлуулгаа
буцааж ашиглавал анхны тэгшитгэлийн $x=\dfrac{\fbox{d}\pi k}{5},
x=2\pi\dfrac{(\fbox{e}k\pm 1)}{15} k\in \mathbb Z$ шийдүүд
олдoно.
$2^{\sin 2x}+4^{\cos^2(x+45^{\circ})}=2\sqrt{2}$ тэгшитгэлд
$\cos^{2}(x+45^{\circ})$-ийг зэрэг бууруулах томъёогоор хувиргаж
$\fbox{a}^{\sin 2x}=t$ орлуулга хийвэл $t^2-2\sqrt{2}t+\fbox{b}=0$
тэгшитгэлд шилжих ба $t=\sqrt{\fbox{c}}$-шийдтэй. Орлуулгаа буцааж
ашиглавал анхны тэгшитгэл $x=\dfrac{\pi}{12}[(-1)^k+\fbox{d}k] k\in \mathbb Z$ шийдтэй.
$4^{\tg^2x}+2^{\sec^2x}=80$ тэгшитгэлийг хувиргаж
$\fbox{a}^{\tg^2x}=t$ орлуулга хийвэл $t^2+\fbox{b}t-80=0$
тэгшитгэлд шилжих ба $t_1=\fbox{c}, t_2=-10$ шийдүүдтэй.
Oрлуулгаа буцааж ашиглавал анхны тэгшитгэл $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{d}}+\pi k, k\in \mathbb Z$ шийдтэй.
$3^{\sin 2x+2\cos^2x}+3^{1-\sin 2x+2\sin^2x}=28$ тэгшитгэлийг
хувиргаж $3^{\sin 2x+2\cos^2x}=t$ орлуулга хийвэл
$t^2-\fbox{ab}t+\fbox{cd}=0$ тэгшитгэлд шилжих ба $t_1=27, t_2=\fbox{e}$ шийдүүдтэй. Oрлуулгаа буцааж ашиглавал анхны
тэгшитгэл
$x=\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k, x=-\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\pi k, k\in \mathbb Z$ шийдүүд
олдоно.
$\ctg 2^x=\tg 2^x-2\ctg 2^{x+1}$ тэгшитгэлд $\tg 2^x=p$ гэж
орлуулбал $p^2-\fbox{a}=0$ тэгшитгэлд шилжих ба $p=\pm \fbox{b}$
шийдүүд олдоно. Орлуулгаа ашиглан анхны тэгшитгэлийн шийдийг олбол
$x=\log_2\Big(\pi k\pm\dfrac{\pi}{\fbox{c}}\Big), k\in \mathbb
Z$ байна. Энд $\pi k\pm \dfrac{\pi}{\fbox{c}}>0.$
$\sin 3^x+\sqrt{3}\cos 3^x=0$ тэгшитгэл
$x=\log_{\fbox{a}}\left(\pi k-\dfrac{\pi}{\fbox{b}}\right), k\in
\mathbb Z$ шийдтэй. Энд $\pi k-\dfrac{\pi}{\fbox{b}}>0.$
$4^{\tg^2x}+8=3\cdot 2^{1/\cos^2x}$ тэгшитгэлийг хувиргаж
$\fbox{a}^{\tg^2x}=p$-орлуулга хийвэл $p^2-\fbox{b}p+8=0$
тэгшитгэлд шилжих ба $p_1=4, p_2=\fbox{c}$ шийдүүдтэй. Орлуулгаа
ашиглавал анхны тэгшитгэл $x=\arctg(\pm\sqrt{\fbox{d}})+\pi k,
k\in \mathbb Z$, $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+\pi k, k\in \mathbb
Z$ шийдүүдтэй.
$9^{\sin^2x}+4\cdot 9^{\cos^2x}=15$ тэгшитгэлийг хувиргаж
$\fbox{a}^{\sin^2x}=p$-орлуулга хийвэл $p^2-15p+\fbox{bc}=0$
тэгшитгэлд шилжих ба $p_1=\fbox{de}, p_2=\fbox{f}$ шийдүүдтэй.
Орлуулгаа буцааж ашиглавал $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\pi k,
k\in \mathbb Z$ шийд олдоно.
$4^{\cos 2x}+4^{\cos^2x}=3$ тэгшитгэл
$x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{a}}+2\pi k,$
$x=\pm\dfrac{\fbox{b}\pi}{\fbox{c}}+2\pi k, k\in \mathbb Z$
шийдүүдтэй.
$2^{\sin^2x}+5\cdot 2^{\cos^2x}=7$ тэгшитгэл
$x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{a}}+2\pi k$, $ k\in \mathbb Z$ шийдтэй.
$2^{\sin 3x}=\sqrt{\dfrac{\cos^22x+4\sin^2x\cdot \cos^2x}{2}}
\Leftrightarrow x=(-1)^{k+1}\cdot
\dfrac{\pi}{\fbox{ab}}+\dfrac{\pi k}{\fbox{c}} (k\in \mathbb
Z).$
$\sin 2^x+\cos 2^x=a$ тэгшитгэл өгөгдөв.
1) Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утгуудыг олвол $a\in \Bigl[-\sqrt{\fbox{a}};\sqrt{\fbox{b}}\Bigr]$ байна.
2) $a=1$ үед тэгшитгэлийн хамгийн бага гурван шийдийн нийлбэр $\log_2\Bigl(\fbox{c,d}\cdot \pi^{\fbox{e}}\Bigr)$-тэй тэнцүү.
3) $a=0$ үед тэгшитгэлийн $[1;4]$ завсар дахь шийдийн тоо $n=\fbox{f}$ байна.
1) Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утгуудыг олвол $a\in \Bigl[-\sqrt{\fbox{a}};\sqrt{\fbox{b}}\Bigr]$ байна.
2) $a=1$ үед тэгшитгэлийн хамгийн бага гурван шийдийн нийлбэр $\log_2\Bigl(\fbox{c,d}\cdot \pi^{\fbox{e}}\Bigr)$-тэй тэнцүү.
3) $a=0$ үед тэгшитгэлийн $[1;4]$ завсар дахь шийдийн тоо $n=\fbox{f}$ байна.
$(\cos^2x-a^2)^{\cos x+\sin x}=1$ тэгшитгэл өгөгдөв.
1) Уг тэгшитгэл $a\ne \pm \dfrac{\fbox{a}}{\sqrt{\fbox{1b}}}$ үед шийдтэй.
2) $a=0$ үед уг тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг хоёр шийдийн нийлбэр $1\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{c}}\cdot \pi$-тэй тэнцүү.
3) $a=1$ үед уг тэгшитгэл $[0;2\pi]$ завсарт $\fbox{e}$-ширхэг шийдтэй.
1) Уг тэгшитгэл $a\ne \pm \dfrac{\fbox{a}}{\sqrt{\fbox{1b}}}$ үед шийдтэй.
2) $a=0$ үед уг тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг хоёр шийдийн нийлбэр $1\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{c}}\cdot \pi$-тэй тэнцүү.
3) $a=1$ үед уг тэгшитгэл $[0;2\pi]$ завсарт $\fbox{e}$-ширхэг шийдтэй.
$y(x)=\dfrac 12\Bigl[\log_3(1-\cos x)-\log_3(1+\cos x)\Bigr]$ бол
1) $y(2\arctg 9)-2y\Bigl(\dfrac{\pi}{3}\Bigr)=\fbox{a},$
2) $y(x)=1$ тэгшитгэл бодвол $x=\pm\arccos\dfrac{4}{\fbox{b}}+(\fbox{c}k+1)\pi (k\in \mathbb Z),$
3) $y(x)=-1$ тэгшитгэл бодвол $x=\pm \arccos \dfrac{\fbox{e}}{\fbox{d}}+2\pi k, (k\in \mathbb Z).$
1) $y(2\arctg 9)-2y\Bigl(\dfrac{\pi}{3}\Bigr)=\fbox{a},$
2) $y(x)=1$ тэгшитгэл бодвол $x=\pm\arccos\dfrac{4}{\fbox{b}}+(\fbox{c}k+1)\pi (k\in \mathbb Z),$
3) $y(x)=-1$ тэгшитгэл бодвол $x=\pm \arccos \dfrac{\fbox{e}}{\fbox{d}}+2\pi k, (k\in \mathbb Z).$
$y(x)=\log_2(1-\sin x)+\log_2(1+\sin x)$ бол
1) $y\Bigl(\dfrac{\pi}{4}\Bigr)-y(\arccos\dfrac 18)=\fbox{a},$
2) $y(x)=-1$ тэгшитгэл $x=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}+\dfrac{\pi}{\fbox{c}}k (k\in \mathbb Z),$
3) $y(x)\leq -2$ тэнцэтгэл биш $x\in \Bigl[\dfrac{\pi}{\fbox{d}}+\pi k;\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+\pi k \Bigr[\cup \Bigl]\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k;\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{g}}\pi+\pi k\Bigr], (k\in\mathbb Z)$ шийдтэй байна.
1) $y\Bigl(\dfrac{\pi}{4}\Bigr)-y(\arccos\dfrac 18)=\fbox{a},$
2) $y(x)=-1$ тэгшитгэл $x=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}+\dfrac{\pi}{\fbox{c}}k (k\in \mathbb Z),$
3) $y(x)\leq -2$ тэнцэтгэл биш $x\in \Bigl[\dfrac{\pi}{\fbox{d}}+\pi k;\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+\pi k \Bigr[\cup \Bigl]\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k;\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{g}}\pi+\pi k\Bigr], (k\in\mathbb Z)$ шийдтэй байна.
$y=\cos 3x-\cos x$ функцийн
1) $y_{\max}=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{a}}\sqrt{3}.$
2) $y=-1,5$ тэгшитгэл бодвол $\left[ % \begin{array}{l} x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{c}}+2\pi k \\[2mm] x=\pm\arccos \dfrac{\sqrt{\fbox{de}}-2}{4}+2\pi k, \\ \end{array} % \right. (k\in \mathbb Z)$.
1) $y_{\max}=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{a}}\sqrt{3}.$
2) $y=-1,5$ тэгшитгэл бодвол $\left[ % \begin{array}{l} x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{c}}+2\pi k \\[2mm] x=\pm\arccos \dfrac{\sqrt{\fbox{de}}-2}{4}+2\pi k, \\ \end{array} % \right. (k\in \mathbb Z)$.
$y=\log_{\sqrt{2}\sin0.5x}\left(1+\cos\dfrac x2\right)-2$ функц
өгөгдөв.
1) Функцийн тодорхойлогдох муж $ \left\{ % \begin{array}{l} x\ne \dfrac{\pm1}{\fbox{a}}\cdot \pi+\fbox{b}\pi k \\ \fbox{c}n\pi< x< (\fbox{d}n+1)2\pi \\ \end{array} % \right. k,n\in \mathbb Z.$
2) $y=0$ тэгшитгэлийг бодвол $x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\pi+\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}k\pi,$ $x=\fbox{j}\pi+\fbox{i}n\pi, k,n\in \mathbb Z$
3) Тодорхойлогдох мужийг тооцон $y=0$ тэгшитгэлийн шийдийг бичвэл\\ $x= \dfrac{\fbox{k}}{\fbox{l}}+\fbox{m}k\pi, k\in \mathbb Z$ болно.
1) Функцийн тодорхойлогдох муж $ \left\{ % \begin{array}{l} x\ne \dfrac{\pm1}{\fbox{a}}\cdot \pi+\fbox{b}\pi k \\ \fbox{c}n\pi< x< (\fbox{d}n+1)2\pi \\ \end{array} % \right. k,n\in \mathbb Z.$
2) $y=0$ тэгшитгэлийг бодвол $x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\pi+\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}k\pi,$ $x=\fbox{j}\pi+\fbox{i}n\pi, k,n\in \mathbb Z$
3) Тодорхойлогдох мужийг тооцон $y=0$ тэгшитгэлийн шийдийг бичвэл\\ $x= \dfrac{\fbox{k}}{\fbox{l}}+\fbox{m}k\pi, k\in \mathbb Z$ болно.
$y=\log_{\sqrt{2}\cos 2x}\left(1+\sin 2x\right)-2$ функц өгөгдөв.
- Функцийн тодорхойлогдох муж $ \left\{ % \begin{array}{l} x\ne -\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\pi+\fbox{c}\pi k \\ n\pi-\dfrac{\pi}{\fbox{d}}< x< \dfrac{\pi}{\fbox{e}}+n\pi \\ \end{array} % \right. k,n\in \mathbb Z.$
- $y=0$ тэгшитгэлийг бодвол $x=(-1)^n\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}+\dfrac{n\pi }{\fbox{h}}, k,n\in \mathbb Z$
$f(x)=2\cos 11x+4\cos 3x$ функц өгөгдөв.
1) $\varphi(x)=4\cos 3x-7\sin 3x$ бол $f(x)-\varphi(x)=\sqrt{\fbox{ab}}\cos \left(\fbox{cd}x-\alpha\right)$ болох ба $\alpha =\arctg \dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$ байна.
2) $f(x)=6$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{9\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right]$ завсарт $\fbox{g}$ ширхэг шийдтэй байх ба тэдгээрийн нийлбэр нь $\fbox{hi}\pi$, үржвэр нь $\fbox{j}\pi^{\fbox{k}}$ байна.
1) $\varphi(x)=4\cos 3x-7\sin 3x$ бол $f(x)-\varphi(x)=\sqrt{\fbox{ab}}\cos \left(\fbox{cd}x-\alpha\right)$ болох ба $\alpha =\arctg \dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$ байна.
2) $f(x)=6$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{9\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right]$ завсарт $\fbox{g}$ ширхэг шийдтэй байх ба тэдгээрийн нийлбэр нь $\fbox{hi}\pi$, үржвэр нь $\fbox{j}\pi^{\fbox{k}}$ байна.
$3^{\frac12+\log_3\sin x}+6^{\frac12}=9^{\frac12+\log_9\cos x}$ тэгшитгэл нь
- Тодорхойлогдох муждаа $\sqrt{\fbox{a}}\sin x+\sqrt{\fbox{b}}=\fbox{a}\cos x$ тэгшитгэлтэй тэнцүү чанартай юм.
- Сүүлийн тэгшитгэл нь $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{\fbox{c}}\right)=\dfrac{\sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{d}}$ тэгшитгэлтэй тэнцүү чанартай бөгөөд энэ тэгшитгэл нь $x_1=-\dfrac{\pi}{\fbox{c}}+\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$ ба $x_1=-\dfrac{\pi}{\fbox{c}}-\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+2\pi m$, $m\in\mathbb Z$ гэсэн хоёр бүлэг шийдтэй.
- Эдгээр шийдээс $x_1=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$ бүлэг шийд нь манай анхны тэгшитгэлийн шийд болно.
$f(x)=\log_2(1-\sin x)-\log_2(1+\sin x)$ бол
- $f\big(\frac{\pi}{4}\big)-f(\arccos\frac18)=\fbox{a}$,
- $f(x)=-1$ тэгшитгэл $x=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}+\dfrac{\pi}{\fbox{c}}k$, $k\in\mathbb Z$
- $f(x)\le-2$ тэнцэтгэл биш $$x\in\left[\dfrac{\pi}{\fbox{d}}+2\pi k;\dfrac{\fbox{e}\pi}{3}+2\pi k\right]\cup\left[\dfrac{\fbox{g}\pi}{3}+2\pi k;\dfrac{\fbox{h}\pi}{3}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z$$ шийдтэй байна.
$4\sin^42x-8\cos^34x=12$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}+\dfrac{\pi k}{\fbox{b}}$, хамгийн их сөрөг шийд нь $x=-\dfrac{\pi}{\fbox{c}}$ ба шийд нь $2016< x<2017$ нөхцлийг хангахын тулд $k=\fbox{defg}$ байна.
$5^{\cos6x}+5^{\cos^23x}=10$ тэгшитгэл $x=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}k$, $k\in\mathbb Z$ шийдтэй бөгөөд тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд нь $\alpha$ бол $\sin\alpha=\dfrac{\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{e}}$ байна.
Үржвэр, ноогдвор ба зэргийн логарифмын томъёо ашиглан бодох бодлогууд
$3+2\log_2(x-7)=\log_2(2x+1)$
$\lg(x-4)+\lg(x-6)=\lg8$
$\lg(x-1)+\lg(x+1)=3\lg2+\lg(x-2)$
$\log_2(x-2)+\log_2(x+1)=2$
$\log_2(x+1)=1+\log_2x$
$2\log_4(4-x)=4-\log_2(-2-x)$
$3+2\log_2(\dfrac{x}{2}-6)=\log_2(x+3)$
$\log_2(x+14)+\log_2(x+2)=6$
$2\lg(x+\dfrac12)-\lg(x-1)=\lg(x+\dfrac52)-\lg2$
$\lg(x+\dfrac43)-\lg(x-\dfrac13)=\dfrac12\lg(x+6)-\dfrac12\lg x$
$\log_5(x+1)+\log_5(x+5)=1$
$\log_5(3x-11)+\log_5(x-27)=3+\log_58$
$\lg(0.5+x)=\lg0.5-\lg x$
$\log_3(x^2+1)=\log_32+\log_3(x+8)$
$\log_9(2x^2+9x+5)+\log_{\frac13}(x+3)=0$
$\log_{49}(2x^2+x-5)+\log_{\frac17}(x+1)=0$
$\log_2\bigl(\dfrac{x-2}{x-1}\bigr)-1=\log_2\bigl(\dfrac{3x-7}{3x-1}\bigr)$
$\log_4(x^2-4x+2)-\log_4(x^2-6x+5)=-\dfrac{1}{2}$
$\log_{\frac12}(x^2-4x-1)-\log_{\frac12}(x^2-3x-2)=-1$
$\dfrac{1+\log_2(3x+5)}{1+\log_2(x+2)}=2$
$\log_6(x-9)^2-2=2\log_6(x-2)$.
% хариу нь $x=3$
$\dfrac16\log_2(x-2)-\dfrac13=\log_{\frac18}\sqrt{3x-5}$.
$\log_5\bigl(\dfrac{x-9}{x-5}\bigr)+\log_5(x^2-17x+60)=1+\log_52$.
$2\log_{9\omega^{-2}}\bigl(\dfrac13\bigr)-3\log_{9\omega}3+\dfrac{16}{5}=0$
$\log_3x-\log_3(x+8)=-\log_3(x+3)$ тэгшитгэл бод.
A. $x=-4$
B. $x=2$
C. $x_1=4$, $x_2=-2$
D. $x_1=-4$, $x_2=2$
E. шийдгүй
$\log_2(x+1)+\log_2(x+2)=1$
A. $x=-1$
B. $x=0$
C. $x=1$
D. $x=2$
E. $x=3$
Үржигдэхүүнд задалж бодох илтгэгч тэгшитгэл
$2\cdot 12^{x}-3^{x+1}+4^{x+1}-6=0$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cdot 15^{x}-3^{x+2}-4\cdot 5^{x+1}+90=0$ тэгшитгэлийг бод.
$x^2\cdot 4^{\sqrt{2-x}}+4^{2-x}=x^2\cdot 2^{-2x}+4^{\sqrt{2-x}+2}$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
$x^2\cdot 6^{-x}+6^{\sqrt {x}+2}=x^2\cdot 6^{\sqrt{x}}+6^{2-x}$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр, үржвэрийг ол.
$2x^2\cdot 2^{\sqrt{x+2}}+x\cdot2^{x+1}=2x^2\cdot 2^{x}+x\cdot2^{\sqrt{x+2}+1}$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр , үржвэрийг ол.
$y=\sqrt{5x-1}$ үед $x^2\cdot 5^{y}+5^{x+2}=25\cdot 5^{y}+x^2\cdot5^x$ тэгшитгэлийн хамгийн их шийдийг ол.
$y=\sqrt{x+5}$ үед $3^{y+2}+x^2\cdot 3^{x+2}=3^{x+5}+x^2\cdot3^y$ тэгшитгэлийн хамгийн бага шийдийг ол.
$y=\sqrt{x+3}$ үед $x^2\cdot 2^{x+1}+2^{y+4}=2^{x+5}+x^2\cdot2^y$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр, үржвэрийг ол.
$y=\sqrt{x-1}$ үед $x^2\cdot 2^{3-x}+2^{y}=2^{7-x}+x^2\cdot2^y$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн тоо ба хамгийн их шийдийг ол.
$2^xx^2-9\cdot 2^x-x^2+9=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x_1=0$, $x_2=3$, $x_3=-3$
B. $x_1=0$, $x_2=3$
C. $x_{1,2}=\pm3$
D. $x_1=0$, $x_2=3$, $x_3=-3$, $x_4=9$
E. $x_1=0$, $x_2=9$
$4^x\cdot x^2-4^{x+1}+16=4x^2$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэр аль вэ?
A. 12
B. 8
C. 9
D. 10
E. 11
$\sqrt{2-x}\cdot\log_{3}(10-x^2)=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $2$
B. $-3$
C. $3$
D. $-3$, $2$, $3$
E. $-3$, $2$
Хялбар илтгэгч тэгшитгэл
$8^{\frac{2x-2}{x}}=\sqrt{4^{x-1}}$ тэгшитгэлийн хамгийн их шийдийг ол.
$\left(\dfrac{5}{6}\right)^{1-2x}=\left(\dfrac{6}{5}\right)^{2 + x}$
$32^{\frac{x + 5}{x-7}}=0.25 \cdot 128^{\frac{x + 17}{x-3}}$
$5^{x+1}= \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-2}$
$2^{x(x+2)-\frac{1}{2}}=4\sqrt{2}\cdot 4^{x}$
$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{4-x^{2}}{2}}=8^{x}$
$25^{3-2x}=\dfrac{1}{125} \cdot (25\sqrt {5} )^{-x}$
$1000 \cdot (0,1)^{2}=100^{x}$
$0,125 \cdot 4^{2x-3}=\left( {{\dfrac{{0,25}}{{\sqrt {2}} }}} \right)^{-x}$
$9^{-4x} \cdot 3^{-6}=9^{{\frac{{3}}{{2}}}} \cdot (9\sqrt {3} )^{-2x}$
$\left( {{\dfrac{{4}}{{9}}}} \right)^{x} \cdot \left( {{\dfrac{{27}}{{8}}}} \right)^{x-1}={\dfrac{{\lg 4}}{{\lg 8}}}$
$\left( {\sqrt[{4}]{{2}}} \right)^{4x-5}=\left( {\sin {\dfrac{{\pi }}{{4}}}} \right)^{{\frac{{2x}}{{3}}}}$
$6^{2x + 4}=3^{3x} \cdot 2^{x + 8}$
$12^{x-2}=3^{3x} \cdot 2^{6x}$
$4^{x} \cdot 5^{x + 1}=5 \cdot 20^{2-x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\left(\dfrac{2}{3} \right)^{x} \times \left( \dfrac{9}{8} \right)^{x}=\dfrac{27}{64}$ тэгшитгэл бод.
$\left( {\left( {\sqrt[{5}]{{27}}} \right)^{{\frac{{x}}{{4}}}-{\frac{{\sqrt {x}} }{{3}}}}} \right)^{{\frac{{x}}{{4}}} + {\frac{{\sqrt {x}}}{{3}}}}=\sqrt[{4}]{{3^{7}}}$
$2 \cdot \left(2^{\sqrt{x} + 3}\right)^{2^{-1}\cdot x^{-\frac{1}{2}}}-\sqrt[{\sqrt {x}-1}]{4^{2}}=0$
$2^{x^{2}-x-1}=0.5 \cdot 8^{2x-4} \cdot \log _{1,1} \left( {\log _{1,3} {\dfrac{{2x-1}}{{x + 1}}}} \right) > 0,1$
Тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
- $2^x=4\sqrt{2}$
- $4^x>32$
- $(\frac12)^x\leq\frac18$
- $(\frac13)^x>9$
Тэгшитгэл бод.
- $2^{1-x}=4\sqrt{2}$
- $4^{x+1}-32\cdot 2^x+8=0$
- $2\cdot 9^x-3^x=1$
Тэгшитгэл болон тэгшитгэлийн системийг бод.
- $4\cdot 2^{x^2}=8^x$
- $\bigg\{\begin{array}{c} 4^{x-1}=2^y \\ 27^x=3^{y+4}\end{array}$
Тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
- $(\log_3x)^2-2\log_3x=3$
- $(\log_2x)^2-\log_2x^4+3=0$
- $(\log_2x)^2-2\log_2x-4<0$
- $2(\log_{\frac13}x)^2+5\log_{\frac13}x-3>0$
$4\cdot 6^{x-1}-5^x-5^{x-1}+6^{x-2}=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $3$
B. $2$
C. $-1$
D. $1$
E. $-3$
$2^x=32$ тэгшитгэлийг бод.
A. $30$
B. $32$
C. $16$
D. $6$
E. $5$
$2^{\sqrt{x+5}}=4\cdot2^{\sqrt{x-3}}$ тэгшитгэлийг бод.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
$\dfrac1{2^x}=256$ тэгшитгэл бод.
A. $-4$
B. $0$
C. $8$
D. $-128$
E. $-8$
Хэрэв $2^{3x}=64$ бол $x=?$
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $4$
$3^x\cdot5^{2x-3}=45$ тэгшитгэл бод.
A. $x=2$
B. $x=-2$
C. $x=1$
D. $x=-1$
E. $x=0$
$3^{1-x}=81$ тэгшитгэл бод.
A. $-4$
B. $-3.5$
C. $-2$
D. $-3$
E. $5$
$2^{x+1}\cdot 5^x=200$ тэгшитгэл бод.
A. $x=2$
B. $x=-2$
C. $x=1$
D. $x=-1$
$3^x\cdot 5^{2x-3}=45$ тэгшитгэл бод.
A. $x=-2$
B. $x=2$
C. $x=1$
D. $x=-1$
E. $x=4$
$4^{4(x+1)}=\sqrt[5]{16^{x+100}}$ тэгшитгэлийг бод.
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12
$\displaystyle 3^{2x+6}=\sqrt[7]{9^{x+39}}$ тэгшитгэлийг бод.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
$\displaystyle 2^{\log_3x}+x^{\log_32}=32$ тэгшитгэлийг бод.
A. 3
B. 9
C. 27
D. 81
$3^{\log_2x}+x^{\log_23}=18$ тэгшитгэлийг бод.
A. 2
B. 4
C. 8
D. 10
E. 16
$3^x=81$ тэгшитгэлийг бод.
A. 3
B. 27
C. 9
D. 4
E. 5
$\left(\dfrac{16}{9}\right)^{x-1}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^8$ тэгшитгэл бод.
A. $-3$
B. $3$
C. $-\dfrac13$
D. $\dfrac13$
E. $-3.5$
$2^x+2^{x+3}=36$
A. $2$
B. $1$
C. $3$
D. $5$
E. $4$
$2^{x-1}=4\sqrt2$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
A. $4.5$
B. $2.5$
C. $3$
D. $3.5$
E. $2$
$3^{\sqrt{x+1}}=3\cdot3^{\sqrt{x-2}}$ тэгшитгэлийг бод.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
$\dfrac1{2^x}=256$ тэгшитгэл бод.
A. $-4$
B. $0$
C. $8$
D. $-128$
E. $-8$
$\left\{\begin{array}{c}
2^x+3^y=19\\
2^x-3^y=13
\end{array}\right.$ бол $x\cdot y$ үржвэрийг олоорой.
A. $48$
B. $0.5$
C. $6$
D. $75$
E. $4$
$\left\{\begin{array}{c}
5^x+3^y=28\\
5^x-3^y=22
\end{array}\right.$ бол $x\cdot y$ үржвэрийг олоорой.
A. $0.5$
B. $2$
C. $6$
D. $4$
E. $3$
$\displaystyle 3^x=36$ бол $\displaystyle
x=\log_3{\fbox{a}}+\fbox{b}$ ба $\displaystyle x$-ийн бүхэл хэсэг нь $\displaystyle \fbox{c}$ байна.
Хялбар илтгэгч тэнцэтгэл биш
$\left(\dfrac14\right)^{x^2+2x}< \left(\dfrac1{16}\right)^{16-x}$ тэнцэтгэл
бишийг бод.
A. $x< -8$
B. $4< x$
C. $-8< x< 4$
D. $x< -8\cup4< x$
E. $\varnothing$
$\left(\dfrac15\right)^{x^2-2x}< \left(\dfrac1{25}\right)^{16+x}$ тэнцэтгэл
бишийг бод.
A. $x< -4$
B. $8< x$
C. $x< -4\cup8< x$
D. $-4< x< 8$
E. $\varnothing$
$4^x>256$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $]-\infty;0[$
B. $[0;4[$
C. $]-\infty;4]$
D. $]4;+\infty[$
E. $]-\infty;+\infty[$
$5^{x^2-3x}\le 5^{28}$ тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийдийг ол.
A. $-4$
B. $7$
C. $14$
D. $4$
E. $2$
$4^{-3x}\le 4^{21}$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $[-7;0]$
B. $]-\infty;-7]$
C. $]-\infty;7]$
D. $[-7;+\infty[$
E. $[-7;7]$
$3^{-4x}\le 3^{16}$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $[-4;0]$
B. $[-4;+\infty[$
C. $]-\infty;4]$
D. $]-\infty;-4]$
E. $[-4;4]$
$2^{x^2-x}\le 2^{30}$ тэнцэтгэл бишийн хамгийн их бүхэл шийдийг ол.
A. $10$
B. $5$
C. $-5$
D. $7$
E. $6$
$0.5^{2x}<0.5^{1-x}$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $x>\dfrac13$
B. $x<\dfrac13$
C. $x>1$
D. $x<1$
E. $x<0$
$2$ радиустай тойрогт багтсан тэгш өнцөгт гурвалжны периметр$ 4+2\sqrt5$ бол гурвалжны талбайг олоорой.
A. $ 4$
B. $ 2$
C. $ 9 $
D. $ 1$
E. $ 5+2\sqrt5 $
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-7} < 2^{3|x-1|}$ тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?
A. $\left]{2}; {1}\right[$
B. $\left]{-1}; {2}\right[$
C. $\left]-\infty; {-1}\right[$
D. $\left]{2}; \infty\right[$
E. $\left]-\infty; {-1}\right[\cup]{2};\infty[$
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2-7} < 2^{3|x-1|}$ тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?
A. $\left]{2}; {1}\right[$
B. $\left]{-1}; {2}\right[$
C. $\left]-\infty; {-1}\right[$
D. $\left]{2}; \infty\right[$
E. $\left]-\infty; {-1}\right[\cup]{2};\infty[$
$ 5^{3|x+1|} >(0.2)^{x^2 -7}$ тэнцэтгэл бишийн шийд аль нь вэ?
A. $\left]-\infty; {-2}\right[$
B. $\left]{-2}; {1}\right[$
C. $\left]-\infty; {-2}\right[\cup1;\infty[ $
D. $\left]{1}; \infty\right[$
E. $]-1; 2 [$
Хялбар логарифм тэгшитгэл
$\log_{2x+3}\dfrac14+2=0$ тэгшитгэл бод.
$\log_{\frac13}(x+2)=\log_2\dfrac{1}{16}$ тэгшитгэл бод.
$\log_{3}\dfrac{x-2}{x+3}=1$ тэгшитгэл бод.
$2\log_{2}x^3-1=\frac12\log_2x$.
$25^{\frac{\log_{3}\log_325}{\log_325}}=2\log_2x$.
$\log_{2x+2}(2x^2-8x+6)=2$.
$\log_{\frac12}(5-\log_3x)=-2$.
Тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
- $\log_3 x=4$
- $\log_{\frac{1}{3}} x>2$
Тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
- $\log_2(x^2+3x+4)=1$
- $\log_{\frac13}(-x)\geq 2$
- $\log_3(x-5)+\log_3(2x-3)=2$
- $\log_2x+\log_2(x-1)< 0$
- $\log_2(x+1)+\log_2(3-x)-\log_2(x-1)\leq \log_23$
- $\log_3x-\log_9(x+6)=0$
$\log_7(x-2)-\log_7(x+2)=1-\log_7(2x-7)$ тэгшитгэлийг бод.
A. $9$
B. $10$
C. $8$
D. $7$
E. $6$
$\log_x(4x-3)=2+\sqrt{\log_x^2(4x-3)-4\log_x\Big(4-\dfrac3{x}\Big)}$ тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. бүхэл шийдгүй
$\displaystyle\lg8-\lg\sqrt{x+6}=\lg16-\lg(x-2)$ тэгшитгэлийг бод.
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14
$\lg x+\lg 2x=\lg 3x$ тэгшитгэлийг бод
A. $x=1.5$
B. $x=2$
C. $x=3$
D. $x=4$
E. Шийдгүй
$\log_36x-\log_3 2x=\log_{\frac19} x$ бол $x=?$
A. $6$
B. $\dfrac16$
C. $36$
D. $9$
E. $\dfrac19$
$\lg x+\lg(x-3)=\lg(x-4)$ бол $x=?$
A. $-2$
B. $-1$
C. $\varnothing$
D. $1$
E. $2$
Хэрэв $\log_2(x+5)=4$ бол $x=?$
A. $-3$
B. $16$
C. $8$
D. $9$
E. $11$
Хэрэв $\lg(x+3)-\lg(x-1)=1$ бол $x=?$
A. $0$
B. $-\dfrac{13}{9}$
C. $\dfrac{13}{9}$
D. $\dfrac{16}{9}$
E. $2$
$\log_2 {(x-1)}=3$ тэгшитгэл бод.
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
E. 11
$\log_2 {(9-2^x)}=3-x$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн үржвэрийг ол.
A. 0
B. 3
C. 6
D. 9
E. 12
$\log_2 x +\log_5 x=\log_5 10$ тэгшитгэл бод.
A. 1
B. 2
C. 5
D. 10
E. 100
$\log_5x+\log_{\sqrt{5}}x+\log_{\frac1{25}}x=5$ тэгшитгэл бод.
A. $25$
B. $\frac{1}{25}$
C. $5$
D. $\frac 15$
E. $1$
$\log_2x-2\log_8x+\log_{\sqrt{2}}2x=\frac{20}{3}$ тэгшитгэл бод.
A. $4$
B. $\frac 14$
C. $8$
D. $\frac 18$
$\log_2(x-2)+\log_{\frac14}(3x-4)+0.5=0$ тэгшитгэл бод.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
$\log_{\sqrt{2}}(x-3)+\log_{\frac12}(4-x)+1=0$ тэгшитгэл бод.
A. $\{4;x\ne 1\}$
B. $\{5;x\ne 3\}$
C. $\{3,5;x\ne 2\}$
D. $\{6;x\ne 4\}$
$\displaystyle \log_x9+\log_{x^2}729=10$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\sqrt3$
B. $3$
C. $9$
D. $6$
E. $27$
$\displaystyle \log_{5-x}(x^2-2x+65)=2$ тэгшитгэлийг бод.
A. $-5$
B. $-4$
C. $-3$
D. $-2$
$\displaystyle \log_{4x-8}(x^2-2x-3)=1$ тэгшитгэлийг бод.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
$\displaystyle\log_5\sqrt{x-9}=\log_510-\log_5\sqrt{2x-1} $
тэгшитгэлийг бод.
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14
$\displaystyle\lg8-\lg\sqrt{x+6}=\lg16-\lg(x-2)$ тэгшитгэлийг бод.
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14
$\displaystyle \log_5(3x-11)+\log_5(x-27)=3+\log_58$ тэгшитгэлийг
бод.
A. 35
B. 36
C. 37
D. 38
$\displaystyle \log_3x+\log_3(x-3)=\log_3(x+5)$ тэгшитгэлийг бод.
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
$\displaystyle \lg\sqrt{3x+1}+\lg\sqrt{x+4}=\lg12$ тэгшитгэлийг
бод.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
$\displaystyle \lg\sqrt{x-7}+\lg\sqrt{3x-8}=1$ тэгшитгэлийг бод.
A. 8
B. 11
C. 16
D. 4
$\displaystyle 3+2\log_2(x-4)=\log_2(2x+7)$ тэгшитгэлийг бод.
A. 4.5
B. 5.5
C. 6.5
D. 7.5
$\displaystyle \lg(x+1)+\lg(x-1)=\lg8$ тэгшитгэлийг бод.
A. 3
B. 4
C. -3
D. $(-3; 3)$
$\displaystyle\log_3x+\log_5x=\log_315$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\frac13$
B. $\frac15$
C. 3
D. 5
$\displaystyle\lg(6.5-x)=\lg4.5-\lg(x-2)$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\{3.5\}$
B. $\{3.5; 5\}$
C. $\{5\}$
D. $\{2; 5\}$
$\displaystyle\lg(4.5-3x)=\lg1.5-\lg x$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\{0.5; 1\}$
B. $\frac12$
C. 1
D. $\{\frac12; \frac32\}$
$\displaystyle 1+2\log_2\sqrt{2x-5}+\log_2(6-x)=\log_26$
тэгшитгэлийг бод.
A. $\{3; 5.5\}$
B. 3
C. 5.5
D. $\{2; 3\}$
$\displaystyle\lg x+2\lg\sqrt{2x+3}=2+\lg0.09$ тэгшитгэлийг бод.
A. 1.5
B. 2.5
C. $\{1.5; 2.5\}$
D. $\{1.5; 3\}$
$\displaystyle 2\lg\sqrt{x-3}+\lg(2x+11)=2$ тэгшитгэлийг бод.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
$\displaystyle\log_3\sqrt{x-4}=1-\log_3\sqrt{2x-1}$ тэгшитгэлийг
бод.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
$\displaystyle\log_{16}x-2\log_2x+5\log_4x=4.5$ тэгшитгэлийг бод.
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
$\displaystyle\log_3x+\log_9x+\log_{27}x=\frac{11}3$ тэгшитгэлийг
бод.
A. 3
B. 9
C. 27
D. 81
$\displaystyle\log_3x+\log_9x+\log_{27}x=3\frac23$ тэгшитгэлийг
бод.
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
$\displaystyle\log_2x+\log_4x+\log_8x=11$ тэгшитгэлийг бод.
A. $64$
B. $128$
C. $256$
D. $512$
E. шийдгүй
$\displaystyle \log_2(x^2+8)-\log_2(x-1)=\log_{0.5}(\frac18)$
тэгшитгэлийг бод.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
$\displaystyle\lg(169+x^3)=3\lg(x+1)$ тэгшитгэлийг бод.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
$\displaystyle \lg(19+3^{\sqrt{5x+1}})=2$ тэгшитгэлийг бод.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
$\displaystyle \log_3(11+2^{\sqrt{3x+1}})=3$ тэгшитгэлийг бод.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
$\displaystyle 3^{1+\log_3(\frac{2x}5)}=2^{2+\log_23}$
тэгшитгэлийг бод.
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
E. 11
$\displaystyle 2^{-1+\log_2(3x)}=3^{1+\log_35}$ тэгшитгэлийг бод.
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
$\displaystyle 5^{\log_3x}=75-2\cdot x^{\log_35}$ тэгшитгэлийг
бод.
A. 3
B. 9
C. $\frac19$
D. $\frac13$
$\displaystyle 7^{\log_2x}+147=4\cdot x^{\log_27}$ тэгшитгэлийг
бод.
A. $\frac14$
B. $\frac12$
C. 2
D. 4
$\displaystyle 2+\log_3(5+2^{\sqrt{x-3}})=\log_216$ тэгшитгэлийг
бод.
A. $4$
B. 5
C. 6
D. 7
$\displaystyle 1+\log_2(3^{\sqrt{x-2}}-19)=\log_381$ тэгшитгэлийг
бод.
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
$\displaystyle \log_3(3^{x^2-x-9}+\frac8{27})=\log_50.2$
тэгшитгэлийг бод.
A. -2
B. 3
C. $\{-3; 2\}$
D. $\{-2; 3\}$
$\displaystyle \log_3(3^{x^2-3.2x-6.5}+\sqrt3)=0.5+\log_310$
тэгшитгэлийг бод.
A. $-\frac95$
B. 5
C. $\{-1.8; 5\}$
D. $\{1.8; 5\}$
$\displaystyle \log_3(64\cdot\sqrt[24]{2^{x^2+18x-319}})=0$
тэгшитгэлийг бод.
A. -25
B. $\{7; -25\}$
C. $\{15\}$
D. $\{7\}$
$\displaystyle \log_2(81\cdot\sqrt[3]{3^{x^2-2x-15}})=0$
тэгшитгэлийг бод.
A. -1
B. 3
C. $\{-1; 3\}$
D. $\{1; 3\}$
$\displaystyle \log_2(336+2^{x(x-1)})=4+\log_225$ тэгшитгэлийг
бод.
A. -2
B. $\{-2; 3\}$
C. $\{2; -2\}$
D. $(3; 2)$
$\displaystyle \log_3(3^{x^2+3x-12}+\frac29)=\log_20.5$
тэгшитгэлийг бод.
A. $\{-5\}$
B. $\{2\}$
C. $\{-5; 2\}$
D. $\{-2\}$
$2\log_3(x-1)=\log_39$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=2$
B. $x_1=-2$, $x_2=4$
C. $x=-2$
D. $x=4$
E. Шийдгүй
$2\lg\sqrt{x-13}=2-\lg(2x-9)$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\left\{\dfrac12;17\right\}$
B. $17$
C. $0.5$
D. $\{14;17\}$
E. $14$
$\log_{4x+1}7=\log_{9x}7$ тэгшитгэл бод.
A. $\dfrac15$
B. шийдгүй
C. $\dfrac1{13}$
D. $0$ ба $-\dfrac14$
E. $\dfrac1{12}$ ба $-\dfrac15$
$\log_7(x-2)-\log_7(x+2)=1-\log_7(2x-7)$ тэгшитгэлийг бод.
A. $10$
B. $9$
C. $8$
D. $7$
E. $6$
$\log_2 x+\log_4 (3x-2)=2$ тэгшитгэл бод.
A. $2$
B. $\sqrt2$
C. $2\sqrt2$
D. $4$
E. $8$
$\log_x100=1+\lg x$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
A. $\big\{\frac{1}{10};10\big\}$
B. $\big\{100;-\frac{1}{10}\big\}$
C. $\big\{100;\frac{1}{10}\big\}$
D. $\big\{\frac{1}{100};\frac{1}{10}\big\}$
E. $\big\{\frac{1}{100};10\big\}$
$2\log_x2+\log_4x=\dfrac52$ бол $\lg(3x+52)=?$
A. $2$
B. $2;\lg58$
C. $2;\lg\dfrac34$
D. $2;\lg82$
E. $\lg82$
$\log_x5+\log_{25}x=\dfrac32$ бол $\lg(4x)=?$
A. $2$
B. $2;1-\lg2$
C. $2;1+\lg2$
D. $2;\lg2$
E. $\lg20$
$\log_x3+\log_9x=\dfrac32$ бол $\lg(x^2+1)=?$
A. $1$
B. $1;\lg82$
C. $1;\lg\dfrac34$
D. $\lg0.7$
E. $\lg82$
$\log_x4+\log_{16}x=\dfrac32$ бол $\lg(6x+4)=?$
A. $2;\lg28$
B. $2$
C. $2;\lg\dfrac23$
D. $2;\lg0.75$
E. $\lg28$
$\log_x3+\log_9x=\dfrac32$ бол $\lg(x^2+1)=?$
A. $1$
B. $1;\lg82$
C. $1;\lg\dfrac34$
D. $\lg0.7$
E. $\lg82$
$\log_x(3x-2)-\sqrt{\log_x^2(3x-2)-4\log_x\Big(3-\dfrac2{x}\Big)}=2$ тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $1$
E. бүхэл шийдгүй
$\log_5(6-5^x)=1-x$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $6$
B. $0$
C. $5$
D. $1$
E. $2$
$\lg x+\lg 2x=\lg 8x$ тэгшитгэлийг бод
A. $x=1.5$
B. $x=2$
C. $x=3$
D. $x=4$
E. Шийдгүй
$5^{\log_7 x }+x^{\log_7 5}=250$ тэгшитгэлийн хувьд $x>\fbox{a}$ гэж тодорхойлогдох ба тэгшитгэлийг бодвол $\fbox{bcd}$ шийд гарна.
$\log_3(3^x-8)=2-x$ тэгшитгэл $x>\log_{\tiny\tiny\fbox{a}}8$ мужид тодорхойлогдох ба $x=\fbox{b}$ шийдтэй.
$\log_2(9-2^x)=3-x$ тэгшитгэл $x< \log_{\tiny\tiny\fbox{a}}9$ мужид тодорхойлогдох ба $x=\fbox{b}, x=\fbox{c}$
шийдүүдтэй.
$2^{\log_3x}+x^{\log_32}=32$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}$ мужид
тодорхойлогдох ба $x=\fbox{bc}$ шийдтэй.
$3^{\log_2x}+x^{\log_23}=18$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}$ мужид
тодорхойлогдох ба $x=\fbox{b}$ шийдтэй.
$\log_7(6+7^{3-x})=4-x$ тэгшитгэл $x=\fbox{a}$ шийдтэй.
$\log_3(4-3^{6-x})=7-x$ тэгшитгэл $x>\fbox{a}-\log_{\fbox{b}}4$
мужид тодорхойлогдох ба $x=\fbox{c}$ шийдтэй.
$\lg(19+3^{\sqrt{5x+1}})=2$ тэгшитгэл $x=\fbox{a}$ шийдтэй.
$\log_3(11+2^{\sqrt{3x+1}})=3$ тэгшитгэл $x=\fbox{a}$ шийдтэй.
$2\cdot 3^{\log_4 x }+x^{\log_4 3}=243$ тэгшитгэлийн хувьд $x>\fbox{a}$ гэж тодорхойлогдох ба тэгшитгэлийг бодвол $\fbox{bcd}$ шийд гарна.