Монгол Бодлогын Сан

Арифметик прогрессын 7-р гишүүн 12 бол эхний 13 гишүүдийн нийлбэрийг ол.

A. олох боломжгүй B. 144 C. 156 D. 169 E. 25

Бодлого №4793

Арифметик прогрессийн эхний

$n$ гишүүний нийлбэр нь

$S_n=n^2+n+1$ байв. 4 ба 5-р гишүүний нийлбэрийг ол.

A. 10 B. 18 C. 28 D. 31 E. Ийм арифметик прогресс байж болохгүй.

3-т хуваагддаг тоонуудын нийлбэр

3-т хуваагддаг бүх 3 оронтой тооны нийлбэрийг ол.

A.

$165150$ B.

$330300$ C.

$495450$ D.

$165450$ E.

$330330$

Ах дүүсийн нас

Жилийн өмнө ах дүү гурвын нас нийлбэр нь 12-той тэнцүү, арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Ноднин шинээр төрсөн дүүг нь оролцуулбал ах дүүсийн нас мөн л арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байгаа бол том ах нь энэ жил хэдэн настай вэ? Хүүхдүүдийн нас бүхэл тоо бөгөөд шинэ жилээр нас нэмнэ гэж тооц.

A.

$3$ B.

$4$ C.

$5$ D.

$6$ E.

$7$

Бодлого №4995

Арифметик прогрессийн 50-р гишүүн 17, 60-р гишүүн 19-тэй тэнцүү бол 2015 дугаар гишүүнийг ол.

A. 410 B. 411 C. 412 D. 413 E. 414

5-д 1 үлдэгдэл өгдөг т

5-д хуваахад 1 үлдэгдэл өгдөг 4 оронтой тоо нийт хэчнээн ширхэг байх вэ?

A. 1900 B. 1899 C. 1901 D. 1799 E. 1800

Сондгой дугаартай гишүүдийн нийлбэр

$a_1=10$ ,

$d=3$ арифметик прогрессийн эхний 10 сондгой дугаартай гишүүний нийлбэрийг ол.

A. 360 B. 370 C. 380 D. 235 E. 240

9.1

$a_{100}=-201$ ,

$a_{900}=-1801$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$-2n+1$ B.

$2n-3$ C.

$-2n-1$ D.

$-(2n-3)$ E.

$2n-1$

Бодлого №5695

6 ба 19 хоёрын хооронд орших ба эдгээртэй хамт 5 гишүүнтэй арифметик прогресс үүсгэх гурван тоог ол.

A.

$9,12,15$ B.

$\frac{37}4,\frac{50}4,\frac{63}4$ C.

$-\frac{37}4,-\frac{50}4,-\frac{63}4$ D.

$\frac{37}4,\frac{51}4,\frac{62}3$ E.

$8,11,15$

Бодлого №5696

Эхний гишүүн нь 4 ба сүүлчийн гишүүн нь 60 байх арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр 1280 бол түүний гишүүдийн тоо аль нь вэ?

A.

$32$ B.

$36$ C.

$38$ D.

$40$ E.

$42$

Прогрессийн ялгавар

$n$ -р гишүүн нь

$a_n=\dfrac{2n-1}4$ томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?

A.

$-\frac12$ B.

$\frac14$ C.

$\frac12$ D.

$-\frac14$ E.

$2$

Прогрессийн ялгавар

$n$ -р гишүүн нь

$a_n=\dfrac{3n+1}5$ томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?

A.

$\dfrac25$ B.

$-\dfrac25$ C.

$-\dfrac35$ D.

$\dfrac35$ E.

$\dfrac15$

Прогрессийн ялгавар

$a_8=17$ ба

$a_{12}=25$ байх арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?

A.

$4$ B.

$3$ C.

$2$ D.

$-2$ E.

$\dfrac{8}{5}$

Бодлого №6956

$a_7=12$ ба

$a_{12}=27$ бол арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?

A.

$2$ B.

$3$ C.

$4$ D.

$5$

Бодлого №6957

$a_8=17$ ба

$a_{12}=25$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль нь вэ?

A.

$2n-1$ B.

$2n+1$ C.

$2n+3$ D.

$2n-3$ E.

$n+9$

9.1

$a_7=12$ ба

$a_{12}=27$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль нь вэ?

A.

$3n-7$ B.

$3n-9$ C.

$3n+7$ D.

$3n-5$ E.

$3n-1$

Бодлого №6959

$a_8=17$ ба

$a_{12}=25$ байх арифметик прогрессийн 1-р гишүүн аль нь вэ?

A.

$1$ B.

$3$ C.

$5$ D.

$-1$

Бодлого №6960

$a_7=12$ ба

$a_{12}=27$ байх арифметик прогрессийн 1-р гишүүн аль нь вэ?

A.

$-4$ B.

$-6$ C.

$10$ D.

$-2$

Арифметик прогрессийн гишүүдийн ялгавар

$a_{100}=-201$ ,

$a_{900}=-1801$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$-2n+1$ B.

$2n-3$ C.

$-2n-1$ D.

$-(2n-3)$ E.

$2n+1$

Бодлого №6962

$a_{201}=-3$ ,

$a_{1002}=2400$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$3n+606$ B.

$3n-600$ C.

$3n-606$ D.

$3n+600$

Бодлого №6963

6 ба 19 хоёрын хооронд орших ба эдгээртэй хамт 5 гишүүнтэй арифметик прогресс үүсгэх гурван тоог ол.

A.

$9,12,15$ B.

$\frac{37}4,\frac{50}4,\frac{63}4$ C.

$-\frac{37}4,-\frac{50}4,-\frac{63}4$ D.

$\frac{37}4,\frac{51}4,\frac{62}3$

Бодлого №6964

4 ба 15-ын хооронд орших ба эдгээртэй хамт 6 гишүүнтэй арифметик прогресс үүсгэх дөрвөн тоог ол.

A.

$6,8,10,13$ B.

$6,8,11,13$ C.

$7,9,11,13$ D.

$6.4,9.8,11.2,13.6$ E.

$6.2,8.4,10.6,12.8$

Бодлого №6965

Эхний гишүүн нь 4 ба сүүлчийн гишүүн нь 60 байх арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр 1280 бол түүний гишүүдийн тоо аль нь вэ?

A.

$32$ B.

$36$ C.

$38$ D.

$40$ E.

$42$

ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №24

Сүүлчийн

$48$ -р гишүүн нь

$60$ , бүх гишүүдийн нийлбэр нь

$192$ байх арифметик прогрессийн эхний гишүүн аль нь вэ?

A.

$-40$ B.

$-44$ C.

$-48$ D.

$-52$ E.

$-56$

Бодлого №6967

Эхний гишүүн нь

$-2$ ба эхний 40 гишүүний нийлбэр 1240 байх арифметик прогрессийн 40-р гишүүн нь аль вэ?

A.

$60$ B.

$62$ C.

$64$ D.

$66$

Бодлого №6968

Эхний гишүүн нь

$-2$ ба эхний 40 гишүүний нийлбэр 1480 байх арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?

A.

$4$ B.

$3$ C.

$2$ D.

$-2$

Бодлого №6984

Арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүн

$a_n=4n+3$ томьёогоор өгөгдсөн бол түүний эхний 100 гишүүний нийлбэр аль вэ?

A.

$20000$ B.

$20500$ C.

$10250$ D.

$20150$

Бодлого №6985

Өсөх арифметик прогрессийн хувьд

$S_{20}=230$ ,

$S_{45}-S_{20}=850$ бол

$S_{80}$ аль вэ?

A.

$3200$ B.

$3320$ C.

$3040$ D.

$3220$

Бодлого №6990

Арифметик прогрессийн хувьд

$a_8-a_6=16$ ,

$a_3+a_4=60$ бол түүний ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$8n-16$ B.

$8n+10$ C.

$8(n-1)+10$ D.

$8(n-1)-16$

Арифметик прогресс

Арифметик прогрессийн хувьд

$a_1+a_2+a_3=18$ ,

$a_4-a_1=6$ бол түүний

$n$ -р гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$2(n+1)$ B.

$2n+1$ C.

$2(n-1)$ D.

$2n$ E.

$2n-1$

Бодлого №6996

Арифметик прогрессийн

$S_6=18$ ,

$d=-2$ бол

$a_1+a_5$ -ийг ол.

A.

$0$ B.

$-8$ C.

$16$ D.

$8$

Бодлого №6998

Арифметик прогрессийн хувьд

$a_2=-6$ ,

$a_5=48$ бол

$S_{10}$ -ийг ол.

A.

$570$ B.

$600$ C.

$602$ D.

$640$

Бодлого №7000

Арифметик прогрессийн хувьд

$a_3=12$ ,

$a_8=52$ бол

$S_n$ -ийг ол.

A.

$4n(n-2)$ B.

$4n(n-1)$ C.

$4n(n+1)$ D.

$4n(n+2)$

Нийлбэрээс ерөнхий гишүүн олох

Арифметик прогрессийн

$S_n=4n(n-2)$ бол

$a_n$ -ийг ол.

A.

$12-6n$ B.

$12+6n$ C.

$12-8n$ D.

$8n-12$ E.

$8n-8$

Бодлого №7005

$\dfrac1{\log_34}$ ,

$\dfrac1{\log_64}$ ба

$\dfrac1{\log_x4}$ тоонууд арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн бол

$x$ -ийг ол.

A.

$18$ B.

$15$ C.

$12$ D.

$9$

Бодлого №7007

$1+\sin x$ ,

$\sin^2x$ ,

$1+\sin3x$ функцийн утгууд

$[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд өсөх арифметик прогресс үүсгэх вэ?

A.

$\frac{\pi}2$ B.

$\pi$ C.

$-\frac{\pi}6$ D.

$-\frac{\pi}2$

Бодлого №7008

$1+\cos x$ ,

$\cos^2x$ ,

$1-\cos3x$ функцийн утгууд

$[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд буурах арифметик прогресс үүсгэх вэ?

A.

$\pi$ B.

$-\pi$ C.

$\frac{\pi}2$ D.

$\frac{2\pi}3$

Бодлого №7009

Аль тооны хувьд

$\lg x$ ,

$\lg(x+6)$ ,

$\lg(2x+7)$ -ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A.

$8$ B.

$10$ C.

$9$ D.

$5$

Бодлого №7010

Аль тооны хувьд

$\lg(x+2)$ ,

$\lg(x+4)$ ,

$\lg(2x+5)$ -ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A.

$1$ B.

$3$ C.

$4$ D.

$2$

Бодлого №7011

Аль тооны хувьд

$\sqrt{14x+4}$ ,

$\sqrt{10x}$ ,

$\sqrt{6x+4}$ -ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн байх вэ?

A.

$9$ B.

$10$ C.

$0$ D.

$8$

Бодлого №7012

Аль тооны хувьд

$\sqrt{2x+9}$ ,

$\sqrt{5x}$ ,

$\sqrt{8x+9}$ -ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн байх вэ?

A.

$10$ B.

$15$ C.

$20$ D.

$25$

Бодлого №7013

$[0; 2\pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд

$\sin x$ ,

$\sin2x$ ,

$\sin3x$ функцийн утга өсөх арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?

A.

$\frac{\pi}3$ B.

$-\frac{\pi}3$ C.

$\frac{3\pi}2$ D.

$\frac{2\pi}3$

Бодлого №7014

$[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд

$\cos\alpha$ ,

$\cos2\alpha$ ,

$\cos3\alpha$ функцийн утга өсөх арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?

A.

$\frac{\pi}3$ B.

$-\frac{\pi}3$ C.

$\frac{3\pi}4$ D.

$\pi$

Бодлого №7021

Өсөх арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүний нийлбэр 3, эхний гишүүний квадрат нь гуравдугаар гишүүнтэйгээ тэнцүү бол түүний 100-р гишүүн нь хэд вэ?

A.

$200$ B.

$180$ C.

$295$ D.

$305$

Прогрессийн эхний 50 гишүүний нийлбэр

Эерэг гишүүнтэй өсдөг арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүний нийлбэр 12, эхний гишүүний квадрат нь дөрөв ба хоёрдугаар гишүүдийн ялгавартай тэнцүү бол түүний эхний 50 гишүүний нийлбэр хэд вэ?

A.

$2000$ B.

$2500$ C.

$2550$ D.

$2225$ E.

$2525$

Бодлого №7033

$1,\sqrt2,4$ тоонууд ямар нэг арифметик прогрессийн гишүүн болох уу?

A. болно B. болохгүй C. болно

$d=\sqrt2, a_1=1$ D. болно

$d=\sqrt2-1, a_1=1$

Бодлого №7035

$-2,3,8,13,\dots,1018$ ба

$-3,1,5,9,\dots,993$ хоёр арифметик прогрессийн хэчнээн гишүүд нь тэнцүү байх вэ?

A.

$47$ B.

$48$ C.

$49$ D.

$50$

Бодлого №7036

$2,5,8,11,\dots,1001$ ба

$-1,3,7,11,\dots,1331$ хоёр арифметик прогрессийн тэнцүү гишүүдийн хамгийн их дугаар аль вэ?

A. 231, 251 B. 330, 250 C. 332, 251 D. 332, 250

Бодлого №7037

$S_n=2+4+6+\dots+2n$ нийлбэрийг ол.

A.

$n(n-1)$ B.

$n(n+1)$ C.

$\frac{n(n-1)}2$ D.

$\frac{n(n+1)}2$

Бодлого №7038

$S_n=1+3+5+\dots+(2n-1)$ нийлбэрийг ол.

A.

$(n-1)^2$ B.

$(n+1)^2$ C.

$n^2$ D.

$n(n+1)$

Бодлого №7039

$S_n=2+5+8+11+\dots+(3n-1)$ нийлбэрийг ол.

A.

$\frac{n(3n-1)}2$ B.

$\frac{3n(n+1)}2$ C.

$\frac{n(3n+1)}2$ D.

$\frac{3n(n-1)}2$

Бодлого №7040

$S_n=1+4+7+10+\dots+(3n-2)$ нийлбэрийг ол.

A.

$\frac{n(3n+1)}2$ B.

$\frac{n(3n-1)}2$ C.

$\frac{3n(n+1)}2$ D.

$\frac{3n(n-1)}2$

ЭЕШ 2015 D №20

5-д хуваахад 4 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?

A. 200 B. 90 C. 900 D. 180 E. 500

ЭЕШ 2015 D №28

$\sqrt{x+4}$ ,

$\sqrt{5x}$ ,

$\sqrt{9x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.

A.

$-3$ B.

$5$ C.

$3$ D.

$1$ E.

$2$

Арифметик прогрессийн ялгавар

$a_7=24$ ,

$a_{12}=54$ байх арифметик прогрессийн ялгавар хэдтэй тэнцүү байх вэ?

A.

$4$ B.

$6$ C.

$8$ D.

$1.5$ E.

$5$

ЭЕШ 2015 A №20

5-д хуваахад 1 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?

A. 200 B. 90 C. 900 D. 180 E. 500

ЭЕШ 2015 A №28

$\sqrt{2x+4}$ ,

$\sqrt{6x}$ ,

$\sqrt{10x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.

A.

$6$ B.

$-3$ C.

$3$ D.

$1$ E.

$2$

Арифметик прогрессийн хамгийн бага гишүүн

Арифметик прогресс үүсгэх гурван тооны нийлбэр 189. Хэрвээ I гишүүн III гишүүнээс 2 дахин их бол эдгээр тоонуудын багыг нь ол.

A. 42 B. 84 C. 21 D. 41 E. 85

ЭЕШ 2007 A №15

Арифметик прогрессийн эхний гишүүн нь

$(-27)$ , ялгавар нь 5 бол эхний

$n$ гишүүний нийлбэрийн хамгийн бага утгыг ол.

A.

$-84$ B.

$-89$ C.

$-88$ D.

$-87$ E.

$-85$

ЭЕШ 2015 B №20

5-д хуваахад 2 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?

A. 200 B. 90 C. 900 D. 180 E. 500

ЭЕШ 2015 B №28

$\sqrt{3x+4}$ ,

$\sqrt{7x}$ ,

$\sqrt{11x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.

A.

$7$ B.

$-3$ C.

$3$ D.

$1$ E.

$2$

ЭЕШ 2015 C №20

5-д хуваахад 3 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?

A. 200 B. 90 C. 900 D. 180 E. 500

ЭЕШ 2015 C №28

$\sqrt{5x+4}$ ,

$\sqrt{9x}$ ,

$\sqrt{13x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.

A.

$-3$ B.

$9$ C.

$3$ D.

$1$ E.

$2$

$S_{n}=S_{n+1}-a_{n+1}$

Арифметик прогрессийн

$a_1=1$ ,

$a_6=21$ бол эхний таван гишүүний нийлбэрийг ол.

A. 17 B. 45 C. 66 D. 58 E. 22

Прогрессийн дараалсан гишүүдийн нийлбэр

Арифметик прогрессийн

$a_4=1.5$ ,

$a_5=4$ бол

$\sum\limits_{n=6}^{14}a_n$ нийлбэрийг ол.

A.

$142$ B.

$148.5$ C.

$162$ D.

$178.5$ E.

$143.5$

7 одой эхний өдөр 1 ширхэг эрдэнийн чулуу, хоёр дахь өдөр 2 ширхэг эрдэнийн чулуу гэх мэтчилэн хэсэг хугацаанд эрдэнийн чулуу олборлосны эцэст нийт 2016 ширхэг эрдэнийн чулуутай болжээ. Нийт хэдэн өдөр ажилласан бэ?

A.

$10$ B.

$30$ C.

$63$ D.

$96$ E.

$100$

Арифметик прогрессийн

$a_5=8$ бол эхний 9 гишүүний нийлбэрийг ол.

A. 45 B. 50 C. 72 D. 80 E. 90

Өнцгүүд нь прогресс үүсгэдэг 4 өнцөгт

Хэрвээ гүдгэр 4 өнцөгтийн хамгийн бага өнцөг нь

$18^\circ$ , бага өнцгөөс нь эхлэн өнцгүүдийг цагийн зүүний дагуу жагсаан бичихэд арифметик прогрессийн гишүүд болж байсан бол бага өнцгийн эсрэг орших өнцгийг ол.

A.

$90^\circ$ B.

$126^\circ$ C.

$152^\circ$ D.

$114^\circ$ E.

$162^\circ$

Хамгийн их шийд

$x^3-3x^2-6x+a=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Хамгийн их шийдийг ол.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Арифметик прогресс үүсгэдэг шийдүүд

$x^3+6x^2+5x+c=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогресс үүсгэх бол

$c$ аль нь вэ?

A.

$3$ B.

$6$ C.

$-6$ D.

$5$ E.

$4$

3 эсвэл 4-т хуваагддаг тоонуудын нийлбэр

3 ба 4-ийн ядаж нэгд нь хуваагддаг 3 оронтой тоонуудын нийлбэрийг ол.

A. 239050 B. 240750 C. 247050 D. 288450 E. 300000

Арифметик прогрессийн чанар

$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн

$a_3=2$ ,

$a_{15}=23$ бол

$a_9=?$

A.

$12.5$ B.

$10.5$ C.

$25$ D.

$15.5$ E.

$14.25$

Хамгийн их шийд

$x^3-6x^2+3x+a=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Хамгийн их шийдийг ол.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Арифметик прогресс

Арифметик прогрессийн 1-р гишүүн

$\dfrac{a}{3}$ , 3-р гишүүн

$\dfrac{a}{2}$ бол 9-р гишүүн аль нь вэ?

A.

$\dfrac{a}{12}$ B.

$\dfrac{3a}{4}$ C.

$\dfrac{2a}{3}$ D.

$\dfrac{3a}{2}$ E.

$a$

Ялгавар тодорхойгүй ариф прогрессийн нийлбэр

Арифметик прогрессийн 9-р гишүүн 2 бол эхний 17 гишүүний нийлбэрийг ол.

A.

$34$ B.

$9\cdot 17$ C.

$18$ D.

$0$ E. олох боломжгүй

Arithmetic progressiin d oloh

$d$ ялгавартай арифметик прогресийн

$a_2=7$ ,

$a_7=2$ бол

$a_1-d$ -г ол.

A.

$7$ B.

$8$ C.

$9$ D.

$10$ E.

$11$

Арифметик прогресс

Аль тооны хувьд

$\lg(x+2)$ ,

$\lg(x+4)$ ,

$\lg(2x+5)$ -ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A.

$3$ B.

$-1$ C.

$0$ D.

$1$ E.

$2$

Өгөгдсөн гишүүд бүхий арифметик прогресс

Эхний гишүүн нь

$a_1=-\dfrac12$ ба

$\dfrac{3}{2}$ тоо гишүүн нь болдог арифметик прогресс өгөгдөв. Хэрвээ

$a_n=5$ бол

$n$ -ийн хамгийн бага утга аль нь вэ?

A.

$11$ B.

$12$ C.

$13$ D.

$14$ E.

$15$

Арифметик прогресс

Арифметик прогрессийн

$a_4=1$ ба

$a_{12}=33$ бол

$a_6=?$

A.

$3$ B.

$4$ C.

$6$ D.

$8$ E.

$9$

Arithmetic progressiin d oloh

$d$ ялгавартай арифметик прогресийн

$a_2=9$ ,

$a_9=2$ бол

$a_1-d$ -г ол.

A.

$10$ B.

$11$ C.

$12$ D.

$13$ E.

$14$

ЭЕШ 2016 C №18

Арифметик прогрессийн

$a_5=5$ бол

$S_9=?$

A.

$48$ B.

$225$ C.

$54$ D.

$115$ E.

$45$

ЭЕШ 2016 D №18

Арифметик прогрессийн

$a_{11}=11$ бол

$S_{21}=?$

A.

$243$ B.

$225$ C.

$221$ D.

$231$ E.

$271$

ЭЕШ 2016 A №18

Арифметик прогрессийн

$a_7=7$ бол

$S_{13}=?$

A.

$84$ B.

$91$ C.

$98$ D.

$104$ E.

$108$

ЭЕШ 2016 B №18

Арифметик прогрессийн

$a_9=9$ бол

$S_{17}=?$

A.

$163$ B.

$153$ C.

$157$ D.

$158$ E.

$168$

Арифметик прогрессийн

$a_7=7$ бол

$S_{13}=?$

A.

$84$ B.

$91$ C.

$98$ D.

$104$ E.

$108$

Арифметик прогресс

Арифметик прогрессийн 52-р гишүүн 17, 62-р гишүүн 19-тэй тэнцүү бол 2017 дугаар гишүүнийг ол.

A.

$410$ B.

$411$ C.

$412$ D.

$413$ E.

$414$

Арифметик прогресс

Арифметик прогрессийн 32-р гишүүн 13, 67-р гишүүн 20-тэй тэнцүү бол 2017 дугаар гишүүнийг ол.

A.

$406$ B.

$407$ C.

$408$ D.

$409$ E.

$410$

Нийлбэрийн томьёог ашиглах

11-т хуваахад 5 үлдэгдэл өгдөг бүх гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол.

A. 45059 B. 45187 C. 45298 D. 45476 E. 45050

ЭЕШ 2017 D №20

Дарааллын эхний

$n$ гишүүний нийлбэр

$S_n=3n^2+3n$ томьёогоор өгөгджээ. Хэрэв энэ дараалал геометр прогресс бол

$q$ -г ол. Арифметик прогресс бол

$d$ -г ол.

A.

$d=4$ B.

$q=4$ C.

$d=6$ D.

$q=3$ E.

$q=2$

ЭЕШ 2017 D №20

Арифметик прогрессийн 21-р гишүүн 20, 2017-р гишүүн нь 1018 бол ялгавар нь аль тоо вэ?

A.

$d=0.35$ B.

$d=0.40$ C.

$d=0.45$ D.

$d=0.50$ E.

$d=0.55$

ЭЕШ 2017 D №20

Арифметик прогрессийн 37-р гишүүн 80, 2017-р гишүүн нь 773 бол ялгавар нь аль тоо вэ?

A.

$d=0.35$ B.

$d=0.40$ C.

$d=0.45$ D.

$d=0.50$ E.

$d=0.55$

ЭЕШ 2017 B №20

Дарааллын эхний

$n$ гишүүний нийлбэр

$S_n=3n^2+n$ томьёогоор өгөгджээ. Хэрэв энэ дараалал геометр прогресс бол

$q$ -г ол. Арифметик прогресс бол

$d$ -г ол.

A.

$d=4$ B.

$q=6$ C.

$d=6$ D.

$q=4$ E.

$q=2$

Прогрессийн ялгавар

$n$ -р гишүүн нь

$a_n=\dfrac{2n-1}4$ томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?

A.

$-\frac12$ B.

$\frac14$ C.

$\frac12$ D.

$-\frac14$ E.

$2$

Бодлого №14251

Цаасыг 4 хэсэг болгон хуваав. Дараа нь аль нэг хэсгийг нь авч 4 хэсэг болгон хуваав. Үүссэн хэсгүүдийн аль нэгийг нь авч 4 хэсэг болгон хуваах үйлдлийг үргэлжлүүлэн 14 удаа хийхэд цаас нийт хэдэн хэсэг болох вэ?

A. 40 B. 43 C. 52 D. 39 E. 14

Бодлого №14653

$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн хувьд

$a_4+a_5=7$ бол эхний 8 гишүүний нийлбэрийг ол.

A. 23 B. 18 C. 20 D. 28 E. 30

Арифметик прогрессын 5-р гишүүн 16 бол эхний 9 гишүүдийн нийлбэрийг ол.

A. олох боломжгүй B. 144 C. 156 D. 169 E. 25

Прогрессийн ялгавар

$a_7=14$ ба

$a_{12}=29$ байх арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?

A.

$4$ B.

$3$ C.

$2$ D.

$-2$ E.

$\dfrac{8}{5}$

ЭЕШ 2020, B24

Дугуйг өнцгүүд нь арифметик прогресс үүсгэдэг байхаар дөрвөн секторт хуваажээ. Хэрэв хамгийн том секторын өнцөг нь хамгийн бага секторын өнцгөөс 4 дахин их бол хамгийн том секторын өнцгийг ол.

A.

$108^\circ$ B.

$36^\circ$ C.

$72^\circ$ D.

$180^\circ$ E.

$144^\circ$

ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №07

$a_{n+1}=a_n-3$ дарааллын

$a_1=100$ бол

$a_{21}=?$

A.

$40$ B.

$37$ C.

$43$ D.

$63$ E.

$60$

4-т хуваагддаг тоонуудын нийлбэр

4-т хуваагддаг бүх 3 оронтой тооны нийлбэрийг ол.

A.

$123000$ B.

$120300$ C.

$485450$ D.

$123300$ E.

$246600$

ЭЕШ 2020, A24

Дугуйг өнцгүүд нь арифметик прогресс үүсгэдэг байхаар таван секторт хуваажээ. Хэрэв хамгийн том секторын өнцөг нь хамгийн бага секторын өнцгөөс 5 дахин их бол хамгийн том секторын өнцгийг ол.

A.

$24^\circ$ B.

$120^\circ$ C.

$72^\circ$ D.

$180^\circ$ E.

$96^\circ$

ЭЕШ 2009 B1 №25

Эхний гишүүн

$a_1=1$ , ялгавар

$d=4$ байх арифметик прогресс

$\{a_n\}$ ба

$a_0=2$ тооны хувьд

$b_1=a_0+a_1, b_n=b_{n-1}+a_n, n=2, 3, 4,\dots$ дараалал зохиовол

$b_n=\fbox{a}n^2-n+\fbox{b}$ (4 оноо) болох ба

$155$ түүний

$\fbox{c}$ дугаар гишүүн байна.

Бодлого №7069

Эхний гишүүн нь

$50$ , ялгавар нь

$-5$ байдаг арифметик прогрессийн эхний

$n$ гишүүний нийлбэрийг

$S_n$ гэж тэмдэглэе.

$S_n$ нийлбэрийн хамгийн их утга нь

$\fbox{abc}$ байна.

Бодлого №7070

Эхний гишүүн нь

$-40$ , ялгавар нь

$3$ байдаг арифметик прогрессийн эхний

$n$ гишүүний нийлбэрийг

$S_n$ гэж тэмдэглэе.

$S_n$ нийлбэрийн хамгийн бага утга нь

$\fbox{abcd}$ байна.

Бодлого №7075

Арифметик прогресс үүсгэх

$p,q,r$ гурван тооны нийлбэр 27 бол

$q=\fbox{a}$ байна. Тэдгээрийн үржвэр 693 бол

$p=\fbox{b},$

$r=\fbox{cd}$ болно.

Бодлого №7076

Арифметик прогресс үүсгэх

$p,q,r$ гурван тооны нийлбэр

$15$ бол

$q=\fbox{a}$ байна. Тэдгээрийн үржвэр

$-120$ бол

$p=-\fbox{b},$

$r=\fbox{cd}$ болно.

Бодлого №7077

Арифметик прогресс үүсгэх

$p-d,p,p+d$ гэсэн гурван тооны нийлбэр 15, квадратуудын нийлбэр нь 83 бол

$p=\fbox{a},$

$d=\fbox{b}$ эсвэл

$d=\fbox{cd}$ болно.

Бодлого №7078

Арифметик прогресс үүсгэх

$p-d,p,p+d$ гэсэн гурван тооны нийлбэр 24, квадратуудын нийлбэр нь 242 бол

$p=\fbox{a},$

$d=\fbox{b}$ эсвэл

$d=\fbox{cd}$ болно.

100-аас их хамгийн эхний гишүүн

$a_1$ ,

$d$ бүхэл тоонууд харгалзан арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгавар байг.

$a_3+a_5+a_7=93$ ба

$a_n>100$ байх хамгийн бага

$n$ нь 15 бол

$a_1=\fbox{a}$ ба

$d=\fbox{b}$ байна.

Бодлого №7080

$a_1$ ,

$d$ бүхэл тоонууд харгалзан арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгавар байг.

$a_1+a_3+a_5=15$ ба

$a_n>50$ байх хамгийн бага

$n$ нь 15 бол

$a_1=\fbox{ab}$ ба

$d=\fbox{c}$ байна.

Бодлого №7081

Тэгээс ялгаатай

$p,q, r$ тоонууд арифметик прогресс үүсгэнэ.

$q, p, r$ тоонууд геометр прогресс үүсгэдэг бол энэ геометр прогрессийн хуваарь нь

$\fbox{ab}$ эсвэл

$\fbox{c}$ байна.

Бодлого №7082

$8,p,q$ тоонууд арифметик прогресс, харин

$p,q,36$ тоонууд геометр прогресс үүсгэдэг бол

$p,q$ тоонууд

$\fbox{a},\fbox{bc}$ эсвэл

$\fbox{de},\fbox{f}4$ байна.

Бодлого №7091

Тэгээс ялгаатай

$a,b,c$ тоонууд арифметик прогрессийн дараалсан 3 гишүүн болох ба

$-3a, c, 2b$ мөн арифметик прогресс үүсгэнэ. Тэгвэл

$a:b:c= \fbox{ab} :1:\fbox{c}$ байна.

Бодлого №7092

Тэгээс ялгаатай

$a,b,c$ тоонууд арифметик прогрессийн дараалсан 3 гишүүн болох ба

$b, 2a, 3c$ мөн арифметик прогресс үүсгэх бол

$a:b:c=10: \fbox{a} :\fbox{b}$ байна.

Бодлого №7093

$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ арифметик прогрессийн 3-р гишүүн нь 2, 8-р гишүүн нь

$\dfrac{9}{2}$ бол

$a_n=\dfrac{\fbox{a}}{n+\fbox{b}}$ байна.

Бодлого №7094

$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ арифметик прогрессийн 4-р гишүүн нь 2, 9-р гишүүн нь

$\dfrac{11}{3}$ бол

$a_n=\dfrac{\fbox{a}}{n+\fbox{b}}$ байна.

3-т хуваагдах тоонууд

1-ээс 100-гийн хооронд орших

3-т хуваагдах тоо $\fbox{ab}$ ширхэг байна.
3-т хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{cdef}$ байна.
3-т үл хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{ghij}$ байна.

7-д хуваагдах тоонууд

1-ээс 150-ийн хооронд орших

7-т хуваагдах тоо $\fbox{ab}$ ширхэг байна.
7-т хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{cdef}$ байна.
7-т үл хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{ghij}$ байна.

Бодлого №7115

Эхний гишүүн ба ялгавар нь бүхэл тоо байх

$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн хувьд

$8\leq a_2\leq 10,$

$14\leq a_4\leq 16,$

$19\leq a_5\leq 21$ тэнцэтгэл бишүүд биелэх бол

$n$ -р гишүүн нь

$a_n=\fbox{a} \cdot n \text{ эсвэл } a_n=\fbox{b} \cdot n+ \fbox{c}$ томьёогоор тодорхойлогдоно.

Бодлого №7116

Эхний гишүүн ба ялгавар нь бүхэл тоо байх

$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн хувьд

$8\leq a_3\leq 13,$

$16\leq a_5\leq 17,$

$19\leq a_7\leq 22$ тэнцэтгэлбишүүд биелэх бол

$n$ -р гишүүн нь

$a_n=\fbox{a} \cdot n+\fbox{b}$ эсвэл

$a_n=\fbox{c} \cdot n+ \fbox{d}\mbox{ эсвэл }a_n=\fbox{c} \cdot n+\fbox{e},\mbox{ энд } (\fbox{d}< \fbox{e})$ томьёогоор тодорхойлогдоно.

Бодлого №7123

$-5, a_1, a_2, \dots, a_m,10, b_1,b_2,\dots ,b_n, 15$ гэсэн арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр 325 бол

$n=\fbox{ab}$ ба прогрессийн

$m+n$ дугаар гишүүн нь

$\dfrac{\fbox{cde}}{\fbox{fg}}$ байна.

Бодлого №7124

$-3, a_1, a_2, \dots, a_m,7, b_1,b_2,\dots ,b_n, 22$ гэсэн арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр

$\dfrac{779}{2}$ бол

$m=\fbox{ab}$ ба прогрессийн

$m+n-4$ дугаар гишүүн нь

$\dfrac{\fbox{cde}}{\fbox{f}}$ байна.

Бодлого №7135

Эхний гишүүн нь

$2$ ба

$6$ , ялгавар нь харгалзан 3 ба 5 байх хоёр арифметик прогрессийг харгалзан

$\{a_n\}$ ,

$\{b_m\}$ гэж тэмдэглэе. Эдгээрт хоёуланд нь харьяалагдах ерөнхий гишүүдээр

$\{c_k\}$ гэсэн шинэ арифметик прогресс байгуулья.

$a_n=b_m$ байх натурал

$n$ ,

$m$ -үүд нь

$\fbox{a}n=\fbox{b}m+\fbox{c}$ тэгшитгэлийг хангах ба

$n=\fbox{d}k-\fbox{e}, k=1,2,3,\dots$ гэсэн шийдтэй. Эндээс

$c_k=\fbox{fg}+\fbox{hi}\cdot(k-1), k=1,2,3,\dots.$

Бодлого №7136

Эхний гишүүн нь

$1$ ба

$11$ , ялгавар нь харгалзан 3 ба 10 байх хоёр арифметик прогрессийг харгалзан

$\{a_n\}$ ,

$\{b_m\}$ гэж тэмдэглэе. Эдгээрт хоёуланд нь харьяалагдах ерөнхий гишүүдээр

$\{c_k\}$ гэсэн шинэ арифметик прогресс байгуулья.

$a_n=b_m$ байх натурал

$n$ ,

$m$ -үүд нь

$\fbox{a}n-\fbox{b}=\fbox{cd}m$ тэгшитгэлийг хангах ба

$n=\fbox{ef}k+\fbox{g}, k=1,2,3,\dots$ гэсэн шийдтэй. Эндээс

$c_k=\fbox{hi}+\fbox{jk}\cdot(k-1), k=1,2,3,\dots.$

ЭЕШ 2013 A №22

$f(x)=x^3-9x^2+25x-21$ олон гишүүнтийн язгуурууд нь

$x_1,x_2,x_3 (x_1< x_2< x_3)$ бол

$x_1+x_2+x_3=\fbox{a}$ (1 оноо).
$x_1, x_2, x_3$ арифметик прогресс үүсгэх бол $x_2=\fbox{b}$ (1 оноо).
Уул прогрессийн ялгавар $\sqrt{c}$ (2 оноо).
$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}=\sqrt{d}+\sqrt{\fbox{e}+2\sqrt{\fbox{f}}}$ (2 оноо).

Ерөнхий гишүүний томьёо

Эхний

$n$ гишүүний нийлбэр нь

$S_n=2n^2+3n$ байх арифметик прогрессийн

$n$ дүгээр гишүүн нь

$a_n=\fbox{a}n+\fbox{b}$ ба ялгавар нь

$d=\fbox{c}$ байна. Мөн

$a_{11}+a_{12}+\dots+a_{15}=\fbox{def}$ байна.

15-д хуваагддаг тоонууд

1-ээс 500-гийн хооронд орших

15-д хуваагдах тоо $\fbox{ab}$ ширхэг байна.
15-д хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{cdef}$ байна.
15-д хуваагддаггүй тоонуудын нийлбэр $\fbox{ghijkl}$ (1 ба 500-г оруулаад) байна.

Куб тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогресс үүсгэх

$x^3-6x^2+3x+p=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь

$x_1\le x_2\le x_3$ гэсэн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болох тоонууд бол

$x_1=-\fbox{a}$ ,

$x_2=\fbox{b}$ ,

$x_3=\fbox{c}$ байна.

Бодлого №14315

$(1+x)^{\frac12}$ бином цувааны

$x^3$ -ийн өмнөх коэффициентийг ол.

A.

$1$ B.

$\dfrac{1}{2}$ C.

$-\dfrac{1}{8}$ D.

$\dfrac{1}{16}$ E.

$-\dfrac{1}{24}$

Бодлого №14319

$\dfrac{1}{(1-ax)^3}$ задаргааны

$x^3$ -ийн өмнөх коэффициент

$2160$ бол

$a=?$

A.

$3$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$5$ E.

$4$

Бодлого №15823

$(1+2x)^{-4}$ задаргааны

$x^2$ -ийн өмнөх коэффициентийг ол.

A.

$30$ B.

$40$ C.

$20$ D.

$24$ E.

$36$

Бодлого №15858

$(1+x)^{-3}$ задаргааны

$x^3$ -ийн өмнөх коэффициентийг ол.

A.

$-3$ B.

$3$ C.

$-10$ D.

$10$ E.

$-20$

Сорилго №2, 2019-2020

$(1+x)^{\frac13}$ бином цувааны

$x^2$ -ийн өмнөх коэффициентийг ол.

A.

$1$ B.

$\dfrac{1}{3}$ C.

$\dfrac{1}{9}$ D.

$-\dfrac{1}{9}$ E.

$-\dfrac{1}{4}$

Бодлого №14316

$(1-2x)^{\frac12}$ илэрхийллийн задаргааг ашиглан

$\sqrt{35}$ тоог ойролцоогоор олъё.

$(1-2x)^{\frac12}=1-x-\dfrac1{\fbox{a}}x^2-\dfrac{1}{\fbox{b}}x^3-\cdots$

$x=\dfrac{1}{72}$ гэвэл

$2x=\dfrac{1}{36}$ тул

$\dfrac{\sqrt{35}}{6}=\left(1-\dfrac{1}{36}\right)^{\frac12}\approx1-\dfrac{1}{72}-\dfrac{1}{\fbox{a}}\cdot\dfrac{1}{72^2}-\dfrac{1}{\fbox{b}}\cdot\dfrac{1}{72^3}$ буюу

$\sqrt{35}\approx\fbox{c.def}$ байна.

Бодлого №2082

$S_n$ --- геометр прогрессийн эхний n гишүүдийн нийлбэр. Хэрэв дурын

$n$ -ийн хувьд

$\log_3\Big(\dfrac{S_n}2+1\Big)=n$ гэсэн нөхцөл биелэх бол прогрессийн хуваарийг ол.

Бодлого №2083

Геометр прогрессийн эхний S гишүүний нийлбэр түүний эхний гурван гишүүний нийлбэрээс 3/2-оор их. Прогрессийн S дахь гишүүн нь түүний гурав дахь гишүүнийг 4-өөр үржүүлсэнтэй тэнцүү. Түүний хуваарь эерэг гэдэг нь мэдэгдэж байгаа бол прогрессийн 4 дэхь гишүүнийг ол.

9.1

Геометр прогрессийн 1 ба 5 дугаар гишүүдийн үржвэр нь 12. Хоёр дугаар гишүүнийг дөрөв дүгээр гишүүнд хуваахад 3 гарна. Прогрессийн хоёр дугаар гишүүнийг ол.

Бодлого №2085

Нийлбэр нь 21-тэй тэнцүү байх геометр прогрессийг үүсгэж буй 3 эерэг тоог тодорхойл.

Бодлого №2086

Эхний гурван гишүүний нийлбэр 7-той тэнцүү, харин тэдгээрийн үржвэр нь 8-тай тэнцүү бол геометр прогрессийг ол.

Бодлого №2087

Геометр прогрессийн эхний 3 гишүүний нийлбэр нь 12-той тэнцүү, харин эхний 6 гишүүний нийлбэр 84 бол прогрессийн 3 дахь гишүүнийг ол.

Бодлого №2088

Геометр прогрессийн дөрөв дэхь гишүүнийг эхний гишүүнд хуваавал хүртвэр нь 64 болно. Прогрессийн гурав дахь гишүүн нь 8 бол прогрессийн эхний гишүүнийг ол.

Бодлого №2089

Геометр прогрессийн тав дугаар гишүүнээс нэг дүгээр гишүүнийг хасахад гарах тоо гурав дугаар гишүүнээс нэг дүгээр гишүүнээс хасахад гарах тооноос 5 дахин илүү юм. Энэхүү геометр прогресс эерэг гишүүдтэй мөн өсдөг бол хуваарийг ол.

Бодлого №2090

Геометр прогрессийн эхний гурван тооны нийлбэр нь 9, эхний 6 гишүүний нийлбэр 63 бол энэ прогрессийн эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол.

Бодлого №2091

Геометр прогрессийн нэг дэхь гишүүн нь 1-тэй тэнцүү, эхний 5 гишүүний нийлбэр нь энэ гишүүдийн эсрэг хэмжээний нийлбэрээс 8 дахин их бол түүний хуваарийг ол.

Бодлого №2092

Геометр прогрессийн нэг болон тав дахь гишүүдийн нийлбэр 51. Хоёр буюу зургаа дахь гишүүдийн нийлбэр 102 бол энэ прогрессийн хэдэн гишүүнийг авахад нийлбэр нь 3069 байх вэ?

Бодлого №2093

Геометр прогрессийн эхний гишүүн, түүний хоёр дахь гишүүний хоёрт үржүүлсэн болон гурав дахь гишүүнийг гуравт үржүүлсэн тоог нэмэхэд нийлбэр нь 2 гарна. Түүний эхний гишүүн, хуваарь болон хоёр дахь гишүүд нь арифметик прогрессийг үүсгэдэг. Геометр прогрессийн хуваарь болон эхний гишүүнийг нь ол.

Бодлого №2094

7 ба 56 гэсэн тоонуудын дунд байрлуулахад тэдгээрийн хамт геометр прогрессийг үүсгэж байх хоёр тоог ол.

Бодлого №2095

Геометр прогрессийн 18 ба 23 дахь гишүүдийн үржвэр нь 1.9-тй тэнцүү бол энэ прогрессийн 12 ба 29 дахь гишүүдийн үржвэрийг ол.

Бодлого №2096

Геометр прогрессийн хуваарь нь 3 бөгөөд эхний болон 4 дэхь гишүүний нийлбэр нь -40 бол гурав дахь гишүүнийг ол.

Бодлого №2109

Геометр прогрессийн эхний ба

$5$ дахь гишүүдийн нийлбэр

$51$ ,

$2$ ба

$6$ дахь гишүүдийн нийлбэр

$102$ байв. Гишүүдийн нийлбэр нь

$3069$ байхын тулд энэ прогрессийн хэчнээн гишүүнийг нь сонгон авах хэрэгтэй вэ?

Бодлого №2110

Хэрэв

$-1$ ,

$x+2$ ,

$\sin(\arcsin x)$ тоонууд энэ дарааллаараа геометр прогресс үүсгэх бол

$x$ -ийг ол.

Бодлого №2111

Хэрвээ геометр прогрессийн

$13$ дахь гишүүнээс эхлэн дараалсан

$12$ гишүүнийх нь нийлбэр эхний

$12$ гишүүний нийлбэрийн

$40\%$ -тай тэнцүү бол

$3$ дахь гишүүнийг нь

$15$ дахь гишүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2112

Геометр прогресс үүсгэх

$3$ тооны нийлбэр нь

$62$ ба квадратуудынх нь нийлбэр

$2604$ бол эдгээр тоонуудыг ол.

Бодлого №2113

Геометр прогрессийн эхний гурван гишүүний нийлбэр

$14$ ба тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр

$84$ бол эхний гишүүнийг ол.

Бодлого №2114

Хэрэв

$a, b, c$ тоонууд геометр прогресийн дараалсан гишүүд бол дараах илэрхийллийг бод:

$\dfrac{{\log _{b} 3\left( {\log _{a^{2}} c-\log _{c} \sqrt {a}} \right)}}{{\log _{a} 9-2\log _{c} 3}}$ .

Бодлого №2124

$1-\cos 2x$ ,

$\cos x-\frac{1}{2}$ ,

$frac{1}{2}\sin^{-2}x$ тоонууд нь харгалзан

$k$ ,

$k+1$ ,

$k+2$ дугаартай геометр прогрессийн гишүүд ба энэ прогрессийн

$15$ дахь гишүүн нь

$27/8$ байх бүх

$x$ ,

$k$ тоонуудыг ол.

Бодлого №2125

Дараах тэгшитгэлийн

$3$ ялгаатай бодит шийд нь геометр прогресс үүсгэх бол тэгшитгэлийг бод:

$x^{3}+3x^{2}-6x+a=0$ .

Бодлого №2126

Эхний гишүүн нь

$1$ байх

$2$ ялгаатай геометр прогресс өгөгдөв. Хувиаруудынх нь нийлбэр

$-4$ ба

$6$ дахь гишүүдийнx нийлбэр

$-724$ бол

$5$ дахь гишүүдийнх нь нийлбэрийг ол.

Бодлого №2127

$a, b, c$ натурал тоонууд өгөгдсөн дарааллаараа геометр прогресс үүсгэх ба хувиар нь бүхэл тоо.

$2240$ ба

$4312$ гэсэн тоонууд харгалзан

$b, c$ -д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Өгөгдсөн нөхцлийн хувьд

$a+b+c$ илэрхийлэл хамгийн их утгандаа хүрэх

$a, b, c$ тоонуудыг ол.

Бодлого №10258

$a_n$ -геометр прогрессын

$a_1=a$ ногдвор

$q$ бол:

$a_4=10, a_{10}=40$ бол $q, a_{31}$ -г ол.
$S_{10}=4, a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{40}=48$ бол $a_{31}+a_{32}+\cdots+a_{60}$ -г ол.

Геометр прогресс

$a_n$ -геометр прогрессын ногдвор

$q$ эхний гишүүн

$a$ байг.

$a=5, a_{13}=45$ бол $a_{7}, q$ -ийг ол.
$a_2=8, a_{8}=\dfrac 18$ бол $q, a, S_6$ -г ол.
$S_3=70, a_1\cdot a_2\cdot a_3=8000, q>1$ бол $q, a, a_n-$ ыг ол.
$S_3=21, \dfrac 1{a_3}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac 1{a_1}=\dfrac7{12}, q>0, a>0$ бол $q, a, a_n$ -г ол.

Бодлого №4611

$\{ b_n \}$ геометр прогрессийн хувьд

$b_{10}=100 , b_{11}=1000$ бол

$b_{18}=?$

A.

$10^8$ B.

$10^9$ C.

$10^{10}$ D.

$10^{11}$ E.

$10^{12}$

Геометр прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэр

Геометр прогрессийн хувьд

$S_2=7$ ,

$S_6=91$ бол

$S_4$ -ийг ол.

A. 32 B. 28 C. 29 D. 30 E. 31

Бодлого №4691

Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр 9, эхний гишүүн 3 бол 2 дахь гишүүн хэд вэ?

A. 2 B. 1 C.

$\frac23$ D. 6 E.

$\frac32$

9.1

Геометр прогресс үүсэх 4 тооны эхний хоёрынх нь нийлбэр 44, сүүлчийн хоёрынх нь нийлбэр нь 396 байв. Прогрессийн хуваарь эерэг тоо бол эхний гишүүнийг ол.

A.

$11$ B.

$-22$ C.

$-11$ D.

$22$ E.

$-21$

Бодлого №4825

Нийлбэр нь 78-тай тэнцүү гурван тоо өсөх геометр прогресс үүсгэж байв. Тэдгээр нь мөн арифметик прогрессийн нэг, гурав, ес дэх гишүүд болж байв. Эдгээр тоонуудын хамгийн ихийг ол.

A. 54 B. 6 C. 60 D. 49 E. 64

Бодлого №4842

$\lim\limits_{n\to\infty} \big(1-\frac13+\frac19-\cdots+\big(-\frac13\big)^n\big)$ хязгаарыг бод.

A.

$1$ B.

$\frac34$ C.

$\frac43$ D.

$\frac45$ E.

$\frac35$

Геометр прогресс

$b_n$ геометр прогрессийн бүх гишүүд нь эерэг тоо ба

$S_9=511$ . Хэрвээ

$b_1=256$ бол

$b_8$ -ийг ол.

A. 2 B. 3 C. 5 D. 11 E. 1

Төгсгөлгүй буурах геометр прогресс

Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн эхний 2 гишүүний нийлбэр 2, эхний 3 гишүүний нийлбэр 3 бол бүх гишүүдийнх нь нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ?

A.

$8$ B.

$\dfrac{8}{3}$ C.

$10$ D.

$16$ E.

$\dfrac{16}{3}$

Геометр прогрессийн дараалсан гишүүд

Хуваарь нь

$2$ байх

$\{b_1,b_2,b_3,\dots,b_{10}\}$ геометр прогрессийн дараалсан гишүүд ба

$A=b_1\cdot b_3\cdot b_5\cdot b_7\cdot b_9$ ,

$B=b_2\cdot b_4\cdot b_6\cdot b_8\cdot b_{10}$ бол

$\displaystyle\frac{B}{A}$ утгыг ол.

A.

$1/16$ B.

$16$ C.

$32$ D.

$2$ E.

$1/32$

Бодлого №5697

Өсөх геометр прогрессийн эхний хоёр гишүүний нийлбэр 15, 1-р гишүүн хуваариасаа 4,5-аар их бол энэ прогрессийн 4-р гишүүн аль вэ?

A.

$\dfrac{81}{4}$ B.

$\dfrac{27}{4}$ C.

$\dfrac{243}{4}$ D.

$12.5$ E.

$\dfrac{63}{4}$

Геометр прогрессийн чанар

$b_5=\dfrac{256}{243}$ ,

$b_8=\dfrac{16384}{6561}$ байх геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$\left(\dfrac43\right)^n$ B.

$3\left(\dfrac43\right)^n$ C.

$\dfrac13\left(\dfrac43\right)^{n-1}$ D.

$\left(\dfrac34\right)^n$ E.

$\dfrac13\left(\dfrac43\right)^n$

Бодлого №5699

Геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь

$\sqrt a$ ба 5-р гишүүн нь

$\sqrt[3]a$ бол түүний 49-р гишүүн нь аль вэ?

A.

$a^{\frac32}$ B.

$a^{-\frac32}$ C.

$a^{\frac52}$ D.

$a^{-\frac52}$ E.

$a^{-\frac23}$

Бодлого №5700

Геометр прогресс үүсгэх гурван тооны үржвэр 64 ба түүний дундахь гишүүн дээр 1-ийг нэмбэл арифметик прогресс үүсгэнэ. Энэ гурван тоо аль вэ?

A. 1, 4, 14; B.

$\dfrac12$ , 4, 32; C. 2, 4, 8; D.

$\dfrac14$ , 4, 64; E. 1, 4, 16

Геометр прогресс үүсгэх тоонууд

$\sqrt[3]{7},\sqrt[k]{7},7$ тоонууд геометр прогресс үүсгэх бол

$k=?$

A.

$\dfrac{1}{2}$ B.

$\dfrac{3}{2}$ C.

$2$ D.

$3$ E.

$6$

9.1

$3^{x+2}$ ,

$3^{2x+4}$ ,

$3^{5x-2}$ тоонууд геометр прогресс үүсгэх бол

$x=?$

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Геометр прогресс

Өсөх геометр прогрессийн эхний хоёр гишүүний нийлбэр

$15$ , 1-р гишүүн хуваариасаа

$4.5$ -аар их бол энэ прогрессийн 4-р гишүүн аль вэ?

A.

$\frac{81}4$ B.

$\frac{27}4$ C.

$\frac{243}4$ D.

$27$ E.

$81$

Бодлого №6970

Өсөх геометр прогрессийн 6-р гишүүн нь 4-р гишүүнээсээ 4 дахин их ба

$b_2+b_5=216$ бол ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$b_n=3\cdot2^n$ B.

$b_n=3\cdot2^{n+1}$ C.

$b_n=3\cdot2^{n-1}$ D.

$b_n=2^{n+1}$

Бодлого №6971

$b_7=\dfrac{64}{729}$ ба

$b_{11}=\dfrac{1024}{59049}$ байх эерэг гишүүдтэй геометр прогрессийн хуваарь аль вэ?

A.

$\frac13$ B.

$\frac29$ C.

$\frac23$ D.

$\frac43$

Бодлого №6972

$b_5=\dfrac{256}{243}$ ,

$b_8=\dfrac{16384}{6561}$ байх геометр прогрессийн хуваарь аль вэ?

A.

$\frac34$ B.

$\frac43$ C.

$\frac23$ D.

$\frac83$

Бодлого №6973

$b_5=\dfrac{256}{243}$ ,

$b_8=\dfrac{16384}{6561}$ байх геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$(\frac43)^n$ B.

$3\cdot(\frac43)^n$ C.

$\frac13(\frac43)^{n-1}$ D.

$(\frac34)^n$

Бодлого №6974

$b_7=\dfrac{729}{64}$ ,

$b_{11}=\dfrac{59049}{1024}$ байх эерэг гишүүдтэй геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$\frac{3^n}{2^{n-1}}$ B.

$(\frac23)^n$ C.

$(\frac32)^{n-1}$ D.

$\frac{2^{n-1}}{3^n}$

Бодлого №6975

$b_4=24$ ба

$b_8=384$ байх эерэг гишүүдтэй геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь аль вэ?

A.

$2$ B.

$4$ C.

$6$ D.

$3$

Бодлого №6976

$b_5=162$ ,

$b_8=4374$ байх геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь аль вэ?

A.

$6$ B.

$3$ C.

$4$ D.

$2$

Бодлого №6977

6 ба 18-ын хооронд орших ба тэдгээртэй хамт 5 гишүүнтэй геометр прогресс үүсгэх 3 тоог ол.

A.

$\sqrt[4]3,\sqrt[4]9,\sqrt[4]{81}$ B.

$6\sqrt[4]3,6\sqrt[4]9,6\sqrt[4]{27}$ C.

$6\sqrt[4]2,6\sqrt[4]8,6\sqrt[4]{16}$ D.

$\frac6{\sqrt[4]3},\frac6{\sqrt[4]9},\frac6{\sqrt[4]{81}}$ E.

$6\sqrt3,6\sqrt9,6\sqrt{27}$

Бодлого №6978

4 ба 64-ийн хооронд орших ба тэдгээртэй хамт 6 гишүүнтэй геометр прогресс үүсгэх 4 тоог ол.

A.

$4^{\frac65}$ ,

$4^{\frac85}$ ,

$4^{\frac{10}5}$ ,

$4^{\frac{11}5}$ B.

$4^{\frac75}$ ,

$4^{\frac95}$ ,

$4^{\frac{11}5}$ ,

$4^{\frac{13}5}$ C.

$4^{\frac85}$ ,

$4^{\frac95}$ ,

$4^{\frac{12}5}$ ,

$4^{\frac{13}5}$ D.

$4^{\frac95}$ ,

$4^{\frac{10}5}$ ,

$4^{\frac{11}5}$ ,

$4^{\frac{12}5}$

Бодлого №6979

Геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь

$\sqrt a$ ба 5-р гишүүн нь

$\sqrt[3]a$ бол түүний 49-р гишүүн нь аль вэ?

A.

$a^{\frac32}$ B.

$a^{-\frac32}$ C.

$a^{\frac52}$ D.

$a^{-\frac52}$

Бодлого №6980

Геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь

$\sqrt[3]b$ ба 6-р гишүүн нь

$\sqrt[4]b$ бол түүний 21-р гишүүн аль вэ?

A.

$2b$ B.

$\sqrt[3]b$ C.

$1$ D.

$\frac1{\sqrt[3]b}$

Бодлого №6981

Эхний гишүүн нь 2 ба 6-р гишүүн нь 64, гишүүдийн нийлбэр 1022 байх геометр прогрессийн гишүүдийн тоо хэд вэ?

A.

$8$ B.

$10$ C.

$7$ D.

$9$

Бодлого №6982

Хуваарь нь 3 ба 8-р гишүүн нь 243, бүх гишүүдийн нийлбэр

$\frac{29524}9$ байх геометр прогрессийн гишүүдийн тоо хэд вэ?

A.

$8$ B.

$9$ C.

$10$ D.

$11$

Бодлого №6983

Геометр прогрессийн ерөнхий гишүүн

$b_n=3\cdot2^n$ томьёогоор өгөгдсөн бол түүний эхний 10 гишүүний нийлбэр аль вэ?

A.

$3069$ B.

$6138$ C.

$6136$ D.

$6132$ E.

$2046$

Бодлого №6986

Өсөх геометр прогрессийн хувьд

$S_4=20$ ,

$S_8=340$ бол

$S_{12}$ нь аль вэ?

A.

$5460$ B.

$5400$ C.

$5420$ D.

$5440$

Бодлого №6989

Геометр прогрессийн хувьд

$b_4-b_2=20$ ба

$b_2+b_3=10$ бол түүний ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$2.5\cdot3^{n-2}$ B.

$2.5\cdot3^{n-1}$ C.

$2.5\cdot3^n$ D.

$2\cdot3^{n-2}$

Бодлого №6991

Геометр прогрессийн хувьд

$S_2=7$ ,

$S_6=91$ бол

$S_4$ -ийг ол.

A.

$31$ B.

$30$ C.

$28$ D.

$26$

Бодлого №6992

Геометр прогрессийн хувьд

$b_4-b_1=126$ ,

$S_3=42$ бол уг прогрессийн 1-р гишүүнийг ол.

A.

$6$ B.

$4$ C.

$3$ D.

$2$ E.

$-2$

Бодлого №6994

Геометр прогрессийн хувьд

$b_1\cdot b_2\cdot b_3=81$ ,

$b_5:b_2=3$ бол түүний

$n$ -р гишүүний томьёо аль вэ?

A.

$3^{\frac{n+2}3}$ B.

$3^{\frac{n+1}3}$ C.

$3^{\frac{n-2}3}$ D.

$3^{\frac{n+3}3}$

Бодлого №6995

Геометр прогрессийн хувьд

$b_1=3$ ,

$b_4=-81$ бол

$S_6$ -ийг ол.

A.

$540$ B.

$-540$ C.

$542$ D.

$-546$

Бодлого №6997

Геометр прогрессийн хувьд

$S_5=484$ ,

$q=3$ бол

$b_1+b_6$ -ийг ол.

A.

$972$ B.

$976$ C.

$970$ D.

$896$

Бодлого №6999

Геометр прогрессийн хувьд

$b_2=2$ ,

$b_5=16$ бол

$S_n$ -ийг ол.

A.

$2^n+1$ B.

$2^n-1$ C.

$2^n$ D.

$2^{n+1}-1$ E.

$2^{n-1}+1$

Бодлого №7001

Геометр прогрессийн хувьд

$S_n=\frac{243}2\left(1-\frac1{3^n}\right)$ бол

$b_n$ -ийг ол.

A.

$3^{n-5}$ B.

$3^{n-4}$ C.

$3^{4-n}$ D.

$3^{5-n}$

Бодлого №7003

Буурах геометр прогрессийн хувьд

$S_3=13$ ,

$b_1^2+b_2^2+b_3^2=91$ бол

$b_n$ -ийг ол.

A.

$9\cdot3^{-n}$ B.

$9\cdot3^{-(n-1)}$ C.

$9\cdot3^{-n-1}$ D.

$9\cdot3^{-n-2}$ E.

$9\cdot3^{2-n}$

Бодлого №7004

Өсөх геометр прогрессийн хувьд

$S_3=21$ ,

$b_1^2+b_2^2+b_3^2=189$ бол

$b_1$ ба

$q$ -ийг ол.

A.

$4,3$ B.

$2,3$ C.

$3,2$ D.

$3,4$

Бодлого №7006

$2^m$ ,

$6^m$ ба

$x^m$ гурван тоо геометр прогрессийн дараалсан гишүүд бол

$x$ -ийг ол.

A.

$3$ B.

$6$ C.

$12$ D.

$18$

Бодлого №7015

Аль тооны хувьд

$3^{2+x}$ ,

$3^{2x+4}$ ,

$3^{5x-2}$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?

A.

$-4$ B.

$6$ C.

$4$ D.

$2$

Бодлого №7016

Ямар тооны хувьд

$2^x$ ,

$2^{3x+2}$ ,

$2^{6x-8}$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?

A.

$8$ B.

$0$ C.

$10$ D.

$12$ E.

$15$

Бодлого №7017

$[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд

$\sin x$ ,

$\sqrt2\sin2x$ ,

$3\sin3x$ функцүүдийн утга өсөх геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A.

$0$ B.

$\frac{\pi}2$ C.

$\frac{\pi}6$ D.

$\frac{\pi}4$

Бодлого №7018

$[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд

$\cos x$ ,

$\sqrt2\cos2x$ ,

$-\cos3x$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A.

$0$ B.

$\frac{\pi}2$ C.

$\frac{\pi}3$ D.

$\frac{\pi}4$

Бодлого №7019

Аль тооны хувьд

$\sqrt{x+1}$ ,

$\sqrt[4]{2x+2}$ ,

$\sqrt{x-1}$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A.

$0$ B.

$2$ C.

$3$ D.

$4$

Бодлого №7020

Аль тооны хувьд

$\sqrt[3]{x-1}$ ,

$\sqrt[6]{7x+3}$ ,

$\sqrt[3]{x+9}$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A.

$-4$ B.

$4$ C.

$3$ D.

$2$

Бодлого №7027

Өсөх геометр прогрессийн

$b_1+b_2+b_3=42$ ,

$\log_2b_1+\log_2b_2+\log_2b_3=9$ бол

$b_n$ -ийг ол.

A.

$2^{2n-1}$ B.

$2^{2(n-1)}$ C.

$2^{2n+1}$ D.

$2^{2(n+1)}$

Бодлого №7028

Буурах геометр прогрессийн

$b_1+b_2+b_3=62$ ,

$\lg b_1+\lg b_2+\lg b_3=3$ бол

$b_n$ -ийг ол.

A.

$50\cdot(0.2)^{n-1}$ B.

$50\cdot(0.2)^{n}$ C.

$50\cdot(0.2)^{n+1}$ D.

$(50\cdot0.2)^{n-1}$

Бодлого №7034

$1,5,12$ тоонууд ямар нэг геометр прогрессийн гишүүн болж чадах уу?

A. болно B. болно

$q=\sqrt5, b_1=1$ C. болохгүй D. болно

$q=\sqrt[4]5, b_1=1$

Геометр прогрессийн нийлбэр

$S_n=1+4+4^2+4^3+\dots+4^n$ нийлбэрийг ол.

A.

$\dfrac{4^n-1}3$ B.

$\dfrac{4^n+1}3$ C.

$\dfrac{4^{n+1}-1}3$ D.

$\dfrac{4^{n+1}+1}3$ E.

$\dfrac{4^{n-1}+1}3$

Бодлого №7042

$S_n=\dfrac23+\dfrac2{3^2}+\dots+\dfrac2{3^n}$ нийлбэрийг ол.

A.

$1+\frac2{3^n}$ B.

$1-\frac2{3^n}$ C.

$1-\frac1{3^n}$ D.

$1+\frac1{3^n}$

Бодлого №7043

$S_n=2+5+13+\dots+(2^{n-1}+3^{n-1})$ нийлбэрийг ол.

A.

$\displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n-3}2$ B.

$2^n+\frac{3^n}2-1$ C.

$\displaystyle\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}2$ D.

$\displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n-1}2$

ЭЕШ 2011 C №18

$N$ өнцөгтийн талуудын урт

$q=1.1$ хуваарьтай геометр прогресс үүсгэдэг бол

$N$ нь хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8

Виетийн теорем ба ТБГП нийлбэр

$\alpha$ ,

$\beta$ нь

$25x^2-20x+3=0$ квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд бол

$(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots)(1+\beta+\beta^2+\beta^3+\cdots)$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.

$1$ B.

$\dfrac{8}{5}$ C.

$\dfrac{5}{8}$ D.

$\dfrac{8}{25}$ E.

$\dfrac{25}{8}$

Төгсгөлгүй буурах геометр прогресс

$|q|<1$ бол

$\sum\limits_{k=0}^\infty q^n<\dfrac34$ байх

$q$ -ийн утгын мужийг ол.

A.

$\big]-\infty;-\frac13\big[$ B.

$\big]-1;-\frac13\big[$ C.

$\big]-1;\frac13\big[$ D.

$\big]\frac13;1\big[$ E.

$\big]-\frac13;1\big[$

Геометр прогрессийн дараалсан гишүүд

$4$ ,

$x-4$ ,

$x+4$ тоонууд энэ дарааллаараа өсдөг геометр прогресс үүсгэнэ. Энэ прогрессийн хуваарийг ол.

A.

$4$ B.

$8$ C.

$x$ D.

$6$ E.

$2$

Нийлбэрээс ерөнхий гишүүн олох

$a_n$ дарааллалын эхний

$n$ гишүүний нийлбэр нь

$S_{n}=2^n+2n-1$ байв.

$a_1+a_3+\cdots+a_{2k-1}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\dfrac{4^k+5}{3}$ B.

$\dfrac{4^k-1}{3}$ C.

$\dfrac{2^k-1}{3}+2k$ D.

$\dfrac{4^k-1}{3}+2k$ E.

$\dfrac{2^k+1}{3}+2$

Эхний 3 гишүүн

Геометр прогрессийн эхний

$n$ гишүүний нийлбэр нь

$S_n=2(3^n-1)$ бол эхний 3 гишүүнийг жагсааж бич.

A.

$1$ ,

$3$ ,

$9$ B.

$2$ ,

$6$ ,

$18$ C.

$4$ ,

$36$ ,

$108$ D.

$4$ ,

$-12$ ,

$36$ E.

$4$ ,

$12$ ,

$36$

Геометр прогрессийн дараалсан гишүүд

$3$ ,

$x-3$ ,

$x+3$ тоонууд энэ дарааллаараа өсдөг геометр прогресс үүсгэнэ. Энэ прогрессийн хуваарийг ол.

A.

$1.5$ B.

$2$ C.

$2.5$ D.

$3$ E.

$4$

Геометр прогресс

Геометр прогрессийн 1-р гишүүн

$\sqrt[3]{x}$ , 3-р гишүүн

$\sqrt{x}$ бол 9-р гишүүн аль нь вэ?

A.

$\sqrt[12]{x}$ B.

$x^{\frac24}$ C.

$x$ D.

$x^{\frac23}$ E.

$x^{\frac32}$

Геометр прогресс

Геометр прогрессийн

$b_3=2$ ,

$b_6=16$ бол

$b_1=?$

A.

$-\dfrac12$ B.

$\dfrac14$ C.

$\dfrac18$ D.

$\dfrac12$ E.

$1$

Виетийн теорем, төгсгөлгүй буурах геометр прогресс

$16x^2+8x-1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд

$\alpha$ ,

$\beta$ бол

$(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots)(1+\beta+\beta^2+\beta^3+\cdots)$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.

$\dfrac{1}{17}$ B.

$\dfrac{32}{51}$ C.

$\dfrac{16}{17}$ D.

$-\dfrac{16}{23}$ E.

$\dfrac{16}{23}$

Виетийн теорем, төгсгөлгүй буурах геометр прогресс

$8x^2+4x-1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд

$\alpha$ ,

$\beta$ бол

$(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots)(1+\beta+\beta^2+\beta^3+\cdots)$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.

$-\dfrac{8}{11}$ B.

$\dfrac{1}{11}$ C.

$\dfrac{8}{11}$ D.

$-\dfrac{1}{8}$ E.

$\dfrac{13}{8}$

Бодлого №12870

Геометр прогресс үүсэх 4 тооны эхний хоёрынх нь нийлбэр 44, сүүлчийн хоёрынх нь нийлбэр нь 396 байв. Прогрессийн хуваарь сөрөг тоо бол эхний гишүүнийг ол.

A.

$11$ B.

$-22$ C.

$-11$ D.

$22$ E.

$-21$

Бодлого №14

Геометр прогрессийн хувьд

$S_2=6$ ,

$S_6=42$ бол

$S_4$ -ийг ол.

A. 32 B. 28 C. 29 D. 18 E. 31

Бодлого №14

Геометр прогрессийн хувьд

$S_2=3$ ,

$S_6=21$ бол

$S_4$ -ийг ол.

A. 16 B. 9 C. 13 D. 8 E. 10

Бодлого №13755

$\{ b_n \}$ геометр прогрессийн хувьд

$b_{10}=100 , b_{11}=1000$ бол

$b_{18}=?$

A.

$10^8$ B.

$10^9$ C.

$10^{10}$ D.

$10^{11}$ E.

$10^{12}$

Бодлого №13867

Геометр прогрессын 2-р гишүүн нь 5, 10-р гишүүн 45 бол 6-р гишүүнийг ол.

A.

$\sqrt[4]{3}$ B.

$5\cdot\sqrt[4]{3}$ C.

$12$ D.

$15$ E.

$18$

2021 B №15

${\begin{pmatrix} x +y =1\\ 3^{x-1}=9^y \\ \end{pmatrix}}$

системийн шийдүүдийн ялгаврыг ол.

$x-y$ = ?

A.

$5$ B.

$1, 3$ C.

$-1$ D.

$1$ E.

$3$

2019 A №15

$\sqrt[3]{2}$ ,

$\sqrt[3]{2x}$ ,

$8$ тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол

$q$ -г ол.

A.

$\sqrt[3]{4}$ B.

$2$ C.

$4$ D.

$2\sqrt[3]{2}$ E.

$\sqrt[3]{2}$

2019 A №15

$\sqrt[3]{3}$ ,

$\sqrt[3]{3x}$ ,

$27$ тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол

$q$ -г ол.

A.

$\sqrt[3]{9}$ B.

$3\sqrt[3]{3}$ C.

$9$ D.

$3$ E.

$\sqrt[3]{243}$

2019 A №15

$\sqrt[3]{3}$ ,

$\sqrt[3]{3x}$ ,

$27$ тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол

$q$ -г ол.

A.

$\sqrt[3]{9}$ B.

$3\sqrt[3]{3}$ C.

$9$ D.

$3$ E.

$\sqrt[3]{243}$

Бодлого №7089

2 ба 4-р гишүүдийн нийлбэр нь 20, харин 4 ба 6-р гишүүдийн нийлбэр нь 80 гардаг сөрөг биш эхний гишүүнтэй геометр прогресс өгөгдөв. а) 3 дугаар гишүүн нь

$\fbox{a}$ байна. б) Эхний

$n$ гишүүний нийлбэрийг

$S_n$ гэе.

$S_n$

$1000$ -аас бага байх хамгийн их

$n$ нь

$\fbox{b}$ байна.

Бодлого №7090

2 ба 5-р гишүүдийн нийлбэр нь

$\dfrac{27}{2}$ , харин 3 ба 6-р гишүүдийн нийлбэр нь

$27$ байх геометр прогресс өгөгдөв. а) 3 дугаар гишүүн нь

$\fbox{a}$ байна. б) Эхний

$n$ гишүүний нийлбэрийг

$S_n$ гэе.

$S_n$

$1000$ -аас бага байх хамгийн их

$n$ нь

$\fbox{bc}$ байна.

Бодлого №7101

$OA=OB=5$ байх

$OAB$ тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдөв.

$A_1,O_1, B_1$ цэгүүдээр харгалзан

$OA,AB,BO$ талуудыг

$OA_1:A_1A=AO_1:O_1B=BB_1:B_1O=2:3$ байхаар хуваая.

$A_2,O_2, B_2$ цэгүүдээр харгалзан

$O_1A_1,A_1B_1,B_1O_1$ талуудыг өмнөхийн адил

$2:3$ харьцаанд хуваах гэхмэтчилэн, энэ үйлдлийг

$n$ удаа давтахад үүсэх гурвалжинг

$\triangle O_nA_nB_n$ гэж тэмдэглэе. а)

$O_1A_1B_1$ гурвалжны талбай нь

$\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ , б)

$O_2A_2B_2$ гурвалжны талбай нь

$\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ef}}$ байна. в)

$O_nA_nB_n$ гурвалжны талбайг

$S_n$ гэвэл

$S_1,S_2,S_3,\dots$ дараалал нь геометр прогресс үүсгэх ба ерөнхий гишүүн нь

$S_n=\dfrac{\fbox{g}}{12}\cdot\left(\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{ij}}\right)^{n-1}$ болно.

Бодлого №7102

$OA=OB=5$ байх

$OAB$ тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдөв.

$A_1,O_1, B_1$ цэгүүдээр харгалзан

$OA,AB,BO$ талуудыг

$OA_1:A_1A=AO_1:O_1B=BB_1:B_1O=1:\fbox{a}$ харьцаагаар хуваахад үүсэх

$O_1A_1B_1$ гурвалжны талбай

$\dfrac{13}{2}$ байна.

$A_2,O_2, B_2$ цэгүүдээр харгалзан

$O_1A_1,A_1B_1,B_1O_1$ талуудыг өмнөхийн адил харьцаанд хуваах гэхмэтчилэн, энэ үйлдлийг

$n$ удаа давтахад үүсэх

$O_n,A_n,B_n$ орой бүхий гурвалжинг

$\triangle O_nA_nB_n$ гэж тэмдэглэе. а)

$O_2A_2B_2$ гурвалжны талбай нь

$\dfrac{\fbox{bcd}}{50}$ байна. б)

$O_nA_nB_n$ гурвалжны талбайг

$S_n$ гэвэл

$S_1,S_2,S_3,\dots$ дараалал нь геометр прогресс үүсгэх ба ерөнхий гишүүн нь

$S_n=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{g}}\cdot\left(\dfrac{\fbox{hi}}{25}\right)^{n}$ болно.

Бодлого №7103

Геометр прогрессийн эхний

$n$ гишүүний нийлбэр дээр арифметик прогрессийн

$n$ дугаар гишүүнийг нэмэхэд

$2,3,7,17,\dots$ дараалал үүсэв. Энэ дарааллын

$n$ дүгээр гишүүн нь

$c_n=\fbox{a}\cdot\fbox{b}^{n-1}-\fbox{c}\cdot n+\fbox{d}$ байна.

Бодлого №7104

Геометр прогрессийн эхний

$n$ дугаар гишүүн дээр арифметик прогрессийн

$n$ дүгээр гишүүнийг нэмэхэд 2,5,9,15,\dots дараалал үүсэв. Энэ дарааллын

$n$ дугаар гишүүн

$c_n=\fbox{a}^{n-1}+\fbox{b}\cdot n-\fbox{c}$ байна.

Бодлого №7105

$a$

$(a>0)$ эхний гишүүн,

$q$ хуваарьтай геометр прогрессийн эхний

$n$ гишүүний нийлбэр 189, хамгийн их гишүүн нь 96 болно. Эхний

$2n$ гишүүний нийлбэр 12285 бол

$a=\fbox{a}$ ,

$q=\fbox{b}$ байна.

Бодлого №7106

$a$

$(a>0)$ эхний гишүүн,

$q$ ноогдвортой геометр прогрессийн эхний

$n$ гишүүний нийлбэр 6480, эхний

$2n$ гишүүний нийлбэр

$6560$ . Эхний

$2n$ гишүүдээс хамгийн бага нь

$2$ бол

$a=\fbox{a}\cdot \fbox{b}^7$ ,

$q=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ байна.

Бодлого №7129

Геометр прогресс үүсгэх

$a_1, a_2,\dots, a_n$ тоонууд өгөгдөв.

$a_1=1$ ба хуваарь

$r\not =0$ гэе.

$n\geq 4$ үед

$b_k=a_k-2(a_{k+1}+a_{k+2}+\dots+a_n) k=1, 2,\dots, n-1$ гэж өгөгдсөн дараалал

$r=\fbox{a}$ эсвэл

$r=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ үед арифметик прогресс үүсгэнэ.

Бодлого №7130

Геометр прогресс үүсгэх

$a_1, a_2,\dots, a_n$ тоонууд өгөгдөв.

$a_1=1$ ба хуваарь

$r\not =0$ гэе.

$n\geq 4$ үед

$b_k=a_k-3(a_{k+1}+a_{k+2}+\dots+a_n) k=1, 2,\dots, n-1$ дараалал арифметик прогресс үүсгэдэг бол

$r=\fbox{a}$ эсвэл

$r=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ байна.

Бодлого №7137

$\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарийг

$q$ гэж тэмдэглэе.

$b_1>0$ ,

$1>q>0$ байг.

$\{b_n\}$ нь а)

$\{ b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$ ба

$\left\{\dfrac{1}{b_1},\dfrac{1}{b_2},\dfrac{1}{b_3},\dfrac{1}{b_4},\dfrac{1}{b_5}\right\}$ олонлогууд давхцана, б)

$b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=\dfrac{31}{4}$ гэсэн нөхцлүүдийг хангана. а) нөхцлөөс

$b_1q^2=\fbox{a}$ болно. Мөн

$b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=b_1q^2\left((q+q^{-1})^2+q+q^{-1}-\fbox{b}\right)$ гэдгээс

$q+q^{-1}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болно. Эндээс

$q=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$ ,

$b_1=\fbox{g}$ гэж олдоно.

Бодлого №7138

$\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарийг

$q$ гэж тэмдэглэе.

$b_1>0$ ,

$1>q>0$ байг.

$\{b_n\}$ нь а)

$\{ b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$ ба

$\left\{\dfrac{1}{b_1},\dfrac{1}{b_2},\dfrac{1}{b_3},\dfrac{1}{b_4},\dfrac{1}{b_5}\right\}$ олонлогууд давхцана, б)

$b_1-b_2+b_3-b_4+b_5=\dfrac{61}{9}$ гэсэн нөхцлүүдийг хангана. а) нөхцлөөс

$b_1q^2=\fbox{a}$ болно. Мөн

$b_1-b_2+b_3-b_4+b_5=b_1q^2\left((q+q^{-1})^2-(q+q^{-1})-\fbox{b}\right)$ гэдгээс

$q+q^{-1}=\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{e}}$ болно. Эндээс

$q=\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$ ,

$b_1=\fbox{h}$ гэж олдоно.

Төгсгөлгүй буурах геометр прогресс

Төгсгөлгүй буурах

$b_{n}$ геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь

$\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i=2$ , квадратуудын нийлбэр нь

$\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^2=1$ бол

$b_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ ,

$q=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болох тул кубуудын нийлбэр нь

$\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^3=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$ байна.

Бодлого №14318

$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=?$

A.

$\dfrac{1}{(1-x)^2}$ B.

$\dfrac{1}{1-x^2}$ C.

$\dfrac{1}{(1+x)^2}$ D.

$\dfrac{1}{1+x^2}$ E.

$\dfrac{1}{1-x-x^2}$

Бодлого №10147

Дараах дарааллуудын ерөнхий гишүүн ба эхний

$n$ гишүүний нийлбэрийг ол.

$3, 4, 7, 16, 43, 124,\ldots$
$2, 11, 32, 71, 134,\ldots$

Бодлого №10355

$n$ -натурал тоо.

$a_{n}=(n+3)^2(7n-39)$ дарааллын хамгийн бага гишүүн болон түүний дугаарыг ол.

Бодлого №10360

$f(x)=x^3-3x^2$ байг.

$A(a, f(a))$ цэгийг дайрах шулуун,

$A$ цэгээс өөр

$B(b, f(b))$ цэгээр

$y=f(x)$ муруйтай шүргэлцэх бол

$b=g(a)$ гэе.

$x_1=g(0), x_{n+1}=g(x_n), (n=1, 2, 3,\ldots)$ томъёогоор

$\{x_n\}$ тоон дарааллыг үүсгэе.

$g(a)$ -г ол.
$x_n$ -ийг $n$ -р илэрхийл.

9.2

$5,7,11,19,\dots$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.

A.

$1+3^n$ B.

$2+2^{n-1}$ C.

$2+3^n$ D.

$3+2^n$ E.

$3+2n$

$\{1;2;6;24;120;\dots\}$ дарааллын ерөнхий гишүүний томьёог бич.

A.

$n!$ B.

$(n-1)!$ C.

$n!-1$ D.

$(n+1)!$ E.

$(n+1)!-1$

9.2

$x_1=\displaystyle\frac 12; x_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2-x_n},\ n\in\mathbb N$ бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.

A.

$\dfrac{n-1}{n+1}$ B.

$\dfrac{n}{n+1}$ C.

$\dfrac{n}{2n-1}$ D.

$\dfrac{1}{2^n}$ E.

$\dfrac{n}{2^n}$

$x_n=\displaystyle\frac{21}{3n^2-14n-17}$ дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.

A.

$5$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$3$ E.

$2$

$x_n=\dfrac{\sqrt{n}}{100+n}$ дарааллын хамгийн их гишүүн хэдтэй тэнцүү вэ?

A.

$\dfrac 13$ B.

$\dfrac{1}{20}$ C.

$\dfrac12$ D.

$\dfrac 23$ E.

$\dfrac23$

Хамгийн их гишүүний дугаар

$a_n=-3n^2+50n+2$ томьёогоор өгсөн дарааллын хамгийн их гишүүний дугаарыг ол.

A. 10 B. 8 C. 7 D. 9 E. 11

ЭЕШ 2016 C №26

$a_n=\dfrac{3^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ харьцааг ол.

A.

$\dfrac{3}{n-1}$ B.

$\dfrac{n-1}{3}$ C.

$\dfrac{n}{3}$ D.

$\dfrac{3^n}{n}$ E.

$\dfrac{3}{n}$

ЭЕШ 2016 D №26

$b_n=\dfrac{5^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд

$\dfrac{b_n}{b_{n+1}}$ харьцааг ол.

A.

$\dfrac{5}{n-1}$ B.

$\dfrac{n-1}{5}$ C.

$\dfrac{n}{5^n}$ D.

$\dfrac{5}{n}$ E.

$\dfrac{n}{5}$

ЭЕШ 2016 A №26

$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ харьцааг ол.

A.

$\dfrac{2}{n-1}$ B.

$\dfrac{n-1}{2}$ C.

$\dfrac{n}{2}$ D.

$\dfrac{2}{n}$ E.

$\dfrac{2^n}{n}$

ЭЕШ 2016 B №26

$c_n=\dfrac{7^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд

$\dfrac{c_n}{c_{n+1}}$ харьцааг ол.

A.

$\dfrac{7}{n-1}$ B.

$\dfrac{n-1}{7}$ C.

$\dfrac{n}{7}$ D.

$\dfrac{7}{n}$ E.

$\dfrac{7^n}{n}$

$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ харьцааг ол.

A.

$\dfrac{2}{n-1}$ B.

$\dfrac{n-1}{2}$ C.

$\dfrac{n}{2}$ D.

$\dfrac{2}{n}$ E.

$\dfrac{2^n}{n}$

$x_n=\displaystyle\frac{21}{3n^2-14n-17}$ дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.

A.

$5$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$3$ E.

$2$

$x_n=\displaystyle\frac{6}{n^2-5n+3}$ дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.

A.

$5$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$3$ E.

$2$

2018 №A.04

$3,7,11,\ldots$ дарааллын 5-р гишүүнийг ол.

A.

$19$ B.

$23$ C.

$15$ D.

$18$ E.

$17$

2018 №A.13

$a_n=n^2-6n+10$ ерөнхий гишүүнтэй дарааллын хамгийн бага гишүүн ямар утгатай вэ?

A.

$-1$ B.

$1$ C.

$0$ D.

$2$ E.

$3$

9.2

$5,11,29,83,\dots$ дарааллын ерөнхий гишүүн аль нь байж болох вэ?

A.

$1+3^n$ B.

$2+2^{n-1}$ C.

$2+3^n$ D.

$3+2^n$ E.

$6n-1$

Дарааллын ерөнхий гишүүн

$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,\dots$ дараалал өгөгдөв.

Энэ дарааллын 70-р гишүүн $N$ бол $N=\fbox{ab}$ байна.
$N$ тоо 70-р гишүүн хүртэл (70-р гишүүнийг оролцуулаад) $\fbox{c}$ удаа давтагдсан байна.
Эхний 70 гишүүний нийлбэр $\fbox{def}$

Бодлого №7095

$2,4,6,8,\dots$ гэсэн дараалал өгөгдөв. а) Дараалсан 5 гишүүний эхний гурвын нийлбэр нь сүүлийн хоёр гишүүнийхээ нийлбэртэй тэнцүү бол голын гишүүн

$\fbox{ab}$ байна. б)

$2,4,6,8,\dots$ дарааллын

$2n+1$ гишүүний эхний

$n+1$ гишүүнийн нийлбэр нь сүүлийн

$n$ гишүүнийхээ нийлбэртэй тэнцүү бол голын гишүүн

$\fbox{c}\cdot n^{\fbox{d}}+\fbox{e}\cdot n$ байна.

Бодлого №7097

$1,\frac12,\frac12,\frac14,\frac14,\frac14,\frac14,\frac18,\dots$ дараалал (

$(\frac{1}{2^{k}})$ тоо

$2^{k}$ удаа давтагдана) өгөгдөв. а) Эхний 1000 гишүүний нийлбэр нь

$\fbox{a}+\dfrac{\fbox{bcd}}{2^{\fbox{e}}}$ байна. [2mm] б) Эхний

$n$ гишүүний нийлбэр 100 бол

$n=2^{\fbox{fgh}}-\fbox{i}$ байна.

Бодлого №7098

$1,\frac13,\frac13,\frac13,\frac19,\frac19, \dots \frac19,\frac{1}{27},\dots$ дараалал (

$(\frac{1}{3^{k}})$ тоо

$3^{k}$ удаа давтагдана) өгөгдөв. а) Эхний 500 гишүүний нийлбэр нь

$\fbox{a}+\dfrac{\fbox{bcd}}{3^{\fbox{e}}}$ байна. [2mm] б) Эхний

$n$ гишүүний нийлбэр 50 бол

$n=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{2}}\left(3^{\fbox{fg}}-\fbox{h}\right)$ байна.

Бодлого №7113

$1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,\dots$ гэсэн дараалал өгөгдөв. 1) 68 гэсэн тоо дараалалд 33 дахь удаа тааралдахдаа уг дарааллын

$\fbox{abcd}$ дугаар гишүүн болно. 2) Дээрх дарааллын 200 дугаар гишүүн

$\fbox{ef}$ болно.

Бодлого №7114

$\dfrac11,\dfrac12,\dfrac21,\dfrac13,\dfrac22,\dfrac31,\dfrac14,\dfrac23,\dfrac32,\dfrac41,\dfrac15,\dots$ дараалал өгөгдөв. 1)

$\dfrac{5}{22}$ тоо дээрх дарааллын

$\fbox{abc}$ дугаар гишүүн болно. 2) Дээрх дарааллын 99 дугаар гишүүн

$\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ болно.

Бодлого №7131

$a_n=2^n, (n=1, 2, ...), b_k=5k+2, (k=1, 2, ...)$ тоон дарааллууд өгөгдөв.

$\{b_k\}$ дараалалд харъяалагдах

$\{a_n\}$ дарааллын гишүүдийг өсөх эрэмбээр авч

$\{c_n\}$ гэсэн шинэ дараалал байгуулъя. а)

$c_1=\fbox{ab}$ байна. б)

$c_n=\fbox{cd}^{n+\frac{\fbox{e}}{\fbox{f}}}, (n=1, 2, ...)$ байна.

Бодлого №7132

$a_n=2^n, (n=1, 2, \dots), b_k=5k+4, (k=1, 2, \dots)$ тоон дарааллууд өгөгдөв.

$\{b_k\}$ дараалалд харъяалагдах

$\{a_n\}$ дарааллын гишүүдийг өсөх эрэмбээр авч

$\{c_n\}$ гэсэн шинэ дараалал байгуулъя. а)

$c_1=\fbox{ab}$ байна. б)

$c_n=\fbox{cd}^{n+\frac{\fbox{e}}{\fbox{f}}}, (n=1, 2, \dots)$ байна.

Нийлбэрээс ерөнхий гишүүн олох

$\displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+\dots+\displaystyle\frac{1}{a_n}=\displaystyle\frac{3\cdot n}{4n+1}, n=1,2,3\dots$ бол

$\{a_n\}$ дараалалын ерөнхий гишүүн нь

$a_n=\displaystyle\frac{(\fbox{a}\cdot n+1)\cdot(\fbox{b}\cdot n-\fbox{c})}{\fbox{d}}$ байна.

Бодлого №7252

$\displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+\dots+\displaystyle\frac{1}{a_n}=\displaystyle\frac{4\cdot n}{3n+1}, n=1,2,3\dots$ бол

$\{a_n\}$ дараалалын ерөнхий гишүүн нь

$a_n=\displaystyle\frac{(\fbox{a}\cdot n+1)\cdot(\fbox{b}\cdot n-\fbox{c})}{\fbox{d}}$ байна.

Бодлого №7253

$a_1+a_2+\dots+a_n=\displaystyle\frac{m\cdot n+1}{3n}, n=1,2,3\dots$ бол

$\{a_n\}$ дараалалын ерөнхий гишүүн нь

$a_n=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot n(n-\fbox{c})}, n\geq 2$ байна.

Бодлого №7254

$a_1+a_2+\dots+a_n=\displaystyle\frac{m\cdot n+1}{4n}, n=1,2,3\dots$ бол

$\{a_n\}$ дараалалын ерөнхий гишүүн нь

$a_n=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot n(n-\fbox{c})}, n\geq 2$ байна.

Цувааны нийлбэр

$1, 1, \frac12, -\frac13, \frac14, \frac19, \frac{1}{8}, -\frac{1}{27}, \frac{1}{16}, \ldots$ дарааллын 2016-р гишүүн

$\fbox{a}\dfrac{1}{\fbox{b}^{1007}}$ байна. Эхний

$k$ гишүүний нийлбэрийг

$S_k$ гэвэл

$S_{2n}=\dfrac{\fbox{cd}}{4}-\dfrac1{\fbox{e}^{n-1}}-\dfrac1{4\cdot\fbox{fg}^{n-1}}$ байна.

$S_{2n-1}=S_{2n}-\big(\frac1{-3}\big)^{n-\fbox{h}}$ тул энэ дараалалын бүх гишүүдийн нийлбэр

$S=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\dfrac{\fbox{ij}}{\fbox{k}}$ байна.

Прогресс

$\dfrac11,\dfrac12,\dfrac21,\dfrac13,\dfrac22,\dfrac31,\dfrac14,\dfrac23,\dfrac32,\dfrac41,\dfrac15,\dots$ дараалал өгөгдөв. 1)

$\dfrac{5}{22}$ тоо дээрх дарааллын

$\fbox{abc}$ дугаар гишүүн болно. 2) Дээрх дарааллын 99 дугаар гишүүн

$\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ болно.

Эхний гишүүн

$a_1=6$ , ялгавар

$d=6$ байх арифметик прогресс

$\{a_n\}$ ба

$a_0=1$ тооны хувьд

$b_1=a_0+a_1, b_n=b_{n-1}+a_n, n=2, 3, 4,\dots$ дараалал зохиовол

$b_n=\fbox{a}n^2+3n+\fbox{b}$ (4 оноо) болох ба

$169$ түүний

$\fbox{c}$ (3 оноо) дугаар гишүүн байна.

Эхний гишүүн

$a_1=2$ , ялгавар

$d=8$ байх арифметик прогресс

$\{a_n\}$ ба

$a_0=4$ тооны хувьд

$b_1=a_0+a_1, b_n=b_{n-1}+a_n, n=2, 3, 4,\dots$ дараалал зохиовол

$b_n=\fbox{a}n^2-\fbox{b}n+4$ (4 оноо) болох ба

$136$ түүний

$\fbox{c}$ (3 оноо) дугаар гишүүн байна.

Дарааллын ерөнхий гишүүн

$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,\dots$ дараалал өгөгдөв.

Энэ дарааллын 60-р гишүүн $N$ бол $N=\fbox{ab}$ байна.
$N$ тоо 60-р гишүүн хүртэл (60-р гишүүнийг оролцуулаад) $\fbox{c}$ удаа давтагдсан байна.
Эхний 60 гишүүний нийлбэр $\fbox{def}$

Эйлер-Маклорены тогтмол

$x_n=1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n-\ln n$ байг.

$n\ge 2$

$x_{n+1}-x_n<0$ гэж батал.
$x_n$ доороосоо зааглагдсан гэж харуул.
$\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ хязгаар оршихыг харуул. $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\gamma=0.5772156649\dots$ тоог Эйлер-Маклорены тогтмол гэдэг. Эндээс $1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n\approx\ln n+\gamma.$

Үржвэр

%

$\prod_n=\left(\dfrac12-1\right)\left(\dfrac13-1\right)\dots\left(\dfrac1{n+1}-1\right)$ үржвэр аль вэ?

A.

$\dfrac1n$ B.

$\dfrac1{n+1}$ C.

$(-1)^n\dfrac1{n+1}$ D.

$(-1)^{n+1}\dfrac1{n+1}$ E.

$\dfrac{n}{n+1}$

Бодлого №7048

%

$\prod_n=\left(1-\dfrac14\right)\left(1-\dfrac19\right)\dots \left(1-\dfrac1{(n+1)^2}\right)$ үржвэр аль вэ?

A.

$\frac{n+2}{n+1}$ B.

$\frac{n}{2(n+1)}$ C.

$\frac{n+1}{2(n+1)}$ D.

$\frac{n+2}{2n+2}$

Индукц ба тэнцэтгэл биш

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?

A.

$n!\le n^{n-1}$ B.

$n!=n^{n-1}$ C.

$n!>n^{n-1}$ D.

$n!< n^{n-1}$ E.

$n!\ge n^{n-1}$

Бодлого №7054

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?

A.

$(2n)!\ge2^n(n!)^2$ B.

$(2n)!>2^n(n!)^2$ C.

$(2n)!=2^n(n!)^2$ D.

$(2n)!<2^n(n!)^2$

Бодлого №7055

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?

A.

$n^2\ge4^n$ B.

$n^2=4^n$ C.

$n^2<4^n$ D.

$4n^2<4^n$

Бодлого №7056

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?

A.

$n2^n<3^n$ B.

$n2^n=3^n$ C.

$(n+1)2^n<3^n$ D.

$(n+1)2^n>3^n$

Бодлого №7057

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд

$2^{2n}+2$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?

A.

$5$ B.

$7$ C.

$3$ D.

$4$

Бодлого №7058

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд

$n^3-n$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?

A.

$5$ B.

$7$ C.

$8$ D.

$3$

Бодлого №7059

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд

$13^{2n}+6$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?

A.

$2$ B.

$3$ C.

$5$ D.

$7$

Бодлого №7060

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд

$12^n+10$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?

A.

$7$ B.

$8$ C.

$9$ D.

$11$

Бодлого №7061

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд

$5n^3+n$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?

A.

$5$ B.

$10$ C.

$6$ D.

$7$

Бодлого №7062

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд

$2^{4n+1}+3\cdot16^n$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?

A.

$6$ B.

$10$ C.

$5$ D.

$7$

Бодлого №7063

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд

$3^{2n}-2^n$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?

A.

$9$ B.

$8$ C.

$7$ D.

$11$

Хэллэгийн хэлбэрийн үнэн байх нөхцөл

Дурын натурал

$\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд

$n(n+1)(2n+1)$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?

A.

$5$ B.

$8$ C.

$6$ D.

$7$ E.

$9$

Бодлого №7065

$n$ дурын натурал тоо бол

$S_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac1{2^n-1}$ нийлбэрийн хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?

A.

$S_n>\frac n2$ B.

$S_n<\frac n2$ C.

$S_n>\frac{n+1}2$ D.

$S_n<\frac{n+1}2$

Бодлого №7066

$n\ge2$ дурын натурал тоо бол

$S_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac1{2^n-1}$ нийлбэрийн хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?

A.

$S_n<n$ B.

$S_n\ge n$ C.

$S_n<n-1$ D.

$S_n<\frac{n+1}2$

Бодлого №7067

Хэрэв

$0< \alpha< \dfrac{\pi}2$ ба

$n$ дурын натурал тоо бол

$S_n=\Bigl(1+\dfrac1{\sin^{n}\alpha}\Bigr)\Bigl(1+\dfrac1{\cos^{n}\alpha}\Bigr)$ үржвэрийн хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?

A.

$S_n>(1+2^n)^2$ B.

$S_n\ge(1+2^{\frac n2})^2$ C.

$S_n<(1+2^{\frac n2})^2$ D.

$S_n<2^n$

Бодлого №7068

Хэрэв

$0< x< \dfrac{\pi}2$ ба

$n$ дурын натурал тоо бол

$y=\cos^{2n}\dfrac x{2^n},$

$y=\cos x$ функцүүдийн хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?

A.

$\cos x>\cos^{2n}\frac x{2^n}$ B.

$\cos x\le\cos^{2n}\frac x{2^n}$ C.

$\cos^{2n}\frac x{2^n}$ -тэй үл жишигдэнэ D.

$\cos x>n\cos^{2n}\frac x{2^n}$

ЭЕШ 2016 C №37

$n$ дурын натурал тоо бол

$4^n+15n+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.

Бодолт:

I.

$n=1$ үед

$4^n+15n+17=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.

II.

$n=k$ үед

$4^k+15k+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.

III.

$n=k+1$ үед

$4^{k+1}+15(k+1)+17=\fbox{c}(4^k+15k+17)-\fbox{d}(\fbox{e}k+\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.

ЭЕШ 2016 D №37

$n$ дурын натурал тоо бол

$4^n+24n-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.

Бодолт:

I.

$n=1$ үед

$4^n+24n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.

II.

$n=k$ үед

$4^k+24k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.

III.

$n=k+1$ үед

$4^{k+1}+24(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+24k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.

ЭЕШ 2016 A №37

$n$ дурын натурал тоо бол

$4^n+15n-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.

Бодолт:

I.

$n=1$ үед

$4^n+15n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.

II.

$n=k$ үед

$4^k+15k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.

III.

$n=k+1$ үед

$4^{k+1}+15(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+15k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.

ЭЕШ 2016 B №37

$n$ дурын натурал тоо бол

$4^n+15n+8$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.

Бодолт:

I.

$n=1$ үед

$4^n+15n+8=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.

II.

$n=k$ үед

$4^k+15k+8$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.

III.

$n=k+1$ үед

$4^{k+1}+15(k+1)+8=\fbox{c}(4^k+15k+8)-\fbox{d}(\fbox{e}k+\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.

Индукц

$n$ дурын натурал тоо бол

$4^n+15n-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.

Бодолт:

I.

$n=1$ үед

$4^n+15n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.

II.

$n=k$ үед

$4^k+15k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.

III.

$n=k+1$ үед

$4^{k+1}+15(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+15k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.

Бодлого №10188

Дараах нийлбэрүүдийг ол.

$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$
$\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$
$\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$
$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$
$\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$
$\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$

Нийлбэр олох

Дараах нийлбэрийг ол.

$\sum\limits_{k=5}^7(k^2-k+1)$
$\sum\limits_{k=2}^n(2^k+3)$
$\sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{2^k-1}{2^{k-1}}$
$\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)$
$\sum\limits_{k=1}^n(k\cdot(2k-1))$

Ялгавар дараалал (1)

$S_n=\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{n\cdot(n+1)}$ нийлбэрийг ол.

Абелийн хувиргалт

$S_n=1\cdot2^0+2\cdot2^1+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^{n-1}$ нийлбэрийг ол.

Ялгавар дараалал (2)

$6, 24, 60, 120, 210, 336, 504,\ldots$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.

Абелийн хувиргалт

$S_n=1\cdot5^0+2\cdot5^1+3\cdot5^2+\cdots+n\cdot5^{n-1}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19760

$\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19761

$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19762

$\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19763

$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19764

$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19765

$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$ нийлбэрийг бод.

Бодлого №19766

$\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19767

$\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19768

$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$ нийлбэрийг ол.

ЭЕШ 2006 A №10

$\sum\limits_{k=1}^{10}(k^2+k+1)-\sum\limits_{k=1}^{10}(k^2-k-1)$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.

$120$ B.

$125$ C.

$140$ D.

$150$ E.

$130$

ЭЕШ 2006 C №7

$\sum\limits_{k=1}^{10}(2k^2-4k+7)-\sum\limits_{k=1}^{10}(2k^2-10k+1)$ нийлбэрийг ол.

A.

$300$ B.

$930$ C.

$600$ D.

$390$ E.

$550$

ЭЕШ 2007 A1 №5

$y=f(x)$ функцийн хувьд

$f(x+1)-f(x)=2x-1$ нөхцөл биелэдэг бол

$f(2007)-f(1)$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A.

$2006^2$ B.

$2006\cdot 2007$ C.

$2007^2$ D.

$2007\cdot 2005$ E.

$2006\cdot 2005$

ЭЕШ 2011 B №19

Дараах рекуррент томъёогоор өгөгдсөн дарааллын эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол.

$a_1=5$ ,

$a_{n-1}\cdot a_n=2$ .

A.

$25$ B.

$27$ C.

$25.75$ D.

$22$ E.

$27.75$

ЭЕШ 2012 A №13

$\displaystyle A=\frac27+\frac57+\frac87+\cdots+11$ ;

$\displaystyle B=\frac{79}7+\frac{79}{21}+\frac{79}{63}+\cdots$ бол

$\dfrac{A}{B}=?$

A.

$\frac{26}3$ B.

$\frac{3}{26}$ C.

$\frac{52}3$ D.

$6$ E.

$\frac{52}{11}$

Квадратуудын нийлбэр

$1^2+2^2+\dots+7^2=?$

A. 28 B. 140 C. 56 D. 36 E. 138

Бодлого №4773

$1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+\dfrac{4}{3^4}+\dfrac{5}{3^5}+\cdots+\dfrac{10}{3^{10}}$ нийлбэрийг ол.

A.

$-\dfrac74+\dfrac{23}{4\cdot 3^{10}}$ B.

$\dfrac74-\dfrac{23}{4\cdot 3^{10}}$ C.

$\dfrac{2012}{3^{10}}$ D.

$-\dfrac{2012}{3^{10}}$ E.

$\dfrac{1}{3^{10}}$

Дарааллын эхний гишүүдийн нийлбэр ба ерөнхий гишүүний томьёо

$a_n$ дарааллын эхний

$n$ гишүүний нийлбэр

$S_n=3^n$ бол

$a_{2012}$ аль нь вэ?

A.

$3^{2012}$ B.

$2\cdot 3^{2011}$ C.

$3^{2013}-3^{2012}$ D.

$3^{2011}+3^{2012}$ E.

$\dfrac14\cdot 3^{2012}$

$\sum\limits_{m=1}^6\sum\limits_{n=1}^4(mn)=?$

A. 180 B. 190 C. 200 D. 208 E. 210

$\sum\limits_{m=1}^2\sum\limits_{n=2}^4(mn)=?$

A.

$27$ B.

$28$ C.

$29$ D.

$30$ E.

$31$

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^2(i\cdot j^2)$ нийлбэрийг бод.

A.

$10$ B.

$20$ C.

$30$ D.

$40$ E.

$50$

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{100}\dfrac{1}{n(n+1)}=?$

A.

$1$ B.

$\dfrac{99}{101}$ C.

$\dfrac{100}{101}$ D.

$\dfrac{99}{100}$ E.

$1.01$

Хосмог ашиглан нийлбэр олох

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A.

$-2$ B.

$3$ C.

$2$ D.

$-3$ E.

$4$

Нийлбэр олох

$1+\displaystyle\frac{1}{2\cdot 4}+\displaystyle\frac{1}{4\cdot 6}+\dots +\displaystyle\frac{1}{20\cdot 22}$ нь аль вэ?

A.

$\dfrac{22}{27}$ B.

$\dfrac{16}{11}$ C.

$\dfrac{27}{22}$ D.

$\dfrac{13}{11}$ E.

$2$

Бодлого №5940

$1+\displaystyle\frac{1}{1\cdot 3}+\displaystyle\frac{1}{3\cdot 5}+\dots +\displaystyle\frac{1}{31\cdot 33}$ нь аль вэ?

A. 33 B.

$\dfrac{49}{33}$ C.

$\dfrac{33}{49}$ D. 49 E. 35

Нийлбэр ол

$\dfrac{1}{1\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 7}+\dots+\dfrac{1}{28\cdot 31}$ нь аль вэ?

A.

$\dfrac{32}{93}$ B.

$\dfrac{31}{10}$ C.

$\dfrac{10}{31}$ D.

$\dfrac{1}{3}$ E.

$\dfrac{11}{31}$

Бодлого №5942

$\displaystyle\frac{1}{2\cdot 5}+\displaystyle\frac{1}{5\cdot 8}+\dots +\displaystyle\frac{1}{29\cdot 32}$ нь аль вэ?

A.

$\dfrac{3}{16}$ B.

$\dfrac{5}{32}$ C.

$\dfrac{4}{29}$ D.

$\dfrac{17}{96}$ E.

$\dfrac{5}{64}$

Бодлого №7044

$S_n=2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\dots+(n+1)\cdot2^n$ нийлбэрийг ол.

A.

$(n+1)2^n$ B.

$n2^{n+1}$ C.

$(n+1)2^{n+1}$ D.

$(n-1)2^{n+1}$ E.

$(n-1)2^{n+1}+4$

Бодлого №7045

$S_n=\dfrac1{1\cdot5}+\dfrac1{5\cdot9}+\dfrac1{9\cdot13}+\dots+\dfrac1{(4n-3)(4n+1)}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\frac{n+1}{4n+1}$ B.

$\frac{n}{4n+1}$ C.

$\frac{n-1}{4n+1}$ D.

$\frac{2n}{4n+1}$

Бодлого №7046

$S_n=\dfrac1{1\cdot6}+\dfrac1{6\cdot11}+\dfrac1{11\cdot16}\dots+\dfrac1{(5n-4)(5n+1)}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\frac n{5n-1}$ B.

$\frac{n+1}{5n+1}$ C.

$\frac n{5n+1}$ D.

$\frac{n-1}{5n-4}$

Бодлого №7049

$\dfrac1{1\cdot4}+\dfrac1{4\cdot7}+\dots+\dfrac1{(3n-2)(3n+1)}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\frac n{3n+1}$ B.

$\frac{n+1}{3n+1}$ C.

$\frac{3(n-1)}{3n+1}$ D.

$\frac{3n}{3n+1}$

Бодлого №7050

$\dfrac1{1\cdot3}+\dfrac1{3\cdot5}+\dots+\dfrac1{(2n-1)(2n+1)}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\frac n{2n+1}$ B.

$\frac{n+1}{2n+1}$ C.

$\frac{2(n+1)}{2n+1}$ D.

$\frac n{2n+3}$

Бодлого №7051

$S_n=\displaystyle\dfrac1{\log_an}+\dfrac1{\log_{a^2}n}+\dots+\dfrac1{\log_{a^n}n}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\frac{n(n+1)}2\log_na$ B.

$\frac{n(n-1)}2\log_na$ C.

$\frac{n(n+1)}2\log_an$ D.

$\frac{n(n-1)}2\log_an$

Бодлого №7052

$S_n=\dfrac1{\displaystyle(\log_{a_1}x)^{-1}+(\log_{a_2}x)^{-1}+\dots+(\log_{a_n}x)^{-1}}$ -ыг хялбарчил.

A.

$\log_{a_1a_2\dots a_n}x$ B.

$\frac1{\log_{a_1a_2\dots a_n}x}$ C.

$\frac n{\log_{a_1a_2\dots a_n}x}$ D.

$-\log_{a_1a_2\dots a_n}x$

ЭЕШ 2015 D №26

$\dfrac{2}{10\cdot 11}+\dfrac{2}{11\cdot 12}+\dots+\dfrac{2}{48\cdot 49}+\dfrac{2}{49\cdot 50}= ?$

A.

$\dfrac{7}{150}$ B.

$\dfrac{1}{50}$ C.

$\dfrac{4}{25}$ D.

$\dfrac{2}{75}$ E.

$\dfrac{1}{25}$

ЭЕШ 2011 C №16

$\sin\dfrac{\pi}{10}+\sin\dfrac{2\pi}{10}+\sin\dfrac{3\pi}{10}+\dots+\sin\dfrac{19\pi}{10}$ нийлбэрийн утгыг ол.

A.

$-2$ B.

$-1$ C.

$0$ D.

$1$ E.

$2$

ЭЕШ 2015 A №26

$\dfrac{2}{30\cdot31}+\dfrac{2}{31\cdot32}+\cdots+\dfrac{2}{118\cdot 119}+\dfrac{2}{119\cdot 120}=?$

A.

$\dfrac1{12}$ B.

$\dfrac1{40}$ C.

$\dfrac1{20}$ D.

$\dfrac1{24}$ E.

$\dfrac1{30}$

Нийлбэр олох

$\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dots+\dfrac{1}{99\cdot 101}=?$

A.

$\dfrac{1}{101}$ B.

$\dfrac{49}{101}$ C.

$\dfrac{50}{101}$ D.

$\dfrac12$ E.

$\dfrac{1}{5050}$

ЭЕШ 2011 D №19

$1+\dfrac12+\dfrac2{2^2}+\dots+\dfrac{10}{2^{10}}$

A.

$\dfrac{2047}{2^{10}}$ B.

$-\dfrac{2047}{2^{10}}$ C.

$-\dfrac{2010}{2^{10}}$ D.

$\dfrac{2010}{2^{10}}$ E.

$\dfrac{765}{2^{8}}$

ЭЕШ 2015 B №26

$\dfrac{2}{50\cdot 51}+\dfrac{2}{51\cdot 52}+\dots+\dfrac{2}{148\cdot 149}+\dfrac{2}{149\cdot 150}= ?$

A.

$\dfrac{4}{75}$ B.

$\dfrac{1}{25}$ C.

$\dfrac{7}{150}$ D.

$\dfrac{2}{75}$ E.

$\dfrac{4}{25}$

ЭЕШ 2015 C №26

$\dfrac{2}{40\cdot 41}+\dfrac{2}{41\cdot 42}+\dots+\dfrac{2}{118\cdot 119}+\dfrac{2}{119\cdot 120}= ?$

A.

$\dfrac{3}{40}$ B.

$\dfrac{1}{40}$ C.

$\dfrac{1}{120}$ D.

$\dfrac{2}{15}$ E.

$\dfrac{1}{30}$

$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(k+1)!}$ дарааллын 3-р гишүүн нь аль нь вэ?

A.

$\dfrac{19}{30}$ B.

$\dfrac{14}{24}$ C.

$\dfrac{17}{24}$ D.

$\dfrac{56}{60}$ E.

$\dfrac{64}{120}$

ЭЕШ 2012 B №13

$A=\dfrac15+\dfrac45+\dfrac75+\dots+14$ ;

$B=\dfrac{71}{5}+\dfrac{71}{10}+\dfrac{71}{20}+\cdots$ бол

$\dfrac{A}{B}=?$

A.

$\dfrac{71}{5}$ B.

$\dfrac{5}{71}$ C.

$\dfrac{12}{5}$ D.

$8$ E.

$6$

Нийлбэр бодох

$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dots+\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{107}+\sqrt{108}}=?$

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15

$a_n=\sum\limits_{i=1}^n(2i-1)$ бол

$\sum\limits_{k=1}^5 a_n$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. 5 B. 25 C. 30 D. 55 E. 91

Модультай нийлбэр

$n$ нь

$100$ -аас хэтрэхгүй натурал тоо бол

$S(n)=|n-1|+|n-2|+\cdots+|n-100|$ нийлбэр аль нь вэ?

A.

$\dfrac{n(n+1)}{2}$ B.

$n^2-101n+5050$ C.

$n^2+101n+5050$ D.

$5050$ E.

$5050-2n$

Нийлбэр олох

$\dfrac{1}{\sqrt2+1}+\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=?$

A.

$1$ B.

$2$ C.

$3$ D.

$6$ E.

$9$

Косинусуудын нийлбэр

$\sum\limits_{n=1}^{2016}\cos\dfrac{\pi n}{6}=?$

A.

$-168$ B.

$84+168\sqrt{3}$ C.

$0$ D.

$84-168\sqrt{3}$ E.

$168$

Синусуудын нийлбэр

$\sum\limits_{n=1}^{2016}\sin\dfrac{\pi n}{6}=?$

A.

$-168$ B.

$84+168\sqrt{3}$ C.

$0$ D.

$84-168\sqrt{3}$ E.

$168$

Нийлбэр олох

$\sum\limits_{n=1}^{10}(2^n-(-1)^n)$ нийлбэрийг ол.

A.

$2^{11}-(-1)^{11}$ B.

$2^{11}+(-1)^{11}$ C.

$2^{11}-2$ D.

$2^{11}+2$ E.

$2^{11}-1$

Нийлбэрийг ол

$\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{2016\cdot2017}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\dfrac{2016}{2017}$ B.

$\dfrac{2015}{2017}$ C.

$\dfrac{2014}{2016}$ D.

$\dfrac{2015}{2016}$ E.

$\dfrac{1}{2017}$

Нийлбэр ол

$\dfrac1{1\cdot5}+\dfrac1{5\cdot9}+\dots+\dfrac1{(4n-3)(4n+1)}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\dfrac{n}{4n+1}$ B.

$\dfrac{n+1}{4n+1}$ C.

$\dfrac{4(n-1)}{4n+1}$ D.

$\dfrac{4n}{4n+1}$ E.

$\dfrac{n}{4n-2}$

Нийлбэр ол

$\dfrac1{1\cdot6}+\dfrac1{6\cdot11}+\dots+\dfrac1{(5n-4)(5n+1)}$ нийлбэрийг ол.

A.

$\dfrac{n}{5n+1}$ B.

$\dfrac{n+1}{5n+1}$ C.

$\dfrac{5(n-1)}{5n+1}$ D.

$\dfrac{5n}{5n+1}$ E.

$\dfrac{n}{5n-2}$

Квадратуудын нийлбэр

$1^2+2^2+\dots+8^2=?$

A.

$28$ B.

$140$ C.

$204$ D.

$36$ E.

$138$

Бодлого №35

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2017}\sin\dfrac{\pi n}{6}=?$

A.

$-168$ B.

$84+168\sqrt{3}$ C.

$0$ D.

$0.5$ E.

$168$

Бодлого №35

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2017}\cos\dfrac{\pi n}{3}=?$

A.

$-168$ B.

$84+168\sqrt{3}$ C.

$0$ D.

$0.5$ E.

$168$

ЭЕШ 2017 D №33

$2+\dfrac{5}{3}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{11}{27}+\dfrac{14}{81}+\dots+\dfrac{3n+2}{3^n}\dots$ нийлбэрийг ол.

A.

$7\dfrac14$ B.

$5$ C.

$10\dfrac12$ D.

$4$ E.

$5\dfrac14$

ЭЕШ 2017 D №33

$1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+99\cdot 2^{99}$ нийлбэрийн утга аль нь вэ?

A.

$1+99\cdot 2^{100}$ B.

$2+99\cdot 2^{99}$ C.

$2+98\cdot 2^{101}$ D.

$2+98\cdot 2^{99}$ E.

$2+98\cdot 2^{100}$

ЭЕШ 2017 D №33

$1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+100\cdot 2^{100}$ нийлбэрийн утга аль нь вэ?

A.

$1+99\cdot 2^{101}$ B.

$2+100\cdot 2^{100}$ C.

$2+99\cdot 2^{102}$ D.

$2+99\cdot 2^{100}$ E.

$2+99\cdot 2^{101}$

ЭЕШ 2017 B №33

$3+\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{4}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{11}{16}+\dots+\dfrac{2n+3}{2^n}+\cdots$ нийлбэрийг ол.

A.

$7$ B.

$10$ C.

$12$ D.

$4$ E.

$7\dfrac34$

Дараалал бодох

$1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,\dots$ дараалал өгөв.

Энэ дарааллын 70-р гишүүн $N$ бол $N=\fbox{ab}$ байна.
$N$ тоо 70-р гишүүн хүртэл (70-р гишүүн ороод) $\fbox{c}$ удаа давтагдсан байна.
Эхний 70 гишүүний нийлбэр $\fbox{def}$ .

Дарааллын ерөнхий гишүүн

$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{5n}{n+1}, n=1,2,3\dots$ бол

$a_{30}=\fbox{abc}$ байна.

Бодлого №7086

$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{3n}{2n+1}, n=1,2,3\dots$ бол

$a_{25}=\fbox{abc}$ байна.

Бодлого №7087

$a_1=2$ ба

$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}=n, n=2,3,4\dots$ нөхцлийг хангах дарааллын ерөнхий гишүүн

$a_n=\dfrac{\fbox{a}}{n^{\fbox{b}}+ n -\fbox{c}}$ байна.

Бодлого №7088

$a_1=\sqrt2$ ба

$\frac{1}{a_n^2}-\frac{1}{a_{n-1}^2}=2n+1, n=2,3,4\dots$ нөхцлийг хангах эерэг тоон дарааллын ерөнхий гишүүн

$a_n=\sqrt{\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot n^2+\fbox{c}\cdot n-\fbox{d}}}$ байна.

Бодлого №7096

$3,6,9,12,\dots$ гэсэн дараалал өгөгдөв. а) Дараалсан 5 гишүүний эхний гурван гишүүний квадратуудын нийлбэр нь сүүлийн хоёр гишүүнийхээ квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол голын гишүүн

$\fbox{ab}$ байна. б)

$3,6,9,12,\dots$ дарааллын

$2n+1$ гишүүний эхний

$n+1$ гишүүний квадратуудын нийлбэр нь сүүлийн

$n$ гишүүний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол голын гишүүн

$\fbox{c}\cdot n^{\fbox{d}}+\fbox{e}\cdot n$ байна.

Бодлого №7107

$5,55,555,5555, \dots$ дарааллын эхний

$n$ гишүүний нийлбэр

$\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\cdot\left(\fbox{de}^{n+1}-\fbox{f}\cdot n-\fbox{gh}\right) \mbox{ байна}.$

Бодлого №7108

$4,44,444,4444,\dots$ дарааллын эхний

$n$ гишүүний нийлбэр

$\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\cdot\left(\fbox{de}^{n+1}-\fbox{f}\cdot n-\fbox{gh}\right) \mbox{ байна}.$

Бодлого №7109

$75$ -аас их

$125$ -аас бага, 5 хуваарьтай үл хураагдах бутархайнуудын нийлбэр нь

$\fbox{abcde}$ байна.

Бодлого №7110

$53$ -аас их

$87$ -ээс бага, 7 хуваарьтай үл хураагдах бутархайнуудын нийлбэр нь

$\fbox{abcde}$ байна.

Бодлого №7111

Бүх сондгой

$1,3,5,7,\dots$ тоонуудыг

$n$ дүгээр хэсэгт

$n$ ширхэг тоо орсон байхаар дараахь байдлаар хуваав:

$\{1\},\{3,5\},\{7,9,11\},\dots$ 1) 123 дугаар хэсгийн хамгийн эхний тоо

$\fbox{abcd}$ дугаар тоо болно. 2)

$35$ дугаар хэсэгт орсон бүх тоонуудын нийлбэр

$\fbox{efghi}$ болно.

Бодлого №7112

Бүх тэгш

$2,4,6,8,\dots$ тоонуудыг

$n$ дүгээр хэсэгт

$n$ ширхэг тоо орсон байхаар дараахь байдлаар хуваав:

$\{2\},\{4,6\},\{8,10,12\},\dots$ 1) 119 дугаар хэсгийн хамгийн эхний тоо

$\fbox{abcd}$ дугаар тоо болно. 2)

$35$ дугаар хэсэгт орсон бүх тоонуудын нийлбэр

$\fbox{efghi}$ болно.

Бодлого №7125

$n$ натурал тоо байхад тэгш өнцөгт координатын системд

$3x+2y=6n$ ,

$x=0$ ,

$y=0$ гэсэн гурван шулуунаар зааглагдсан гурвалжны дотоод хэсэг болон түүний талууд дээр орших бүхэл координаттай цэгүүдийн тоо

$\fbox{a}\cdot n^2+\fbox{b}\cdot n+\fbox{c}$ байна.

Бодлого №7126

$n$ натурал тоо байхад тэгш өнцөгт координатын системд

$(0,0),(3n,0),(3n,4n)$ цэгүүд дээр оройтой гурвалжны дотоод хэсэг болон түүний талууд дээр орших бүхэл координаттай цэгүүдийн тоо

$\fbox{a}\cdot n^2+\fbox{b}\cdot n+\fbox{c}$ байна.

Нийлбэр бодох

$S_{n}=9+99+999+\dots+\underbrace{99\dots9}_n$ бол

$S_{2016}$ тооны сүүлийн 4 цифрээс тогтох тоо нь нь

$\fbox{abcd}$ байна.

Бодлого №14360

$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\dfrac{n^3+\fbox{a}n^2+\fbox{b}n}{\fbox{c}}$

Сорилго №2, 2019-2020

$S_n=\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\dfrac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}$ нийлбэрийг олъё.

$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=f(n)-f(n+1)$ бол

$f(n)=\dfrac{1}{\fbox{a}}\cdot\dfrac{1}{(n+\fbox{b})(n+\fbox{c})}$ байна.

$\begin{align*} S_n&=\{f(1)-f(2)\}+\{f(2)-f(3)\}+\cdots+\{f(n)-f(n+1)\}\\ &=f(1)-f(n+1)=\dfrac{n^2+\fbox{d}n}{\fbox{e}(n+\fbox{f})(n+\fbox{g})} \end{align*}$

Бодлого №10188

Дараах нийлбэрүүдийг ол.

$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$
$\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$
$\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$
$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$
$\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$
$\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$

Бодлого №19760

$\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19761

$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19762

$\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19763

$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19764

$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19765

$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$ нийлбэрийг бод.

Бодлого №19766

$\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19767

$\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$ нийлбэрийг ол.

Бодлого №19768

$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$ нийлбэрийг ол.

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^2(i\cdot j^2)$ нийлбэрийг бод.

A.

$10$ B.

$20$ C.

$30$ D.

$40$ E.

$50$

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{100}\dfrac{1}{n(n+1)}=?$

A.

$1$ B.

$\dfrac{99}{101}$ C.

$\dfrac{100}{101}$ D.

$\dfrac{99}{100}$ E.

$1.01$

Үржвэр

%

$\prod_n=\left(\dfrac12-1\right)\left(\dfrac13-1\right)\dots\left(\dfrac1{n+1}-1\right)$ үржвэр аль вэ?

A.

$\dfrac1n$ B.

$\dfrac1{n+1}$ C.

$(-1)^n\dfrac1{n+1}$ D.

$(-1)^{n+1}\dfrac1{n+1}$ E.

$\dfrac{n}{n+1}$

Бодлого №7048

%

$\prod_n=\left(1-\dfrac14\right)\left(1-\dfrac19\right)\dots \left(1-\dfrac1{(n+1)^2}\right)$ үржвэр аль вэ?

A.

$\frac{n+2}{n+1}$ B.

$\frac{n}{2(n+1)}$ C.

$\frac{n+1}{2(n+1)}$ D.

$\frac{n+2}{2n+2}$

Бодлого №35

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2017}\sin\dfrac{\pi n}{6}=?$

A.

$-168$ B.

$84+168\sqrt{3}$ C.

$0$ D.

$0.5$ E.

$168$

Бодлого №35

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2017}\cos\dfrac{\pi n}{3}=?$

A.

$-168$ B.

$84+168\sqrt{3}$ C.

$0$ D.

$0.5$ E.

$168$

Бодлого №10189

Дараах дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.

$a_1=2$ , $a_{n+1}=\dfrac{2a_n+3}{3a_n+2}$ , $(n\ge1)$ ;
$a_1=-1$ , $a_{n+1}=\dfrac{a_n+3}{a_n-1}$ , $(n\ge1)$ .

Бодлого №10190

Дараах нийлбэрүүдийг ол.

$\sum\limits_{k=3}^{21}(k-1)(k+3)$ ;
$\sum\limits_{k=0}^n k(k+1)(k+2)$ ;
$\sum\limits_{k=1}^n(3^k+k^2-3)$ ;
$1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+3+\cdots+n)$ .

Бодлого №10191

Дараах дарааллуудын ерөнхий гишүүний томъёог ол.

$a_1=3, a_2=7, a_{n+2}=a_{n+1}+2a_{n}, (n\ge1)$
$a_1=6, a_2=16, a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_{n}, (n\ge1)$
$a_1=a_2=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, (n\ge1)$
$a_1=3, a_2=7, a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_{n}, (n\ge1)$
$a_1=1, a_2=7, a_{n}=a_{n-1}+2a_{n-2}+1, (n\ge3)$
$a_1=a_2=2, a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n-2}^2, (n\ge3)$
$a_1=\dfrac12, a_2=\dfrac13, a_{n}=\dfrac{a_{n-1}\cdot a_{n-2}}{3a_{n-2}-2a_{n-1}}, (n\ge3)$

Бодлого №10192

Дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.

$a_1=4, a_{n+1}=a_n+2n^2+n$
$a_1=3, a_{n+1}=a_n+3^n$
$a_1=5, a_{n+1}=a_n-2^n+n^2-3n+1$

Бодлого №10193

Дараах дарааллуудын ерөнхий гишүүнийг ол.

$a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n+5}, (n\geq 1)$
$a_1=2, a_{n+1}-3a_n+6a_na_{n+1}=0, (n\geq 1)$
$a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}\cdot a_n+1, (n\geq 1)$
$S_n=2a_n-n, (n\geq 1)$
$S_n=1-a_n, (n\geq 1)$

Бодлого №10194

$a_1=1$ , $a_{n+1}=3a_n+2$ бол ерөнхий гишүүнийг ол.
$a_1=2$ , $a_{n+1}=5\cdot a_n-5$ бол $a_n$ , $S_n$ -ийг ол.

Бодлого №10195

Фибоначчийн дарааллын хувьд $a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}=a_{2n}$ батал.
$a_1=3, n\geq 2$ үед $a_n=n^2+2a_{n-1}$ бол $a_6$ -г ол.
$a_1=0, a_2=1$ ба $n\geq 3$ үед $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ бол $a_{90}, a_{805}$ -г ол.

Бодлого №10348

$a_1=8$ ,

$9^{a_{n+1}}=27\cdot 3^{a_n}$ нөхцлийг хангах

$a_n$ дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.

Бодлого №10349

$10^{-3}>a_n-3$ дараалалд

$a_1=2,a_2=2,a_{n+2}\cdot a_{n+1}=a_n^2$ бол

$a_n$ ерөнхий гишүүний томъёог ол.

Рекуррент харьцаа

$a_1=a_2=1$ ,

$a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$ ,

$(n\geq 3)$ дарааллыг Фибоначчийн дараалал гэдэг.

$a_{10}$ -г ол.
$a_1+a_2+\cdots+a_n=a_{n+2}-1$ болохыг батал.
$S_8$ -г ол.

Рекуррент харьцаа (1)

$a_1=2, n\geq 1$ үед

$a_{n+1}=2a_n-3$ томъёогоор өгөгдсөн дараалын хувьд:

$a_7-$ г ол.
$a_{n+1}-c=2(a_n-c)$ адилтгал бүх $n$ -ийн хувьд биелэх $c$ -г ол.
$a_n-c$ -тоонууд геометр прогресс болохыг баталж ерөнхий гишүүнийг ол.
$a_n$ -ийн ерөнхий гишүүнийг ол.

Рекуррент харьцаа

$a_1=1, a_{n+1}=2a_n-3n+1, n\geq 1$ бол ерөнхий гишүүний томъёог ол.
$a_1=6, a_{n+1}=2a_n+2^{n+1}, (n\geq 1)$ бол ерөнхий гишүүний томъёог ол.
$a_1=3, a_{n+1}=2\cdot a_n^3, (n\geq 1)$ бол ерөнхий гишүүний томъёог ол.

Рекуррент харьцаа (3)

$a_1=1, a_{n+1}=\displaystyle\dfrac{a_n}{2a_n+3}$ бол $a_n$ -дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
$a_1=2, a_{n+1}=2a_n+2\displaystyle\dfrac{a_n}{n}$ бол $a_n$ -дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.
$a_n$ -дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр $S_n$ ба $S_n=3a_n-n-1$ бол $a_n$ -дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.

Характрестик тэгшитгэл (1)

$a_1=1, a_2=4, a_{n+2}=7\cdot a_{n+1}-10 a_n, (n=1, 2, 3,\ldots)$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.

Характеристик тэгшитгэл (2)

$a_1=1, a_2=3, a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n, (n\ge1)$ дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.

Реккурент харьцаа (4)

$a_1=3, a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}, (n\ge1)$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.

9.2

$x_1=\displaystyle\frac 12; x_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2-x_n},\ n\in\mathbb N$ бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.

A.

$\dfrac{n-1}{n+1}$ B.

$\dfrac{n}{n+1}$ C.

$\dfrac{n}{2n-1}$ D.

$\dfrac{1}{2^n}$ E.

$\dfrac{n}{2^n}$

$x_1=0, x_2=1, x_{n+2}=\displaystyle\frac{3x_{n+1}-x_n}{2}; n\in N$ бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.

A.

$5-2^{2-n}$ B.

$2^{2-n}$ C.

$2-2^{2n}$ D.

$2-2^{2-n}$ E.

$2-2^n$

Бодлого №12126

$a_1=4, n\geq 1$ үед

$a_{n+1}=\dfrac{4a_n-9}{a_n-2}$ дараалалын

$6a_6-5a_5$ -г ол.

A.

$1$ B.

$2$ C.

$3$ D.

$4$ E.

$5$

Бодлого №12283

$a_1=3, n\geq 1$ үед

$a_{n+1}=\dfrac{3a_n-4}{a_n-1}$ дараалалын

$6a_6-5a_5$ -г ол.

A.

$1$ B.

$2$ C.

$3$ D.

$4$ E.

$5$

ЭЕШ 2020, B7

$a_{n+1}=2a_n+3$ дарааллын

$a_1=1$ бол

$a_4=?$

A.

$29$ B.

$11$ C.

$12$ D.

$20$ E.

$13$

ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №07

$a_{n+1}=a_n-3$ дарааллын

$a_1=100$ бол

$a_{21}=?$

A.

$40$ B.

$37$ C.

$43$ D.

$63$ E.

$60$

ЭЕШ 2020, B7

$a_{n+1}=2a_n+1$ дарааллын

$a_1=1$ бол

$a_4=?$

A.

$9$ B.

$7$ C.

$15$ D.

$31$ E.

$14$

Рекуррент дараалал

$a_n=2a_{n-1}+3$ ,

$a_1=1$ дараалал өгөгдөв.

$b_n=a_n-\fbox{ab}$ дараалал геометр прогресс болох бөгөөд хуваарь нь

$\fbox{c}$ байна.

$b_1= \fbox{d}$ тул

$b_n=\fbox{e}\cdot\fbox{f}^{n-1}$ . Иймд

$a_n=\fbox{g}^{n+1}-\fbox{h}$ байна.

Рекуррент харьцаа

$a_1=1$ ,

$a_{n+1}=3a_n+2$ ,

$n=1,2,3,\dots$ дараалал өгөгдөв.

Хэрэв $b_n=a_n+T$ ба $b_{n+1}=3b_n$ , $n=1,2,3\dots$ бол $T=\fbox{a}$ .
$b_n=\fbox{b}\cdot 3^{n-1}$ ба $a_n=\fbox{c}\cdot 3^{n-1}-\fbox{d}$ .
$a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\fbox{e}\cdot\fbox{f}^n-\fbox{g}\cdot n-\fbox{h}$ .

Бодлого №7071

$a_1=10$ ба

$n\geq 1$ үед

$a_{n+1}=(a_n)^3$ нөхцөлөөр тодорхойлогдох дарааллын

$n$ дүгээр гишүүн

$a_n=\fbox{ab}^{\fbox{c}^{n-1}}$ байна.

Бодлого №7072

$a_1=2$ ба

$n\geq 1$ үед

$a_{n+1}=\sqrt{a_n}$ нөхцлөөр тодорхойлогдох дарааллын

$n$ дүгээр гишүүн

$a_n=\fbox{a}^{\left(\fbox{b}/\fbox{c}\right)^{n-\fbox{d}}}$ байна.

Бодлого №7117

$n\in \mathbb{N}$ хувьд

$\{a_n\}, \{b_n\}$ дарааллууд

$a_n=b_n+2n+p , 2b_{n+1}=b_n+qn-5$ тэнцэтгэлүүдийн хангана. Энд

$p, q$ тогтмол тоонууд ба

$b_1=-2$ байг.

$a_3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\cdot q+\fbox{c}\cdot p+\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ байна.
$\{a_n\}$ нь хуваарь нь $\dfrac 12$ -тэй тэнцүү геометр прогресс болох бол $p=\fbox{f} , q=\fbox{gh}$ байна. Эндээс $b_n=\left(\dfrac 12\right)^{n-1}-\fbox{i}\cdot n-\fbox{j}$

Бодлого №7118

$n\in \mathbb{N}$ хувьд

$\{a_n\}, \{b_n\}$ дарааллууд

$a_n=b_n+q\cdot n+2 , 3b_{n+1}=b_n+4n+p$ тэнцэтгэлүүдийн хангана. Энд

$p, q$ тогтмол тоонууд ба

$b_1=2$ байг. а)

$a_3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}p+\fbox{c}\cdot q+\fbox{de}$ байна. б)

$\{a_n\}$ нь хуваарь нь

$\dfrac 13$ байх геометр прогресс болох бол

$p=\fbox{f} , q=\fbox{gh}$ байна. Эндээс

$b_n=6\cdot \left(\dfrac 13\right)^{n-1}-\fbox{i}\cdot n-\fbox{j}$

Геометр прогресс

Өгөгдсөн

$\{b_n\}$ дарааллын гишүүн тус бүрээс

$c$ тоог хасвал хуваарь нь 2 байх геометр прогресс үүснэ.

$b_3=7$ , $b_4=11$ бол $c=\fbox{a}$ , $b_1=\fbox{b}$ байна.
$\sum\limits_{k=1}^{10}b_k=\fbox{cdef}$ байна.

Арифметик прогресс

Өгөгдсөн

$\{a_n\}$ дарааллын гишүүн тус бүрийг

$c$ тоогоор үржүүлбэл ялгавар нь 2 байх арифметик прогресс үүснэ.

$a_3=8$ , $a_9=12$ бол $c=\fbox{a}$ , $a_1=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}}$ байна.
$\sum\limits_{k=1}^{10}a_k=\dfrac{\fbox{efg}}{\fbox{h}}$ байна.

Бодлого №7127

$AC=2, BC=3$ талуудтай

$ACB$ тэгш өнцөгт гурвалжин дотор зурагт үзүүлснээр

$S_1, S_2, S_3, \dots$ квадратуудыг байрлуулж, талуудыг харгалзан

$a_1,a_2,a_3,\dots$ гэж тэмдэглэе. 1) Гурвалжны төсөөтэйн харьцаа ашиглавал

$a_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна. 2)

$\dfrac{a_n-a_{n+1}}{a_{n+1}}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ ,

$n=1,23,\dots$ болно. 3) Эдгээр квадратуудын талбайн нийлбэр

$S=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$ байна.

Бодлого №7128

$AC=4$ байх

$ACB$ тэгш өнцөгт гурвалжин дотор зурагт үзүүлснээр

$S_1, S_2, S_3, \dots$ квадратуудыг байрлуулж, талуудыг харгалзан

$a_1,a_2,a_3,\dots$ гэж тэмдэглээд

$BC=d$ гэе. 1) Гурвалжны төсөөтэйн харьцаа ашиглан,

$a_1$ -ийг

$d$ -ээр илэрхийлж бичвэл

$a_1=\dfrac{\fbox{a}d}{\fbox{b}+d}$ байна. 2)

$\dfrac{a_n-a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\fbox{c}}{d}$ ,

$n=1,23,\dots$ болно. 3)

$S_1, S_2, S_3, \dots$ квадратуудын талбайн нийлбэр

$S=\dfrac{18}{5}$ бол

$d=\fbox{e}$ байна.

Рекуррент дараалал

$a_{n+1}=2a_n-1, n\geq 1$ рекуpрент харьцаагаар

$\{a_n\}$ дараалал өгөгдсөн бол ерөнхий гишүүн нь

$a_n=\fbox{a}^{n-1}\cdot(a_1-\fbox{b})+\fbox{c}$ болно.

Рекуррент дараалал

$a_{n+1}=2a_n+1, n\geq 1$ рекурpент харьцаагаар

$\{a_n\}$ дараалал өгөгдсөн бол ерөнхий гишүүн нь

$a_n=\fbox{a}^{n-1}\cdot(a_1+\fbox{b})-\fbox{c}$ болно.