Олон өнцөгт

Бодлого №2542

$32$ см.кв талбайтай

$ABCD$ трапецийн

$AD$ ба

$BC$ сууриудын харьцаа

$5:1$ .

$M$ ба

$N$ нь харгалзан

$AB$ ,

$CD$ хажуу талуудын дундаж цэгүүд.

$AN$ ба

$DM$ хэрчмүүд

$K$ цэгт,

$BN$ ба

$CM$ хэрчмүүд

$E$ цэгт огтлолцдог бол

$MENK$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2610

$ABCD$ параллельограммын

$AC$ диагонал дээр

$AE$ -ын урт нь

$AC$ -ын уртын

$1/3$ -тэй тэнцүү байхаар

$E$ цэг,

$AD$ тал дээр

$AF$ -ын урт нь

$AD$ -ын уртын

$1/4$ -тэй тэнцүү байхаар

$F$ цэг авчээ. Хэрэв

$G$ нь

$FE$ шулуун ба

$BC$ талын огтолцлолын цэг бөгөөд

$ABGE$ дөрвөн өнцөгтийн талбай

$8$ бол

$ABCD$ параллельограммын талбайг ол.

Бодлого №2654

Гүдгэр 4 өнцөгтийн диагоналууд түүнийг 4 гурвалжинд хуваана. Эдгээр гурвалжнуудыг багтаасан тойргуудын радиусууд бүгд

$2$ -той тэнцүү бол

$4$ өнцөгтийн талуудын уртыг ол.

Бодлого №2655

Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагоналууд

$2$ см ба

$4$ см. Эсрэг талуудын дунджийг холбосон хэрчмүүд тэнцүү бол дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2660

$1$ диаметртэй тойрогт

$D$ өнцөг нь тэгш ба

$AB=BC$ байх

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт багтав.

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн периметр

$9\sqrt{2}/5$ бол түүний талбайг ол.

Бодлого №2661

$5$ радиустай тойрогт

$D$ өнцөг нь тэгш бөгөөд

$AB:BC=3:4$ байх

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт багтжээ. Хэрэв

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбайн нь

$44$ бол түүний периметрийг ол.

Бодлого №2662

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн төв

$O$ .

$AOB$ ба

$COD$ өнцгүүдийн нийлбэрийг градусаар илэрхийл.

Бодлого №2663

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн

$AB$ ба

$CD$ талуудын дунджуудыг холбосон хэрчмийн урт

$1$ метртэй тэнцүү.

$BC$ ба

$AD$ шулуунууд перпендикуляр бол

$AB$ ба

$CD$ диагоналуудын дунджуудыг холбосон хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2664

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагоналуудын дунджуудыг холбосон хэрчмийн урт нь

$AD$ ба

$BC$ талуудын дунджуудыг холбосон хэрчимтэй тэнцүү бол

$AB$ ба

$CD$ шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

Бодлого №2665

Тойрогт багтсан

$KLMN$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. Түүний оройнуудыг дайруулан тойрогт шүргэгч шулуунууд татаж багтаасан дөрвөн өнцөгт үүсгэв. Хэрэв түүний периметр нь

$p$ ба

$\dfrac{MN}{ML}=2$ ,

$\dfrac{MN}{KL}=8$ бол

$KLMN$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2668

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн

$A$ ба

$C$ эсрэг 2 өнцөг нь тэгш байв.

$AC$ диагонал дээр

$BE$ ба

$DF$ перпендикуляруудыг буулгажээ.

$CE=FA$ болохыг батал.

Бодлого №2677

Тойрогт багтсан ба тойрог багтаасан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв.

$AD$ ба

$BC$ талуудын уртын ялгавар нь

$AB$ ба

$CD$ талуудын уртын ялгавартай тэнцүү бол

$AC$ диагонал нь багтаасан тойргийн диаметр болно гэдгийг батал.

Бодлого №2678

Тойргийн

$4$ цэг нь

$A, B, C, D$ дараалалтай байв.

$AB$ ба

$CD$ хөвчүүдийн үргэлжлэлүүд харгалзан

$B$ ба

$C$ цэгийн талд

$E$ цэгт огтлолцох бөгөөд

$AED$ өнцөг нь

$60^\circ$ ,

$ABD$ өнцөг

$BAC$ өнцгөөс гурав дахин их бол

$AD$ нь тойргийн диаметр болохыг батал.

Бодлого №2750

$ABCD$ трапецийн талбай

$36$ см.кв.

$A$ оройг дайруулан

$BD$ диагоналыг

$K$ цэгт,

$BC$ суурийг

$L$ цэгт шүргэх тойрог татав. Хэрэв

$BK:KD=1:3$ ,

$BL:LC=2:1$ бол

$DKLC$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2759

$ABCD$ ромбын

$B$ орой дахь мохоо өнцгөөс

$BM$ ба

$BN$ өндөр татав.

$BMDN$ дөрвөн өнцөгтөд 1 см радиустай тойрог багтах ба

$\angle ABC=2\arcctg2$ бол ромбын талыг ол.

Бодлого №2799

13 радиустай тойрогт дөрвөн өнцөгт багтав. Түүний диагоналуудын хоорондох нэг өнцөг нь

$120^{\circ}$ ба диагоналуудын урт нь 10 ба 24 бол дөрвөн өнцөгтийн их талын уртыг ол.

Бодлого №2802

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$AC$ ба

$BD$ диагоналууд нь перпендикуляр ба

$P$ цэгт огтлолцоно.

$C$ оройг

$AD$ талын дундаж

$M$ цэгтэй холбосон хэрчмийн урт

$\dfrac{5}{4}$ .

$P$ цэгээс

$BC$ хэрчим хүртэлх зай нь

$\dfrac{1}{2}$ ба

$AP=1$ . Хэрэв

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтах

$AD$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2808

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн

$AB$ талын урт

$a$ ,

$AC$ талын урт

$b$ байв.

$B$ ба

$C$ оройгоос

$AD$ диагонал руу

$BK$ ба

$CN$ перпендикулярууд татахад

$AK< AN$ байв. Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн диагоналуудын огтлолцлын цэг

$O$ ба

$AK=k$ ,

$AN=n$ бол

$OC:OA$ харьцааг ол.

Бодлого №2809

Дөрвөн өнцөгтийн диагоналууд

$\sqrt{7}$ ба

$4$ урттай бөгөөд дөрвөн өнцөгтийг талбайнууд нь арифметик прогресс үүсгэх хэсгүүдэд хуваажээ. Дөрвөн өнцөгтийн их диагонал нь хамгийн бага талтай үүсгэх өнцөг

$\dfrac{\pi}{6}$ бол дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2810

Тойрог багтаасан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт

$AC$ диагоналиараа

$ABC$ ба

$ACD$ гурвалжинуудад хуваагдна. Эдгээр гурвалжнуудад багтсан тойргийн радиусууд харгалзан

$1$ ба

$\dfrac{3}{\sqrt {15}}$ . Хэрэв

$ABC$ ба

$ACD$ гурвалжнуудын талбай нь харгалзан

$6$ ба

$\sqrt{15}$ бол дөрвөн өнцөгтийн талууд ба

$BD$ диагоналыг ол.

Бодлого №2811

$KLMN$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн

$KN, LM$ талуудын үргэлжлэл

$P$ цэгт,

$KL, MN$ талуудын үргэлжлэл

$Q$ цэгт огтлолцоно.

$PQ$ хэрчим

$KQN$ өнцгийн биссектрист перпендикуляр.

$KQ=12$ ,

$NQ=8$ ба

$KLMN$ дөрвөн өнцөгтийн талбай

$LQM$ гурвалжны талбайтай тэнцүү бол

$KL$ талын уртыг ол.

Бодлого №2812

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн

$C$ оройг

$AD$ тал дээр байрлах

$M$ цэгтэй холбосон

$CB$ хэрчим нь

$BD$ диагоналтай

$K$ цэгт огтлолцдог.

$CK:KM=2:1$ ,

$CD:DK=5:3$ ба

$\angle ABC+\angle ACD=180^{\circ}$ бол

$AB$ талыг

$AC$ диагоналд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2813

$KLMN$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн

$M$ оройг

$KN$ тал дээр байрлах

$S$ цэгтэй холбосон

$MS$ хэрчим

$LN$ диагоналтай

$O$ цэгт огтлолцоно.

$KL:MN=6:7$ ,

$KM:ON=2:1$ ба

$\angle KLN=\angle KMN=180^{\circ}$ бол

$MO:OS$ харьцааг ол.

Бодлого №2814

$KLMN$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн

$KN$ ба

$LM$ талуудын үргэлжлэл

$P$ цэгт,

$KL, MN$ талуудын үргэлжлэл

$Q$ цэгт огтлолцоно.

$PQ$ хэрчим

$KQN$ өнцгийн биссектрист перпендикуляр.

$KQ=6$ ,

$NQ=4$ ба

$KLMN$ дөрвөн өнцөгтийн талбай

$LQM$ гурвалжны талбайтай тэнцүү бол

$MN$ талын уртыг ол.

Бодлого №2815

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн

$AD$ ба

$BC$ талуудын үргэлжлэл

$M$ цэгт,

$AB, CD$ талуудын үргэлжлэл

$O$ цэгт огтлолцоно.

$MO$ хэрчим

$A$ өнцгийн биссектрист перпендикуляр.

$OA=12$ ,

$OD=8$ ,

$CD=2$ бол

$AOD$ гурвалжны талбайг

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2816

$K, L, M$ цэгүүд

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн талуудыг

$AK:BK=CL:BL=CM:DM=1:2$ байхаар хуваана.

$KLM$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус

$5/2$ ,

$KL=4$ ,

$LM=3$ . Хэрэв

$KM< KL$ бол

$ABCD$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2817

Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн талууд ба диагоналуудын урт нь рационал тоонууд. Дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд түүнийг рационал тоон талуудтай гурвалжинуудад хувааж болох уу? Хариултаа тайлбарла.

ММО-38,VIII-B3,Б.Сандагдорж

$ABCD$ гүдгэр 4 өнцөгтийн диагоналиуд нь

$M$ цэгт огтлолцоно.

$ACD$ єнцгийн биссектрис

$AB$ талын үргэлжлэлийг

$A$ оройн талд

$K$ цэгт огтлов. Хэрэв

$MA\cdot MC+MA\cdot CD=MB\cdot MD$ бол

$\angle BKC=\angle BDC$ гэж батал.

Бодлого №19721

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талууд

$AB=2$ ,

$BC=3$ ,

$CD=1$ ба

$\measuredangle ABC=60^{\circ}$ байв. Тэгвэл

$AC$ , багтаасан тойргийн радиус $R$ ба $\sin\widehat{BAC}$ -г ол.
$BD$ , $\sin\widehat{BCD}$ ба $S_{BCD}$ -г ол.

Сорилго №2, 2019-2020

$ABCD$ трапецийн талбай

$48$ ,

$AD$ болон

$BC$ сууриудын уртын харьцаа

$3:1$ .

$BC$ суурийн дундаж цэг

$N$ ,

$AD$ суурийн дундаж цэг

$M$ .

$AN$ ба

$BM$ нь

$E$ цэгт,

$DN$ ба

$CM$ нь

$K$ цэгт огтлолцдог бол

$ENKM$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

A.

$6$ B.

$7$ C.

$8$ D.

$9$ E.

$10$

Бодлого №4813

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$AC$ ,

$BD$ диагоналиуд нь харгалзан

$2$ ба

$3$ нэгж урттай, хоорондох өнцгийн косинус нь

$\frac{\sqrt{11}}{6}$ бол

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

A.

$5$ B.

$6$ C.

$2$ D.

$3.5$ E.

$2.5$

Тойргийн нумууд ба огтолсон шулуунуудын хоорондох өнцөг

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгт багтаасан тойргийн

$\overset{\smile}{AB}:\overset{\smile}{BC}:\overset{\smile}{CD}:\overset{\smile}{DA}=2:3:4:9$ бол

$AC$ ,

$BD$ хоёр диагоналийн хоорондох мохоо өнцөг аль вэ?

A.

$150^\circ$ B.

$170^\circ$ C.

$120^\circ$ D.

$130^\circ$ E.

$100^\circ$

Дөрвөн өнцөгтийн өнцгүүд

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$A,B,C,D$ орой дахь дотоод өнцгүүд

$1:2:5:4$ харьцаатай бол

$AC:BD$ хэд байх вэ?

A.

$\sqrt3:\sqrt2$ B.

$\sqrt3:1$ C.

$2:\sqrt3$ D.

$3:2$ E.

$4:\sqrt3$

Бодлого №7830

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтөд

$AB:BC:CD:DA=1:2:5:4$ байжээ. Хэрэв

$AC=9$ см бол түүний

$ABC$ ,

$CDA$ өнцгийн биссектристэй огтлолцсон цэгээр гурав хуваагдсан хэсгүүд нь ямар ямар урттай вэ?

A. 4 см, 2 см, 3 см B. 3 см, 1 см, 5 см C. 2 см, 2 см, 5 см D. 4 см, 1 см, 4 см E. 3 см, 2 см, 4 см

Зөв 8 өнцөгтийн талбай

$a$ талтай зөв дөрвөн өнцөгт багтаасан тойрогт багтсан зөв найман өнцөгтийн талбай аль нь вэ?

A.

$8\sqrt2a^2$ B.

$4\sqrt2a^2$ C.

$2\sqrt2a^2$ D.

$\sqrt3a^2$ E.

$\sqrt2a^2$

ЭЕШ 2006 A №28

Өндөр нь 5см байх

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ зөв дөрвөн өнцөгт призмийн

$ABCD$ суурийн тал 10см.

$M$ цэг нь

$AB$ тал дээр оршино.

$\left(\dfrac{|A_1M|}{|MC_1|}\right)^2=\dfrac{1}{\fbox{a}}$ бол $|AM|=|MB|$ байна.
Энэ тохиолдолд $(A_1MC_1)$ хавтгай нь $BC$ талыг $N$ цэгээр огтлох ба $S_{A_1MNC_1}=\fbox{bc}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$ байна.

ЭЕШ 2008 E1 №22

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$AD=\sqrt3$ ,

$AB=1$ ба

$\angle ADB=30^\circ$ ,

$\angle CAD=75^\circ$ бол

багтаасан тойргийн радиус $R=\fbox{a}$ ,
$\angle BDC=\fbox{bc}^\circ$ ,
$AC^2=\fbox{d}$ байна.

ЭЕШ 2008 E №22

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$AD=\sqrt{3}$ ,

$CD=\sqrt{2}$ ба

$\angle ADB=30^\circ$ ,

$\angle CAD=45^\circ$ бол

a) багтаасан тойргийн радиус

$R=\fbox{a}$ ,

б)

$\angle BDC=\fbox{bc}^\circ$

в)

$AB=\fbox{d}$ байна.

Бодлого №7879

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талууд

$AB=2$ ,

$BC=3$ ,

$CD=1$ ба

$\measuredangle ABC=60^{\circ}$ байв. Тэгвэл

$AC=\sqrt{\fbox{a}}$ , багтаасан тойргийн радиус $R=\dfrac{\sqrt{\fbox{bc}}}{3}$ ба $\sin\widehat{BAC}=\dfrac{\fbox{d}\sqrt{\fbox{ef}}}{14}$ байна.
$BD=\dfrac{\fbox{g}\sqrt{\fbox{h}}}{\fbox{m}}$ , $\sin\widehat{BCD}=\dfrac{\fbox{i}\sqrt{\fbox{j}}}{7}$ болохыг тогтоож $S_{BCD}=\dfrac{\fbox{k}\sqrt{\fbox{l}}}{\fbox{m}}$ гэж ол.

Бодлого №7880

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан бөгөөд

$AB=3$ ,

$BC=7$ ,

$CD=7$ ,

$DA=5$ бол

$\measuredangle A = \fbox{abc}^{\circ}$ , $BD=\fbox{d}$ , $AC=\fbox{e}$ , $ABCD$ -ийн талбай $\fbox{fg}\sqrt{\fbox{h}}$ болно.
$AC$ ба $BD$ диагоналиудын огтлолцлын цэгийг $E$ гэвэл $\displaystyle \sin\widehat{AEB}=\dfrac{\fbox{i}\sqrt{\fbox{j}}}{\fbox{k}}$ , багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{l}\sqrt{\fbox{m}}}{3}$ байна.

Бодлого №7881

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан бөгөөд

$AB=3$ ,

$BC=CD=\sqrt{3}$ ,

$\cos\widehat{ABC}=\displaystyle\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ байсан бол

$AC=\fbox{a}$ ,

$AD=\fbox{b}$ болно. Багтаасан тойргийн радиус

$\displaystyle \dfrac{\fbox{c}\sqrt{\fbox{de}}}{11}$ ба

$\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\fbox{f}$ байна.

Бодлого №7882

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талууд

$AB=BC=2\sqrt{2}$ ,

$BD=2\sqrt{3}$ ,

$\measuredangle ABC=120^{\circ}$ ба

$AD>CD$ бол

$AC=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ ,

$\measuredangle BDC=\fbox{cd}^{\circ}$ болох бөгөөд

$AD=\fbox{e}+\sqrt{\fbox{f}}$ байна. Энэ үед

$S_{ABCD}=\fbox{g}\sqrt{3}$ болно.

Бодлого №7883

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт

$S$ тойрогт багтжээ.

$2AB=BC$ ,

$CD=2$ ,

$DA=1$ ба

$\cos\widehat{ABC}=\dfrac{5}{8}$ нөхцөл биелэгдэж байв. Энэ үед

$AC=\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{\fbox{c}}$ ,

$S$ тойргийн радиус

$\dfrac{2}{13}\sqrt{\fbox{def}}$ ,

$AB=\sqrt{\fbox{g}}$ гэж олдоно. Бас

$BD=\dfrac{4}{5}\sqrt{\fbox{hi}}$ ,

$\cos\widehat{BCD}=\frac{2}{5}\sqrt{\fbox{j}}$ байна.

Бодлого №7884

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$\measuredangle ABC$ өнцөг нь хурц ба

$AB=2$ ,

$BC=\sqrt{6}$ ,

$\sin\widehat{ABC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ба

$AC \perp BD$ байсан гэе.

$AC=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ , тойргийн радиус

$\dfrac{\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{e}}$ ба

$\sin\widehat{CAB}=\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$ ,

$\sin\widehat{ACB}= \dfrac{\sqrt{\fbox{h}}}{\fbox{i}}$ байна.

$AC, BD$ -ийн огтлолцлын цэгийг

$H$ гэвэл

$DH=\fbox{jk}BH$ болно.

Бодлого №7901

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талууд

$AB=3$ ,

$AC=\dfrac{55}{7}$ ,

$CD=5$ ,

$BD=7$ байв.

$BC=\fbox{a}$ , $AD=\fbox{b}$ ба $BC$ тал дээр уг талыг $5\colon 3$ харьцаагаар хуваах $E$ цэг авбал $\measuredangle DEB=\fbox{cde}^{\circ}$ байна.
Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{f}}{\sqrt{\fbox{g}}}$ байна.

Бодлого №7923

$R=\dfrac{16}{\sqrt{15}}$ радиустай тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд харилцан перепендикуляр ба эдгээр нь

$E$ цэгт огтлолцдог байг.

$AB=4$ ,

$AD=6$ бол

$BD=\fbox{a}$ ба

$\cos\widehat{BDC}=\dfrac{\fbox{b}\sqrt{15}}{\fbox{cd}}$ ,

$AE=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\sqrt{15}$ байна.

$KE$ нь

$ABE$ гурвалжны өндөр ба

$M$ нь

$KE$ шулууны

$CD$ талтай огтлолцох цэг бол

$EM=\dfrac{\fbox{gh}}{15}\sqrt{15}$ болно.

Бодлого №7924

$R=10$ радиустай тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд харилцан перепендикуляр ба эдгээр нь

$E$ цэгт огтлолцдог байг.

$AB=8$ ,

$BC=6$ бол

$AC={\sqrt{\fbox{a}}}(6\sqrt{3}+4\sqrt{13})/{\fbox{b}}$ ба

$\cos\widehat{BCA}={\sqrt{21}}/{\fbox{c}}$ ,

$BE={\fbox{de}}/{\fbox{f}}$ байна.

$KE$ нь

$BCE$ гурвалжны өндөр ба

$M$ нь

$KE$ шулууны

$CD$ талтай огтлолцох цэг бол

$EM=\sqrt{\fbox{gh}}$ болно.

Бодлого №7951

$O$ цэгт төвтэй

$5$ радиустай

$S_1$ ,

$4$ радиустай

$S_2$ тойргууд өгөгдөв. Харилцан перепендикуляр диагоналиудтай, эдгээрийн огтлолцол нь

$S_2$ тойрог дээр орших

$S_1$ -д багтсан дөрвөн өнцөгтүүд дотроос талбайгаараа хамгийн их байх дөрвөн өнцөгтийг

$ABCD$ гэвэл

$O$ цэгээс

$BD$ диагональ хүртэлх зай

$2\sqrt{\fbox{a}}$ ,

$BD=2\sqrt{\fbox{bc}}$ байна. Энэ үед

$S_{ABCD}=\fbox{de}$ ба

$AD=\sqrt{\fbox{f}} \bigl(\sqrt{\fbox{gh}}+\sqrt{\fbox{i}} \bigr)$ байна. Энд

$AB< DC$ гэж үзнэ.

Бодлого №7952

$O$ цэгт төвтэй

$7$ радиустай

$S_1$ ,

$6$ радиустай

$S_2$ тойргууд өгөгдөв. Харилцан перепендикуляр диагоналиудтай, эдгээрийн огтлолцол нь

$S_2$ тойрог дээр орших

$S_1$ -д багтсан дөрвөн өнцөгтүүд дотроос талбайгаараа хамгийн их байх дөрвөн өнцөгтийг

$ABCD$ гэвэл

$O$ цэгээс

$AC$ диагональ хүртэлх зай

$\fbox{a}\sqrt{2}$ ,

$AC=2\sqrt{\fbox{bc}}$ байна. Энэ үед

$S_{ABCD}=\fbox{de}$ байна.

$AB=\sqrt{\fbox{f}} \bigl(\sqrt{\fbox{gh}}-\sqrt{\fbox{i}} \bigr)$ байна. Энд

$AB< DC$ гэж үзнэ.

ЭЕШ 2008 A №62

Тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн

$AD=\sqrt3$ ,

$CD=\sqrt2$ ба

$\angle ADB=60^\circ$ ,

$\angle CAD=45^\circ$ бол

багтаасан тойргийн радиус $R=\fbox{a}$
$\angle BDC=\fbox{bc}^\circ$
$AB^2=\fbox{d}$ байна.

bagtsan 4 ontsogt

1 радиустай тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд

$\angle BCD=75^\circ, \angle CDA=120^\circ, |AB|=\sqrt3$ бол

$\angle BCA=\fbox{ab}^\circ$ /2 оноо/
$\angle CBD=\fbox{cd}^\circ$ /1 оноо/
$|CD|=\sqrt{\fbox{e}}$ /2 оноо/
$|BD|=\dfrac{\sqrt{\fbox{f}}+\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{h}}\,\,\, (\fbox{f}<\fbox{g})$ /2 оноо/

Багтсан дөрвөн өнцөгт

1 радиустай тойрогт багтсан

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд

$\angle ABC=60^\circ, \angle DAB=105^\circ, |BC|=\sqrt3$ бол

$\angle BCA=\fbox{ab}^\circ$ /1 оноо/
$\angle CAD=\fbox{cd}^\circ$ /2 оноо/
$|CD|=\sqrt{\fbox{e}}$ /2 оноо/
$|AD|=\dfrac{\sqrt{\fbox{f}}-\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{h}}\,\,\,$ /2 оноо/

Тойрогт багтсан 4 өнцөгт

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан бөгөөд

$AB=33$ ,

$BC=CD=11\sqrt{3}$ ,

$\cos\measuredangle ABC=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ байсан бол

$AC=\fbox{ab}$ ,

$AD=\fbox{cd}$ болно. Багтаасан тойргийн радиус

$\fbox{e}\sqrt{\fbox{fg}}$ ба

$\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\fbox{h}$ байна.

Тойрогт багтсан 4 өнцөгт

$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан бөгөөд

$AB=12$ ,

$BC=CD=10$ ,

$\cos\measuredangle ABC=\dfrac15$ байсан бол

$AC=\fbox{ab}$ ,

$AD=\fbox{c}$ болно. Багтаасан тойргийн радиус

$\dfrac{\fbox{de}\sqrt{\fbox{f}}}{12}$ ба

$\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\dfrac{\fbox{gh}}{25}$ байна.

Бодлого №2658

Зөв

$6$ өнцөгтийн талын урт

$14$ см. Түүнтэй эн чацуу зөв гурвалжны тал ба энэ гурвалжинд багтсан тойргийн талбайг ол.

Зөв 30 өнцөгтийн диагоналиудын хоорондох өнцөг

$O$ төвтэй

$A_1A_2\ldots A_{30}$ зөв

$30$ өнцөгт өгөгджээ.

$OA_3$ ба

$A_1A_4$ шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

A.

$64^\circ$ B.

$80^\circ$ C.

$84^\circ$ D.

$76^\circ$ E.

$108^\circ$

Зөв 8 өнцөгтийн талбай

3 радиустай тойрогт багтсан зөв 8 өнцөгтийн талбай хэд вэ?

A.

$24$ B.

$12$ C.

$36\sqrt2$ D.

$18\sqrt2$ E.

$18\sqrt3$

Зөв олон өнцөгтийн оройн өнцгийн хэмжээ

Хоёр зөв олон өнцөгтийн талуудын тоо

$2:3$ , оройн өнцгүүдийнх нь хэмжээ

$6:7$ харьцаатай байсан бол талуудын тоо нь хэд вэ?

A. 4, 6 B. 6, 9 C. 8, 12 D. 10, 15 E. 10, 25

Талын диагонал дээрх проекц

2 нэгж талтай зөв зургаан өнцөгтийн нэг оройг

$P$ гэв.

$P$ оройгоос гарсан нэг талын, мөн оройгоос гарсан бүх диагональ дээрх проекцийн нийлбэр ямар байх вэ?

A.

$2\sqrt3$ B.

$3$ C.

$1+\sqrt3$ D.

$2+\sqrt3$ E.

$2-\sqrt3$

Бодлого №7856

1 нэгж талтай зөв зургаан өнцөгтийн нэг талын, түүнтэй ерөнхий оройгүй бүх диагональ дээрх проекцийн нийлбэр аль нь вэ?

A.

$2\sqrt3$ B.

$3$ C.

$1+\sqrt3$ D.

$2+\sqrt3$

Зөв 8 өнцөгтийн диагоналиудын урт

Зөв найман өнцөгтийн диагоналиудыг түүнийг багтаасан тойргийн радиусаар илэрхийлбэл аль нь бүгд зөв бэ?

A.

$2R, \sqrt2R, \sqrt{2-\sqrt2}R$ B.

$2R, \sqrt3R, \sqrt{2+2\sqrt2}R$ C.

$2R, \sqrt3R, \sqrt{2-\sqrt2}R$ D.

$2R, \sqrt3R, \sqrt{2-\sqrt2}R$ E.

$2R, \sqrt2R, \sqrt{2+\sqrt2}R$

Бодлого №7858

Зөв найман өнцөгтийн диагоналиудыг түүний талын урт

$a$ -гаар илэрхийлбэл аль нь бүгд зөв бэ?

A.

$\sqrt{2+\sqrt2}a, (1+\sqrt2)a, \sqrt{2-\sqrt2}a$ B.

$\sqrt{2+\sqrt2}a, (3-\sqrt2)a, \sqrt{4+\sqrt2}a$ C.

$\sqrt{2+\sqrt2}a, (1+\sqrt2)a, \sqrt{4+2\sqrt2}a$ D.

$\sqrt{2+\sqrt2}a, \sqrt{3+2\sqrt2}a, \sqrt{4-\sqrt2}a$ E.

$\sqrt{2-\sqrt2}a, (3-\sqrt2)a, \sqrt{4+\sqrt2}a$

Талуудын дундаж дээр төвтэй 6 өнцөгтийн талын урт

$R$ радиустай тойрогт багтсан зөв зургаан өнцөгтийн талуудын дундаж дээр оройтой гүдгэр зургаан өнцөгтийн талуудыг тойргийн радиусаар илэрхийлбэл аль нь зөв бэ?

A.

$\sqrt3R$ B.

$\dfrac13R$ C.

$\dfrac32R$ D.

$\dfrac{\sqrt3}2R$ E.

$\dfrac23R$

Зөв 8 өнцөгтийн талуудын дундаж цэгүүдийн хоорондох зай

Зөв найман өнцөгт багтаасан тойргийн

$R$ радиусаар, талуудынх нь дундаж дээр оройтой гүдгэр олон өнцөгтийн талуудыг илэрхийлбэл аль нь зөв бэ?

A.

$\dfrac{\sqrt3}3R$ B.

$\dfrac34R$ C.

$\dfrac R{\sqrt2}$ D.

$(\sqrt2-1)R$ E.

$(\sqrt3-1)R$

Зөв 12 өнцөгтийн талбай

Нэгж радиустай тойрогт багтсан зөв 12 өнцөгтийн талбай аль нь вэ?

A.

$1$ B.

$2$ C.

$2\sqrt3$ D.

$2\sqrt2$ E.

$3$

Зөв зургаан өнцөгтийг багтаасан ба багтсан тойрог

Зөв зургаан өнцөгтийг багтаасан тойргийн радиусыг уг зургаан өнцөгтөд багтсан тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$3:2$ B.

$\sqrt{3}:2$ C.

$2:3$ D.

$2:\sqrt3$ E.

$1:\sqrt3$

Зөв найман өнцөгтийн гадаад өнцөг

Зөв найман өнцөгтийн гадаад өнцөг хэдэн градус байх вэ?

A.

$15^\circ$ B.

$20^\circ$ C.

$30^\circ$ D.

$45^\circ$ E.

$60^\circ$

Бодлого №14236

Дараах зургаас

$x$ -ийн утгыг олоорой. Энд

$ABCDE$ зөв таван өнцөгт,

$M$ нь

$AB$ ,

$DC$ талуудын үргэлжлэлийн огтлолын цэг.

A.

$36^\circ$ B.

$60^\circ$ C.

$66^\circ$ D.

$72^\circ$ E.

$144^\circ$

ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №40

$ABCDEFGH$ зөв найман өнцөгтийн талын урт

$4$ ;

$AC$ ,

$BD$ диагоналиудын хоорондох өнцөг

$\fbox{ab.c}^\circ$ ,

$ABCDE$ таван өнцөгтийн талбай

$\fbox{de}\sqrt{2}$ ,

$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай

$\fbox{fg}\sqrt{2}$ байна.

Бодлого №2591

Нэг квадратын оройн цэгүүд нь нөгөө квадратын талууд дээр байрлана. Квадратуудын талбайн харьцаа

$p$ бол

$1$ дэх квадратын оройн цэгүүд

$2$ дахь квадратын талуудыг ямар харьцаагаар хуваах вэ?

Бодлого №2593

$ABCD$ квадрат өгөгдөв.

$AB$ ,

$CD$ -гийн дундаж цэгүүд нь харгалзан

$E$ ,

$F$ ба

$ABCD$ квадратын тал нь

$a$ .

$K$ цэг

$CF$ хэрчим дээр,

$N$ цэг

$AD$ хэрчимд харъяалагдах бөгөөд

$EF$ ,

$KN$ хэрмчмүүд

$M$ цэгээр огтлолцоно. Хэрвээ

$CK:KF=1:5$ ба

$EMNA$ трапецийн талбай нь

$3/10$ бол

$KMF$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2596

$MNPQ$ квадратын

$NP$ тал дээр

$A$ цэг,

$PQ$ тал дээр

$B$ цэг авсан ба

$NA:AP=PB:BQ=2:3$ .

$L$ цэг нь

$MA$ ,

$NB$ хэрчмүүдийн огтлолцлын цэг болно.

$L$ цэг

$MA$ хэрчмийг ямар харьцаанд хуваах вэ?

Бодлого №2605

$ABCD$ квадратын талын урт нь

$a$ .

$M$ цэг

$AC$ диагоналыг

$AM:MC=3:1$ харьцаагаар хуваана.

$M$ цэг

$AB$ тал дээр орших ба

$\angle NMD=90^\circ$ бол

$AN$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2607

$18$ см.кв талбайтай квадратад тэгш өнцөгт багтаажээ. Квадратын тал бүр дээр тэгш өнцөгтийн орой байрлана. Тэгш өнцөгтийн талуудын харьцаа нь

$1:2$ бол тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2608

$24$ см.кв талбайтай квадратад тэгш өнцөгт багтжээ. Квадратын тал бүр дээр тэгш өнцөгтийн орой байрлана. Тэгш өнцөгтийн талуудын харьцаа нь

$1:3$ бол тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2612

Квадратад багтсан тойргийн радиус нь

$6$ см. Квадратын талбайг ол.

Бодлого №2671

Трапецийн гадна талд, түүний

$AB$ ба

$CD$ сууриуд дээр квадрат байгуулав. Тэдгээрийн төвийг холбож байгаа хэрчим трапецийн диагоналуудын огтлолцлын цэгийг дайрахыг батал.

Бодлого №2742

Трапецийн параллель талуудын квадратуудын нийлбэр

$288$ . Эдгээр талуудтай параллель трапецийн талбайг хагаслан хуваах хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2758

$ABCD$ квадрат өгөгдөв. Тойрог нь

$AC$ шулууныг

$C$ цэг шүргэх ба түүний төв ба

$D$ цэг

$AC$ шулууны нэг талд оршино.

$D$ цэгээс тойрогт татсан шүргэгчүүдийн хоорондох өнцөг

$120^\circ$ бол квадратын талбайг уг тойргоор хүрээлэгдсэн дугуйн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2783

Трапецийн диагоналуудын квадратуудын нийлбэр нь хажуу талуудын квадратуудын нийлбэр дээр сууриудын үржвэрийг 2 дахин нэмсэнтэй тэнцүү болохыг батал.

Бодлого №2798

Тойрогт харилцан перпенпикуляр, огтлолцсон

$AB$ ба

$CD$ хөвчүүд өгөгдөв. Хэрэв

$AB=AC=CD$ бол тойргийн талбай ба

$AB$ талтай квадратын талбайн аль нь их вэ?

Квадратад багтсан зөв 8 өнцөгтийн талбай

$a$ талтай квадратын өнцгүүдийг тайрч зөв найман өнцөгт үүсгэв. Энэ найман өнцөгтийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{3a^2}{4}$ B.

$2(\sqrt2-1)a^2$ C.

$\dfrac{\sqrt2a^2}{2}$ D.

$(\sqrt2-1)a^2$ E.

$(2-\sqrt2)a^2$

Багтсан зөв олон өнцөгтийн талбай

Дугуй ба уг дугуйд багтсан квадрат хоёрын талбайн ялгавар нь

$2\sqrt{3}(\pi-2)$ . Энэ дугуйд багтсан зөв зургаан өнцөгтийн талбайг ол.

A.

$4$ B.

$9$ C.

$6$ D.

$7$ E.

$10$

ЭЕШ 2011 A №12

4 м талтай

$ABCD$ квадратын

$AB$ талын дундаж, квадратын төв,

$C$ оройг дайрсан тойргийн радиусыг ол.

A.

$4\sqrt5$ B.

$2\sqrt2$ C.

$4\sqrt2$ D.

$2\sqrt{10}$ E.

$\sqrt{10}$

ЭЕШ 2011 B №20

$7$ см талтай

$ABCD$ квадратын

$AD$ талын дундаж цэг

$K$ болно.

$CK$ шулууны дагуу цаасыг нугалж тэр хоёр талст өнцгийг

$60^\circ$ болгов.

$B$ ба

$D$ цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

A.

$14\sqrt{5}$ B.

$7\sqrt5$ C.

$\frac{14\sqrt5}{5}$ D.

$\frac{7\sqrt5}{5}$ E.

$\frac{2\sqrt5}{5}$

Параллелограммын чанар

Параллелограммын нэг диагоналийн урт 6, талуудынх нь квадратуудын нийлбэр нь 50 бол нөгөө диагоаналийн уртыг ол.

A.

$2$ B.

$4$ C.

$6$ D.

$8$ E.

$10$

Квадратыг багтаасан тойргийн урт

$ABCD$ квадратын талын урт 3 бол түүнийг багтаасан тойргийн урт нь

A.

$12\pi$ B.

$4\pi\sqrt3$ C.

$2\pi\sqrt{10}$ D.

$6\pi\sqrt2$ E.

$3\pi\sqrt2$

Бодлого №7831

$ABCD$ квадратын

$BA$ талын дундаж

$E$ ,

$BC$ талын дундаж

$F$ байжээ.

$CE$ ,

$DF$ хэрчмүүдийн огтлолцол

$M$ , квадратын талын урт

$a$ бол

$S_{CMF}$ аль нь вэ?

A.

$\frac{a^2}{16}$ B.

$\frac{a^2}{18}$ C.

$\frac{a^2}{20}$ D.

$\frac{a^2}{24}$

Бодлого №7832

$ABCD$ квадратын

$BA$ талын дундаж

$E$ ,

$BC$ талын дундаж

$F$ цэгүүдийг харгалзуулан

$C$ ,

$D$ оройтой холбосон хэрчмүүд

$M$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв квадратын талбай

$S$ бол

$S_{AEMD}$ аль нь вэ?

A.

$\frac{11}{20}S$ B.

$\frac58S$ C.

$\frac12S$ D.

$\frac34S$

Бодлого №7837

Квадратын төвийг дайрсан, нэг талтай нь

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг шулуун тэр талаа ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?

A.

$\sqrt3:2$ B.

$(2\pm\sqrt3):1$ C.

$(3+\sqrt2):1$ D.

$1:\sqrt3$

Бодлого №7838

$d$ диагональтай квадратын төвийг дайрсан шулуун нэг талтай нь

$60^\circ$ өнцөг үүсгэсэн бол квадрат дотор орших, тэр шулууны хэрчмийн урт ямар байх вэ?

A.

$\frac d{\sqrt2}$ B.

$\frac d{\sqrt3}$ C.

$\frac d{\sqrt5}$ D.

$\frac{2d}{\sqrt6}$

ЭЕШ 2015 C №16

$6$ см талтай квадратад тойрог багтсан бол зурагт үзүүлсэн будагдсан хэсгийн талбайг ол.

$10$ см талтай квадратад тойрог багтсан бол зурагт үзүүлсэн будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$(18\pi-6)$ см.кв B.

$(36+9\pi)$ см.кв C.

$9\pi$ см.кв D.

$(36-9\pi)$ см.кв E.

$36$ см.кв

Будагдсан хэсгийн талбай

3; 4 урттай талуудтай квадрат зурагт үзүүлснээр өгчээ. Будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$25$ B.

$12$ C.

$3\dfrac18$ D.

$20\dfrac78$ E.

$21\dfrac78$

Кубын талбай

5 талбайтай квадратын диагональтай тэнцүү талтай квадратын талбайг ол.

A.

$8.25$ B.

$10$ C.

$12.5$ D.

$25$ E.

$20$

Будагдсан хэсгийн талбай

2; 3 урттай талуудтай квадрат зурагт үзүүлснээр өгчээ. Будагдсан хэсгийн талбайг ол.

A.

$10$ B.

$10\dfrac56$ C.

$10\dfrac16$ D.

$11\dfrac14$ E.

$11\dfrac15$

Ромбын өнцөг

Ромбын диагоналиудын үржвэр нь талын квадратаас

$\sqrt3$ дахин их бол өнцгүүд нь аль вэ?

A.

$15^\circ,\ 165^\circ$ B.

$30^\circ,\ 150^\circ$ C.

$45^\circ,\ 135^\circ$ D.

$60^\circ,\ 120^\circ$ E.

$75^\circ,\ 105^\circ$

Ромбын өнцөг

Ромбын диагоналиудын үржвэр нь талын квадратаас

$\sqrt2$ дахин их бол өнцгүүд нь аль вэ?

A.

$15^\circ,\ 165^\circ$ B.

$30^\circ,\ 150^\circ$ C.

$45^\circ,\ 135^\circ$ D.

$60^\circ,\ 120^\circ$ E.

$75^\circ,\ 105^\circ$

ЭЕШ 2016 C №4

Квадратын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь биелэхгүй вэ?

A. Диагональ нь оройн өнцгийн биссектрис болно B. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Диагоналиуд нь тэнцүү E. Дотоод өнцгүүдийн нийлбэр нь

$180^\circ$

ЭЕШ 2016 A №4

Аливаа ромбын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь биелэхгүй вэ?

A. Бүх талууд нь тэнцүү B. Бүх өнцгүүд нь тэнцүү C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Хөрш өнцгүүдийн нийлбэр

$180^\circ$ E. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр

ЭЕШ 2016 B №4

Аливаа параллелограммын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь биелэхгүй вэ?

A. Хөрш өнцгүүдийн нийлбэр

$180^\circ$ B. Дотоод өнцгүүдийн нийлбэр

$360^\circ$ C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Эсрэг өнцгүүд нь тэнцүү E. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр

Параллелограммын чанар

Аливаа параллелограммын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь заавал биелэх вэ?

A. Бүх талууд нь тэнцүү B. Бүх өнцгүүд нь тэнцүү C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Эсрэг өнцгүүдийн нийлбэр

$180^\circ$ E. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр

ЭЕШ 2017 D №21

$ABCD$ квадратын

$AC$ диагоналийг

$M$ цэг

$AM=5$ ,

$MC=9$ байхаар хуваажээ.

$BM$ -ийн уртыг ол.

A.

$4\sqrt3$ B.

$3\sqrt5$ C.

$4\sqrt2$ D.

$7$ E.

$\sqrt{53}$

ЭЕШ 2017 B №21

$ABCD$ квадратын

$AC$ диагоналийг

$M$ цэг

$AM=5$ ,

$MC=7$ байхаар хуваажээ.

$BM$ -ийн уртыг ол.

A.

$6$ B.

$5\sqrt2$ C.

$4\sqrt3$ D.

$\sqrt{37}$ E.

$3\sqrt{3}$

Ромбод багтсан тойргийн радиус

Ромбо дотор тойрог, тойрог дотор квадрат багтав. Хэрэв квадратын талбай ромбын талбайгаас 4 дахин бага бол ромбын бага өнцөг нь

$\fbox{ab}^\circ$ , их өнцөг нь

$\fbox{cde}^\circ$ байна.

Бодлого №7947

$2$ нэгж талтай квадратыг түүний төв

$O$ цэгийг тойруулан

$\alpha$ өнцгөөр эргүүлэн

$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ квадрат үүсгээд

$t=\tg \alpha /2$ гэе. Энэ хоёр квадратын талуудын огтлолцол дээр оройтой найман өнцөгтийн талбай

$S=S(t)=\dfrac{\fbox{a} (1+t^{\fbox{b}})}{(\fbox{c}+t^{\fbox{d}})}$ байна.

$S=S(t)$ -ийн утга

$\alpha ={\pi}/{\fbox{e}}$ үед хамгийн бага

$S(\pi /{\fbox{e}} )=\fbox{f} (\sqrt{\fbox{g}}-1)$ утгатай байна.

Бодлого №7948

$3$ нэгж талтай квадратыг түүний төв

$O$ цэгийг тойруулан

$\alpha$ өнцгөөр эргүүлэн

$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ квадрат үүсгээд

$t=\tg \alpha /2$ гэе. Энэ хоёр квадратын талуудын огтлолцол дээр оройтой найман өнцөгтийн периметр

$P=P(t)=\dfrac{\fbox{ab}(1+t^{\fbox{c}})}{(1+t^{\fbox{d}})}$ байна.

$P=P(t)$ нь

$\alpha ={\pi}/{\fbox{e}}$ үед хамгийн бага

$P({\pi}/{\fbox{e}} )=\fbox{fg} (\sqrt{2}-1)$ утгатай байна.

Бодлого №2807

Нэгж талуудтай

$ABCDE$ гүдгэр таван өнцөгтийн

$AB, CD$ талуудын дундаж цэгүүд нь харгалзан

$P, Q$ ба

$BC, DE$ талуудын дундаж цэгүүд нь харгалзан

$S, T$ байв.

$PQ$ ба

$ST$ хэрчмүүдийн дундаж цэгүүд

$M, N$ бол

$MN$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №10573

$O$ төвтэй нэг радиустай тойрог дээр

$P_1$ ,

$P_2$ ,

$P_3$ ,

$P_4$ ,

$P_5$ цэгүүдийг

$\angle P_1OP_2=\angle P_4OP_5=30^{\circ}$ ,

$\angle P_2OP_3=\angle P_3OP_4=75^{\circ}$ байхаар авчээ.

$P_1$ ,

$P_2$ ,

$P_3$ ,

$P_4$ ,

$P_5$ -аас хоёр цэгийг авч

$O$ цэгтэй холбоход үүсэх гурвалжнуудын талбайн нийлбэрийг ол.

Гүдгэр 6 өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр

Гүдгэр 6 өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр хэд вэ?

A.

$180^\circ$ B.

$360^\circ$ C.

$540^\circ$ D.

$720^\circ$ E.

$900^\circ$

Гадаад өнцгүүдийн нийлбэр

Гүдгэр 5 өнцөгтийн гадаад өнцгүүдийн нийлбэр хэд вэ?

A.

$180^\circ$ B.

$360^\circ$ C.

$540^\circ$ D.

$720^\circ$ E.

$900^\circ$

ЭЕШ 2020, B40

$R=6$ радиустай тойрогт багтсан

$ABCDE$ таван өнцөгтийн

$AB=6\sqrt{2}$ ,

$\measuredangle ABE=45^\circ$ ,

$\measuredangle EBD=30^\circ$ ба

$BC=CD$ бол таван өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт. Синусын теоремоор

$AE=2R\sin45^\circ$ гэдгээс

$AE=6\sqrt{\fbox{a}}$ . Иймд

$ABE$ гурвалжны талбай

$S_1=3\fbox{b}$ . Цаашилбал

$\measuredangle BDE=\fbox{c}0^\circ$ гэдгээс

$BD=6\sqrt{\fbox{d}}$ ,

$DE=\fbox{e}$ . Иймээс

$BDE$ гурвалжны талбай

$S_2=18\sqrt{\fbox{d}}$ . Харин

$BCDE$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан гэдгээс

$C$ оройн өнцгийг тооцоолж болно. Иймд

$BCD$ гурвалжны өндөр

$CF=\fbox{f}$ ба түүний талбай

$S_3=9\sqrt{\fbox{g}}$ . Эдгээрээс таван өнцөгтийн талбай

$S=S_1+S_2+S_3$ болно.

ЭЕШ 2020, A40

$R=4$ радиустай тойрогт багтсан

$ABCDE$ таван өнцөгтийн

$AB=4\sqrt{2}$ ,

$\measuredangle ABE=45^\circ$ ,

$\measuredangle EBD=30^\circ$ ба

$BC=CD$ бол таван өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт. Синусын теоремоор

$AE=2R\sin45^\circ$ гэдгээс

$AE=4\sqrt{\fbox{a}}$ . Иймд

$ABE$ гурвалжны талбай

$S_1=1\fbox{b}$ . Цаашилбал

$\measuredangle BDE=\fbox{c}0^\circ$ гэдгээс

$BD=4\sqrt{\fbox{d}}$ ,

$DE=\fbox{e}$ . Иймээс

$BDE$ гурвалжны талбай

$S_2=8\sqrt{\fbox{d}}$ . Харин

$BCDE$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан гэдгээс

$C$ оройн өнцгийг тооцоолж болно. Иймд

$BCD$ гурвалжны өндөр

$CF=\fbox{f}$ ба түүний талбай

$S_3=4\sqrt{\fbox{g}}$ . Эдгээрээс таван өнцөгтийн талбай

$S=S_1+S_2+S_3$ болно.

Бодлого №622

$\alpha$ ,

$\beta$ нь параллелограммын хөрш өнцгүүд ба

$\dfrac{\sqrt3}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)$ бол

$\alpha$ ,

$\beta$ -г ол.

Бодлого №2594

$ABCD$ параллельограм өгөгдөв.

$\angle BCD=\pi/3$ ,

$AB=a$ ,

$BCD$ өнцгийн биссектрис нь

$AD$ талыг

$N$ цэгт огтолно.

$NCD$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2595

$ABCD$ параллельограмын

$AD$ талын урт

$8$ .

$ADC$ өнцгийн биссектрис

$AB$ шулууныг

$E$ цэгт огтолно.

$ADE$ гурвалжинд

$O$ төвтэй тойрог багтсан ба уг тойрог нь

$AE$ талыг

$K$ цэгт,

$AD$ талыг

$L$ цэгт шүргэнэ.

$KL=2$ бол

$KOL$ өнцгийг ол.

Бодлого №2598

Параллелограмын диагонал нь

$3$ ба

$5$ , хурц өнцөг нь

$60^\circ$ бол талбайг ол.

Бодлого №2601

$ABCD$ параллельограмын

$AB$ тал нь

$BD$ диагоналтай перпендикуляр.

$BD=6$ ,

$AC$ диагоналын урт

$2\sqrt{22}$ бол

$AD$ -г ол.

Бодлого №2602

$ABCD$ параллелограммын

$B$ мохоо өнцгийн биссектрис

$AD$ талыг

$F$ цэгт огтолно.

$AB=12$ ,

$AF:FD=4:3$ бол параллелограммын периметрийг ол.

Бодлого №2603

4 өнцөгтийн оройн цэгүүдээс түүний диагоналд нь параллель шулуунууд татав. Эдгээр шулуунуудаар үүссэн параллельограмм болон өгөгдсөн 4 өнцөгтийн талбайн харьцааг ол.

Бодлого №2613

Параллелограммын периметр нь

$90$ см, хурц өнцөг нь

$60^\circ$ . Параллелограммын диагонал нь түүний мохоо өнцгийг

$1:3$ хэмжээтэй хуваах бол параллелограммын талуудыг ол.

Бодлого №2614

Параллелограммын хурц өнцөг

$45^\circ$ . Диагоналуудын огтолцлолын цэгээс тэнцүү биш талууд хүртэлх зай

$2$ ба

$3$ . Параллелограммын талбайг ол.

Бодлого №2757

Параллелограммын периметрийг их талд харьцуулсан харьцаа нь

$k$ ,

$k>2$ . Хэрэв их диагонал нь параллельограммын өнцгийг

$1:2$ харьцаанд хуваадаг бол параллельограммын өнцгүүдийг ол.

Бодлого №2760

Параллелограммын дотор

$6$ радустай

$2$ тойрог өгөгдөв. Эдгээр тойргууд нь тус бүрдээ параллелограммын

$1$ хажуу,

$2$ суурь ба нөгөө тойргоо шүргэнэ. Хэрэв хажуу талууд нь шүргэлтийн цэгээр

$9:4$ харьцаанд хуваагдах бол параллелограммын талбайг ол.

Бодлого №2761

$ABCD$ параллелограмын дотор

$CKD$ нь зөв гурвалжин байхаар

$K$ цэг сонгов.

$K$ цэгээс

$AD$ ,

$AB$ ,

$BC$ шулуун хүртэлх зайнууд нь харгалзан

$3$ ,

$6$ ба

$5$ байв. Параллелограммын периметрийг ол.

Бодлого №2762

$ABCD$ параллелограммын

$BCD$ өнцөг

$150^{\circ}$ ,

$AD$ суурь нь

$8$ .

$CD$ шулууныг шүргэж,

$AD$ хэрчмийг

$A$ цэг ба

$D$ оройгоос

$2$ зайд орших цэгээр огтлох тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2764

Параллелограммын талууд нь

$4$ см ба

$6$ см. Их талын дундажаас параллель тал нь

$45^{\circ}$ өнцгөөр харагдана. Параллелограммын талбайг ол.

Бодлого №2818

Параллелограммын

$B$ ба

$C$ өнцгүүдийн биссектрисүүд

$O$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв

$\angle A=2\arcsin\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ ,

$OA=2\sqrt{10}$ ,

$OD=5$ бол параллелограммын талбайг ол. (Бүх боломжит шийдийг ол).

ЭЕШ 2008 E1 №8

Параллелограммын хоёр талын урт 3 ба 7, нэг диагоналийн урт 9 бол нөгөө диагоналийн уртыг ол.

A.

$7$ B.

$9$ C.

$\sqrt{35}$ D.

$\sqrt{23}$ E.

$9.5$

ЭЕШ 2008 E №6

Параллелограммын хоёр талын урт

$3$ ба

$5$ , нэг диагоналийн урт

$7$ бол нөгөө диагоналийн уртыг ол.

A.

$19$ B.

$7$ C.

$7.5$ D.

$\sqrt{19}$ E.

$\sqrt{15}$

Параллелограмын талуудын урт

$O$ нь

$ABCD$ параллелограммын диагоналиудын огтлолцолын цэг байг. Параллелограммын периметр нь 12-той тэнцүү ба

$BOC$ ба

$COD$ гурвалжны периметрүүдийн ялгавар 2-той тэнцүү бол параллелограммын талуудын уртыг ол.

A. 2 ба 4 B. 5 ба 7 C. 4 ба 8 D. 3 ба 6 E. 1 ба 5

Параллелограммын чанар

Параллелограммын нэг диагоналийн урт 6, талуудынх нь квадратуудын нийлбэр нь 50 бол нөгөө диагоаналийн уртыг ол.

A.

$2$ B.

$4$ C.

$6$ D.

$8$ E.

$10$

Параллограммын талбай

Параллелограммын хагас периметр 15 см, диагоналиуд 9 см, 12 см бол талбай хэдэн см.кв вэ?

A.

$48$ B.

$50$ C.

$52$ D.

$54$ E.

$56$

Параллелограммын талбай

Параллелограммын хоёр диагоналийн нийлбэр

$5+\sqrt{97}$ см, талууд

$5$ см,

$6$ см бол талбай нь хэдэн см.кв вэ?

A.

$24$ B.

$26$ C.

$28$ D.

$30$ E.

$36$

Фалесийн теорем

$ABCD$ параллелограммын

$AB$ талын дундаж

$E$ ,

$AD$ талын дундаж

$F$ байжээ.

$DE$ ,

$CF$ хэрчмүүд

$M$ цэгт огтлолцсон бол

$DM:ME$ аль нь вэ?

A.

$\dfrac12$ B.

$\dfrac34$ C.

$\dfrac45$ D.

$\dfrac23$ E.

$\dfrac32$

Бодлого №7834

$ABCD$ параллелограммын

$AB$ , талын дундаж

$E$ ,

$AD$ талын дундаж

$F$ байжээ.

$CF$ ,

$DE$ хоёр хэрчмийн огтлолцол

$M$ бол

$S_{DMF}:S_{AED}$ аль нь вэ?

A.

$\frac12$ B.

$\frac15$ C.

$\frac13$ D.

$\frac25$

Бодлого №7847

50 м периметртэй параллелограммын нэг диагональ өндөр нь болох бөгөөд талуудын ялгавар 1 м байсан бол диагоналиуд нь аль вэ?

A. 4 м, 20 м B. 5 м,

$\sqrt{601}$ м C. 4 м,

$\sqrt{601}$ м D. 5 м, 20 м

Бодлого №7848

Параллелограммын нэг тал 12 см, диагоналиуд 10 см, 26 см бол талбай нь аль вэ?

A.

$130 \mbox{см}^2$ B.

$60 \mbox{см}^2$ C.

$120 \mbox{см}^2$ D.

$78 \mbox{см}^2$

Бодлого №7849

$ABCD$ параллелограммын

$AB$ талын үргэлжлэл дээр орших

$F$ цэг

$D$ орой хоёрыг дайрсан шулуун

$AC$ диагоналийг

$AE:EC=m:n$ байх

$E$ цэгт огтолжээ. Хэрэв

$AB=a$ бол

$BF$ -ийн урт аль нь вэ?

A.

$\frac{a(m+n)}{m-n}$ B.

$\frac{a(m-n)}m$ C.

$\frac{a(m-n)}{n}$ D.

$\frac{a(m-n)}{m+n}$

Бодлого №7850

$ABCD$ параллелограммын диагоналиудын огтлолцлын цэгээс

$BC$ талд буулгасан перпендикуляр

$BC$ талыг

$E$ ,

$AB$ талын үргэлжлэлийг

$F$ цэгт тус тус огтолжээ. Хэрэв

$AB=a$ ,

$BC=b$ ,

$BF=c$ бол

$BE$ хэрчмийн урт аль нь вэ? (

$A$ нь хурц өнцөг).

A.

$\frac{ac}b$ B.

$\frac{ac}{b+c}$ C.

$\frac{bc}{a+2c}$ D.

$\frac{bc}{a+c}$

Бодлого №7851

Параллелограммын нэг талд налсан хоёр өнцгийн биссектрис эсрэг тал дээр нь огтлолцсон бол өндрүүдийн харьцаа аль нь байх вэ?

A. 1:3 B. 3:5 C. 3:4 D. 1:2

Бодлого №7852

48 нэгж периметртэй параллелограммын өндрүүд 5:7 харьцаатай бол талуудын урт хэд хэд байх вэ?

A. 11, 13 B. 15, 9 C. 7, 17 D. 10, 14

Параллелограммын талбай

$P=14$ см байх параллелограммын нэг тал нь 4 см, нэг өнцөг нь

$120^\circ$ байв. Талбайг ол.

A.

$3\sqrt3$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$6\sqrt3$ E.

$7\sqrt3$

Параллелограммын талбай

Параллелограммын талууд нь

$3$ ,

$4$ ба мохоо өнцөг нь

$120^\circ$ бол талбайг нь ол.

A.

$6$ B.

$6\sqrt3$ C.

$-6\sqrt3$ D.

$3\sqrt3$ E.

$12$

Параллелограммын талбай

$P=14$ см байх параллелограммын нэг тал нь 3 см, нэг өнцөг нь

$60^\circ$ байв. Талбайг ол.

A.

$3\sqrt3$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$6\sqrt3$ E.

$7\sqrt3$

ЭЕШ 2008 A №58

Параллелограммын хоёр талын урт 2 ба 7, нэг диагоналийн урт 8 бол нөгөө диагоналийн уртыг ол.

A.

$8$ B.

$8.5$ C.

$\sqrt{42}$ D.

$10$ E.

$\sqrt{11}$

Параллелограммын талбай

$P=14$ см байх параллелограммын нэг тал нь

$4$ см, нэг өнцөг нь

$120^\circ$ байв. Талбайг ол.

A.

$3\sqrt3$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$6\sqrt3$ E.

$7\sqrt3$

ЭЕШ 2020, B31

$ABCD$ параллелограммын

$AB$ тал

$y=3x+1$ тэгшитгэлтэй,

$AD$ тал

$4y=x+15$ тэгшитгэлтэй.

$AC$ ба

$BD$ диагоналиуд нь

$E(6.5,7.5)$ цэгт огтлолцдог бол

$C$ цэгийн координатыг олоорой.

A.

$(8;10)$ B.

$(1;3)$ C.

$(6;8)$ D.

$(13;15)$ E.

$(12;11)$

ЭЕШ 2020, A31

$ABCD$ параллелограммын

$AB$ тал

$y=3x+1$ тэгшитгэлтэй,

$AD$ тал

$4y=x+15$ тэгшитгэлтэй.

$AC$ ба

$BD$ диагоналиуд нь

$E(6.5,7.5)$ цэгт огтлолцдог бол

$C$ цэгийн координатыг олоорой.

A.

$(13;17)$ B.

$(1;3)$ C.

$(6;8)$ D.

$(12;14)$ E.

$(8;10)$

Параллелограммын биссектрис

$ABCD$ нь

$AB=4$ ,

$AD=3$ байх параллелограмм байв. Мөн

$\cos\measuredangle BAD=\dfrac{1}{8}$ байжээ.

$\measuredangle BAD$ өнцгийн биссектрисс нь

$CD$ талыг

$L$ цэгээр,

$BC$ талын үргэлжлэлийг

$M$ цэгээр тус тус огтолдог байв.

$AM=\fbox{a}$ ,

$CML$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус

$\dfrac{\fbox{b}\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{de}}$ ба

$ADL$ гурвалжны талбай

$\dfrac{\fbox{fg}}{\fbox{hi}}\sqrt{7}$ болно.

$BD$ диагональ ба

$AL$ хэрчмийн огтлолцлын цэгийг

$O$ гэвэл

$\dfrac{BO}{DO}=\dfrac{\fbox{j}}{\fbox{k}}$ байна.

Бодлого №7940

$ABCD$ нь

$AB=5$ ,

$AD=3$ байх параллелограмм байв. Мөн

$\cos\widehat{BAD}=\dfrac{1}{8}$ байжээ.

$\measuredangle BAD$ өнцгийн биссектрисс нь

$CD$ талыг

$L$ цэгээр,

$BC$ талын үргэлжлэлийг

$M$ цэгээр тус тус огтолдог байв.

$AM=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\sqrt{7}$ ба

$ADL$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус

$\sqrt{7}\dfrac{\fbox{c}-\sqrt{7}}{\fbox{d}}$ ,

$CML$ гурвалжны талбай

$\dfrac{\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}}{4}$ болно.

$BD$ диагональ ба

$AL$ хэрчмийн огтлолцлын цэгийг

$O$ гэвэл

$\dfrac{BO}{DO}=\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ байна.

Бодлого №7945

$A$ оройтой өнцөгт тойрог багтсан ба уг тойрог дээр орших

$C$ цэгээс талуудтай параллель

$BC$ ,

$DC$ хэрчмийг татан

$ABCD$ параллелограмм үүсгэв. Дээрх хэрчмүүдийн тойрогтой огтлолцох цэгүүдийг харгалзан

$L$ ,

$M$ гэвэл

$\dfrac{CL}{BL}=8$ ,

$\dfrac{CM}{DM}=3$ ,

$AD=6$ ба

$AB>AD$ үед

$AB=\fbox{ab}$ байна. Хэрэв

$\cos\hat A=\dfrac{1}{4}$ бол өгсөн тойргийн радиус

$\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{e}}\sqrt{15}$ болно. Мөн

$S_{CLM}=\fbox{f}\sqrt{15}$ байна.

Бодлого №7946

$A$ оройтой өнцөгт тойрог багтсан ба уг тойрог дээр орших

$C$ цэгээс талуудтай параллель

$BC$ ,

$DC$ хэрчмийг татан

$ABCD$ параллелограмм үүсгэв. Дээрх хэрчмүүдийн тойрогтой огтлолцох цэгүүдийг харгалзан

$L$ ,

$M$ гэвэл

$\dfrac{CL}{BL}=\dfrac{5}{9}$ ,

$\dfrac{CM}{DM}=\dfrac{3}{4}$ ,

$AD=4$ ба

$AB>AD$ үед

$AB=\fbox{a}$ байна. Хэрэв

$\cos\hat A=\dfrac{1}{4}$ бол өгсөн тойргийн радиус

$\fbox{b}\sqrt{\fbox{cd}}$ болно. Мөн

$S_{CLM}=\fbox{ef}\sqrt{15}$ байна.

Параллелограммын мохоо өнцгийн биссектрис

$ABCD$ параллелограммын мохоо өнцөгтэй

$B$ оройгоос татсан биссектрис

$AD$ талыг

$F$ цэгт огтолно.

$AF:FD=4:3$ ба

$AB=12$ бол периметр нь

$\fbox{ab}$ байна. Хэрэв

$AB=BF$ бол талбай нь

$\fbox{cde}\sqrt3$ байна.

Бодлого №14255

$ABCD$ параллелограмын

$A$ оройгоос

$BC$ талд татсан

$AK$ өндөр 4 нэгж,

$DC$ талд татсан

$AN$ өндөр 4 нэгж ба

$KB$ хэрчмийн урт 3 нэгж бол

$AB$ талын урт $\fbox{a}$
Гурвалжин $S_{AKB}=\fbox{b}$
$S_{AKCD}=\fbox{cd}$
$\dfrac{S_{AKD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$

Бодлого №2586

$20$ талтай ромбо өгөгдөв. Хэрвээ ромбын нэг диагонал нь нөгөө диагоналаасаа

$\dfrac43$ дахин их бол ромбод багтсан дугуйн талбайг ол.

Бодлого №2589

$ABCD$ ромбо өгөгдөв.

$ABD$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус

$R$ . Энэ тойрог нь

$CBD$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг дайрна. Ромбын талбайг ол.

Бодлого №2590

Ромбын талууд багтсан дугуйн шүргэлтийн цэгүүдээр

$a$ ба

$b$ урттай хэрчмүүдэд хуваагджээ. Багтсан дугуйн талбайг ол.

Бодлого №2592

Ромбод багтсан дугуйн талбай нь ромбын талбайгаас 2 дахин бага бол ромбын өнцгүүдийг ол.

Бодлого №2599

Ромбын хурц өнцөг нь

$\alpha$ . Ромбод багтсан тойргийн талбай нь ромбын талбайн ямар хэсэгтэй тэнцэх вэ?

Бодлого №2600

Ромбын бага диагоналын урт, талын урт ба их диагоналын урт геометр прогресс үүсгэнэ. Ромбын өнцгүүдийг ол.

Бодлого №2604

Ромбын мохоо өнцөг нь хурц өнцгөөсөө

$5$ дөхин их. Тэгвэл ромбын тал нь ромбод багтсан тойргийн радиусаас хэд дахин их вэ?

Бодлого №2606

$ABCD$ ромбын

$A$ өнцөг нь

$\pi/3$ .

$N$ цэг

$AB$ талыг

$AN:NB=2:1$ харьцаагаар хуваана.

$DNC$ өнцгийн тангенсийг ол.

Бодлого №2609

$KLMN$ ромбын

$MN$ тал дээр

$C$ цэг оршино.

$CN=2$ см,

$\angle MNK=120^\circ$ ,

$CKN$ ба

$CLM$ өнцгүүдийн косинусын харьцааг ол.

Бодлого №2611

$Q$ талбайтай ромбод

$S$ талбайтай тойрог багтсан бол ромбын өнцгүүдийг ол.

Бодлого №2759

$ABCD$ ромбын

$B$ орой дахь мохоо өнцгөөс

$BM$ ба

$BN$ өндөр татав.

$BMDN$ дөрвөн өнцөгтөд 1 см радиустай тойрог багтах ба

$\angle ABC=2\arcctg2$ бол ромбын талыг ол.

Бодлого №2765

$ABCD$ ромбын

$AD$ талын үргэлжлэл дээр

$D$ цэгийн талд

$K$ оршино.

$AC$ ба

$BK$ шулуун

$Q$ цэгт огтлолцоно.

$AK=14$ ба

$A, B, Q$ цэгүүд

$AK$ хэрчмийн дундаж дээр төвтэй

$6$ радиустай тойрог дээр байрлах бол

$BK$ хэрчмийг ол.

ЭЕШ 2011 B №12

Ромбын диагоналиудын нийлбэрийг түүний периметрт харьцуулсан харьцаа

$1:\sqrt2$ -тай тэнцүү бол ромбын хурц өнцгийг ол.

A.

$\arccos\frac54$ B.

$\arcsin\frac{\sqrt5}{9}$ C.

$90^\circ$ D.

$\arcsin\frac34$ E.

$\arcsin\frac14$

Ромбын талын урт

Ромбын диагоналиуд

$6, 8$ урттай бол ромбын талын уртыг ол.

A.

$6$ B.

$\sqrt{14}$ C.

$7$ D.

$5$ E.

$10$

Ромбын өнцгүүд

Тал нь диагоналиудынхаа арифметик дундажаас

$\sqrt{1.5}$ дахин бага ромбын өнцгүүдийг ол.

A.

$45^\circ, 135^\circ$ B.

$72^\circ, 108^\circ$ C.

$30^\circ, 150^\circ$ D.

$60^\circ, 120^\circ$ E.

$54^\circ, 126^\circ$

Ромбын өнцгүүд

Тал нь диагоналиудынхаа геометр дундаж болдог ромбын өнцгүүдийг ол.

A.

$45^\circ, 135^\circ$ B.

$80^\circ, 100^\circ$ C.

$60^\circ, 120^\circ$ D.

$30^\circ, 150^\circ$ E.

$15^\circ, 165^\circ$

Бодлого №7839

Ромбын нэг талын дундаж, орой хоёрыг дайрсан шулуунаар периметрийн хуваагдсан хоёр хэсгийн нэг 15 см байжээ. Хэрэв ромбын нэг диагональ 12 см, эсвэл 14 см байсан гэвэл ямар диагональ, ямар талтай ромбо байж болох вэ?

A. 6, 12 B. 6, 14 C. 6, 10; 6, 14 D. 10, 12; 10, 14

Бодлого №7840

$r$ радиустай тойрог багтаасан

$a$ талтай ромбыг

$(r,a)$ гэж тэмдэглэв. Дараахь хосуудын аль нь тийм ромбо тодорхойлох вэ?

A. (4,9) B. (3,5) C. (5,8) D. (9,16)

Ромбын диагоналиуд

$Q$ талбайтай ромбын хоёр диагоналийн нийлбэр

$m$ бол талын урт ямар байх вэ?

A.

$\sqrt{Q-m^2}$ B.

$2\sqrt{Q+m^2}$ C.

$\dfrac12\sqrt{m^2-4Q}$ D.

$\dfrac12\sqrt{4Q-m^2}$ E.

$\sqrt{m^2-Q}$

Ромбын талын урт

Диагоналиуд нь

$m:n$ харьцаатай ромбын талбай

$Q$ бол тал нь аль вэ?

A.

$\sqrt{\dfrac{m^2+n^2}{2mn}Q}$ B.

$\dfrac12\sqrt{\dfrac{|m^2-n^2|}{mn}Q}$ C.

$\dfrac1m\sqrt{(m^2+n^2)Q}$ D.

$\sqrt{\dfrac{m^2+n^2}{mn}Q}$ E.

$\sqrt{Q}$

Ромбын талын урт

Ромбын диагоналиуд 24 ба 10 бол талын урт нь аль вэ?

A. 26 B. 17 C. 34 D. 13 E. 12

Ромбын өнцөг

Ромбын диагоналиудын үржвэр нь талын квадратаас

$\sqrt3$ дахин их бол өнцгүүд нь аль вэ?

A.

$15^\circ,\ 165^\circ$ B.

$30^\circ,\ 150^\circ$ C.

$45^\circ,\ 135^\circ$ D.

$60^\circ,\ 120^\circ$ E.

$75^\circ,\ 105^\circ$

Ромбын өнцөг

Ромбын диагоналиудын үржвэр нь талын квадратаас

$\sqrt2$ дахин их бол өнцгүүд нь аль вэ?

A.

$15^\circ,\ 165^\circ$ B.

$30^\circ,\ 150^\circ$ C.

$45^\circ,\ 135^\circ$ D.

$60^\circ,\ 120^\circ$ E.

$75^\circ,\ 105^\circ$

ЭЕШ 2016 C №4

Квадратын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь биелэхгүй вэ?

A. Диагональ нь оройн өнцгийн биссектрис болно B. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Диагоналиуд нь тэнцүү E. Дотоод өнцгүүдийн нийлбэр нь

$180^\circ$

ЭЕШ 2016 A №4

Аливаа ромбын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь биелэхгүй вэ?

A. Бүх талууд нь тэнцүү B. Бүх өнцгүүд нь тэнцүү C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Хөрш өнцгүүдийн нийлбэр

$180^\circ$ E. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр

ЭЕШ 2016 B №4

Аливаа параллелограммын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь биелэхгүй вэ?

A. Хөрш өнцгүүдийн нийлбэр

$180^\circ$ B. Дотоод өнцгүүдийн нийлбэр

$360^\circ$ C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Эсрэг өнцгүүд нь тэнцүү E. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр

Параллелограммын чанар

Аливаа параллелограммын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь заавал биелэх вэ?

A. Бүх талууд нь тэнцүү B. Бүх өнцгүүд нь тэнцүү C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Эсрэг өнцгүүдийн нийлбэр

$180^\circ$ E. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр

Ромбод багтсан тойргийн радиус

Ромбо дотор тойрог, тойрог дотор квадрат багтав. Хэрэв квадратын талбай ромбын талбайгаас 4 дахин бага бол ромбын бага өнцөг нь

$\fbox{ab}^\circ$ , их өнцөг нь

$\fbox{cde}^\circ$ байна.

Бодлого №13889

Ромбо дотор

$r$ радиустай тойрог, тойрог дотор квадрат багтав. Хэрэв квадратын талбай ромбын талбайгаас 4 дахин бага бол ромбын бага өнцөг нь

$\fbox{ab}^{\circ}$ (7 оноо) байна.

Адилт хажуут трапецийн өндөр

Адил хажуут трапецийн талбай

$S$ . Хажуу талуудын эсрэг орших, диагоналуудын хоорондох өнцөг

$\alpha$ бол трапецийн өндрийг ол.

Бодлого №2497

Адил хажуут трапецад

$r$ радиустай тойрог багтав. Бага суурийн урт нь өндрөөс хоёр дахин бага бол талбайг ол.

Бодлого №2498

$ABCD$ трапецийн

$AD$ суурьт налсан өнцгүүдийн нийлбэр

$90^\circ$ . Суурийн уртууд

$7$ ба

$3$ бол сууриудын дунджуудыг холбосон хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2499

Трапецийн сууриуд нь

$a$ ,

$b$ . Түүний диагоналиудын огтолцлыг дайрсан суурьтай параллель шулууны хажуу талуудтай огтолцход үүсэх хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2500

Суурийн өнцгүүд нь

$\alpha$ ,

$\beta$ байх трапец тойрогт багтав. Трапецийн талбайг тойргийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2501

Адил хажуут трапецийн периметр түүнд багтсан тойргийн уртаас хоёр дахин их. Трапецийн суурийн өнцгийг ол.

Бодлого №2502

$ABCD$ трапецийн

$AC, BD$ диагоналууд

$F$ цэгт огтлолцоно.

$C$ оройг дайруулан

$AD$ хажуутай параллель шулуун татахад

$BD$ талтай

$L$ цэгт огтлолцов.

$DF=BL$ бол

$AB:CD$ -г ол.

Бодлого №2503

$a$ ,

$b$ сууриудтай тэгш өнцөгт трапецад багтсан дугуйн талбайг ол.

Бодлого №2504

Тэгш өнцөгт трапецад багтсан тойргийн төвөөс түүний налуу хажуугийн төгсгөлүүд хүртэл

$1$ см ба

$2$ см зайтай. Трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2505

Трапецийн сууриуд

$6$ см ба

$11$ см, нэг хажуу нь

$4$ см. Хэрэв нэг суурьт нь налсан өнцгүүдийн нийлбэр нь

$\pi/2$ бол талбайг ол.

Бодлого №2506

$R$ радиустай тойрог багтаасан трапецийн их суурь дахь өнцгүүд

$\alpha, \beta$ нь хурц өнцгүүд байв. Трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2507

Адил хажуут трапецийн бага суурь нь өндөртэй тэнцүү

$h$ байв. Трапецийн хурц өнцөг нь

$\alpha$ бол периметрийг нь ол.

Бодлого №2508

Адил хажуут трапецийн сууриуд

$a$ ,

$b$ ба диагоналиуд перпендикуляр бол талбайг ол.

Бодлого №2509

Адил хажуут трапецийн хурц өнцөг нь

$\alpha$ ба периметр нь

$p$ . Трапецийн өндөр

$h$ бол талбайг нь ол.

Бодлого №2510

Тойрогт багтсан трапецийн нэг тал нь багтаасан тойргийн диаметр болж байв. Хэрэв мохоо өнцөг нь

$\alpha$ бол багтаасан дугуйн талбайг трапецийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2511

Адил хажуут

$ABCD$ трапецийн

$AB$ хажуу тал болон

$BC$ бага суурийн урт

$a=2$ см,

$BD$ нь

$AB$ -тэй перпиндикуляр байв. Трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2512

Адил хажуут трапецийн сууриуд нь 21 ба 9, өндөр нь 8 бол багтаасан тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2513

Адил хажуут трапецад 2 радиустай тойрог багтав. Хэрэв хажуу талуудын урт нь 10 бол талбайг нь ол.

Бодлого №2514

Хурц өнцөг нь

$30^\circ$ байх адил хажуут трапецад багтсан тойргийн радиус

$2$ см байв. Трапецийн дундаж шугамын уртыг ол.

Бодлого №2515

Трапецийн диагоналууд нь

$7$ см,

$8$ см, сууриуд нь

$3$ см,

$9$ см бол талбайг ол.

Бодлого №2516

Трапецийн сууриудын урт

$10$ ба

$24$ , хажуу талуудын урт

$13$ ба

$15$ бол түүний талбайг ол.

Бодлого №2517

Адил хажуут трапецийг багтаасан тойргийн радиус

$R$ , хажуу талыг их суурьт харьцуулсан харьцаа өгөгдсөн

$k$ тоотой тэнцүү бол бага суурийн уртыг ол.

Бодлого №2518

Адил хажуут трапецийн хажуу талын урт

$c$ , диагоналын урт нь

$l$ бөгөөд талбайг

$3:5$ харьцаанд хуваадаг. Трапецийн сууриудыг ол.

Бодлого №2519

Трапецийн

$AB$ ,

$CD$ хажуу талуудын үргэлжилж

$E$ цэгт огтлолцдог.

$O$ цэг нь

$ADE$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв. Хэрэв

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$O$ цэгүүд нэг тойрог дээр байрладаг бөгөөд уг тойргийн радиус нь багтаасан тойргийн радиусаас

$\sqrt3$ дахин бага бол трапецийн хурц өнцөг

$A$ -ийн хэмжээг ол.

Бодлого №2520

$4$ см,

$16$ см сууриудтай трапецад тойрог багтсан бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2521

Адил хажуут трапец тойрогт багтсан бөгөөд дундаж шугамын урт

$5$ , хурц өнцгийн синус нь

$0,8$ -тай тэнцүү. Трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2522

Трапецийн дунд шугам

$10$ -тай тэнцүү бөгөөд трапецийн талбайг

$3:5$ харьцаагаар хуваадаг. Трапецийн сууриудын уртыг ол.

Бодлого №2523

Трапецийн суурийн уртууд

$a$ ба

$b$

$(a>b)$ , их суурь ба хажуу талуудын хоорондох өнцөг

$\alpha$ ,

$\beta$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2524

$S=20$ см.кв талбайтай трапецад

$r=2$ см радиустай тойрог багтсан байв. Трапецийн талуудын уртыг ол.

Бодлого №2525

Тэгш өнцөгт трапецад багтсан тойргийн төв нь хажуу талын төгсгөлөөс

$4$ ба

$8$ см-ээр алслагдсан бол трапецийн дундаж шугамыг ол.

Бодлого №2526

$r=4$ радиустай тойрогт адил хажуут трапец багтсан ба трапецийн дундаж шугамын урт

$10$ см. Трапецийн хажуу талуудын уртыг ол.

Бодлого №2527

Тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн сууриуд нь

$8$ см ба

$2$ см. Багтсан тойргийн уртыг ол.

Бодлого №2528

Адил хажуут трапецийн дундаж шугам

$d$ . Харин диагоналиуд нь харилцан перпендиклер бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2529

$ABCD$ трапецийн

$AB$ хажуу талын урт

$4$ ,

$BAD$ -ийн өнцгийн биссектрис нь

$BC$ шулууныг

$E$ цэгт огтолно.

$ABE$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв

$O$ бөгөөд уг тойрог

$AB$ талыг

$M$ ,

$BE$ талын

$N$ цэгт шүргэнэ.

$MN=2$ бол

$MNO$ өнцгийн хэмжээг ол.

Бодлого №2530

Хэрэв багтаасан адил хажуут трапецийн периметр

$2$ см, хурц өнцөг нь

$30^\circ$ бол уг трапецад багтсан тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2531

Трапецийн параллель талууд

$25$ ба

$4$ -тэй тэнцүү. Параллель биш талууд нь

$20$ ба

$13$ бол трапецийн өндрийг ол.

Бодлого №2532

Адил хажуут трапецийн диогналиуд нь харилцан перпендикуляр, өндөр нь

$10$ бол талбайг ол.

Бодлого №2533

Тэгш өнцөгт трапецийн талбай нь

$S$ . Хурц өнцөг нь

$\alpha$ . Хэрэв бага диагонал нь их, суурьтайгаа тэнцүү бол өндрийг ол.

Бодлого №2534

$2$ см радиустай тойргийг

$20$ см.кв талбайтай адил хажуут трапец багтаасан бол трапецийн талуудыг ол.

Бодлого №2535

Трапецийн сууриуд

$4$ см ба

$10$ см, нэг хажуу тал нь бага суурьтайгаа

$150^\circ$ -ын өнцөг үүсгэнэ. Трапецийн талбай

$S=21$ см.кв бол уг хажуу талыг ол.

Бодлого №2536

Тэгш өнцөгт трапецийн их диагонал нь

$24$ ба хурц өнцгийн биссектрис болно. Хэрэв мохоо өнцгийн оройгоос диагонал хүртэлх зай

$9$ см бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2537

Тэгш өнцөгт трапецын дундаж шугам

$13,5$ . Бага диагонал нь мохоо өнцөгийн биссектрис бөгөөд урт нь

$12$ бол трапецын талуудыг ол.

Бодлого №2538

Адил хажуут трапецийн диагонал

$5$ , талбай

$S=12$ см.кв бол өндрийг ол.

Бодлого №2539

$ABCD$ трапецийн сууриуд

$BC, AD$ ба

$\angle ACD=\angle ABC$ -тэй тэнцүү.

$BC=12$ ,

$AD=27$ бол

$AC$ -г ол.

Бодлого №2540

Трапецийн сууриуд нь 15 ба 5 см, хажуу талууд нь 8 ба 6 см бол талбайг ол.

Бодлого №2541

Тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн 2 диагонал

$AD$ суурьтай тэнцүү. Суурийн өнцгийг ол.

Бодлого №2542

$32$ см.кв талбайтай

$ABCD$ трапецийн

$AD$ ба

$BC$ сууриудын харьцаа

$5:1$ .

$M$ ба

$N$ нь харгалзан

$AB$ ,

$CD$ хажуу талуудын дундаж цэгүүд.

$AN$ ба

$DM$ хэрчмүүд

$K$ цэгт,

$BN$ ба

$CM$ хэрчмүүд

$E$ цэгт огтлолцдог бол

$MENK$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2543

Трапецийн хажуу талуудын урт

$1$ ба

$15$ . Энэ трапецад тойрог багтааж болно. Дундаж шугам нь трапецыг талбайнуудынх нь харьцаа

$5/11$ -тай тэнцүү хэсгүүдэд хуваана. Сууриудын уртыг ол.

Бодлого №2544

Адил хажуут трапецийн дундаж шугам

$5$ см ба трапецийн талбайг

$7/13$ харьцаатай хэсгүүдэд харьцана. Хэрэв уг трапецад тойрог багтааж болох бол өндрийг ол.

Бодлого №2545

Адил хажуут трапецийн хажуу талын урт нь дундаж шугамтай тэнцүү, периметр нь

$48$ см бол хажуу талын уртыг ол.

Бодлого №2546

Тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн талбай

$32$ см.кв, суурийн өнцөг нь

$30^\circ$ бол хажуу талуудын уртыг ол.

Бодлого №2547

Адил хажуут трапецийн бага суурийн урт

$1$ -тэй тэнцүү ба түүнд багтсан тойргийн радиус

$1$ бол талбайг ол.

Бодлого №2548

Адил хажуут трапецийн хажуу талууд нь бага сууриас

$3$ дахин урт. Энэ трапецийн мохоо өнцгийн биссектрисүүд нь суурь дээр орших цэгээр огтлолцоно. Трапецийн талбай ба бага суурь ба дээрх биссектрисүүдээр үүсэх гурвалжны талбайн харьцааг ол.

Бодлого №2549

Адил хажуут трапецийн сууриуд

$BC=18$ ,

$AD=32$ ба уг трапецад тойрог багтдаг бол трапец ба багтсан дугуйн талбайг ол.

Бодлого №2550

$3$ радиустай тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн хурц өнцөг нь

$60^\circ$ бол трапецийн дундаж шугамыг ол.

Бодлого №2551

Трапецийн сууриудын уртын ялгавар

$14$ , хажуу талуудын урт

$13$ ба

$15$ . Энэ трапецад тойрог багтсан бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2552

Тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн талбай

$S$ , суурийн хурц өнцөг нь

$\alpha$ бол дундаж шугамыг ол.

Бодлого №2553

Багтаасан тойргийн төв нь трапецийн их суурь дээр оршдог бол

$12$ ба

$15$ см сууриудтай адил хажуут трапецийн хажуу тал ба диагоналыг ол.

Бодлого №2554

$15$ см диаметртэй тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн хажуу талууд нь

$17$ см бол сууриудыг ол.

Бодлого №2555

Адил хажуут трапецийн өндөр нь

$5$ , диагонал нь

$15$ бол талбайг ол.

Бодлого №2556

$6$ см радиустай тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн сууриудын харьцаа нь

$9:16$ . Трапецийн хажуу талыг ол.

Бодлого №2557

Тэгш өнцөгт трапецад багтсан тойргийн төв нь хажуу талын төгсгөлөөс

$8$ ба

$4$ см зайтай бол трапецийн дундаж шугамыг ол.

Бодлого №2558

$ABCD$ трапецийн

$AB$ хажуу тал дээр

$M$ цэг оршино.

$BD$ диагонал ба

$CM$ хэрчмийн огтлолцол

$O$ . Хэрэв

$AM=MB$ ,

$CD=4OM$ ба

$BOM$ гурвалжны талбай

$1$ бол

$COD$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2559

$AD$ ба

$BC$ суурьтай

$ABCD$ трапец

$6$ радиустай тойрогт багтав. Багтаасан тойргийн төв нь

$AD$ суурь дээр орших ба

$BC=4$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2560

$LM, KN$ сууриудтай

$KLMN$ трапец тойрогт багтсан ба тойргийн төв нь

$KN$ суурь дээр оршино.

$LN=4$ ,

$\angle MNK=60^\circ$ бол трапецийн

$LM$ суурийн уртыг ол.

Бодлого №2561

KN ба LM сууриудтай KLMN трапецууд тойрог багтсан. Тойргийн төв KN суурь дээр оршино. Трапецийн KM=4, KL=3 бол LM суурийн уртыг ол.

Бодлого №2562

Тэгш өнцөгт трапецад тойрог багтав. Сууриуд нь

$2$ ба

$3$ бол тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2563

Трапецийн сууриуд

$3$ см ба

$4$ см.

$6$ см урттай диагонал нь нэг өнцгийнхөө биссектрис болно. Энэ трапец адил хажуут байж болох уу?

Бодлого №2564

Адил хажуут трапецийн диагонал нь

$8$ см урттай ба нэг өнцгийнхөө биссектрис болно. Хэрэв нэг суурийн урт нь

$5$ бол нөгөөгийх нь урт

$4$ -өөс бага байж болох уу?

Бодлого №2565

Трапецийн дундаж шугамын урт

$20$ ба түүгээр трапецийн талбай

$3:5$ харьцаатай хэсгүүдэд хуваагдана. Сууриудыг ол.

Бодлого №2566

Трапецийн диагоналуудын огтлолцлын цэгийг дайруулан суурьтай параллель шулуун татахад тэр нь хажуу талуудыг

$E$ ба

$F$ цэгүүдээр огтолно.

$EF=2$ ба трапецийн сууриудын харьцаа

$4$ -тэй тэнцүү бол сууриудыг ол.

Бодлого №2567

Трапецийн диогналиудын огтлолцлын цэг

$O$ -г дайруулан суурьтай нь параллель шулуун татав. Хэрэв дундаж шугамын урт

$4/3$ ба

$O$ цэг нь трапецийн диогналыг

$1:3$ харьцаанд хуваасан бол дээрх шулууны трапецийн хажуу талуудын хоорондох хэсгийн уртыг ол.

Бодлого №2568

Багтаасан адил хажуут трапецийн хажуу тал нь

$12$ см бол түүний периметрийг ол.

Бодлого №2569

$ABCD$ трапецийн өндөр нь

$7$ ,

$AD$ болон

$BC$ сууриудын урт нь

$8$ ба

$6$ .

$CD$ тал дээр орших

$E$ цэгээс

$BE$ рүү шулуун татахад

$BE$ шулуун нь

$AC$ диагоналыг

$AO:OC=3:2$ харьцаагаар

$O$ цэгээр огтолно.

$OEC$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2570

$ABCD$ трапецийн

$AD$ ,

$BC$ сууриудын урт харгалзан

$4$ ,

$3$ ба

$AB=CD$ байв.

$M$ ба

$N$ цэгүүд

$BD$ диагоналд харъяалагдах ба

$M$ нь

$B$ ,

$N$ -ийн хооронд оршино. Түүнчлэн

$AM$ ба

$CN$ хэрчмүүд перпендикуляр ба

$BM:DN=2/3$ бол

$CN$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2571

Адил хажуут трапецид

$4$ радиустай тойрог багтжээ. Трапецийн хажуу тал

$9$ бол талбайг ол.

Бодлого №2572

$28$ см.кв талбайтай адил хажуут трапецид

$2$ см радиустай тойрог багтжээ. Трапецийн хажуу талыг ол.

Бодлого №2573

$20$ талбайтай адил хажуут трапеци

$2$ радиустай тойрог багтаажээ. Трапецийн хажуу талыг ол.

Бодлого №2574

Диагоналууд нь хоорондоо перпендикуляр трапецийн өндөр нь

$4$ . Хэрвээ нэг диагонал нь

$5$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2575

Адил хажуут трапеци тойрог багтаажээ.

$b/a=k$ ба

$a$ -бага суурь,

$b$ -хажуу тал бол трапецийн өнцгүүдийн болон

$k$ -ийн байж болох утгуудыг ол.

Бодлого №2577

Адил хажуут

$ABCD$ трапецийн бага суурь болох

$BC$ -ын дундаж цэг нь

$O$ нь

$A$ өнцгийн биссектрис болно.

$AD=15$ ба өндөр нь

$6$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2578

Адил хажуут трапецийн диагонал нь

$8$ ба нэг хажуу талтайгаа перпендикуляр. Хэрвээ их суурь нь

$10$ бол бага суурийг ол.

Бодлого №2579

Трапецийн их суурь 24 см, диагоналуудын дундаж цэгүүдийн хоорондох зай

$4$ см бол бага суурийг ол.

Бодлого №2580

$24$ см радиустай тойрог трапецийн их суурь ба хоёр хажууг шүргэдэг. Хэрэв хажуу талуудын үргэлжлэлийн огтлолцлын цэгээс уг тойргийн төв хүртэл

$40$ см бол трапецийн их суурийг ол.

Бодлого №2581

$ABCD$ трапецийн бага суурь

$BC=7$ см.

$A, C, D$ оройнуудыг дайрсан тойрог

$BC$ суурийн үргэлжлэлийг

$E$ цэг огтолно.

$ED=7\sqrt3$ ,

$\angle EDA=30^\circ$ бол

$AB$ хажуу талын уртыг ол.

Бодлого №2582

$ABCD$ тэгш өнцөгт трапец өгөгдөв.

$AD$ их суурь нь

$24$ ба хурц өнцгийн биссектрис болно. Мохоо өнцгийн оройн цэгээс диагонал хүртэлх зай нь

$9$ см бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2583

Адил хажуут трапецийн хурц өнцөг нь

$\alpha$ , бага суурь нь хажуу талтай тэнцүү

$a$ бол талбайг ол.

Бодлого №2584

Тэгш өнцөгт трапецийн талбай

$S\text{ см}^2$ . Хэрэв трапецийн хурц өнцөг нь

$\alpha$ бөгөөд бага диагонал нь их суурьтай тэнцүү бол трапецийн өндрийг ол.

Бодлого №2585

Адил хажуут трапецийн сууриуд нь

$12$ см ба

$20$ см. Багтаасан тойргийн төв нь трапецийн их суурь дээр оршино. Трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2593

$ABCD$ квадрат өгөгдөв.

$AB$ ,

$CD$ -гийн дундаж цэгүүд нь харгалзан

$E$ ,

$F$ ба

$ABCD$ квадратын тал нь

$a$ .

$K$ цэг

$CF$ хэрчим дээр,

$N$ цэг

$AD$ хэрчимд харъяалагдах бөгөөд

$EF$ ,

$KN$ хэрмчмүүд

$M$ цэгээр огтлолцоно. Хэрвээ

$CK:KF=1:5$ ба

$EMNA$ трапецийн талбай нь

$3/10$ бол

$KMF$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2667

$ABCD$ трапецийн

$AB$ талын дундаж

$E$ .

$ECD$ гурвалжны талбай нь

$ABCD$ трапецийн талбайн хагастай тэнцүү болохыг батал.

Бодлого №2670

$a$ ба

$b$ суурьтай адил хажуут трапец өгөгджээ. Хэрэв энэ трапецад тойрог багтдаг бол түүний диаметр

$\sqrt{ab}$ -тэй тэнцүү гэдгийг батал.

Бодлого №2671

Трапецийн гадна талд, түүний

$AB$ ба

$CD$ сууриуд дээр квадрат байгуулав. Тэдгээрийн төвийг холбож байгаа хэрчим трапецийн диагоналуудын огтлолцлын цэгийг дайрахыг батал.

Бодлого №2672

Трапецийн параллель талуудын нэг дээр

$A$ цэг нөгөө дээр

$B$ цэг авчээ.

$AB$ хэрчим трапецийн дундаж шугамаар таллан хуваагдахыг батал.

Бодлого №2727

$ABCD$ трапецийн

$AD$ суурийн урт нь

$a$ ба

$BC$ сууриас 2 дахин урт,

$\angle A=45^\circ$ . Хэрэв түүний хажуу талуудаар диаметрээ хийсэн тойргууд бие биенээ шүргэх бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2728

$ABCD$ трапецийн

$AB$ ,

$CD$ хажуу талуудын урт нь харгалзан

$8$ см ба

$10$ см,

$BC$ суурийн урт

$2$ см.

$ADC$ өнцгийн биссектрис

$AB$ талын дунджийг дайрах бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2729

Адил хажуут трапецад тойрог багтав. Уг тойргийн төвөөс трапецийн диагоналиудын огтолцлын цэг хүртэлх зайг тойргийн радиуст харьцуулсан харьцаа

$3:5$ . Трапецийн периметрийг багтсан тойргийн уртад харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2730

Хэрэв адил хажуут трапецийн өндөр нь

$h$ , түүнийг багтаасан тойргийн төвөөс хажуу талууд нь

$60^\circ$ өнцгөөр харагдах бол талбайг нь ол.

Бодлого №2731

$ABCD$ трапецийн

$\angle BAD=90^\circ$ ,

$\angle ADC=30^\circ$ .

$AD$ хэрчим дээр төвтэй тойрог

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ талуудыг шүргэнэ. Хэрэв энэ тойргийн радиус

$R$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2732

Адил хажуут

$ABCD$ трапецийн диагонал нь хажуу талдаа перпендикуляр, их суурь нь

$a$ , бага суурь ба хажуу талын нийлбэр

$\dfrac{3a}{4}$ . Бага суурийг ол.

Бодлого №2733

Адил хажуут

$ABCD$ трапецийн

$AC$ диагонал

$CD$ хажууд перпендикуляр байв. Хэрэв

$AD=a$ ,

$AB^2+BC^2=\dfrac{11}{16}a^2$ бол

$BC$ -г ол.

Бодлого №2734

$ABCD$ трапецийн их суурь

$AD$ -ээр диаметрээ хийсэн тойрог

$CD$ шулууныг

$D$ цэгт шүргэх ба

$AB$ талыг

$L$ цэгээр огтлох ба

$AB=\dfrac{4}{\sqrt3}AL$ байв. Тойргийн радиус

$R$ ,

$\angle CAD=45^\circ$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2735

Трапецийн нэг диагонал нь дундаж шугамаа

$k$ харьцаанд хуваадаг. Дундаж шугамаар хуваагдсан хэсгүүдийн багынх нь талбай

$S$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2736

$ABCD$ трапецийн сууриуд нь

$AD$ ба

$BC$ .

$BAD$ өнцөгийн биссектрис

$CD$ талын дундаж

$M$ цэгийг дайрах ба

$AB=5$ ,

$AM=4$ бол

$BM$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2737

$M$ ба

$N$ цэгүүд нь

$ABCD$ трапецийн

$BC$ суурь ба

$CD$ хажуу дээр орших цэгүүд.

$AM$ ба

$BN$ шулуунууд

$K$ цэгт огтлолцох ба

$AK=3KM$ ,

$KN=2BK$ байв.

$CN:ND$ -г ол.

Бодлого №2738

$ABCD$ трапецийн

$AD$ ба

$BC$ сууриуд нь

$9$ ба

$3$ .

$AB$ талын дундаж

$E$ ,

$CD$ талын дундаж

$F$ . Трапецийн

$EF$ дундаж шугам

$BAD$ өнцөгийн биссектриcтэй

$P$ цэгт,

$ADC$ өнцөгийн биссектристэй

$Q$ цэгт огтлолцоно.

$EQ$ ,

$PQ$ ба

$PF$ хэрчмүүд ижил урттай бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2739

Трапецийн

$2$ суурийн уртуудын нийлбэр

$9$ , харин диагоналууд нь

$5$ ба

$34$ . Их суурьд налсан өнцгүүд нь хурц бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2740

Трапецийн диагоналын уртууд нь

$2\sqrt{61}$ ба

$3\sqrt{41}$ , суурийн уртууд

$10$ ба

$15$ байв. Трапецийн талбайг ол. Энэ трапецид тойрог багтааж болох уу? Энэ трапецийг тойрогт багтааж болох уу?

Бодлого №2741

$ABCD$ трапецийн

$AB$ суурь нь

$CD$ суурь ба

$AD$ талаас 2 дахин урт.

$AC$ диагоналын урт

$a$ ,

$BC$ талын урт

$b$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2742

Трапецийн параллель талуудын квадратуудын нийлбэр

$288$ . Эдгээр талуудтай параллель трапецийн талбайг хагаслан хуваах хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2743

Адил хажуут

$ABCD$ трапецийн

$AD$ суурийн урт

$14$ ба

$BC$ суурийн урт

$2$ .

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ талуудыг шүргэх тойрог нь хажуу талуудыг шүргэлтийн цэгээр

$1:9$ харьцаанд хуваах бол уг тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2744

$\angle D=90^{\circ}$ ,

$BC\parallel AD$ байх

$ABCD$ тэгш өнцөгт трапецийн

$BD$ диагонал дээр

$BQ:QD=1:3$ байхаар

$Q$ цэг авав.

$Q$ цэгт төвтэй тойрог нь

$AD$ шулууныг шүргэж,

$BC$ шулууныг

$P$ ба

$M$ цэгээр огтолно. Хэрэв

$BC=9$ ,

$AD=8$ ,

$PM=4$ бол

$AB$ талын уртыг ол.

Бодлого №2745

Адил хажуут биш трапецийн

$12$ см урттай тал нэг суурьтайгаа

$60^\circ$ өнцөг үүсэгдэг. Трапецийн суурийн урт

$16$ см ба

$40$ см. Сууриудын дундаж цэгүүдийг холбосон хэрчмийн уртыг ол. < p>< /p>Бодолтыг харах

Бодлого №2746

$AD$ ба

$BC$ суурьтай

$ABCD$ трапецийн

$A$ оройг дайруулан татсан шулуун

$BD$ диагоналыг

$BE:ED=1:2$ байх

$E$ цэгт,

$CD$ талыг

$CK:KD=1:4$ байх

$K$ цэгт огтолсон бол трапецийн сууриудын харьцааг ол.

Бодлого №2747

$AD$ ба

$BC$ суурьтай

$ABCD$ трапецийн

$AC$ ба

$BD$ диагоналууд

$E$ цэгт огтлолцоно.

$EBC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн

$E$ цэгт татсан шүргэгч шулуун

$AD$ талыг

$F$ цэгт огтолно.

$AF=a$ ,

$AD=b$ ба

$A$ цэг

$AF$ хэрчимд харъяалагдана гэвэл

$EF$ -ийг ол.

Бодлого №2748

$ABCD$ трапецийн сууриуд

$AD=4$ ,

$BC=1$ ба

$\angle A=\arcctg 2$ ,

$\angle D=\arcctg 4$ .

$E$ диагоналиудын огтлолцлын цэг бол

$CBE$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2749

$ABCD$ трапецийн

$AB$ тал нь

$BC$ суурьтай перпендикуляр.

$C, D$ цэгүүдийг дайрч

$AB$ шулууныг

$E$ цэгт шүргэх тойрог татав. Хэрэв

$AD=4$ ,

$BC=3$ бол

$E$ цэгээс

$CD$ шулуун хүртэлх зайг ол.

Бодлого №2750

$ABCD$ трапецийн талбай

$36$ см.кв.

$A$ оройг дайруулан

$BD$ диагоналыг

$K$ цэгт,

$BC$ суурийг

$L$ цэгт шүргэх тойрог татав. Хэрэв

$BK:KD=1:3$ ,

$BL:LC=2:1$ бол

$DKLC$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2751

$ABCD$ трапецийн

$AD$ ба

$BC$ сууриудын харьцаа

$2:1$ .

$AB$ хажуу тал дээр

$AK:KB=1:2$ байх

$K$ цэг,

$CD$ тал дээр

$CL:LD=1:2$ байх

$L$ цэг авав.

$KL$ хэрчим

$BD$ диагоналыг ямар харьцаагаар хуваах вэ?

Бодлого №2752

$AD$ ба

$BC$ суурьтай

$ABCD$ трапецийн

$A$ өнцгийн биссектрис

$CD$ талыг

$E$ цэгт огтолно. Хэрэв

$AD=2BC$ ,

$AD=AB$ ба трапецийн талбай

$18$ см.кв бол

$ABE$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2753

$ABCD$ трапецийн

$CD$ хажуу тал дээр

$E$ цэг авав.

$BD$ диагонал ба

$AE$ хэрчмийн огтлолцлын цэг

$O$ . Хэрэв

$DE:CE=1:2$ ,

$AO=2OE$ ба

$AOB$ гурвалжны талбай

$1$ бол

$DOE$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2754

$KLMN$ трапецийн

$KN$ суурь,

$KM$ диагонал ба

$KL$ талын уртууд

$a$ , харин

$LN$ диагоналын урт

$b$ байв.

$MN$ хажуу талыг ол.

Бодлого №2755

$ABCD$ трапецийн

$BD$ диагоналын урт

$m$ , харин

$AD$ хажуу талын урт

$n$ . Хэрэв

$C$ оройгоос гарсан суурь, диагонал, хажуу талын уртууд өөр хоорондоо тэнцүү бол

$CD$ суурийн уртыг ол.

Бодлого №2756

$AD$ ба

$BC$ суурьтай трапецийг багтаасан тойргийн радиус

$5$ см. Хэрэв багтаасан тойргийн төв

$AD$ суурь дээр байрлах ба

$BC=6$ см бол

$AC$ диагоналын уртыг ол.

Бодлого №2782

Тойрог багтааж болох тэгш өнцөгт трапецийн талбай нь 2 суурийнхаа үржвэртэй тэнцүү болохыг батал.

Бодлого №2783

Трапецийн диагоналуудын квадратуудын нийлбэр нь хажуу талуудын квадратуудын нийлбэр дээр сууриудын үржвэрийг 2 дахин нэмсэнтэй тэнцүү болохыг батал.

Бодлого №2793

Трапецийн нэг хажуу тал нь 2 суурьтайгаа перпендикуляр ба урт нь

$2a$ . Энэ талаар диаметрээ хийсэн тойрог нөгөө хажууг 3 хэсэгт хуваажээ. Энэ хэрчмүүд бага сууриас тооцоход

$1:2:2$ харьцаатай байв. Трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2794

$ABCD$ адил хажуут трапецийн

$AD$ суурийн өнцөг

$30^{\circ}$ ,

$AC$ диагонал нь

$BAD$ өнцгийн биссектрис.

$BCD$ өнцгийн биссектрис

$AD$ суурьтай

$M$ цэгт огтлолцох ба

$BM$ хэрчим

$AC$ диагоналтай

$N$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв

$ABCD$ трапецийн талбай

$(2+\sqrt{3})$ см.кв бол

$ANM$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2795

$ABCD$ тэгш өнцөгтийн

$C$ орой нь

$ABKM$ (

$BK\parallel AM$ ) адил хажуут трапецийн

$KM$ тал дээр байв.

$AM$ ба

$CD$ хэрчмүүд

$P$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв

$AB=2BC$ ,

$AP=3BK$ бол трапецийн өнцөг болон тэгш өнцөгтийн талбайг трапецийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2796

$MNPQ$ (

$MQ\parallel NP$ ) трапецийн

$NPM$ өнцөг нь

$NQM$ өнцгөөс 2 дахин их.

$NP=MP=\dfrac{13}{2}$ ,

$MQ=12$ бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2797

$ABCD$ (

$BC\parallel AD$ ) трапецийн

$A$ ба

$B$ өнцгийн биссектрисүүд

$O$ цэгт огтлолцов. Хэрэв

$\angle A=2\arccos\sqrt{\dfrac{5}{6}}$ ,

$OC=\sqrt{7}$ ,

$OD=3\sqrt{15}$ ,

$AD=5BC$ бол

$AB$ ба

$BC$ талуудын уртыг ол.

Сорилго №2, 2019-2020

$ABCD$ трапецийн талбай

$48$ ,

$AD$ болон

$BC$ сууриудын уртын харьцаа

$3:1$ .

$BC$ суурийн дундаж цэг

$N$ ,

$AD$ суурийн дундаж цэг

$M$ .

$AN$ ба

$BM$ нь

$E$ цэгт,

$DN$ ба

$CM$ нь

$K$ цэгт огтлолцдог бол

$ENKM$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

A.

$6$ B.

$7$ C.

$8$ D.

$9$ E.

$10$

ЭЕШ 2007 A1 №10

Тойрогт багтаж болох ба түүнийг багтааж болох трапецийн сууриуд 25 ба 9 бол түүний талбайг ол.

A.

$255$ B.

$256$ C.

$257$ D.

$258$ E.

$259$

ЭЕШ 2009 B1 №6

Адил хажуут трапецийн диагональ нь хурц өнцгөө таллан хуваадаг ба сууриудын харьцаа

$1:2$ бол хурц өнцөг нь хэдэн градус вэ?

A.

$75^\circ$ B.

$30^\circ$ C.

$72^\circ$ D.

$45^\circ$ E.

$60^\circ$

ЭЕШ 2012 A №20

Адил хажуут трапецийн сууриуд 8 ба 16 нэгж урттай бөгөөд диагональ нь суурийн өнцгөө таллан хуваадаг бол трапецийн талбайг ол.

A.

$48\sqrt3$ B.

$56\sqrt2$ C.

$72$ D.

$72\sqrt3$ E.

$80$

Бодлого №4702

$ABCD$ трапецийн

$AB, CD$ сууриудын урт харгалзан 4 ба 6 см бөгөөд диагоналиуд

$O$ цэгт огтолцоно. Хэрэв

$AOB$ гурвалжны талбай 4 см.кв бол

$AOD$ гурвалжны талбай ол.

A. олох боломжгүй B. 9 C. 4 D. 6 E. 8

Трапецийн дундаж шугамын урт

Трапецийн хоёр диагоналиуд хоорондоо перпендикуляр ба тэдгээрийн нэг нь 6 урттай ба нөгөө диагональ нь сууриудтай

$30^{\circ}$ өнцөг үүсгэх бол дундаж шугамын уртыг ол.

A.

$3$ B.

$3\sqrt3$ C.

$6$ D.

$6\sqrt2$ E.

$12$

Перпендикуляр диагоналиудтай трапец

Трапецийн сууриуд нь 1 ба 3, диагоналиуд нь перпендикуляр бол талбайн боломжит хамгийн их утгыг ол.

A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 E. 8

Бодлого №5025

Адил хажуут трапецийн их суурь нь бага сууриасаа 2 дахин урт бөгөөд суурийн өнцөг нь

$60^\circ$ бол диагоналиудын хооронд үүсэх хурц өнцгийг ол.

A.

$30^\circ$ B.

$36^\circ$ C.

$45^\circ$ D.

$60^\circ$ E.

$72^\circ$

Трапецийн талбай

$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны

$AB$ катеттай параллел шулуун татахад уг шулуун нөгөө нөгөө катет болон

$BC$ гипотенузыг харгалзан

$E$ ,

$F$ цэгүүдэд огтлов.

$AEFB$ трапецад 1 радиустай тойрог багтах ба

$B$ оройгоос татсан шүргэгчийн урт

$2$ байсан бол трапецийн талбайг ол.

A.

$4$ B.

$4.5$ C.

$5$ D.

$6$ E.

$3.5$

Трапецийн талбай

$ABC$ нь тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжин болно. Хэрэв

$DE=3$ ба

$AB=5$ бол

$ABED$ трапецийн талбайг ол.

A.

$2$ B.

$4$ C.

$6$ D.

$16$ E.

$8$

Бодлого №7819

$ABCD$ трапецийн

$A,B,C$ гурван орой

$D$ төвтэй тойрог дээр орших бөгөөд

$AD^2=AB\cdot BC$ байсан бол

$\measuredangle ABC$ өнцөг аль нь вэ? үүнд:

$AB\ne BC$ гэж бод.

A.

$60^\circ,$ B.

$72^\circ$ C.

$108^\circ$ D.

$120^\circ$

Зургаас хариуг олох

Трапецийн хажуу талууд 1 см, 5 см, нэг суурь 4 см бол нөгөө суурийн бүхэл утга хэдэн см байж болох вэ?

A.

$9$ B.

$8$ C.

$7$ D.

$6$ E.

$5$

Бодлого №7824

Трапецийн талууд 2, 3, 4, 5 нэгж бол суурь болж чадах хос нь аль вэ?

A.

$(3,5)$ B.

$(4,5)$ C.

$(2,5)$ D.

$(3,4)$

Бодлого №7825

Тойрогт багтсан трапецийн хажуу тал бага суурьтай тэнцүү бөгөөд их суурь дахь өнцөг

$51^\circ20'$ бол хоёр хажуу болон бага суурьт тулсан нум хэдэн градус вэ?

A.

$77^\circ$ B.

$304^\circ$ C.

$154^\circ$ D.

$231^\circ$

Бодлого №7827

$R$ радиустай тойрогт багтсан

$ABCD$ трапецийн диагоналиудын огтлолцол

$M$ , түүнээс богино

$BC$ суурь хүртэлх зай

$a$ ,

$\measuredangle AMB=60^\circ$ бол богино

$BC$ нумын дунджаас

$BC$ суурь хүртэлх зай аль нь вэ?

A.

$R-\sqrt{R^2-4a^2}$ B.

$R-\sqrt{R^2-3a^2}$ C.

$R+a-\sqrt{R^2-4a^2}$ D.

$a-\sqrt{R^2-4a^2}$

Бодлого №7843

$ABCD$ трапецийн сууриуд

$BC$ ,

$AD$ . Хэрэв

$AB=3$ ,

$BC=4$ ,

$CD=5$ ,

$DA=8$ байхад

$A,B$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисүүд

$P$ цэгт,

$C$ ,

$D$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисүүд

$Q$ цэгт огтлолцсон бол

$PQ$ зай ямар байх вэ?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Бодлого №7844

$ABCD$ трапецийн

$AD$ суурь 8 нэгж, хажуу тал

$AB=3$ нэгж урттай бол

$D$ оройгоос

$B$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн

$AD$ суурьтай огтлолцсон цэг хүртэлх зай аль нь вэ?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Тойрог багтаасан тэгш өнцөгт трапец

$a,b$ сууриудтай тэгш өнцөгт трапецэд багтсан тойргийн радиусын урт аль нь вэ?

A.

$\dfrac{ab}{a+b}$ B.

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}$ C.

$\dfrac{a^2+ab+b^2}{a+b}$ D.

$\dfrac{a^3-b^3}{(a+b)^2}$ E.

$\dfrac{a^3+b^3}{(a+b)^2}$

Бодлого №7846

30 дм радиустай тойрог багтаасан тэгш өнцөгт трапецийн хажуу тал

$\dfrac{82}3$ м бол сууриудын урт аль нь вэ?

A.

$\dfrac{10}3$ м, 40 м B. 10 м, 30 м C.

$\dfrac{10}3$ м, 30 м D. 20 м, 40 м E. 30 м, 40 м

Бодлого №7853

Адил хажуут трапецийн сууриуд 36 см, 1 м бол түүнд багтсан тойргийн радиусын урт хэд вэ?

A. 16 дм B. 36 см C. 3 дм D. 0.16 м

Бодлого №7854

12 см радиустай тойрог багтаасан адил хажуут трапецийн хажуу тал 2.5 дм бол сууриудын урт хэд хэд вэ?

A. 18 см, 32 дм B. 9 см, 16 см C. 1.8 дм, 32 см D. 12 см, 24 см

ЭЕШ 2015 D №29

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецын диагоналиудын огтлолцлын цэг

$O$ байг.

$BO=4$ ,

$OD=8$ ба

$AB=10$ бол трапецын дундаж шугамын уртыг ол.

A.

$7.5$ B.

$20$ C.

$30$ D.

$15$ E.

$25$

ЭЕШ 2015 A №29

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецын диагоналиудын огтлолцлын цэг

$O$ байг.

$BO=4$ ,

$OD=8$ ба

$AB=20$ бол трапецын дундаж шугамын уртыг ол.

A. 40 B. 20 C. 30 D. 15 E. 25

Трапецийн өндөр

Трапецийн сууриудын урт нь

$3$ ба

$10$ нэгж, хоёр хажуу нь

$6$ ба

$8$ нэгж байсан бол трапецийн өндрийг ол.

A.

$\dfrac32\sqrt{15}$ B.

$5$ C.

$\dfrac{48}{7}$ D.

$\sqrt{15}$ E.

$\dfrac34\sqrt{15}$

ЭЕШ 2007 A №23

Тойрогт багтаж болох ба тойргийг багтааж болох трапецийн сууриуд

$9$ ба

$16$ бол түүний талбайг ол.

A. 140 B. 150 C. 160 D. 170 E. 180

ЭЕШ 2015 B №29

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецын диагоналиудын огтлолцлын цэг

$O$ байг.

$BO=4$ ,

$OD=10$ ба

$AB=20$ бол трапецын дундаж шугамын уртыг ол.

A.

$35$ B.

$50$ C.

$30$ D.

$15$ E.

$25$

ЭЕШ 2015 C №29

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецын диагоналиудын огтлолцлын цэг

$O$ байг.

$BO=4$ ,

$OD=6$ ба

$AB=20$ бол трапецын дундаж шугамын уртыг ол.

A.

$40$ B.

$20$ C.

$30$ D.

$15$ E.

$25$

ЭЕШ 2012 B №20

Адил хажуут трапецийн сууриуд 8 ба 4 нэгж урттай бөгөөд диагональ нь суурийн өнцгөө тааллан хуваадаг бол трапецийн талбай хэдэн кв.нэгж байх вэ?

A.

$12\sqrt5$ B.

$15\sqrt3$ C.

$12$ D.

$12\sqrt3$ E.

$14$

ЭЕШ 2013 A №16

$\angle BAD=90^\circ$ байх тэгш өнцөгт трапецид багтсан тойрог

$CD$ хажуу талыг

$E$ цэгээр шүргэх бөгөөд

$|CE|=4, |DE|=7$ бол тойргийн радиусыг ол.

A.

$3\sqrt3$ B.

$3\sqrt2$ C.

$6$ D.

$4\sqrt7$ E.

$2\sqrt7$

Тэгш өнцөгт трапецийн талбай

Тэгш өнцөгт трапецийн бага суурийн урт

$\sqrt2$ , налуу хажуу ирмэг нь их суурьтай

$45^\circ$ өнцөг үүсгэх бөгөөд 4 нэгж урттай байв. Трапецийн талбайг ол.

A.

$4$ B.

$8$ C.

$12$ D.

$16$ E.

$20$

Трапецийн диагоналийн урт

Адил хажуут

$ABCD$ (

$AB=CD$ ) трапецийн периметр

$50$ ,

$BC=9$ ,

$AD=21$ байв.

$AC$ диагоналын уртыг ол.

A.

$13$ B.

$14$ C.

$15$ D.

$16$ E.

$17$

Трапец ба гурвалжны тэнцэтгэл биш

Трапецийн талууд 4, 6, 8, 10 нэгж урттай бол сууриудын урт нь аль нь вэ?

A.

$(4,6)$ B.

$(4,8)$ C.

$(4,10)$ D.

$(6,8)$ E.

$(6,10)$

Тэгш өнцөгт трапецын периметр

Тэгш өнцөгт трапецын периметрийг ол.

A.

$12$ B.

$12+3\sqrt2$ C.

$9+3\sqrt2$ D.

$12+2\sqrt3$ E.

$15$

Трапецийн талбай

Трапецийн сууриуд нь 4 см болон 18 см-тай тэнцүү, хажуу талууд нь 13 ба 15 см урттай бол трапецийн талбайг ол.

A.

$84$ B.

$168$ C.

$132$ D.

$139$ E.

$100$

Трапецийн талбай

$AD\parallel BC$ байх трапецийн

$AB=5$ ,

$BC=9$ ,

$BD=7$ ,

$AD=3$ байв. Трапецийн талбайг ол.

A.

$20$ B.

$10\sqrt{2}$ C.

$15$ D.

$30\sqrt{3}$ E.

$15\sqrt{3}$

ЭЕШ 2020, B23

$AD$ ,

$BC$ суурьтай

$ABCD$ трапецийн

$A$ ба

$B$ оройн биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг

$K$ байв.

$ABK$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус

$R=5$ бол

$AB$ талын уртыг ол.

A.

$10$ B.

$2\sqrt{5}$ C.

$5$ D.

$25$ E.

$20$

ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №23

$AD$ ,

$BC$ суурьтай

$ABCD$ трапецийн

$A$ ба

$B$ оройн биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг

$K$ байв.

$AB$ талын урт

$20$ бол

$ABK$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.

A.

$10$ B.

$2\sqrt{5}$ C.

$5$ D.

$25$ E.

$20$

ЭЕШ сорилго 2021 №1, Бодлого №31

Трапецийн сууриуд

$2$ ,

$4$ ба диагоналиуд перпендикуляр бол талбай нь хамгийн ихдээ хэд байх вэ?

A. 3 B. 9 C. 10 D. 8 E. 5

ЭЕШ 2020, A23

$AD$ ,

$BC$ суурьтай

$ABCD$ трапецийн

$A$ ба

$B$ оройн биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг

$K$ байв.

$ABK$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус

$R=3$ бол

$AB$ талын уртыг ол.

A.

$3$ B.

$2\sqrt{3}$ C.

$6$ D.

$9$ E.

$12$

Бодлого №7935

$ABCD$ трапецийн

$AB$ ,

$CD$ хажуу талууд дээр харгалзан

$E$ ,

$F$ цэгүүдийг

$EF\parallel AD$ байхаар авсан ба

$AD=4$ ,

$BC=2$ байв.

$\dfrac{BE}{EA}=3$ бол

$EF=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болох ба

$EF$ хэрчим трапецийн талбайг хагаслан хуваах үед

$EF=\sqrt{\fbox{cd}}$ байна. Сүүлийн тохиолдолд трапецийн өндөр 1 бол

$S_{APD}=\fbox{e}$ болно. Энд

$P$ нь

$AB$ ,

$CD$ шулуунуудын огтлолцлын цэг юм.

Бодлого №7936

$ABCD$ трапецийн

$AB$ ,

$CD$ хажуу талууд дээр харгалзан

$E$ ,

$F$ цэгүүдийг

$EF\|AD$ байхаар авсан ба

$AD=4$ ,

$BC=2$ байв.

$EF$ хэрчим трапецийн диагоналиудын огтлолцлын цэгийг дайрдаг бол

$EF=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болох ба

$EF$ хэрчим трапецийн талбайг хагаслан хуваах үед

$EF=\sqrt{\fbox{cd}}$ байна. Сүүлийн тохиолдолд трапецийн өндөр 1 бол

$S_{APD}=\fbox{e}$ болно. Энд

$P$ нь

$AB$ ,

$CD$ шулуунуудын огтлолцлын цэг юм.

Бодлого №7967

$ABCD$ трапецийн хувьд

$AD$ ,

$BC$ талууд параллель ба

$|AB|=7$ ,

$|BC|=9$ ,

$|CD|=8$ ,

$|AD|=4$ байв. Трапецийн

$A$ оройгоос

$BC$ тал дээр буулгасан өндрийн урт

$\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ болох тул талбай нь

$\fbox{cd}\sqrt{\fbox{e}}$ байна.

ЭЕШ 2015 D №37

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецын талууд

$AB=27$ ,

$BC=20$ ,

$CD=2$ ба

$DA=15$ байг.

Трапецын дундаж шугамын урт $\dfrac{\fbox{ab}}{2}$ ;
Трапецын өндөр $\fbox{cd}$ ;
Трапецын талбай $\fbox{efg}$ .

ЭЕШ 2015 A №37

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецийн талууд

$AB=30$ ,

$BC=20$ ,

$CD=5$ ба

$DA=15$ байг.

Трапецийн дундаж шугамын урт $\dfrac{\fbox{ab}}{2}$
Трапецийн өндөр $\fbox{cd}$
Трапецийн талбай $\fbox{efg}$

ЭЕШ 2015 B №37

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецын талууд

$AB=29$ ,

$BC=20$ ,

$CD=4$ ба

$DA=15$ байг.

Трапецын дундаж шугамын урт $\dfrac{\fbox{ab}}{2}$ /2 оноо/;
Трапецын өндөр $\fbox{cd}$ /3 оноо/;
Трапецын талбай $\fbox{efg}$ /2 оноо/.

ЭЕШ 2015 C №37

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецын талууд

$AB=28$ ,

$BC=20$ ,

$CD=3$ ба

$DA=15$ байг.

Трапецын дундаж шугамын урт $\dfrac{\fbox{ab}}{2}$ /2 оноо/;
Трапецын өндөр $\fbox{cd}$ /3 оноо/;
Трапецын талбай $\fbox{efg}$ /2 оноо/.

Трапецийн диагоналуудаар үүсэх гурвалжнуудын талбай

$ABCD$ трапецийн сууриуд

$BC=2x$ ,

$AD=3x$ урттай бай трапецийн талбай

$S_{ABCD}=S$ -тэй тэнцүү. Хэрэв

$AD$ ,

$BC$ диагоналиуд

$M$ цэгт огтлолцох бол

$S_{ADM}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}S$
$S_{BCM}=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{bc}}S$
$S_{ABM}=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{bc}}S$

Трапец

Трапецийн сууриуд

$8$ ба

$16$ , хажуу талууд нь

$6$ ,

$10$ бол трапецийн өндөр

$\fbox{a}$ , дундаж шугам нь

$\fbox{bc}$ , талбай нь

$\fbox{de}$ байна.

ЭЕШ 2015 D №37

$AB$ ,

$CD$ суурьтай

$ABCD$ трапецын талууд

$AB=27$ ,

$BC=20$ ,

$CD=2$ ба

$DA=15$ байг.

Трапецын дундаж шугамын урт $\dfrac{\fbox{ab}}{2}$ ;
Трапецын өндөр $\fbox{cd}$ ;
Трапецын талбай $\fbox{efg}$ .

Бодлого №2503

$a$ ,

$b$ сууриудтай тэгш өнцөгт трапецад багтсан дугуйн талбайг ол.

Бодлого №2504

Тэгш өнцөгт трапецад багтсан тойргийн төвөөс түүний налуу хажуугийн төгсгөлүүд хүртэл

$1$ см ба

$2$ см зайтай. Трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2525

Тэгш өнцөгт трапецад багтсан тойргийн төв нь хажуу талын төгсгөлөөс

$4$ ба

$8$ см-ээр алслагдсан бол трапецийн дундаж шугамыг ол.

Бодлого №2533

Тэгш өнцөгт трапецийн талбай нь

$S$ . Хурц өнцөг нь

$\alpha$ . Хэрэв бага диагонал нь их, суурьтайгаа тэнцүү бол өндрийг ол.

Бодлого №2536

Тэгш өнцөгт трапецийн их диагонал нь

$24$ ба хурц өнцгийн биссектрис болно. Хэрэв мохоо өнцгийн оройгоос диагонал хүртэлх зай

$9$ см бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2537

Тэгш өнцөгт трапецын дундаж шугам

$13,5$ . Бага диагонал нь мохоо өнцөгийн биссектрис бөгөөд урт нь

$12$ бол трапецын талуудыг ол.

Бодлого №2557

Тэгш өнцөгт трапецад багтсан тойргийн төв нь хажуу талын төгсгөлөөс

$8$ ба

$4$ см зайтай бол трапецийн дундаж шугамыг ол.

Бодлого №2562

Тэгш өнцөгт трапецад тойрог багтав. Сууриуд нь

$2$ ба

$3$ бол тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2582

$ABCD$ тэгш өнцөгт трапец өгөгдөв.

$AD$ их суурь нь

$24$ ба хурц өнцгийн биссектрис болно. Мохоо өнцгийн оройн цэгээс диагонал хүртэлх зай нь

$9$ см бол трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2584

Тэгш өнцөгт трапецийн талбай

$S\text{ см}^2$ . Хэрэв трапецийн хурц өнцөг нь

$\alpha$ бөгөөд бага диагонал нь их суурьтай тэнцүү бол трапецийн өндрийг ол.

Бодлого №2587

$ABCD$ тэгш өнцөгтийн

$AB$ тал

$6$ ,

$BC$ тал

$8$ .

$AB$ ба

$BC$ талууд дээр

$MN$ нь

$AC$ -тэй параллель байхаар

$M, N$ цэгүүдийг авав.

$AMNCD$ олон өнцөгтийн периметрийг

$MBN$ гурвалжны периметрт харьцуулахад

$7/3$ гардаг бол

$MN$ хэрчмийн уртыг ол.

Бодлого №2588

$ABCD$ тэгш өнцөгт талууд

$AB=a$ ,

$AD=b$ .

$\angle AED=\angle CED$ байхаар

$AB$ тал дээр

$E$ цэгийг ол.

Бодлого №2597

Тэгш өнцөгтийн талууд

$a$ ба

$b$ .

$a$ урттай талаар диаметрээ хийсэн тойрог байгуулав. Уг тойрог тэгш өнцөгтийн диагоналыг ямар урттай хэрчмүүдэд хуваах вэ?

Бодлого №2607

$18$ см.кв талбайтай квадратад тэгш өнцөгт багтаажээ. Квадратын тал бүр дээр тэгш өнцөгтийн орой байрлана. Тэгш өнцөгтийн талуудын харьцаа нь

$1:2$ бол тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2608

$24$ см.кв талбайтай квадратад тэгш өнцөгт багтжээ. Квадратын тал бүр дээр тэгш өнцөгтийн орой байрлана. Тэгш өнцөгтийн талуудын харьцаа нь

$1:3$ бол тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2744

$\angle D=90^{\circ}$ ,

$BC\parallel AD$ байх

$ABCD$ тэгш өнцөгт трапецийн

$BD$ диагонал дээр

$BQ:QD=1:3$ байхаар

$Q$ цэг авав.

$Q$ цэгт төвтэй тойрог нь

$AD$ шулууныг шүргэж,

$BC$ шулууныг

$P$ ба

$M$ цэгээр огтолно. Хэрэв

$BC=9$ ,

$AD=8$ ,

$PM=4$ бол

$AB$ талын уртыг ол.

Бодлого №2763

$ABCD$ тэгш өнцөгтийн

$A$ ба

$B$ оройг тойрог дайрна. Тойргийн диаметр

$\sqrt {10}$ ,

$C$ оройгоос уг тойрогт татсан шүргэгчий урт

$3$ ба

$AB=1$ .

$BC$ -ийн боломжит бүх утгыг ол.

Бодлого №2782

Тойрог багтааж болох тэгш өнцөгт трапецийн талбай нь 2 суурийнхаа үржвэртэй тэнцүү болохыг батал.

Бодлого №2784

$ABCD$ тэгш өнцөгтийг багтаасан тойргийн радиус

$R$ бол тойргийн дээрх дурын

$M$ цэгийн хувьд

$MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=8R^2$ болохыг батал.

Бодлого №2795

$ABCD$ тэгш өнцөгтийн

$C$ орой нь

$ABKM$ (

$BK\parallel AM$ ) адил хажуут трапецийн

$KM$ тал дээр байв.

$AM$ ба

$CD$ хэрчмүүд

$P$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв

$AB=2BC$ ,

$AP=3BK$ бол трапецийн өнцөг болон тэгш өнцөгтийн талбайг трапецийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Трапецийн талбай

$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны

$AB$ катеттай параллел шулуун татахад уг шулуун нөгөө нөгөө катет болон

$BC$ гипотенузыг харгалзан

$E$ ,

$F$ цэгүүдэд огтлов.

$AEFB$ трапецад 1 радиустай тойрог багтах ба

$B$ оройгоос татсан шүргэгчийн урт

$2$ байсан бол трапецийн талбайг ол.

A.

$4$ B.

$4.5$ C.

$5$ D.

$6$ E.

$3.5$

Трапецийн талбай

$ABC$ нь тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжин болно. Хэрэв

$DE=3$ ба

$AB=5$ бол

$ABED$ трапецийн талбайг ол.

A.

$2$ B.

$4$ C.

$6$ D.

$16$ E.

$8$

Ижил өндөртэй тэгш өнцөгтүүд

Зурагт өгсөн

$CDEF$ тэгш өнцөгтийн талбай

$ABCF$ тэгш өнцөгтийнхөөс 2 дахин их байв. Хэрэв

$CD=2x+2$ бол

$AE=?$

A.

$2x+3$ B.

$2x+4$ C.

$4x+6$ D.

$3x+3$ E.

$3x+2$

Бодлого №7828

$ABCD$ тэгш өнцөгтийн богино тал

$AB=10$ см, диагоналиудын огтлолцлоос түүний харагдах өнцөг

$60^\circ$ бол урт

$BC$ талд тулсан (

$A$ цэгийн оршихгүй)

$BC$ нумын дунджаас

$B$ орой хүртэлх зай аль нь вэ?

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

Тойрог багтаасан тэгш өнцөгт трапец

$a,b$ сууриудтай тэгш өнцөгт трапецэд багтсан тойргийн радиусын урт аль нь вэ?

A.

$\dfrac{ab}{a+b}$ B.

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}$ C.

$\dfrac{a^2+ab+b^2}{a+b}$ D.

$\dfrac{a^3-b^3}{(a+b)^2}$ E.

$\dfrac{a^3+b^3}{(a+b)^2}$

Бодлого №7846

30 дм радиустай тойрог багтаасан тэгш өнцөгт трапецийн хажуу тал

$\dfrac{82}3$ м бол сууриудын урт аль нь вэ?

A.

$\dfrac{10}3$ м, 40 м B. 10 м, 30 м C.

$\dfrac{10}3$ м, 30 м D. 20 м, 40 м E. 30 м, 40 м

ЭЕШ 2013 A №16

$\angle BAD=90^\circ$ байх тэгш өнцөгт трапецид багтсан тойрог

$CD$ хажуу талыг

$E$ цэгээр шүргэх бөгөөд

$|CE|=4, |DE|=7$ бол тойргийн радиусыг ол.

A.

$3\sqrt3$ B.

$3\sqrt2$ C.

$6$ D.

$4\sqrt7$ E.

$2\sqrt7$

Тэгш өнцөгт трапецийн талбай

Тэгш өнцөгт трапецийн бага суурийн урт

$\sqrt2$ , налуу хажуу ирмэг нь их суурьтай

$45^\circ$ өнцөг үүсгэх бөгөөд 4 нэгж урттай байв. Трапецийн талбайг ол.

A.

$4$ B.

$8$ C.

$12$ D.

$16$ E.

$20$

Өнцөг олох

$ABCD$ тэгш өнцөгт,

$AB=AE=ED$ бол

$\angle COD=?$

A.

$\dfrac{\pi}{18}+\arctg\dfrac12$ B.

$45^\circ$ C.

$100^\circ$ D.

$\dfrac{\pi}{4}+\arctg\dfrac12$ E.

$60^\circ$

Тэгш өнцөгт трапецын периметр

Тэгш өнцөгт трапецын периметрийг ол.

A.

$12$ B.

$12+3\sqrt2$ C.

$9+3\sqrt2$ D.

$12+2\sqrt3$ E.

$15$

ЭЕШ 2016 D №4

Аливаа тэгш өнцөгтийн хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь биелэхгүй вэ?

A. Диагоналиуд нь огтлолцлын цэгээрээ хагаслан хуваагдана B. Диагоналиуд нь харилцан перпендикуляр C. Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель D. Диагоналиуд нь тэнцүү E. Дотоод өнцгүүдийн нийлбэр нь

$360^\circ$

Тэгш өнцөгтийн талбай

Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудаар талаа хийсэн тэгш өнцөгтийн талбай 36 бол катетуудын үржвэрийг ол.

A.

$18$ B.

$9$ C.

$6$ D.

$36$ E.

$12$

2018 №A.06

Тэгш өнцөгтийн урт, өргөний харьцаа

$3:2$ ба талбай нь

$150$ бол талуудыг ол.

A.

$50;3$ B.

$15;10$ C.

$75;2$ D.

$30;5$ E.

$30;20$

Бодлого №7949

$AB=10$ ,

$BC=8$ байх тэгш өнцөгтийн

$BC$ ,

$CD$ талууд дээр

$CE=5$ ,

$CF=4$ байх

$E,F$ цэгүүдийг тэмдэглээд

$EF$ хэрчим дээр

$Q$ цэг авч

$AB$ ,

$AD$ талууд дээр харгалзан

$QP$ ,

$QR$ перепендикулярууд буулгав.

$AP=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ үед

$APQR$ тэгш өнцөгтийн талбай

$\dfrac{\fbox{def}}{\fbox{gh}}$ гэсэн хамгийн их утгатай болно.

$Q$ цэгээс

$BC$ ,

$DC$ талуудад буулгасан перепендикулярийн суурийг харгалзан

$R_1$ ,

$P_1$ гэвэл

$S_{APQR}+S_{QR_1CP_1}$ хамгийн их байх үед

$QR_1=\dfrac{\fbox{ij}}{\fbox{kl}}$ байна.

Бодлого №7950

$AB=12$ ,

$BC=9$ байх тэгш өнцөгтийн

$BC$ ,

$CD$ талууд дээр

$CE=6$ ,

$CF=4$ байх

$E,F$ цэгүүдийг тэмдэглээд

$EF$ хэрчим дээр

$Q$ цэг авч

$BC$ ,

$CD$ талууд дээр харгалзан

$QP$ ,

$QR$ перепендикулярууд буулгав.

$CP=\fbox{a}$ үед

$CPQR$ тэгш өнцөгтийн талбай хамгийн их утгаа авах ба энэ утга нь

$\fbox{b}$ болно.

$Q$ цэгээс

$AC$ ,

$AD$ талуудад буулгасан перепендикулярийн суурийг харгалзан

$P_1$ ,

$R_1$ гэвэл

$S_{AP_1QR_1}+S_{QRCP}$ хамгийн их байх үед

$P_1R_1=\dfrac{\fbox{c}\sqrt{\fbox{def}}}{\fbox{g}}$ байна.

Монгол Бодлогын Сан

Гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцгүүдийн нийлбэр

Гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр

Дөрвөн өнцөгт

Зөв олон өнцөгт

Квадрат

Олон өнцөгт

Олон өнцөгтийн периметр

Параллелограмм

Параллелограмм ба трапецийн талбай

Ромбо

Төсөөтэй дүрсүүдийн периметр ба талбайн харьцаа

Трапец

Тэгш өнцөгт

Монгол Бодлогын Сан