Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Интеграл
Интеграл ашиглан талбай бодох
a>0 байг. y=x3−(2a−1)x2+a(a+1)x,y=x2−ax
муруйнуудын огтолцолд үүсэх 2 хэсэг дүрсийн талбай хоорондоо
тэнцүү байх a-ийн утгыг ол.
y=x3−3x,y=x3−3ax2+3a2x,(a>0) муруйнуудын огтлолд үүсэх
дүрсийн талбайг S гэе. Sa хамгийн бага утгатай байх a ба тэр үеийн S-ийг ол.
Дараах шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
- y=x3−3x2, x тэнхлэг
- y=x4−4x2,y=x2−4
- C:y=x3−x, C муруйн P цэг дээрх шүргэгч.
y=x−1 шулуун дээр орших P цэгээс y=x2 парабол руу татсан 2 шүргэгч ба параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайн хамгийн бага утгыг ол.
(1,2) цэгийг дайрсан өнцгийн коэффициент нь 2k
байх шулуун y=x2 параболыг P, Q цэгүүдээр огтолно. P, Q
цэгүүдэд татсан шүргэгч шулуунуудыг ℓ1, ℓ2 гэе. −2≤k≤2 үед ℓ1, ℓ2 ба параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S-ийн
хамгийн их, хамгийн бага утгуудыг ол.
y=|x2−4|, x тэнхлэг x=t, x=t+1(t≥0) шугамуудаар хүрээлэгдсэн талбайн хамгийн бага утгыг ол. Тэр үед
t-г ол.
Дараах муруй ба x тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
- y=−x2+8 (−2≤x≤1)
- y=x2−5x−5 (0≤x≤5)
Дараах муруй болон шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
- y=−x2+2x+3, x тэнхлэг
- y=2x2+3x−2, x тэнхлэг
- y=x2−x−1, x тэнхлэг
- y=2x2−3x+1, y=2x−1
y=x2 парабол, y=2x+1 шулуунаар хүрээлэгдсэн
дүрсийн талбайг y=2x+a шулуун 2 тэнцүү хэсэгт хуваадаг бол a-г ол.
y=x2−2x−3 парабол ба y=ax шулууны огтолцолд үүсэх дүрсийн талбайг S(a) гэвэл S(a)-ийн хамгийн бага утгыг
ол.
C:y=x2 гэе. C муруй ба y=ax+b шулуунаар
хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг S1, C муруй ба y=bx+a шулуунаар
хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг S2 гэе. Хэрэв S1=S2 бол
a,b-г ол.
C1:y=x3−3x,C2:y=−x2−x+5 байг.
- C2 муруйтай (1,0) цэгийн хувьд тэгш хэмтэй муруй C3-ийг ол.
- C1 ба C3-ийн ерөнхий шүргэгч шулуун C4-ийг ол.
- C2 ба C4-өөр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S-ийг ол.
y=x2 параболын
A(a,a2),B(b,b2)(a<b) цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд S цэгт огтолцдог байг.
- S цэгийн координатыг ол.
- AS,SB хэрчмүүд, y=x2 параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай 112(b−a)3 байхыг батал.
- y=x2 параболын C(c,c2)(a<c<b) цэг дээрх шүргэгч AS хэрчимтэй P, SB хэрчимтэй Q цэгт огтолцдог бол AP,PQ,QB хэрчмүүд ба y=x2 параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай хамгийн бага байх C цэгийг ол.
y=x2+1 парабол дээр P цэгийг авав. O оройн цэг бөгөөд OP хэрчмийг t2:(1−t2)(0<t<1) харьцаанд хуваах дотоод Q цэг авав.
- P цэг парабол дээр хөдлөхөд Q цэг C муруй зурдаг бол C-ийн тэгшитгэлийг бич.
- y=x2+1 ба C муруйгаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайн хамгийн их утгыг ол.
(1,2) цэгийг дайрсан өнцгийн коэффициент нь k байх шулуун C:y=x2 параболыг P,Q цэгээр огтолно. C муруйн P,Q цэгүүд дээрх шүргэгчүүд ба C-ээр хүрээлэгдсэн талбай S бол
- S-ийг k-аар илэрхийл.
- −3≤x≤3 үед S-ийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
y=x2−2px параболын (t,t2−2pt) цэг дээрх шүргэгчийг y тэнхлэгийн дагуу b нэгжээр зөөхөд гарах шулууныг l(t,b) гэе. l(t,b) шулуун параболтой 2 цэгээр огтолцоход үүссэн дүрсийн талбайг ол. x=u гэсэн шулуун уг дүрсийн талбайг 2 тэнцүү хэсэгт хуваадаг бoл u-г ол.
y=x2−5x+6 парабол y=kax−a2−5a шулуун өгөгдөв.
- Дурын a-ийн хувьд парабол ба шулуун хоёр ялгаатай 2 цэгээр огтолцолдог байх k-ийн утгын мужийг ол.
- (1)-д олдсон k-ийн мужид парабол ба шулуунаар хүрээлэгдсэн талбай нь a-аас хамаарахгүй байх k-ийн утгыг ол.
a бодит тоо
- y=827x3,y=(x+a)2 муруйнууд x тэнхлэгээс ялгаатай 2 ерөнхий шүргэгч шулуунтай байх a-ийн утгын мужийг ол.
- (1)-д олдсон 2 шүргэгч ба параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S-ийг a-аар илэрхийл.
y=x(x−1)2,y=kx2(k>0) муруйнууд өгөгдөв.
- Дээрх 2 муруй ялгаатай 3 цэгээр огтолцохыг харуул.
- Дээрх 2 муруйгаар хүрээлэгдсэн 2 хэсгийн талбай тэнцүү бол k-г ол.
y=|x2−4|, абсцисс тэнхлэг, x=t ба x=t+1(t≥0) шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайн хамгийн бага утгыг ол. Ямар t-ийн хувьд энэ утгад хүрэх вэ?
x-ийн хувьсах мужид y бa абсцисс тэнхлэгээр зааглагдсан хэсгийн талбайг ол.
- y=x2−2x+2,[−1,2]
- y=x2−x,[0,2]
y=2x2−5x,y=−x2+x+12 функцүүдын графикууд огтлолцоход үүсэх дүрсийн талбайг ол.
(1,2) цэгийг дайрсан
шулуун ба y=x2 параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг S гэе.
S-ийн хамгийн бага утгыг ол.
l:y=m(x−2)+5,C:y=x2 байг. l ба C-ээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг S, (2,5) цэгийг дайрсан l-д перпендикуляр шулууныг l1 гэе. l1 ба C-ээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг S2 гэе. S1=S2 байх m-ийн бүх утгуудыг ол.
y=|x2−x| муруйг y=mx шулуун 3 ялгаатай цэгээр огтолдог байв. Муруй ба шулууны огтлолд үүсэх 2 дүрсийн талбайн нийлбэр хамгийн бага байх m-ийг ол. Тэр үеийн талбайг ол.
C:y=x3−6x2−9x,
P нь C муруй дээр орших x координат нь p,(p<2) байх цэг
байг. C муруй ба P цэг дээрх шүргэгч шулуун l-ээр
хүрээлэгдсэн талбай S-г p-ээр илэрхийл.
C:y=x3−6x2+9x, ℓ:y=mx байг. C ба ℓ
нь x≥0 байх ялгаатай 3 цэгүүдээр огтолцох ба
огтлолд үүсэх 2 хэсэг талбай тэнцүү бол m-г ол.
x=a, x=2a (0<a<2,5), y=0, y=5−4x−x2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрс a-ийн ямар утганд хамгийн их талбайтай байх вэ?
A. 1
B. 6+√717
C. −6+√717
D. 2
E. −9+√1864
x=a, x=2a, (0<a<2), y=0, y=8+2x−x2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрс a-ийн ямар утганд хамгийн их талбайтай байх вэ?
A. 1
B. −3+√657
C. 9+√75314
D. −9+√75314
E. 3+√657
y=x2, y=x+2 шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 72
B. 92
C. 112
D. 211
E. 29
y=x2, x+y=2 функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 5.5
B. 6.5
C. 6
D. 4.5
E. 5
y=x3, y=12x3, x=1, x=2 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 158
B. 2
C. 178
D. 94
E. 198
y=0 шулуун ба y=2x2−2x−1.5 параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 83
B. 23
C. 86
D. 53
E. 3
y=−x2+2,y=x шугамуудаар зааглагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 163
B. 9
C. 4.5
D. 263
E. 296
y=x2−9x+18 парабол ба OX тэнхлэгийн хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.
A. −92
B. 4.5
C. 6
D. 132
E. 9
y=x2−1 парабол ба OX тэнхлэгийн хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.
A. 12
B. 13
C. 23
D. 1
E. 43
∫40√16−x2dx интегралыг бод.
A. 16π
B. 10π
C. 3π
D. 4π
E. 9π
y=x2−4x+5 ба y=x+1 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 9
B. 5
C. 4,5
D. 3,5
y=−x2+10x−16 ба y=0 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 48
B. 36
C. 18
D. 27
y=x2 ба y=2x−x2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 2
B. 16
C. 13
D. 15
E. 1
y=x2+4x ба y=−x2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 73
B. 53
C. 43
D. 83
Зураг дээрх зурааслагдсан дүрсийн талбай аль вэ? {Зураг}
A. 2056
B. 1916
C. 2156
D. 1816
Зураг дээрх зурааслагдсан дүрсийн талбай аль вэ? {Зураг}
A. 516
B. 416
C. 412
D. 512
y=x2;y=ax шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай 36 бол a-гийн бүх утга нь аль вэ?
A. a=6
B. a=−6
C. a=−6;a=6
D. ∅
y=−x2;y=ax шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай 4 бол a-гийн бүх утга нь аль вэ?
A. a=23√3;a=−23√3
B. a=−23√3
C. a=23√3
D. ∅
y=x2, y=x+6 шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 1207
B. 12711
C. 112
D. 1256
E. 13111
y=x2, y=2−x,x=0,x≥0 функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 1.5
B. 116
C. 2
D. 256
E. 67
y=−x2+5, y=x2+1, x=0, x=1 шугамуудаар зааглагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 113
B. 143
C. 4
D. 23
E. 103
∫1−12x2dx интегралаар бодогдох дүрсийн талбай аль нь вэ?
A. 1)
B. 2)
C. 3)
D. 4)
E. 5)
y=sinx3, y=0, x=π, x=3π2 шугамуудаар зааглагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 2
B. 1.5
C. 0.5
D. 3√32
E. π6
A. 516
B. 416
C. 412
D. 512
E. 534
x=a, x=2a (0<a<2.5), y=0, y=5+4x−x2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрс a-ийн ямар утганд хамгийн их талбайтай байх вэ?
A. −6+√717
B. −6−√717
C. 9−√1867
D. −9+√1867
E. 6+√717
y=x2, y=−x2+4x+6 параболуудын огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбайг ол.
A. −10
B. 21.3
C. 20
D. 613
E. 643
y=x2−3x+1 парабол, y=4−x шулуун ба OY тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 12
B. 11
C. 10
D. 9
E. 8
A. 516
B. 416
C. 412
D. 512
E. 534
y=x2−4x+10 парабол, y=2x+1 шулуун ба OY тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 14
B. 13
C. 12
D. 10
E. 9
y=x2+2x+5 параболын (−2;5) цэгт татсан шүргэгч шулуун, x=0 шулуун ба уг параболын хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.
A. 103
B. 3
C. 83
D. 52
E. 8
y=0 шулуун ба y=2x2−2 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!
A. 4
B. 1
C. 2
D. 83
E. 3
y=0 шулуун ба y=x2−4 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!
A. 4
B. 1023
C. 2
D. 163
E. 923
y=0 шулуун ба y=3x2−3 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!
A. 4
B. 1
C. 2
D. 2.5
E. 6
y=0 шулуун ба y=6x2−6 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!
A. 4
B. 8
C. 6
D. 12
E. 15
y=0 шулуун ба y=3x2−3 муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг олоорой!
A. 4
B. 1
C. 2
D. 2.5
E. 6
y=x2+4x ба y=−x2 параболуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 73
B. 53
C. 43
D. 83
E. 3
y=−2x2+8x ба y=2x2 параболуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол.
A. 163
B. 103
C. 43
D. 83
E. 3
y=x3, y=13x3, x=0, x=1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 18
B. 2
C. 16
D. 12
E. 13
y=2x3 ба y=2x функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 1
B. 13
C. 114
D. 2
E. 12
y=6x3 ба y=6x функцийн графикуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 3
B. 223
C. 112
D. 4
E. 16
y=x2−1 парабол ба OX тэнхлэгийн хооронд үүсэх дүрсийн талбайг ол.
A. 12
B. 13
C. 23
D. 1
E. 43
y=x3, y=12x3, x=1, x=2 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 158
B. 2
C. 178
D. 94
E. 198
y=x3, y=12x3, x=−2, x=−1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол.
A. 178
B. 2
C. 158
D. 94
E. 198
Зурагт өгөгдсөн кубийн A1B1 ба D1C1 ирмэгүүд дээр харгалзан N ,M цэгүүдийг, A1N:NB1=2:3 , D1M:МC1=2:3 байхаар авчээ. Кубийг MNBC хавтгайгаар огтлоход үүссэн BB1NCC1M ба ABNA1DCMD1 призмүүдийн эзлэхүүний харьцааг олоорой.
A. 3:7
B. 2:3
C. 3:10
D. 7:10
E. 1:4
y=x6 функцийн график дээр орших P цэгийн Ox, Oy тэнхлэгт буулгасан перпендикулярын суурь харгалзан A, B бол OAPB тэгш өнцөгтийн талбайг y=x6 функцийн график ямар харьцаатай хуваах вэ?
A. 3:1
B. 6:7
C. 1:5
D. 6:1
E. 6:5
y=x5 функцийн график дээр орших P цэгийн Ox, Oy тэнхлэгт буулгасан перпендикулярын суурь харгалзан A, B бол OAPB тэгш өнцөгтийн талбайг y=x5 функцийн график ямар харьцаатай хуваах вэ?
A. 3:1
B. 6:7
C. 1:5
D. 6:1
E. 6:5
A(−4,0),B(−2,8),C(2,8),D(4,0) цэгүүд дээр оройтой дөрвөн өнцөгтийн талбайг y=x2+4 тэгшитгэлтэй парабол ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?
A. 4:13
B. 3:8
C. 3:11
D. 5:16
E. 2:7
A(−8,0),B(−4,32),C(4,32),D(8,0) цэгүүд дээр оройтой дөрвөн өнцөгтийн талбайг y=x2+16 тэгшитгэлтэй парабол ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?
A. 2:7
B. 2:9
C. 2:5
D. 5:8
E. 5:9
A(−8,0),B(−4,32),C(4,32),D(8,0) цэгүүд дээр оройтой дөрвөн өнцөгтийн талбайг y=x2+16 тэгшитгэлтэй парабол ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?
A. 2:7
B. 2:9
C. 2:5
D. 5:8
E. 5:9
C:y=x2−x+1 параболын A(1;1) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=ax+b. Энэ шүргэгч шулуун, x=0 шулуун ба C параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь d∫c(x−e)2dx=fg байна.
k>0 байг. C:y=x2 параболын (k,k2) цэгт татсан шүргэгч шулууныг ℓ гэе.
- ℓ шулууны тэгшитгэл y=akx−k2 болно.
- C парабол ℓ шулуун ба y тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S=kbc.
- S=72 бол k=d байна.
y=x2 параболыг A(1;1) цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл y=ax−b, B(3;9) цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл y=cx−d байна. Эдгээр шүргэгч шулуунууд C(e;f) цэгүүдэд огтлолцоно. Парабол болон түүний хоёр шүргэгчийн хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь gh байна.
y=x2 параболыг A(1;1) цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл y=ax−b, B(3;9) цэгт шүргэх шулууны тэгшитгэл y=cx−d байна. Эдгээр шүргэгч шулуунууд C(e;f) цэгүүдэд огтлолцоно. Парабол болон түүний хоёр шүргэгчийн хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь gh байна.
k>0 байг. C:y=x2 параболын (k,k2) цэгт татсан шүргэгч шулууныг ℓ гэе.
- ℓ шулууны тэгшитгэл y=akx−k2 болно.
- C парабол ℓ шулуун ба y тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S=kbc.
- S=72 бол k=d байна.
f(x)=x2, g(x)=2−x2 параболууд нь x1=ab, x2=c абсцисстэй цэгүүдэд огтлолцох ба параболуудын огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай нь ∫x2x1d−ex2dx=fg байна.
y=2x+3 шулуун ба y=x2 параболын нь x1=ab, x2=c цэгүүдэд огтлолцох ба эдгээрийн огтлолцолд үүсэх дүрсийн талбай нь
S=∫cab(dx+e−x2)dx тул S=fg3.
f(x)=x2−4x+5 функц өгөгдөв.
- x=0 абсцисстэй цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=abx+c байна.
- x=1 шулуун f(x) функцийн график болон дээрх шүргэгч шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь 1d байна.
- Шүргэгч шулуунд перпендикуляр (0;5) цэгийг дайрсан шулуун тэгшитгэл нь y=1ex+f ба энэ шулууны OX тэнхлэгийг огтлох цэг нь x=ghi
x∈]−π2;π2[ завсарт f(x)=sin2x, g(x)=cosx функцийн графикуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбайг бодъё.
- x∈]−π2;π2[ завсарт x=πa абсцистай цэгт огтлолцоно.
- x∈]−π2;πa[ үед g(x)>f(x) байх тул графикуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь ∫πa−π2g(x)−f(x)dx=bc
- x∈]πa;π2[ үед g(x)<f(x) байх тул графикуудын хооронд үүсэх дүрсийн талбай нь ∫πa−π2f(x)−g(x)dx=1d
- Иймд нийт талбай нь ef байна.
k>0 байг. C:y=x2 параболын (k,k2) цэгт татсан шүргэгч шулууныг ℓ гэе.
- ℓ шулууны тэгшитгэл y=akx−k2 болно.
- C парабол ℓ шулуун ба y тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S=kbc.
- S=72 бол k=d байна.
y=x2 парабол өгөгдөв.
- Уг параболын x=2 цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=ax−b
- Уг парабол, түүний x=2 цэгт татсан шүргэгч шулуун, OY тэнхлэгээр үүсэх дүрсийн талбай нь cd.
y=x3,y=3√x муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S=a⋅b∫c(3√x−x3)dx=d болно.
y=x2,y=√|x| шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S=a⋅b∫c(√|x|−x2)dx=2d болно.
y=x2−5x+7,y=−2x2+10x−5 муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S=b∫a(cd⋅x2+efx−fh)dx=i3.5 кв. нэгж. болно.
y=x2+3x+4,y=−2x2+15x−5 муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S=b∫a(cd⋅x2+efx−gh)dx=i кв. нэгж. болно.
yx=3,x+y=4 муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S=b∫a(4−x−3x)dx=c−d⋅lne байна.
yx=2,x+y=3 муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S=b∫a(3−x−2x)dx=c2−d⋅lne байна.
x=a,x=2a(a>0),y=0,y=1+1x2 муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S(a)=a⋅a+bc⋅a учраас
a∗=1√d утганд минимум Smin утгаа авна.
x=a, x=2a (a>0), y=0, y=\displaystyle\frac12+\displaystyle\frac{1}{x^2} муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S(a)=\displaystyle\frac{a}{\fbox{a}}+\displaystyle\frac{\fbox{b}}{\fbox{c}\cdot a} учраас a^*=\fbox{d} утганд минимум
S_{\min}=\fbox{e} утгаа авна.
y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{4x-3}}, y=0, x=a, x=3a (a>\displaystyle\frac 34) муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь S(a)=\displaystyle\frac{\sqrt{\fbox{a}\cdot(\fbox{b}\cdot a-1)}-\sqrt{\fbox{c}\cdot a-3}}{\fbox{d}} учраас
a^*=\fbox{e} утганд S(a) нь минимум S_{\min}=\fbox{f} утгаа авна.
y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2x-1}}, y=0, x=a, x=2a (a>\displaystyle\frac 12) муруйнуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь
S(a)=\sqrt{\fbox{a}\cdot a-\fbox{b}}-\sqrt{\fbox{c}\cdot a-\fbox{d}} учраас a^*=\displaystyle\frac{3}{\fbox{e}} утганд минимум S_{\min}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\fbox{f}}} утгаа авна.
x=a, x=2a (0< a< \dfrac{\sqrt 7}{2}), y=0, y=7-x^2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S(a)=\fbox{a}\cdot a\Bigl(\fbox{b}-\displaystyle\frac{a^2}{\fbox{c}}\Bigr) учраас a^*=\fbox{d} утганд максимум S_{\max}=\displaystyle\frac{1\fbox{e}}{\fbox{f}} утгаа авна.
x=a, x=2a (0< a< \sqrt 7), y=0, y=28-x^2
шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S(a)=\fbox{a}\cdot
a\Bigl(\fbox{b}-\displaystyle\frac{a^2}{\fbox{c}}\Bigr) учраас
a^*=\fbox{d} утганд максимум S_{\max}=\displaystyle\frac{\fbox{e}12}{\fbox{f}} утгаа авна.
f(x)=\displaystyle\frac 12x+3, g(x)=-x^2+1, x=-2, x=1 муруйнуудаар хашигдсан дүрсийн талбай
S=\displaystyle\int\limits_{\fbox{ab}}^{\fbox{c}}[\fbox{d}x^2+\displaystyle\frac {\fbox{e}}{\fbox{f}}x+2]\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac {\fbox{gh}}{4}
f(x)=5-x^2, g(x)=2-2x муруйнуудаар хашигдсан дүрсийн талбай
S=\displaystyle\int\limits_{\fbox{ab}}^{\fbox{c}}[\fbox{de}x^2+\fbox{f}x+3]\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac {\fbox{gh}}{\fbox{i}}
y=4x-x^2 парабол ба ОХ тэнхлэгээр хязгаарлагдсан дүрсийн талбай \displaystyle\frac{\fbox{ab}}{\fbox{c}} байна.
y=2-x^2 парабол y=x шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай \displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}} байна.
y=x^2 парабол ба (-1, 1), (2, 4) цэгүүдийг дайрах шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийг D гэе. Параболын оройн цэгийг дайрсан D-г тэнцүү талбайтай 2 хэсэгт хуваах шулууны тэгшитгэл нь y=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}x байна.
y=\dfrac{x-2}{x-1} функц өгөгдөв.
- y=\dfrac{x-2}{x-1} функцийн x_0=2 цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл y=\fbox{a}x-\fbox{b};
- y=\dfrac{x-2}{x-1}, x=2, x=5 ба y=0 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай \fbox{c}-\ln\fbox{d};
- y=5x+5 шулуунд перпендикулар ба (1;1) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь \fbox{e}x+\fbox{f}y-6=0;
- y=\dfrac{x-2}{x-1} муруй ба x-3y-2=0 шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай \dfrac{2}{3}\sqrt{\fbox{gh}}.
y=\dfrac{x}{x-1} функц өгөгдөв.
- y=\dfrac{x}{x-1} функцийн x_0=2 цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл y=-\fbox{a}x+\fbox{b}
- y=\dfrac{x}{x-1}, x=2, x=4 ба y=0 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай \fbox{c}+\ln\fbox{d}
- y=2x+5 шулуунд перпендикуляр ба (1;1) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь \fbox{e}x+\fbox{f}y-3=0.
- y=\dfrac{x}{x-1} функц ба x+5y-12=0 шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай \dfrac45\sqrt{\fbox{gh}}
y=\dfrac{x}{x-1} функц өгөгдөв.
- y=\dfrac{x}{x-1} функцийн x_0=0 цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл y=-\fbox{a}x+\fbox{b};
- y=\dfrac{x}{x-1}, x=2, x=5 ба y=0 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай \fbox{c}+\ln\fbox{d};
- y=3x+5 шулуунд перпендикулар ба (1;1) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь \fbox{e}x+\fbox{f}y-4=0;
- y=\dfrac{x}{x-1} муруй ба x+4y-10=0 шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай \dfrac{3}{4}\sqrt{\fbox{gh}}.
y=\dfrac{x-2}{x-1} функц өгөгдөв.
- y=\dfrac{x-2}{x-1} функцийн x_0=0 цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл y=\fbox{a}x+\fbox{b};
- y=\dfrac{x-2}{x-1}, x=2, x=4 ба y=0 шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай \fbox{c}-\ln\fbox{d};
- y=4x+5 шулуунд перпендикулар ба (1;1) цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь \fbox{e}x+\fbox{f}y-5=0;
- y=\dfrac{x-2}{x-1} муруй ба x-3y+6=0 шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай \dfrac23\sqrt{\fbox{gh}}.
f(x)=x^2-8x+17 функц өгөгдөв.
- f(x) функцийн x_0=5 абсцисстэй M цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=\fbox{a}x-\fbox{b} (2 оноо).
- f(x) функцийн график, дээрх шүргэгч шулуун болон координатын тэнхлэгүүдээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай \dfrac{\fbox{cd}}{3} (2 оноо).
- f(x) функцийн графикийг M цэгт шүргэх, төв нь OX (абсцисс) тэнхлэг дээр орших тойргийн тэгшитгэл (x-\fbox{e})^2+y^2=\fbox{fg} (3 оноо).
y=x^2 парабол ба y=kx-k шулуун нь \fbox{a}< k<\fbox{b} үед ерөнхий цэггүй байна. k_1=\fbox{a}, k_2=\fbox{b} ба \ell_1\colon y=k_1x-k_1, \ell_2=k_2x-k_2 гэе. Парабол ба \ell_1, \ell_2 шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь \dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}} байна.
k>0 байг. C\colon y=-x^2 параболын (k,-k^2) цэгт татсан шүргэгч шулууныг \ell гэе.
- \ell шулууны тэгшитгэл y=-\fbox{a}kx+k^2 болно.
- C парабол \ell шулуун ба y тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}.
- S=9 бол k=\fbox{d} байна.
C\colon y=x^2+x+1 параболын A(-1;1) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь y=-\fbox{a}x+\fbox{b}. Энэ шүргэгч шулуун, x=0 шулуун ба C параболын дунд үүсэх дүрсийн талбай нь \displaystyle\int\limits_{-\fbox{c}}^{\fbox{d}}(x+\fbox{e})^2 \,\mathrm{d}x=\frac{\fbox{f}}{\fbox{g}} байна.
f(x)=x^3-3x^2+3x функцийн графикийг C гэе. y=f(x) функцийн x_0=2 цэг дээрх шүргэгч шулуун \ell бол түүний тэгшитгэл y=\fbox{a}x-\fbox{b} (2 оноо) байна. C муруй ба \ell-ийн шүргэлтийн цэгээс өөр ерөнхий цэг \left( \fbox{cd}, \fbox{ef}\right) (2 оноо) байна. Иймд C ба \ell-ээр хүрээлэгдсэн талбай A=\int\limits_{\fbox{cd}}^ 2\left(f(x)-\fbox{a}x+\fbox{b}\right) dx=\dfrac{\fbox{gh}}{4} (3 оноо) байна.
- (2,-2) цэгт оройтой параболын тэгшитгэл y=x^2-\fbox{a}x+\fbox{b} байна.
- A(0,-6), B(4,2) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл y=\fbox{c}x-\fbox{d} байна.
- Эдгээр функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбай \fbox{e}\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}} байна.
f(x)=\dfrac13x^3-3x функц өгөгдөв.
- f'(2)=\fbox{a} байна.
- f(x) функцийн (2,f(2)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=\fbox{a}x-\dfrac{\fbox{bc}}{3} байна.
- f(x) функцийн график, шүргэгч шулуунтай огтлолцох цэгийн абсцисс нь x=\fbox{de}
- f(x) функцийн график ба шүргэгч шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай \fbox{fg} байна.
f(x)=\dfrac13x^3-3x функц өгөгдөв.
- f'(-2)=\fbox{a} байна.
- f(x) функцийн (-2,f(-2)) цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл y=\fbox{a}x+\dfrac{\fbox{bc}}{3} байна.
- f(x) функцийн график, шүргэгч шулуунтай огтлолцох цэгийн абсцисс нь x=\fbox{d}
- f(x) функцийн график ба шүргэгч шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай \fbox{ef} байна.
Модультай интеграл
\displaystyle\int_{-2}^{6}|x-2|\,\mathrm{d}x интегралыг ол.
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
E. 16
\int\limits_{-1}^2 |1-x^2|dx бод.
A. \dfrac{5}{3}
B. \dfrac{7}{3}
C. 2
D. -2
E. 2\dfrac{2}{3}
Ньютон-Лейбницийн томьёо
Дараах интегралуудыг бод.
- \int(x^4-4x^3+6x^2-1)\,\textrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{-2}^{2}}(x^4-2x^3 3x^2-3x+5)\,\textrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{1}^{2}}|x(x-1)(x-2)|\,\textrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{0}^{3}}|(x+1)^2(x-2)|\,\textrm{d}x
- \int (2x+3)^3\,\textrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{1}^{2}}(x-1)^2(x-2)\,\textrm{d}x
Дараах тодорхой интегралуудыг бод.
- \mathop{\int\limits_{1}^{2}}(2x^2-3x+4)\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{2}^{5}}(x-2)^2\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{-2}^{2}}(5x^2-x-2)\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{-1}^{1}}(2t+1)(1-3t)\,\mathrm{d}t
- \mathop{\int\limits_{2}^{1}}(2x^2-2x+k)\,\mathrm{d}x {(k\text{--тогтмол})}
Дараах интегралуудлыг бод.
- \mathop{\int\limits_{-1}^{2}}(x^2-3x-4)\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{-2}^{3}}(3t+1)(1-t)\,\mathrm{d}t
- \mathop{\int\limits_{-2}^{2}}(3x^2-4x+1)\,\mathrm{d}x
\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^2 x\,\,\mathrm{d}x= ?
A. \pi
B. 2\pi
C. \dfrac{1}{2}\pi
D. \dfrac{1}{3}\pi
E. 0
\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin^2 x\,\,\mathrm{d}x= ?
A. \pi
B. 2\pi
C. \frac{1}{2}\pi
D. \frac{1}{3}\pi
E. 0
\displaystyle\int_{1}^2 (x^2-3x+2) \,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. \dfrac{x^3}3-\dfrac{3x^2}2+2x+C
B. -\dfrac16
C. \dfrac16
D. -\dfrac{1}{12}
E. 0
\displaystyle\int_3^{3e^4} \dfrac{\mathrm{d}x}{2x} интегралийг бод.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
\displaystyle\int_{-1}^2\,\,\mathrm{d}x
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
\displaystyle\int_{1}^2 \frac{2x^3+1}{x^2}\,\,\mathrm{d}x
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
E. 5
\displaystyle\int_{e^{-1}}^{e^2} \frac{1}{x}\,\,\mathrm{d}x
A. 1
B. e^{-2}e^{-1}
C. 2
D. e
E. 3
\displaystyle\int_0^\pi\cos^2x\,\mathrm{d}x бод.
A. \dfrac {\pi}4
B. \dfrac{\pi}2
C. 0
D. -\dfrac {\pi}2
E. \pi
\displaystyle\int_{-\pi}^{\frac\pi 2}\sin^22x\,\mathrm{d}x бод.
A. \displaystyle\frac {3\pi}4
B. \pi
C. \displaystyle\frac32\pi
D. 0
\displaystyle\int_{0}^{0.5}\Bigl(4x-\displaystyle\frac 1{2x+1}\Bigr)\,\mathrm{d}x бод.
A. \ln\big(\frac {e}2\big)
B. 0
C. \displaystyle\frac 12
D. 0.5\ln\big(\frac e2\big)
\displaystyle\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}\sin \Bigl(\displaystyle\frac {\pi}3-3x\Bigr)\,\mathrm{d}x бод.
A. 0
B. \displaystyle\frac {\pi}2
C. \pi
D. \displaystyle\frac {2\pi}3.
\displaystyle\int_0^{0.5}\displaystyle\frac{\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-2x^2}} интегралыг бод.
A. \displaystyle\frac{\pi}8
B. \displaystyle\frac{\pi\sqrt{3}}4
C. \displaystyle\frac{\pi\sqrt{2}}8
D. \displaystyle\frac {\sqrt{2}}{8}
\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^2\,\mathrm{d}x}{1+x^2} интегралыг бод.
A. \displaystyle\frac \pi 4
B. 3-\displaystyle\frac\pi 4
C. 1-\displaystyle\frac\pi 4
D. 1+\displaystyle\frac\pi 4
\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,\mathrm{d}x=?
A. \dfrac12
B. \dfrac{\sqrt3}2
C. \dfrac{\sqrt2}2
D. 0
E. 1
\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{d}x=?
A. \dfrac12
B. \dfrac{\sqrt3}2
C. \dfrac{\sqrt2}2
D. 0
E. 1
Орлуулгын аргаар интеграл бодох
\displaystyle\int x\sqrt{1-x^2}dx
\displaystyle\int_1^{e^2}\dfrac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x
A. 4
B. 2
C. 0.5(e^4-1)
D. e^2-1
E. 1
\displaystyle\int_{0}^{\ln 3}\dfrac{e^{x}}{e^{x} +1} \,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. e^{2}
B. \ln 2
C. \dfrac{1}{4}
D. e^{4}-e^{2}
E. \ln 8
\displaystyle\int_1^{e^4}\dfrac{\,\mathrm{d}x}{x(\ln x+1)} интеграл бод.
A. e+\ln 5
B. \ln 5
C. e+1
D. \frac15\ln 5
E. e
\displaystyle\int_{0}^4\sqrt{16-x^2} \,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. 16\pi
B. 10\pi
C. 3\pi
D. 4\pi
E. 9\pi
\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x+2}}\,\mathrm{d}x
A. \dfrac13(x+2)^{\frac 13}-4(x+2)^{\frac 12}+C
B. \dfrac23(x+2)^{\frac{3}{2}}-(x+2)^{\frac12}+C
C. \dfrac23(x+2)^{\frac 32}-4(x+2)^{\frac{1}{2}}+C
D. \dfrac23(x+2)^{\frac23}-4(x+2)^{\frac{1}{2}}+C
E. \dfrac23(x+2)^{\frac 32}+4(x+2)^{\frac{1}{2}}+C
\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,\mathrm{d}x
A. \displaystyle\frac{2(x+1)^{\frac 52}}{5}-\displaystyle\frac{2(x+1)^{\frac 32}}{3}+C
B. \displaystyle\frac{(x+1)^{\frac 52}}{5}-\displaystyle\frac23(x+1)^{\frac 32}+C
C. \displaystyle\frac{(x+1)^{\frac 52}}{5}+\displaystyle\frac23(x+1)^{\frac 23}+C
D. \displaystyle\frac25(x+1)^{\frac52}+\displaystyle\frac23(x+1)^{\frac 32}+C
E. (x+1)^{\frac52}+(x+1)^{\frac 32}+C
\int(4x+2)e^{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x
A. 3e^{x^2+2x+1}+C
B. 2e^{x^2+x+1}+C
C. 2e^{x^2+x+1}+x+C
D. 2e^{x^2+2x+1}+C
\displaystyle\int(x^2+2x)e^{x^3+3x^2}\,\mathrm{d}x
A. \displaystyle\frac 13e^{x^3+3x^2}+C
B. \displaystyle\frac 13e^{x^3+6x}+C
C. \displaystyle\frac 13e^{x^3+x^2}+C
D. \displaystyle\frac 12e^{x^3+3x^2}+C
E. \displaystyle\frac 13e^{x^2+2x}+C
\displaystyle\int e^x\ln (1+e^x)\,\mathrm{d}x
A. (1+e^x)(\ln(1+e^x)+1)+C
B. (1+e^x)(\ln(1+e^x)-1)+C
C. [(1+e^x)\ln(1+e^x)-e^x]+C
D. [e^x\ln(1+e^x)+(1+e^x)]+C
E. \dfrac{e^x}{1+e^x}+e^x\ln(1+e^x)+C
\displaystyle\int\frac{\ln(1+\sqrt x)}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x
A. [(1+\sqrt x)\ln(1+\sqrt x)+(1+\sqrt x)]+C
B. [(1+\sqrt x)\ln(1+e^x)-\sqrt x]+C
C. 2[\sqrt x\ln(1+e^x)-(1+\sqrt x)]+C
D. 2(1+\sqrt x)(\ln(1+\sqrt x)-1)+C
\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac {\,\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{1+2x}}\,\mathrm{d}x бод.
A. \displaystyle\frac 32
B. \displaystyle\frac 34(\sqrt[3]{9}-1);
C. 2
D. \displaystyle\frac 34(\sqrt[3]{9}+1).
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x\,\mathrm{d}x бод.
A. \displaystyle\frac 14
B. \displaystyle\frac 12
C. 0
D. 1.
\displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt {x^2+a^2}} бод.
A. 2a(\sqrt{2}-1)
B. a(\sqrt{2}-1)
C. a\sqrt 2-1
D. a\sqrt 2+1.
\displaystyle\int_{1}^{a^2}\displaystyle\frac{x\,\mathrm{d}x}{x^2+a} бод.
A. \ln \sqrt{|a|}
B. \ln |a|
C. \ln \sqrt{2|a|}
D. 0
\displaystyle\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}4}\tg x\cdot \displaystyle\frac{\,\mathrm{d}x}{\cos^2x} интегралыг бод.
A. \displaystyle\frac12
B. \displaystyle\frac13
C. \displaystyle\frac15
D. \displaystyle\frac14
\displaystyle\int_{\frac\pi 2}^{\pi}\displaystyle\frac{\sin x}{1-2\cos x}\,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. \ln 3
B. \ln 2
C. \ln\sqrt{5}
D. \ln\sqrt{3}
\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{d}x=?
A. \dfrac{2(x-1)\sqrt{x+1}}{3}+C
B. \dfrac{2(x-2)\sqrt{x+1}}{6}+C
C. \dfrac{2(x-1)\sqrt{x+1}}{6}+C
D. \dfrac{2(x-2)\sqrt{x+1}}{3}+C
E. \dfrac{2(x-1)\sqrt{x-1}}{6}+C
\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos^2x \sin x\mathrm{d}x
A. \frac13
B. -\frac1{12}
C. \frac1{12}
D. -\frac9{12}
E. \frac9{12}
\displaystyle\int_0^{\ln 3}\dfrac{5e^x}{3+5e^x}\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. 2\ln 6
B. \ln 5
C. \ln\dfrac94
D. \dfrac{5}{24}
E. \ln36
F(x) нь x\cdot e^{x^2} функцийн F(1)=e байх эх функц бол түүнийг ол.
A. e^{x^2}-e
B. xe^x-e^{\frac12}
C. \frac12e^{x^2}+C
D. \frac12e^{x^2}-\frac12e
E. \frac12e^{x^2}+\frac12e
\displaystyle\int_{-1}^1\displaystyle\frac{e^x}{e^{-x}+e^x}\,\mathrm{d}x=
\displaystyle\frac{1}{\fbox{a}}
\ln\displaystyle\frac{e^{\fbox{b}}+1}{e^{\fbox{cd}}+1}=1
\displaystyle\int_{7}^8\displaystyle\frac{\ln(t-5)}{t-5}dt=\displaystyle\frac{1}{\fbox{a}}\ln\displaystyle\frac{\fbox{b}}{2}\ln\fbox{c}
- \displaystyle\int\cos^3x\sin^2x\,\mathrm{d}x=\frac{\sin^{\scriptsize\fbox{a}} x}{\fbox{a}}-\frac{\sin^{\scriptsize\fbox{b}}x}{\fbox{b}}+C (4 оноо)
- \displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3x\sin^2x\,\mathrm{d}x=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{de}} (3 оноо) байна.
- \displaystyle\int\sin^3x\cos^4x\,\mathrm{d}x=\frac{\cos^{\scriptsize\fbox{a}}x}{\fbox{a}} -\frac{\cos^{\scriptsize\fbox{b}}x}{\fbox{b}}+C (4 оноо)
- \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3x\cos^4x\,\mathrm{d}x=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{de}} байна. (3 оноо)
Тодорхой биш интеграл бодох
\displaystyle\int (2-3\sqrt{x})^2dx
\displaystyle\int_0^\pi \sin x\cos3x\,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. -\frac12
B. \frac12
C. 0
D. 1
E. -1
\displaystyle\int\dfrac{2x + 3}{x^2 - 9} dx=?
A. \dfrac12\ln|x-3|+\dfrac32\ln|x+3|+C
B. \dfrac32\ln|x-3|+\dfrac12\ln|x+3|+C
C. 3\ln|x-3|+\ln|x+3|+C
D. \ln|x-3|+3\ln|x+3|+C
E. \dfrac12\ln|x-3|-\dfrac32\ln|x+3|+C
\displaystyle\int\dfrac{x^2-2}{x+1} dx=?
A. \dfrac{x^2}{2}+x-\ln|x+1|+C
B. \dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C
C. -\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C
D. \dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x+1|+C
E. \dfrac{x^2}{2}-x-\ln|x+1|+C
\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2+4x+8}=?
A. \arctg\dfrac{x+2}{2}+C
B. 2\arctg\dfrac{x+2}{2}+C
C. \dfrac12\arctg x+C
D. \dfrac12\arctg (x+2)+C
E. \dfrac12\arctg\dfrac{x+2}{2}+C
\displaystyle\int\dfrac{x^2dx}{(x-1)(x-2)(x-3)}=?
A. -\dfrac12\ln|x-1|+4\ln|x-2|+\dfrac92\ln|x-3|+C
B. -\dfrac12\ln|x-1|-4\ln|x-2|+\dfrac92\ln|x-3|+C
C. \dfrac12\ln|x-1|-4\ln|x-2|-\dfrac92\ln|x-3|+C
D. \dfrac12\ln|x-1|-4\ln|x-2|+\dfrac92\ln|x-3|+C
E. \dfrac12\ln|x-1|+4\ln|x-2|+\dfrac92\ln|x-3|+C
\displaystyle\int\dfrac{dx}{(x+1)(x^2+1)}=?
A. \dfrac12\ln\left|\dfrac{x+1}{x^2+1}\right|+\dfrac12\arctg x+C
B. \ln|x+1|+\arctg x +C
C. \ln|x+1|\cdot\arctg x +C
D. \dfrac14\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}+\dfrac12\arctg x+C
E. \dfrac12\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}+\dfrac12\arctg x+C
\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^3+1}=?
A. \dfrac16\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C
B. \ln|x^3+1|+C
C. x^2\ln|x^3+1|+C
D. \dfrac16\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2-x+1}-\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C
E. \ln\dfrac{x+1}{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C
\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^4-1}=?
A. \ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac12\arctg x+C
B. \dfrac14\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac12\arctg x+C
C. \ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\arctg x+C
D. \ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+\arctg x+C
E. \dfrac14\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|+\arctg x+C
\displaystyle\int\dfrac{5x}{(x-1)^3}dx=?
A. -\dfrac{5}{2(x-1)^2}-\dfrac{5}{x-1}+C
B. \dfrac{5}{3(x-1)^2}+C
C. \dfrac{5}{2(x-1)^2}-\dfrac{5}{x-1}+C
D. -\dfrac{5}{2(x-1)^2}+\dfrac{5}{x-1}+C
E. \dfrac{10x^2}{(x-1)^4}+C
\displaystyle\int \dfrac{3x+1}{x(x+1)(x-2)}dx
A. -\dfrac16\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^3(x+1)^4}\right|+C
B. \dfrac16\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^3(x+1)^4}\right|+C
C. \ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^3(x+1)^4}\right|+C
D. -\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^3(x+1)^4}\right|+C
E. \dfrac13\ln\left|\dfrac{(x-2)^7}{x^4(x+1)^3}\right|+C
\displaystyle\int\dfrac{x^2-2}{x+1} dx=?
A. \dfrac{x^2}{2}+x-\ln|x+1|+C
B. \dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C
C. -\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C
D. \dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x+1|+C
E. \dfrac{x^2}{2}-x-\ln|x+1|+C
\displaystyle\int\dfrac{3x^2+2x+7}{x^2+1}dx=?
A. 3x-\ln(x^2+1)+4\arctg x+C
B. 3x+\ln(x^2+1)+\arctg x+C
C. 3x+4\ln(x^2+1)+\arctg x+C
D. 3x-4\ln(x^2+1)+\arctg x+C
E. 3x+\ln(x^2+1)+4\arctg x+C
P(x)=x^3+x^2-3x-5 олон гишүүнтийг Q(x) =x+2 олон гишүүнтэд хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
A. 5
B. 1
C. -3
D. -7
E. -5
\displaystyle\int (x-1)(x-2)x интегралыг бод.
A. (x-1)^2(x-2)+C
B. \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+2x+C
C. x^3-\dfrac23x^2+3x+C
D. \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}-2x+C
E. \dfrac{x^3}{4}-\dfrac{3x^2}{2}+2x+C
\displaystyle\int\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}dx интегралыг бод.
A. \dfrac23x\sqrt{x}+\dfrac12\sqrt{x}+C
B. \dfrac32x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C
C. \dfrac23x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C
D. \dfrac32x\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}+C
E. \dfrac13x\sqrt{x}+\sqrt{x}+C
\displaystyle\int\dfrac{x-2}{\sqrt{x}}dx интегралыг бод.
A. \dfrac23x\sqrt{x}-\dfrac14\sqrt{x}+C
B. \dfrac32x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+C
C. \dfrac23x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+C
D. \dfrac32x\sqrt{x}-\sqrt{x}+C
E. \dfrac13x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C
\displaystyle\int\dfrac{x-2}{\sqrt{x}}dx интегралыг бод.
A. \dfrac23x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+C
B. \dfrac32x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+C
C. \dfrac23x\sqrt{x}-\frac14\sqrt{x}+C
D. \dfrac32x\sqrt{x}-\sqrt{x}+C
E. \dfrac13x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+C
\displaystyle\int\dfrac{\sqrt[3]{x-8}}{x} dx=\fbox{a}\sqrt[3]{x-8}-\fbox{b}\ln|\sqrt[3]{x-8}+2|+\ln\big((\sqrt[3]{x-8})^3-\fbox{c}\sqrt[3]{x-8}+\fbox{d}\big)-\dfrac{\fbox{e}}{\sqrt3}\arctg\dfrac{\sqrt[3]{x-8}+1}{\sqrt3}+C
Тодорхой интеграл
f(x)=x^2+ax+b, g(x)-дурын шугаман функц
\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f(x)\cdot g(x)\,\textrm{d}x=0 байдаг бол
a, b-г ол.
Квадрат функц f(x)-ийн хувьд
\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f(x)\,\textrm{d}x=0,
\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}xf(x)\,\textrm{d}x=\dfrac43,
\mathop{\int\limits_{1}^{x}}f(t)\,\textrm{d}t функцийн максимум утгa 0
бол \mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f^2(x)\,\textrm{d}x-ийн утгыг ол.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -2x^2+2x+4, & x< 3\\
4x^2-28x+40, & x\geq 3\end{array}\right. гэе.
g(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{x}}f(t)\,\mathrm{d}t функцийн x\geq 0 үеийн
экстремум утгуудыг ол.
y=\int\limits_{1}^{x} (4t^2-8t+3)\, dt функцийн экстремумыг ол.
Дараах функцүүдийн экстремум утгуудыг ол.
- f(x)=\int\limits_{-3}^{x}(t^2-x)\, dt
- f(x)=\int\limits_{x}^{x+1}(t^2-5t+7)\,dt
x нь t-ээс хамаарахгүй бол дараах функцүүдын график зур.
- y=\int\limits_{-1}^{2}(3t^2-2xt)\,dt
- y=\int\limits_{0}^{x}(2t-3t^2)\,dt
- y=\int\limits_{0}^{x}|t-1|\,dt
0\leq a\leq 1 үед
\mathop{\int\limits_{-a}^{1-a}}|x(x-a)|\,\textrm{d}x функц хамгийн их ба
бага утгаа авах a-ийн утгыг ол.
a тогтмол тоо, f(x), g(x) нь f(x)=-x^2+ax\mathop{\int}\limits_{-1}^{1}g(t)\,\textrm{d}t-\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}t\cdot
g(t)\,\textrm{d}t ба
g(x)=-\dfrac12\mathop{\int\limits_{x-1}^{x+1}}f(t)\,\textrm{d}t+ax\mathop{\int}\limits_{-1}^{1}g(t)\,\textrm{d}t
нөхцлүүдийг хангах бол+f(x), g(x)-ийг ол. -1\leq x\leq 1 үед f(x)-ийн хамгийн их утгыг ол.
Дараах нөхцлийг хангах a тоо ба f(x)-г ол.
- \mathop{\int\limits_{a}^{x}}f(t)\,\mathrm{d}t=x^2+2x-3
- \mathop{\int\limits_{1}^{x}}tf(t)\,\mathrm{d}t=x^3+2x^2+a
Дараах интегралуудыг бод.
- \mathop{\int\limits_{1}^{1}}(-2x^2+5x-2)\,dx
- 2\mathop{\int\limits_{1}^{3}}x^2\,dx+3\mathop{\int\limits_{1}^{3}}x^2\,dx
- \mathop{\int\limits_{-2}^{3}}(2x^2-1)\,dx-\mathop{\int\limits_{-2}^{3}}(x^2+x-5)\,dx
- \mathop{\int\limits_{1}^{4}}|x^2-2x-3|\,dx
- \mathop{\int\limits_{-3}^{2}}(x^2+3)\,dx+\mathop{\int\limits_{2}^{3}}(x^2+3)\,dx
Дараах тодорхой интегралуудыг бод.
- \mathop{\int\limits_{-1}^{3}}(x+1)(x-3)\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{0}^{2}}(x^2-2x)\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{-2-\sqrt{7}}^{-2+\sqrt{7}}}(2x^2+8x-6)
- \mathop{\int\limits_{0}^{2}}|x^2+2x-4|\,\mathrm{d}x
\mathop{\int\limits_{-1}^{0}}f(x)\,\mathrm{d}x=1, \mathop{\int\limits_{0}^{1}}f(x)\,\mathrm{d}x=0,
\mathop{\int\limits_{1}^{2}}f(x)\,\mathrm{d}x=2 адитгалуудыг хангах квадрат
функцийг ол.
f(x) нь 3-аас хэтрэхгүй зэргийн олон гишүүнт
бол \mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f(x)\,\mathrm{d}x-утгыг
f(-1), f(0), f(1)-ээр илэрхийл.
Дараах адилтгалыг хангах f(x)-г ол.
- f(x)=x+2\mathop{\int\limits_{0}^{1}}f(t)\,\mathrm{d}t
- f(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(x^2-6xf(t))\,\mathrm{d}t+1
Дараах функцүүдийн графикыг зур.
- f(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(t-x)\,\mathrm{d}t
- f(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|t-x^2|\,\mathrm{d}t
F(a)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|t^2-at|\,\mathrm{d}t-ийн хамгийн
бага утгыг ол.
y=ax+b шулуун (1, 1) цэгийг дайрах бол \mathop{\int\limits_{-1}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x хамгийн бага утгаа авах a, b-г ол.
f^\prime(x)=x^n+\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}f(t)\,\mathrm{d}t, f(0)=0 нөхцлийг
хангах бүх f(x)-ийг ол.
f_1(x)=2x^2+1, f_n(x)=2x^2+\mathop{\int\limits_{0}^{1}}f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t, (n\geq
2) нөхцөл хангах f_n(x) функцэн дараалалыг n, x-ээр илэрхийл.
p(x) шугаман функц бөгөөд \textstyle\mathop{\int\limits_{0}^{1}}p(x)\,\mathrm{d}x=0,
\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(p(x))^2\,\mathrm{d}x=1, p(0)>0
бол
- p(x)-ийг ол.
- Дурын шугаман функц f(x)-ийг f(x)=ap(x)+b хэлбэрээр бич.
- f(x)=ap(x)+b бa \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(f(x))^2\,\mathrm{d}x=1 бол f(x)-ийн боломжит утгуудын олонлогийг ол.
Дурын бодит тооны хувьд f(x)=x^2-x+2\mathop{\int\limits_{0}^{2}}|t-1|f(t)\,\mathrm{d}t нөхцөл хангах f(x) функцийг ол.
0< a< 1, O(0, 0), P(1, a), Q(2, 4) байг. OPQ
тахир шугам график нь байх функцийг y=f_a(x) гэе.
- y=f_a(x) ба y=x^2-ийн огтлолын цэгүүдийн координатуудыг ол.
- S(a)=\mathop{\int\limits_{0}^{2}}|x^2-f_a(x)|\,\mathrm{d}x функцийн хамгийн бага утгыг ол.
\mathop{\int\limits_{0}^{x}}f(t)\,\mathrm{d}t=x\{af(x)+bf(x/2)+c\cdot
f(0)\} нөхцөл хангах f(x) олон гишүүнтүүдийн олонлогийг M гэе. M олонлог нь 2-оос ихгүй зэргийн бүх олон гишүүнтийг агуулдаг бол a, b, c-г ол.
0\leq a\leq 1 үед \mathop{\int\limits_{-a}^{1-a}}|x(x-a)|\,\mathrm{d}x функц хамгийн их ба бага утгаа авах a-ийн утгыг ол.
y=(ax+b)^2 (0\leq x\leq 1) функцийн хамгийн их утгыг M(a, b)
гэе. M(a, b)\leq m \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x тэнцэтгэл биш дурын a, b бодит тооны хувьд биелэх m-ийн хамгийн бага утгыг ол.
a>0 үед g(x)=\mathop{\int\limits_{-2}^{2}}|x-t|(t^2-a^2)\,\mathrm{d}t функц хамгийн бага утгатай байх a-ийн утгын мужийг ол. Энэ үед g(x)-ийн хамгийн бага утгыг a-аар илэрхийл.
Дараах интегралуудыг бод.
- \mathop{\int\limits_{2}^{2}}(5x^2-x+4)\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{0}^{1}}(-x^2+2)\,\mathrm{d}x-\mathop{\int\limits_{0}^{1}}x^2\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{0}^{1}}x^2\,\mathrm{d}x+\mathop{\int\limits_{1}^{3}}x^2\,\mathrm{d}x
- \mathop{\int\limits_{0}^{2}}|x^2+x-2|\,\mathrm{d}x
(1), (2)-ийг
батлаад түүнийгээ ашиглан 1\sim3-ийг бод.
\begin{align*}
&\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2\,dx=\dfrac13(\beta-\alpha)^3 & (1)\\
&\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 & (2)
\end{align*}
- \displaystyle\int_{2}^{5}(x-2)^2\,dx
- \displaystyle\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}(2x^2-4x-2)\,dx
- \displaystyle\int_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}(x^2+x-1)\,dx
\int\limits_{-1}^{1}f(x)\,dx=5, \int\limits_{-1}^{1}xf(x)\,dx=-4
нөхцөлийг хангах f(x) шугаман функцийг ол.
(1) f(x)=\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}(9xt^2+2x^2t-x^3)\,\mathrm{d}t-г
x-ээр илэрхийл.
(2) f(x)=x+\mathop{\int\limits_{0}^{1}}tf(t)\,\mathrm{d}t нөхцлийг хангах
f(x)-г ол.
f(x)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|t-x|\,\mathrm{d}t функцийн график зур.
0\leq t\leq 1 үед F(t)=\mathop{\int\limits_{0}^{1}}|x^2-t^2|\,\mathrm{d}x функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
Дараах тэнцэтгэл бишийг батал.
\Big|\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)(px+q)\,\mathrm{d}x\Big|^2 \leq
\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(ax+b)^2\,\mathrm{d}x
\mathop{\int\limits_{0}^{1}}(px+q)^2\,\mathrm{d}x
f_n(x)=f_0(x)+\int_{0}^{c}f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t, f_0(x)=-2x+1, (n=1, 2, 3,\ldots, c\neq 1) гэж тодорхойлогдох f_{n}(x)-ийг ол.
Дурын x-ийн хувьд \int\limits_{a}^{x}f(t)\,dt=x^2-1 нөхцөлийг хангах a тоо болон f(x) функцийг ол.
\displaystyle f(x)=\int_{-2}^{x}(t^2+t-2)\,dt функцийн эктремумыг ол.
g(x)=\int\limits_{x}^{x+1}|t(t-3)|dt (0\leq x\leq 3)
функцийн хамгийн их ба бага утгыг ол. Тэр үеийн x-ийг ол.
f(x), g(x) нь дараах нөхцлүүдийг хангадаг бол f(x), g(x)-г ол.
\begin{gather*}\mathop{\textstyle\int\limits_{0}^{x}}(f(t)+g(t))\,\textrm{d}t=x^3+x^2-3x, f'(x)\cdot
g'(x)=8x^2+2x-3,\\
f'(0)=3, f(0)=-6, g(0)=3
\end{gather*}
\mathop{\int\limits_{-1}^{1}}x^k\cdot
f(x)\,\textrm{d}x=0, k=0, 1, 2 ба ахлах гишүүний коэффициент нь 1 байх бүх 3
зэргийн функцүүдийг ол.
f(x)=x^3 функцийн графикыг (Ox) тэнхлэгийн дагуу a зайд, (Oy) тэнхлэгийн дагуу b зайд шилжүүлэхэд y=g(x) функц үүсэх ба g(0)=0 байв.
\int_a^{3a}g(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^{2a}f(x)\,\mathrm{d}x=32 бол a^4-г ол.
A. 1
B. 1/16
C. 16
D. 1/81
E. 81
f(x)=x^3 функцийн графикийг (ox) тэнхлэгийн дагуу a зайд, (oy) тэнхлэгийн дагуу b зайд шилжүүлэхэд y=g(x) функц үүсгэх ба g(0)=0 байв.
\int_{a}^{3a}g(x)\,\mathrm{d}x-\dfrac12\int_{0}^{2a}f(x)\,\mathrm{d}x=162 бол a^4=?
A. 1
B. 16
C. 5
D. \dfrac{81}{2}
E. 24
\displaystyle\int_0^3|1-x^2|\,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. \dfrac{22}{3}
B. \dfrac{8}{3}
C. \dfrac{16}{3}
D. 2
E. \dfrac{11}{3}
\displaystyle\int_{-2}^1|5x-3|\,\mathrm{d}x нь аль тоо вэ?
A. 17\frac{3}{10}
B. 15\frac{3}{10}
C. 18\frac{7}{10}
D. 16\frac{7}{10}
E. 18\frac{3}{10}
f(x)=\displaystyle\int_x^{x+2}|2t-4|\,\mathrm{d}t бол f(x)-ийн хамгийн бага утгыг ол.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
\displaystyle\int_{-1}^2 2(t-1)x\,\mathrm{d}x = 2t бол t=?
A. -2
B. -3
C. 2
D. 3
E. 0
\displaystyle\int_{0}^4 |x-2|\,\,\mathrm{d}x
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
E. 8
\left(\displaystyle\int_0^x\sin 5tdt\right)' нь аль вэ?
A. \cos 5x+1
B. \sin 5x+1
C. \sin 5x
D. \cos 5x
\Big(\displaystyle\int_0^x\cos 3t\,\mathrm{d}t\Big)^\prime нь аль вэ?
A. \cos 3x+1
B. \cos 3x
C. \sin 3x+1
D. \sin 3x
E. 3\cos 3x
\displaystyle\int_{0}^{2a}x|x^2-a^2|\,\mathrm{d}x бод.
A. a^4
B. \displaystyle\frac {a^4}2
C. \displaystyle\frac 25a^4
D. \displaystyle\frac 52a^4
E. 0
\displaystyle\int_{0}^{2a}|x-a|\,\mathrm{d}x бод.
A. \displaystyle\frac 32a^2
B. a^2
C. \displaystyle\frac 12a^2
D. 2a
\displaystyle\int_0^t\sin x\cdot \cos x\,\mathrm{d}x=\frac 14 тэгшитгэлийн [0;\pi] завсар дахь шийд аль вэ?
A. \displaystyle\frac \pi 4
B. \displaystyle\frac\pi6
C. \displaystyle\frac \pi 3
D. \displaystyle\frac\pi 2
\displaystyle\int_0^t(1-2\cos^2 x)\,\mathrm{d}x=\frac 12 тэгшитгэлийн [0;\pi] завсар дахь шийд аль вэ?
A. \displaystyle\frac {3\pi} 4
B. \displaystyle\frac\pi 4
C. \displaystyle\frac {2\pi} 3
D. \displaystyle\frac\pi 3
\displaystyle\int_{y-1}^y(x^2+1)\,\mathrm{d}x< \frac {10}3 тэнцэтгэл бишийн бүх шийд аль олонлог вэ?
A. ]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[
B. ]-\infty;-1[
C. ]2;+\infty[
D. ]-1;2[
E. \varnothing
\displaystyle\int_{y}^{y+2}(x^2+x)\,\mathrm{d}x>\frac 23 тэнцэтгэл бишийн бүх шийд аль олонлог вэ?
A. ]-\infty;-2[\cup]-1;+\infty[
B. ]-\infty;-2[
C. ]-1;+\infty[
D. ]-2;-1[
\displaystyle\int_{-y}^y(3x^2+1)\,\mathrm{d}x\leq y^2 тэнцэтгэл бишийн [0;+\infty[ завсар дахь шийд аль вэ?
A. [0;+\infty;[
B. [0;7]
C. {0}
D. [7;+\infty[.
\displaystyle\int_{-3}^{2y}(x^2+6x)\,\mathrm{d}x\geq 4y^2-18 тэнцэтгэл бишийн [-2;+\infty[ завсар дахь шийд аль вэ?
A. [-2;+\infty[
B. ]-2;4]
C. [4;+\infty[
D. \varnothing
\displaystyle\int_{-1}^3|7x+2|\,\mathrm{d}x нь аль тоо вэ?
A. 37\displaystyle\frac57
B. 39\displaystyle\frac47
C. 43\displaystyle\frac 67
D. 45\displaystyle\frac 37
E. 40
\displaystyle\int_{-2}^1|5x-3|\,\mathrm{d}x нь аль тоо вэ?
A. 17.3
B. 15.3
C. 18.7
D. 16.7
E. 17.5
\displaystyle\int_{-2}^3(x^2-7|x|+12)\,\mathrm{d}x нь аль тоо вэ?
A. 23\displaystyle\frac 16
B. 27\displaystyle\frac 56
C. 28\displaystyle\frac 23
D. 26\displaystyle\frac 16
\displaystyle\int_{-2}^3(x^2-|7x-14|)\,\mathrm{d}x нь аль тоо вэ?
A. -47\displaystyle\frac56
B. 47\displaystyle\frac 56
C. 48\displaystyle\frac 23
D. -48\displaystyle\frac 23
\displaystyle\int_{3}^5|x^2-7x+12|\,\mathrm{d}x нь аль тоо вэ?
A. 2\displaystyle\frac56
B. 3\displaystyle\frac 16
C. 1\displaystyle\frac 56
D. 4\displaystyle\frac 16
\displaystyle\int_{0}^4|-x^2+5x-6|\,\mathrm{d}x нь аль тоо вэ?
A. 3\dfrac13
B. 4\dfrac 23
C. 1\dfrac 13
D. 7\dfrac 23
E. 5\dfrac 23
\displaystyle\int_3^6\dfrac{\,\mathrm{d}x}{2x-3} интералыг бод.
A. \ln\sqrt[3]{3}
B. \ln\sqrt3
C. \ln\sqrt2
D. \ln\sqrt[3]2
E. \ln\sqrt[3]5
\displaystyle\int_{-2}^3|x-1|\,\mathrm{d}x=?
A. -\dfrac52
B. \dfrac32
C. \dfrac52
D. \dfrac{11}2
E. \dfrac{13}2
\displaystyle\int_{-1}^4|x-2|\,\mathrm{d}x=?
A. -\dfrac52
B. \dfrac32
C. \dfrac52
D. \dfrac{11}2
E. \dfrac{13}2
\displaystyle\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x
A. 22
B. 23
C. 24
D. 25
E. 26
\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\,\,\mathrm{d}x= ?
A. \pi
B. 2\pi
C. \dfrac{1}{2}\pi
D. \dfrac{1}{3}\pi
E. 0
\displaystyle\int_{0}^4 |x-2|\,\,\mathrm{d}x
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
E. 8
\displaystyle\int_{\frac{b}{2}}^b\dfrac{1-2x}{3}dx=-\dfrac{4}{3} тэнцэтгэл b-ийн ямар утгад биелэх вэ?
A. 2;-\dfrac85
B. 2;-\dfrac83
C. 8;-6
D. -2;\dfrac83
E. шийдгүй
Хэрэв \displaystyle\int_0^3f(x)dx=4 бол \displaystyle\int_0^3\big(f(x)+4x+1\big)dx-ийг олоорой.
A. 21
B. 25
C. 22
D. 33
E. 30
\displaystyle\int_0^3x(x-3)dx интегралыг бод.
A. -4.5
B. -3
C. -\dfrac{27}{2}
D. 3
E. \dfrac{9}{2}
Хэрэв \displaystyle\int_0^3f(x)dx=5 бол \displaystyle\int_0^3\big(f(x)+2x+3\big)dx-ийг олоорой.
A. 24
B. 17
C. 14
D. 33
E. 23
Хоёр дугуйчин нэгэн гараанаас нэг чиглэлд харгалзан v_1(t)=\displaystyle\frac 38(\sqrt{t}+t), v_2(t)=2(\sqrt[3]{t}+1) м/с хурдтайгаар зэрэг хөдөлжээ. Тэдний явсан зам нь
S_1=\displaystyle\frac{1}{\fbox{a}}t^{\frac{3}{2}}+\displaystyle\frac{\fbox{b}}{16} t^2+\fbox{c},
S_2=\displaystyle\frac{3}{\fbox{d}}t^{\frac{4}{3}}+\fbox{e} t+\fbox{f} тул 64 секундийн дараа бие биенээсээ S_1(t)-S_2(t)=\fbox{g}84 м зайтай байна.
v(t)=\displaystyle\frac {\sin 2t}{2} м/с хурдтайгаар материаллаг цэг шулуун замаар хөдөлжээ. t=\displaystyle\frac{\pi}{3} секундын хугацаанд \displaystyle\frac{7}{18} м явсан гэвэл түүний явсан зам нь S=\fbox{a}-\displaystyle\frac{\cos\fbox{b} t}{\fbox{c}}, харин t=\displaystyle\frac{\pi}{3} секундын дараа өмнөхөөсөө 2 дахин их хурдтай хөдөлсөн бол явсан зам нь S=\displaystyle\frac{\fbox{d}}{\fbox{e}6}-\displaystyle\frac{\cos\fbox{f}\,t}{\fbox{g}} болно.
\displaystyle\int_0^1x^2\sqrt[3]{(2-x^3)^2}\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}(\fbox{c}\cdot\sqrt[3]{\fbox{d}}-\fbox{e}) болно.
\displaystyle\int^{\sqrt 2}_{\frac{\sqrt{6}}{2}}x\sqrt{(2x^2-3)}\,\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}} болно.
\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x=\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}(\sqrt{\fbox{c}}-\fbox{d}) болно.
\displaystyle\int_{-2}^{-1}\frac{\,\mathrm{d}x}{(11+5x)^3}=\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{bc}} болно.
f(x)=Ax^2+Bx+C -ийн хувьд f^\prime(1)=8\, , \, f(2)+f^{\prime\prime}(2)=33\, , \,\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\frac73 бол A, B, C-г олъё.
\left\{\begin{array}{l}
f^\prime(1)=\fbox{a}A+B=8\\
f(2)+f^{\prime\prime}(2)=\fbox{b}A+\fbox{c}B+\fbox{d}C=33\\
\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\dfrac{A}{\fbox{e}}+\dfrac{B}{\fbox{f}}+C=\dfrac73
\end{array} \right.
Тэгшитгэлийн системийг бодвол A=\fbox{g}\, , \, B=\fbox{hi}\, , \, C=\fbox{j} болно.
f(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
2x^2+1&x\leq 1\\
4-x&x>1
\end{array}
\right. функц өгөгдөв.
- f(0)+f(1)+f(2)=\fbox{a} /1 оноо/
- \int\limits_0^2f(x)\,dx=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}} /2 оноо/
- f(x)=0 тэгшитгэлийн шийд x=\fbox{e} байна. /1 оноо/
- g(a)=\int\limits_0^af(x)\,dx гэвэл g(a) функцийн максимум утга a=\fbox{f} үед g_{\max}=\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{i}} байна. /3 оноо/
Трапецийн дүрэм
Хувьсах хилтэй интеграл
h функцийг бүх бодит тооны хувьд h(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}e^{x+t}\,\mathrm{d}t гэж тодорхойлъё. Тэгвэл h^\prime(1)=?
A. e-1
B. e^2
C. e^2-e
D. 2e^2
E. 3e^2-e
f функцийг бүх бодит тооны хувьд f(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}e^{2x+t}\,\mathrm{d}t гэж тодорхойлъё. Тэгвэл f^\prime(1)=?
A. 4e^3-2e^2
B. e^2
C. e^3-e
D. 2e^2
E. 3e^2-e
Хэсэгчлэн интегралчлах арга
\displaystyle\int e^x\sin xdx бод.
\displaystyle\int x e^{2x} \,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. \dfrac12e^{2x}\cdot x-\dfrac14e^{2x}+C
B. \dfrac12e^{2x}\cdot x+\dfrac14e^{2x}+C
C. x^2e^{2x}+C
D. 2xe^{2x}+e^{2x}
E. 2xe^{2x}+e^{2x}+C
\int 9x\sin 3x \,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. \sin3x-3x\cos 3x+C
B. \cos3x-x\sin 3x+C
C. \cos3x-3x\sin 3x+C
D. \cos3x+3x\sin 3x+C
E. \sin 3x-3x\sin 3x+C
\displaystyle\int x\cos{2x}\,\mathrm{d}x бод.
A. x\sin{2x}+0.5\cos{2x}+C
B. x\sin{2x}-0.5\cos{2x}+C
C. 0.5x\sin{2x}-0.25\cos{2x}+C
D. 0.5x\sin{2x}+0.25\cos{2x}+C
E. x\sin{2x}+\cos{2x}+C
\displaystyle\int x^2e^{2x}\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. 4xe^{2x}+C
B. (x^2-x+1)e^{2x}+C
C. (2x^2-2x+1)e^{2x}+C
D. (2x^2-2x+1)e^{x}+C
E. \frac14(2x^2-2x+1)e^{2x}+C
\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. \pi
B. 2\pi
C. \dfrac{\pi}{2}
D. 0
E. 1
\int\limits_0^{\frac{\pi}2}(x+1)\sin x\,dx интеграл бод.
A. \pi
B. \pi-2
C. \frac{\pi}2
D. 2
E. 1
\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}(x+1)\cos x\,\mathrm{d}x интеграл бод.
A. \pi
B. \pi-2
C. \dfrac{\pi}{2}
D. 2
E. 1
\displaystyle\int x e^{3x} \,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. \dfrac13e^{3x}\cdot x-\dfrac19e^{3x}+C
B. \dfrac13e^{3x}\cdot x+\dfrac19e^{2x}+C
C. x^2e^{3x}+C
D. 3xe^{3x}+e^{3x}
E. 3xe^{3x}+e^{3x}+C
f(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
x^2+1&x\leq 1\\
3-x&x>1
\end{array}
\right. функц өгөгдөв.
- f(0)+f(1)+f(2)=\fbox{a} /1 оноо /
- \displaystyle\int_0^2f(x)\,dx=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}} /2 оноо /
- f(x)=0 тэгшитгэлийн шийд x=\fbox{e} байна. /1 оноо /
- g(a)=\displaystyle\int_0^af(x)\,dx гэвэл g(a) функцийн максимум утга a=\fbox{f} үед g_{\max}=\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{i}} байна. /3 оноо /
Хялбар өргөтгөсөн интеграл
Эргэлтийн биетийн эзлэхүүн
Интеграл ашиглан дараах биеийн эзлэхүүнийг ол.
- r радиустай, h өндөртэй конусын эзлэхүүн;
- r радиустай бөмбөрцгийн эзлэхүүн.
y=x^2, y=2a^2-x^2 (a>0)
параболуудын огтлолд үүсэх дүрсийн хувьд
(1) x тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн \upsilon_1 ба y
тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн \upsilon_2-ийг ол.
(2) \upsilon_1=\upsilon_2 бол a-г ол.
y=\sqrt{x} функийн графикийн 0\le x\le1 завсарт харгалзах хэсгийг OX тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол.
A. \dfrac{\pi}6
B. \dfrac{\pi}4
C. \dfrac{\pi}3
D. \dfrac{\pi}2
E. {\pi}
y=x^3, y=8, x=0 шугамуудаар хүрээлэгдсэн мужийг y-тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биеийн эзлэхүүнийг ол.
A. \dfrac{32\pi}{3}
B. \dfrac{64\pi}{3}
C. \dfrac{64\pi}{5}
D. \dfrac{32\pi}{5}
E. \dfrac{96\pi}{5}
y=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} функцийн график, x=0, x=\sqrt3 шулуунууд ба абсцисс тэнхлэгээр хашигдсан дүрсийг Ox тэнхлэг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн \dfrac{\pi^{\fbox{b}}}{\fbox{a}} байна. x=1 цэгийг дарсан Ox тэнхлэгт перпендикуляр \alpha хавтгай биетийн эзлэхүүнийг \fbox{c}:\fbox{d} (c>d) харьцаагаар хуваана. Энэ биетийн эзлэхүүнийг таллан хуваадаг, \alpha-тай паралель хавтгай x=\dfrac{\fbox{e}}{\sqrt{\fbox{f}}} цэгээр дайрна.
\ell_1: y=x^2, \ell_2: y=\sqrt{x} муруйнууд O(0,0) ба A(x,y) цэгүүдэд огтолцоно.
- x=\fbox{a} , y=\fbox{b}
- \ell_1 муруйн OA нумыг OX тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн V_1=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}
- \ell_2 муруйн OA нумыг OX тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн V_2=\dfrac{\pi}{\fbox{d}}
- \ell_1 ба \ell_2 муруйнуудын огтлолд үүсэх хавтгайн хэсгийг OX тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн V_3=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{fg}}\pi байна.
y=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} функцийн график, x=-\sqrt3, x=0 шулуунууд ба абсцисс тэнхлэгээр хашигдсан дүрсийг Ox тэнхлэг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн \dfrac{7\pi^2}{\fbox{ab}} байна. x=0 цэгийг дарсан Ox тэнхлэгт перпендикуляр \alpha хавтгай биетийн эзлэхүүнийг \fbox{c}:\fbox{d} (c>d) харьцаагаар хуваана. Энэ биетийн эзлэхүүнийг 2:5 харьцаатай хуваадаг, \alpha-тай параллель хавтгайн нэг нь x=\dfrac{\fbox{e}}{\sqrt{\fbox{f}}} цэгээр дайрна.
Эх функц, тодорхой биш интеграл
f(x)-g(x)=x^2, f^\prime(x)+g^\prime(x)=5x^2+x+1, f(0)=7 бол
f(x), g(x)-ийг ол.
f^\prime(x)=|3x^2-6x|, f(1)=0 нөхцлүүдийг хангах f(x)-ийг ол. y=f(x) функцийн графикыг зур.
Дараах интегралуудыг бод.
- \int (x^2-3x+2) \,\mathrm{d}x
- \int (x-2)(1-3x)\,\mathrm{d}x
- \int (x-2)^2 \,\mathrm{d}x
- \int (2t+1)^2 \,\mathrm{d}t
f(x)=2x^2-3x-1 бол
- \dfrac{\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}x}\left\{\int f(x)\,\mathrm{d}x\right\}
- \int\left\{\dfrac{\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}x} f(x)\right\}\,\mathrm{d}x ол.
f^\prime(x)=(x+1)(x-3), f(0)=-2 байх f(x)-ийг ол.
Дараах интегралуудыг бод.
- \int (2x^2-4x+1)\,\mathrm{d}x
- \int (t-1)(t+3)\,\mathrm{d}t
- \int(2x-3)^2\,\mathrm{d}x
- f^\prime(x)=2x^2-3x, f(0)=2 нөхцөлүүдийг хангах f(x) функцийг ол.
- y=f(x) нь (1, 0) цэгийг дайрдаг (x, f(x)) цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь x^2-1 бол f(x) функцийг ол.
f(x)+g(x)=x^2, 2f^\prime(x)+g^\prime(x)=3x^2-2x, f(0)=-2 нөхцөлийг хангах f(x), g(x)-ийг ол.
\displaystyle\int (2-3\sqrt{x})^2dx
\displaystyle\int\dfrac{\sqrt[3]{x^2}-2}{\sqrt[3]{x}}\,\mathrm{d}x интеграл бод.
A. \dfrac34\sqrt[3]{x^4}-3\sqrt[3]{x^2}+C
B. 3\sqrt[3]{x^4}-\dfrac34\sqrt[3]{x^2}+C
C. 3\sqrt[3]{x^4}+\dfrac34\sqrt[3]{x^2}+C
D. \dfrac34\sqrt[3]{x^4}+3\sqrt[3]{x^2}+C
E. \dfrac34\sqrt[3]{x^4}-\dfrac34\sqrt[3]{x^2}+C
\displaystyle\int(3x+1)^{20}\,\mathrm{d}x интеграл бод.
A. \frac{(3x+1)^{21}}{21}+C
B. \frac{(3x+1)^{21}}{63}+C
C. -\frac{(3x+1)^{21}}{63}+C
D. \frac{(3x+1)^{20}}{63}+C
E. -\frac{(3x+1)^{20}}{63}+C
\displaystyle\int\cos3x \,\mathrm{d}x=?
A. \dfrac{\cos^23x}{2}+C
B. -\sin x+C
C. -\sin3x+C
D. \dfrac{\cos^23x}{6}+C
E. \dfrac{\sin 3x}{3}+C
Интеграл бод.
\displaystyle\int 6x^2+4x-\sqrt3-\sin 2x \,\,\mathrm{d}x
A. 6x^3+4x^2-\sqrt3x+\frac12\cos x+C
B. 2x^3+2x^2-\sqrt3x+\cos2x+C
C. 12x+4-2\cos2x+C
D. 2x^3+2x^2-\sqrt3x+\frac{\cos2x}{2}+C
E. x^3+x^2-\sqrt3x+\frac{\cos2x}{2}+C
\displaystyle\int(x-1)(x-2)\,\mathrm{d}x бод.
A. (x-1)^2(x-2)+(x-1)(x-2)^2+C
B. \dfrac14(x-1)^2(x-2)^2+C
C. \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+2x+C
D. \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+2x+C
E. 2x-3+C
\int\sin x\cos 3x \,\mathrm{d}x бод.
A. -\frac13\cos x\sin 3x+C
B. -\frac18\cos4x+\frac14\cos2x+C
C. \frac18\cos4x-\frac14\cos2x+C
D. \cos x\cos 3x-3\sin x\sin 3x+C
E. \frac13\cos x\sin 3x+C
\int ax^2+bx+c \,\mathrm{d}x=?
A. 3ax^3+2ax^2+cx+C
B. \frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx+C
C. ax^3+bx^2+cx+C
D. \frac{ax^2}{2}+\frac{bx}{2}+C
E. \frac{ax^3}{3}+\frac{ax^2}{2}+\ln x+C
\displaystyle\int\sin 2x \,\mathrm{d}x=?
A. -\cos2x+C
B. \cos2x+C
C. \cos^2x+C
D. \dfrac{\cos2x}{2}+C
E. \sin^2x+C
\int(x-1)(x-2)\,\mathrm{d}x интегралыг бод.
A. \dfrac13x^3+\dfrac32x^2+2x+C
B. (x-1)^2(x-2)+(x-1)(x-2)^2+C
C. \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x+C
D. 2x-3+C
E. x^3-3x^2+2x+C
\displaystyle\int\sin ^2x \,\textrm{d}x=?
A. -\dfrac12\sin x\cos x+\dfrac{x}{2}+C
B. \cos^2x+C
C. -\sin2x+C
D. \sin 2x+\cos x+C
E. \cos 2x+C
\displaystyle\int\dfrac{\,\mathrm{d}x}{1+4x^2} интегралыг бод.
A. \dfrac14\arctg 2x+C
B. \dfrac14\arctg 4x+C
C. \ln\dfrac{x}{1+4x^2}+C
D. \dfrac12\arctg 2x+C
E. \dfrac12\arctg 4x+C
f(x)=2x+1 нь алиных нь нэг эх функц нь вэ?
A. x^2+x+C
B. x^2+x
C. \dfrac{x^2}{2}+x+C
D. 2
E. 2x+C
f(x)=3x^2-ийн бүх эх функцыг ол.
A. 6x
B. 6x+1
C. x^3+C
D. \dfrac{x^3}{3}+C
E. \dfrac{x^2}{2}+C
f'(x)=8x^3-6x+1, f(-1)=5 бол f(1)=?
A. 3
B. 7
C. 8
D. 9
E. 11
\displaystyle\int 5\,\,\mathrm{d}x
A. 5x+C
B. 6x+C
C. \dfrac{5x^2}{2}+C
D. 5+C
E. 4x+C
\displaystyle\int \frac{1}{x^2} \,\,\mathrm{d}x= ?
A. -\dfrac{1}{x}+C
B. \ln x^2+C
C. \dfrac{x^{-3}}{-3}+C
D. (\ln x)^2+C
E. \dfrac{1}{x}+C
\displaystyle\int \frac{2}{2x+1}\,\,\mathrm{d}x
A. \dfrac{2(2x+1)^0}{0}+C
B. 2\ln(2x+1)+C
C. \dfrac{\ln(2x+1)}{2}+C
D. -\dfrac{4}{(2x+1)^2}+C
E. \ln(2x+1)+C
\displaystyle\int e^{-x}\,\,\mathrm{d}x
A. e^{-x}+C
B. -e^{-x}+C
C. e^{-\frac{x^2}{2}}+C
D. \ln e^x+C
E. -e^x+C
\displaystyle\int \ln2 \cdot 2^x\,\,\mathrm{d}x
A. 2^x+C
B. \ln2 \cdot 2^x+C
C. (\ln2)^2 \cdot 2^x+C
D. \dfrac{2^x}{(\ln2)^2}+C
E. \dfrac{2^x}{\ln 2}+C
\displaystyle\int \cos{\pi}\,\,\mathrm{d}x
A. -x+C
B. \sin{\pi}+C
C. \sin{\pi}
D. \dfrac{\sin{\pi x}}{\pi}+C
E. x+C
\displaystyle\int \sin{2x}\,\,\mathrm{d}x
A. -\cos{2x}+C
B. \cos{2x}+C
C. \dfrac{\cos{2x}}{2}+C
D. -\dfrac{\cos^2 x }{2}+C
E. -\dfrac{\cos{2x}}{2}+C
\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}\,\,\mathrm{d}x
A. \arcsin{x}+C
B. \ln(x^2+1)+C
C. \arctg{x}+C
D. -\arctg{x}+C
E. \arccos{x}+C
\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 {2x}}\,\,\mathrm{d}x
A. \dfrac{\tg2x}{2}+C
B. -\dfrac{\ctg2x}{2}+C
C. \dfrac{(\cos2x)^{-1}}{-2}+C
D. \ln(\cos^2 {2x})+C
E. \ln(\sin^2 {2x})+C
\displaystyle\int \frac{3}{\sqrt{3x-2}} \,\,\mathrm{d}x
A. \ln(\sqrt{3x-2})+C
B. 2\sqrt{3x-2}+C
C. 6\sqrt{3x-2}+C
D. -2(3x-2)^{-\frac{1}{2}}+C
E. -2(3x-2)^{\frac{1}{2}}+C
\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,\,\mathrm{d}x
A. x^2 \arctg x+C
B. 2\ln(x^2+1)+C
C. \ln(x^2+1)+C
D. -2\arctg{x}+C
E. 2\arctg{x}+C
\int \cos^2{x}\,\,\mathrm{d}x
A. 0.25\sin{2x}+0.5x+C
B. 0.5x-0.25\sin{2x}+C
C. 0.5\sin{2x}+0.5x+C
D. 0.5x-0.5\sin{2x}+C
E. \sin^2 x+C
F'(x)=3x^2+\sqrt x-\sin x; F(0)=7 бол F(x) нь аль вэ?
A. x^3+\displaystyle\frac 23x\sqrt x+\sin x+7
B. x^3+\displaystyle\frac 23x\sqrt x+\cos x+6
C. 3x^2+\displaystyle\frac23\sqrt x+\cos x+6
D. 3x^3+\displaystyle\frac 23\sqrt x+\cos x+6
F'(x)=\cos x+\cos 2x; F(\displaystyle\frac\pi 2)=2 бол F(x) нь аль вэ?
A. \displaystyle\frac 12\cos 2+\cos x+3
B. -\displaystyle\frac 12\sin 2x-\sin x+3
C. -\displaystyle\frac12\cos 2x-\cos x+\displaystyle\frac32
D. \displaystyle\frac 12\sin 2x +\sin x+1
\int(3x^2+2\sin2x)\,\mathrm{d}x=?
A. \frac13x^3-\cos 2x+C
B. x^3+\cos 2x+C
C. x^3-\sin 2x+C
D. \frac13x^3+2\sin 2x+C
E. x^3-\cos 2x+C
\displaystyle\int(x^2+\sin2x)\,\mathrm{d}x=?
A. \frac13x^3+\frac12\cos2x+C
B. \frac13x^3-\frac12\cos2x+C
C. \frac13x^3+\frac12\sin2x+C
D. 2x+2\cos2x+C
E. \frac13x^3-\cos2x+C
\int(3x^2+\sin3x)\,\mathrm{d}x=?
A. x^3+\dfrac13\cos 3x+C
B. x^3-\dfrac13\cos 3x+C
C. x^3+3\cos 3x+C
D. x^3-3\cos 3x+C
E. 3x^2-\dfrac13\cos x+C
\int(x^2+\sin3x)\,\mathrm{d}x=?
A. \dfrac13(x^2+\cos 3x)+C
B. 2x+3\cos 3x+C
C. \dfrac13x^3-\dfrac13\cos 3x+C
D. x^3-\dfrac13\cos 3x+C
E. \dfrac13x^2+\cos 3x+C
\displaystyle2\int\cos5x \,\mathrm{d}x=?
A. \cos^25x+c
B. -2\sin x+c
C. -2\sin5x+c
D. \dfrac{2\sin 5x}{5}+c
E. \dfrac{\cos^2 5x}{5}+c
\displaystyle\int (\sqrt{x}+1)(\sqrt[3]{x}-1)\,\mathrm{d}x=?
A. (\sqrt{x^3}+1)(\sqrt[3]{x^4}-1)+C
B. x^{\frac{11}{6}}-x^{\frac32}+x^{\frac43}-x+C
C. \frac{6x^{\frac{11}{6}}}{11}-\frac{2x^{\frac32}}{3}+\frac{3x^{\frac43}}{4}-x+C
D. 12(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[4]{x}-1)+C
E. (\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[4]{x}-1)+C
y=x+\dfrac{1}{\cos^2x} функцийн эх функц аль нь вэ?
A. x^2-\tg x+C
B. x^2+\tg x+C
C. \dfrac{x^2}{2}+\tg x+C
D. \dfrac{x^2}{2}+\ctg x+C
E. \dfrac{x^2}{2}-\ctg x+C
x^2+2x+1 функцийн эх функцийг ол.
A. 2x+2
B. x^3+2x^2+x+C
C. \frac{x^3}3+x^2+x+C
D. \frac{x^3}3+2x+1+C
E. 2x+2+C
x^2-4x+2 функцийн эх функцийг ол.
A. 2x-4
B. x^3-2x^2+2x+C
C. 2x-4+C
D. \frac{x^3}3-4x+2+C
E. \frac{x^3}3-2x^2+2x+C
\displaystyle\int\dfrac{dx}{\cos^2x\cdot\sin^2x} интеграл бод.
A. \dfrac{1}{\cos^2x}+\dfrac{1}{\sin^2x}+C
B. \tg x-\ctg x+C
C. -\tg x+\ctg x+C
D. \dfrac{1}{\cos^2x}+\dfrac{1}{\sin^2x}+C
E. \tg x+\ctg x+C
Уламжлал нь \cos3x байх функц аль нь вэ?
A. \dfrac{\cos^23x}{2}+C
B. -\sin x+C
C. -\sin3x+C
D. \dfrac{\cos^23x}{6}+C
E. \dfrac{\sin 3x}{3}+C
Уламжлал нь \sin2x байх функц аль нь вэ?
A. -\dfrac{\cos2x}{2}+C
B. -\cos2x+C
C. \cos2x+C
D. \dfrac{\sin^22x}{2}+C
E. \dfrac{\sin^2 2x}{2}+C
\displaystyle\int2e^{2x}\,\mathrm{d}x интеграл бод.
A. 2e^{2x}+C
B. \dfrac{e^{2x}}{4}+C
C. 4^{2x-1}+C
D. e^{2x}+C
E. \dfrac{e^{2x}}{2}+C
2e^{2x} нь доорх функцүүдийн алиных нь уламжлал болох вэ?
A. y=2e^{2x}
B. y=\dfrac{e^{2x}}{4}
C. y=4^{2x-1}
D. y=e^{2x}
E. y=\dfrac{e^{2x}}{2}
e^{2x} нь доорх функцүүдийн алиных нь уламжлал болох вэ?
A. y=2e^{2x}
B. y=\dfrac{e^{2x}}{4}
C. y=4^{2x-1}
D. y=e^{2x}
E. y=\dfrac{e^{2x}}{2}
\displaystyle\int2e^{6x}\,\mathrm{d}x интеграл бод.
A. 12e^{6x-1}+C
B. \dfrac{e^{6x}}{2}+C
C. \dfrac{e^{6x}}{3}+C
D. 2e^{6x}+C
E. \dfrac{e^{6x}}{6}+C
\displaystyle\int \cos{\pi}\,\,\mathrm{d}x
A. -x+C
B. \sin{\pi}+C
C. \sin{\pi}
D. \dfrac{\sin{\pi x}}{\pi}+C
E. x+C
\displaystyle\int \frac{1}{x^2} \,\,\mathrm{d}x= ?
A. -\dfrac{1}{x}+C
B. \ln x^2+C
C. \dfrac{x^{-3}}{-3}+C
D. (\ln x)^2+C
E. \dfrac{1}{x}+C
\displaystyle\int \frac{3}{\sqrt{3x-2}} \,\,\mathrm{d}x
A. \ln(\sqrt{3x-2})+C
B. 2\sqrt{3x-2}+C
C. 6\sqrt{3x-2}+C
D. -2(3x-2)^{-\frac{1}{2}}+C
E. -2(3x-2)^{\frac{1}{2}}+C
\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{2x}-e^{\frac{x}{2}}\right)dx интегралыг бод.
A. \ln 2x-2e^{\frac{x}{2}}+C
B. \dfrac{\ln x}{2}-2e^{\frac{x}{2}}+C
C. \dfrac{\ln x}{2}-\dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{2}+C
D. \dfrac{\ln 2x}{2}-e^{\frac{x}{2}}+C
E. \dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{2x}+xe^x+C
f(x)=3x^2-ийн бүх эх функцыг ол.
A. 6x
B. 6x+1
C. x^3+C
D. \dfrac{x^3}{3}+C
E. \dfrac{x^2}{2}+C
f^\prime(x)=\dfrac{1}{x^2-5x+6}, f(4)=-\ln2 бол f(x) функцийг ол.
A. f(x)=\ln\left|\dfrac{x+3}{x-2}\right|-2\ln 2
B. f(x)=\ln\left|\dfrac{x-3}{x-2}\right|+C
C. f(x)=\ln\left|\dfrac{x+3}{x+2}\right|
D. f(x)=\ln\left|\dfrac{x-3}{x-2}\right|
E. f(x)=\ln\left|\dfrac{x-3}{x-2}\right|+2\ln2
222^{555} тоог 7-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
A. 6
B. 5
C. 3
D. 1
E. 0
f'(x)=4x^2+9x^{-2}, f(1)=\dfrac 43 бол f(x)=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}x^3-\dfrac{\fbox{c}}{x}+\fbox{d} байна.
f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-4x+\displaystyle\frac 13, f(2)=1 бол f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{\fbox{a}\,2}-\fbox{b}\,x^2+\displaystyle\frac{x}{\fbox{c}}+\fbox{d} байна.
f(x)=x^4 функцийн M_0(-1;1) цэгийг дайрч гарсан эх функц нь F(x)=\displaystyle\frac{x^{\fbox{a}}+\fbox{b}}{\fbox{c}} болно.
f(x)=\sin 2x функцийн M_0(0;1) цэгийг дайрч гарсан эх функц нь F(x)=\displaystyle\frac{\fbox{a}-\cos \fbox{b}x}{\fbox{c}} болно.