Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Иррационал тоо

$n$ зэргийн язгуур
Арифметик квадрат язгуур
Бутархайн хуваарь иррационалаас чөлөөлөх
Зэрэг, язгуур
Иррационал тоо
Үржвэр ба ноогдвороос квадрат язгуур гаргах
Язгуур гаргах
Язгуурын тэмдэг дороос үржигдэхүүн гаргах

$n$ зэргийн язгуур

$\sqrt{6}-\sqrt[3]3$ ба $1$-ийн аль нь их вэ?
$\sqrt[3]4+\sqrt2$ ба $3$-ийн аль нь их вэ?
$\sqrt[5]{\dfrac{1990}{1992}}$ ба $\sqrt[5]{\dfrac{1989}{1991}}$-ийн аль нь их вэ?
$\sqrt[3]{12+4\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{12-4\sqrt5}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $5$    
$\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\cdot\sqrt[3]{7+5\sqrt2}=?$

A. $0$     B. $1$     C. $2$     D. $-1$     E. $-2$    
$\sqrt[4]{9+\sqrt{65}}\cdot\sqrt[4]{9-\sqrt{65}}=?$

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $5$    
$\sqrt[3]{2+\sqrt 5}+\sqrt[3]{2-\sqrt 5}$ нь аль вэ?

A. $1$     B. $\sqrt 5$     C. $2$     D. $2\sqrt[3]{2}$     E. $4$    
$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ нь аль вэ?

A. $2\sqrt[3]{9}$     B. $3$     C. $1$     D. $\sqrt{80}$     E. $18$    
$\sqrt[4]{x^3\cdot\sqrt{x^{-4}\sqrt[3]{x^2}}}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $3$     B. $\dfrac{1}{3}$     C. $x^{\frac13}$     D. $x^2$     E. $x^{\frac12}$    
$\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}$ хялбарчил.

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. рационал биш    
$\sqrt[3]{\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^{-6}\cdot(2-\sqrt5)^3}+\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt5}{5}\right)^{-2}\cdot(2-\sqrt5)^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $9$     B. $1$     C. $4\sqrt5-9$     D. $9-4\sqrt5$     E. $-1$    
$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{8}}$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $-\dfrac{3}{2}$     B. $\dfrac{3}{2}$     C. $\pm\dfrac{3}{2}$     D. $-\dfrac{9}{4}$     E. Ийм илэрхийллэл тодорхойлогдохгүй    
$\sqrt[3]{\dfrac{250}{16}}$ утгыг ол.

A. $\dfrac{25}{4}$     B. $\dfrac{5}{2}$     C. $\dfrac{2}{5}$     D. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$     E. 5.2    

Арифметик квадрат язгуур

$(2\sqrt5+3\sqrt2)^2(\sqrt{20}-\sqrt{18})^2$ хялбарчил.

A. $2$     B. $3$     C. $4$     D. $5$     E. $6$    
$\left(\big(5\sqrt2+2\sqrt5\big)\cdot\big(\sqrt{50}-\sqrt{20}\big)\right)^2$ хялбарчил.

A. $1000$     B. $900$     C. $2500$     D. $400$     E. $625$    
$(\sqrt2-\sqrt3+\sqrt8)^2$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $21-6\sqrt6$     B. $15-6\sqrt6$     C. $\sqrt7$     D. $7$     E. $13$    
$\sqrt{54-36\sqrt{2}}+\sqrt{18}+\sqrt{\dfrac{248^2-152^2}{24}}$ илэрхийллийн утга аль нь вэ?

A. $34+6\sqrt2$     B. $46$     C. $34$     D. $46-6\sqrt{2}$     E. $46+6\sqrt2$    
$\sqrt{43-30\sqrt{2} } +\sqrt{\dfrac{518^{2} -482^{2}}{360}} +\sqrt{18} $ илэрхийллийн утга аль нь вэ?

A. $15$     B. $5+6\sqrt{2}$     C. $-5+6\sqrt{2}$     D. $5-6\sqrt{2}$     E. $10$    
$\sqrt{4.5}\times\sqrt{50}=?$

A. $15$     B. $25$     C. $5$     D. $45$     E. $225$    
$\sqrt{2011\times2012\times2013\times2014+1}$ илэрхийллийг дөт аргаар бод.

A. $2012^2+3\cdot 2012+1$     B. $2014^2+3\cdot 2014+1$     C. $2013^2+3\cdot 2013+1$     D. $2011^2+3\cdot 2011+1$     E. $2015^2+3\cdot 2015$    
$(\sqrt3-\sqrt5)^2+2\sqrt{15}+2$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $9$     B. $11$     C. $12$     D. $10$     E. $10.5$    
$\sqrt{365^2-364^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. 1     B. 27     C. 17     D. 145     E. 729    
$\sqrt{113^2-112^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $1$     B. $30$     C. $15$     D. $11$     E. $225$    
$\sqrt{2013\cdot 1999+49}=$

A. 2006     B. 2010     C. 2005     D. 2004     E. 2008    
$\sqrt{122.5}\times\sqrt{250}=?$

A. $75$     B. $125$     C. $150$     D. $225$     E. $175$    
$\dfrac{\sqrt{3-2\sqrt2}}{\sqrt{3+2\sqrt2}}\cdot\sqrt2$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $-\sqrt2$     B. $4+3\sqrt2$     C. $\dfrac{\sqrt2}2$     D. $2-3\sqrt2$     E. $3\sqrt2-4$    
$\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt2}}{\sqrt{3-2\sqrt2}}\cdot\sqrt2$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\sqrt2$     B. $4+3\sqrt2$     C. $\dfrac{\sqrt2}2$     D. $2-3\sqrt2$     E. $3\sqrt2-4$    
$A=\sqrt{36}-1$ бол $A=?$

A. 6     B. 4     C. 7     D. 35     E. 5    
$\sqrt{6^2}-\sqrt{(-6)^2}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. 12     B. 0     C. 36     D. 72     E. 17    
$\sqrt{57\cdot 63+9}=?$

A. 59     B. 60     C. 61     D. 62     E. 64    
$\sqrt{61\cdot 67+9}=?$

A. 59     B. 60     C. 61     D. 62     E. 64    
$C=9-\sqrt{25}$ бол $C=?$

A. $5$     B. $-4$     C. $2$     D. $3$     E. $4$    
$\sqrt{5^2}-\sqrt{(-5)^2}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. 5     B. 10     C. 0     D. 2     E. 1    
$\sqrt{5^2+12^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $12$     B. $5$     C. $14$     D. $13$     E. $17$    
$\sqrt{7^2+24^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $27$     B. $25$     C. $26$     D. $35$     E. $\sqrt{875}$    

Бутархайн хуваарь иррационалаас чөлөөлөх

Дараах бутархайг хялбарчилж хуваарийг иррационалаас чөлөөл.
  1. $\dfrac{4}{3\sqrt{6}}$
  2. $\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt6}$
  3. $\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}$
  4. $\dfrac{4}{1+\sqrt2+\sqrt3}$
Дараах бутархайг хялбарчилж хуваарийг иррационалаас чөлөөл.
  1. $\dfrac{3\sqrt2}{2\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt3}{3\sqrt2}$
  2. $\dfrac{6}{3-\sqrt7}$
  3. $\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt{3}+\sqrt2}-\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}$
  4. $\dfrac{1}{1+\sqrt6+\sqrt7}+\dfrac{1}{5+2\sqrt6}$
  5. $\dfrac{\sqrt2-\sqrt3+\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5}$
$\left(\dfrac2{\sqrt3-1}+\dfrac3{\sqrt3-2}+\dfrac{15}{3-\sqrt3}\right)\cdot(\sqrt3+5)^{-1}$ илэрхийллийн утга аль нь вэ?

A. $\dfrac14$     B. $\dfrac12$     C. $\dfrac13$     D. $\dfrac23$     E. $\dfrac16$    
$\dfrac1{1+\sqrt2+\sqrt3}$ бутархайн хуваарийг иррационалиас чөлөөл.

A. $\dfrac{2+\sqrt 2-\sqrt 6}4$     B. $\dfrac{2+\sqrt 2-\sqrt 6}2$     C. $0$     D. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $1-\sqrt2-\sqrt6$    
$\dfrac{x^2-x-2}{\sqrt[3]{x^2+2x+1}+\sqrt[3]{x^2-x-2}+\sqrt[3]{x^2-4x+4}}; x>2$ бол бутархайн хуваарийг иррационалиас чөлөөлөхөд хэд гарах вэ?

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $5$    
$\dfrac{1}{9-4\sqrt5}+\dfrac{1}{9+4\sqrt5}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $9$     B. $8\sqrt5$     C. $18$     D. $4\sqrt5$     E. $3\sqrt5$    
$\dfrac{3}{\sqrt6-\sqrt3}+\dfrac{4}{\sqrt7+\sqrt3}$ илэрхийлэлийг хялбарчал.

A. $\sqrt6+\sqrt3$     B. $\sqrt7+\sqrt3$     C. $\sqrt7+\sqrt6$     D. $\sqrt7-\sqrt3$     E. $2\sqrt3$    
$\dfrac{3\sqrt{12}}{\sqrt{45}-4\sqrt{3}}+5\sqrt{2.4}(\sqrt{15}+3)$

A. $12\sqrt{15}$     B. $6-12\sqrt{15}$     C. $6$     D. $6+12\sqrt{15}$     E. $-12\sqrt{15}$    
$x=\sqrt{3+\sqrt5}$, $y=\sqrt{3-\sqrt5}$ бол $\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ утгыг ол.

A. $\sqrt5-2$     B. $\sqrt5+2$     C. $1$     D. $2\sqrt5+2$     E. $-1$    
$\dfrac{1}{6+3\sqrt2}-\dfrac{1}{6-3\sqrt2}=?$

A. $\dfrac{\sqrt2}{3}$     B. $-\dfrac{\sqrt2}{3}$     C. $3\sqrt2$     D. $\sqrt2$     E. $0$    
$\dfrac{2+\sqrt3}{\sqrt{7-4\sqrt3}}$ бутархайг хялбарчил.

A. $7-4\sqrt3$     B. $7+4\sqrt3$     C. $4-7\sqrt3$     D. $4+7\sqrt3$     E. $7\sqrt3$    
$\dfrac{1}{\sqrt{12}-3}+\dfrac{1}{\sqrt{12}+3}-\dfrac{1}{\sqrt{12}}=?$

A. $-\dfrac{7}{\sqrt{12}}$     B. $-\dfrac{9}{\sqrt{12}}$     C. $\dfrac{9}{\sqrt{12}}$     D. $\dfrac{7}{\sqrt{12}}$     E. $0$    
$\dfrac{2}{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}+\sqrt5$ хялбарчилж утгыг ол.

A. $\sqrt7$     B. $\sqrt{21}$     C. $\sqrt{35}$     D. $\sqrt5$     E. $2\sqrt7$    
$\sqrt5+\dfrac{1}{\sqrt{11+2\sqrt{30}}}$ хялбарчилж утгыг ол.

A. $\sqrt5$     B. $\sqrt{30}$     C. $\sqrt{6}$     D. $2\sqrt5$     E. $2\sqrt6$    
$\dfrac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}+\sqrt3$ хялбарчилж утгыг ол.

A. $\sqrt7$     B. $\sqrt{21}$     C. $\sqrt{3}$     D. $2$     E. $2\sqrt3$    
$\dfrac{2}{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}+\sqrt3$ хялбарчилж утгыг ол.

A. $\sqrt3$     B. $\sqrt5$     C. $\sqrt{15}$     D. $2\sqrt3$     E. $2$    
$\dfrac{\sqrt{3-2\sqrt2}}{\sqrt{3+2\sqrt2}}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $-1$     B. $2\sqrt2+3$     C. $\dfrac12$     D. $2\sqrt2-3$     E. $3-2\sqrt2$    
$\dfrac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}+\sqrt3$ хялбарчилж утгыг ол.

A. $\sqrt7$     B. $\sqrt{21}$     C. $\sqrt{3}$     D. $2$     E. $2\sqrt3$    
$\Bigl(\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}\Bigr):\Bigl(1+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}}{\sqrt{3}+\fbox{c}}$ байна.
$\dfrac{4}{\sqrt{2}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}}+\dfrac{4}{\sqrt{2}+ \sqrt{6-4\sqrt{2}}}=\fbox{a}.$
$\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}$ байг. $\alpha$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $$\alpha=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{2}+\fbox{b}\sqrt{5}-\sqrt{\fbox{cd}}}{20}$$ болно.
$\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ байг. $\alpha$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $\alpha=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{5}+\fbox{b}\sqrt{6}-\sqrt{\fbox{cde}}}{60}$ болно.
$x=\sqrt{8-\sqrt{60}}, y=\sqrt{8+\sqrt{60}}$ бол $\alpha=\dfrac{x+y}{x-y}=-\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{3}$ байна. Иймд $\{\alpha\}=\alpha+\fbox{c}$ байна. ( $\{x\}$-ээр $x$ тооны бутархай хэсгийг тэмдэглэдэг.)
$x=\dfrac{3-\sqrt6}{3+\sqrt6}$ ба $y=5+2\sqrt6$ бол
  1. $x$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $x=\fbox{a}-\fbox{b}\sqrt6$;
  2. $x+y=\fbox{cd}$
  3. $x\cdot y=\fbox{e}$
  4. $\sqrt{x^3+y^3+54}=\fbox{fg}$
$x=\dfrac{\sqrt6-2}{\sqrt6+2}$ ба $y=5+2\sqrt6$ бол
  1. $x$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $x=\fbox{a}-\fbox{b}\sqrt6$.
  2. $x+y=\fbox{cd}$.
  3. $x\cdot y=\fbox{e}$.
  4. $\sqrt{x^3+y^3+119}=\fbox{fg}$.
$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt{10}}=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt2+\fbox{c}\sqrt5-\fbox{d}\sqrt{10}-\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$
$x=\dfrac{3-\sqrt7}{3+\sqrt7}$ ба $y=8+3\sqrt 7$ бол
  1. $x$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $x=\fbox{a}-\fbox{b}\sqrt 7$;
  2. $x+y=\fbox{cd}$
  3. $x\cdot y=\fbox{e}$
  4. $\sqrt{x^3+y^3+48}=\fbox{fg}$
$\left(\dfrac{2}{\sqrt3-1}+\dfrac{3}{\sqrt3-2}+\dfrac{15}{3-\sqrt3}\right)\cdot(\sqrt3+5)^{-1}$ илэрхийллийг хялбарчилбал $\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.
$x=\dfrac{\sqrt5-2}{\sqrt5+2}$ ба $y=9+4\sqrt 5$ бол
  1. $x$-ийн хуваарийг иррационалиас чөлөөлвөл $x=\fbox{a}-\fbox{b}\sqrt 5$;
  2. $x+y=\fbox{cd}$
  3. $x\cdot y=\fbox{e}$
  4. $\sqrt{x^3+y^3+151}=\fbox{fg}$
$x=\dfrac{1}{\sqrt5-2}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt5+2}$ байв.
  1. $x-y=\fbox{a}$, $xy=\fbox{b}$
  2. $\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\fbox{cd}$
  3. $x^3-y^3=\fbox{ef}$
$$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{10}}=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{2}+\fbox{c}\sqrt{5}-\fbox{d}\sqrt{10}-\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$$ байна.
$x=\dfrac{1}{2-\sqrt3}$, $y=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ байв.
  1. $x+y=\fbox{a}$, $xy=\fbox{b}$
  2. $\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\fbox{cd}$
  3. $x^3+y^3=\fbox{ef}$
  1. $x=\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{ab}\sqrt3$
  2. $a=\dfrac{2}{3-\sqrt5}$ бол $a+\dfrac1a=\fbox{c}$, $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{d}$, $a^5+\dfrac{1}{a^5}=\fbox{efg}$
$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{15}}=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt3+\fbox{cd}\sqrt{5}-\fbox{e}\sqrt{15}-\fbox{fg}}{\fbox{hi}}$
  1. $x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}$ бол $$x^3+x^2y+xy^2+y^3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\sqrt{5}$$ (2 оноо)
  2. $a=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}$ бол $a-\dfrac{1}{a}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3-\dfrac{1}{a^3}=\fbox{d}$ (2 оноо), $a^5-\dfrac{1}{a^5}=\fbox{ef}$ (2 оноо) байна.
  1. $m=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}$, $n=\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}$ бол $$m^3-m^2n+mn^2-n^3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$$ (2 оноо)
  2. $a=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$ бол $a-\dfrac{1}{a}=-\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3-\dfrac{1}{a^3}=-\fbox{d}$ (2 оноо), $a^5-\dfrac{1}{a^5}=-\fbox{ef}$ (2 оноо) байна.
  1. $x=\dfrac{1}{\sqrt5-\sqrt3}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt5+\sqrt3}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{a}\sqrt5$ (3 оноо)
  2. $a=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$ бол $a+\dfrac1a=\fbox{b}$ (1 оноо), $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3+\dfrac{1}{a^3}=\fbox{de}$ (2 оноо)
  1. $x=\dfrac{1}{\sqrt7-\sqrt5}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{a}\sqrt7$ (3 оноо)
  2. $a=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$ бол $a+\dfrac1a=\sqrt{\fbox{b}}$ (1 оноо), $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3+\dfrac{1}{a^3}=\fbox{d}\sqrt{\fbox{e}}$ (2 оноо)
$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-1}$ бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлье.
  1. $2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-1=(\sqrt[3]{2}+\fbox{a})(\fbox{b}\sqrt[3]{2}-\fbox{c})$ хэлбэрт оруулъя.
  2. $\dfrac{1}{2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-1}=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{2}+\fbox{a})(\fbox{b}\sqrt[3]{2}-\fbox{c})}$ кубуудийн нийлбэр, ялгаврын томьёо ашиглан хувиргавал $\dfrac{\sqrt[3]{4}+\fbox{d}\sqrt[3]{2}-\fbox{e}}{\fbox{fg}}$ гэж иррационалаас чөлөөлөгдөнө.
$A=\dfrac{20}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7}}$ ба $B=5+2\sqrt{10}+\sqrt{70}$ тоонуудыг жишье. Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлбөл $A=\fbox{a}\sqrt2+\fbox{b}\sqrt{5}+\sqrt{\fbox{cd}}$ тул $\fbox{a}\sqrt2+\fbox{b}\sqrt{5}$ ба $5+2\sqrt{10}$ тоонуудыг жишихэд хангалттай. Хоёр тоогоо квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл ${\fbox{ef}}+20\sqrt{10}$ ба $\fbox{gh}+20\sqrt{10}$ тул $A>B$ байна.
$A=\dfrac{12}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ ба $B=\sqrt2+2\sqrt{6}+\sqrt{21}$ тоонуудыг жишье. Бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлбөл $A=\fbox{a}+\fbox{b}\sqrt{3}+\sqrt{\fbox{cd}}$ тул $\fbox{a}+\fbox{b}\sqrt{3}$ ба $\sqrt2+2\sqrt{6}$ тоонуудыг жишихэд хангалттай. Хоёр тоогоо квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл ${\fbox{ef}}+12\sqrt{3}$ ба $\fbox{gh}+8\sqrt{3}$ тул $A > B$ байна.
$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}-1}$ бутархайн хуваарийг иррационалаас чөлөөлье.
  1. $2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}-1=(\sqrt[3]{3}+\fbox{a})(\fbox{b}\sqrt[3]{3}-\fbox{c})$ хэлбэрт оруулъя.
  2. $\dfrac{1}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}-1}=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{3}+\fbox{a})(\fbox{b}\sqrt[3]{3}-\fbox{c})}$ кубүүдийн нийлбэр, ялгаврын томьёо ашиглан хувиргавал $\dfrac{\fbox{d}\sqrt[3]{9}+13\sqrt[3]{2}-\fbox{e}}{\fbox{fg}}$ гэж иррационалаас чөлөөлөгдөнө.

Зэрэг, язгуур

$p= 0.16 $ үед $\sqrt[3] {k} \cdot \sqrt[6] {k} $ үржвэрийн утгыг ол.

A. 0.4     B. 0.16     C. $0.2$     D. $2.5$     E. $ 2$    
$p= 0.36 $ үед $\sqrt[3] {p} \cdot \sqrt[6] {p} $ үржвэрийн утгыг ол.

A. 0.6     B. 0.36     C. $0.3$     D. $\frac{5}{3}$     E. $ 0.2$    
$p= 0.36 $ үед $\sqrt[3] {p} \cdot \sqrt[6] {p} $ үржвэрийн утгыг ол.

A. 0.6     B. 0.36     C. $0.2$     D. $ \frac53$     E. $ 0.3$    

Иррационал тоо

$\left(\sqrt{\Big(\sqrt5-\dfrac52\Big)^2}-\sqrt[3]{\Big(\dfrac32-\sqrt5\Big)^3}\right)^{\frac12}-\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}4$ илэрхийллийн утгыг ол.
$x=\sqrt[3]{4+\sqrt{80}}-\sqrt[3]{\sqrt{80}-4}$ тоо $x^3+12x-8=0$ тэгшитгэлийн шийд болохыг харуул.
  1. $2^r=3$ нөхцлийг хангах $r$ рационал тоог ол.
  2. $2^x\cdot 3^{-2y}=3^x\cdot 2^{y-6}$ байх $x, y$ рационал тоонуудыг ол.
$3^x=5$ байх $x$ рационал тоо олдох уу?
Дараах нөхцлийг хангах $x, y$ рационал тоонуудыг ол.

  1. $20^x=10^{y+1}$
  2. $7^{2x}8^y=2^x7^{y-2}$
$x=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$, $y=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$ бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг ол.
  1. $x+y$
  2. $x\cdot y$
  3. $x^2+y^2$
  4. $x^3+y^3$
  5. $x^5+y^5$
байна.
I. $\sqrt2$; II. $\dfrac{1}{1+\sqrt2}-\sqrt2$; III. $\dfrac{37}{21}$; IV. $e$; V. $1.(23)$ тоонуудын аль нь иррациональ вэ?

A. I; II; IV     B. I; II     C. III; V     D. IV     E. I; IV    
I. $1.0\left(13\right)$ II. $\pi$ III. $\sqrt{6}$ IV. $-\dfrac{5}{12}$ V. $\sqrt[{3}]{16} $ тоонуудын аль нь иррационал тоо вэ?

A. I; III; V     B. II; III; V     C. III; V     D. II     E. I; IV    
$\dfrac{1}{5-2\sqrt{6}}$ тооны бүхэл хэсгийг ол.

A. $9$     B. $8$     C. $7$     D. $6$     E. $5$    
$\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}=?$

A. $2$     B. $2\sqrt3$     C. $4$     D. $7$     E. $14$    
I. $e$ II. $\sqrt{8}$ III. $11.(15)$ IV. $\sqrt[3]{81}$ V. $\dfrac{7}{11}$ тоонуудын аль нь иррационал тоо вэ?

A. I, II, IV     B. I     C. II, IV     D. III, V     E. III, IV, V    
$\sqrt{28+16\sqrt{3}}+\sqrt{\dfrac{524^2-476^2}{480}}-\sqrt{12}$

A. $14-2\sqrt{3}$     B. $140$     C. $6+4\sqrt{3}$     D. $14+2\sqrt{3}$     E. $14$    
I. $\sqrt3$; II. $\dfrac{1}{1+\sqrt2}-\sqrt2$; III. $\dfrac{37}{21}$; IV. $\dfrac{e}{2}$; V. $1.(27)$ тоонуудын аль нь рационал вэ?

A. III     B. I; II     C. III, V     D. II, III, V     E. I; IV    
I. $\sqrt4$; II. $\dfrac{1}{1-\sqrt2}+\sqrt2$; III. $\dfrac{2016}{2017}$; IV. $\dfrac{\pi}{3}$; V. $1.(01)$ тоонуудын аль нь рационал вэ?

A. III, V     B. I; II     C. II, III, V     D. I, II, III, V     E. I; IV    
$(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3})^2$ утгыг ол.

A. $6$     B. $4$     C. $2$     D. $0$     E. $2\sqrt3$    
$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}$ утгыг ол.

A. $6$     B. $4$     C. $2$     D. $0$     E. $2\sqrt3$    
$\dfrac{1}{\alpha}=2-\sqrt{3}$ байг. $\alpha$-ийн бүхэл хэсгийг $a$, бутархай хэсгийг $b$ гэвэл $a=\fbox{a}$ байх ба $a+2b+b^2=\fbox{b}$ байна.
$\dfrac{1}{\alpha}=\sqrt{5}-2$ байг. $\alpha$-ийн бүхэл хэсгийг $a$, бутархай хэсгийг $b$ гэвэл $a=\fbox{a}$ байх ба $a+b^2+4b=\fbox{b}$ байна.
$a, b, b\neq 0$ бүхэл тоо, $\alpha=a+b\sqrt{2}$ байг. $\alpha^2+2b\alpha-3a=0$ бол $(a;b)=(\fbox{a};\fbox{bc}).$
$x=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$, $y=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$ бол
  1. $x+y=\fbox{ab}$, $x\cdot y=\fbox{c}$
  2. $x^2+y^2=\fbox{de}$
  3. $x^3+y^3=\fbox{fgh}$
  4. $x^5+y^5=\fbox{ijklm}$
байна.

Үржвэр ба ноогдвороос квадрат язгуур гаргах

$\sqrt{90}\times\sqrt{562.5}=?$

A. $75$     B. $125$     C. $150$     D. $225$     E. $175$    
$(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3})^2$ утгыг ол.

A. $6$     B. $4$     C. $2$     D. $0$     E. $2\sqrt3$    
$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}$ утгыг ол.

A. $6$     B. $4$     C. $2$     D. $0$     E. $2\sqrt3$    

Язгуур гаргах

$\sqrt{|40\sqrt2-57|}-\sqrt{|40\sqrt2+57|}$ тоо нь бүхэл тоо бол түүнийг ол.
Язгуураас гарга ($\sqrt{x}+\sqrt{y}$ байх $x$, $y$ рационал тоонуудыг ол).
  1. $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$
  2. $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$
  3. $\sqrt{10-\sqrt{84}}$
  4. $\sqrt{6+\sqrt{35}}$
Язгуураас гарга.
  1. $\sqrt{6+4\sqrt{2}}$
  2. $\sqrt{8-\sqrt{48}}$
  3. $\sqrt{2+\sqrt{3}}$
  4. $\sqrt{9-3\sqrt{5}}$
$\left(\sqrt[4]{32\cdot\sqrt[3]{4}}+\sqrt[4]{64\sqrt[3]{\dfrac12}}-3\sqrt[3]{2\sqrt[4]2}\right)\cdot\dfrac3{\sqrt[12]{2^5}}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $0$     B. $\dfrac12$     C. $1$     D. $2$     E. $3$    
$\sqrt{7+4\sqrt3}=\sqrt{A}+\sqrt{B}$ бол $A+B$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $7$     B. $6$     C. $5$     D. $9$     E. $8$    
$\sqrt{(\sqrt{3}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+3)^2}=?$

A. $2\sqrt{3}$     B. $6$     C. $2$     D. $3$     E. $\sqrt{3}$    
$(\sqrt{28}-\sqrt{12})\cdot\sqrt{10+\sqrt{84}}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $8$     B. $9$     C. $3+\sqrt8$     D. $3-\sqrt8$     E. $10$    
$a<0$, $b>0$ бол $\dfrac{b}{a}\sqrt{\dfrac{a^2}{b}\sqrt{\dfrac1{b^2}}}=?$

A. $1$     B. $-1$     C. $\dfrac{a}{b}$     D. $\dfrac{b}{a}$     E. $\dfrac{b^2}{a^2}$    
$\sqrt{14-6\sqrt{5}}=A-B\sqrt{5}$ ба $A$, $B$ бүхэл тоонууд бол $A-B$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $8$     B. $4$     C. $2$     D. $1$     E. $0$    
$\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{A}-\sqrt{B}$ ба $A$, $B$ бүхэл тоонууд бол $A+B=?$

A. $9$     B. $5$     C. $7$     D. $2$     E. $14$    
$\sqrt{10+2\sqrt{21}}=\sqrt{A}+\sqrt{B}$ бол $|A-B|=?$

A. 1     B. 2     C. 3     D. 4     E. 5    
$A=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt[3]{a^3}\cdot\sqrt[4]{a^4}\cdots\sqrt[10]{a^{10}}=?$

A. $a^9$     B. $a^{10}$     C. $|a^{9}|$     D. $|a^{10}|$     E. $\dfrac{1}{1-a}$    
$\sqrt{14-6\sqrt{5}}+\sqrt{5}=?$

A. $2\sqrt{5}-3$     B. $5+\sqrt{5}+\sqrt{3}$     C. $2\sqrt{5}$     D. $3$     E. $1+\sqrt5$    
$\sqrt{54756}$ нь аль вэ?

A. $226$     B. $234$     C. $184$     D. $334$     E. $196$    
$20\sqrt{245}-\sqrt 5+\sqrt{125}-2\frac{1}{2}\sqrt {180}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\sqrt 5$     B. $161\sqrt 5$     C. $129\sqrt 5$     D. $129$     E. $120\sqrt{5}$    
$3\sqrt{108}-3\sqrt3+2\sqrt{147}-3\frac{2}{3}\sqrt{243}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $-4\sqrt 3$     B. $4\sqrt 3$     C. $4$     D. $3\sqrt 3$     E. $-3\sqrt 3$    
$\Bigl(\sqrt[6]{9+4\sqrt 5}+\sqrt[3]{2+\sqrt 5}\Bigr):\sqrt[3]{2-\sqrt 5}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $2\sqrt[3]{9+4\sqrt 5}$     B. $-2\sqrt[3]{9+4\sqrt 5}$     C. $\sqrt[3]{9-4\sqrt 5}$     D. $\sqrt[3]{9+4\sqrt 5}$     E. $1$    
$\Bigl(\sqrt[6]{7+4\sqrt 3}+\sqrt[3]{2+\sqrt 3}\Bigr):\sqrt[3]{\sqrt 3-2}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $-2(2+\sqrt 3)$     B. $2\sqrt[3]{7+4\sqrt 3}$     C. $2+\sqrt{3}$     D. $-2\sqrt[3]{7+4\sqrt 3}$     E. $2-\sqrt{3}$    
$\sqrt{\dfrac{518^2-482^2}{360}}+\sqrt{24^2+32^2}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $25$     B. $50$     C. $65$     D. $10$     E. $36$    
$\sqrt{\displaystyle\frac{629^2-581^2}{480}}+\sqrt{20^2+15^2}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $18$     B. $12$     C. $6$     D. $36$     E. $49$    
$(4+\sqrt{15})\cdot\Bigl(\sqrt{10}-\sqrt 6\Bigr)\sqrt{4-\sqrt{15}}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $3(\sqrt{10}-\sqrt 6)$     B. $\sqrt{15}$     C. $2$     D. $0$     E. $3(\sqrt{10}+\sqrt 6)$    
$\sqrt{3-\sqrt 5}\cdot\Bigl(\sqrt{10}-\sqrt 2\Bigr)\Bigl(3+\sqrt 5\Bigr)$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\sqrt{10}-\sqrt 2$     B. $\sqrt 5$     C. $0$     D. $8$     E. $2$    
$\sqrt[4]{331776}$ нь аль вэ?

A. $28$     B. $26$     C. $24$     D. $32$     E. $22$    
$\sqrt[4]{707281}$ нь аль вэ?

A. 31     B. 29     C. 33     D. 27     E. 81    
$\sqrt{57-40\sqrt 2}-\sqrt{40\sqrt 2+57}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $10$     B. $-10$     C. $8\sqrt 2$     D. $0$     E. $-1$    
$-\sqrt{29-12\sqrt 5}+\sqrt{12\sqrt 5+29}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $-64$     B. $0$     C. $4\sqrt 5$     D. $6$     E. $10$    
$\dfrac{\sqrt[4]{14+6\sqrt 5}\cdot\sqrt{3-\sqrt 5}+\sqrt 2\cdot\sqrt{176^2-112^2}}{\sqrt[3]{5\sqrt 2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt 2-7}}$ нь аль вэ?

A. $79$     B. $7$     C. $97$     D. $87$     E. $89$    
$\dfrac{\sqrt{146.5^2-109.5^2+27\cdot 16^2}}{\Bigl(\sqrt{12+2\sqrt{11}}-\sqrt{12-2\sqrt{11}}\Bigr)^2}+\sqrt 3\Bigl(\sqrt{5+2\sqrt 6}+\sqrt{5-2\sqrt 6}\Bigr)$ нь аль вэ?

A. $9$     B. $4$     C. $0.9$     D. $38$     E. $27$    
$\dfrac{\sqrt{117.5^2-26.5^2-10\cdot 12^2}}{\Bigl(\sqrt{3+\sqrt 5}-\sqrt{3-\sqrt 5}\Bigr)^2}+\sqrt{7+4\sqrt 3}+\sqrt{7-4\sqrt 3}$ нь аль вэ?

A. $8$     B. $58$     C. $38$     D. $10$     E. $60$    
$\sqrt{221^2-220^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $11$     B. $1$     C. $21$     D. $31$     E. $9$    
$\sqrt[3]{\sqrt5-2}-\sqrt[3]{2+\sqrt5}$ тоотой тэнцүү тоо аль нь вэ?

A. $-1$     B. $0$     C. $1$     D. $2$     E. $3$    
$\sqrt{181^2-180^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $19$     B. $11$     C. $21$     D. $29$     E. $361$    
$\sqrt{24.5}\times\sqrt{50}=?$

A. 15     B. 25     C. 30     D. 45     E. 35    
$\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$ илэрхийллийн утга аль нь вэ?

A. $1$     B. $\sqrt3-1$     C. $1+\sqrt3$     D. $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt2}{2}$     E. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt2}{2}$    
$\sqrt{\dfrac{4+\sqrt{15}}{2}}-\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{15}}{2}}=?$

A. $\sqrt3$     B. $\sqrt5$     C. $3$     D. $2\sqrt2$     E. $\sqrt{15}$    
$\sqrt{28+16\sqrt{3}}+\sqrt{\dfrac{524^2-476^2}{480}}-\sqrt{12}$

A. $14-2\sqrt{3}$     B. $140$     C. $6+4\sqrt{3}$     D. $14+2\sqrt{3}$     E. $14$    
$\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}}+\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}}=?$

A. $3$     B. $2\sqrt2$     C. $\sqrt{7}$     D. $4\sqrt2$     E. $\sqrt{5}$    
$\sqrt{117^2-108^2}$

A. $80$     B. $35$     C. $10$     D. $20$     E. $45$    
$\sqrt{14+6\sqrt{5}}=A+B\sqrt{5}$ ба $A$, $B$ бүхэл тоонууд бол $A-B$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $8$     B. $4$     C. $2$     D. $1$     E. $0$    
$\sqrt[3]{13+2\sqrt{11}}\cdot\sqrt[3]{13-2\sqrt{11}}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $5$    
$\sqrt{\dfrac{5+2\sqrt{6}}{2}}+\sqrt{\dfrac{5-2\sqrt{6}}{2}}=?$

A. $\sqrt6$     B. $\sqrt7$     C. $3$     D. $2\sqrt2$     E. $2\sqrt{3}$    
$\sqrt{37^2-12^2}$

A. $80$     B. $45$     C. $10$     D. $20$     E. $35$    
$\sqrt{\dfrac{5\sqrt{2}-7}{2}}+\sqrt{\dfrac{5\sqrt{2}+7}{2}}=?$

A. $5\sqrt2+1$     B. $3\sqrt5$     C. $9$     D. $2\sqrt5$     E. $\sqrt{5\sqrt{2}+1}$    
$\sqrt{65^2-16^2}$

A. $80$     B. $35$     C. $10$     D. $63$     E. $45$    
$20\sqrt{245}-\sqrt 5+\sqrt{125}-2\frac{1}{2}\sqrt {180}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\sqrt 5$     B. $161\sqrt 5$     C. $129\sqrt 5$     D. $129$     E. $120\sqrt{5}$    
$\sqrt{5^2+12^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $12$     B. $5$     C. $14$     D. $13$     E. $17$    
$\sqrt{7^2+24^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $27$     B. $25$     C. $26$     D. $35$     E. $\sqrt{875}$    
$\sqrt{14+6\sqrt{5}}=A+B\sqrt{5}$ ба $A$, $B$ бүхэл тоонууд бол $A-B$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $8$     B. $4$     C. $2$     D. $1$     E. $0$    
$\sqrt{13-\sqrt{88}}\cdot(\sqrt{11}+\sqrt{2})$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $11$     B. $9$     C. $3+\sqrt6$     D. $3-\sqrt6$     E. $10$    
$\sqrt{34596}$ нь аль вэ?

A. $216$     B. $194$     C. $196$     D. $186$     E. $204$    
$\sqrt[6]{4-2\sqrt3}\cdot\sqrt[3]{1+\sqrt3}\cdot\sqrt[3]4=\fbox{a}$.
$$2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=2\sqrt{3+\sqrt{5-(\fbox{a}\sqrt{3}+\fbox{b})}}=$$ $$=2\sqrt{3+|\fbox{c}-\sqrt{3}|}=\sqrt{\fbox{d}}+\sqrt{\fbox{e}}$$ болно. Энд $\fbox{d}< \fbox{e}$.
$$3\sqrt{\dfrac{17}{3}+\sqrt{29-4\cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}}}}=3\sqrt{\dfrac{17}{3}+\sqrt{29-4(\fbox{a}+\sqrt{5})}}=$$ $$=3\cdot\sqrt{\dfrac{17}{3}+|\fbox{b}-\fbox{c}\sqrt{5}|}=\fbox{d}\sqrt{3}+\sqrt{\fbox{ef}}$$ болно.
$$2\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}=2\sqrt{1+\sqrt{3+(\fbox{a}\sqrt{3}+\fbox{b})}}=$$ $$=2\sqrt{1+|\fbox{c}+\sqrt{3}|}=\sqrt{\fbox{d}}+\sqrt{\fbox{e}}$$ болно. Энд $\fbox{d}< \fbox{e}$.

Язгуурын тэмдэг дороос үржигдэхүүн гаргах

$(\sqrt3+\sqrt2-\sqrt{18})^2$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $4\sqrt6-9$     B. $9+4\sqrt6$     C. $11-4\sqrt6$     D. $11+4\sqrt6$     E. $4\sqrt6-11$