Интеграл

Бодлого №10226

$a>0$ байг.

$y=x^3-(2a-1)x^2+a(a+1)x, y=x^2-ax$ муруйнуудын огтолцолд үүсэх 2 хэсэг дүрсийн талбай хоорондоо тэнцүү байх

$a$ -ийн утгыг ол.

Бодлого №10227

$y=x^3-3x, y=x^3-3ax^2+3a^2x, (a>0)$ муруйнуудын огтлолд үүсэх дүрсийн талбайг

$S$ гэе.

$\dfrac{S}{a}$ хамгийн бага утгатай байх

$a$ ба тэр үеийн

$S$ -ийг ол.

Бодлого №10228

Дараах шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

$y=x^3-3x^2$ , $x$ тэнхлэг
$y=x^4-4x^2, y=x^2-4$
$C: y=x^3-x$ , $C$ муруйн $P$ цэг дээрх шүргэгч.

Бодлого №10233

$y=x-1$ шулуун дээр орших

$P$ цэгээс

$y=x^2$ парабол руу татсан 2 шүргэгч ба параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайн хамгийн бага утгыг ол.

Парабол ба талбай

$(1,2)$ цэгийг дайрсан өнцгийн коэффициент нь

$2k$ байх шулуун

$y=x^2$ параболыг

$P$ ,

$Q$ цэгүүдээр огтолно.

$P$ ,

$Q$ цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунуудыг

$\ell_1$ ,

$\ell_2$ гэе.

$-2\leq k\leq 2$ үед

$\ell_1$ ,

$\ell_2$ ба параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$S$ -ийн хамгийн их, хамгийн бага утгуудыг ол.

Талбай

$y=|x^2-4|$ ,

$x$ тэнхлэг

$x=t$ ,

$x=t+1 (t\geq 0)$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн талбайн хамгийн бага утгыг ол. Тэр үед

$t$ -г ол.

Бодлого №10325

Дараах муруй ба

$x$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

$y=-x^2+8$ $(-2\leq x\leq 1)$
$y=x^2-5x-5$ $(0\leq x\leq 5)$

Бодлого №10326

Дараах муруй болон шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

$y=-x^2+2x+3$ , $x$ тэнхлэг
$y=2x^2+3x-2$ , $x$ тэнхлэг
$y=x^2-x-1$ , $x$ тэнхлэг
$y=2x^2-3x+1$ , $y=2x-1$

Бодлого №10328

$y=x^2$ парабол,

$y=2x+1$ шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг

$y=2x+a$ шулуун 2 тэнцүү хэсэгт хуваадаг бол

$a$ -г ол.

Бодлого №10330

$y=x^2-2x-3$ парабол ба

$y=ax$ шулууны огтолцолд үүсэх дүрсийн талбайг

$S(a)$ гэвэл

$S(a)$ -ийн хамгийн бага утгыг ол.

Бодлого №10331

$C: y=x^2$ гэе.

$C$ муруй ба

$y=ax+b$ шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг

$S_1$ ,

$C$ муруй ба

$y=bx+a$ шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг

$S_2$ гэе. Хэрэв

$S_1=S_2$ бол

$a, b$ -г ол.

Бодлого №10368

$C_1: y=x^3-3x, C_2:y=-x^2-x+5$ байг.

$C_2$ муруйтай $(1, 0)$ цэгийн хувьд тэгш хэмтэй муруй $C_3$ -ийг ол.
$C_1$ ба $C_3$ -ийн ерөнхий шүргэгч шулуун $C_4$ -ийг ол.
$C_2$ ба $C_4$ -өөр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S$ -ийг ол.

Бодлого №10370

$y=x^2$ параболын

$A(a,a^2), B(b,b^2) (a< b)$ цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд

$S$ цэгт огтолцдог байг.

$S$ цэгийн координатыг ол.
$AS, SB$ хэрчмүүд, $y=x^2$ параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\dfrac{1}{12}(b-a)^3$ байхыг батал.
$y=x^2$ параболын $C(c, c^2) (a< c< b)$ цэг дээрх шүргэгч $AS$ хэрчимтэй $P$ , $SB$ хэрчимтэй $Q$ цэгт огтолцдог бол $AP, PQ, QB$ хэрчмүүд ба $y=x^2$ параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай хамгийн бага байх $C$ цэгийг ол.

Бодлого №10372

$y=x^2+1$ парабол дээр

$P$ цэгийг авав.

$O$ оройн цэг бөгөөд

$OP$ хэрчмийг

$t^2:(1-t^2) (0< t< 1)$ харьцаанд хуваах дотоод

$Q$ цэг авав.

$P$ цэг парабол дээр хөдлөхөд $Q$ цэг $C$ муруй зурдаг бол $C$ -ийн тэгшитгэлийг бич.
$y=x^2+1$ ба $C$ муруйгаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайн хамгийн их утгыг ол.

Бодлого №10376

$(1, 2)$ цэгийг дайрсан өнцгийн коэффициент нь

$k$ байх шулуун

$C: y=x^2$ параболыг

$P, Q$ цэгээр огтолно.

$C$ муруйн

$P, Q$ цэгүүд дээрх шүргэгчүүд ба

$C$ -ээр хүрээлэгдсэн талбай

$S$ бол

$S$ -ийг $k$ -аар илэрхийл.
$-3\leq x\leq 3$ үед $S$ -ийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.

Бодлого №10377

$y=x^2-2px$ параболын

$(t, t^2-2pt)$ цэг дээрх шүргэгчийг

$y$ тэнхлэгийн дагуу

$b$ нэгжээр зөөхөд гарах шулууныг

$l(t, b)$ гэе.

$l(t, b)$ шулуун параболтой 2 цэгээр огтолцоход үүссэн дүрсийн талбайг ол.

$x=u$ гэсэн шулуун уг дүрсийн талбайг 2 тэнцүү хэсэгт хуваадаг бoл

$u$ -г ол.

Бодлого №10378

$y=x^2-5x+6$ парабол

$y=kax-a^2-5a$ шулуун өгөгдөв.

Дурын $a$ -ийн хувьд парабол ба шулуун хоёр ялгаатай 2 цэгээр огтолцолдог байх $k$ -ийн утгын мужийг ол.
(1)-д олдсон $k$ -ийн мужид парабол ба шулуунаар хүрээлэгдсэн талбай нь $a$ -аас хамаарахгүй байх $k$ -ийн утгыг ол.

Бодлого №10379

$a$ бодит тоо

$y=\dfrac{8}{27}x^3, y=(x+a)^2$ муруйнууд $x$ тэнхлэгээс ялгаатай 2 ерөнхий шүргэгч шулуунтай байх $a$ -ийн утгын мужийг ол.
(1)-д олдсон 2 шүргэгч ба параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S$ -ийг $a$ -аар илэрхийл.

Бодлого №10380

$y=x(x-1)^2, y=kx^2 (k>0)$ муруйнууд өгөгдөв.

Дээрх 2 муруй ялгаатай 3 цэгээр огтолцохыг харуул.
Дээрх 2 муруйгаар хүрээлэгдсэн 2 хэсгийн талбай тэнцүү бол $k$ -г ол.

Бодлого №10381

$y=|x^2-4|$ , абсцисс тэнхлэг,

$x=t$ ба

$x=t+1 (t\geq 0)$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайн хамгийн бага утгыг ол. Ямар

$t$ -ийн хувьд энэ утгад хүрэх вэ?

Талбай олох (1)

$x$ -ийн хувьсах мужид

$y$ бa абсцисс тэнхлэгээр зааглагдсан хэсгийн талбайг ол.

$y=x^2-2x+2, [-1, 2]$
$y=x^2-x, [0, 2]$

Талбай олох (2)

$y=2x^2-5x, y=-x^2+x+12$ функцүүдын графикууд огтлолцоход үүсэх дүрсийн талбайг ол.

Талбайн хамгийн их ба бага утга

$(1, 2)$ цэгийг дайрсан шулуун ба

$y=x^2$ параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг

$S$ гэе.

$S$ -ийн хамгийн бага утгыг ол.

Талбайг тэнцүүлэх

$l\colon y=m(x-2)+5, C\colon y=x^2$ байг.

$l$ ба

$C$ -ээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг

$S$ ,

$(2, 5)$ цэгийг дайрсан

$l$ -д перпендикуляр шулууныг

$l_1$ гэе.

$l_1$ ба

$C$ -ээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг

$S_2$ гэе.

$S_1=S_2$ байх

$m$ -ийн бүх утгуудыг ол.

Талбайн нийлбэрийн хамгийн бага утга

$y=|x^2-x|$ муруйг

$y=mx$ шулуун 3 ялгаатай цэгээр огтолдог байв. Муруй ба шулууны огтлолд үүсэх 2 дүрсийн талбайн нийлбэр хамгийн бага байх

$m$ -ийг ол. Тэр үеийн талбайг ол.

Куб функцын шүргэгчийн хаших талбай

$C\colon y=x^3-6x^2-9x$ ,

$P$ нь

$C$ муруй дээр орших

$x$ координат нь

$p, (p< 2)$ байх цэг байг.

$C$ муруй ба

$P$ цэг дээрх шүргэгч шулуун

$l$ -ээр хүрээлэгдсэн талбай

$S$ -г

$p$ -ээр илэрхийл.

Талбай олох

$C\colon y=x^3-6x^2+9x$ ,

$\ell: y=mx$ байг.

$C$ ба

$\ell$ нь

$x\geq 0$ байх ялгаатай 3 цэгүүдээр огтолцох ба огтлолд үүсэх 2 хэсэг талбай тэнцүү бол

$m$ -г ол.

ЭЕШ 2008 E1 №18

$x=a$ ,

$x=2a$ (

$0< a< 2,5$ ),

$y=0$ ,

$y=5-4x-x^2$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрс

$a$ -ийн ямар утганд хамгийн их талбайтай байх вэ?

A.

$1$ B.

$\dfrac{6+\sqrt{71}}{7}$ C.

$\dfrac{-6+\sqrt{71}}{7}$ D.

$2$ E.

$\dfrac{-9+\sqrt{186}}{4}$

ЭЕШ 2008 E №20

$x=a$ ,

$x=2a$ ,

$\left(0< a< 2\right)$ ,

$y=0$ ,

$y=8+2x-x^{2}$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрс

$a$ -ийн ямар утганд хамгийн их талбайтай байх вэ?

A.

$1$ B.

$\dfrac{-3+\sqrt{65} }{7}$ C.

$\dfrac{9+\sqrt{753} }{14}$ D.

$\dfrac{-9+\sqrt{753} }{14}$ E.

$\dfrac{3+\sqrt{65} }{7}$

ЭЕШ 2012 A №21

$y=x^2$ ,

$y=x+2$ шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac72$ B.

$\dfrac92$ C.

$\dfrac{11}2$ D.

$\dfrac2{11}$ E.

$\dfrac29$

ЭЕШ 2014 A №32

$y=x^2$ ,

$x+y=2$ функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$5.5$ B.

$6.5$ C.

$6$ D.

$4.5$ E.

$5$

Дүрсийн талбай

$y=x^3$ ,

$y=\frac{1}{2} x^3$ ,

$x=1$ ,

$x=2$ шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{15}{8}$ B.

$2$ C.

$\dfrac{17}{8}$ D.

$\dfrac{9}{4}$ E.

$\dfrac{19}{8}$

Тодорхой интеграл дүрсийн талбай

$y=0$ шулуун ба

$y=2x^2-2x-1.5$ параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac83$ B.

$\dfrac23$ C.

$\dfrac86$ D.

$\dfrac53$ E.

$3$

Парабол шулууны огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай

$y=-x^2+2, y=x$ шугамуудаар зааглагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{16}{3}$ B.

$9$ C.

$4.5$ D.

$\dfrac{26}{3}$ E.

$\dfrac{29}{6}$

Интегралаар талбай бодох

$y=x^2-9x+18$ парабол ба

$OX$ тэнхлэгийн хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.

A.

$-\dfrac{9}{2}$ B.

$4.5$ C.

$6$ D.

$\dfrac{13}{2}$ E.

$9$

Парабол ба шулуун хооронд үүсэх талбай

$y=x^2-1$ парабол ба

$OX$ тэнхлэгийн хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac12$ B.

$\dfrac13$ C.

$\dfrac23$ D.

$1$ E.

$\dfrac43$

Интеграл ба талбай

$\displaystyle\int_{0}^4\sqrt{16-x^2} \,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$16\pi$ B.

$10\pi$ C.

$3\pi$ D.

$4\pi$ E.

$9\pi$

Бодлого №7215

$y=x^2-4x+5$ ба

$y=x+1$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$9$ B.

$5$ C.

$4,5$ D.

$3,5$

Бодлого №7216

$y=-x^2+10x-16$ ба

$y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$48$ B.

$36$ C.

$18$ D.

$27$

Параболуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$y=x^2$ ба

$y=2x-x^2$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$2$ B.

$\dfrac16$ C.

$\dfrac 13$ D.

$\dfrac 15$ E.

$1$

Бодлого №7218

$y=x^2+4x$ ба

$y=-x^2$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$\displaystyle\frac 73$ B.

$\displaystyle\frac53$ C.

$\displaystyle\frac43$ D.

$\displaystyle\frac 83$

Бодлого №7245

Зураг дээрх зурааслагдсан дүрсийн талбай аль вэ? {Зураг}

A.

$20\displaystyle\frac56$ B.

$19\displaystyle\frac16$ C.

$21\displaystyle\frac 56$ D.

$18\displaystyle\frac 16$

Бодлого №7246

Зураг дээрх зурааслагдсан дүрсийн талбай аль вэ? {Зураг}

A.

$5\displaystyle\frac16$ B.

$4\displaystyle\frac 16$ C.

$4\displaystyle\frac 12$ D.

$5\displaystyle\frac 12$

Бодлого №7247

$y=x^2; y=ax$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай 36 бол

$a$ -гийн бүх утга нь аль вэ?

A.

$a=6$ B.

$a=-6$ C.

$a=-6; a=6$ D.

$\emptyset$

Бодлого №7248

$y=-x^2; y=ax$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай 4 бол

$a$ -гийн бүх утга нь аль вэ?

A.

$a=2\sqrt[3]3; a=-2\sqrt[3]3$ B.

$a=-2\sqrt[3]3$ C.

$a=2\sqrt[3]3$ D.

$\varnothing$

ЭЕШ 2012 B №21

$y=x^2$ ,

$y=x+6$ шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{120}{7}$ B.

$\dfrac{127}{11}$ C.

$\dfrac{11}{2}$ D.

$\dfrac{125}{6}$ E.

$\dfrac{131}{11}$

ЭЕШ 2014 B №32

$y=x^2$ ,

$y=2-x, x=0, x\ge 0$ функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$1.5$ B.

$1\dfrac{1}{6}$ C.

$2$ D.

$2\dfrac56$ E.

$\dfrac67$

Тодорхой интегралаар талбай бодох

$y=-x^2+5$ ,

$y=x^2+1$ ,

$x=0$ ,

$x=1$ шугамуудаар зааглагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{11}{3}$ B.

$\dfrac{14}{3}$ C.

$4$ D.

$\dfrac23$ E.

$\dfrac{10}{3}$

Тодорхой интегралаар талбай бодох

$\displaystyle\int_{-1}^{1}2x^2\,\mathrm{d}x$ интегралаар бодогдох дүрсийн талбай аль нь вэ?

A. 1) B. 2) C. 3) D. 4) E. 5)

Тодорхой интеграл ашиглан талбай бодох

$y=\sin\dfrac{x}{3}$ ,

$y=0$ ,

$x=\pi$ ,

$x=\dfrac{3\pi}{2}$ шугамуудаар зааглагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$2$ B.

$1.5$ C.

$0.5$ D.

$\dfrac{3\sqrt3}{2}$ E.

$\dfrac{\pi}{6}$

Дүрсийн талбай

Зураг дээр зурааслагдсан, парабол ба шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.

A.

$5\dfrac16$ B.

$4\dfrac16$ C.

$4\dfrac12$ D.

$5\dfrac12$ E.

$5\dfrac34$

ЭЕШ 2008 A №91

$x=a$ ,

$x=2a\ (0< a<2.5)$ ,

$y=0$ ,

$y=5+4x-x^2$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрс

$a$ -ийн ямар утганд хамгийн их талбайтай байх вэ?

A.

$\dfrac{-6+\sqrt{71}}{7}$ B.

$\dfrac{-6-\sqrt{71}}{7}$ C.

$\dfrac{9-\sqrt{186}}{7}$ D.

$\dfrac{-9+\sqrt{186}}{7}$ E.

$\dfrac{6+\sqrt{71}}{7}$

Параболуудын хоорондох дүрсийн талбай

$y=x^2$ ,

$y=-x^2+4x+6$ параболуудын огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбайг ол.

A.

$-10$ B.

$21.3$ C.

$20$ D.

$\dfrac{61}{3}$ E.

$\dfrac{64}{3}$

parabol ba ы talbai

$y=x^2-3x+1$ парабол,

$y=4-x$ шулуун ба

$OY$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$12$ B.

$11$ C.

$10$ D.

$9$ E.

$8$

Дүрсийн талбай

Зураг дээр зурааслагдсан, парабол ба шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.

A.

$5\dfrac16$ B.

$4\dfrac16$ C.

$4\dfrac12$ D.

$5\dfrac12$ E.

$5\dfrac34$

parabol ba shurgegchiin talbai

$y=x^2-4x+10$ парабол,

$y=2x+1$ шулуун ба

$OY$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$14$ B.

$13$ C.

$12$ D.

$10$ E.

$9$

Шүргэгчээр үүсэх дүрсийн талбай

$y=x^2+2x+5$ параболын

$(-2;5)$ цэгт татсан шүргэгч шулуун,

$x=0$ шулуун ба уг параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{10}{3}$ B.

$3$ C.

$\dfrac{8}{3}$ D.

$\dfrac{5}{2}$ E.

$8$

ЭЕШ 2016 C №27

$y=0$ шулуун ба

$y=2x^2-2$ муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!

A.

$4$ B.

$1$ C.

$2$ D.

$\dfrac{8}{3}$ E.

$3$

ЭЕШ 2016 D №27

$y=0$ шулуун ба

$y=x^2-4$ муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!

A.

$4$ B.

$10\dfrac23$ C.

$2$ D.

$\dfrac{16}{3}$ E.

$9\dfrac23$

ЭЕШ 2016 A №27

$y=0$ шулуун ба

$y=3x^2-3$ муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!

A.

$4$ B.

$1$ C.

$2$ D.

$2.5$ E.

$6$

ЭЕШ 2016 B №27

$y=0$ шулуун ба

$y=6x^2-6$ муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!

A.

$4$ B.

$8$ C.

$6$ D.

$12$ E.

$15$

Тодорхой интегралаар талбай бодох

$y=0$ шулуун ба

$y=3x^2-3$ муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!

A.

$4$ B.

$1$ C.

$2$ D.

$2.5$ E.

$6$

Параболуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбай

$y=x^2+4x$ ба

$y=-x^2$ параболуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac73$ B.

$\dfrac53$ C.

$\dfrac43$ D.

$\dfrac83$ E.

$3$

Параболуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбай

$y=-2x^2+8x$ ба

$y=2x^2$ параболуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{16}{3}$ B.

$\dfrac{10}{3}$ C.

$\dfrac43$ D.

$\dfrac83$ E.

$3$

Муруй шугаман трапец

$y=x^3$ ,

$y=\frac{1}{3} x^3$ ,

$x=0$ ,

$x=1$ шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{1}{8}$ B.

$2$ C.

$\dfrac{1}{6}$ D.

$\dfrac{1}{2}$ E.

$\dfrac{1}{3}$

ЭЕШ 2017 D №29

$y=2x^3$ ба

$y=2x$ функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$1$ B.

$\dfrac13$ C.

$1\dfrac14$ D.

$2$ E.

$\dfrac12$

ЭЕШ 2017 B №29

$y=6x^3$ ба

$y=6x$ функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$3$ B.

$2\dfrac23$ C.

$1\dfrac12$ D.

$4$ E.

$\dfrac16$

Парабол ба шулуун хооронд үүсэх талбай

$y=x^2-1$ парабол ба

$OX$ тэнхлэгийн хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac12$ B.

$\dfrac13$ C.

$\dfrac23$ D.

$1$ E.

$\dfrac43$

Дүрсийн талбай

$y=x^3$ ,

$y=\frac{1}{2} x^3$ ,

$x=1$ ,

$x=2$ шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{15}{8}$ B.

$2$ C.

$\dfrac{17}{8}$ D.

$\dfrac{9}{4}$ E.

$\dfrac{19}{8}$

Дүрсийн талбай

$y=x^3$ ,

$y=\frac{1}{2} x^3$ ,

$x=-2$ ,

$x=-1$ шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.

A.

$\dfrac{17}{8}$ B.

$2$ C.

$\dfrac{15}{8}$ D.

$\dfrac{9}{4}$ E.

$\dfrac{19}{8}$

2021 B №34

Зурагт өгөгдсөн кубийн

$A_1B_1$ ба

$D_1C_1$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$N$ ,

$M$ цэгүүдийг,

$A_1N : NB_1=2:3$ ,

$D_1M:МC_1=2:3$ байхаар авчээ. Кубийг

$MNBC$ хавтгайгаар огтлоход үүссэн

$BB_1NCC_1M$ ба

$ABNA_1DCMD_1$ призмүүдийн эзлэхүүний харьцааг олоорой.

A.

$3:7$ B.

$2:3$ C.

$3:10$ D.

$7:10$ E.

$1:4$

ЭЕШ 2020, B25

$y=x^6$ функцийн график дээр орших

$P$ цэгийн

$Ox$ ,

$Oy$ тэнхлэгт буулгасан перпендикулярын суурь харгалзан

$A$ ,

$B$ бол

$OAPB$ тэгш өнцөгтийн талбайг

$y=x^6$ функцийн график ямар харьцаатай хуваах вэ?

A.

$3:1$ B.

$6:7$ C.

$1:5$ D.

$6:1$ E.

$6:5$

ЭЕШ 2020, A25

$y=x^5$ функцийн график дээр орших

$P$ цэгийн

$Ox$ ,

$Oy$ тэнхлэгт буулгасан перпендикулярын суурь харгалзан

$A$ ,

$B$ бол

$OAPB$ тэгш өнцөгтийн талбайг

$y=x^5$ функцийн график ямар харьцаатай хуваах вэ?

A.

$3:1$ B.

$6:7$ C.

$1:5$ D.

$6:1$ E.

$6:5$

2019 A №34

$A(-4, 0), B(-2, 8), C(2, 8), D(4, 0)$ цэгүүд дээр оройтой дөрвөн өнцөгтийн талбайг

$y = x^2 +4$ тэгшитгэлтэй парабол ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?

A.

$4:13$ B.

$3:8$ C.

$3:11$ D.

$5:16$ E.

$2:7$

2019 A №34

$A(-8, 0), B(-4, 32), C(4, 32), D(8, 0)$ цэгүүд дээр оройтой дөрвөн өнцөгтийн талбайг

$y = x^2 +16$ тэгшитгэлтэй парабол ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?

A.

$2:7$ B.

$2:9$ C.

$2:5$ D.

$5:8$ E.

$5:9$

2019 B №34

$A(-8, 0), B(-4, 32), C(4, 32), D(8, 0)$ цэгүүд дээр оройтой дөрвөн өнцөгтийн талбайг

$y = x^2 +16$ тэгшитгэлтэй парабол ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?

A.

$2:7$ B.

$2:9$ C.

$2:5$ D.

$5:8$ E.

$5:9$

Параболын шүргэгчээр үүсэх дүрсийн талбай

$C\colon y=x^2-x+1$ параболын

$A(1;1)$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь

$y=\fbox{a}x+\fbox{b}$ . Энэ шүргэгч шулуун,

$x=0$ шулуун ба

$C$ параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь

$\displaystyle\int\limits_{\fbox{c}}^{\fbox{d}}(x-\fbox{e})^2 \,\mathrm{d}x=\frac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$ байна.

Интегралаар талбай бодох

$k>0$ байг.

$C\colon y=x^2$ параболын

$(k,k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууныг

$\ell$ гэе.

$\ell$ шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}kx-k^2$ болно.
$C$ парабол $\ell$ шулуун ба $y$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$ .
$S=72$ бол $k=\fbox{d}$ байна.

Шүргэгчүүд болон параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбай

$y=x^2$ параболыг

$A(1;1)$ цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл

$y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ ,

$B(3;9)$ цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл

${y=\fbox{c}x-\fbox{d}}$ байна. Эдгээр шүргэгч шулуунууд

$C(\fbox{e};\fbox{f})$ цэгүүдэд огтлолцоно. Парабол болон түүний хоёр шүргэгчийн хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь

$\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ байна.

Параболын шүргэгчүүдээр үүсэх дүрсийн талбай

$y=x^2$ параболыг

$A(1;1)$ цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл

$y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ ,

$B(3;9)$ цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл

${y=\fbox{c}x-\fbox{d}}$ байна. Эдгээр шүргэгч шулуунууд

$C(\fbox{e};\fbox{f})$ цэгүүдэд огтлолцоно. Парабол болон түүний хоёр шүргэгчийн хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь

$\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ байна.

Бодлого №4974

$k>0$ байг.

$C\colon y=x^2$ параболын

$(k,k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууныг

$\ell$ гэе.

$\ell$ шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}kx-k^2$ болно.
$C$ парабол $\ell$ шулуун ба $y$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$ .
$S=72$ бол $k=\fbox{d}$ байна.

Параболуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбай

$f(x)=x^2$ ,

$g(x)=2-x^2$ параболууд нь

$x_1=\fbox{ab}$ ,

$x_2=\fbox{c}$ абсцисстэй цэгүүдэд огтлолцох ба параболуудын огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай нь

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\fbox{d}-\fbox{e}x^2 \,\mathrm{d}x=\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$ байна.

Парабол ба шулууны хооронд үүсэх талбай

$y=2x+3$ шулуун ба

$y=x^2$ параболын нь

$x_1=\fbox{ab}$ ,

$x_2=\fbox{c}$ цэгүүдэд огтлолцох ба эдгээрийн огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай нь

$S=\displaystyle\int_{\fbox{ab}}^{\fbox{c}}(\fbox{d}x+\fbox{e}-x^2) \,\mathrm{d}x$ тул

$S=\dfrac{\fbox{fg}}{3}$ .

Шүргэгч, талбай, перпендикуляр шулуун

$f(x)=x^2-4x+5$ функц өгөгдөв.

$x=0$ абсцисстэй цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{ab}x+\fbox{c}$ байна.
$x=1$ шулуун $f(x)$ функцийн график болон дээрх шүргэгч шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь $\dfrac{1}{\fbox{d}}$ байна.
Шүргэгч шулуунд перпендикуляр $(0;5)$ цэгийг дайрсан шулуун тэгшитгэл нь $y=\dfrac{1}{\fbox{e}}{x}+\fbox{f}$ ба энэ шулууны $OX$ тэнхлэгийг огтлох цэг нь $x=\fbox{ghi}$

Бодлого №5142

$x\in\big]-\frac\pi2;\frac\pi2\big[$ завсарт

$f(x)=\sin 2x$ ,

$g(x)=\cos x$ функцийн графикуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбайг бодъё.

$x\in\big]-\frac\pi2;\frac\pi2\big[$ завсарт $x=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ абсцистай цэгт огтлолцоно.
$x\in\big]-\frac\pi2;\frac\pi{\fbox{a}}\big[$ үед $g(x)>f(x)$ байх тул графикуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь $\displaystyle\int_{-\frac\pi2}^{\frac{\pi}{\fbox{a}}} g(x)-f(x) \,\mathrm{d}x=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$
$x\in\big]\frac\pi{\fbox{a}};\frac\pi2\big[$ үед $g(x)< f(x)$ байх тул графикуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь $\displaystyle\int_{-\frac\pi2}^{\frac{\pi}{\fbox{a}}} f(x)-g(x) \,\mathrm{d}x=\dfrac{\fbox{1}}{\fbox{d}}$
Иймд нийт талбай нь $\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$ байна.

Параболын шүргэгч

$k>0$ байг.

$C\colon y=x^2$ параболын

$(k, k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууныг

$\ell$ гэе.

$\ell$ шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}kx-k^2$ болно.
$C$ парабол $\ell$ шулуун ба $y$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$ .
$S=72$ бол $k=\fbox{d}$ байна.

Шүргэгчээр үүсэх талбай

$y=x^2$ парабол өгөгдөв.

Уг параболын $x=2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$
Уг парабол, түүний $x=2$ цэгт татсан шүргэгч шулуун, $OY$ тэнхлэгээр үүсэх дүрсийн талбай нь $\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ .

Бодлого №7323

$y=x^3, y=\sqrt[3]{x}$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S=\fbox{a}\cdot \displaystyle\int\limits_{\fbox{c}}^{\fbox{b}}(\sqrt[3]{x}-x^3)\,\mathrm{d}x=\fbox{d}$ болно.

Бодлого №7324

$y=x^2, y=\sqrt{|\,x|}$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S=\fbox{a}\cdot \displaystyle\int\limits_{\fbox{c}}^{\fbox{b}}(\sqrt{|\,x|}-x^2)\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{2}{\fbox{d}}$ болно.

Бодлого №7325

$y=x^2-5x+7, y=-2x^2+10x-5$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S=\displaystyle\int\limits_{\fbox{a}}^{\fbox{b}}(\fbox{cd}\cdot x^2+\fbox{ef}\,\,x-\fbox{fh})\,\mathrm{d}x=\fbox{i}\,3.5$ кв. нэгж. болно.

Бодлого №7326

$y=x^2+3x+4, y=-2x^2+15x-5$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S=\displaystyle\int\limits_{\fbox{a}}^{\fbox{b}}(\fbox{cd}\cdot x^2+\fbox{ef}\, x-\fbox{gh})\,\mathrm{d}x=\fbox{i}$ кв. нэгж. болно.

Бодлого №7327

$yx=3, x+y=4$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S=\displaystyle\int\limits_{\fbox{a}}^{\fbox{b}}(4-x-\displaystyle\frac{3}{x})\,\mathrm{d}x=\fbox{c}-\fbox{d}\cdot\ln \fbox{e}$ байна.

Бодлого №7328

$yx=2, x+y=3$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S=\displaystyle\int\limits_{\fbox{a}}^{\fbox{b}}(3-x-\displaystyle\frac{2}{x})\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{\fbox{c}}{2}-\fbox{d}\cdot\ln \fbox{e}$ байна.

Бодлого №7329

$x=a, x=2a (a>0), y=0, y=1+\displaystyle\frac{1}{x^2}$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S(a)=\fbox{a}\cdot a+\displaystyle\frac{\fbox{b}}{\fbox{c}\cdot a}$ учраас

$a^*=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\fbox{d}}}$ утганд минимум

$S_{\min}=\sqrt{\fbox{e}}$ утгаа авна.

Бодлого №7330

$x=a, x=2a (a>0), y=0, y=\displaystyle\frac12+\displaystyle\frac{1}{x^2}$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S(a)=\displaystyle\frac{a}{\fbox{a}}+\displaystyle\frac{\fbox{b}}{\fbox{c}\cdot a}$ учраас

$a^*=\fbox{d}$ утганд минимум

$S_{\min}=\fbox{e}$ утгаа авна.

Бодлого №7331

$y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{4x-3}}, y=0, x=a, x=3a (a>\displaystyle\frac 34)$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S(a)=\displaystyle\frac{\sqrt{\fbox{a}\cdot(\fbox{b}\cdot a-1)}-\sqrt{\fbox{c}\cdot a-3}}{\fbox{d}}$ учраас

$a^*=\fbox{e}$ утганд

$S(a)$ нь минимум

$S_{\min}=\fbox{f}$ утгаа авна.

Бодлого №7332

$y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2x-1}}, y=0, x=a, x=2a (a>\displaystyle\frac 12)$ муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$S(a)=\sqrt{\fbox{a}\cdot a-\fbox{b}}-\sqrt{\fbox{c}\cdot a-\fbox{d}}$ учраас

$a^*=\displaystyle\frac{3}{\fbox{e}}$ утганд минимум

$S_{\min}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\fbox{f}}}$ утгаа авна.

Бодлого №7333

$x=a, x=2a (0< a< \dfrac{\sqrt 7}{2}), y=0, y=7-x^2$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$S(a)=\fbox{a}\cdot a\Bigl(\fbox{b}-\displaystyle\frac{a^2}{\fbox{c}}\Bigr)$ учраас

$a^*=\fbox{d}$ утганд максимум

$S_{\max}=\displaystyle\frac{1\fbox{e}}{\fbox{f}}$ утгаа авна.

Бодлого №7334

$x=a, x=2a (0< a< \sqrt 7), y=0, y=28-x^2$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$S(a)=\fbox{a}\cdot a\Bigl(\fbox{b}-\displaystyle\frac{a^2}{\fbox{c}}\Bigr)$ учраас

$a^*=\fbox{d}$ утганд максимум

$S_{\max}=\displaystyle\frac{\fbox{e}12}{\fbox{f}}$ утгаа авна.

Бодлого №7335

$f(x)=\displaystyle\frac 12x+3, g(x)=-x^2+1, x=-2, x=1$ муруйнуудаар хашигдсан дүрсийн талбай

$S=\displaystyle\int\limits_{\fbox{ab}}^{\fbox{c}}[\fbox{d}x^2+\displaystyle\frac {\fbox{e}}{\fbox{f}}x+2]\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac {\fbox{gh}}{4}$

Бодлого №7336

$f(x)=5-x^2, g(x)=2-2x$ муруйнуудаар хашигдсан дүрсийн талбай

$S=\displaystyle\int\limits_{\fbox{ab}}^{\fbox{c}}[\fbox{de}x^2+\fbox{f}x+3]\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac {\fbox{gh}}{\fbox{i}}$

Интеграл ба дүрсийн талбай

$y=4x-x^2$ парабол ба ОХ тэнхлэгээр хязгаарлагдсан дүрсийн талбай

$\displaystyle\frac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ байна.

Бодлого №7342

$y=2-x^2$ парабол

$y=x$ шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай

$\displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ байна.

Талбайг 2 тэнцүү хуваах шулуун

$y=x^2$ парабол ба

$(-1, 1)$ ,

$(2, 4)$ цэгүүдийг дайрах шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийг

$D$ гэе. Параболын оройн цэгийг дайрсан

$D$ -г тэнцүү талбайтай 2 хэсэгт хуваах шулууны тэгшитгэл нь

$y=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}x$ байна.

ЭЕШ 2015 D №39

$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ функц өгөгдөв.

$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ функцийн $x_0=2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ ;
$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ , $x=2$ , $x=5$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}-\ln\fbox{d}$ ;
$y=5x+5$ шулуунд перпендикулар ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-6=0$ ;
$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ муруй ба $x-3y-2=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac{2}{3}\sqrt{\fbox{gh}}$ .

ЭЕШ 2015 A №39

$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц өгөгдөв.

$y=\dfrac{x}{x-1}$ функцийн $x_0=2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=-\fbox{a}x+\fbox{b}$
$y=\dfrac{x}{x-1}$ , $x=2$ , $x=4$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}+\ln\fbox{d}$
$y=2x+5$ шулуунд перпендикуляр ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-3=0$ .
$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц ба $x+5y-12=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac45\sqrt{\fbox{gh}}$

ЭЕШ 2015 B №39

$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц өгөгдөв.

$y=\dfrac{x}{x-1}$ функцийн $x_0=0$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=-\fbox{a}x+\fbox{b}$ ;
$y=\dfrac{x}{x-1}$ , $x=2$ , $x=5$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}+\ln\fbox{d}$ ;
$y=3x+5$ шулуунд перпендикулар ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-4=0$ ;
$y=\dfrac{x}{x-1}$ муруй ба $x+4y-10=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac{3}{4}\sqrt{\fbox{gh}}$ .

ЭЕШ 2015 C №39

$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ функц өгөгдөв.

$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ функцийн $x_0=0$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=\fbox{a}x+\fbox{b}$ ;
$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ , $x=2$ , $x=4$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}-\ln\fbox{d}$ ;
$y=4x+5$ шулуунд перпендикулар ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-5=0$ ;
$y=\dfrac{x-2}{x-1}$ муруй ба $x-3y+6=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac23\sqrt{\fbox{gh}}$ .

ЭЕШ 2013 A №23

$f(x)=x^2-8x+17$ функц өгөгдөв.

$f(x)$ функцийн $x_0=5$ абсцисстэй $M$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ (2 оноо).
$f(x)$ функцийн график, дээрх шүргэгч шулуун болон координатын тэнхлэгүүдээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\dfrac{\fbox{cd}}{3}$ (2 оноо).
$f(x)$ функцийн графикийг $M$ цэгт шүргэх, төв нь $OX$ (абсцисс) тэнхлэг дээр орших тойргийн тэгшитгэл $(x-\fbox{e})^2+y^2=\fbox{fg}$ (3 оноо).

Интегралаар дүрсийн талбай олох

$y=x^2$ парабол ба

$y=kx-k$ шулуун нь

$\fbox{a}< k<\fbox{b}$ үед ерөнхий цэггүй байна.

$k_1=\fbox{a}$ ,

$k_2=\fbox{b}$ ба

$\ell_1\colon y=k_1x-k_1$ ,

$\ell_2=k_2x-k_2$ гэе. Парабол ба

$\ell_1$ ,

$\ell_2$ шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь

$\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ байна.

Интегралаар талбай бодох

$k>0$ байг.

$C\colon y=-x^2$ параболын

$(k,-k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууныг

$\ell$ гэе.

$\ell$ шулууны тэгшитгэл $y=-\fbox{a}kx+k^2$ болно.
$C$ парабол $\ell$ шулуун ба $y$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$ .
$S=9$ бол $k=\fbox{d}$ байна.

Параболын шүргэгчээр үүсэх дүрсийн талбай

$C\colon y=x^2+x+1$ параболын

$A(-1;1)$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь

$y=-\fbox{a}x+\fbox{b}$ . Энэ шүргэгч шулуун,

$x=0$ шулуун ба

$C$ параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь

$\displaystyle\int\limits_{-\fbox{c}}^{\fbox{d}}(x+\fbox{e})^2 \,\mathrm{d}x=\frac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$ байна.

Бодлого №13887

$f(x)=x^3-3x^2+3x$ функцийн графикийг

$C$ гэе.

$y=f(x)$ функцийн

$x_0=2$ цэг дээрх шүргэгч шулуун

$\ell$ бол түүний тэгшитгэл

$y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ (2 оноо) байна.

$C$ муруй ба

$\ell$ -ийн шүргэлтийн цэгээс өөр ерөнхий цэг

$\left( \fbox{cd}, \fbox{ef}\right)$ (2 оноо) байна. Иймд

$C$ ба

$\ell$ -ээр хүрээлэгдсэн талбай

$A=\int\limits_{\fbox{cd}}^ 2\left(f(x)-\fbox{a}x+\fbox{b}\right) dx=\dfrac{\fbox{gh}}{4}$ (3 оноо) байна.

2018 №A.38

$(2,-2)$ цэгт оройтой параболын тэгшитгэл $y=x^2-\fbox{a}x+\fbox{b}$ байна.
$A(0,-6)$ , $B(4,2)$ цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{c}x-\fbox{d}$ байна.
Эдгээр функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбай $\fbox{e}\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$ байна.

Бодлого №15826

$f(x)=\dfrac13x^3-3x$ функц өгөгдөв.

$f'(2)=\fbox{a}$ байна.
$f(x)$ функцийн $(2,f(2))$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}x-\dfrac{\fbox{bc}}{3}$ байна.
$f(x)$ функцийн график, шүргэгч шулуунтай огтлолцох цэгийн абсцисс нь $x=\fbox{de}$
$f(x)$ функцийн график ба шүргэгч шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{fg}$ байна.

Бодлого №15870

$f(x)=\dfrac13x^3-3x$ функц өгөгдөв.

$f'(-2)=\fbox{a}$ байна.
$f(x)$ функцийн $(-2,f(-2))$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}x+\dfrac{\fbox{bc}}{3}$ байна.
$f(x)$ функцийн график, шүргэгч шулуунтай огтлолцох цэгийн абсцисс нь $x=\fbox{d}$
$f(x)$ функцийн график ба шүргэгч шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{ef}$ байна.

ЭЕШ 2007 A №21

$\displaystyle\int_{-2}^{6}|x-2|\,\mathrm{d}x$ интегралыг ол.

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 E. 16

Бодлого №13880

$\int\limits_{-1}^2 |1-x^2|dx$ бод.

A.

$\dfrac{5}{3}$ B.

$\dfrac{7}{3}$ C.

$2$ D.

$-2$ E.

$2\dfrac{2}{3}$

Бодлого №10232

Дараах интегралуудыг бод.

$\int(x^4-4x^3+6x^2-1)\,\textrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{-2}^{2}}(x^4-2x^3 3x^2-3x+5)\,\textrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{1}^{2}}|x(x-1)(x-2)|\,\textrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{0}^{3}}|(x+1)^2(x-2)|\,\textrm{d}x$
$\int (2x+3)^3\,\textrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{1}^{2}}(x-1)^2(x-2)\,\textrm{d}x$

Бодлого №10334

Дараах тодорхой интегралуудыг бод.

$\mathop{\int\limits_{1}^{2}}(2x^2-3x+4)\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{2}^{5}}(x-2)^2\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{-2}^{2}}(5x^2-x-2)\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}(2t+1)(1-3t)\,\mathrm{d}t$
$\mathop{\int\limits_{2}^{1}}(2x^2-2x+k)\,\mathrm{d}x$ ${(k\text{--тогтмол})}$

Тодорхой интеграл бодох (1)

Дараах интегралуудлыг бод.

$\mathop{\int\limits_{-1}^{2}}(x^2-3x-4)\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{-2}^{3}}(3t+1)(1-t)\,\mathrm{d}t$
$\mathop{\int\limits_{-2}^{2}}(3x^2-4x+1)\,\mathrm{d}x$

Зэрэг буурж бодох интеграл

$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^2 x\,\,\mathrm{d}x= ?$

A.

$\pi$ B.

$2\pi$ C.

$\dfrac{1}{2}\pi$ D.

$\dfrac{1}{3}\pi$ E.

$0$

Тригонометр функцийн интеграл

$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^2 x\,\,\mathrm{d}x= ?$

A.

$\pi$ B.

$2\pi$ C.

$\frac{1}{2}\pi$ D.

$\frac{1}{3}\pi$ E.

$0$

Тодорхой интеграл бодох

$\displaystyle\int_{1}^2 (x^2-3x+2) \,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac{x^3}3-\dfrac{3x^2}2+2x+C$ B.

$-\dfrac16$ C.

$\dfrac16$ D.

$-\dfrac{1}{12}$ E.

$0$

Тодорхой интеграл

$\displaystyle\int_3^{3e^4} \dfrac{\mathrm{d}x}{2x}$ интегралийг бод.

A.

$1$ B.

$2$ C.

$3$ D.

$4$ E.

$5$

Бодлого №5844

$\displaystyle\int_{-1}^2\,\,\mathrm{d}x$

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

Бодлого №5845

$\displaystyle\int_{1}^2 \frac{2x^3+1}{x^2}\,\,\mathrm{d}x$

A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 E. 5

Бодлого №5847

$\displaystyle\int_{e^{-1}}^{e^2} \frac{1}{x}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$1$ B.

$e^{-2}e^{-1}$ C.

$2$ D.

$e$ E.

$3$

Ньютон Лейбнецийн томьёо

$\displaystyle\int_0^\pi\cos^2x\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$\dfrac {\pi}4$ B.

$\dfrac{\pi}2$ C.

$0$ D.

$-\dfrac {\pi}2$ E.

$\pi$

Бодлого №7220

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\frac\pi 2}\sin^22x\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$\displaystyle\frac {3\pi}4$ B.

$\pi$ C.

$\displaystyle\frac32\pi$ D.

$0$

Бодлого №7221

$\displaystyle\int_{0}^{0.5}\Bigl(4x-\displaystyle\frac 1{2x+1}\Bigr)\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$\ln\big(\frac {e}2\big)$ B.

$0$ C.

$\displaystyle\frac 12$ D.

$0.5\ln\big(\frac e2\big)$

Бодлого №7223

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}\sin \Bigl(\displaystyle\frac {\pi}3-3x\Bigr)\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$0$ B.

$\displaystyle\frac {\pi}2$ C.

$\pi$ D.

$\displaystyle\frac {2\pi}3$ .

Бодлого №7229

$\displaystyle\int_0^{0.5}\displaystyle\frac{\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-2x^2}}$ интегралыг бод.

A.

$\displaystyle\frac{\pi}8$ B.

$\displaystyle\frac{\pi\sqrt{3}}4$ C.

$\displaystyle\frac{\pi\sqrt{2}}8$ D.

$\displaystyle\frac {\sqrt{2}}{8}$

Бодлого №7232

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^2\,\mathrm{d}x}{1+x^2}$ интегралыг бод.

A.

$\displaystyle\frac \pi 4$ B.

$3-\displaystyle\frac\pi 4$ C.

$1-\displaystyle\frac\pi 4$ D.

$1+\displaystyle\frac\pi 4$

Ньютон Лейбницийн томьёо

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,\mathrm{d}x=?$

A.

$\dfrac12$ B.

$\dfrac{\sqrt3}2$ C.

$\dfrac{\sqrt2}2$ D.

$0$ E.

$1$

Ньютон Лейбницийн томьёо

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{d}x=?$

A.

$\dfrac12$ B.

$\dfrac{\sqrt3}2$ C.

$\dfrac{\sqrt2}2$ D.

$0$ E.

$1$

Бие даалт 2-1

$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^2}dx$

ЭЕШ 2008 E1 №12

$\displaystyle\int_1^{e^2}\dfrac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x$

A.

$4$ B.

$2$ C.

$0.5(e^4-1)$ D.

$e^2-1$ E.

$1$

ЭЕШ 2008 E №11

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 3}\dfrac{e^{x}}{e^{x} +1} \,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$e^{2}$ B.

$\ln 2$ C.

$\dfrac{1}{4}$ D.

$e^{4}-e^{2}$ E.

$\ln 8$

ЭЕШ 2011 A №18

$\displaystyle\int_1^{e^4}\dfrac{\,\mathrm{d}x}{x(\ln x+1)}$ интеграл бод.

A.

$e+\ln 5$ B.

$\ln 5$ C.

$e+1$ D.

$\frac15\ln 5$ E.

$e$

Интеграл ба талбай

$\displaystyle\int_{0}^4\sqrt{16-x^2} \,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$16\pi$ B.

$10\pi$ C.

$3\pi$ D.

$4\pi$ E.

$9\pi$

Орлуулах арга

$\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x+2}}\,\mathrm{d}x$

A.

$\dfrac13(x+2)^{\frac 13}-4(x+2)^{\frac 12}+C$ B.

$\dfrac23(x+2)^{\frac{3}{2}}-(x+2)^{\frac12}+C$ C.

$\dfrac23(x+2)^{\frac 32}-4(x+2)^{\frac{1}{2}}+C$ D.

$\dfrac23(x+2)^{\frac23}-4(x+2)^{\frac{1}{2}}+C$ E.

$\dfrac23(x+2)^{\frac 32}+4(x+2)^{\frac{1}{2}}+C$

Орлуулгын арга

$\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,\mathrm{d}x$

A.

$\displaystyle\frac{2(x+1)^{\frac 52}}{5}-\displaystyle\frac{2(x+1)^{\frac 32}}{3}+C$ B.

$\displaystyle\frac{(x+1)^{\frac 52}}{5}-\displaystyle\frac23(x+1)^{\frac 32}+C$ C.

$\displaystyle\frac{(x+1)^{\frac 52}}{5}+\displaystyle\frac23(x+1)^{\frac 23}+C$ D.

$\displaystyle\frac25(x+1)^{\frac52}+\displaystyle\frac23(x+1)^{\frac 32}+C$ E.

$(x+1)^{\frac52}+(x+1)^{\frac 32}+C$

Бодлого №7211

$\int(4x+2)e^{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x$

A.

$3e^{x^2+2x+1}+C$ B.

$2e^{x^2+x+1}+C$ C.

$2e^{x^2+x+1}+x+C$ D.

$2e^{x^2+2x+1}+C$

Бодлого №7212

$\displaystyle\int(x^2+2x)e^{x^3+3x^2}\,\mathrm{d}x$

A.

$\displaystyle\frac 13e^{x^3+3x^2}+C$ B.

$\displaystyle\frac 13e^{x^3+6x}+C$ C.

$\displaystyle\frac 13e^{x^3+x^2}+C$ D.

$\displaystyle\frac 12e^{x^3+3x^2}+C$ E.

$\displaystyle\frac 13e^{x^2+2x}+C$

Орлуулах арга

$\displaystyle\int e^x\ln (1+e^x)\,\mathrm{d}x$

A.

$(1+e^x)(\ln(1+e^x)+1)+C$ B.

$(1+e^x)(\ln(1+e^x)-1)+C$ C.

$[(1+e^x)\ln(1+e^x)-e^x]+C$ D.

$[e^x\ln(1+e^x)+(1+e^x)]+C$ E.

$\dfrac{e^x}{1+e^x}+e^x\ln(1+e^x)+C$

Бодлого №7214

$\displaystyle\int\frac{\ln(1+\sqrt x)}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$

A.

$[(1+\sqrt x)\ln(1+\sqrt x)+(1+\sqrt x)]+C$ B.

$[(1+\sqrt x)\ln(1+e^x)-\sqrt x]+C$ C.

$2[\sqrt x\ln(1+e^x)-(1+\sqrt x)]+C$ D.

$2(1+\sqrt x)(\ln(1+\sqrt x)-1)+C$

Бодлого №7222

$\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac {\,\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{1+2x}}\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$\displaystyle\frac 32$ B.

$\displaystyle\frac 34(\sqrt[3]{9}-1);$ C.

$2$ D.

$\displaystyle\frac 34(\sqrt[3]{9}+1)$ .

Бодлого №7224

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$\displaystyle\frac 14$ B.

$\displaystyle\frac 12$ C.

$0$ D.

$1$ .

Бодлого №7227

$\displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt {x^2+a^2}}$ бод.

A.

$2a(\sqrt{2}-1)$ B.

$a(\sqrt{2}-1)$ C.

$a\sqrt 2-1$ D.

$a\sqrt 2+1$ .

Бодлого №7228

$\displaystyle\int_{1}^{a^2}\displaystyle\frac{x\,\mathrm{d}x}{x^2+a}$ бод.

A.

$\ln \sqrt{|a|}$ B.

$\ln |a|$ C.

$\ln \sqrt{2|a|}$ D.

$0$

Бодлого №7230

$\displaystyle\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}4}\tg x\cdot \displaystyle\frac{\,\mathrm{d}x}{\cos^2x}$ интегралыг бод.

A.

$\displaystyle\frac12$ B.

$\displaystyle\frac13$ C.

$\displaystyle\frac15$ D.

$\displaystyle\frac14$

Бодлого №7231

$\displaystyle\int_{\frac\pi 2}^{\pi}\displaystyle\frac{\sin x}{1-2\cos x}\,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$\ln 3$ B.

$\ln 2$ C.

$\ln\sqrt{5}$ D.

$\ln\sqrt{3}$

Тодорхой биш интеграл бодох орлуулгын арга

$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{d}x=?$

A.

$\dfrac{2(x-1)\sqrt{x+1}}{3}+C$ B.

$\dfrac{2(x-2)\sqrt{x+1}}{6}+C$ C.

$\dfrac{2(x-1)\sqrt{x+1}}{6}+C$ D.

$\dfrac{2(x-2)\sqrt{x+1}}{3}+C$ E.

$\dfrac{2(x-1)\sqrt{x-1}}{6}+C$

Тодорхой интегралыг бодох орлуулгын арга

$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos^2x \sin x\mathrm{d}x$

A.

$\frac13$ B.

$-\frac1{12}$ C.

$\frac1{12}$ D.

$-\frac9{12}$ E.

$\frac9{12}$

ЭЕШ 2008 A №65

$\displaystyle\int_0^{\ln 3}\dfrac{5e^x}{3+5e^x}\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$2\ln 6$ B.

$\ln 5$ C.

$\ln\dfrac94$ D.

$\dfrac{5}{24}$ E.

$\ln36$

Давхар функцийн интеграл

$F(x)$ нь

$x\cdot e^{x^2}$ функцийн

$F(1)=e$ байх эх функц бол түүнийг ол.

A.

$e^{x^2}-e$ B.

$xe^x-e^{\frac12}$ C.

$\frac12e^{x^2}+C$ D.

$\frac12e^{x^2}-\frac12e$ E.

$\frac12e^{x^2}+\frac12e$

Бодлого №7337

$\displaystyle\int_{-1}^1\displaystyle\frac{e^x}{e^{-x}+e^x}\,\mathrm{d}x= \displaystyle\frac{1}{\fbox{a}} \ln\displaystyle\frac{e^{\fbox{b}}+1}{e^{\fbox{cd}}+1}=1$

Бодлого №7338

$\displaystyle\int_{7}^8\displaystyle\frac{\ln(t-5)}{t-5}dt=\displaystyle\frac{1}{\fbox{a}}\ln\displaystyle\frac{\fbox{b}}{2}\ln\fbox{c}$

Тригонометр интеграл

$\displaystyle\int\cos^3x\sin^2x\,\mathrm{d}x=\frac{\sin^{\scriptsize\fbox{a}} x}{\fbox{a}}-\frac{\sin^{\scriptsize\fbox{b}}x}{\fbox{b}}+C$ (4 оноо)
$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3x\sin^2x\,\mathrm{d}x=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{de}}$ (3 оноо) байна.

Тригонометр интеграл

$\displaystyle\int\sin^3x\cos^4x\,\mathrm{d}x=\frac{\cos^{\scriptsize\fbox{a}}x}{\fbox{a}} -\frac{\cos^{\scriptsize\fbox{b}}x}{\fbox{b}}+C$ (4 оноо)
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3x\cos^4x\,\mathrm{d}x=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{de}}$ байна. (3 оноо)

Бие даалт 1-1

$\displaystyle\int (2-3\sqrt{x})^2dx$

ЭЕШ 2011 B №18

$\displaystyle\int_0^\pi \sin x\cos3x\,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$-\frac12$ B.

$\frac12$ C.

$0$ D.

$1$ E.

$-1$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{2x + 3}{x^2 - 9} dx=?$

A.

$\dfrac12\ln|x-3|+\dfrac32\ln|x+3|+C$ B.

$\dfrac32\ln|x-3|+\dfrac12\ln|x+3|+C$ C.

$3\ln|x-3|+\ln|x+3|+C$ D.

$\ln|x-3|+3\ln|x+3|+C$ E.

$\dfrac12\ln|x-3|-\dfrac32\ln|x+3|+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{x^2-2}{x+1} dx=?$

A.

$\dfrac{x^2}{2}+x-\ln|x+1|+C$ B.

$\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$ C.

$-\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$ D.

$\dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x+1|+C$ E.

$\dfrac{x^2}{2}-x-\ln|x+1|+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2+4x+8}=?$

A.

$\arctg\dfrac{x+2}{2}+C$ B.

$2\arctg\dfrac{x+2}{2}+C$ C.

$\dfrac12\arctg x+C$ D.

$\dfrac12\arctg (x+2)+C$ E.

$\dfrac12\arctg\dfrac{x+2}{2}+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{x^2dx}{(x-1)(x-2)(x-3)}=?$

A.

$-\dfrac12\ln|x-1|+4\ln|x-2|+\dfrac92\ln|x-3|+C$ B.

$-\dfrac12\ln|x-1|-4\ln|x-2|+\dfrac92\ln|x-3|+C$ C.

$\dfrac12\ln|x-1|-4\ln|x-2|-\dfrac92\ln|x-3|+C$ D.

$\dfrac12\ln|x-1|-4\ln|x-2|+\dfrac92\ln|x-3|+C$ E.

$\dfrac12\ln|x-1|+4\ln|x-2|+\dfrac92\ln|x-3|+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{(x+1)(x^2+1)}=?$

A.

$\dfrac12\ln\left|\dfrac{x+1}{x^2+1}\right|+\dfrac12\arctg x+C$ B.

$\ln|x+1|+\arctg x +C$ C.

$\ln|x+1|\cdot\arctg x +C$ D.

$\dfrac14\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}+\dfrac12\arctg x+C$ E.

$\dfrac12\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}+\dfrac12\arctg x+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^3+1}=?$

A.

$\dfrac16\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C$ B.

$\ln|x^3+1|+C$ C.

$x^2\ln|x^3+1|+C$ D.

$\dfrac16\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2-x+1}-\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C$ E.

$\ln\dfrac{x+1}{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^4-1}=?$

A.

$\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac12\arctg x+C$ B.

$\dfrac14\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac12\arctg x+C$ C.

$\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\arctg x+C$ D.

$\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+\arctg x+C$ E.

$\dfrac14\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|+\arctg x+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{5x}{(x-1)^3}dx=?$

A.

$-\dfrac{5}{2(x-1)^2}-\dfrac{5}{x-1}+C$ B.

$\dfrac{5}{3(x-1)^2}+C$ C.

$\dfrac{5}{2(x-1)^2}-\dfrac{5}{x-1}+C$ D.

$-\dfrac{5}{2(x-1)^2}+\dfrac{5}{x-1}+C$ E.

$\dfrac{10x^2}{(x-1)^4}+C$

Бодлого №15188

$\displaystyle\int \dfrac{3x+1}{x(x+1)(x-2)}dx$

A.

$-\dfrac16\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^3(x+1)^4}\right|+C$ B.

$\dfrac16\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^3(x+1)^4}\right|+C$ C.

$\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^3(x+1)^4}\right|+C$ D.

$-\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^3(x+1)^4}\right|+C$ E.

$\dfrac13\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^4(x+1)^3}\right|+C$

Рационал бутархайн интеграл хуулбар

$\displaystyle\int\dfrac{x^2-2}{x+1} dx=?$

A.

$\dfrac{x^2}{2}+x-\ln|x+1|+C$ B.

$\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$ C.

$-\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$ D.

$\dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x+1|+C$ E.

$\dfrac{x^2}{2}-x-\ln|x+1|+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{3x^2+2x+7}{x^2+1}dx=?$

A.

$3x-\ln(x^2+1)+4\arctg x+C$ B.

$3x+\ln(x^2+1)+\arctg x+C$ C.

$3x+4\ln(x^2+1)+\arctg x+C$ D.

$3x-4\ln(x^2+1)+\arctg x+C$ E.

$3x+\ln(x^2+1)+4\arctg x+C$

2021 B №17

$P(x)=x^3+x^2-3x-5$ олон гишүүнтийг

$Q(x) =x+2$ олон гишүүнтэд хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.

A.

$5$ B.

$1$ C.

$-3$ D.

$-7$ E.

$-5$

Сорилго №2, 2019-2020

$\displaystyle\int (x-1)(x-2)x$ интегралыг бод.

A.

$(x-1)^2(x-2)+C$ B.

$\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+2x+C$ C.

$x^3-\dfrac23x^2+3x+C$ D.

$\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}-2x+C$ E.

$\dfrac{x^3}{4}-\dfrac{3x^2}{2}+2x+C$

2019 A №17

$\displaystyle\int\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}dx$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac23x\sqrt{x}+\dfrac12\sqrt{x}+C$ B.

$\dfrac32x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C$ C.

$\dfrac23x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C$ D.

$\dfrac32x\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}+C$ E.

$\dfrac13x\sqrt{x}+\sqrt{x}+C$

2019 A №17

$\displaystyle\int\dfrac{x-2}{\sqrt{x}}dx$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac23x\sqrt{x}-\dfrac14\sqrt{x}+C$ B.

$\dfrac32x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+C$ C.

$\dfrac23x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+C$ D.

$\dfrac32x\sqrt{x}-\sqrt{x}+C$ E.

$\dfrac13x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C$

2019 A №17

$\displaystyle\int\dfrac{x-2}{\sqrt{x}}dx$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac23x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+C$ B.

$\dfrac32x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+C$ C.

$\dfrac23x\sqrt{x}-\frac14\sqrt{x}+C$ D.

$\dfrac32x\sqrt{x}-\sqrt{x}+C$ E.

$\dfrac13x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+C$

Рационал бутархайн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt[3]{x-8}}{x} dx=\fbox{a}\sqrt[3]{x-8}-\fbox{b}\ln|\sqrt[3]{x-8}+2|+\ln\big((\sqrt[3]{x-8})^3-\fbox{c}\sqrt[3]{x-8}+\fbox{d}\big)-\dfrac{\fbox{e}}{\sqrt3}\arctg\dfrac{\sqrt[3]{x-8}+1}{\sqrt3}+C$

Бодлого №10229

$f(x)=x^2+ax+b, g(x)$ -дурын шугаман функц

$\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f(x)\cdot g(x)\,\textrm{d}x=0$ байдаг бол

$a, b$ -г ол.

Бодлого №10230

Квадрат функц

$f(x)$ -ийн хувьд

$\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f(x)\,\textrm{d}x=0$ ,

$\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}xf(x)\,\textrm{d}x=\dfrac43$ ,

$\mathop{\int\limits_{1}^{x}}f(t)\,\textrm{d}t$ функцийн максимум утгa

$0$ бол

$\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f^2(x)\,\textrm{d}x$ -ийн утгыг ол.

Бодлого №10237

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -2x^2+2x+4, & x< 3\\ 4x^2-28x+40, & x\geq 3\end{array}\right.$ гэе.

$g(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{x}}f(t)\,\mathrm{d}t$ функцийн

$x\geq 0$ үеийн экстремум утгуудыг ол.

Хувьсах хилтэй интеграл

$y=\int\limits_{1}^{x} (4t^2-8t+3)\, dt$ функцийн экстремумыг ол.

Бодлого №10239

Дараах функцүүдийн экстремум утгуудыг ол.

$f(x)=\int\limits_{-3}^{x}(t^2-x)\, dt$
$f(x)=\int\limits_{x}^{x+1}(t^2-5t+7)\,dt$

Бодлого №10240

$x$ нь

$t$ -ээс хамаарахгүй бол дараах функцүүдын график зур.

$y=\int\limits_{-1}^{2}(3t^2-2xt)\,dt$
$y=\int\limits_{0}^{x}(2t-3t^2)\,dt$
$y=\int\limits_{0}^{x}|t-1|\,dt$

Бодлого №10323

$0\leq a\leq 1$ үед

$\mathop{\int\limits_{-a}^{1-a}}|x(x-a)|\,\textrm{d}x$ функц хамгийн их ба бага утгаа авах

$a$ -ийн утгыг ол.

Бодлого №10324

$a$ тогтмол тоо,

$f(x), g(x)$ нь

$f(x)=-x^2+ax\mathop{\int}\limits_{-1}^{1}g(t)\,\textrm{d}t-\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}t\cdot g(t)\,\textrm{d}t$ ба

$g(x)=-\dfrac12\mathop{\int\limits_{x-1}^{x+1}}f(t)\,\textrm{d}t+ax\mathop{\int}\limits_{-1}^{1}g(t)\,\textrm{d}t$ нөхцлүүдийг хангах бол+

$f(x), g(x)$ -ийг ол.

$-1\leq x\leq 1$ үед

$f(x)$ -ийн хамгийн их утгыг ол.

Бодлого №10332

Дараах нөхцлийг хангах

$a$ тоо ба

$f(x)$ -г ол.

$\mathop{\int\limits_{a}^{x}}f(t)\,\mathrm{d}t=x^2+2x-3$
$\mathop{\int\limits_{1}^{x}}tf(t)\,\mathrm{d}t=x^3+2x^2+a$

Бодлого №10335

Дараах интегралуудыг бод.

$\mathop{\int\limits_{1}^{1}}(-2x^2+5x-2)\,dx$
$2\mathop{\int\limits_{1}^{3}}x^2\,dx+3\mathop{\int\limits_{1}^{3}}x^2\,dx$
$\mathop{\int\limits_{-2}^{3}}(2x^2-1)\,dx-\mathop{\int\limits_{-2}^{3}}(x^2+x-5)\,dx$
$\mathop{\int\limits_{1}^{4}}|x^2-2x-3|\,dx$
$\mathop{\int\limits_{-3}^{2}}(x^2+3)\,dx+\mathop{\int\limits_{2}^{3}}(x^2+3)\,dx$

Бодлого №10336

Дараах тодорхой интегралуудыг бод.

$\mathop{\int\limits_{-1}^{3}}(x+1)(x-3)\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{0}^{2}}(x^2-2x)\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{-2-\sqrt{7}}^{-2+\sqrt{7}}}(2x^2+8x-6)$
$\mathop{\int\limits_{0}^{2}}|x^2+2x-4|\,\mathrm{d}x$

Бодлого №10337

$\mathop{\int\limits_{-1}^{0}}f(x)\,\mathrm{d}x=1, \mathop{\int\limits_{0}^{1}}f(x)\,\mathrm{d}x=0, \mathop{\int\limits_{1}^{2}}f(x)\,\mathrm{d}x=2$ адитгалуудыг хангах квадрат функцийг ол.

Бодлого №10338

$f(x)$ нь 3-аас хэтрэхгүй зэргийн олон гишүүнт бол

$\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f(x)\,\mathrm{d}x$ -утгыг

$f(-1), f(0), f(1)$ -ээр илэрхийл.

Бодлого №10339

Дараах адилтгалыг хангах

$f(x)$ -г ол.

$f(x)=x+2\mathop{\int\limits_{0}^{1}}f(t)\,\mathrm{d}t$
$f(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(x^2-6xf(t))\,\mathrm{d}t+1$

Бодлого №10340

Дараах функцүүдийн графикыг зур.

$f(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(t-x)\,\mathrm{d}t$
$f(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|t-x^2|\,\mathrm{d}t$

Бодлого №10341

$F(a)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|t^2-at|\,\mathrm{d}t$ -ийн хамгийн бага утгыг ол.

Бодлого №10342

$y=ax+b$ шулуун

$(1, 1)$ цэгийг дайрах бол

$\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x$ хамгийн бага утгаа авах

$a, b$ -г ол.

Бодлого №10344

$f^\prime(x)=x^n+\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f(t)\,\mathrm{d}t, f(0)=0$ нөхцлийг хангах бүх

$f(x)$ -ийг ол.

Бодлого №10345

$f_1(x)=2x^2+1, f_n(x)=2x^2+\mathop{\int\limits_{0}^{1}}f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t, (n\geq 2)$ нөхцөл хангах

$f_n(x)$ функцэн дараалалыг

$n, x$ -ээр илэрхийл.

Бодлого №10366

$p(x)$ шугаман функц бөгөөд

$\textstyle\mathop{\int\limits_{0}^{1}}p(x)\,\mathrm{d}x=0, \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(p(x))^2\,\mathrm{d}x=1, p(0)>0$ бол

$p(x)$ -ийг ол.
Дурын шугаман функц $f(x)$ -ийг $f(x)=ap(x)+b$ хэлбэрээр бич.
$f(x)=ap(x)+b$ бa $\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(f(x))^2\,\mathrm{d}x=1$ бол $f(x)$ -ийн боломжит утгуудын олонлогийг ол.

Бодлого №10367

Дурын бодит тооны хувьд

$f(x)=x^2-x+2\mathop{\int\limits_{0}^{2}}|t-1|f(t)\,\mathrm{d}t$ нөхцөл хангах

$f(x)$ функцийг ол.

Бодлого №10369

$0< a< 1, O(0, 0), P(1, a), Q(2, 4)$ байг.

$OPQ$ тахир шугам график нь байх функцийг

$y=f_a(x)$ гэе.

$y=f_a(x)$ ба $y=x^2$ -ийн огтлолын цэгүүдийн координатуудыг ол.
$S(a)=\mathop{\int\limits_{0}^{2}}|x^2-f_a(x)|\,\mathrm{d}x$ функцийн хамгийн бага утгыг ол.

Бодлого №10371

$\mathop{\int\limits_{0}^{x}}f(t)\,\mathrm{d}t=x\{af(x)+bf(x/2)+c\cdot f(0)\}$ нөхцөл хангах

$f(x)$ олон гишүүнтүүдийн олонлогийг

$M$ гэе.

$M$ олонлог нь 2-оос ихгүй зэргийн бүх олон гишүүнтийг агуулдаг бол

$a, b, c$ -г ол.

Бодлого №10374

$0\leq a\leq 1$ үед

$\mathop{\int\limits_{-a}^{1-a}}|x(x-a)|\,\mathrm{d}x$ функц хамгийн их ба бага утгаа авах

$a$ -ийн утгыг ол.

Бодлого №10375

$y=(ax+b)^2 (0\leq x\leq 1)$ функцийн хамгийн их утгыг

$M(a, b)$ гэе.

$M(a, b)\leq m \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x$ тэнцэтгэл биш дурын

$a, b$ бодит тооны хувьд биелэх

$m$ -ийн хамгийн бага утгыг ол.

Бодлого №10382

$a>0$ үед

$g(x)=\mathop{\int\limits_{-2}^{2}}|x-t|(t^2-a^2)\,\mathrm{d}t$ функц хамгийн бага утгатай байх

$a$ -ийн утгын мужийг ол. Энэ үед

$g(x)$ -ийн хамгийн бага утгыг

$a$ -аар илэрхийл.

Тодорхой интеграл бодох (2)

Дараах интегралуудыг бод.

$\mathop{\int\limits_{2}^{2}}(5x^2-x+4)\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(-x^2+2)\,\mathrm{d}x-\mathop{\int\limits_{0}^{1}}x^2\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{0}^{1}}x^2\,\mathrm{d}x+\mathop{\int\limits_{1}^{3}}x^2\,\mathrm{d}x$
$\mathop{\int\limits_{0}^{2}}|x^2+x-2|\,\mathrm{d}x$

Тодорхой интеграл бодох (3)

$(1)$ ,

$(2)$ -ийг батлаад түүнийгээ ашиглан

$1\sim3$ -ийг бод.

$\begin{align*} &\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2\,dx=\dfrac13(\beta-\alpha)^3 & (1)\\ &\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 & (2) \end{align*}$

$\displaystyle\int_{2}^{5}(x-2)^2\,dx$
$\displaystyle\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}(2x^2-4x-2)\,dx$
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}(x^2+x-1)\,dx$

Адитгал хангах функц олох

$\int\limits_{-1}^{1}f(x)\,dx=5$ ,

$\int\limits_{-1}^{1}xf(x)\,dx=-4$ нөхцөлийг хангах

$f(x)$ шугаман функцийг ол.

$\int_{a}^{b}g(x,~t)\,\mathrm{d}t$ функцийг

$x$ ээр илэрхийлэх

$(1) f(x)=\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}(9xt^2+2x^2t-x^3)\,\mathrm{d}t$ -г

$x$ -ээр илэрхийл.

$(2) f(x)=x+\mathop{\int\limits_{0}^{1}}tf(t)\,\mathrm{d}t$ нөхцлийг хангах

$f(x)$ -г ол.

$\int_{a}^{b}g(x,t)\,\mathrm{d}t$ функцийн график зурах

$f(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|t-x|\,\mathrm{d}t$ функцийн график зур.

$\int_{a}^{b}g(x,t)\,\mathrm{d}t$ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага

$0\leq t\leq 1$ үед

$F(t)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|x^2-t^2|\,\mathrm{d}x$ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.

Тодорхой интеграл ба тэнцэтгэл биш

Дараах тэнцэтгэл бишийг батал.

$\Big|\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)(px+q)\,\mathrm{d}x\Big|^2 \leq \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(px+q)^2\,\mathrm{d}x$

Тодорхой интеграл ба функцэн дараалал

$f_n(x)=f_0(x)+\int_{0}^{c}f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t$ ,

$f_0(x)=-2x+1, (n=1, 2, 3,\ldots, c\neq 1)$ гэж тодорхойлогдох

$f_{n}(x)$ -ийг ол.

$\int_{a}^{x}f(t)\,dt$ функц (1)

Дурын

$x$ -ийн хувьд

$\int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt=x^2-1$ нөхцөлийг хангах

$a$ тоо болон

$f(x)$ функцийг ол.

$\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$ функц (2)

$\displaystyle f(x)=\int_{-2}^{x}(t^2+t-2)\,dt$ функцийн эктремумыг ол.

$\int_{x}^{x+a}g(t)dt$ функц

$g(x)=\int\limits_{x}^{x+1}|t(t-3)|dt (0\leq x\leq 3)$ функцийн хамгийн их ба бага утгыг ол. Тэр үеийн

$x$ -ийг ол.

Хувьсах хилтэй интеграл

$f(x), g(x)$ нь дараах нөхцлүүдийг хангадаг бол

$f(x), g(x)$ -г ол.

$\begin{gather*}\mathop{\textstyle\int\limits_{0}^{x}}(f(t)+g(t))\,\textrm{d}t=x^3+x^2-3x, f'(x)\cdot g'(x)=8x^2+2x-3,\\ f'(0)=3, f(0)=-6, g(0)=3 \end{gather*}$

Функц олох

$\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}x^k\cdot f(x)\,\textrm{d}x=0, k=0, 1, 2$ ба ахлах гишүүний коэффициент нь 1 байх бүх 3 зэргийн функцүүдийг ол.

ЭЕШ 2006 A №24

$f(x)=x^3$ функцийн графикыг

$(Ox)$ тэнхлэгийн дагуу

$a$ зайд,

$(Oy)$ тэнхлэгийн дагуу

$b$ зайд шилжүүлэхэд

$y=g(x)$ функц үүсэх ба

$g(0)=0$ байв.

$\int_a^{3a}g(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^{2a}f(x)\,\mathrm{d}x=32$ бол

$a^4$ -г ол.

A.

$1$ B.

$1/16$ C.

$16$ D.

$1/81$ E.

$81$

ЭЕШ 2006 C №24

$f(x)=x^3$ функцийн графикийг

$(ox)$ тэнхлэгийн дагуу

$a$ зайд,

$(oy)$ тэнхлэгийн дагуу

$b$ зайд шилжүүлэхэд

$y=g(x)$ функц үүсгэх ба

$g(0)=0$ байв.

$\int_{a}^{3a}g(x)\,\mathrm{d}x-\dfrac12\int_{0}^{2a}f(x)\,\mathrm{d}x=162$ бол

$a^4=?$

A.

$1$ B.

$16$ C.

$5$ D.

$\dfrac{81}{2}$ E.

$24$

ЭЕШ 2009 B1 №10

$\displaystyle\int_0^3|1-x^2|\,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac{22}{3}$ B.

$\dfrac{8}{3}$ C.

$\dfrac{16}{3}$ D.

$2$ E.

$\dfrac{11}{3}$

Бодлого №4676

$\displaystyle\int_{-2}^1|5x-3|\,\mathrm{d}x$ нь аль тоо вэ?

A.

$17\frac{3}{10}$ B.

$15\frac{3}{10}$ C.

$18\frac{7}{10}$ D.

$16\frac{7}{10}$ E.

$18\frac{3}{10}$

Бодлого №4847

$f(x)=\displaystyle\int_x^{x+2}|2t-4|\,\mathrm{d}t$ бол

$f(x)$ -ийн хамгийн бага утгыг ол.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Тодорхой интеграл

$\displaystyle\int_{-1}^2 2(t-1)x\,\mathrm{d}x = 2t$ бол

$t=?$

A.

$-2$ B.

$-3$ C.

$2$ D.

$3$ E.

$0$

Бодлого №5848

$\displaystyle\int_{0}^4 |x-2|\,\,\mathrm{d}x$

A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8

Бодлого №7207

$\left(\displaystyle\int_0^x\sin 5tdt\right)'$ нь аль вэ?

A.

$\cos 5x+1$ B.

$\sin 5x+1$ C.

$\sin 5x$ D.

$\cos 5x$

Бодлого №7208

$\Big(\displaystyle\int_0^x\cos 3t\,\mathrm{d}t\Big)^\prime$ нь аль вэ?

A.

$\cos 3x+1$ B.

$\cos 3x$ C.

$\sin 3x+1$ D.

$\sin 3x$ E.

$3\cos 3x$

Бодлого №7225

$\displaystyle\int_{0}^{2a}x|x^2-a^2|\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$a^4$ B.

$\displaystyle\frac {a^4}2$ C.

$\displaystyle\frac 25a^4$ D.

$\displaystyle\frac 52a^4$ E.

$0$

Бодлого №7226

$\displaystyle\int_{0}^{2a}|x-a|\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$\displaystyle\frac 32a^2$ B.

$a^2$ C.

$\displaystyle\frac 12a^2$ D.

$2a$

Бодлого №7233

$\displaystyle\int_0^t\sin x\cdot \cos x\,\mathrm{d}x=\frac 14$ тэгшитгэлийн

$[0;\pi]$ завсар дахь шийд аль вэ?

A.

$\displaystyle\frac \pi 4$ B.

$\displaystyle\frac\pi6$ C.

$\displaystyle\frac \pi 3$ D.

$\displaystyle\frac\pi 2$

Бодлого №7234

$\displaystyle\int_0^t(1-2\cos^2 x)\,\mathrm{d}x=\frac 12$ тэгшитгэлийн

$[0;\pi]$ завсар дахь шийд аль вэ?

A.

$\displaystyle\frac {3\pi} 4$ B.

$\displaystyle\frac\pi 4$ C.

$\displaystyle\frac {2\pi} 3$ D.

$\displaystyle\frac\pi 3$

Хувьсах хилтэй интеграл, Ньютон-Лейбницийн томьёо

$\displaystyle\int_{y-1}^y(x^2+1)\,\mathrm{d}x< \frac {10}3$ тэнцэтгэл бишийн бүх шийд аль олонлог вэ?

A.

$]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[$ B.

$]-\infty;-1[$ C.

$]2;+\infty[$ D.

$]-1;2[$ E.

$\varnothing$

Бодлого №7236

$\displaystyle\int_{y}^{y+2}(x^2+x)\,\mathrm{d}x>\frac 23$ тэнцэтгэл бишийн бүх шийд аль олонлог вэ?

A.

$]-\infty;-2[\cup]-1;+\infty[$ B.

$]-\infty;-2[$ C.

$]-1;+\infty[$ D.

$]-2;-1[$

Бодлого №7237

$\displaystyle\int_{-y}^y(3x^2+1)\,\mathrm{d}x\leq y^2$ тэнцэтгэл бишийн

$[0;+\infty[$ завсар дахь шийд аль вэ?

A.

$[0;+\infty;[$ B.

$[0;7]$ C.

${0}$ D.

$[7;+\infty[.$

Бодлого №7238

$\displaystyle\int_{-3}^{2y}(x^2+6x)\,\mathrm{d}x\geq 4y^2-18$ тэнцэтгэл бишийн

$[-2;+\infty[$ завсар дахь шийд аль вэ?

A.

$[-2;+\infty[$ B.

$]-2;4]$ C.

$[4;+\infty[$ D.

$\varnothing$

Тодорхой интегралын геометр утга

$\displaystyle\int_{-1}^3|7x+2|\,\mathrm{d}x$ нь аль тоо вэ?

A.

$37\displaystyle\frac57$ B.

$39\displaystyle\frac47$ C.

$43\displaystyle\frac 67$ D.

$45\displaystyle\frac 37$ E.

$40$

Модультай интеграл

$\displaystyle\int_{-2}^1|5x-3|\,\mathrm{d}x$ нь аль тоо вэ?

A.

$17.3$ B.

$15.3$ C.

$18.7$ D.

$16.7$ E.

$17.5$

Бодлого №7241

$\displaystyle\int_{-2}^3(x^2-7|x|+12)\,\mathrm{d}x$ нь аль тоо вэ?

A.

$23\displaystyle\frac 16$ B.

$27\displaystyle\frac 56$ C.

$28\displaystyle\frac 23$ D.

$26\displaystyle\frac 16$

Бодлого №7242

$\displaystyle\int_{-2}^3(x^2-|7x-14|)\,\mathrm{d}x$ нь аль тоо вэ?

A.

$-47\displaystyle\frac56$ B.

$47\displaystyle\frac 56$ C.

$48\displaystyle\frac 23$ D.

$-48\displaystyle\frac 23$

Бодлого №7243

$\displaystyle\int_{3}^5|x^2-7x+12|\,\mathrm{d}x$ нь аль тоо вэ?

A.

$2\displaystyle\frac56$ B.

$3\displaystyle\frac 16$ C.

$1\displaystyle\frac 56$ D.

$4\displaystyle\frac 16$

Модультай интеграл

$\displaystyle\int_{0}^4|-x^2+5x-6|\,\mathrm{d}x$ нь аль тоо вэ?

A.

$3\dfrac13$ B.

$4\dfrac 23$ C.

$1\dfrac 13$ D.

$7\dfrac 23$ E.

$5\dfrac 23$

ЭЕШ 2013 A №12

$\displaystyle\int_3^6\dfrac{\,\mathrm{d}x}{2x-3}$ интералыг бод.

A.

$\ln\sqrt[3]{3}$ B.

$\ln\sqrt3$ C.

$\ln\sqrt2$ D.

$\ln\sqrt[3]2$ E.

$\ln\sqrt[3]5$

Модультай тодорхой интеграл

$\displaystyle\int_{-2}^3|x-1|\,\mathrm{d}x=?$

A.

$-\dfrac52$ B.

$\dfrac32$ C.

$\dfrac52$ D.

$\dfrac{11}2$ E.

$\dfrac{13}2$

Модультай тодорхой интеграл

$\displaystyle\int_{-1}^4|x-2|\,\mathrm{d}x=?$

A.

$-\dfrac52$ B.

$\dfrac32$ C.

$\dfrac52$ D.

$\dfrac{11}2$ E.

$\dfrac{13}2$

Модультай интеграл

$\displaystyle\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x$

A.

$22$ B.

$23$ C.

$24$ D.

$25$ E.

$26$

Зэрэг бууруулж бодох интеграл

$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\,\,\mathrm{d}x= ?$

A.

$\pi$ B.

$2\pi$ C.

$\dfrac{1}{2}\pi$ D.

$\dfrac{1}{3}\pi$ E.

$0$

Бодлого №13759

$\displaystyle\int_{0}^4 |x-2|\,\,\mathrm{d}x$

A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8

2018 №A.29

$\displaystyle\int_{\frac{b}{2}}^b\dfrac{1-2x}{3}dx=-\dfrac{4}{3}$ тэнцэтгэл

$b$ -ийн ямар утгад биелэх вэ?

A.

$2;-\dfrac85$ B.

$2;-\dfrac83$ C.

$8;-6$ D.

$-2;\dfrac83$ E. шийдгүй

ЭЕШ 2020, B21

Хэрэв

$\displaystyle\int_0^3f(x)dx=4$ бол

$\displaystyle\int_0^3\big(f(x)+4x+1\big)dx$ -ийг олоорой.

A.

$21$ B.

$25$ C.

$22$ D.

$33$ E.

$30$

ЭЕШ сорилго №1А, Бодлого №21

$\displaystyle\int_0^3x(x-3)dx$ интегралыг бод.

A.

$-4.5$ B.

$-3$ C.

$-\dfrac{27}{2}$ D.

$3$ E.

$\dfrac{9}{2}$

ЭЕШ 2020, A21

Хэрэв

$\displaystyle\int_0^3f(x)dx=5$ бол

$\displaystyle\int_0^3\big(f(x)+2x+3\big)dx$ -ийг олоорой.

A.

$24$ B.

$17$ C.

$14$ D.

$33$ E.

$23$

Бодлого №7321

Хоёр дугуйчин нэгэн гараанаас нэг чиглэлд харгалзан

$v_1(t)=\displaystyle\frac 38(\sqrt{t}+t)$ ,

$v_2(t)=2(\sqrt[3]{t}+1)$ м/с хурдтайгаар зэрэг хөдөлжээ. Тэдний явсан зам нь

$S_1=\displaystyle\frac{1}{\fbox{a}}t^{\frac{3}{2}}+\displaystyle\frac{\fbox{b}}{16} t^2+\fbox{c}$ ,

$S_2=\displaystyle\frac{3}{\fbox{d}}t^{\frac{4}{3}}+\fbox{e} t+\fbox{f}$ тул 64 секундийн дараа бие биенээсээ

$S_1(t)-S_2(t)=\fbox{g}84$ м зайтай байна.

Бодлого №7322

$v(t)=\displaystyle\frac {\sin 2t}{2}$ м/с хурдтайгаар материаллаг цэг шулуун замаар хөдөлжээ.

$t=\displaystyle\frac{\pi}{3}$ секундын хугацаанд

$\displaystyle\frac{7}{18}$ м явсан гэвэл түүний явсан зам нь

$S=\fbox{a}-\displaystyle\frac{\cos\fbox{b} t}{\fbox{c}}$ , харин

$t=\displaystyle\frac{\pi}{3}$ секундын дараа өмнөхөөсөө 2 дахин их хурдтай хөдөлсөн бол явсан зам нь

$S=\displaystyle\frac{\fbox{d}}{\fbox{e}6}-\displaystyle\frac{\cos\fbox{f}\,t}{\fbox{g}}$ болно.

Орлуулах арга

$\displaystyle\int_0^1x^2\sqrt[3]{(2-x^3)^2}\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}(\fbox{c}\cdot\sqrt[3]{\fbox{d}}-\fbox{e})$ болно.

Бодлого №7344

$\displaystyle\int^{\sqrt 2}_{\frac{\sqrt{6}}{2}}x\sqrt{(2x^2-3)}\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болно.

Тодорхой интегралын орлуулах томьёо

$\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x=\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}(\sqrt{\fbox{c}}-\fbox{d})$ болно.

Тодорхой интеграл бодох, Ньютон-Лейбницийн томьёо

$\displaystyle\int_{-2}^{-1}\frac{\,\mathrm{d}x}{(11+5x)^3}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}$ болно.

Үл мэдэгдэх квадрат функц олох

$f(x)=Ax^2+Bx+C$ -ийн хувьд

$f^\prime(1)=8\, , \, f(2)+f^{\prime\prime}(2)=33\, , \,\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\frac73$ бол

$A, B, C$ -г олъё.

$\left\{\begin{array}{l} f^\prime(1)=\fbox{a}A+B=8\\ f(2)+f^{\prime\prime}(2)=\fbox{b}A+\fbox{c}B+\fbox{d}C=33\\ \displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\dfrac{A}{\fbox{e}}+\dfrac{B}{\fbox{f}}+C=\dfrac73 \end{array} \right.$ Тэгшитгэлийн системийг бодвол

$A=\fbox{g}\, , \, B=\fbox{hi}\, , \, C=\fbox{j}$ болно.

function shinjilgee

$f(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 2x^2+1&x\leq 1\\ 4-x&x>1 \end{array} \right.$ функц өгөгдөв.

$f(0)+f(1)+f(2)=\fbox{a}$ /1 оноо/
$\int\limits_0^2f(x)\,dx=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}}$ /2 оноо/
$f(x)=0$ тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}$ байна. /1 оноо/
$g(a)=\int\limits_0^af(x)\,dx$ гэвэл $g(a)$ функцийн максимум утга $a=\fbox{f}$ үед $g_{\max}=\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{i}}$ байна. /3 оноо/

ЭЕШ 2010 A №12

$h$ функцийг бүх бодит тооны хувьд

$h(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}e^{x+t}\,\mathrm{d}t$ гэж тодорхойлъё. Тэгвэл

$h^\prime(1)=?$

A.

$e-1$ B.

$e^2$ C.

$e^2-e$ D.

$2e^2$ E.

$3e^2-e$

ЭЕШ 2010 B №12

$f$ функцийг бүх бодит тооны хувьд

$f(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}e^{2x+t}\,\mathrm{d}t$ гэж тодорхойлъё. Тэгвэл

$f^\prime(1)=?$

A.

$4e^3-2e^2$ B.

$e^2$ C.

$e^3-e$ D.

$2e^2$ E.

$3e^2-e$

Хэсэгчилэн интегралчлах

$\displaystyle\int e^x\sin xdx$ бод.

Хэсэгчилэн интегралчлах

$\displaystyle\int x e^{2x} \,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac12e^{2x}\cdot x-\dfrac14e^{2x}+C$ B.

$\dfrac12e^{2x}\cdot x+\dfrac14e^{2x}+C$ C.

$x^2e^{2x}+C$ D.

$2xe^{2x}+e^{2x}$ E.

$2xe^{2x}+e^{2x}+C$

Эх функц хариунаас олох

$\int 9x\sin 3x \,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$\sin3x-3x\cos 3x+C$ B.

$\cos3x-x\sin 3x+C$ C.

$\cos3x-3x\sin 3x+C$ D.

$\cos3x+3x\sin 3x+C$ E.

$\sin 3x-3x\sin 3x+C$

Хэсэгчлэн интегралчлах арга

$\displaystyle\int x\cos{2x}\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$x\sin{2x}+0.5\cos{2x}+C$ B.

$x\sin{2x}-0.5\cos{2x}+C$ C.

$0.5x\sin{2x}-0.25\cos{2x}+C$ D.

$0.5x\sin{2x}+0.25\cos{2x}+C$ E.

$x\sin{2x}+\cos{2x}+C$

Хэсэгчлэн интегралчлах арга

$\displaystyle\int x^2e^{2x}\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$4xe^{2x}+C$ B.

$(x^2-x+1)e^{2x}+C$ C.

$(2x^2-2x+1)e^{2x}+C$ D.

$(2x^2-2x+1)e^{x}+C$ E.

$\frac14(2x^2-2x+1)e^{2x}+C$

Хэсэгчлэн интегралчлах

$\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$\pi$ B.

$2\pi$ C.

$\dfrac{\pi}{2}$ D.

$0$ E.

$1$

hesegchlen integralchlah

$\int\limits_0^{\frac{\pi}2}(x+1)\sin x\,dx$ интеграл бод.

A.

$\pi$ B.

$\pi-2$ C.

$\frac{\pi}2$ D.

$2$ E.

$1$

Хэсэгчилэн интегралчлах

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}(x+1)\cos x\,\mathrm{d}x$ интеграл бод.

A.

$\pi$ B.

$\pi-2$ C.

$\dfrac{\pi}{2}$ D.

$2$ E.

$1$

Хэсэгчилэн интегралчлах

$\displaystyle\int x e^{3x} \,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac13e^{3x}\cdot x-\dfrac19e^{3x}+C$ B.

$\dfrac13e^{3x}\cdot x+\dfrac19e^{2x}+C$ C.

$x^2e^{3x}+C$ D.

$3xe^{3x}+e^{3x}$ E.

$3xe^{3x}+e^{3x}+C$

function shinjilgee

$f(x)=\left\{ \begin{array}{rl} x^2+1&x\leq 1\\ 3-x&x>1 \end{array} \right.$ функц өгөгдөв.

$f(0)+f(1)+f(2)=\fbox{a}$ /1 оноо /
$\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}}$ /2 оноо /
$f(x)=0$ тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}$ байна. /1 оноо /
$g(a)=\displaystyle\int_0^af(x)\,dx$ гэвэл $g(a)$ функцийн максимум утга $a=\fbox{f}$ үед $g_{\max}=\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{i}}$ байна. /3 оноо /

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн

Интеграл ашиглан дараах биеийн эзлэхүүнийг ол.

$r$ радиустай, $h$ өндөртэй конусын эзлэхүүн;
$r$ радиустай бөмбөрцгийн эзлэхүүн.

Эргэлтийн биеийн эзлэхүүн

$y=x^2, y=2a^2-x^2 (a>0)$ параболуудын огтлолд үүсэх дүрсийн хувьд (1)

$x$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн

$\upsilon_1$ ба

$y$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн

$\upsilon_2$ -ийг ол. (2)

$\upsilon_1=\upsilon_2$ бол

$a$ -г ол.

Эргэлтийн биеийн эзлэхүүн

$y=\sqrt{x}$ функийн графикийн

$0\le x\le1$ завсарт харгалзах хэсгийг

$OX$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\dfrac{\pi}6$ B.

$\dfrac{\pi}4$ C.

$\dfrac{\pi}3$ D.

$\dfrac{\pi}2$ E.

${\pi}$

Эргэлтийн биетийн эзлэхүүн

$y=x^3$ ,

$y=8$ ,

$x=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн мужийг

$y$ -тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биеийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\dfrac{32\pi}{3}$ B.

$\dfrac{64\pi}{3}$ C.

$\dfrac{64\pi}{5}$ D.

$\dfrac{32\pi}{5}$ E.

$\dfrac{96\pi}{5}$

ЭЕШ 2010 A №19

$y=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ функцийн график,

$x=0$ ,

$x=\sqrt3$ шулуунууд ба абсцисс тэнхлэгээр хашигдсан дүрсийг

$Ox$ тэнхлэг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн

$\dfrac{\pi^{\fbox{b}}}{\fbox{a}}$ байна.

$x=1$ цэгийг дарсан

$Ox$ тэнхлэгт перпендикуляр

$\alpha$ хавтгай биетийн эзлэхүүнийг

$\fbox{c}:\fbox{d}$ (

$c>d$ ) харьцаагаар хуваана. Энэ биетийн эзлэхүүнийг таллан хуваадаг,

$\alpha$ -тай паралель хавтгай

$x=\dfrac{\fbox{e}}{\sqrt{\fbox{f}}}$ цэгээр дайрна.

Эзлэхүүн ба интеграл

$\ell_1: y=x^2,$

$\ell_2: y=\sqrt{x}$ муруйнууд

$O(0,0)$ ба

$A(x,y)$ цэгүүдэд огтолцоно.

$x=\fbox{a} , y=\fbox{b}$
$\ell_1$ муруйн $OA$ нумыг $OX$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн $V_1=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}$
$\ell_2$ муруйн $OA$ нумыг $OX$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн $V_2=\dfrac{\pi}{\fbox{d}}$
$\ell_1$ ба $\ell_2$ муруйнуудын огтлолд үүсэх хавтгайн хэсгийг $OX$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн $V_3=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{fg}}\pi$ байна.

ЭЕШ 2010 B №19

$y=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ функцийн график,

$x=-\sqrt3$ ,

$x=0$ шулуунууд ба абсцисс тэнхлэгээр хашигдсан дүрсийг

$Ox$ тэнхлэг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн

$\dfrac{7\pi^2}{\fbox{ab}}$ байна.

$x=0$ цэгийг дарсан

$Ox$ тэнхлэгт перпендикуляр

$\alpha$ хавтгай биетийн эзлэхүүнийг

$\fbox{c}:\fbox{d}$ (

$c>d$ ) харьцаагаар хуваана. Энэ биетийн эзлэхүүнийг

$2:5$ харьцаатай хуваадаг,

$\alpha$ -тай параллель хавтгайн нэг нь

$x=\dfrac{\fbox{e}}{\sqrt{\fbox{f}}}$ цэгээр дайрна.

Бодлого №10333

$f(x)-g(x)=x^2, f^\prime(x)+g^\prime(x)=5x^2+x+1, f(0)=7$ бол

$f(x), g(x)$ -ийг ол.

Бодлого №10373

$f^\prime(x)=|3x^2-6x|, f(1)=0$ нөхцлүүдийг хангах

$f(x)$ -ийг ол.

$y=f(x)$ функцийн графикыг зур.

Бодлого №10724

Дараах интегралуудыг бод.

$\int (x^2-3x+2) \,\mathrm{d}x$
$\int (x-2)(1-3x)\,\mathrm{d}x$
$\int (x-2)^2 \,\mathrm{d}x$
$\int (2t+1)^2 \,\mathrm{d}t$

Бодлого №10725

$f(x)=2x^2-3x-1$ бол

$\dfrac{\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}x}\left\{\int f(x)\,\mathrm{d}x\right\}$
$\int\left\{\dfrac{\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}x} f(x)\right\}\,\mathrm{d}x$ ол.

Бодлого №10726

$f^\prime(x)=(x+1)(x-3), f(0)=-2$ байх

$f(x)$ -ийг ол.

Тодорхойгүй интеграл

Дараах интегралуудыг бод.

$\int (2x^2-4x+1)\,\mathrm{d}x$
$\int (t-1)(t+3)\,\mathrm{d}t$
$\int(2x-3)^2\,\mathrm{d}x$

Уламжлал нь өгөгдсөн функцийг олох (1)

$f^\prime(x)=2x^2-3x, f(0)=2$ нөхцөлүүдийг хангах $f(x)$ функцийг ол.
$y=f(x)$ нь $(1, 0)$ цэгийг дайрдаг $(x, f(x))$ цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь $x^2-1$ бол $f(x)$ функцийг ол.

Уламжлал нь өгөгдсөн функцийг олох (2)

$f(x)+g(x)=x^2, 2f^\prime(x)+g^\prime(x)=3x^2-2x, f(0)=-2$ нөхцөлийг хангах

$f(x), g(x)$ -ийг ол.

Бие даалт 1-1

$\displaystyle\int (2-3\sqrt{x})^2dx$

ЭЕШ 2011 A №4

$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt[3]{x^2}-2}{\sqrt[3]{x}}\,\mathrm{d}x$ интеграл бод.

A.

$\dfrac34\sqrt[3]{x^4}-3\sqrt[3]{x^2}+C$ B.

$3\sqrt[3]{x^4}-\dfrac34\sqrt[3]{x^2}+C$ C.

$3\sqrt[3]{x^4}+\dfrac34\sqrt[3]{x^2}+C$ D.

$\dfrac34\sqrt[3]{x^4}+3\sqrt[3]{x^2}+C$ E.

$\dfrac34\sqrt[3]{x^4}-\dfrac34\sqrt[3]{x^2}+C$

ЭЕШ 2011 B №4

$\displaystyle\int(3x+1)^{20}\,\mathrm{d}x$ интеграл бод.

A.

$\frac{(3x+1)^{21}}{21}+C$ B.

$\frac{(3x+1)^{21}}{63}+C$ C.

$-\frac{(3x+1)^{21}}{63}+C$ D.

$\frac{(3x+1)^{20}}{63}+C$ E.

$-\frac{(3x+1)^{20}}{63}+C$

ЭЕШ 2014 A №19

$\displaystyle\int\cos3x \,\mathrm{d}x=?$

A.

$\dfrac{\cos^23x}{2}+C$ B.

$-\sin x+C$ C.

$-\sin3x+C$ D.

$\dfrac{\cos^23x}{6}+C$ E.

$\dfrac{\sin 3x}{3}+C$

Бодлого №4699

Интеграл бод.

$\displaystyle\int 6x^2+4x-\sqrt3-\sin 2x \,\,\mathrm{d}x$

A.

$6x^3+4x^2-\sqrt3x+\frac12\cos x+C$ B.

$2x^3+2x^2-\sqrt3x+\cos2x+C$ C.

$12x+4-2\cos2x+C$ D.

$2x^3+2x^2-\sqrt3x+\frac{\cos2x}{2}+C$ E.

$x^3+x^2-\sqrt3x+\frac{\cos2x}{2}+C$

Бодлого №4789

$\displaystyle\int(x-1)(x-2)\,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$(x-1)^2(x-2)+(x-1)(x-2)^2+C$ B.

$\dfrac14(x-1)^2(x-2)^2+C$ C.

$\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+2x+C$ D.

$\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+2x+C$ E.

$2x-3+C$

Бодлого №4816

$\int\sin x\cos 3x \,\mathrm{d}x$ бод.

A.

$-\frac13\cos x\sin 3x+C$ B.

$-\frac18\cos4x+\frac14\cos2x+C$ C.

$\frac18\cos4x-\frac14\cos2x+C$ D.

$\cos x\cos 3x-3\sin x\sin 3x+C$ E.

$\frac13\cos x\sin 3x+C$

Бодлого №4873

$\int ax^2+bx+c \,\mathrm{d}x=?$

A.

$3ax^3+2ax^2+cx+C$ B.

$\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx+C$ C.

$ax^3+bx^2+cx+C$ D.

$\frac{ax^2}{2}+\frac{bx}{2}+C$ E.

$\frac{ax^3}{3}+\frac{ax^2}{2}+\ln x+C$

Функцийн эх функц

$\displaystyle\int\sin 2x \,\mathrm{d}x=?$

A.

$-\cos2x+C$ B.

$\cos2x+C$ C.

$\cos^2x+C$ D.

$\dfrac{\cos2x}{2}+C$ E.

$\sin^2x+C$

Бодлого №5005

$\int(x-1)(x-2)\,\mathrm{d}x$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac13x^3+\dfrac32x^2+2x+C$ B.

$(x-1)^2(x-2)+(x-1)(x-2)^2+C$ C.

$\dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x+C$ D.

$2x-3+C$ E.

$x^3-3x^2+2x+C$

Бодлого №5030

$\displaystyle\int\sin ^2x \,\textrm{d}x=?$

A.

$-\dfrac12\sin x\cos x+\dfrac{x}{2}+C$ B.

$\cos^2x+C$ C.

$-\sin2x+C$ D.

$\sin 2x+\cos x+C$ E.

$\cos 2x+C$

Бодлого №5045

$\displaystyle\int\dfrac{\,\mathrm{d}x}{1+4x^2}$ интегралыг бод.

A.

$\dfrac14\arctg 2x+C$ B.

$\dfrac14\arctg 4x+C$ C.

$\ln\dfrac{x}{1+4x^2}+C$ D.

$\dfrac12\arctg 2x+C$ E.

$\dfrac12\arctg 4x+C$

Бодлого №5828

$f(x)=2x+1$ нь алиных нь нэг эх функц нь вэ?

A.

$x^2+x+C$ B.

$x^2+x$ C.

$\dfrac{x^2}{2}+x+C$ D.

$2$ E.

$2x+C$

Бодлого №5829

$f(x)=3x^2$ -ийн бүх эх функцыг ол.

A.

$6x$ B.

$6x+1$ C.

$x^3+C$ D.

$\dfrac{x^3}{3}+C$ E.

$\dfrac{x^2}{2}+C$

Бодлого №5830

$f'(x)=8x^3-6x+1,$

$f(-1)=5$ бол

$f(1)=?$

A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 E. 11

Бодлого №5831

$\displaystyle\int 5\,\,\mathrm{d}x$

A.

$5x+C$ B.

$6x+C$ C.

$\dfrac{5x^2}{2}+C$ D.

$5+C$ E.

$4x+C$

Бодлого №5832

$\displaystyle\int \frac{1}{x^2} \,\,\mathrm{d}x= ?$

A.

$-\dfrac{1}{x}+C$ B.

$\ln x^2+C$ C.

$\dfrac{x^{-3}}{-3}+C$ D.

$(\ln x)^2+C$ E.

$\dfrac{1}{x}+C$

Бодлого №5833

$\displaystyle\int \frac{2}{2x+1}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$\dfrac{2(2x+1)^0}{0}+C$ B.

$2\ln(2x+1)+C$ C.

$\dfrac{\ln(2x+1)}{2}+C$ D.

$-\dfrac{4}{(2x+1)^2}+C$ E.

$\ln(2x+1)+C$

Бодлого №5834

$\displaystyle\int e^{-x}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$e^{-x}+C$ B.

$-e^{-x}+C$ C.

$e^{-\frac{x^2}{2}}+C$ D.

$\ln e^x+C$ E.

$-e^x+C$

Бодлого №5835

$\displaystyle\int \ln2 \cdot 2^x\,\,\mathrm{d}x$

A.

$2^x+C$ B.

$\ln2 \cdot 2^x+C$ C.

$(\ln2)^2 \cdot 2^x+C$ D.

$\dfrac{2^x}{(\ln2)^2}+C$ E.

$\dfrac{2^x}{\ln 2}+C$

Бодлого №5836

$\displaystyle\int \cos{\pi}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$-x+C$ B.

$\sin{\pi}+C$ C.

$\sin{\pi}$ D.

$\dfrac{\sin{\pi x}}{\pi}+C$ E.

$x+C$

Бодлого №5837

$\displaystyle\int \sin{2x}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$-\cos{2x}+C$ B.

$\cos{2x}+C$ C.

$\dfrac{\cos{2x}}{2}+C$ D.

$-\dfrac{\cos^2 x }{2}+C$ E.

$-\dfrac{\cos{2x}}{2}+C$

Бодлого №5838

$\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$\arcsin{x}+C$ B.

$\ln(x^2+1)+C$ C.

$\arctg{x}+C$ D.

$-\arctg{x}+C$ E.

$\arccos{x}+C$

Бодлого №5839

$\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 {2x}}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$\dfrac{\tg2x}{2}+C$ B.

$-\dfrac{\ctg2x}{2}+C$ C.

$\dfrac{(\cos2x)^{-1}}{-2}+C$ D.

$\ln(\cos^2 {2x})+C$ E.

$\ln(\sin^2 {2x})+C$

Бодлого №5840

$\displaystyle\int \frac{3}{\sqrt{3x-2}} \,\,\mathrm{d}x$

A.

$\ln(\sqrt{3x-2})+C$ B.

$2\sqrt{3x-2}+C$ C.

$6\sqrt{3x-2}+C$ D.

$-2(3x-2)^{-\frac{1}{2}}+C$ E.

$-2(3x-2)^{\frac{1}{2}}+C$

Бодлого №5841

$\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$x^2 \arctg x+C$ B.

$2\ln(x^2+1)+C$ C.

$\ln(x^2+1)+C$ D.

$-2\arctg{x}+C$ E.

$2\arctg{x}+C$

Бодлого №5842

$\int \cos^2{x}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$0.25\sin{2x}+0.5x+C$ B.

$0.5x-0.25\sin{2x}+C$ C.

$0.5\sin{2x}+0.5x+C$ D.

$0.5x-0.5\sin{2x}+C$ E.

$\sin^2 x+C$

Бодлого №7205

$F'(x)=3x^2+\sqrt x-\sin x; F(0)=7$ бол

$F(x)$ нь аль вэ?

A.

$x^3+\displaystyle\frac 23x\sqrt x+\sin x+7$ B.

$x^3+\displaystyle\frac 23x\sqrt x+\cos x+6$ C.

$3x^2+\displaystyle\frac23\sqrt x+\cos x+6$ D.

$3x^3+\displaystyle\frac 23\sqrt x+\cos x+6$

Бодлого №7206

$F'(x)=\cos x+\cos 2x; F(\displaystyle\frac\pi 2)=2$ бол

$F(x)$ нь аль вэ?

A.

$\displaystyle\frac 12\cos 2+\cos x+3$ B.

$-\displaystyle\frac 12\sin 2x-\sin x+3$ C.

$-\displaystyle\frac12\cos 2x-\cos x+\displaystyle\frac32$ D.

$\displaystyle\frac 12\sin 2x +\sin x+1$

ЭЕШ 2015 D №36

$\int(3x^2+2\sin2x)\,\mathrm{d}x=?$

A.

$\frac13x^3-\cos 2x+C$ B.

$x^3+\cos 2x+C$ C.

$x^3-\sin 2x+C$ D.

$\frac13x^3+2\sin 2x+C$ E.

$x^3-\cos 2x+C$

ЭЕШ 2015 A №36

$\displaystyle\int(x^2+\sin2x)\,\mathrm{d}x=?$

A.

$\frac13x^3+\frac12\cos2x+C$ B.

$\frac13x^3-\frac12\cos2x+C$ C.

$\frac13x^3+\frac12\sin2x+C$ D.

$2x+2\cos2x+C$ E.

$\frac13x^3-\cos2x+C$

ЭЕШ 2015 B №36

$\int(3x^2+\sin3x)\,\mathrm{d}x=?$

A.

$x^3+\dfrac13\cos 3x+C$ B.

$x^3-\dfrac13\cos 3x+C$ C.

$x^3+3\cos 3x+C$ D.

$x^3-3\cos 3x+C$ E.

$3x^2-\dfrac13\cos x+C$

ЭЕШ 2015 C №36

$\int(x^2+\sin3x)\,\mathrm{d}x=?$

A.

$\dfrac13(x^2+\cos 3x)+C$ B.

$2x+3\cos 3x+C$ C.

$\dfrac13x^3-\dfrac13\cos 3x+C$ D.

$x^3-\dfrac13\cos 3x+C$ E.

$\dfrac13x^2+\cos 3x+C$

ЭЕШ 2014 B №19

$\displaystyle2\int\cos5x \,\mathrm{d}x=?$

A.

$\cos^25x+c$ B.

$-2\sin x+c$ C.

$-2\sin5x+c$ D.

$\dfrac{2\sin 5x}{5}+c$ E.

$\dfrac{\cos^2 5x}{5}+c$

Эх функц

$\displaystyle\int (\sqrt{x}+1)(\sqrt[3]{x}-1)\,\mathrm{d}x=?$

A.

$(\sqrt{x^3}+1)(\sqrt[3]{x^4}-1)+C$ B.

$x^{\frac{11}{6}}-x^{\frac32}+x^{\frac43}-x+C$ C.

$\frac{6x^{\frac{11}{6}}}{11}-\frac{2x^{\frac32}}{3}+\frac{3x^{\frac43}}{4}-x+C$ D.

$12(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[4]{x}-1)+C$ E.

$(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[4]{x}-1)+C$

Эх функц

$y=x+\dfrac{1}{\cos^2x}$ функцийн эх функц аль нь вэ?

A.

$x^2-\tg x+C$ B.

$x^2+\tg x+C$ C.

$\dfrac{x^2}{2}+\tg x+C$ D.

$\dfrac{x^2}{2}+\ctg x+C$ E.

$\dfrac{x^2}{2}-\ctg x+C$

eh function

$x^2+2x+1$ функцийн эх функцийг ол.

A.

$2x+2$ B.

$x^3+2x^2+x+C$ C.

$\frac{x^3}3+x^2+x+C$ D.

$\frac{x^3}3+2x+1+C$ E.

$2x+2+C$

eh function

$x^2-4x+2$ функцийн эх функцийг ол.

A.

$2x-4$ B.

$x^3-2x^2+2x+C$ C.

$2x-4+C$ D.

$\frac{x^3}3-4x+2+C$ E.

$\frac{x^3}3-2x^2+2x+C$

Тригонометрийн функцийн интеграл

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\cos^2x\cdot\sin^2x}$ интеграл бод.

A.

$\dfrac{1}{\cos^2x}+\dfrac{1}{\sin^2x}+C$ B.

$\tg x-\ctg x+C$ C.

$-\tg x+\ctg x+C$ D.

$\dfrac{1}{\cos^2x}+\dfrac{1}{\sin^2x}+C$ E.

$\tg x+\ctg x+C$

Бодлого №20

Уламжлал нь

$\cos3x$ байх функц аль нь вэ?

A.

$\dfrac{\cos^23x}{2}+C$ B.

$-\sin x+C$ C.

$-\sin3x+C$ D.

$\dfrac{\cos^23x}{6}+C$ E.

$\dfrac{\sin 3x}{3}+C$

Бодлого №20

Уламжлал нь

$\sin2x$ байх функц аль нь вэ?

A.

$-\dfrac{\cos2x}{2}+C$ B.

$-\cos2x+C$ C.

$\cos2x+C$ D.

$\dfrac{\sin^22x}{2}+C$ E.

$\dfrac{\sin^2 2x}{2}+C$

ЭЕШ 2017 D №15

$\displaystyle\int2e^{2x}\,\mathrm{d}x$ интеграл бод.

A.

$2e^{2x}+C$ B.

$\dfrac{e^{2x}}{4}+C$ C.

$4^{2x-1}+C$ D.

$e^{2x}+C$ E.

$\dfrac{e^{2x}}{2}+C$

ЭЕШ 2017 D №15

$2e^{2x}$ нь доорх функцүүдийн алиных нь уламжлал болох вэ?

A.

$y=2e^{2x}$ B.

$y=\dfrac{e^{2x}}{4}$ C.

$y=4^{2x-1}$ D.

$y=e^{2x}$ E.

$y=\dfrac{e^{2x}}{2}$

ЭЕШ 2017 D №15

$e^{2x}$ нь доорх функцүүдийн алиных нь уламжлал болох вэ?

A.

$y=2e^{2x}$ B.

$y=\dfrac{e^{2x}}{4}$ C.

$y=4^{2x-1}$ D.

$y=e^{2x}$ E.

$y=\dfrac{e^{2x}}{2}$

ЭЕШ 2017 B №15

$\displaystyle\int2e^{6x}\,\mathrm{d}x$ интеграл бод.

A.

$12e^{6x-1}+C$ B.

$\dfrac{e^{6x}}{2}+C$ C.

$\dfrac{e^{6x}}{3}+C$ D.

$2e^{6x}+C$ E.

$\dfrac{e^{6x}}{6}+C$

Бодлого №13756

$\displaystyle\int \cos{\pi}\,\,\mathrm{d}x$

A.

$-x+C$ B.

$\sin{\pi}+C$ C.

$\sin{\pi}$ D.

$\dfrac{\sin{\pi x}}{\pi}+C$ E.

$x+C$

Бодлого №13757

$\displaystyle\int \frac{1}{x^2} \,\,\mathrm{d}x= ?$

A.

$-\dfrac{1}{x}+C$ B.

$\ln x^2+C$ C.

$\dfrac{x^{-3}}{-3}+C$ D.

$(\ln x)^2+C$ E.

$\dfrac{1}{x}+C$

Бодлого №13758

$\displaystyle\int \frac{3}{\sqrt{3x-2}} \,\,\mathrm{d}x$

A.

$\ln(\sqrt{3x-2})+C$ B.

$2\sqrt{3x-2}+C$ C.

$6\sqrt{3x-2}+C$ D.

$-2(3x-2)^{-\frac{1}{2}}+C$ E.

$-2(3x-2)^{\frac{1}{2}}+C$

Бодлого №13869

$\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{2x}-e^{\frac{x}{2}}\right)dx$ интегралыг бод.

A.

$\ln 2x-2e^{\frac{x}{2}}+C$ B.

$\dfrac{\ln x}{2}-2e^{\frac{x}{2}}+C$ C.

$\dfrac{\ln x}{2}-\dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{2}+C$ D.

$\dfrac{\ln 2x}{2}-e^{\frac{x}{2}}+C$ E.

$\dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{2x}+xe^x+C$

Бодлого №14645

$f(x)=3x^2$ -ийн бүх эх функцыг ол.

A.

$6x$ B.

$6x+1$ C.

$x^3+C$ D.

$\dfrac{x^3}{3}+C$ E.

$\dfrac{x^2}{2}+C$

2018 №A.36

$f^\prime(x)=\dfrac{1}{x^2-5x+6}$ ,

$f(4)=-\ln2$ бол

$f(x)$ функцийг ол.

A.

$f(x)=\ln\left|\dfrac{x+3}{x-2}\right|-2\ln 2$ B.

$f(x)=\ln\left|\dfrac{x-3}{x-2}\right|+C$ C.

$f(x)=\ln\left|\dfrac{x+3}{x+2}\right|$ D.

$f(x)=\ln\left|\dfrac{x-3}{x-2}\right|$ E.

$f(x)=\ln\left|\dfrac{x-3}{x-2}\right|+2\ln2$

Тооны онол

$222^{555}$ тоог 7-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.

A. 6 B. 5 C. 3 D. 1 E. 0

Эх функц

$f'(x)=4x^2+9x^{-2}$ ,

$f(1)=\dfrac 43$ бол

$f(x)=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}x^3-\dfrac{\fbox{c}}{x}+\fbox{d}$ байна.

Бодлого №7318

$f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-4x+\displaystyle\frac 13, f(2)=1$ бол

$f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{\fbox{a}\,2}-\fbox{b}\,x^2+\displaystyle\frac{x}{\fbox{c}}+\fbox{d}$ байна.

Бодлого №7319

$f(x)=x^4$ функцийн

$M_0(-1;1)$ цэгийг дайрч гарсан эх функц нь

$F(x)=\displaystyle\frac{x^{\fbox{a}}+\fbox{b}}{\fbox{c}}$ болно.

Бодлого №7320

$f(x)=\sin 2x$ функцийн

$M_0(0;1)$ цэгийг дайрч гарсан эх функц нь

$F(x)=\displaystyle\frac{\fbox{a}-\cos \fbox{b}x}{\fbox{c}}$ болно.

Монгол Бодлогын Сан

Интеграл ашиглан талбай бодох

Модультай интеграл

Ньютон-Лейбницийн томьёо

Орлуулгын аргаар интеграл бодох

Тодорхой биш интеграл бодох

Тодорхой интеграл

Трапецийн дүрэм

Хувьсах хилтэй интеграл

Хэсэгчлэн интегралчлах арга

Хялбар өргөтгөсөн интеграл

Эргэлтийн биетийн эзлэхүүн

Эх функц, тодорхой биш интеграл

Монгол Бодлогын Сан