Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Holy guacamole! www.integral.mn сайт 2026-01-01-ээс шинэчлэгдэж www.mathminds.club хуудас руу шилжинэ.
Тригонометр
Давхар өнцөг, хагас өнцгийн томьёо
$\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac12$ бол $\sin2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\dfrac{\alpha}{2}=2$ бол
$\dfrac{2\sin\alpha-\sin2\alpha}{2\sin\alpha+\sin2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)=5$ бол
$A=\cos2\alpha+\sin2\alpha\tg\alpha+\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{2}{\sqrt{11}}$ бол $\tg^22\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos x=0.5$ бол $\ctg^2(630^{\circ}+2x)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\ctg x=-\dfrac45$ бол $\dfrac{\sin4x\cdot\cos2x
}{(1+\cos2x)(1+\cos4x)}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac12$ бол $\sin^4\alpha-\cos^4\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt6}$ бол
$\tg^{-2}(\dfrac{\pi}{2}+4\alpha)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2x=3^{-\frac12}$ бол $\dfrac{\sin^2(4x-540^{\circ})}{\cos^2(4x-540^{\circ})}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$4\sin^2\alpha+3\sin2\alpha=4\cos^2\alpha $ ба
$\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$
бол $\sin2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=\sqrt{0.2}$ бол $\cos(2\alpha-\pi)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\alpha$, $\beta$ нь параллелограммын хөрш өнцгүүд ба $\dfrac{\sqrt3}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)$ бол $\alpha$, $\beta$-г ол.
$\cos^2\dfrac{x}{2}=a^2$ ба $x\in(\pi,\dfrac{5\pi}{4})$ бол $\sin2x$-г ол.
$\ctg^2\alpha-3\ctg\alpha-10=0$ ба $0< \alpha< \dfrac{\pi}{4}$ бол $\dfrac{174}{3+4\cos2\alpha}$-г ол.
$\tg\dfrac{\alpha}{2}=1$ бол $\sqrt{\dfrac{2\sin\alpha-\sin2\alpha}{2\sin\alpha+\sin2\alpha}}$-г ол.
$\alpha$-ийн ямар утганд $2\sin\alpha=\sin2\alpha$ байх вэ?
$1$ радиустай тойрог багтаасан зөв $n$ өнцөгтийн $(n\geq 3)$ периметрийг $2a_n$, мөн 1 радиустай тойрогт багтсан зөв $n$ өнцөгтийн периметрийг $2b_n$ гэе.
- $a_n$, $b_n$-г $n$-ээр илэрхийл.
- $0^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ үед дараах тэнцэтгэл биелэгдэхийг харуул. $$\sin \theta=\dfrac{\tg\theta}{\sqrt{1+\tg^2\theta}}, \tg\dfrac{ \theta}2=\dfrac{\tg\theta}{1+\sqrt{1+\tg^2\theta}}.$$
- $a_{12}$, $b_{12}$-ийн утгыг ол.
- $90^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$, $\sin\alpha=\dfrac 35$ бол $\cos2\alpha$, $\sin2\alpha$, $\tg\dfrac{\alpha}{2}$-ийн утгыг ол.
- $t=\tg\dfrac{\theta}{2}$ бол дараах адилтгалыг батал. $$\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}, \cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \tg\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}.$$
$\sin 22.5^{\circ}$, $\cos 22.5^{\circ}$, $\tg 22.5^{\circ}$ утгыг ол.
$0^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$, $\cos\alpha=\dfrac 5{13}$ бол
$2\alpha$, $\dfrac{\alpha}{2}$-ийн $\sin$, $\cos$, $\tg$-г ол.
$\sin(\alpha-90^{\circ})=\dfrac{5}{13}$ ба $\sin\alpha< 0$
бол
$\tg2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sqrt2\cos22.5^{\circ}\sin22.5^{\circ}$-ийг ол.
$\tg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac12$ бол $\cos\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=0.5$ бол $3\tg2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=\dfrac{7}{18}$ ба $\alpha\in\Big(0;\dfrac{\pi}{2}\Big)$ бол $21\cos\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=-\dfrac45$ ба $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=\dfrac15$ бол $\cos2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big[\dfrac{\pi}{2},\pi\Big]$ бол
$\ctg\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\ctg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac32$ бол $\tg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=0.3$ бол
$\dfrac{1-\cos2\alpha+\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(\pi+\alpha)=-3$ бол $\sin4\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos2\alpha=-0.28$ ба $\alpha\in\Big(\dfrac{\pi}{2};\pi\Big)$ бол
$\ctg\alpha$
илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos2\alpha=\dfrac13$ бол
$\tg\alpha\cdot\ctg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\Big)$ бол
$\ctg\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2\alpha=\dfrac13$ бол $\tg^2\Big(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big(0;\dfrac{\pi}{4}\Big)$ бол
$\sin2\alpha$, $\cos\Big(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=\dfrac14$ ба $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$ бол
$\tg(2\alpha)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2\alpha=-0.6$ ба $135^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$ бол
$\sin4\alpha$, $\cos4\alpha$, $\tg4\alpha$, $\ctg4\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\alpha$ нь $180^\circ<\alpha<270^\circ$ ба $\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ байх өнцөг бол $\tg\dfrac{\alpha}{2}$ хэд вэ?
A.$\dfrac{\sqrt5+1}{2}$ B.$-\dfrac{\sqrt5+1}{2}$ C.$\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ D.$\dfrac{1-\sqrt5}{2}$ E.$3$
$\sin\alpha=\dfrac23$ бол $\cos2\alpha=?$
A.$\dfrac13$ B.$\dfrac19$ C.$-\dfrac13$ D.$-\dfrac19$ E.$\dfrac29$
$\cos\theta\cdot\sin\theta=-\dfrac14$, $45^\circ <\theta<135^\circ$ бол $\cos\theta-\sin\theta$ ол.
A.$\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}$ B.$-\dfrac{\sqrt6}{2}$ C.$0$ D.$1$ E.$\dfrac23$
$4\sin\varphi\cos\varphi\cos2\varphi$ хялбарчил.
A.$\cos4\varphi$ B.$\sin2\varphi$ C.$\cos2\varphi$ D.$\sin4\varphi$ E.$\frac12\sin4\varphi$
$\sin^480^\circ-\cos^480^\circ=?$
A.$\cos20^\circ$ B.$\sin20^\circ$ C.$\cos80^\circ$ D.$\sin80^\circ$ E.$0$
$2\cos^215^\circ\cdot\tg15^\circ=?$
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}2$ C.$\dfrac14$ D.$\dfrac{\sqrt3}4$ E.$1$
$\dfrac{\pi}2\leq\theta\leq\pi$ байх $\theta$-ийн хувьд $\cos^2\theta-\sin^2\theta=\dfrac13$ бол $\tg\theta$-г ол.
A.$\sqrt2$ B.$\dfrac1{\sqrt2}$ C.$1$ D.$-\dfrac1{\sqrt2}$ E.$-\sqrt2$
$\dfrac{\pi}2\leq\theta\leq\pi$ байх $\theta$-ийн хувьд $\sin^2\theta-\cos^2\theta=\dfrac13$ бол $\tan\theta$-г ол.
A.$\sqrt2$ B.$\frac1{\sqrt2}$ C.$1$ D.$-\frac1{\sqrt2}$ E.$-\sqrt2$
$2\cos^222.5^\circ-1$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.
A.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ C.$\dfrac{1}{2}$ D.$\dfrac{1-\sqrt2}{4}$ E.$\dfrac{1+\sqrt2}{4}$
$1-2\sin^222.5^\circ$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.
A.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ C.$\dfrac{1}{2}$ D.$\dfrac{1-\sqrt2}{4}$ E.$\dfrac{1+\sqrt2}{4}$
$1-2\sin^215^\circ$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.
A.$\dfrac{1}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ C.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ D.$\dfrac{1+\sqrt3}{2}$ E.$\dfrac{1-\sqrt3}{2}$
$2\cos^215^\circ-1$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.
A.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ C.$\dfrac{1}{2}$ D.$\dfrac{1-\sqrt3}{2}$ E.$\dfrac{1+\sqrt3}{2}$
$1-2\sin^215^\circ$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.
A.$\dfrac{1}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ C.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ D.$\dfrac{1+\sqrt3}{2}$ E.$\dfrac{1-\sqrt3}{2}$
$2\sqrt3(1-2\sin^2735^{\circ})$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$-3$ B.$3$ C.$0$ D.$2$ E.$-2$
$2\sqrt3(1-2\cos^2735^{\circ})$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$-3$ B.$-2$ C.$0$ D.$2$ E.$3$
$2\cos^275^\circ\cdot\tg75^\circ=?$
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}2$ C.$1$ D.$\dfrac{\sqrt3}4$ E.$\dfrac14$
$2\cos^222.5^\circ\cdot\tg22.5^\circ=?$
A.$1$ B.$\dfrac{\sqrt2}2$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac{\sqrt3}4$ E.$\dfrac14$
$90^\circ<\alpha< 180^\circ$ $\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}$ бол $\sin 2\alpha$ ол.
A.$1$ B.$\dfrac{3}{5}$ C.$-\dfrac{24}{25}$ D.$\dfrac{24}{25}$ E.$-\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{1-\cos 25^{\circ}+\cos 50^{\circ}}{\sin 50^{\circ}-\sin
25^{\circ}}-\tg 65^{\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$0$ B.$-1$ C.$1$ D.$0.5$ E.$-0.5$
$\sqrt3(1-2\sin^2735^{\circ})$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$-1.5$ B.$-1$ C.$0$ D.$1$ E.$1.5$
$\tg\Big(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\Big)=\dfrac12$ бол $\sin2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$\dfrac45$ B.$\dfrac14$ C.$-\dfrac45$ D.$-\dfrac14$ E.$\dfrac15$
Хэрэв $\cos\beta=\dfrac{10}{11}$ ба $270^\circ\le\beta\le360^\circ$ бол $\sin2\beta\cdot\cos\beta$ тоон утгыг ол.
A.$\dfrac{200\sqrt{21}}{1331}$ B.$\dfrac{100\sqrt{21}}{121}$ C.$\dfrac{200\sqrt{21}}{121}$ D.$-\dfrac{200\sqrt{21}}{1331}$ E.$-\dfrac{100\sqrt{21}}{121}$
$8\cdot\cos10^\circ\cdot\cos20^\circ\cdot\cos40^\circ$ хялбарчил.
A.$\tg 10^\circ$ B.$2\tg10^\circ$ C.$2\ctg10^\circ$ D.$\frac12\ctg10^\circ$ E.$\ctg10^\circ$
$\tg\alpha=\dfrac12$ бол $\cos 2\alpha=?$
A.$0.6$ B.$\dfrac{3}{4}$ C.$\dfrac{4}{3}$ D.$\dfrac{4}{5}$ E.$-\dfrac{4}{5}$
$\tg 20^\circ=a$ бол $\cos 40^\circ$ аль нь вэ?
A.$\dfrac{2a}{1+a^2}$ B.$\dfrac{1-a^2}{1+a^2}$ C.$\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}$ D.$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ E.$\dfrac{1}{1+a^2}$
$\sin22.5^\circ$-ийн утгыг ол.
A.$\sqrt2-1$ B.$\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$ C.$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$ D.$0.67$ E.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\sin^440^\circ-\cos^440^\circ=?$
A.$\cos80^\circ$ B.$\sin80^\circ$ C.$\cos100^\circ$ D.$\sin100^\circ$ E.$1$
$\sin^2\dfrac{3\pi}{8}-\cos^2\dfrac{3\pi}{8}=?$
A.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ B.$-1$ C.$0$ D.$-\dfrac{\sqrt2}{2}$ E.$1$
$\dfrac{\pi}{4}< x< \dfrac{\pi}{2}$ ба $\sin 2x=\dfrac 35$ бол $\tg x=?$
A.$3$ B.$2$ C.$\dfrac 32$ D.$\dfrac 52$ E.$1$
$\pi< x< \dfrac{5\pi}{4}$ ба $\tg 2x=\dfrac 34$ бол $\cos x=?$
A.$-\frac3{\sqrt{10}};$ B.$-\frac
2{\sqrt{5}};$ C.$-\frac4{\sqrt{10}};$ D.$-\frac 3{2\sqrt{5}};$
$8\cos^4x-\cos 4x=1$ тэгшитгэл $-\dfrac 43< x< 5$ нөхцөлийг хангадаг хэдэн шийдтэй вэ?
A.$5$ B.$4$ C.$3$ D.$2$ E.$1$
$\dfrac{1-(\sin 20^\circ-\cos20^\circ)^2}{\cos40^\circ+\sin^220^\circ}$ илэрхийллийг хялбарчлаарай.
A.$3\tg20^\circ$ B.$2\ctg20^\circ$ C.$2\ctg40^\circ$ D.$2\tg20^\circ$ E.$2\tg40^\circ$
$2\sin^215^\circ\cdot\ctg15^\circ=?$
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}2$ C.$\dfrac14$ D.$\dfrac{\sqrt3}4$ E.$1$
$\alpha$ нь $180^\circ<\alpha<270^\circ$ ба $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt5}{3}$ байх өнцөг бол $\tg\dfrac{\alpha}{2}$ хэд вэ?
A.$\dfrac{1-\sqrt5}{2}$ B.$-\sqrt5$ C.$\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ D.$\sqrt5$ E.$3$
$\sin\alpha+\cos\alpha=m$ бол $\sin2\alpha=?$
A.$m^2$ B.$m^2-1$ C.$\dfrac{m^2-1}{2}$ D.$-\dfrac{m^2-1}{2}$ E.$1-m^2$
$\bar{a}(2;3)$ ба $\bar{b}(4;-8)$ векторуудын хоорондох өнцөг
$\alpha$ гэвэл $1+\cos2\alpha=\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ab}}$ байна.
Илэрхийллийг хялбарчил
$\tg\alpha=3$ бол $\dfrac{2\sin2\alpha-3\cos2\alpha}{4\sin2\alpha+5\cos2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$A=\sin\dfrac{\pi}{7}\cdot\sin\dfrac{2\pi}{7}\cdot\sin\dfrac{3\pi}{7}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{1-\tg2\alpha+\tg^22\alpha}{1-\ctg2\alpha+\ctg^22\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$\tg^22\alpha$ B.$\sin2\alpha$ C.$\cos2\alpha$ D.$\ctg\alpha$ E.$1$
$(3+\sqrt5)\sin^218^\circ=?$
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ C.$\dfrac14$ D.$2\sqrt3$ E.$1$
$\cos^235^{\circ}+\cos^225^{\circ}-\cos^25^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$\dfrac 12$ B.$\dfrac 23$ C.$\dfrac 34$ D.$\dfrac 13$ E.$\dfrac 14$
$\dfrac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{1+\cos 10^\circ+\cos 20^\circ}\cdot\ctg10^\circ$-ийг хялбарчил.
A.$\sin10^\circ$ B.$\tg^210^\circ$ C.$\dfrac12$ D.$1$ E.$\dfrac32$
$\dfrac{\sin36^\circ+\sin18^\circ}{1+\cos18^\circ+\cos36^\circ}\cdot\ctg18^\circ$ хялбарчил.
A.$\sin18^\circ$ B.$\tg^218^\circ$ C.$\dfrac12$ D.$1$ E.$\dfrac32$
$\dfrac{\sin72^\circ+\sin36^\circ}{1+\cos 36^\circ+\cos 72^\circ}\cdot\ctg36^\circ$-ийг хялбарчил.
A.$\sin36^\circ$ B.$\tg^236^\circ$ C.$\dfrac12$ D.$1$ E.$\dfrac32$
$\dfrac{\sin14^\circ+\sin7^\circ}{1+\cos 7^\circ+\cos 14^\circ}\cdot\ctg7^\circ$-ийг хялбарчил.
A.$\sin7^\circ$ B.$\tg^27^\circ$ C.$\dfrac12$ D.$1$ E.$\dfrac32$
$(7+3\sqrt5)\sin^418^\circ=?$
A.$1$ B.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ C.$\dfrac14$ D.$\dfrac12$ E.$\dfrac18$
$2\cos^275^\circ\cdot\tg75^\circ=?$
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}2$ C.$1$ D.$\dfrac{\sqrt3}4$ E.$\dfrac14$
$2\cos^222.5^\circ\cdot\tg22.5^\circ=?$
A.$1$ B.$\dfrac{\sqrt2}2$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac{\sqrt3}4$ E.$\dfrac14$
$\dfrac{\sin2\alpha+\sin6\alpha+\sin10\alpha}{\cos2\alpha+\cos6\alpha+\cos10\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$\tg6\alpha$ B.$0$ C.$\cos2\alpha$ D.$2$ E.$\sin10\alpha$
$\dfrac{\sqrt{2} \cos\alpha -2\cos(45^\circ +\alpha)}{2\sin (45^\circ +\alpha)-\sqrt{2}\sin\alpha}$ хялбарчил.
A.$0$ B.$10$ C.$1$ D.$\ctg \alpha$ E.$\tg \alpha$
Нийлбэр, ялгаврыг үржвэрт хувиргах томьёо
$\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)-\sin\left(x+\dfrac{2\pi}3\right)=\cos\left(x+\dfrac\pi4\right)$ тэгшитгэлийг бод.
Илэрхийллийг хялбарчил.
- $\sin20^{\circ}\cdot \sin 40^{\circ}\cdot \sin80^{\circ}$
- $\cos 10^{\circ}+\cos 110^{\circ}+\cos 230^{\circ}$
Нийлбэр, үржвэрийн томъёог хэрэглэж, дараах утгыг ол.
- $\sin 75^{\circ}\cdot \cos 15^{\circ}$
- $\cos 45^{\circ}\cdot \sin 75^{\circ}$
- $\sin 105^{\circ}\cdot \sin 45^{\circ}$
- $\cos45^{\circ}\cdot \cos 75^{\circ}$
- $\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ} $
- $\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}$
- $\cos 105^{\circ}+\cos 15^{\circ}$
- $\cos 105^{\circ}-\cos 15^{\circ}$
Дараах утгыг ол.
- $\cos 15^{\circ}-\cos 75^{\circ}$
- $\sin40^{\circ}\cdot\cos70^{\circ}\cdot \sin 80^{\circ}$
$\dfrac{\cos x-\sin2x}{\cos3x}=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin9x=2\sin3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos6x=2\sin\left(\dfrac{3\pi}2+2x\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin(3\pi2^x)=\cos(\pi2^x)-\sin(\pi2^x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x-\sin4x-\cos7x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{3}\sin2x+\cos x=\cos9x$ тэгшитгэлийн $\big[0,\dfrac{\pi}3\big]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\cos5x+\cos7x=\cos(\pi+6x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x=\sin2x+\sin x, \dfrac\pi2< x< \pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sin2x+\sin3x=\cos x+\cos2x+\cos3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos5x-\cos3x+\sin2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin(x+30^\circ)+\cos(x=60^\circ)=1+\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos 2x+\cos4x+\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sin2x+\sin3x+\sin4x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\sin3x+\cos3x=0$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийдийг градусаар илэрхийл.
$\cos8x-4\sin6x-\cos4x=0$ тэгшитгэлийн $\big[\dfrac\pi2,\dfrac{5\pi}4\big]$ муж дахь шийдүүдийн нийлбэрийг градусаар илэрхийл.
$\sin3x-\sin7x=\sqrt3\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos5x-\sin\left(3x-\dfrac\pi2\right)=\sqrt2\cos(4x+3\pi)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x-\sin\left(5x+\dfrac{3\pi}2\right)=\sqrt3\cos(3x+\pi)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x-\sin3x-\sin5x+\sin7x=0$ тэгшитгэлийн $[0^\circ,360^\circ]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\sin x-\sin3x=\sin4x-\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\sin3x+\sin5x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\alpha$, $\beta$ нь параллелограммын хөрш өнцгүүд ба $\dfrac{\sqrt3}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)$ бол $\alpha$, $\beta$-г ол.
$\sin3x+\sin7x=2\sin5x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sin3x=\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin75^\circ-\sin15^\circ=?$
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}{4}$ C.$\dfrac{\sqrt2}2$ D.$\dfrac{\sqrt6-2}{2}$ E.$\dfrac{\sqrt3-1}{4}$
$\cos15^\circ-\sin15^\circ=?$
A.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt3-2}{2}$ C.$\dfrac{\sqrt2-1}{2}$ D.$\dfrac{\sqrt2+1}{2}$ E.$\dfrac{\sqrt6}{2}$
$1+\cos x, \cos^2 x, 1-\cos 3x$ нь $x$-ийн ямар утганд арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A.$2\pi k, \pm
\frac{\pi}{3}+2\pi k;$ B.$\pi k, \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k;$ C.$\frac{\pi}{2}+\pi k, (-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi
k;$ D.$(-1)^{k+1}\frac{\pi}{3}+\pi k, \pi+2\pi
k; (k\in Z)$
$1+\sin x, \sin^2 x, 1+\sin 3x$ нь $x$-ийн ямар утганд арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A.$\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ B.$(-1)^{k}\dfrac{\pi}{6}+\pi k, \dfrac{\pi}{2}+\pi k$ C.$(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{3}+\pi k; \pi +2\pi k$ D.$\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \dfrac{\pi}{6}+\pi k$ E.$\dfrac{\pi}{2}+\pi k, (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k$
$\cos115^{\circ}-\cos 35^{\circ}+\cos65^{\circ}+\cos 25^{\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$\cos5^{\circ}$ B.$\sin5^{\circ}$ C.$\cos15^{\circ}$ D.$\sin 35^{\circ}$ E.$\sin105^\circ$
$\sin 87^{\circ}-\sin 59^{\circ}-\sin93^{\circ}+\sin61^{\circ}$-илэрхийллийг хялбарчил.
A.$\sin89^{\circ}$ B.$\sin 1^{\circ}$ C.$\cos29^{\circ}$ D.$\cos61^{\circ}$ E.$1$
$\sin75^\circ+\sin15^\circ=?$
A.$\dfrac{\sqrt6}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ C.$1$ D.$\dfrac{\sqrt6+1}{2}$ E.$\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}$
$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$ бодвол $
x_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\pi k$, $ x_2=\pi(\fbox{c}k+1)$, $x_3=\dfrac{\pi}{2}(\fbox{d}k+1) (k\in \mathbb Z)$ болно.
Нийлбэр, ялгаврын синус, косинусын томьёо
$\sin\alpha=\dfrac{8}{17},\sin\beta=\dfrac{15}{17}$ ба
$\alpha$, $\beta\in\big(\frac{\pi}{2};\pi\big)$ бол $\sin(\alpha+\beta)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$0^\circ< x< 45^\circ$ нөхцлийг хангах дурын $x$-ийн хувьд $\sin 3x+t\sin 2x>0$ тэнцэтгэл биш биелэх $t$-ийн утгын мужийг ол.
Дараах утгыг ол.
- $\cos75^{\circ}$, $\tg75^{\circ}$
- $\sin15^{\circ}$, $\tg15^{\circ}$
- $\cos165^{\circ}$, $\tg165^{\circ}$
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac5{13}$, $\beta$
нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac 35$ гэе.
$\sin(\alpha-\beta)=\ebox$, $\cos(\alpha+\beta)=\ebox$,
$\cos(\alpha-\beta)=\ebox.$
$\sin\theta=s$, $\cos\theta=c$, $\tg\theta=t$ гэвэл
- $\cos4\theta$, $\cos5\theta$-ийг $c$-ээр илэрхийл.
- $\sin 5\theta$-ийг $s$-ээр илэрхийл.
- $\tg 3\theta$, $\tg 4\theta$-ийг $t$-ээр илэрхийл.
$5\sin x+12\cos x=13$ тэгшитгэлийг бод.
$\left(\sin\Big(x+\dfrac\pi6\Big)+\cos\Big(x+\dfrac\pi3\Big)\right)^2=0,5(1+2\sin^2x)$ тэгшитгэлийн $x^2-2\pi x\le 0$ байх бүх шийдийг ол.
$\dfrac{\sin6x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{\cos6x}{\cos x-\sin x}, 0< x< \dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos3x}{\sin2x}+\sin x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\sin5x=\cos4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x\cos2x=\cos3x, 0^\circ< x< 180^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\dfrac x2\cos\dfrac{3x}2-\dfrac1{\sqrt3}\sin2x=\sin\dfrac{3x}2\cos\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x\cos2x-\sin x\sin2x=1$ тэгшитгэлийн $[0, 5]$ муж дахь $\sin2x>0$ байх шийдийн тоог ол.
$\dfrac{\sin50^{\circ}\cdot\cos12^{\circ}-\sin40^{\circ}\cos78^{\circ}}{\cos68^{\circ}-\sqrt3\sin68^{\circ}}$ тооцоол.
$\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\dfrac13 $
бол
$\tg\alpha\tg\beta$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big(0;\dfrac{\pi}{4}\Big)$ бол
$\sin2\alpha$, $\cos\Big(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big[\dfrac{\pi}{2};\pi\Big]$ бол
$\cos\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=\dfrac45$ ба $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$ бол
$\cos\Big(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{1}{3},\cos\beta=-\dfrac23 $ ба
$\pi< \alpha,\beta< \dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin(\alpha+\beta)$-г
ол.
$0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}< \beta< 2\pi$, $\sin\alpha=\dfrac{9}{41}$, $\sin\beta=-\dfrac{40}{41}$ бол $\cos(\alpha+\beta)=?$
A.$\dfrac{1600}{1681}$ B.$\dfrac{720}{1681}$ C.$\dfrac{360}{1681}$ D.$\dfrac{369}{1681}$ E.$\dfrac{365}{1681}$
$x$ ба $y$ нь II мужийн өнцгүүд ба $\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin y=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin(x-y)$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$-\dfrac{2\sqrt{5}}{25}$ B.$-\dfrac{\sqrt{5}}{25}$ C.$-\dfrac{2}{25}$ D.$-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ E.$-\dfrac{22}{25}$
$\cos(\alpha+\beta)=\dfrac 13,$ $\cos(\alpha-\beta)=\dfrac 15$ бол $\tg\alpha\cdot \tg\beta$-г ол.
A.$\dfrac 12$ B.$\dfrac 13$ C.$-\dfrac12$ D.$-\dfrac14$ E.$-\dfrac13$
$\sin\alpha+\sin\beta=1,$ $\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{2}$ бол $\cos(\alpha-\beta)=?$
A.$\dfrac 13$ B.$\dfrac 12$ C.$\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$ D.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ E.$-\dfrac12$
$\alpha$, $\beta$ нь хурц өнцөг болно. $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$ ба $\cos\beta=\dfrac{3}{5}$ бол $\cos(\alpha+\beta)=?$
A.$-\dfrac{13}{85}$ B.$-\dfrac{16}{57}$ C.$-\dfrac{3}{8}$ D.$-\dfrac{17}{38}$ E.$-\dfrac{33}{100}$
Зурагт дүрсэлсэн өнцгийн косинус хэд вэ?
A.$0$ B.$\dfrac{1}{\sqrt5}$ C.$-\dfrac{\sqrt2}{2}$ D.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$1$
$\cos2\alpha=\dfrac{2}{3}$ бол $\sin^3\alpha\cdot\sin3\alpha+\cos^3\alpha\cdot\cos3\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$\dfrac49$ B.$\dfrac12$ C.$\dfrac8{27}$ D.$\dfrac13$ E.$\dfrac23$
$\sin2x\cdot\cos4x-\cos2x\cdot\sin4x=0.5$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд аль нь вэ?
A.$-15^\circ$ B.$-1^\circ$ C.$-30^\circ$ D.$-75^\circ$ E.$-1^\circ$
$\alpha$, $\beta$ нь хурц өнцөг болно. $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$ ба $\cos\beta=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin(\alpha+\beta)=?$
A.$\dfrac{84}{85}$ B.$\dfrac{56}{57}$ C.$\dfrac{7}{8}$ D.$\dfrac{37}{38}$ E.$\dfrac{99}{100}$
$\dfrac{\sin3x}{\sin x}-\dfrac{\cos3x}{\cos x}=?$
A.$-3$ B.$-1$ C.$0$ D.$2$ E.$3$
$\sin7x\cos x=\sin 6x$ тэгшитгэлийг бод.
A.$x=\pi n$ B.$x_1=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{2\pi n}7$, $x_2=2\pi n$ C.$x_1=\dfrac{\pi}{14}+\dfrac{\pi n}7$, $x_2=\pi n$ D.$x=\dfrac{\pi}{14}+\dfrac{\pi n}7$ E.$x=(-1)^k\arcsin\dfrac{6}{7}+\pi k$
$1-2(\sin72^\circ\cos12^\circ-\sin18^\circ\cos78^\circ)^2$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$0.5$ B.$1$ C.$-1$ D.$0$ E.$-0.5$
$$32\cdot(\cos121^\circ\cdot\cos1^\circ+\sin59^\circ\cdot\cos89^\circ)$$
илэрхийллийн утгыг ол.
A.$32$ B.$-16$ C.$16$ D.$8$ E.$-8$
$\arccos\dfrac35+\arccos\dfrac5{13}=\arccos a$ бол $a$-г ол.
A.$\dfrac{12}{13}$ B.$\dfrac45$ C.$\dfrac23$ D.$-\dfrac{37}{65}$ E.$-\dfrac{33}{65}$
$\sin 76^\circ\cos14^{\circ}-\cos76^\circ\sin 14^\circ=?$
A.$\cos 62^\circ$ B.$0$ C.$1$ D.$\cos 28^\circ$ E.$\sin 28^\circ$
$\cos75^\circ\cos15^\circ+\sin 75^\circ\sin15^\circ=?$
A.$\dfrac{\sqrt3}2$ B.$\dfrac{\sqrt2}2$ C.$\dfrac12$ D.$0$ E.$-0.5$
$\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=\cos 75^{\circ}$-ийг ашиглан $\cos 75^\circ$-ийг ол.
A.$\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ B.$\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ C.$\displaystyle\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$ D.$\displaystyle\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ E.$\frac12$
$\cos24^\circ\cdot\cos36^\circ-\sin 24^\circ\cdot\sin 36^\circ=?$
A.$0.5$ B.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ C.$\cos 12^\circ$ D.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$\sin 12^\circ$
$\sin75^\circ$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ B.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ C.$\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ D.$\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ E.$\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{4}$
$\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi,$ $\dfrac{\pi}{2}< \beta< \pi,$ $\sin\alpha=\dfrac 45,$ $\cos\beta=-\dfrac{15}{17}$ бол $\sin(\alpha+\beta)=?$
A.$-\frac{84}{85};$ B.$-\frac{7}{17};$ C.$-\frac{28}{85};$ D.$-\frac{12}{17};$
$2\cos 15x\cdot \cos 3x=\sqrt{a}-2+\cos 18x$ тэгшитгэл өгөгдөв.
1) Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $a\in [\fbox{a};\fbox{b}]$ байна.
2) $a=9$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}k\pi$ болох ба $[0.4;2.2]$ завсарт шийдүүдийн нийлбэр $\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\pi$ байна.
1) Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $a\in [\fbox{a};\fbox{b}]$ байна.
2) $a=9$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}k\pi$ болох ба $[0.4;2.2]$ завсарт шийдүүдийн нийлбэр $\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\pi$ байна.
$2\sin 17x\cdot \sin 2x=\sqrt{a}-3-\cos 19x$ тэгшитгэл өгөгдөв.
1) Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $a\in [\fbox{a};\fbox{bc}]$ байна.
2) $a=16$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{ef}}k\pi$ болох ба $[0.5;1.5]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэр $\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}\pi$ байна.
1) Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $a\in [\fbox{a};\fbox{bc}]$ байна.
2) $a=16$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{ef}}k\pi$ болох ба $[0.5;1.5]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэр $\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}\pi$ байна.
$\sin\alpha=-\dfrac 45 \Bigl(|\alpha|< \dfrac{\pi}{2}\Bigr),$ $\sin \beta=-\dfrac{12}{13} \left(\dfrac{\pi}{2}< |\beta|< \pi\right)$ бол
$\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ab}}$ байна.
$\sin\alpha=-\dfrac 35
\Bigl(|\alpha|< \dfrac{\pi}{2}\Bigr),
\cos\beta=\dfrac{5}{13}
\Bigl(-\pi< \beta< 0\Bigr)$ бол $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$, $\beta$ нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac{3}{5}$ гэе. $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$, $\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$.
$\left\{\begin{array}{c}\sin x\cos y=\dfrac{\sqrt2}{4}\\ \cos x\sin y=\dfrac{\sqrt2}{4}\end{array}\right.$ систем тэгшитгэлийг бодъё:
$$\sin(x+y)=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}},\ \sin(x-y)=\fbox{c}$$
тул $$x+y=\dfrac{(-1)^n\pi}{\fbox{d}}+\pi n,\ x-y=\pi k$$
болно. Эндээс $x=\dfrac{(-1)^n\pi}{\fbox{e}}+\dfrac{(n+k)\pi}{\fbox{f}}$, $y=\dfrac{(-1)^n\pi}{\fbox{e}}+\dfrac{(n-k)\pi}{\fbox{f}}$ байна.
$\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}$, $\cos\beta=\dfrac{24}{25}$ ба
$0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$, $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ бол
$\sin(\alpha-\beta)=-0.\fbox{abc}\dots$ байна.
Нийлбэр, ялгаврын тангес, котангесийн томьёо
$\tg\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\Big)=2$ бол
$\dfrac{\sin\alpha-3\cos\alpha}{0.5\sin\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\ctg\Big(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\Big)=3$ бол $\sin\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(\alpha+\beta)=-1$ ба $\tg\alpha=3$ бол $\tg\beta$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\beta=a$ , $2\tg(\alpha-\beta)=\tg\beta-\tg\alpha$ бол $\ctg(\alpha+\beta)$- ол.
$\tg\beta=b$, $1+\tg\alpha\tg\beta=4\ctg(\alpha-\beta)$ бол $\tg(\alpha+\beta)$-г ол.
$\tg\alpha=\dfrac 12$, $\tg\beta=\dfrac 13$ үед
$\tg(\alpha-\beta)=\ebox$, түүнчлэн $\alpha$, $\beta$ хурц өнцөг үед $\alpha+\beta=\ebox$.
Эгц босоо хананд $5$м өндөртэй зураг өлгөв. Зурагны доод ирмэг газраас $1$м өндөрт
байсан бол хананаас $2$м зайд байрлах, газар дээрх цэгээс энэ
зурагны харагдах өнцгийг ол.
$\sin\theta=s$, $\cos\theta=c$, $\tg\theta=t$ гэвэл
- $\cos4\theta$, $\cos5\theta$-ийг $c$-ээр илэрхийл.
- $\sin 5\theta$-ийг $s$-ээр илэрхийл.
- $\tg 3\theta$, $\tg 4\theta$-ийг $t$-ээр илэрхийл.
$0< \alpha< \dfrac{\pi}{2},$ $0< \beta< \dfrac{\pi}{2},$ $\ctg\alpha=4,$ $\ctg\beta=\dfrac 53$ бол $\alpha+\beta=?$
A.$\dfrac{\pi}{4}$ B.$\dfrac{\pi}{3}$ C.$\dfrac{\pi}{2}$ D.$\dfrac{\pi}{6}$ E.$\dfrac{\pi}{12}$
$0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$, $0< \beta< \dfrac{\pi}{2}$, $\tg\alpha=\dfrac 12$, $\tg\beta=\dfrac 13$ бол $\alpha+\beta=?$
A.$\dfrac{2\pi}{3}$ B.$\dfrac{\pi}{4}$ C.$\dfrac{\pi}{2}$ D.$\dfrac{5\pi}{6}$ E.$\dfrac{3\pi}{4}$
A.$\dfrac12$ B.$1$ C.$\dfrac32$ D.$2$ E.$\dfrac52$
$\tg\alpha=\dfrac 12$, $\tg\beta=\dfrac 13$ үед
$\tg(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$, түүнчлэн $\alpha$, $\beta$ хурц өнцөг үед $\alpha+\beta=\fbox{cd}^\circ$.
Секанс, косеканс, котангес функцүүд
Тригонометр функцийн тодорхойлолт, утга
$\left(\sqrt{\Big(\sqrt5-\dfrac52\Big)^2}-\sqrt[3]{\Big(\dfrac32-\sqrt5\Big)^3}\right)^{\frac12}-\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}4$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin 18^{\circ}$-ийн утгыг ол.
$0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}$, $0^{\circ}\leq y\leq 180^{\circ} $ бол $\sin(x+y)$ ба $\sin{x}+\sin{y}$-ийг жиш, тэнцэх нөхцлийг ол.
Дараах утгыг ол.
- $\sin(-210^{\circ})$
- $\cos510^{\circ}$
- $\tg(-330^{\circ})$
Дараах өнцгийн синус, косинус, тангесийн утгыг ол.
- $210^{\circ}$
- $-45^{\circ}$
- $-315^{\circ}$
- $720^{\circ}$
- $-570^{\circ}$
- $2220^{\circ}$
Нэгж тойрог дээрх $P(\cos \theta,\sin \theta);$ $Q(\cos2\theta,\sin 2\theta);$ $R(\cos 4\theta,\sin 4\theta)$ цэгүүдийн
хувьд $PQ^2+QR^2$-ийн утгын мужийг ол. $0^{\circ}\le\theta< 360^{\circ}$
2 талтай $ABCDE$ зөв таван өнцөгтийн $AD$, $CE$ диагоналиудын огтлолцлын цэгийг $F$ гэе .
- $DF$-ийн уртыг ол.
- $\sin 18^{\circ}$-ийн утгыг ол.
- $S_{ABCDE}$-ийг ол.
Дараах утгуудыг ол.
- $\sin 1020^{\circ}$
- $\cos (-240^{\circ})$
- $\tg 585^{\circ}$
Дараах тригонометр функцийн утгыг ол.
- $\sin 690^{\circ}$
- $\cos(-120^{\circ})$
- $\tg (-585^{\circ})$
$\cos 36^{\circ}$-ийн утгыг дараах хоёр аргаар ол.
- $\theta=36^\circ$ гээд $\cos\theta$-ийн хувьд тэгшитгэл зохиож бод.
- Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцгийн биссектрисийг ашиглан ол.
$x=313,-313$ утгуудийн аль дээр $f(x)=\sin x$ функц эерэг утга авах вэ?
$\sin(-330^{\circ}) $ илэрхийллийн утгыг ол.
$\left(\sqrt{\Big(\sqrt5-\dfrac32\Big)^2}+\sqrt[3]{(1-\sqrt5)^3}\right)^{2}+2^{-\frac32}\cos\dfrac{3\pi}4$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\left(\dfrac13\right)^{-2}+\sin\dfrac{5\pi}{4}+(\sqrt2)^{-1}+\log_{\sqrt2}2$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin 750^\circ$-ийн утгыг ол.
A.$0$ B.$-1$ C.$0.5$ D.$\dfrac{\sqrt{2}}2$ E.$\dfrac{\sqrt{3}}2$
$\cos45^\circ\cdot\sin30^\circ\cdot\cos60^\circ\cdot\tg60^\circ\cdot\ctg30^\circ\cdot\ctg60^\circ=?$
A.$\dfrac{\sqrt6}{8}$ B.$\dfrac{4\sqrt3}{9}$ C.$3$ D.$-3$ E.$\dfrac{\sqrt3}{4}$
$5\sin\dfrac{\pi}{6}-\ctg\dfrac{\pi}{4}$ утгыг ол.
A.$\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}$ B.$3.5$ C.$\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-1$ D.$1.5$ E.$2.5$
Дараах тоонуудын аль нь III мужид байрлах $\alpha$ өнцгийн косинусын утга болж чадах вэ?
A.$0$ B.$\dfrac12$ C.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ D.$-\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$-\sqrt3$
$y=\sin x+\cos x$ функцийн боломжит хамгийн их утга дараах тоонуудын аль нь вэ?
A.$-2$ B.$-\sqrt2$ C.$0$ D.$\sqrt2$ E.$2$
$\tg 60^\circ$-ийн утга аль нь вэ?
A.$-\sqrt3$ B.$-\dfrac{\sqrt3}{3}$ C.$1$ D.$\dfrac{\sqrt3}{3}$ E.$\sqrt3$
Дараах тоонуудын аль нь $0\le\alpha\le\pi$ байх өнцгийн синус болж чадах вэ?
A.$-0.5$ B.$0.8$ C.$\sqrt3$ D.$-\sqrt3$ E.$\dfrac{4}{3}$
$\tg 135^\circ=?$
A.$\sqrt3$ B.$1$ C.$0$ D.$-1$ E.$-\sqrt{3}$
$\sin 30^\circ$-ийн утгыг ол.
A.$0$ B.$-1$ C.$0.5$ D.$\dfrac{\sqrt{2}}2$ E.$\dfrac{\sqrt{3}}2$
$\sin45^\circ\cdot\cos30^\circ\cdot\sin60^\circ\cdot\ctg60^\circ\cdot\tg30^\circ\cdot\tg60^\circ=?$
A.$\dfrac{2\sqrt3}{4}$ B.$\dfrac{4\sqrt3}{7}$ C.$16$ D.$-16$ E.$\dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}$
$3+\dfrac{\cos 15}{|\cos 15|}=\fbox{a}$ байна.
$3+\dfrac{\sin 15}{|\sin 15|}=\fbox{a}$ байна.
Тригонометрийн адилтгал
$\sin(\arctg x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\cos^2x+\cos^2(x+\alpha)-2\cos\alpha\cdot\cos x\cdot\cos(x+\alpha)$ илэрхийлэл $x$-ээс хамаарахгүй болохыг батал.
$f(x)=\sin^22x+0.5\cos4x+2\sin^2x+\cos2x$ нь $x$-ээс хамаарахгүй тогтмол утга авахыг харуулж тэр утгийг ол.
$\sin5\alpha\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-4\alpha\Big)+\sin(\pi-4\alpha)\sin3\alpha +\sin2\alpha\cos\Big(\dfrac{7\pi}{2}-\alpha\Big)=2\cos\alpha\sin3\alpha\sin5\alpha$ батал.
$\dfrac{-4\tg\alpha}{\tg^2\alpha-1}=\tg\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big) +\tg\Big(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\Big)$ батал.
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{1-\tg^2\alpha}-\sin\alpha=\cos\alpha$ батал.
$\dfrac{1+\cos(2\alpha+630^{\circ})+\sin(2\alpha+810^{\circ})} {1-\cos(2\alpha-630^{\circ})+\sin(2\alpha+630^{\circ})}=\ctg\alpha$ батал.
$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\tg(\arcsin x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, $\tg(\arccos x)=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\sin\Big(\dfrac12\arccos x\Big)=\sqrt{\dfrac{1-x}{2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\cos\Big(\dfrac12\arccos x\Big)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\tg(\arcctg x)=\dfrac1x$, $\ctg(\arcctg x)=\dfrac1x$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\cos(\arcctg x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, $\sin(\arcctg x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\ctg\alpha-\tg\alpha=2\ctg2\alpha$ адилтгалыг батал.
$2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)+1=0$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\pi< \alpha< 2\pi$ үед $\dfrac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}-\sqrt{1-\cos\alpha}}=\ctg\Big(\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{2}\Big)$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\dfrac{\ctg\alpha+\ctg(270^{\circ}+\alpha)}{\ctg\alpha-\ctg(270^{\circ}+\alpha)}-2\cos(135^{\circ}+\alpha)\cos(315^{\circ}-\alpha)=2\cos2\alpha$ батал.
- $\sin(\alpha+\beta)\cdot \sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$ адилтгалыг батал.
- $\sin\alpha+\sin\beta=\dfrac 12$, $\cos \alpha+\cos\beta=\dfrac 23$ бол $\cos(\alpha-\beta)$-ийн утгыг ол.
$\triangle ABC$-ийн өнцгүүд $A$, $B$, $C$ бол дараах адилтгал биелэхийг батал.
$$\sin A+\sin B+\sin C=4\cdot \cos \dfrac A2\cdot \cos\dfrac B2\cdot \cos \dfrac C2$$
- $\dfrac{\sin \theta}{1+\cos\theta}+\dfrac 1{\tg\theta}=\dfrac 1{\sin \theta}$ адитгалыг батал.
- $\sin \theta+\cos \theta=\dfrac 13$ бол $\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$-ийн утгыг ол.
- $\cos 5\theta=f(\cos \theta)$ нөхцлийг хангах $f(x)$ функцийг ол.
- $\alpha=18^{\circ}$ бол $\cos \alpha\cos 3\alpha\cos7\alpha=\dfrac5{16}$ болохыг батал.
- $90^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$, $\sin\alpha=\dfrac 35$ бол $\cos2\alpha$, $\sin2\alpha$, $\tg\dfrac{\alpha}{2}$-ийн утгыг ол.
- $t=\tg\dfrac{\theta}{2}$ бол дараах адилтгалыг батал. $$\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}, \cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \tg\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}.$$
Дараах адилтгалыг батал.
- $\sin^4 \theta-\cos^4 \theta=1-2\cos^2 \theta$
- $\tg^2 \theta-\sin^2 \theta=\tg^2 \theta\cdot \sin^2 \theta$
- $\dfrac{\cos \theta}{1+\sin \theta}+\tg\theta=\dfrac1{\cos \theta}$
- $\dfrac{\cos \theta}{1+\sin \theta}+\dfrac{\cos \theta}{1-\sin \theta}=\dfrac2{\cos \theta}$
Дараах адилтгалыг батал.
- $\cos(\alpha-\beta)\cdot \cos(\alpha+\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\cos^2\beta-\sin^2\alpha.$
- $\cos x\cdot \sin(y-z)+\cos y\cdot \sin(z-x)+\cos z\cdot \sin(x-y)=0.$
Дараах адилтгал биелэхийг батал.
- $A+B+C=360^{\circ}$ бол $\sin A+\sin B+\sin C=4\cdot \sin \dfrac A2\cdot \sin \dfrac B2\cdot \sin \dfrac C2.$
- $\triangle ABC$-ны дотоод өнцгүүдийн хувьд $$\cos A+\cos B-\cos C=4\cos \dfrac A2\cdot \cos\dfrac B2\cdot \sin \dfrac C2-1 .$$
$\sin x+\sin 3x=a\sin x\cos^2 x$ адилтгал биелэгдэх
тогтмол тоо $a$-г ол.
$\sin^4\alpha+\dfrac14\sin^2(2\alpha+\pi)=(\sin\alpha)^k$ адилтгал биелэж байхаар $k$-г ол.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{1}{\tg^2\alpha}-1=\dfrac{2\cos 2\alpha}{1+\sin\left(2\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)}$ адилтгалыг батал.
$\tg\beta\left(1+\dfrac{1}{\cos 2\beta}\right)=\tg 2\beta$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\dfrac{\tg\alpha}{\tg2\alpha}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\tg2\alpha+\sec2\alpha$ адилтгалыг батал.
$\ctg^2\alpha-\ctg^2\beta=\dfrac{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}{\sin^2\alpha\sin^2\beta}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\beta\right)-\sqrt2\sin\beta}{2\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\beta\right)-\sqrt3\cos\beta}$ адилтгалыг батал.
$\tg^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=\dfrac{1-\sin2\alpha}{1+\sin2\alpha}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{2\sin2x+\sin4x}{2(\cos x+\cos3x)}=\tg2x\cdot\cos x$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin2x-2\sin x}{\sin2x+2\sin x}=-\tg^2\dfrac{x}{2}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{1+\sin\alpha-2\sin^2\left(45^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}\right)}{4\cos\dfrac{\alpha}{2}}=\sin\dfrac{\alpha}{2}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{1+\sin2\alpha+\cos2\alpha}{1+\sin2\alpha-\cos2\alpha}=\ctg\alpha$ адилтгалыг батал.
$\sin^2(30^{\circ}+\alpha)-\sin^{2}(30^{\circ}-\alpha)=\dfrac{\sqrt3\sin2\alpha}{2}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{2\tg\alpha}{\tg^2\alpha-1}=\dfrac{2\cos^2\alpha\cdot\tg\alpha}{\sin^2(-\alpha)-\cos^2\alpha}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{1-\tg^2\alpha}-\sin\alpha=\cos\alpha$ адилтгалыг батал.
$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha+\dfrac{1}{2}\sin^22\alpha=1$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin\alpha+\sin\dfrac{\alpha}{2}}{1+\cos\alpha+\cos\dfrac{\alpha}{2}}=\tg\dfrac{\alpha}{2}$ адилтгалыг батал.
$\tg\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$ адилтгалыг батал.
$(\tg\alpha+\ctg\alpha)^2-(\tg\alpha-\ctg\alpha)^2=4$ адилтгалыг батал.
$\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin(\pi+x)\cos\Big(\dfrac{3\pi}{2}-x\Big)\tg\Big(x-\dfrac{\pi}{2}\Big)}{\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)\cos\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)\tg(\pi+x)}=\ctg^2x$ адилтгалыг батал.
$1+\dfrac{1-\cos^2\alpha+\tg^2\alpha\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\sin43^{\circ}+\sin17^{\circ}}{2\cos13^{\circ}+3\sin77^{\circ}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{\sin(\alpha+\pi)}{\sin(\alpha+\dfrac{3\pi}{2})}+\dfrac{\cos(3\pi-\alpha)}{\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)-1}=\dfrac{A}{\cos\alpha}$ адилтгал биелэж байхаар $A$-г ол.
$\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=B\tg\dfrac{x}{2}$ адилтгал биелэж байхаар $B$-г ол.
$2\sin4x(\cos^42x-\sin^42x)=\sin kx$ адилтгал биелэж байхаар $k$-г ол.
$\sin(\alpha-30^\circ)$ нь аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?
A.$\sin(30^\circ-\alpha)$ B.$\sin(120^\circ+\alpha)$ C.$\sin(120^\circ-\alpha)$ D.$\cos(120^\circ-\alpha)$ E.$\cos(90^\circ-\alpha)$
$\sin(\alpha-30^\circ)$ нь аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?
A.$\sin(30^\circ-\alpha)$ B.$\sin(120^\circ+\alpha)$ C.$\sin(120^\circ-\alpha)$ D.$\cos(120^\circ-\alpha)$ E.$\cos(90^\circ-\alpha)$
Тригонометрийн илэрхийлэл
$(3\sin x+2\cos x)^2+(2\sin x-3\cos x)^2$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\Big(\sin\dfrac{\alpha}{2}+\cos\dfrac{\alpha}{2}\Big)^2}{1+\sin\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\cos^2(\pi-\alpha)+\cos^2\Big(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\Big)$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\tg^2(270^{\circ}+\alpha)\sin^2(180^{\circ}+\alpha)$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}-\tg(45^{\circ}+\alpha)$ илэрхийллийг хялбарчил.
$1-\sin\alpha\cos\alpha\tg\alpha+\sin^2\alpha+3$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\tg\alpha+\sin\alpha}{2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2\sin\alpha-\sin2\alpha}{2\sin\alpha+\sin2\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2(1+\sin2\alpha-\cos2\alpha)}{\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\alpha=\dfrac{\pi}{36}$ үед $\dfrac{\sqrt3\cos3\alpha}{10(\cos9\alpha+\cos3\alpha)}$ илэрхийлэлийн утгийг ол.
$\alpha=\dfrac{\pi}{12}$ үед $\dfrac{1-\sin^42\alpha-\cos^42\alpha}{2\sin^42\alpha}+1$ илэрхийлэлийн утгийг ол.
$\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ үед $\dfrac{1+\cos\alpha+\cos2\alpha+\cos3\alpha}{\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1}$ илэрхийлэлийн утгийг ол.
$\cos2\alpha+\sin2\alpha\cdot\tg\alpha$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{1+\tg x\tg2x}{\tg x+\ctg2x}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\cos^42x+6\sin^22x\cos^22x+\sin^42x-2\sin^24x$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}+\beta\Big)-\cos(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\beta)}{\sin\Big(\dfrac{\pi}{2}+\alpha+\beta\Big)}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\sin^2\alpha+\sin(60^{\circ}+\alpha)\sin(60^{\circ}-\alpha)$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1}{\tg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)-\sin\alpha\cos\alpha}-2\tg^2\alpha$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2(\sin2\alpha+2\cos^2\alpha-1)}{\cos\alpha-\sin\alpha-\cos3\alpha+\sin3\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$2\sin\alpha\cos\alpha-\dfrac{\sin\alpha-\sin(\pi+3\alpha)+\sin2\alpha}{2\cos\alpha+1}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2}{\sin\alpha}-\dfrac{2}{\sin3\alpha}-\dfrac{4\cos2\alpha}{\sin3\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{1+\sin\Big(\dfrac{3\pi}{2}+2x\Big)-\sin^2x}{\sin2x\sin\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)+\sin x\cos(\pi-2x)}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\tg(180^{\circ}-\alpha)\cos(180^{\circ}-\alpha)\tg(90^{\circ}-\alpha)}{\sin(90^{\circ}+\alpha)\ctg(90^{\circ}-\alpha)\tg(90^{\circ}+\alpha)}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos(45^{\circ}-\alpha)}{2\sin(30^{\circ}+\alpha)-\sqrt3\sin\alpha}+\sqrt2\tg\alpha$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2\cos^2\alpha-1}{8\tg\Big(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\Big)\cos^2\Big(\dfrac{\alpha-\pi}{4}\Big)}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{2\sin^270^{\circ}-1}{2\ctg115^{\circ}\cdot\cos^2155^{\circ}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=0.1$ бол
$\dfrac{4\sin(30^{\circ}+\alpha)\sin(30^{\circ}-\alpha)}{\cos^2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos45^{\circ}\cdot\sin3105^{\circ}+\dfrac12\ctg(-315^{\circ})-\cos270^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\alpha=112^{\circ}30'$ бол $\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=0.7$ бол
$\dfrac{\sin\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha\cdot\tg\dfrac{\alpha}{2}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\ctg x=-\dfrac45$ бол $\dfrac{\sin4x\cdot\cos2x
}{(1+\cos2x)(1+\cos4x)}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2x=3^{-\frac12}$ бол $\dfrac{\sin^2(4x-540^{\circ})}{\cos^2(4x-540^{\circ})}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=3$ бол
$\dfrac{\sin\alpha-2\sin2\alpha+3\sin3\alpha}{\cos\alpha-2\cos2\alpha+3\cos3\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin x=\dfrac13$ бол
$3\cdot\dfrac{\sin2x-\sin3x+\sin5x}{1+\cos
x-2\sin^22x}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{1}{2\sin10^{\circ}}-2\sin70^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin16^{\circ}+\cos16^{\circ}\cdot\tg37^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos67^{\circ}30'$ ба $\cos75^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{\ctg15^{\circ}+1}{2\ctg15^{\circ}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{\cos\dfrac{4\pi}{9}}{\sin\dfrac{19\pi}{18}}+2\cos\pi$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\Big(\dfrac{\sin80^{\circ}+\sin40^{\circ}}{\sin70^{\circ}}\Big)^2$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{16\sin251^{\circ}-10\cos161^{\circ}}{\cos19^{\circ}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\Big(\tg\dfrac{5\pi}{16}+\tg\dfrac{3\pi}{16}\Big)\cdot\cos\dfrac{\pi}{8}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\left[\tg\Big(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{4}\Big)+\tg\Big(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\Big)\right]
\big(2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-1\big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$2\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}-\cos20^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos20^{\circ}+2\sin^255^{\circ}=1+\sqrt2\sin65^{\circ}$ тэнцэтгэлийг шалга.
$\sin^2(45^{\circ}+\alpha)-\sin^2(30^{\circ}-\alpha)-\sin15^{\circ}\cos(15^{\circ}+2\alpha).$
$\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ хялбарчил.
$2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)$ хялбарчил.
$\tg^3x+\tg^2x+\tg x+1-\dfrac{\sin x}{\cos^3x}$ хялбарчил.
$\dfrac{(\tg\alpha+\cos^{-1}\alpha)(\cos\alpha-\ctg\alpha)}{(\cos\alpha+\ctg\alpha)(\tg\alpha-\cos^{-1}\alpha)}$ хялбарчил.
$\sin(2\arcctg(\dfrac13))+\cos(\arcctg2\sqrt2)$ тооцоол.
$\cos2\alpha=0.4$ бол $\cos^6\alpha-\sin^6\alpha$-г ол.
$\cos\alpha+\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}$ бол $\cos^4\alpha+\sin^4\alpha$-г ол.
$\dfrac{1}{\tg^2\alpha}+\dfrac{1}{\ctg^2\alpha}+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=8$ бол $\sin^22\alpha$-г ол.
$\sin\alpha-\cos\alpha=a$ бол $\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}-\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$-г ол.
$\tg9^{\circ}-\tg63^{\circ}+\tg81^{\circ}-\tg27^{\circ}$ тооцоол.
$\sin70^{\circ}\cdot\sin50^{\circ}\cdot\sin10^{\circ}$ тооцоол.
$\cos70^{\circ}\cdot\cos50^{\circ}\cdot\cos10^{\circ}$ тооцоол.
$\dfrac{1-4\sin10^{\circ}\sin70^{\circ}}{2\sin10^{\circ}}$ тооцоол.
$4\sin20^{\circ}\cdot\sin40^{\circ}\cdot\sin60^{\circ}\cdot\sin80^{\circ}$ тооцоол.
$16\sin^220^{\circ}\cdot\sin^240^{\circ}\cdot\sin^260^{\circ}\cdot\sin^280^{\circ}$ тооцоол.
$\tg20^{\circ}\cdot\tg40^{\circ}\cdot\tg80^{\circ}$ тооцоол.
$\dfrac{96\sin80^{\circ}\cdot\sin65^{\circ}\cdot\sin35^{\circ}}{\sin20^{\circ}+\sin50^{\circ}+\sin110^{\circ}}$ тооцоол.
$\dfrac{\sin50^{\circ}\cdot\cos12^{\circ}-\sin40^{\circ}\cos78^{\circ}}{\cos68^{\circ}-\sqrt3\sin68^{\circ}}$ тооцоол.
$\cos\dfrac{\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac18$ байхыг батал.
$\sin\dfrac{2}{5\alpha}\cos\dfrac{\alpha}{2}-\sin3\alpha\cos\dfrac{\pi}{3}-\dfrac14 $-г үржвэр хэлбэрт хувирга.
$\sec\alpha-\cos\alpha+\sec60^{\circ}\cdot\cos2\alpha\sin3\alpha-\sin5\alpha $-г үржвэр хэлбэрт хувирга.
$\tg2x=-\dfrac34$ ба $\sin2x>0$ бол $\log_{\tg\frac{\pi}{6}}\tg x$ илэрхийлэл тодорхойлогдохыг харуулж утгыг ол.
$\sin(\delta+\frac{\pi}{4})+\cos(\delta+\frac{\pi}{4})=-\sqrt{\dfrac45}$ бол $\log_{\frac{14}{25}}|\cos\delta|+\log_{\frac{14}{25}}|\cos3\delta|$-г тооцоол.
$\sin x+\cos x=a$ бол $\dfrac{\sin^3x+\cos^3 x}{a(a^2-3)}$-г ол.
$0< \alpha< 90^{\circ}$ бол $\dfrac{\sqrt{1+\sin\alpha}-\sqrt{1-\sin\alpha}}{4\sin\dfrac{\alpha}{2}}$-г хялбарчил.
$\sin5\alpha\cdot\sin4\alpha+\sin4\alpha\cdot\sin3\alpha-\sin2\alpha\cdot\sin\alpha-2\sin3\alpha\cdot\sin5\alpha\cdot\cos\alpha$-г хялбарчил.
$\tg3\alpha-\tg(\dfrac{\pi}{3}-\alpha)\tg(\dfrac{\pi}{3+\alpha})\tg\alpha+1 $-г хялбарчил.
$(\sqrt5+1)\sin18^{\circ}$-г тооцоол.
$\sin\alpha+\cos\alpha=1.4$ ба $0< \alpha< \dfrac{\pi}{4}$ бол $3\tg\dfrac{\alpha}{2}$-г тооцоол.
$0^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ ба $4\cos\theta\cdot \sin \theta\cdot \sin 3\theta=\cos3\theta$ нөхцлийг
хангадаг бол $\cos \theta$, $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$-ийн утгыг ол.
- $\sin(\alpha+\beta)\cdot \sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$ адилтгалыг батал.
- $\sin\alpha+\sin\beta=\dfrac 12$, $\cos \alpha+\cos\beta=\dfrac 23$ бол $\cos(\alpha-\beta)$-ийн утгыг ол.
- $\dfrac{\sin \theta}{1+\cos\theta}+\dfrac 1{\tg\theta}=\dfrac 1{\sin \theta}$ адитгалыг батал.
- $\sin \theta+\cos \theta=\dfrac 13$ бол $\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$-ийн утгыг ол.
- $\cos 5\theta=f(\cos \theta)$ нөхцлийг хангах $f(x)$ функцийг ол.
- $\alpha=18^{\circ}$ бол $\cos \alpha\cos 3\alpha\cos7\alpha=\dfrac5{16}$ болохыг батал.
$a=\sin^236^{\circ}$, $b=\sin^272^{\circ}$ гэвэл $a+b$ болон
$a\cdot b$ нь рациональ тоо болохыг батал.
- $\sin^2\theta=\cos\theta$ бол $\dfrac1{1+\cos\theta}+\dfrac1{1-\cos\theta}$-ийн утгыг ол.
- $\sin20^{\circ}+\cos160^{\circ}+\sin200^{\circ}+\cos(-20^{\circ})$-ийн утгыг ол.
Илэрхийлэл хялбарчил.
- $(\sin\theta+2\cos\theta)^2+(2\sin\theta-\cos \theta)^2$
- $\dfrac{\sin 4\theta+4\cos^2\theta-\cos^4
\theta+1}{3(1+\cos^2\theta)}$
- $\dfrac{1+\sin \theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos \theta}{1+\sin \theta}$
$\sin \theta+\cos\theta=\dfrac 12$ бол $\sin
\theta\cdot \cos \theta=\ebox$, $\sin\theta-\cos\theta=\ebox.$
$\sin \theta\cdot\cos\theta=\dfrac 12$ бол $\cos \theta+ \sin
\theta=\ebox$, $\sin^3\theta+\cos^3\theta=\ebox.$
$\theta$ нь III мужийн өнцөг ба $\tg\theta=\sqrt{2}$ бол дараах илэрхийллийн утгыг ол.
- $\dfrac{\cos^2\theta}{1+2\sin\theta\cdot \cos\theta}$
- $\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$
$-45^{\circ}\leq \theta\leq 60^{\circ}$ гэе.
$g(\theta)=2+\sin\theta-\cos^2\theta$, $f(\theta)=\dfrac3{g(\theta)}$
бол $g(\theta)$, $f(\theta)$-ийн хамгийн их, хамгийн бага утгыг
ол.
Илэрхийллийн утгыг ол.
- $\sin(-\theta)+\sin(90^{\circ}-\theta)-\sin(90^{\circ}+\theta)+\sin(180^{\circ}-\theta);$
- $\cos(-10^{\circ})+\cos 80^{\circ}+\cos100^{\circ}+\cos170^{\circ}+\cos260^{\circ}+\cos280^{\circ}.$
$-90^{\circ}\leq \theta\leq 90^{\circ}$ үед
$2a\cos\theta+2-\sin^2\theta$-илэрхийллийн хамгийн их, хамгийн
бага утгыг ол.
$\triangle ABC$-ны дотоод өнцөг $\alpha$,
$\beta$, $\gamma$-ийн хувьд
$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+ 2\cos\alpha\cos\beta\cos
\gamma$ илэрхийллийн утгыг ол.
Дараах илэрхийллийг хялбарчил.
- $\cos \theta\cdot \cos (\theta+120^{\circ})\cdot \cos (\theta-120^{\circ})$
- $\sin (\theta-60^{\circ})+\sin \theta+ \sin (\theta+60^{\circ})$
$-90^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ ба
$2\cos \theta+\sin 2\theta=1$ бол $\tg \theta$-ийн утгыг ол.
$\alpha=15^{\circ}$ бол $\dfrac{\cos4\alpha+1}{\ctg\alpha-\tg\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}4$ C.$\dfrac14$ D.$\dfrac{\sqrt3}2$ E.$1$
$\tg18^{\circ}\tg288^{\circ}+\sin32^{\circ}\sin148^{\circ}-\sin302^{\circ}\sin122^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$0$ B.$1$ C.$2$ D.$3$ E.$4$
$\alpha=\dfrac{\pi}{36}$ үед $\dfrac{\sqrt3\cos3\alpha}{10(\cos9\alpha+\cos3\alpha)}$ илэрхийллийн утгийг ол.
A.$0$ B.$1$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac1{10}$ E.$-\dfrac12$
Хэрэв $\tg\alpha=2$ бол $\dfrac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}$-г ол.
A.$\dfrac{2}{9}$ B.$\dfrac{5}{9}$ C.$\dfrac{9}{2}$ D.$\dfrac{10}{9}$ E.2
$\dfrac{\tg\alpha+\sin\alpha}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$1$ B.$\tg\alpha$ C.$\cos\alpha$ D.$\sin\alpha$ E.$\dfrac{\tg\alpha}{2}$
$\sin 75^\circ=?$
A.$\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ B.$\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ C.$\dfrac{\sqrt5+1}{4}$ D.$\dfrac{\sqrt5-1}{4}$ E.$\cos 105^\circ$
Хэрэв $\tg\alpha=3$ бол $\dfrac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}=?$
A.$\dfrac{15}{14}$ B.$\dfrac{7}{9}$ C.$1$ D.$\dfrac{10}{9}$ E.$\dfrac{35}{28}$
$\sin(\theta+45^\circ)$ нь дараах илэрхийллүүдийн алинтай нь тэнцүү вэ?
A.$\cos(45^\circ-\theta)$ B.$\cos(45^\circ+\theta)$ C.$\sin45^\circ$ D.$\sin(225^\circ+\theta)$ E.алинтай нь ч тэнцүү биш
$\sqrt{\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}-\sqrt{\dfrac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}$
A.$\sec\theta-1$ B.$2\csc\theta$ C.$2\tg\theta$ D.$\sec\theta\cdot\ctg\theta$ E.$2\cdot\dfrac{\sin\theta}{|\cos\theta|}$
$\dfrac{\sin35^\circ\cdot\cos35^\circ}{\sin55^\circ\cdot\cos55^\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$0$ B.$\dfrac13$ C.$\dfrac12$ D.$1$ E.$-1$
$2\cos140^\circ\cdot\sin(-40^\circ)$
A.$-\sin10^\circ$ B.$-\cos10^\circ$ C.$\cos10^\circ$ D.$\sin40^\circ$ E.$\cos20^\circ$
$\sin70^{\circ}\cdot\sin50^{\circ}\cdot\sin10^{\circ}$ тооцоол.
A.$\dfrac18$ B.$\dfrac38$ C.$\dfrac58$ D.$-\dfrac38$ E.$\dfrac78$
$\sin^210^{\circ}+\sin^2130^{\circ}+\sin^2110^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$1.4$ B.$1.2$ C.$1.7$ D.$1.8$ E.$1.5$
$\dfrac1{2\sin10^{\circ}}-2\sin70^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$1.5$ B.$0.5$ C.$1$ D.$2$ E.$-1$
$\dfrac{\tg60^{\circ}}{\sin40^{\circ}}+4\cos100^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$3$ B.$2$ C.$1.5$ D.$1$ E.$0$
$\dfrac{\sqrt{2}\cos\alpha-2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)-\sqrt{3}\sin\alpha}$ хялбарчил.
A.$\sqrt{2}\cos \alpha$ B.$-\sqrt{2}\tg\alpha$ C.$\frac{\ctg\alpha}{\sqrt{2}}$ D.$-\sqrt{2}\sin\alpha$ E.$-\sqrt{2}\ctg\alpha$
$\dfrac{\cos\alpha-2\cos (\frac{\pi}{3}+\alpha)}{2\sin (\alpha-\frac{\pi}{6})-\sqrt{3}\sin\alpha}$ хялбарчил.
A.$-\sqrt{3}\tg\alpha$ B.$\sqrt{3}\sin\alpha$ C.$\dfrac{\ctg\alpha}{\sqrt{3}}$ D.$-\sqrt{3}\cos\alpha$ E.$\sqrt{3}\cos\alpha$
$\dfrac{\sin 2t -2\sin (\frac{\pi}{2}-t)}{\cos(\frac{\pi}{2}-t)-\sin^2t}$-хялбарчил.
A.$2\tg t$ B.$2$ C.$-2$ D.$2\ctg t$ E.$-2\ctg t$
$\dfrac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}\cdot \tg \left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$-хялбарчил.
A.$2\tg t$ B.$-1$ C.$1$ D.$\tg 2t$
$\dfrac{1+\cos40^{\circ}+\cos80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}+\sin
40^{\circ}}\cdot \tg 40^{\circ}$-хялбарчил.
A.$0$ B.$1$ C.$\dfrac 12$ D.$\dfrac 32$ E.$\dfrac 23$
$\sqrt{4\cos^4\alpha-6\cos2\alpha+3}$-хялбарчил.
A.$2\cos^2\alpha+1$ B.$1+2\sin^2\alpha$ C.$2(\cos^2\alpha+1)$ D.$2(1+\sin^2\alpha)$
$\sqrt{\sin^4\alpha+\cos2\alpha}+\sqrt{\cos^4\alpha-\cos2\alpha}$-хялбарчил.
A.$2$ B.$2|\cos\alpha|$ C.$2|\sin\alpha|$ D.$1$
$\dfrac{(\sin\beta+\cos\beta)(1-\sin\beta\cdot \cos\beta)}{\sin\beta\cdot \tg\beta+\cos\beta\cdot \ctg\beta}$-хялбарчил.
A.$\tg\beta\cdot \sin\beta$ B.$\frac 12\sin2\beta$ C.$\ctg\beta\cdot
\cos\beta$ D.1
$\dfrac{\cos\alpha\cdot \ctg\alpha-\sin\alpha\tg\alpha}{1+\sin\alpha\cdot \cos\alpha}$-хялбарчил.
A.$\tg\alpha-\ctg\alpha$ B.$\tg\alpha+\frac1{\tg\alpha}$ C.$\frac1{\sin\alpha}-\frac1{\cos\alpha}$ D.$\sin\alpha-\cos\alpha$
$\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$-хялбарчил.
A.$\dfrac43$ B.$\dfrac32$ C.$\dfrac23$ D.$1$ E.$\dfrac12$
$\sin^2\alpha+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)$-хялбарчил.
A.$-\frac 14$ B.$\frac 34$ C.$\frac 12$ D.$\frac 14$
$\sin 2x=\dfrac 45$ бол $\sin^6x+\cos^6x=?$
A.$\dfrac{12}{25}$ B.$\dfrac{13}{25}$ C.$\dfrac{24}{25}$ D.$\dfrac{7}{25}$ E.$\dfrac{8}{25}$
$\cos 2x=-\dfrac 35$ бол $\sin^8x-\cos^8x=?$
A.$\dfrac{51}{125}$ B.$\dfrac{57}{125}$ C.$\dfrac{13}{25}$ D.$-\dfrac{12}{25}$ E.$-\dfrac{51}{125}$
$\sin t\cdot \cos t=-0.5$ бол $\sin^4t+\cos^4t=?$
A.$\dfrac14$ B.$\dfrac18$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac1{16}$ E.$\dfrac32$
$\tg t-\ctg t=-\dfrac7{12}$ ба $0< t< \dfrac{\pi}{2}$ бол $\sin t+\cos t=?$
A.$\dfrac 75$ B.$\dfrac 76$ C.$\dfrac 54$ D.$\dfrac 43$ E.$\dfrac 32$
$\tg\alpha+\ctg\alpha=m$ бол $\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha=?$
A.$m^2-1$ B.$m^2-m$ C.$m^2-2$ D.$m^2+1$ E.$m^2+2$
$\tg\alpha+\ctg\alpha=m$ бол $\tg^3\alpha+\ctg^3\alpha=?$
A.$m^3-m;$ B.$m^3-3m;$ C.$m^3-2m;$ D.$m^3-m^2;$
$\tg\alpha=-2$ бол $\dfrac{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}{3\cos\alpha-\sin\alpha}=?$
A.$-\frac75$ B.$\frac7{25}$ C.$-\frac7{25}$ D.$\frac{21}{5}$ E.$-\frac{21}{5}$
$\ctg\alpha=2$ бол $\dfrac{\cos\alpha+3\sin\alpha}{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}=?$
A.$\dfrac 73$ B.$\dfrac{25}{2}$ C.$\dfrac{25}{4}$ D.$\dfrac{25}{7}$ E.$\dfrac{16}{7}$
$\sin2\alpha\cdot \ctg\alpha=?$
A.$\sin^2\alpha$ B.$2\sin^2\alpha$ C.$\cos^2\alpha$ D.$2\cos^2\alpha$ E.$1$
$\tg\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)=?$
A.$\dfrac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}$ B.$\dfrac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}$ C.$\dfrac{\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}$ D.$\dfrac{1+\tg\alpha}{\tg\alpha-1}$ E.$-1$
$\dfrac{\tg3\alpha+\tg\alpha}{\tg3\alpha-\tg\alpha}=?$
A.$2$ B.$\sin2\alpha$ C.$2\cos2\alpha$ D.$-\sin2\alpha$ E.$2\sin2\alpha$
$\dfrac{1+\cos250^\circ}{\sin35^\circ\cos55^\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$0.5$ B.$1$ C.$1.5$ D.$2$ E.$4$
$\sin(\alpha+\beta)=0.8$, $\cos(\alpha-\beta)=0.3$ бол $$(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)$$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$1.1$ B.$0.5$ C.$-0.5$ D.$0.73$ E.$0.24$
$4\sin18^\circ\cos36^\circ=?$
A.$-1$ B.$1$ C.$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ D.$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ E.$-2$
$2\cos^215^\circ-1=?$
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}2$ C.$-\dfrac12$ D.$-\dfrac{\sqrt3}2$ E.$1$
$\dfrac{\cos50^\circ+\cos10^\circ}{\cos20^\circ}$
A.$-\sqrt3$ B.$\sqrt3$ C.$-\dfrac{\sqrt3}2$ D.$\dfrac{\sqrt3}2$ E.$\dfrac12$
$\sin50^\circ\cdot\cos10^\circ+2\sin10^\circ\cdot\sin20^\circ\cdot\cos20^\circ$
A.$\sin50^\circ$ B.$0.5$ C.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ D.$\dfrac{\sqrt2}{2}$ E.$\cos50^\circ$
$\dfrac{1}{\sin10^\circ}-\dfrac{\sqrt3}{\cos10^\circ}=?$
A.$3$ B.$2$ C.$1$ D.$\sqrt3$ E.$4$
$\cos^2\dfrac{\pi}{3}-\sqrt3\sin\dfrac{\pi}{6}\cdot\cos\dfrac{5\pi}{6}$ хялбарчил.
A.$0$ B.$\dfrac14+\dfrac{\sqrt3}{2}$ C.$\dfrac{1-\sqrt3}{4}$ D.$1$ E.$-1$
$\dfrac{\sin75^\circ}{\sin15^\circ}-\dfrac{\cos75^\circ}{\cos15^\circ}=?$
A.$\sqrt3$ B.$2\sqrt3$ C.$3\sqrt3$ D.$-\sqrt3$ E.$-2\sqrt3$
$\dfrac{\sin20^\circ-\sin30^\circ+\sin40^\circ}{\cos20^\circ-\cos30^\circ+\cos40^\circ}$
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{1}{\sqrt3}$ C.$1$ D.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$\dfrac34$
Хэрэв $\tg\alpha \cdot\ctg\alpha=2$ бол $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=?$
A.$1$ B.$2$ C.$\frac12$ D.$3$ E.$\frac23$
$\dfrac{\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-1}{\sin^6\alpha+\cos^6\alpha-1}$
A.$\dfrac23$ B.$\dfrac13$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac32$ E.$1$
Хэрэв $\tg\alpha\cdot\ctg\beta=2$ бол $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=?$
A.$1$ B.$2$ C.$\dfrac12$ D.$3$ E.$\dfrac23$
$\sin^2\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{3}\cdot\cos\dfrac{\pi}{6}$ хялбарчил.
A.$0$ B.$\dfrac14-\dfrac{\sqrt3}{2}$ C.$\dfrac{1+\sqrt3}{4}$ D.$-1$ E.$1$
$\alpha=-\dfrac{\pi}{36}$ үед $\dfrac{\sqrt3\cos3\alpha}{10(\cos9\alpha+\cos3\alpha)}$ илэрхийллийн утгийг ол.
A.$0$ B.$\dfrac1{10}$ C.$\dfrac12$ D.$1$ E.$-\dfrac12$
$\cos115^{\circ}-\cos 35^{\circ}+\cos65^{\circ}+\cos 25^{\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$\cos5^{\circ}$ B.$\sin5^{\circ}$ C.$\cos15^{\circ}$ D.$\sin 35^{\circ}$ E.$\sin105^\circ$
$\tg\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)=?$
A.$\dfrac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}$ B.$\dfrac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}$ C.$\dfrac{\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}$ D.$\dfrac{1+\tg\alpha}{\tg\alpha-1}$ E.$-1$
$\alpha=\dfrac{\pi}{36}$ үед $\dfrac{\sqrt3\cos3\alpha}{10(\cos9\alpha+\cos3\alpha)}$ илэрхийллийн утгийг ол.
A.$0$ B.$1$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac1{10}$ E.$-\dfrac12$
$\alpha=15^{\circ}$ бол $\dfrac{\cos4\alpha+1}{\ctg\alpha-\tg\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$\dfrac12$ B.$\dfrac{\sqrt3}4$ C.$\dfrac14$ D.$\dfrac{\sqrt3}2$ E.$1$
$\dfrac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}\cdot \tg \left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$-хялбарчил.
A.$2\tg t$ B.$-1$ C.$1$ D.$\tg 2t$
$\dfrac{\sin65^\circ\cdot\cos65^\circ}{\sin25^\circ\cdot\cos25^\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A.$1$ B.$\dfrac16$ C.$\dfrac12$ D.$0$ E.$-1$
$ OAB$ гурвалжны $ AB$ тал дээр $ AC$ : $ CB$ =3:1 $ байх $ C $ цэг авав.
$ \vec{\mathstrut OA}=\vec{\mathstrut a}$ , $ \vec{\mathstrut OB}= \vec{\mathstrut b}$ , $ \vec{\mathstrut OC}= \vec{\mathstrut c}$ - ийг $ \vec{\mathstrut a}$ , $ \vec{\mathstrut b}$ векторуудаар илэрхийл.
$ \vec{\mathstrut OA}=\vec{\mathstrut a}$ , $ \vec{\mathstrut OB}= \vec{\mathstrut b}$ , $ \vec{\mathstrut OC}= \vec{\mathstrut c}$ - ийг $ \vec{\mathstrut a}$ , $ \vec{\mathstrut b}$ векторуудаар илэрхийл.
A.$ \frac{\vec{\mathstrut b}+\vec{\mathstrut 3a}}{4}$ B.$ \frac{\vec{\mathstrut 3b}-\vec{\mathstrut a}}{4}$ C.$ \frac{\vec{\mathstrut -b}+\vec{\mathstrut 5a}}{4}$ D.$ \frac{\vec{\mathstrut 3b}+\vec{\mathstrut a}}{4}$ E.$ \frac{\vec{\mathstrut b}-\vec{\mathstrut a}}{4}$
Хэрэв $\ctg= 0.2$ бол $\dfrac{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}{1-\cos2\alpha+\sin2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг олоорой.
A.$ 0.2 $ B.$\dfrac12$ C.$0.02$ D.$\dfrac13$ E.$0.4$
Хэрэв $\ctg= 0.4$ бол $\dfrac{1-\cos2\alpha+\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha-\sin2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг олоорой.
A.$ 0.04 $ B.$\dfrac14$ C.$0.4$ D.$\dfrac13$ E.$0.2$
Хэрэв $ \tg= 0.4 $ бол $\dfrac{1- \cos2\alpha+\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг олоорой.
A.$ 0.04 $ B.$\dfrac14$ C.$0.4$ D.$\dfrac13$ E.$0.2$
$\dfrac{\cos(-13)^{\circ}\sin 77^{\circ}+\cos(-77^{\circ})\sin
167^{\circ}}{0.1}+\dfrac{\tg^245^{\circ}}{0.002}=\fbox{abc}.$
$\dfrac{\cos 93^{\circ}\tg 267^{\circ}+\sin
87^{\circ}}{0.1}+16\sin^415^{\circ}\cdot
\cos^415^{\circ}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{ab}}.$
$\sin \dfrac x2-\cos\dfrac x2=\sqrt{0.1}$ бол $\tg x=\pm
\dfrac{\fbox{a}}{\sqrt{\fbox{bc}}}$ байна.
$\sin \dfrac x2+\cos\dfrac x2=\sqrt{0,3}$ бол $\ctg x=\pm
\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{\fbox{c}}$ байна.
$\sin\alpha-\cos\alpha=1.2$ бол
$\cos^3\alpha-\sin^3\alpha=-\fbox{a.bcd}$ байна.
$\sin\alpha+\cos\alpha=0.8$ бол
$\sin^3\alpha+\cos^3\alpha=\fbox{a.bcd}$ байна.
$\dfrac{2\sin^220^{\circ}-1}{3\ctg 65^{\circ}\cdot
\cos^2205^{\circ}}=-\dfrac{\cos \fbox{ab}^{\circ}}{3\tg
\fbox{cd}^{\circ}\cdot
\cos^2\fbox{ef}^{\circ}}=-\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}.$
$\dfrac{2\sin^270^{\circ}-1}{\tg 115^{\circ}\cdot \cos^2
115^{\circ}}=\dfrac{\cos \fbox{abc}^{\circ}}{\tg
\fbox{de}^{\circ}\cdot \cos^2\fbox{fg}^{\circ}}=-\fbox{h}.$
$\dfrac{\sqrt{2}-\sin \alpha-\cos\alpha}{\sin
\alpha-\cos\alpha}=\tg\left(\dfrac{\alpha}{\fbox{a}}-\dfrac{\pi}{\fbox{b}}\right).$
$\sin
165^{\circ}=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}-\sqrt{\fbox{b}}}{\fbox{c}}.$
$\sin 162^{\circ}=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}-\fbox{b}}{\fbox{c}}$.
$3\cos 2x+5\cos 2y-8\sin xcos x-24\sin y\cos y=18$ бол $\sin
2x-\sin 2y=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{ab}},$ $\dfrac{\tg x+1}{\tg
y+1}=\fbox{d,e}$ байна.
$12\cos\varphi-10\sin \dfrac{\varphi}{2}\cos
\dfrac{\varphi}{2}-a=\cos\psi+b\tg^2\psi$ гэж өгөгдөв.
1) $a=14, b=1$ бол $\sin\varphi\cdot \cos \psi =\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{ab}}$ байна.
2) $a=-14, b=-2$ бол $\cos \varphi+\cos\psi=\dfrac{1}{\fbox{de}}$ байна.
1) $a=14, b=1$ бол $\sin\varphi\cdot \cos \psi =\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{ab}}$ байна.
2) $a=-14, b=-2$ бол $\cos \varphi+\cos\psi=\dfrac{1}{\fbox{de}}$ байна.
- $\cos165^\circ=-\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}(\sqrt{\fbox{c}}+1)$
- $\cos162^\circ=-\dfrac{\sqrt{\fbox{de}+\fbox{f}\sqrt{5}}}{4}$
Тригонометрийн тойрог, өнцгийн хэмжээ
$\alpha=90^{\circ}\cdot k$ ба $\beta=30^{\circ}+60^{\circ}\cdot n$ , $k, n\in\mathbb{Z}$ хэлбэрийн томьёогоор илэрхийлэгдэх өнцгүүдийн давхцлыг ол.
A.$\pm30^{\circ}+180^{\circ}p$ B.$90^{\circ}+180^{\circ}p$ C.$180^{\circ}p$ D.$90^{\circ}+360^{\circ}p$ E.$90^{\circ}$
$\dfrac{4\pi}{9}$ радиан өнцөг аль нь вэ?
A.$20^\circ$ B.$25^\circ$ C.$50^\circ$ D.$80^\circ$ E.$100^\circ$
$\dfrac{\pi}{15}$ хэдэн градус өнцөг вэ?
A.$6^\circ$ B.$10^\circ$ C.$12^\circ$ D.$15^\circ$ E.$18^\circ$
$27^\circ$ хэдэн радиан өнцөг вэ?
A.$\dfrac{13\pi}{20}$ B.$\dfrac{9\pi}{20}$ C.$\dfrac{11\pi}{20}$ D.$\dfrac{3\pi}{20}$ E.$\dfrac{7\pi}{10}$
Зөв 17 өнцөгтийн оройн өнцгийн радиан хэмжээг ол.
A.$\dfrac{18\pi}{17}$ B.$\dfrac{13\pi}{17}$ C.$\dfrac{15\pi}{17}$ D.$\dfrac{15\pi}{34}$ E.$\dfrac{16\pi}{17}$
$\dfrac{35\pi}{6}$ өнцөгтэй ижил синус, косинустай өнцгийг ол.
A.$\dfrac{5\pi}{8}$ B.$\dfrac{11\pi}{6}$ C.$\dfrac{\pi}{4}$ D.$\dfrac{\pi}{2}$ E.$\dfrac{\pi}{6}$
$55^\circ$ градусыг радианаар илэрхийл.
A.$\dfrac{\pi}{3}$ B.$\dfrac{11\pi}{36}$ C.$\dfrac{5\pi}{11}$ D.$\dfrac{13\pi}{36}$ E.$\dfrac{2\pi}{7}$
$75^\circ$ градусыг радианаар илэрхийл
A.$\dfrac{\pi}{2}$ B.$\dfrac{7\pi}{12}$ C.$\dfrac{5\pi}{6}$ D.$\dfrac{5\pi}{12}$ E.$\dfrac{3\pi}{4}$
$25^\circ$ градусыг радианаар илэрхийл.
A.$\dfrac{\pi}{6}$ B.$\dfrac{7\pi}{36}$ C.$\dfrac{2\pi}{7}$ D.$\dfrac{5\pi}{36}$ E.$\dfrac{3\pi}{5}$
$35^\circ$ градусыг радианаар илэрхийл.
A.$\dfrac{\pi}{6}$ B.$\dfrac{7\pi}{12}$ C.$\dfrac{5\pi}{21}$ D.$\dfrac{7\pi}{36}$ E.$\dfrac{3\pi}{19}$
Зурагт үзүүлсэн $\alpha$ өнцгийн хувьд дараах хариултуудын аль үнэн бэ?
A.$\sin\alpha=\dfrac{1}{2}$, $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$ B.$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}$ C.$\sin\alpha=-\dfrac{1}{2}$, $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$ D.$\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$ E.$\sin\alpha=\dfrac{1}{2}$, $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2}$
Тригонометрийн урвуу функцийн утгууд
$\arcsin\Big(-\dfrac{1}{\sqrt2}\Big)-\arcctg\Big(-\dfrac{1}{\sqrt3}\Big)+\arccos\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)+\arcctg1$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sqrt5\sin(\dfrac12\arcctg(-\dfrac43))$-г тооцоол.
$\arccos(\sin5.3)-\dfrac{5\pi}{2}$-г тооцоол.
$\cos^2(2\arcctg(-2))$ тооцоол.
$\sqrt3(\sin\arccos(-\dfrac{1}{2}))$ тооцоол.
$\sin(2\arcctg(\dfrac13))+\cos(\arcctg2\sqrt2)$ тооцоол.
$\sin(2.5\pi+\arcctg(0.75))$ тооцоол.
$\tg(2\arccos\dfrac{12}{13})$ тооцоол.
$\arcctg\Big(-\sqrt3\Big)+\arccos\Big(-\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)+\arcsin1-\arcctg0$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\left(\arcctg\Big(-\dfrac{1}{\sqrt3}\Big)+\dfrac{\pi}{6}\right)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos(\arctg(-\sqrt{3}))$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$0$ B.$-\dfrac12$ C.$\dfrac12$ D.$-\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$\dfrac{\sqrt3}{2}$
2.9 Үйлдлийг гүйцэтгэ.
2.10. $a$ - г $b$ - ээр илэрхийл.
2.11 Дараах илэрхийллийг хялбарчил:
- $ \frac{4}{5}(1+9^{log_38})^{log_{65}{5}}$
- $ 8^{2-2\log_{4}\sqrt3}+ \frac{1}{3}\cdot7^{log_{49}{4}}$
2.10. $a$ - г $b$ - ээр илэрхийл.
- $ \log_{30}{3}=a$, $\log_{30}{5}=b$, $\log_{30}{8}$ - г
- $ \log_{7}{12}=a$, $\log_{12}{24}=b$, $\log_{54}{168}$ - г
2.11 Дараах илэрхийллийг хялбарчил:
- $ \frac{\log_3{12}}{\log_{36}{3}} - \frac{\log_3{4}}{\log_{108}{3}} $
$\dfrac{1}{\pi}\Big(2\arctg\dfrac14+\arctg\dfrac{7}{23}\Big)$ илэрхийллийн утгыг тооцоол.
A.$\dfrac13$ B.$\dfrac34$ C.$\dfrac{1}{6}$ D.$\dfrac{1}{2}$ E.$\dfrac{1}{4}$
$\arccos(\cos230^\circ)$-ыг градусаар илэрхийл.
A.$100^\circ$ B.$110^\circ$ C.$130^\circ$ D.$160^\circ$ E.$230^\circ$
$\sin\left(2\arctg\dfrac 12\right)-\tg\left(\dfrac 12\arcsin\dfrac{15}{17}\right)$-хялбарчил.
A.$\dfrac{24}{25}$ B.$-\dfrac15$ C.$\dfrac 15$ D.$-\dfrac{24}{25}$ E.$\dfrac 45$
$\sin\left(2\arctg\dfrac 13\right)+\cos\left(\arctg2\sqrt{2}\right)$ хялбарчил.
A.$\dfrac 45$ B.$\dfrac1{15}$ C.$\dfrac 23$ D.$\dfrac{14}{15}$ E.$\dfrac 13$
$\arccos(-0.5)=?$
A.$-\dfrac{2\pi}{3}$ B.$\dfrac{2\pi}{3}$ C.$\dfrac{\pi}{3}$ D.$-\dfrac{\pi}{3}$ E.$0.5$
$\sin(\arcctg(-\sqrt3))=?$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$0$ B.$-\dfrac{1}{2}$ C.$\dfrac12$ D.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$-\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\sin(\arctg(-\sqrt{3}))$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$0$ B.$-\dfrac12$ C.$\dfrac12$ D.$-\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\sin\left(\dfrac\pi4-\arccos\dfrac{\sqrt3}2\right)$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$0$ B.$1$ C.$\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ D.$\frac{\sqrt2-\sqrt6}4$ E.$-\frac12$
$\arccos(\cos200^\circ)$-ийг градусаар илэрхийл.
A.$100^\circ$ B.$110^\circ$ C.$130^\circ$ D.$160^\circ$ E.$200^\circ$
$\sin\Big(\dfrac12\arcsin\Big(-\dfrac{2\sqrt2}{3}\Big)\Big)$ утгыг ол.
A.$-\dfrac{\sqrt3}{3}$ B.$\dfrac{\sqrt6}{6}$ C.$\dfrac{2\sqrt3}{3}$ D.$\sqrt{\dfrac23}$ E.$\sqrt6$
$\cos\Big(\pi+\dfrac12\arcsin\dfrac{4}{\sqrt{17}}\Big)$ илэрхийллийн утгыг тооцоол.
A.$\sqrt{\dfrac{17-\sqrt{17}}{34}}$ B.$-\sqrt{\dfrac{17+\sqrt{17}}{34}}$ C.$-\dfrac{1}{17}$ D.$-\dfrac{2}{17}$ E.$\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}$
$\tg\left(\arcsin\left(-\frac2{\sqrt5}\right)\right)=a$ бол $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2+8x+12}{x^2-4}$ хязгаарыг бод.
A.$-5$ B.$-1$ C.$3$ D.$-4$ E.$7$
$\arctg(\tg130^{\circ})$ өнцгийг градусаар илэрхийл.
A.$-130^\circ$ B.$-50^\circ$ C.$50^\circ$ D.$130^\circ$ E.$40^\circ$
$\tg\Big(\arcsin\dfrac45+\dfrac{3\pi}{2}\Big)=-\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ тооцоол.
Туслах өнцөг оруулах арга
$\sin\dfrac x4+\cos\dfrac x4=1$ тэгшитгэлийг бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ үед дараах
тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
- $\sin \theta+\sqrt{3}\cos\theta=\sqrt{2}$
- $\sin\theta< \sqrt{3}\cos \theta$
- $\sqrt{3}\sin 2\theta+\cos2\theta< 1$
Дараах илэрхийллүүдийг $r\cdot\sin(\theta+\alpha)$ хэлбэрт хувирга.
- $\sin \theta-\cos \theta$
- $2\sin \theta+3\cos\theta$
- $\sin(\theta+90^{\circ})+\sin \theta$
- $\sin(\theta+30^{\circ})+\cos (\theta-60^{\circ})$
- $\sin \theta+\sqrt{3}\cos (\theta+60^{\circ})$
Дараах илэрхийллийг $r\sin(\theta+\alpha)$, $r>0$, $-180^{\circ}< \alpha\leq 180^{\circ}$ хэлбэрт хувирга.
- $\sqrt{3}\sin\theta-\cos \theta$
- $\cos \theta-\sin(30^{\circ}-\theta)$
$0^{\circ}\leq
\theta< 360^{\circ} $ үед дараах тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
- $\cos \theta+\sqrt{3}\sin \theta+1=0$
- $\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta+1>0$
$\dfrac{2}{\pi}\sin x+\cos(19\pi)=\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$6\sqrt3\sin x+4\cos x=7$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos2x+3\sin2x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos 2x+3\sin 2x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$3\sin2x-4\cos2x=5$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x-4\cos2x=4$ тэгшитгэлийг бод.
$5\cos x+2\sin x=3$ тэгшитгэлийг бод.
$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^2-5=\cos\left(\dfrac\pi6-x\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{3}(\cos x-\sin 3x)=\cos3x-\sin x, 0^\circ\le x\le 20^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x-\cos x=1$ тэгшитгэлийг $[-3\pi, 4\pi]$ бод.
$1+\cos2x+\sin2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\sqrt2$ тэгшитгэлийг $[-\pi, \pi]$ завсарт бод.
$\cos3x+\sin3x=\sqrt2, \dfrac{7\pi}4\le x\le\dfrac{9\pi}4$ тэгшитгэлийг бод.
$(\sin2x-\sqrt3\cos2x)^2-5=\cos\left(\dfrac\pi6-2x\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin5x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\sin 2x+\cos 2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt3\sin2x-\cos2x-2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sqrt3}2\sin x+\dfrac12\cos x=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sqrt3\cos x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt3\cos x+\sin x+\sqrt2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos 7x-\sin 5x=\sqrt3(\cos5x-\sin 7x)$+тэгшитгэлийн $0^\circ< x< 30^\circ$ муж дахь хамгийн их шийдийг ол.
$\sqrt{2}\cos 8x+\sqrt{2}\sin 8x=-1$ тэгшитгэлийн $\dfrac{3\pi}{8}< x< \dfrac{7\pi}{10}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага шийдийг хамгийн их шийдэд харьцуулсан харьцааг ол.
A.$\dfrac{43}{67}$ B.$\dfrac{67}{97}$ C.$\dfrac{34}{67}$ D.$\dfrac{43}{97}$ E.$\dfrac{50}{67}$
$\displaystyle\sin x-\cos x=\frac{\sqrt 6}{2}$ бол $\sin 2x$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$-\dfrac{1}{2}$ B.$\displaystyle\pm\frac{1}{2}$ C.$\dfrac{1}{4}$ D.$1$ E.$0$
$12\sin x+4\sqrt{3}\cos x=m\sqrt{3}$ тэгшитгэл $m$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ?
A.$m\leq -8\vee m\geq 8;$ B.$-8\leq m\leq 8;$ C.$m\leq -8;$ D.$8\leq m;$
$3\cos 2x-8m\cdot \sin 2x=-5$ тэгшитгэл $m$-ийн ямар утганд шийдгүй байх вэ?
A.$-\frac 12< m<\frac 13;$ B.$0<m< \frac 12;$ C.$-\frac 12< m<0;$ D.$-\frac 12< m< \frac 12;$
$\sqrt{2}\cos 8x+\sqrt{2}\sin 8x=-1$ тэгшитгэлийн $\dfrac{3\pi}{8}< x< \dfrac{7\pi}{10}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага шийдийг хамгийн их шийдэд харьцуулсан харьцааг ол.
A.$\frac{43}{67};$ B.$\frac{67}{96};$ C.$\frac{37}{48};$ D.$\frac{23}{43};$
$\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2}$ тэгшитгэлийн $\dfrac{2}{5}\pi < x< \dfrac{6}{7}\pi$ нөхцөлийг хангах хамгийн их шийдийг, хамгийн бага шийдэд харьцуулсан харьцааг ол.
A.$\frac{59}{35};$ B.$\frac{84}{35};$ C.$\frac{84}{59};$ D.$\frac{33}{17};$
$(\sqrt{3}\sin x-\cos x)^2+1=4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ тэгшитгэлийг бод.
A.$\pi n;\frac{\pi}{3}+\pi
k;$ B.$2\pi k;-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;$ C.$2\pi k,\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n;$ D.$\pi k,-\frac{2\pi}{3}+2\pi n; (k, n\in Z)$
$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^2-5=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$ тэгшитгэлийг бод.
A.$\frac{7\pi}{6}+2\pi k;$ B.$\frac{\pi}{6}+\pi k;$ C.$\frac{5\pi}{6}+2\pi
k;$ D.$\frac{7\pi}{6}+\pi k; (k\in Z)$
$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$ тэгшитгэлийг бод.
A.$\frac 13\arccos\frac{5}{12}+\frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{3}-\frac 12\arccos\frac{5}{13}+\pi k;$ B.$\frac 13\arccos\frac{12}{13}+\frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{2}-\frac 12\arccos\frac{12}{13}+\pi k;$ C.$\frac 14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{2}-\frac 12\arccos\frac{5}{13}+\pi k;$ D.$\frac 14\arccos\frac{12}{13}+\frac{\pi k}{4}, \frac{\pi}{3}-\frac 13\arccos\frac{12}{13}+\pi k; (k\in Z)$
$2\sin 17x+\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=0$ тэгшитгэлийг бод.
A.$-\dfrac{\pi}{33}+\dfrac{\pi k}{22}, \dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi k}{6};$ B.$-\dfrac{\pi}{66}+\dfrac{\pi k}{11}, \dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi k}{6};$ C.$-\dfrac{\pi}{66}+\dfrac{\pi k}{33}, \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{3};$ D.$-\dfrac{\pi}{11}+\dfrac{\pi k}{3}, \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi k}{3}$ E.$\varnothing$
$\displaystyle\sin x+\cos x=\frac{\sqrt 6}{2}$ бол $\sin 2x$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$\displaystyle\frac{1}{4}$ B.$\displaystyle\pm\frac{1}{2}$ C.$\displaystyle\frac{1}{2}$ D.$1$ E.$0$
$f(x)=7\sin x - 24 \cos x $ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын ялгаврыг ол.
A.25 B.24 C.48 D.49 E.50
$\cos x+\sin x= \sqrt{2}$ тэгшитгэлийг бод.
A.$\dfrac{\pi}{2}+\pi k , k\in \mathbb{Z}$ B.$\dfrac{\pi}{4}+\pi k \cup -\dfrac{\pi}{4}+\pi k , k\in \mathbb{Z}$ C.$\dfrac{\pi}{4}+2\pi k , k\in \mathbb{Z}$ D.$\dfrac{\pi}{4}+\pi k , k\in \mathbb{Z}$ E.$-\dfrac{\pi}{4}+\pi k , k\in \mathbb{Z}$
$5\cos^2x+\dfrac56\sin2x=1$ тэгшитгэл $[\pi/2; 3\pi/2]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A.$6$ B.$7$ C.$2$ D.$1$ E.$3$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha+\sin\alpha)
=\cos\left(\dfrac{\pi}{\fbox{a}}-\alpha\right).$
$f(x)=5\sin x+3\cos x$ бол $f'(x)=f'(0)$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $x_1=\fbox{a}\cdot m\pi$; $x_2=\fbox{b}\cdot m\pi-2\arctg \displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$; $m\in Z$ болно.
$f(x)=5\sin x+3\cos x$ бол $f'(x)=f'(\pi)$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $x_1=(\fbox{a}\cdot k+1)\pi,$ $x_2=2k\pi+\fbox{b}\cdot \arcctg \displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$; $k\in Z$ болно.
Универсал орлуулга
$x_0$ нь $2-\cos 2x-2\sin 2x=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг язгуур бол $\tg x_0$ хэд вэ?
A.$1$ B.$3$ C.$\frac14$ D.$4$ E.$\frac13$
$\tg\alpha=\dfrac{4}{5}$ бол $\cos2\alpha=?$
A.$\dfrac35$ B.$-\dfrac{9}{41}$ C.$\dfrac{15}{17}$ D.$\dfrac{9}{41}$ E.$-\dfrac{15}{17}$
$\tg\alpha=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin2\alpha=?$
A.$\dfrac35$ B.$-\dfrac{9}{41}$ C.$-\dfrac{15}{17}$ D.$\dfrac{9}{41}$ E.$\dfrac{15}{17}$
Үндсэн адилтгал
$\cos\alpha=-0.8$ ба $\alpha\in\Big(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\Big)$ бол $\tg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
- $180^{\circ}\leq\theta\leq 360^{\circ}$ ба $\cos\theta=-\dfrac{24}{25}$ бол $\sin\theta$, $\tg\theta$-ийн утгыг ол.
- $90^{\circ}\leq \theta\leq 270^{\circ}$ ба $\tg \theta=-3$ бол $\sin\theta$, $\cos\theta$-ийн утгыг ол.
$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tg \theta$-ийн нэг нь өгөгдсөн үед нөгөө хоёрыг ол.
- $\sin \theta=-\dfrac 2{\sqrt{5}}, 270^{\circ}< \theta< 360^{\circ}$
- $\cos \theta=\dfrac13$, $180^{\circ}< \theta< 360^{\circ}.$
- $\tg \theta=2+\sqrt{3}$
$\theta$ нь III мужийн өнцөг ба $\tg\theta=\sqrt{2}$ бол дараах илэрхийллийн утгыг ол.
- $\dfrac{\cos^2\theta}{1+2\sin\theta\cdot \cos\theta}$
- $\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac5{13}$, $\beta$
нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac 35$ гэе.
$\sin(\alpha-\beta)=\ebox$, $\cos(\alpha+\beta)=\ebox$,
$\cos(\alpha-\beta)=\ebox.$
$\cos2\alpha=\sin\alpha$ ба $\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ бол $\cos\alpha$-г ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{5}{13}$ ба $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$
бол
$\ctg\alpha-2\tg\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$ бол $\tg^{-2}\Big(\dfrac{7\pi}{2}+2\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(\pi+x)=a$ ба $x\in\Big[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\Big]$ бол
$\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin(\pi-x)=a$ ба $x\in\Big[-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\Big]$ бол
$\ctg\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big(0;\dfrac{\pi}{4}\Big)$ бол
$\sin2\alpha$, $\cos\Big(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=\dfrac45$ ба $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$ бол
$\cos\Big(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=0.8$ ба $0^{\circ}< \alpha< 90^{\circ}$ бол $\tg\alpha$
илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=-4$ ба $-90^{\circ}< \alpha< 90^{\circ}$ бол
$5\sqrt{17}\sin\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=\dfrac{12}{5}$ ба $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$
бол $\sin\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=\dfrac{8}{17},\sin\beta=\dfrac{15}{17}$ ба
$\alpha$, $\beta\in\big(\frac{\pi}{2};\pi\big)$ бол $\sin(\alpha+\beta)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big[\dfrac{\pi}{2};\pi\Big]$ бол
$\cos\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$ ба $\dfrac{3\pi}{2}< \alpha< 2\pi$ бол $\sin\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=\sqrt{15}$ ба $0^{\circ}< \alpha< 90^{\circ}$ бол $\cos\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{1}{3},\cos\beta=-\dfrac23 $ ба
$\pi< \alpha,\beta< \dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin(\alpha+\beta)$-г
ол.
$\sin^480^\circ-\cos^480^\circ=?$
A.$\cos20^\circ$ B.$\sin20^\circ$ C.$\cos80^\circ$ D.$\sin80^\circ$ E.$0$
$\alpha$ нь III мужийн өнцөг ба $\tg\alpha=3$ бол $\cos\alpha$ хэд байх вэ?
A.$-\dfrac13$ B.$\dfrac3{10}$ C.$-\dfrac3{10}$ D.$-\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ E.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
$\alpha$ нь II мужийн өнцөг ба $\tg\alpha=-2$ бол $\cos\alpha$ хэд байх вэ?
A.$-\dfrac13$ B.$\dfrac1{2}$ C.$-\dfrac1{4}$ D.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ E.$-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
$\alpha$, $\beta$ нь хурц өнцөг болно. $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$ ба $\cos\beta=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin(\alpha+\beta)=?$
A.$\dfrac{84}{85}$ B.$\dfrac{56}{57}$ C.$\dfrac{7}{8}$ D.$\dfrac{37}{38}$ E.$\dfrac{99}{100}$
$\sin\alpha+\cos\alpha=m$ бол $\sin2\alpha=?$
A.$m^2$ B.$m^2-1$ C.$\dfrac{m^2-1}{2}$ D.$-\dfrac{m^2-1}{2}$ E.$1-m^2$
$x$ ба $y$ нь II мужийн өнцгүүд ба $\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin y=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin(x-y)$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$-\dfrac{2\sqrt{5}}{25}$ B.$-\dfrac{\sqrt{5}}{25}$ C.$-\dfrac{2}{25}$ D.$-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ E.$-\dfrac{22}{25}$
Хэрэв $\tg\alpha=3$ бол $\dfrac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}=?$
A.$\dfrac{15}{14}$ B.$\dfrac{7}{9}$ C.$1$ D.$\dfrac{10}{9}$ E.$\dfrac{35}{28}$
$\dfrac{\pi}2\leq\theta\leq\pi$ байх $\theta$-ийн хувьд $\sin^2\theta-\cos^2\theta=\dfrac13$ бол $\tan\theta$-г ол.
A.$\sqrt2$ B.$\frac1{\sqrt2}$ C.$1$ D.$-\frac1{\sqrt2}$ E.$-\sqrt2$
$\alpha$ нь 2-р мөчид байрлах ба $\tg\alpha=-\dfrac{15}{8}$ бол $\sin\alpha=?$
A.$\dfrac{8}{17}$ B.$\dfrac{15}{17}$ C.$-\dfrac{17}{15}$ D.$-\dfrac{8}{17}$ E.$\dfrac{8}{15}$
$\tg\alpha=\dfrac{5}{12}$ ба $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ бол $\cos\alpha=?$
A.$-\dfrac45$ B.$\dfrac{12}{13}$ C.$-\dfrac35$ D.$-\dfrac{12}{13}$ E.$-\dfrac{5}{13}$
$\ctg\alpha=\dfrac{5}{12}$ ба $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ бол $\cos\alpha=?$
A.$-\dfrac45$ B.$\dfrac{12}{13}$ C.$-\dfrac35$ D.$-\dfrac{5}{13}$ E.$-\dfrac{12}{13}$
$\dfrac{3\pi}{2}< t< 2\pi$ ба $\cos (2\pi+t)=\dfrac{12}{13}$ бол $\ctg (\pi-t)=?$
A.$\dfrac{13}{5}$ B.$-\dfrac{13}{12}$ C.$-\dfrac{12}5$ D.$\dfrac{12}{5}$ E.$\dfrac{13}{12}$
Хэрэв $\tg\alpha=2$ бол $\sqrt{2\ctg\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$3$ B.$1.5$ C.$1$ D.$\dfrac23$ E.$0$
$\alpha$, $\beta$ нь хурц өнцөг болно. $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$ ба $\cos\beta=\dfrac{3}{5}$ бол $\cos(\alpha+\beta)=?$
A.$-\dfrac{13}{85}$ B.$-\dfrac{16}{57}$ C.$-\dfrac{3}{8}$ D.$-\dfrac{17}{38}$ E.$-\dfrac{33}{100}$
$\ctg\beta=2$ бол $\dfrac{7\cos\beta}{11\sin^3\beta+3\cos^3\beta}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$1$ B.$2$ C.$3$ D.$4$ E.$5$
$\sin\alpha=\dfrac34$ бол $\tg^2\alpha=?$
A.$\dfrac 43$ B.$\dfrac 54$ C.$\dfrac 79$ D.$\dfrac 97$ E.$1$
$\sin\alpha+\sin\beta=1,$ $\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{2}$ бол $\cos(\alpha-\beta)=?$
A.$\dfrac 13$ B.$\dfrac 12$ C.$\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$ D.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ E.$-\dfrac12$
$0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}< \beta< 2\pi$, $\sin\alpha=\dfrac{9}{41}$, $\sin\beta=-\dfrac{40}{41}$ бол $\cos(\alpha+\beta)=?$
A.$\dfrac{1600}{1681}$ B.$\dfrac{720}{1681}$ C.$\dfrac{360}{1681}$ D.$\dfrac{369}{1681}$ E.$\dfrac{365}{1681}$
$\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi,$ $\dfrac{\pi}{2}< \beta< \pi,$ $\sin\alpha=\dfrac 45,$ $\cos\beta=-\dfrac{15}{17}$ бол $\sin(\alpha+\beta)=?$
A.$-\frac{84}{85};$ B.$-\frac{7}{17};$ C.$-\frac{28}{85};$ D.$-\frac{12}{17};$
$\dfrac{3\pi}{2}< t< 2\pi$ ба $\cos (2\pi+t)=\dfrac{12}{13}$ бол $\ctg (\pi-t)=?$
A.$\dfrac{13}{5}$ B.$-\dfrac{13}{12}$ C.$-\dfrac{12}5$ D.$\dfrac{12}{5}$ E.$\dfrac{13}{12}$
$0< t< \dfrac{\pi}{2}$ ба $\sin(4\pi+t)=\dfrac 35$ бол $\tg (\pi-t)=?$
A.$-\dfrac 54$ B.$-\dfrac34$ C.$-\dfrac 23$ D.$-\dfrac 43$ E.$-\dfrac 12$
Хэрэв $\alpha\in\big(0;\frac\pi2\big)$ ба $\sin\alpha=\frac35$ бол $\cos\alpha\cdot(\tg\alpha+\ctg\alpha)$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A.$\dfrac35$ B.$\dfrac53$ C.$-\dfrac35$ D.$-\dfrac53$ E.$\dfrac45$
$\sin^440^\circ-\cos^440^\circ=?$
A.$\cos80^\circ$ B.$\sin80^\circ$ C.$\cos100^\circ$ D.$\sin100^\circ$ E.$1$
Хэрэв $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac13$ бол $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=?$
A.$\dfrac{11}{18}$ B.$-\dfrac49$ C.$-\dfrac34$ D.$\dfrac52$ E.$\dfrac58$
$\theta$ өнцөг нь хурц бөгөөд $\cos\theta=\dfrac{x}{y}$, $x>0$, $y>0$ ба $x\neq y$ бол $\tg\theta=?$
A.$\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ B.$\dfrac{\sqrt{y^2-x^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$ C.$\dfrac{\sqrt{y^2-x^2}}{x}$ D.$\dfrac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}$ E.$\dfrac{x^2+y^2}{xy}$
$\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}$, $\cos\beta=\dfrac{24}{25}$ ба
$0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$, $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ бол
$\sin(\alpha-\beta)=-0.\fbox{abc}\dots$ байна.
$\sin\alpha=-\dfrac 45 \Bigl(|\alpha|< \dfrac{\pi}{2}\Bigr),$ $\sin \beta=-\dfrac{12}{13} \left(\dfrac{\pi}{2}< |\beta|< \pi\right)$ бол
$\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ab}}$ байна.
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$, $\beta$ нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac{3}{5}$ гэе. $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$, $\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$.
$\cos x=\dfrac 14$; $\sin x< \cos x$ бол $\tg
x=\fbox{a}\sqrt{\fbox{bc}}$ байна.
$\sin x=\dfrac 35; \cos x< \sin x$ бол $\tg
x=\fbox{a}\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{b}}$ байна.
$\sin\alpha=-\dfrac 35
\Bigl(|\alpha|< \dfrac{\pi}{2}\Bigr),
\cos\beta=\dfrac{5}{13}
\Bigl(-\pi< \beta< 0\Bigr)$ бол $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
Үржвэрийг нийлбэр, ялгаварт хувиргах томьёо
$\sin3x\cos x=\sin5x\cos3x$ тэгшитгэлийг бод.
$A=\sin\dfrac{\pi}{7}\cdot\sin\dfrac{2\pi}{7}\cdot\sin\dfrac{3\pi}{7}$ илэрхийллийн утгыг ол.
Илэрхийллийг хялбарчил.
- $\sin20^{\circ}\cdot \sin 40^{\circ}\cdot \sin80^{\circ}$
- $\cos 10^{\circ}+\cos 110^{\circ}+\cos 230^{\circ}$
Нийлбэр, үржвэрийн томъёог хэрэглэж, дараах утгыг ол.
- $\sin 75^{\circ}\cdot \cos 15^{\circ}$
- $\cos 45^{\circ}\cdot \sin 75^{\circ}$
- $\sin 105^{\circ}\cdot \sin 45^{\circ}$
- $\cos45^{\circ}\cdot \cos 75^{\circ}$
- $\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ} $
- $\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}$
- $\cos 105^{\circ}+\cos 15^{\circ}$
- $\cos 105^{\circ}-\cos 15^{\circ}$
Дараах утгыг ол.
- $\cos 15^{\circ}-\cos 75^{\circ}$
- $\sin40^{\circ}\cdot\cos70^{\circ}\cdot \sin 80^{\circ}$
$\sin3x=4\sin x\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac x2\cos{3x}2-\sin x\sin3x-\sin2x\sin3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\sin3x=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$2(\sin6x-\sin4x\sin2x)=\cos6x+\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos3x\sin x+2\cos^2\left(\dfrac\pi4-x\right)=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos(70^\circ+x)\cos(20^\circ-x)=\dfrac12, 0^\circ< x< 180^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin x\cos 2x=\sin3x-\dfrac{\sqrt3}2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos(x+70^\circ)\cos(x+10^\circ)=\sin30^\circ$ тэгшитгэлийн $[-10^\circ, 170 ^\circ]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$8(\sqrt3-\sqrt2)\sin52^{\circ}30'\cdot\cos7^{\circ}30'$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2x\cos5x-\sin3x\cos4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\pi x\sin7\pi x=\cos3\pi x\sin5\pi x$ тэгшитгэлийн $[1, 2]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$2\sin3x\sin2x-\cos x+1=0, -250^\circ< x< -200^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin2x\cos3x+\sin x+\cos2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin5x-1=2\sin x\cos 4x, -100^\circ< x< -10^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos5x\cos8x-\cos13x=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийдийг градусаар илэрхийл.
$2\sin x\sin8x=\cos7x, 150^\circ< x< 180^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$4\sin\left(x-\dfrac\pi3\right)\cos x=-\sqrt3, -1\le x\le 3$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)\sin\left(x-\dfrac\pi4\right)=\dfrac14$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos3x}{\cos x}=\dfrac{\cos4x}{\cos2x}$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
A.$k\pi$ B.$\dfrac{k\pi}{2}$ C.$2k\pi$ D.$-\dfrac{2\pi}{3}$ E.$\dfrac{2\pi}{3}$
$2\cos140^\circ\cdot\sin(-40^\circ)$
A.$-\sin10^\circ$ B.$-\cos10^\circ$ C.$\cos10^\circ$ D.$\sin40^\circ$ E.$\cos20^\circ$
$\cos 11x-\cos 7x\cdot \sin \left(\dfrac{13\pi}{2}-4x\right)=0$ тэгшитгэлийг бод.
A.$\frac{\pi k}{11}, \dfrac{\pi n}{7};$ B.$\frac{\pi k}{7}, \frac{\pi n}{4};$ C.$\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}, \frac{\pi}{14}+\frac{\pi
n}{7};$ D.$\frac{\pi}{14}+\frac{\pi k}{7};
(k,n\in Z)$
$\cos 15^\circ+\cos 75^\circ$ илэрхийллийн утга аль нь вэ?
A.$\sqrt2$ B.$1$ C.$2\sqrt2$ D.$\dfrac{\sqrt6}{2}$ E.$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\sin 75^{\circ}\cdot \cos 15^{\circ}=?$
A.$\dfrac{2-\sqrt3}{4}$ B.$\dfrac{2+\sqrt3}{4}$ C.$\dfrac{1}{2}$ D.$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}$ E.$\dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$
\begin{align*}
\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ&\cdot\sin 80^\circ=\dfrac12(\cos\fbox{ab}^\circ-\cos\fbox{cd}^\circ)\cdot\sin80^\circ\\
&=\dfrac12\left(\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12\sin\fbox{efg}^\circ-\dfrac12\sin80^\circ\right)=\dfrac{\sqrt{\fbox{h}}}{\fbox{i}}
\end{align*}
$2\sin7x\cdot\sin 3x=\sqrt{p}-2+\cos 4x$ тэгшитгэл өгөгдөв.
- Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $p$ параметрийн утга нь $p\in[\fbox{a};\fbox{b}]$ байна.
- $p=9$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{cd}}+\dfrac{\pi k}{\fbox{e}}$ байна.
$\sin7x\cdot\cos8x=\sin5x\cdot\cos6x$ тэгшитгэлийг бодоорой.
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{bc}x-\sin x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{de}x-\sin x)$ буюу $\sin\fbox{bc}x-\sin\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\cos\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\cos\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}(\frac12+n)\\ x=\dfrac{k\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{bc}x-\sin x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{de}x-\sin x)$ буюу $\sin\fbox{bc}x-\sin\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\cos\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\cos\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}(\frac12+n)\\ x=\dfrac{k\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
$\sin9x\cdot\cos10x=\sin7x\cdot\cos8x$ тэгшитгэлийг бодоорой.
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{bc}x-\sin x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{de}x-\sin x)$ буюу $\sin\fbox{bc}x-\sin\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\cos\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\cos\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}(\frac12+n)\\ x=\dfrac{k\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{bc}x-\sin x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{de}x-\sin x)$ буюу $\sin\fbox{bc}x-\sin\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\cos\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\cos\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}(\frac12+n)\\ x=\dfrac{k\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
$\cos7x\cdot\cos8x=\cos9x\cdot\cos10x$ тэгшитгэлийг бодоорой.
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\sin x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\sin x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
$\cos6x\cdot\cos7x=\cos8x\cdot\cos9x$ тэгшитгэлийг бодоорой.
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\sin x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\sin x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
Эмхэтгэлийн томьёо
$\cos x=0.5$ бол $\ctg^2(630^{\circ}+2x)$ илэрхийллийн утгыг ол.
Дараах утгуудыг ол.
- $\sin 1020^{\circ}$
- $\cos (-240^{\circ})$
- $\tg 585^{\circ}$
Дараах тригонометр функцийн утгыг ол.
- $\sin 690^{\circ}$
- $\cos(-120^{\circ})$
- $\tg (-585^{\circ})$
Дараах өнцгийн синус, косинус, тангесийн утгыг ол.
- $210^{\circ}$
- $-45^{\circ}$
- $-315^{\circ}$
- $720^{\circ}$
- $-570^{\circ}$
- $2220^{\circ}$
Дараах тригонометр функцийн утгыг, хурц өнцгийн
тригонометр функцээр илэрхийл.
- $\sin495^{\circ}$
- $\cos827^{\circ}$
- $\tg(-250^{\circ})$
$\sin\alpha=\sqrt{0.2}$ бол $\cos(2\alpha-\pi)$ илэрхийллийн утгыг ол.
Дараах утгыг ол.
- $\sin(-210^{\circ})$
- $\cos510^{\circ}$
- $\tg(-330^{\circ})$
$\sin2x=3^{-\frac12}$ бол $\dfrac{\sin^2(4x-540^{\circ})}{\cos^2(4x-540^{\circ})}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt6}$ бол
$\tg^{-2}(\dfrac{\pi}{2}+4\alpha)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\Big(\dfrac{\pi}{2}+2\alpha\Big)=a$ ба
$\alpha\in\Big(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\Big)$
бол $\tg\alpha+\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$ бол $\tg^{-2}\Big(\dfrac{7\pi}{2}+2\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)=5$ бол
$A=\cos2\alpha+\sin2\alpha\tg\alpha+\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin(\alpha-90^{\circ})=\dfrac{5}{13}$ ба $\sin\alpha< 0$
бол
$\tg2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(\pi+x)=a$ ба $x\in\Big[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\Big]$ бол
$\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin(\pi-x)=a$ ба $x\in\Big[-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\Big]$ бол
$\ctg\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos2\alpha=\dfrac13$ бол
$\tg\alpha\cdot\ctg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(\pi+\alpha)=-3$ бол $\sin4\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(-120^\circ)=?$
A.$-\dfrac{\sqrt3}{3}$ B.$-\sqrt3$ C.$\dfrac{\sqrt3}{2}$ D.$\dfrac{\sqrt3}{3}$ E.$\sqrt3$
$\sin(\alpha-30^\circ)$ нь аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?
A.$\sin(30^\circ-\alpha)$ B.$\sin(120^\circ+\alpha)$ C.$\sin(120^\circ-\alpha)$ D.$\cos(120^\circ-\alpha)$ E.$\cos(90^\circ-\alpha)$
$\sin 690^\circ=?$
A.$-\dfrac{\sqrt3}{2}$ B.$-\dfrac12$ C.$0$ D.$\dfrac12$ E.$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos^2 39^\circ+\cos^251^\circ$ утгыг ол.
A.$1$ B.$2\cos^239$ C.$2\cos^251$ D.$90^\circ$ E.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\alpha-30^\circ)$ нь аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?
A.$\sin(30^\circ-\alpha)$ B.$\sin(120^\circ+\alpha)$ C.$\sin(120^\circ-\alpha)$ D.$\cos(120^\circ-\alpha)$ E.$\cos(90^\circ-\alpha)$
$\dfrac{3\pi}{2}< t< 2\pi$ ба $\cos (2\pi+t)=\dfrac{12}{13}$ бол $\ctg (\pi-t)=?$
A.$\dfrac{13}{5}$ B.$-\dfrac{13}{12}$ C.$-\dfrac{12}5$ D.$\dfrac{12}{5}$ E.$\dfrac{13}{12}$
$\cos 510^\circ=?$
A.$0$ B.$-\dfrac{1}{2}$ C.$-\dfrac{\sqrt2}{2}$ D.$-\dfrac{\sqrt3}{2}$ E.$-1$
$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$ бол $\dfrac{\cos\alpha+\cos\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}=?$
A.$-1$ B.$1$ C.$\sqrt3$ D.$-\sqrt3$ E.$0$
$\dfrac{3\pi}{2}< t< 2\pi$ ба $\cos (2\pi+t)=\dfrac{12}{13}$ бол $\ctg (\pi-t)=?$
A.$\dfrac{13}{5}$ B.$-\dfrac{13}{12}$ C.$-\dfrac{12}5$ D.$\dfrac{12}{5}$ E.$\dfrac{13}{12}$
$0< t< \dfrac{\pi}{2}$ ба $\sin(4\pi+t)=\dfrac 35$ бол $\tg (\pi-t)=?$
A.$-\dfrac 54$ B.$-\dfrac34$ C.$-\dfrac 23$ D.$-\dfrac 43$ E.$-\dfrac 12$
$$32\cdot(\cos121^\circ\cdot\cos1^\circ+\sin59^\circ\cdot\cos89^\circ)$$
илэрхийллийн утгыг ол.
A.$32$ B.$-16$ C.$16$ D.$8$ E.$-8$
$\tg\Big(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\Big)=\dfrac12$ бол $\sin2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
A.$\dfrac45$ B.$\dfrac14$ C.$-\dfrac45$ D.$-\dfrac14$ E.$\dfrac15$