Огторгуйн геометр

Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай ба түүнд багтсан кубийн гадаргуугийн талбайн харьцааг ол.

Хажуу ирмэгийн урт нь

$a$ -тай тэнцүү зөв гурвалжин пирамид бөмбөрцөгт багтсан байв. Пирамидын хажуу ирмэг суурийн хавтгайтаагаа

$\alpha$ өнцөг үүсгэдэг гэвэл бөмбөрцөгийн гадаргуугийн талбай ба пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Дөрвөн ижил бөмбөрцөгийн эзлэхүүнүүдийн нийлбэр тав дахь бөмбөрцөгийн эзлэхүүний хагастай тэнцүү бөгөөд гадаргуугийн талбайн нийлбэр нь тав дахь бөмбөлөгийн гадаргуугийн талбайн хагасаас

$10$ м.кв-аар их байв. Тав дахь бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай

Нэг бөмбөрцөг гадаргуугийн талбай

$43$ . Үүнээс

$27$ дахин их эзлэхүүнтэй бөмбөрцөг гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$361$ B.

$429$ C.

$208$ D.

$387$ E.

$109$

Бодлого №2053

Хайрцганд 13 улаан, 17 цагаан бөмбөлөг байна. Дараахи үйлдлүүдийг ямар ч дарааллаар, хэдэн ч удаа хийж болно. Үүнд: а/ улаан бөмбөлөгний тоог 2-оор нэмэхийн хажуугаар цагаан бөмбөлөгний \noindent тоог 1-ээр багасгах, б/ улаан бөмбөлөгний тоог 1-ээр нэмэхийн хажуугаар цагаан бөмбөлөгний тоог 2-оор нэмэх в/ улаан бөмбөлөгний тоог 2-оор багасгахын хажуугаар цагаан бөмбөлөгний тоог 1-ээр нэмэх+г/ улаан бөмбөлөгний тоог 1-ээр багасгахын хажуугаар цагаан бөмбөлөгний тоог 2-оор багасгах. Ийм үйлдлүүдийг хийснээрээ хайрцганд улаан бөмбөлөгнөөс 37, цагаанаас 43 байлгаж болох уу? Үндэслэлтэй хариу өгнө үү.

Бодлого №2250

Бөмбөрцөгт хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндр багтжээ. Хэрвээ бөмбөрцөгийн радиус 5 см бол бөмбөрцөгийн эзлэхүүнийг цилиндрийн суурийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2255

$R$ радиустай бөмбөрцөгт хамгийн их хажуу гадаргуутай цилиндр багтсан бол энэ цилиндрийн эзлэхүүнийг ол

Бодлого №2824

Бөмбөрцгийг багтаасан зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр бөмбөрцгийн диаметраас дөрөв дахин их бол пирамид ба бөмбөрцгийн эзлэхүүний харьцааг ол.

Бодлого №2829

Бөмбөрцөгт багтсан пирамидын суурь нь 10 диагоналтай тэгш өнцөгт. Пирамидын хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай

$\beta$ өнцөг үүсгэдэг бол бөмбөрцгийн бүтэн гадаргуугийн талбай ба эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2837

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг

$\sqrt 6$ , суурийг багтаасан тойргийн радиус

$\sqrt2$ бол пирамидыг багтаасан бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2864

$R$ радиустай бөмбөрцөгт зөв гурвалжин призм багтаасан бөгөөд призмын өндөр нь

$H$ бол эзлэхүүнийг нь ол.

Бодлого №2873

$ABC A_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмын хажуу ирмэгүүд

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ ба суурь нь адил талт

$ABC$ гурвалжин болно. Түүнчлэн призмийн бүх ирмэгүүд ижилхэн

$6$ урттай.

$P$ ба

$Q_1$ цэгүүд

$BC$ ба

$A_1C_1$ ирмэгүүдийг

$BP:PC=A_1Q_1: Q_1C_1=1:2$ харьцаагаар хуваана.

$ABB_1A_1$ ба

$ACC_1A_1$ хавтгайг шүргэх,

$PQ_1$ хэрчим дээр төвтэй бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2884

$a=b=10$ см,

$c=12$ см талууд бүхий гурвалжин 5 см радиустай бөмбөрцөгтөй шүргэлцжээ. Бөмбөрцгийн төвөөс гурвалжны хавтгай хүртлэх зайг ол.

Бодлого №2885

Конуст багтсан бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай конусын суурийн талбайтай тэнцүү. Конусын тэнхлэг огтлолын оройн өнцгийн косинусыг ол.

Бодлого №2887

Конусын тэнхлэг огтлол нь адил талт гурвалжин бол конусын эзлэхүүн ба түүнд багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүний харьцааг ол.

Бодлого №2889

Диаметр нь

$d=4$ см, өндөр

$h=4$ см бүхий метал цилиндрийг хайлуулж бөмбөлөг хийв. Бөмбөлөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2891

Цилиндрт бөмбөрцөг багтав. Цилиндрийн эзлэхүүн

$7.5$ бол түүнд багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2892

Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай ба түүнд багтсан кубийн гадаргуугийн талбайн харьцааг ол.

Бодлого №2893

$2a$ урттай гипотенуз бүхий адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг нь тойруулан эргүүлэх үед үүссэн биетийн эзлэхүүнтэй ижил эзлэхүүн бүхий бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2896

1 талтай кубэд конус багтсан бөгөөд түүний орой нь кубийн нэг оройтой давхцаж байв. Кубийн гурван тал конусын хажуу гадаргатай шүргэлцэнэ. Харин кубэд багтсан бөмбөрцөг конусын суурьтай шүргэлцэнэ. Конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2898

Бөмбөрцгийн нэг цэгээс татсан 3 хөвчийн урт

$a$ . Хөвчүүдийн хоорондын өнцөг

$60^\circ$ бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2899

Ерөнхий суурьтай хоёр конусаас тогтсон биетэд бөмбөрцөг багтжээ. Хэрэв конусын суурийн радиус 1, өндөр нь 1 ба 2 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2900

Хажуу ирмэгийн урт нь

$a$ -тай тэнцүү зөв гурвалжин пирамид бөмбөрцөгт багтсан байв. Пирамидын хажуу ирмэг суурийн хавтгайтаагаа

$\alpha$ өнцөг үүсгэдэг гэвэл бөмбөрцөгийн гадаргуугийн талбай ба пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2901

Дөрвөн ижил бөмбөрцөгийн эзлэхүүнүүдийн нийлбэр тав дахь бөмбөрцөгийн эзлэхүүний хагастай тэнцүү бөгөөд гадаргуугийн талбайн нийлбэр нь тав дахь бөмбөлөгийн гадаргуугийн талбайн хагасаас

$10$ м.кв-аар их байв. Тав дахь бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2903

Конусын байгуулагчийн урт

$l$ , суурьт налсан өнцөг

$\alpha$ бол уг конуст багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2904

Бөмбөрцгийн эзлэхүүн

$4$ дм.куб. Уг бөмбөрцөгт багтсан цилиндрийн байгуулагч бөмбөрцгийн төвөөс

$60^\circ$ өнцгөөр харагддаг бол цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2906

Конусын тэнхлэг огтлол нь адил талт гурвалжин бөгөөд конуст багтсан бөмбөрцөгийн радиус

$r=2$ см бол конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2908

2 см суурийн радиустай конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 1 см бол конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2922

1 талтай кубийн оройнууд нь ижил радиустай бөмбөрцгүүдийн төв болно. Бөмбөрцгүүдийн гадна орших кубийн эзлэхүүн

$1/2$ бол кубийн ирмэгийн ямар хэсэг бөмбөрцгийн дотор байрлах вэ?

Бодлого №2925

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SO$ өндөр нь

$H$ -тай тэнцүү. Харин

$ASC$ (

$AS$ ба

$CS$ эсрэг байрлах хажуу ирмэгүүд) өнцөг

$2\alpha$ .

$K$ цэг

$SO$ шулуун дээр орших ба

$SK:SO_1=1:3$ (

$O_1$ -пирамидын багтсан бөмбөрцгийн төв) гэсэн харьцаагаар байрлана. Пирамидын суурьтай параллель,

$K$ цэгийг дайран гарах хавтгайгаар үүсэх огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2926

$ABCD A_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг нь

$a$ -тай тэнцүү.

$AA_1$ ,

$BB_1$ ирмэгийн дундаж цэгүүд ба

$A$ ,

$C_1$ оройг дайран гарах бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2927

$ABCD A_1B_1C_1D_1$ кубийн

$A$ орой,

$AB$ ба

$AD$ талуудын дундажыг дайрах бөмбөрцөг

$A_1B_1C_1D_1$ талстай шүргэлцэнэ. Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай ба кубийн бүтэн гадаргуугийн талбайн харьцааг ол.

Бодлого №2929

$MABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь

$AB=a$ ,

$AD=b$ талуудтай

$ABCD$ тэгш өнцөгт байв.

$MAD$ ба

$MAB$ талсууд суурийн хавтгайтай перпендикуляр, харин

$MDC$ талс

$45^\circ$ -ийн өнцөгөөр налдаг бол пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2930

$R$ радиустай гурван бөмбөрцөг бие биетэйгээ шүргэлцэж бөгөөд тус бүрдээ конусын хажуу гадаргууг шүргэнэ. Бөмбөрцгийн төвүүд конусын гадна орших бөгөөд конусын өндөр шарын төвүүд орших

$\alpha$ хавтгайтай перпендикуляр. Конусын өндөр ба байгуулагчуудын хоорондох өнцөг

$\varphi$ бол конусын оройгоос

$\alpha$ хавтгай хүртлэх зайг ол.

Бодлого №2939

Пирамидын суурь нь

$a$ талтай зөв гурвалжин. Түүний нэг хажуу талс нь суурьтайгаа ижил гурвалжин бөгөөд түүнд перпендикуляр байв. Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2940

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгдөв. Хэрэв кубийн ирмэгийн урт 1 бол

$AD$ ,

$DD_1$ ,

$CD$ ирмэгүүд болон

$BC_1$ шулууныг шүргэх бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2943

Гурвалжин пирамидын

$A$ ба

$B$ оройг дайрсан,

$AS$ ба

$BS$ ирмэгүүдийг харгалзан

$M$ ба

$N$ цэгт огтлох бөмбөрцөг байгуулав.

$B$ ба

$N$ цэгүүдийг дайруулан

$SC$ ирмэгийг

$P$ ба

$Q$ цэгт огтлох бөгөөд

$PQ=\dfrac13SC$ байх өөр нэг бөмбөрцөг байгуулав. Хэрэв

$M$ нь

$SA$ ирмэгийн дундаж цэг бөгөөд

$SC=\dfrac32SA$ бол

$SC$ хэрчим

$QC$ (

$QC< PC$ ) хэрчмийн ямар хэсэгтэй тэнцэх вэ?

Бодлого №2944

Пирамидын өндөр 5, суурийн талууд 7, 8, 9. Нэгэн бөмбөрцөг түүний бүх хажуу талсыг суурийн тал дээр орших цэгээр шүргэх бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2945

Гурван параллель шулуун

$O$ төвтэй бөмбөрцгийг

$A$ ,

$B$ ,

$C$ цэгүүдэд шүргэнэ. Хэрэв

$OBC$ гурвалжны талбай 4,

$ABC$ гурвалжны талбай 16-аас их бол

$BAC$ өнцгийн хэмжээг ол.

Бодлого №2947

$ABCD$ пирамидын

$AC$ ,

$BC$ ,

$DC$ ирмэгүүд харилцан перпендикуляр бөгөөд

$AC=BC=DC=4$ байв.

$AB$ ирмэгийн дундаж цэг

$N$ ,

$AD$ ирмэг дээр

$M$ цэг орших бөгөөд

$AM:MD=3$ .

$CN$ шулуун дээр төвтэй бөмбөрцөг

$AD$ ирмэгийг

$M$ цэгт шүргэнэ. Бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2954

$PQ$ хэрчим

$ABCD$ тэгш өнцөгтийн орших хавтгайд перпендикуляр ба

$KL=1$ ,

$PQ=3$ байв.

$ABCD$ тэгш өнцөгтийн бүх талууд ба

$KP$ ,

$LP$ ,

$NQ$ ,

$MQ$ ,

$PQ$ хэрчмүүд бүгд нэг бөмбөрцгийг шүргэж байсан бол энэ бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2955

$SABC$ пирамидын

$SH$ өндрийн суурь

$H$ цэг нь

$ABC$ гурвалжны

$CM$ медиан дээр орших бөгөөд

$SH$ өндрийн дундаж цэг

$O$ нь

$S$ орой,

$SA$ ирмэг дээрх

$E$ цэг,

$SB$ ирмэг дээрх

$F$ цэгүүдээс нэгэн ижил зайд алслагдаж байв. Хэрэв

$SH=8$ ,

$AB=16\sqrt2$ ,

$EF=8\sqrt{\dfrac25}$ ,

$SMC$ өнцгийн хэмжээ

$30^\circ$ -ээс хэтрэхгүй,

$AB$ ба

$SC$ хэрчмүүдийн дундаж цэгүүд

$4\sqrt{13}$ зайтай бол

$SABC$ пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2959

$KLMN$ гурвалжин пирамидад багтсан бөмбөрцгийн төв нь түүний нэг талсыг уг талсад багтсан гурвалжны төв цэгт шүргэнэ. Хэрэв

$MK=\dfrac45$ ,

$\angle NMK=\dfrac\pi2$ ,

$\angle KML=3\arcctg\dfrac13$ ,

$\angle NML=\dfrac\pi2-\arcctg\dfrac13$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2960

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь

$ABCD$ ромбо байв. Уг ромбын

$A$ өнцөг хурц, өндөр нь 4 ба

$S$ оройн суурь дээрх ортогнал проекц нь ромбын диагоналуудын огтлолцлын цэг болж байв. Хэрэв 2 радиустай бөмбөрцөг пирамидын бүх талсыг шүргэх бөгөөд уг бөмбөрцгийн төвөөс

$AC$ шулуун хүртэлх зай нь

$\dfrac{2\sqrt2}3AB$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2961

Призмийн суурь нь

$\sqrt3$ талтай

$ABC$ зөв гурвалжин.

$AD$ ,

$BE$ ,

$CF$ хажуу ирмэгүүд нь суурьтаа перпендикуляр.

$\dfrac72$ радиустай бөмбөрцөг

$ABC$ хавтгай ба

$AE$ ,

$BF$ ,

$CD$ хэрчмүүдийн үргэлжлэлүүдийг харгалзан

$A$ ,

$B$ ,

$C$ цэгийн талд нь шүргэж байв. Призмийн хажуу ирмэгийн уртыг ол.

Бодлого №2964

$SPQRT$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SO$ өндрийн урт

$h$ ,

$SP$ хажуу ирмэг нь

$PQRT$ хавтгайтай

$\gamma$ өнцөг үүсгэнэ. Пирамидын суурийн хавтгайнууд болон бүх хажуу ирмэгийг шүргэсэн бөмбөрцөг ба пирамидын бүх оройгоос ижил зайд алслагдсан хавтгай хоёрын огтлолцолд үүсэх тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2965

$\dfrac\pi3$ хэмжээтэй хоёр талст өнцөг дотор бие биеэ шүргэх хоёр бөмбөрцөг багтав. Нэг дэх бөмбөрцгийн нэг дэх талсыг шүргэх цэг нь

$A$ , хоёр дахь бөмбөрцгийн хоёр дахь талсыг шүргэх цэг нь

$B$ байв. Хэрэв

$AB$ хэрчмийн нэг ба хоёр дахь бөмбөрцгүүдийг огтлох цэгүүд нь харгалзан

$K$ ба

$L$ бол

$AK:KL$ харьцааг ол.

Бодлого №2966

Хавгай дээр нэг ерөнхий байгуулагчтай

$r$ радиустай 2 цилиндр хэвтүүлж тавив. Эдгээр цилиндр дээр тэнхлэгүүд нь дээрх цилиндрүүдийн тэнхлэгүүдтэй перпендикуляр бөгөөд бие биеэ байгуулагчаараа шүргэх

$R$ радиустай 2 цилиндрийг мөн хэвтүүлж тавив. Бүх дөрвөн цилиндрийг шүргэх бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2967

$SABC$ (

$S$ нь оройн цэг) зөв гурвалжин пирамидад багтсан бөмбөрцөг нь

$KL=LM=\sqrt{6}$ байх

$KLMK_1L_1M_1$ шулуун, гурвалжин призмд багтах ба

$KK_1$ ирмэг

$AB$ шулуун дээр байрлаж байв. Хэрэв

$SC$ ирмэг

$LL_1M_1M$ хавтгайтай параллель бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2969

Хавтгай дээр бие бие шүргэх

$r$ радиустай 2 бөмбөрцөг ба тэдгээрийг шүргэх

$R$ (

$R>r$ ) радиустай цилиндр байрлаж байв. Цилиндр нь хавтгайг өөрийн байгуулагчаар шүргэх бол хавтгай, цилиндр ба 2 бөмбөрцгийг шүргэх бөмбөрцгүүдээс бага радиустай бөмбөрцгийнх нь радиусыг ол.

Бодлого №2970

Огторгуйд

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ ,

$S$ цэгүүд өгөгдөв.

$SQ$ ба

$PR$ хэрчмүүдийн дундаж цэгүүд өгөгдсөн бөмбөрцөг дээр байрлах ба

$PS$ ,

$PQ$ ,

$QR$ ба

$SR$ хэрчмүүд тус бүрдээ бөмбөрцгөөр

$1:2:1$ харьцаатай хэсгүүдэд хуваагдаж байв. Бөмбөрцгийн радиус

$r$ бол

$P$ цэгээс

$QR$ шулуун хүртэлх зайг ол.

Бодлого №2975

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг

$9$ . Харгалзан

$BC$ ,

$CD$ ,

$CC_1$ хэрчмүүд дээр орших

$M$ ,

$N$ ,

$K$ цэгүүдийг дайруулан хавтгай татав.

$MCK$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 1,

$MNC$ гурвалжины талбай

$\dfrac{21}2$ ,

$CN$ ба

$CK$ хэрчмүүдийн уртуудын ялгавар 3,

$MNKC$ пирамидын эзлэхүүн 15-аас бага гэдэг нь мэдэгдэж байв.

$MNK$ гурвалжны хавтгай ба

$A_1$ оройг агуулсан гурван талсыг шүргэх бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2976

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг

$1$ .

$DC$ болон

$BC$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд нь харгалзан

$K$ ба

$N$ .

$M$ цэг

$CC_1$ ирмэг дээр

$MC=\dfrac34$ байхаар байрлана.

$M$ ,

$N$ ,

$K$ цэгүүдийг дайрч,

$BB_1D_1D$ хавтгайг шүргэх бөмбөрцгийн радиусын боломжит хамгийн их утгыг ол.

Бодлого №10231

4 ба 5 нэгж радиустай бөмбөрцөгийн төвүүдийн хоорондох зай 3 нэгж бол ерөнхий хэсгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №10708

Нэгж радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их хажуу гадаргуутай конусын суурийн радиусыг ол.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн

Интеграл ашиглан дараах биеийн эзлэхүүнийг ол.

$r$ радиустай, $h$ өндөртэй конусын эзлэхүүн;
$r$ радиустай бөмбөрцгийн эзлэхүүн.

ММО-26, X-B2, Нэргүй

$2k-1$ талстад

$k$ радиустай бөмбөрцөг багтаажээ (

$\mathbb N\ni k\ge2$ ). Тэгвэл хоорондох зай нь

$2k+1$ -ээс их байх 2 цэг уг талст дээрээс олдоно гэж батал.

ЭЕШ 2006 A №17

$A; B; C$ цэгүүд бөмбөрцөг дээр байрлах ба төвөөс

$(ABC)$ хавтгай хүрэх зай

$12$ ,

$AB=6$ ,

$BC=8$ ,

$AC=10$ бол бөмбөрцөгийн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$676\pi$ B.

$484\pi$ C.

$289\pi$ D.

$784\pi$ E.

$(6+8+10)\pi/12$

ЭЕШ 2006 C №17

$A$ ,

$B$ ,

$C$ цэгүүд бөмбөрцөг дээр байрлах ба төвөөс

$(ABC)$ хавтгай хүртэлх зай

$24$ ,

$AB=12$ ,

$BC=16$ ,

$AC=20$ бол бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$4072\pi$ B.

$2704\pi$ C.

$2074\pi$ D.

$100\pi$ E.

$(12+16+20)\pi/24$

ЭЕШ 2008 E1 №17

3 радиустай бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт призмийн өндөр 4 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг призмийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac45\pi$ B.

$\dfrac9{10}\pi$ C.

$\dfrac{9}{20}\pi$ D.

$\dfrac{6\pi}{5}$ E.

$\dfrac{3\pi}{5}$

ЭЕШ 2008 E №16

6 радиустай бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт призмийн өндөр 9 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг призмийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac{32}{63} \pi$ B.

$\dfrac{64}{63} \pi$ C.

$\dfrac{16}{21} \pi$ D.

$\dfrac{8}{21} \pi$ E.

$\dfrac{32}{21} \pi$

ЭЕШ 2010 A №14

Бөмбөрцөгт багтсан зөв гурвалжин пирамидын суурь нь бөмбөрцгийн төвийг дайрч байв. Бөмбөрцгийн радиус

$2\sqrt3$ -тай тэнцүү. Пирамидын эзлэхүүнийг ол.

A.

$4\sqrt3$ B.

$16$ C.

$20$ D.

$19$ E.

$18$

ЭЕШ 2014 A №36

$6$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй конусын суурь бөмбөрцгийн төвөөс ямар зайд орших вэ?

A. 6 см B. 5 см C. 4 см D. 3 см E. 2 см

Хамгийн их хажуу гадаргуутай багтсан цилиндр

$R$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их хажуу гадаргуутай цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\pi R^3$ B.

$\dfrac{\pi R^3}{\sqrt2}$ C.

$\dfrac{\pi R^3}{\sqrt3}$ D.

$\dfrac{\pi R^3}{\sqrt4}$ E.

$R^3$

Бодлого №4697

3 см радиустай бөмбөрцөгийн эзлэхүүн

$A$ см.куб, гадаргын талбай

$B$ см.кв, 3 см суурийн радиустай 6 см өндөртэй конусын эзлэхүүн

$C$ см.куб бол зөв өгүүлбэрийг сонго.

A.

$B< A< C$ B.

$C< B< A$ C.

$C< A=B$ D.

$A=B< C$ E.

$C=A< B$

Бөмбөрцөг багтаасан цилиндр

Цилиндрт багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүн нь 168 бол цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

A. 222 B. 162 C. 248 D. 252 E. 192

Призмд багтсан бөмбөрцөг

Зөв гурвалжин призмд бөмбөрцөг багтах бөгөөд призмийн бүтэн гадаргуугийн талбай

$2\sqrt3$ бол багтсан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$\dfrac13$ B.

$\dfrac12$ C.

$1$ D.

$\dfrac43$ E.

$2$

Бодлого №4814

Суурийн радиус нь 3, өндөр нь 4 байх конуст багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\pi$ B.

$4.5\pi$ C.

$\dfrac{32\pi}{3}$ D.

$\dfrac{\pi}{6}$ E.

$\dfrac{2\pi}{3}$

Конуст багтсан бөмбөрцөгийн эзлэхүүн

Өндөр нь 4, суурийн радиус нь 3 байх конус өгөгдөв. Уг конусын эзлэхүүнийг түүнд багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$7:4$ B.

$2:1$ C.

$3:1$ D.

$8:3$ E.

$11:4$

Хамгийн их эзлэхүүнтэй багтсан цилиндр

$C\colon x^2+y^2+z^2=6$ бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийн суурийн радиусыг ол.

A.

$1$ B.

$2$ C.

$3$ D.

$4$ E.

$5$

Бөмбөрцөгт багтсан конус

$5$ радиустай бөмбөрцөгт

$8$ өндөртэй конус багтжээ. Конусын эзлэхүүнийг бөмбөрцгийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac{16}{125}$ B.

$\dfrac{32}{125}$ C.

$\dfrac{96}{125}$ D.

$\dfrac{32}{125}$ E.

$\dfrac{8}{25}$

Цилиндрт багтсан бөмбөрцөг

Цилиндрт багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүн нь

$168$ бол цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$222$ B.

$162$ C.

$248$ D.

$252$ E.

$192$

Бөмбөрцгийн эзлэхүүн

Их дугуйн талбай

$144\pi$ байх бөмбөрцөгийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$288\pi$ B.

$576\pi$ C.

$1296\pi$ D.

$2304\pi$ E.

$2500\pi$

Шүргэгчийн урт

$A(-1;7;5\sqrt{2})$ цэгийг дайрсан шулуун

$x^2+y^2+z^2=64$ бөмбөрцөгийг

$B$ цэгт шүргэх бол

$AB$ хэрчмийн уртыг ол.

A.

$5$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$8$ E.

$9$

Бодлого №5851

Бөмбөрцөгийн төвөөс 4 см зайтай хавтгай татахад огтлолд нь 6 см диаметртэй дугуй үүсэв. Бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

A.

$5$ B.

$6$ C.

$\sqrt{20}$ D.

$\sqrt{52}$ E.

$8$

Бодлого №5852

Гүйцэд гадаргуугийн талбай 24 см

$^2$ байх кубэд багтсан бөмбөрцөгийн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$4\pi$ B.

$6\pi$ C.

$8\pi$ D.

$12\pi$ E.

$16\pi$

Бодлого №7518

Саванд 55 хүрэхгүй шар, хөх өнгийн бөмбөлөг байсан ба шар хөхийн харьцаа 3:2 байжээ. 6 бөмбөлөг авсны дараа энэ харьцаа 4:3 болсон бол анх бүгд хэдэн бөмбөлөг байсан бэ?

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

Бодлого №7993

Бөмбөрцгийн ямар нэг радиусын төгсгөлийг дайрсан

$\alpha$ хавтгайн бөмбөрцгөөс огтолсон огтлолын талбай түүний тэнхлэг огтлолын талбайгаас 2 дахин бага бол сонгосон радиус,

$\alpha$ хавтгайтай үүсгэх өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$30^\circ$ B.

$45^\circ$ C.

$60^\circ$ D.

$\arccos\frac13$

Бодлого №7994

Бөмбөрцөг дээрх цэгийг дайруулан хийсэн хоёр огтлолын талбайн нийлбэр нь бөмбөрцгийн тэнхлэг огтлолын талбайтай тэнцдэг бол огтлогч хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$30^\circ$ B.

$45^\circ$ C.

$60^\circ$ D.

$90^\circ$

Бодлого №7995

Конуст багтсан бөмбөрцөг конусын өндрийг оройгоос 1:4 харьцаагаар хуваана. Конусын байгуулагч суурийн хавтгайтай үүсгэх өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$75^\circ$ B.

$\arccos\dfrac35$ C.

$45^\circ$ D.

$60^\circ$ E.

$\arccos\dfrac23$

Бодлого №7996

Бөмбөрцөг багтаасан конусын байгуулагч суурийн хавтгайтай

$\alpha= \arccos\frac35$ хэмжээтэй өнцөг үүсгэдэг бол бөмбөрцөг конусын өндрийг оройгоос нь ямар харьцаагаар хуваах вэ?

A. 1:4 B. 1:3 C. 2:3 D. 3:5 E. 3:4

Бодлого №8011

Бөмбөрцгийн гадна байрлах

$M$ цэгийг дайрсан хавтгайгаар бөмбөрцгийг огтлоход үүсэх бүх огтлолын төвүүдийн геометр байрыг тодорхойл.

A. бөмбөрцөг B. бөмбөрцгийн сегментийн хажуу гадаргуу C. тойрог D. конусын хажуу гадаргуу

Бодлого №8012

Бөмбөрцгийн дотор (төвөөс ялгаатай) байрлах

$M$ цэгийг дайрсан хавтгайгаар бөмбөрцгийг огтлоход үүсэх огтлолын төвүүдийн геометр байрыг тодорхойл.

A. бөмбөрцөг B. бөмбөрцгийн сегментийн гадаргуу C. тойрог D. конусын хажуу гадаргуу

Бодлого №8013

$\alpha$ хавтгайгаас 1.5

$a$ зайд байрлах

$M$ цэгийг дайрч

$\alpha$ хавтгайг шүргэсэн

$a$ радиустай бөмбөрцгүүдийн төвийн геометр байрыг тодорхойл.

A. тойрог B. бөмбөрцөг C. 1 цэг D. хавтгай

Бодлого №8014

$\alpha$ хавтгайгаас

$2a$ зайд байрлах

$M$ цэгийг дайрч

$\alpha$ хавтгайг шүргэсэн

$1.5a$ радиустай бөмбөрцгүүдийн төвийн геометр байрыг ол.

A. 1 цэг B. бөмбөрцөг C. хавтгай D. тойрог

Бодлого №8033

Бөмбөрцгөөс радиустай нь тэнцүү зайд байгаа гэрэлтүүлэгч цэгээс бөмбөрцгийн гадаргуугийн хэдэн хувьд гэрэл тусах вэ?

A.

$50\%$ B.

$30\%$ C.

$25\%$ D.

$20\%$

Бодлого №8034

$26$ нэгж радиустай бөмбөрцгийн гадаргуу дээр 10 нэгж радиустай суурь бүхий (суурь нь онгорхой) конус тавихад бөмбөрцгийн гадаргуугийн хэдэн кв.нэгж талбай далдлагдах вэ?

A.

$144\pi$ кв.н. B.

$104\pi$ кв.н. C.

$100\pi$ кв.н. D. 16кв.н.

Бодлого №8057

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 18 нэгж, түүнд багтсан бөмбөрцгийн радиус 5 нэгж бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

A.

$1200$ B.

$1350$ C.

$2010$ D.

$2100$ E.

$2700$

Бодлого №8058

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр 18 нэгж, түүнд багтсан бөмбөрцгийн радиус 5 нэгж бол пирамидын суурийн талыг ол.

A. 15 B. 32 C.

$15\sqrt3$ D.

$17\sqrt2$

Бодлого №8065

Бөмбөрцөг багтаасан зөв зургаан өнцөгт призмийн өндөр 2 нэгж бол эзлэхүүн нь хэдэн куб нэгж вэ?

A.

$2\sqrt{3};$ B.

$3\sqrt{3};$ C.

$4\sqrt{3};$ D.

$5\sqrt{3}.$

Бодлого №8066

$\sqrt{3}$ нэгж радиустай бөмбөрцөг багтаасан зөв зургаан өнцөгт призмийн эзлэхүүн хэдэн куб нэгж байх вэ?

A.

$36$ B.

$24$ C.

$30$ D.

$20$ E.

$18$

Бодлого №8067

Хоёр ижил бөмбөрцөг нэг нь нөгөөгийнхөө төвийг дайрч байралсан байв. Тэдгээрийн ерөнхий хэсгийн эзлэхүүн нэг бөмбөрцгийн эзлэхүүний хэдий хэсэг болох вэ?

A.

$\dfrac{5}{16};$ B.

$\dfrac{7}{16};$ C.

$\dfrac{5}{12};$ D.

$\dfrac{5}{14}.$

Бодлого №8068

$R$ радиустай дугуйн

$120^{\circ}$ төв өнцөгтэй сектор тэгш хэмийн тэнхлэгээ тойрон эргэхэд үүсэх биеийн эзлэхүүн аль вэ?

A.

$\dfrac 25\pi R^3;$ B.

$\dfrac 23\pi R^3;$ C.

$\dfrac 13\pi R^3;$ D.

$\dfrac 35\pi R^3.$

Бодлого №8069

Бөмбөрцгийн секторт харилцан бие биеэ шүргэсэн 2дм, 6дм радиустай бөмбөрцгүүд багтжээ. Анхны бөмбөрцгийн радиус аль вэ?

A. 22дм B. 24дм C. 18дм D. 20дм.

Бодлого №8070

$R$ радиустай бөмбөрцгийн сегментэд багтсан бөмбөрцгийн гадаргуу нь сегментийн бүтэн гадаргуугаас 3 дахин бага бол сегментийн өндөр аль вэ?

A.

$\dfrac 12R;$ B.

$\dfrac 23R;$ C.

$\dfrac 34R;$ D.

$R.$

ЭЕШ 2011 C №9

Бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь бөмбөрцгийн төвийг дайрсан байв. Пирамидын эзлэхүүн 18-тэй тэнцүү бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$\sqrt3$ B.

$3$ C.

$4$ D.

$2$ E.

$\dfrac32$

ЭЕШ 2014 B №36

$8$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй конусын суурь бөмбөрцгийн төвөөс ямар зайд орших вэ?

A.

$2\dfrac13$ см B.

$2\dfrac23$ см C.

$8\dfrac37$ см D.

$\dfrac38$ см E.

$\dfrac37$ см

Кубийг багтаасан бөмбөрцөг

Кубийг багтаасан бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай

$75\pi$ бол кубийн ирмэгийг ол.

A.

$3$ B.

$4$ C.

$6$ D.

$5$ E.

$3\sqrt5$

ЭЕШ 2008 A №66

$9$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт призмийн өндөр 12 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг призмийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac{27}{5}\pi$ B.

$\dfrac{27}{20}\pi$ C.

$\dfrac{19}{10}\pi$ D.

$\dfrac{9}{10}\pi$ E.

$\dfrac{3}{10}\pi$

Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай

Нэг бөмбөрцөг гадаргуугийн талбай

$43$ . Үүнээс

$27$ дахин их эзлэхүүнтэй бөмбөрцөг гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$361$ B.

$429$ C.

$208$ D.

$387$ E.

$109$

ХИ хажуу гадаргуугийн талбайтай багтсан конус

$R=15$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их хажуу гадаргуугийн талбайтай шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын өндрийг ол.

A.

$30$ B.

$5$ C.

$10$ D.

$15$ E.

$20$

Бөмбөрцөг багтаасан цилиндр

Бөмбөрцөг багтаасан цилиндрийн эзлэхүүн

$255$ бол багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

A. 222 B. 170 C. 248 D. 252 E. 192

ЭЕШ 2010 B №14

Бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь бөмбөрцгийн төвийг дайрч байв. Пирамидын эзлэхүүн 18-тай тэнцүү бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$\sqrt3$ B.

$3$ C.

$4$ D.

$2$ E.

$\dfrac32$

ЭЕШ 2008 E1 №17

3 радиустай бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт призмийн өндөр 4 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг призмийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac45\pi$ B.

$\dfrac9{10}\pi$ C.

$\dfrac{9}{20}\pi$ D.

$\dfrac{6\pi}{5}$ E.

$\dfrac{3\pi}{5}$

Бодлого №13781

Суурийн радиус нь 3, өндөр нь 4 байх конуст багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\pi$ B.

$4,5\pi$ C.

$\dfrac{32\pi}{3}$ D.

$\dfrac{\pi}{6}$ E.

$\dfrac{2\pi}{3}$

ЭЕШ сорилго 2021 №1, Бодлого №35

2 см суурийн радиустай конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 1 см бол конусын эзлэхүүнийг ол.

A.

$\dfrac{32}9\pi$ см.куб B.

$3\pi$ см.куб C.

$\dfrac{35}{9}\pi$ см.куб D.

$4\pi$ см.куб E.

$\dfrac{4}{3}\pi$ см.куб

ЭЕШ 2007 A1 №29

Конуст бөмбөрцөг багтжээ. Байгуулагч нь бөмбөрцгийг шүргэсэн цэгээрээ оройгоос 8 нэгж, 12 нэгж урттай хэрчмүүдэд хуваагдсан байв.

Конусын өндөр нь $H=\fbox{ab}$ байна.
Бөмбөрцгийн радиус нь $R=\fbox{c}$ байна.
Конус дотроос санамсаргүйгээр нэг цэг авахад тэр нь бөмбөрцөг дотроос авагдсан байх магадлал нь $P(A)=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ .

ЭЕШ 2012 A №25

Гурвалжин пирамидын суурь нь

$30^\circ$ хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд уг пирамидын хажуу ирмэгүүд нь тэнцүү 6 нэгж урттай ба суурийн хавтгайтай

$45^\circ$ өнцөг үүсгэнэ.

Пирамидын өндөр $\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ (2 оноо)
Суурийн гурвалжны талбай $\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$ (2 оноо)
Пирамидын эзлэхүүн $\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}$ (1 оноо)
Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус нь $\fbox{g}\sqrt{\fbox{h}}$ (2 оноо)

Пирамидын эзлэхүүн

Суурь нь

$\sqrt{2}$ талтай зөв гурвалжин , хажуу ирмэгүүд нь бүгд

$1$ урттай байх гурвалжин пирамидын эзлэхүүн

$\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ ба энэ пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус

$\frac{\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{d}}$ байна.

Бодлого №4827

$ABCD$ тетраэдрийн

${AC=AB=AD=6,BC=BD=CD=6\sqrt{2}}$ байв.

Тетраэдрийн бүтэн гадаргуугийн талбай $\fbox{ab}+\fbox{cd}\sqrt{3}$ байна.
Тетраэдрийн эзлэхүүн $\fbox{ef}$ байна.
Тетраэдрт багтсан бөмбөрцгийн радиус $\fbox{g}-\fbox{h}\sqrt3$ байна.
$A$ цэгээс $(BCD)$ хавтгай хүртэлх зай $\fbox{i}\sqrt{\fbox{j}}$ байна.

Бодлого №4894

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурийн тал 2-той, хажуу ирмэг ба суурийн хавтгайн хоорондох өнцөг

$\arccos \dfrac1{\sqrt{5}}$ -тай тэнцүү.

$SA$ ,

$SD$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$E$ ,

$F$ цэгүүдийг

$AE=2\cdot ES$ ,

$DF=8\cdot SF$ байхаар аваад,

$E$ ба

$F$ цэгүүдийг дайрсан

$AB$ -тэй параллель

$\alpha$ хавтгайгаар пирамидыг огтлох огтлолыг байгуулав.

Огтлолын талбай $S=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{de}}$ байна.
$A$ цэгт төвтэй $\alpha$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөрцгийн радиус $R=\dfrac{\fbox{f}\cdot\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$ байна.
$\alpha$ ба $(ABC)$ хавтгайн хоорондох өнцөг $\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{k}}{\sqrt{\fbox{m}}}$ .

Тэгш өнцөгт пирамид

Суурь нь

$\sqrt{2}$ талтай зөв гурвалжин , хажуу ирмэгүүд нь бүгд

$1$ урттай байх гурвалжин пирамидын эзлэхүүн

$\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ ба энэ пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус

$\frac{\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{d}}$ байна.

Пирамид

Гурвалжин пирамидын суурь нь

$45^\circ$ хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд уг пирамидын хажуу ирмэгүүд нь тэнцүү

$4\sqrt3$ нэгж урттай ба суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол:

Пирамидын өндөр $\fbox{a}$
Суурийн гурвалжны талбай $\fbox{bc}$
Пирамидын эзлэхүүн $\fbox{de}$
Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус нь $\fbox{f}$ байна.

Бодлого №8085

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ (

$AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\parallel DD_1$ ) кубийн

$A_1D_1$ ирмэгийн дундаж ба

$B$ ,

$C$ ,

$C_1$ оройнуудыг дайрсан бөмбөрцөгийн радиус

$\sqrt{41}$ -тэй тэнцүү бол кубийн гадаргуун талбай

$\fbox{abc}$ байна.

Хамгийн их хажуу гадаргуутай багтсан конус

$R=5$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их хажуу гадаргуугийн талбайтай шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын өндөр нь

$H=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ байна.

Математикийн Сорилго, №11.4.Б нөхөх

$R=2$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их эзлэхүүнтэй шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын эзлэхүүн нь

$V=\dfrac{\fbox{abc}}{\fbox{de}}\cdot \pi$ байна.

Бодлого №8095

Эзлэхүүн нь 8-тай тэнцүү параллелепипед

$R=\sqrt{3}$ радиустай бөмбөлөгт багтжээ. Параллелепипедийн бүтэн гадаргуугийн талбай

$\fbox{ab}$ байна.

Тэнцэтгэл биш ашиглан бодох бодлого

Эзлэхүүн нь

$\dfrac{8\sqrt{3}}{9}$ -тай тэнцүү параллелепипед

$R=1$ радиустай бөмбөлөгт багтжээ. Параллелепипедийн бүтэн гадаргуугийн талбай

$\fbox{a}$ байна.

Бодлого №8103

Харгалзан 1; 2; 5 нэгж радиустай гурван бөмбөрцөг хос хосоороо шүргэлцэх бөгөөд тус бүрдээ

$\alpha, \beta$ хавтгайг шүргэж байхаар байрлажээ. I бөмбөрцгийн

$\alpha, \beta$ хавтгайтай шүргэлцэх цэгүүдийн хоорондох зай

$\dfrac{1}{\fbox{a}}\sqrt{\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}}}$ байна.

Бодлого №8104

Харгалзан 1; 3; 4 нэгж радиустай гурван бөмбөрцөг хос хосоороо шүргэж бөгөөд тус бүрдээ

$\alpha, \beta$ хавтгайг шүргэлцэж байхаар байрлажээ. I бөмбөрцгийн

$\alpha, \beta$ хавтгайтай шүргэлцэх цэгүүдийн хоорондох зай

$\dfrac{1}{\fbox{a}}\sqrt{\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}}}$ байна.

Бодлого №8111

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидад оройнууд нь давхцдаг байхаар шулуун дугуй конус багтжээ. Конусын суурийн радиус 6, конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 2-той тэнцүү бол пирамид ба конусын эзлэхүүний ялгавар

$\fbox{ab}\cdot(\fbox{c}-\pi)$ байна.

Бодлого №8112

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидад оройнууд нь давхцдаг байхаар шулуун дугуй конус багтжээ. Тэдгээрийн өндөр (ерөнхий)

$\dfrac 94$ -тэй, конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 1-тэй тэнцүү бол пирамид ба конусын эзлэхүүнхий ялгавар

$\fbox{ab}\cdot \left(\fbox{c}-\dfrac{\pi}{4}\right)$ байна.

Бодлого №8117

Зөв гурвалжин пирамид дотор хоёр бөмбөрцөг байрлажээ. Нэг нь

$r=5$ радиустай бөгөөд пирамидын суурь ба хажуу талсуудыг шүргэдэг байхаар, нөгөө нь I бөмбөрцгийг гадаад байдлаар болон пирамидын хажуу талсуудыг шүргэдэг байхаар байрлажээ. Пирамид нь хамгийн бага эзлэхүүнтэй гэж мэдэгдэж байгаа бол бөмбөрцгүүдийн эзлэхүүний нийлбэр

$\dfrac{\fbox{abc}}{\fbox{d}}\cdot \pi$ байна.

Бодлого №8118

Зөв гурвалжин пирамид дотор хоёр бөмбөрцөг байрлажээ. Нэг нь

$r=5$ радиустай бөгөөд пирамидын суурь ба хажуу талсуудыг шүргэдэг байхаар, нөгөө нь I бөмбөрцгийг гадаад байдлаар болон пирамидын хажуу талсуудыг шүргэдэг байхаар байрлажээ. Пирамид нь хамгийн бага эзлэхүүнтэй гэж мэдэгдэж байгаа бол хоёр дахь бөмбөрцгийн радиус

$R=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\cdot (\sqrt{\fbox{cd}}-1)$ байна.

Бодлого №8121

$r$ радиустай гурван бөмбөрцөг хос хосоороо гадаад байдлаар шүргэлцэх бөгөөд

$R (R>r)$ радиустай бөмбөрцгийг гадаад байдлаар шүргэнэ. Эдгээр дөрвөн бөмбөрцгийг шүргэсэн бөмбөрцгийн радиус

$\dfrac{R\cdot (R+r-\sqrt{R^2+\fbox{a}Rr-\dfrac{r^2}{\fbox{b}}})}{r+\sqrt{R^2+\fbox{c}\cdot Rr-\dfrac{r^2}{\fbox{d}}-R}}$ -тай тэнцүү.

Бодлого №8122

$r$ радиустай гурван бөмбөлөг хос хосоороо гадаад байдлаар шүргэлцэх бөгөөд

$R$ радиустай бөмбөлгийг дотоод байдлаар шүргэнэ.

$r$ радиустай гурван бөмбөлгийг гадаад байдлаар, харин

$R$ радиустай бөмбөлгийг дотоод байдлаар шүргэсэн бөмбөлгийн радиус

$\dfrac{R\left(R-r-\sqrt{R^2-\fbox{a}Rr-\dfrac{r^2}{\fbox{b}}}\right)}{r+R-\sqrt{R^2-\fbox{c}\cdot Rr-\dfrac{r^2}{\fbox{d}}}}$ -тай тэнцүү.

Бодлого №8241

$A(1;-6;0)$ цэгтэй,

$B(3;2;-2)$ цэгийг дайрсан шулуунуудын хувьд тэгшхэмтэй байрлах цэгүүдийн геометр байр нь

$(x-\fbox{a})^2+(y-\fbox{b})^2+(z+\fbox{c})^2=\fbox{de}$ тэгшитгэлтэй бөмбөрцөг байна.

Бодлого №8242

$A(-3;2;2)$ цэгтэй,

$B(1;0;-2)$ цэгийг дайрсан хавтгайнуудын хувьд тэгшхэмтэй байрлах цэгүүдийн геометр байр нь

$(x-\fbox{a})^2+(y-\fbox{b})^2+(z+\fbox{c})^2=\fbox{de}$ тэгшитгэлтэй бөмбөрцөг гадаргуу үүсгэнэ.

Бодлого №8243

$A(-1;0;2)$ цэгээс

$B(3;-2;-2)$ цэгийг дайрсан шулуунуудад буулгасан перпендикуляруудын суурийн геометр байр нь

$(x-\fbox{a})^2+(y+\fbox{b})^2+(z-\fbox{c})^2=\fbox{d}$ тэгшитгэлтэй бөмбөрцөг гадаргуу байна.

Бодлого №8244

$A(1;2;-3)$ цэгээс

$B(5;4;1)$ цэгийг дайрсан хавтгайнуудад буулгасан перпендикуляруудын суурийн геометр байр нь

$(x-\fbox{a})^2+(y-\fbox{b})^2+(z+\fbox{c})^2=\fbox{d}$ тэгшитгэлтэй бөмбөрцөг гадаргуу үүсгэнэ.

ЭЕШ 2007 A №29

Конуст бөмбөрцөг багтжээ. Байгуулагч нь бөмбөрцгийг шүргэсэн цэгээрээ оройгоос 8 нэгж, 12 нэгж урттай хэрчмүүдэд хуваагдсан байв.

Конусын өндөр нь $H=\fbox{ab}$ байна. $\text{a}$ ба $\text{b}$ нь хэд вэ?
Бөмбөрцгийн радиус нь $R=\fbox{c}$ болно. $\text{c}$ нь хэд вэ?
Конусын дотроос санамсаргүйгээр нэг цэг авахад тэр нь бөмбөрцөг дотроос авагдсан байх магадлал нь $P(A)=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ нь хэд вэ?

ЭЕШ 2012 B №25

Гурвалжин пирамидын суурь нь

$30^\circ$ хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд уг пирамидын хажуу ирмэгүүд тэнцүү 4 нэгж урттай ба суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэнэ.

Пирамидын өндөр: $\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$
Суурийн гурвалжны талбай: $\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$
Пирамидын эзлэхүүн: $\fbox{e}$
Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус нь $\dfrac{\fbox{f}}{\sqrt{\fbox{g}}}$ байна.

ЭЕШ 2014 B №40

$ABCDEFS$ зөв зургаан өнцөгт пирамид дотор 4 см радиустай бөмбөрцөг багтжээ. Апофем нь суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодолт:

$SOM$ -аас

$SO=8$ см. Иймд

$SK=12$ см болох ба

$SGK$ -аас $GK=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ см тул (2 оноо)
Суурийн талбай $S_c=\fbox{cd}\sqrt{\fbox{b}}$ см.кв болно. (3 оноо)
Эндээс пирамидын эзлэхүүн $V=\fbox{efg}\sqrt{\fbox{b}}$ см.куб (3 оноо)

$3$ -тийн тоог тоолох

Улаан уутан доторх 4 бөмбөлөг 1, 2, 3, 4 гэсэн дугаартай, цагаан уутан доторх 5 бөмбөлөг 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн дугаартай, шар уутан доторх 6 бөмбөлөг 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн дугаартай байв. Уут тус бүрээс нэг, нэг бөмбөлөг авахад бүгдээрээ тэгш дугаартай байх боломжийн тоо

$\fbox{ab}$ , бүгдээрээ сондгой дугаартай байх боломжийн тоо

$\fbox{cd}$ , дугааруудын нийлбэр 5-тай тэнцүү байх боломжийн тоо

$\fbox{e}$ , дугааруудын нийлбэр 10-тай тэнцүү байх боломжийн тоо

$\fbox{fg}$ , дугааруудын нийлбэр 15-тай тэнцүү байх боломжийн тоо

$\fbox{h}$ байна.

Геометр магадлал

Конуст бөмбөрцөг багтжээ. Байгуулагч нь бөмбөрцгийг шүргэсэн цэгээрээ оройгоос 8 нэгж, 12 нэгж урттай хэрчмүүдэд хуваагдсан байв.

Конусын өндөр нь $H=\fbox{ab}$ байна.
Бөмбөрцгийн радиус нь $R=\fbox{c}$ байна.
Конус дотроос санамсаргүйгээр нэг цэг авахад тэр нь бөмбөрцөг дотроос авагдсан байх магадлал нь $P(A)=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ .

Бодлого №8003

Квадратаас ялгаатай ромбын оройнуудаас ижил зайд алсагдсан огторгуйн цэгүүдийн геометр байр аль вэ?

A. Шулуун B. 1 цэг C.

$\emptyset$ D.

$A, B, C$ -д зөв хариу байхгүй.

Бодлого №8004

Квадратаас ялгаатай тэгш өнцөгтийн талуудаас ижил зайд алслагдсан огторгуйн цэгүүдийн геометр байр аль вэ?

A.

$\emptyset;$ B. 1 цэг C. Шулуун D.

$A, B, C$ -д зөв хариугүй.

Бодлого №8009

$AB=5$ нэгж байх

$A,B$ цэгүүд өгчээ. Нэгэн зэрэг

$A$ -аас 4 нэгж,

$B$ -ээс 3 нэгж зайд байрлах огторгуйн цэгүүдийн геометр байрыг тодорхойл.

A. тийм цэг байхгүй B. тойрог C. 1 цэг D. дугуй

Бодлого №8010

$AB=10$ нэгж байх

$A,B$ цэгүүд өгчээ. Нэгэн зэрэг

$A$ -аас 4 нэгж,

$B$ -ээс 6 нэгж зайд орших огторгуйн цэгүүдийн геометр байрыг тодорхойл.

A. тийм цэг байхгүй B. тойрог C. 1 цэг D. дугуй

Бодлого №2251

Конусын радиус 4дм, өнцөг нь 6дм бөгөөд түүнд хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийг багтаажээ. Цилинприйн өндрийг ол

Бодлого №2885

Конуст багтсан бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай конусын суурийн талбайтай тэнцүү. Конусын тэнхлэг огтлолын оройн өнцгийн косинусыг ол.

Бодлого №2886

Конусын байгуулагч

$\ell$ , суурийн өнцөг

$60^\circ$ бол түүний эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2887

Конусын тэнхлэг огтлол нь адил талт гурвалжин бол конусын эзлэхүүн ба түүнд багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүний харьцааг ол.

Бодлого №2888

Конусын эзлэхүүн 384. Конусын суурийн тойргийн урт 15 бол түүний тэнхлэг огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2890

Конусын өндөртөй

$30^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэн конусын оройг хэрчжээ. Конусын өндөр

$3\sqrt3$ см, суурийн радиус

$5$ см байсан бол огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2894

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр 4, түүний суурийг багтаасан тойргийн урт

$\sqrt3\pi$ . Уг пирамидад багтсан ба түүнийг багтаасан конусуудын эзлэхүүний зөрөөг ол.

Бодлого №2895

Конусын өндөр түүний суурийн диаметртэй тэнцүү. Конусын суурийн талбай ба хажуу гадаргуугийн талбайн харьцааны квадратыг ол.

Бодлого №2896

1 талтай кубэд конус багтсан бөгөөд түүний орой нь кубийн нэг оройтой давхцаж байв. Кубийн гурван тал конусын хажуу гадаргатай шүргэлцэнэ. Харин кубэд багтсан бөмбөрцөг конусын суурьтай шүргэлцэнэ. Конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2897

Конусын харилцан перпендикуляр хоёр байгуулагч суурийн тойргоо

$120^\circ$ ,

$240^\circ$ нумуудад хуваадаг. Конусын өндөр

$H$ бол түүний эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2898

Бөмбөрцгийн нэг цэгээс татсан 3 хөвчийн урт

$a$ . Хөвчүүдийн хоорондын өнцөг

$60^\circ$ бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2899

Ерөнхий суурьтай хоёр конусаас тогтсон биетэд бөмбөрцөг багтжээ. Хэрэв конусын суурийн радиус 1, өндөр нь 1 ба 2 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2902

Конусын хажуу гадаргуугийн дэлгээс

$\dfrac{6\pi}5$ төв өнцөгтэй 5 радиустай дугуйн сектор болно. Конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2903

Конусын байгуулагчийн урт

$l$ , суурьт налсан өнцөг

$\alpha$ бол уг конуст багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2905

Конусын эзлэхүүн

$V$ . Түүний өндрийг 3 тэнцүү хэсэгт хувааж, хуваалтын цэгүүдийг дайруулан суурьтай нь параллель хавтгайнууд татав. Дунд хэсгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2906

Конусын тэнхлэг огтлол нь адил талт гурвалжин бөгөөд конуст багтсан бөмбөрцөгийн радиус

$r=2$ см бол конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2908

2 см суурийн радиустай конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 1 см бол конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2930

$R$ радиустай гурван бөмбөрцөг бие биетэйгээ шүргэлцэж бөгөөд тус бүрдээ конусын хажуу гадаргууг шүргэнэ. Бөмбөрцгийн төвүүд конусын гадна орших бөгөөд конусын өндөр шарын төвүүд орших

$\alpha$ хавтгайтай перпендикуляр. Конусын өндөр ба байгуулагчуудын хоорондох өнцөг

$\varphi$ бол конусын оройгоос

$\alpha$ хавтгай хүртлэх зайг ол.

Бодлого №2931

$ABCD$ адил хажуут трапецын

$BC$ суурь нь

$MBCN$ ромбын тал болдог.

$BC=a$ ,

$AD=b$ (

$a< b< 2a$ ). Трапецийн хурц өнцөг

$30^\circ$ , ромбын хурц өнцөг

$60^\circ$ бол трапец ба ромбыг

$BC$ шулуунийг тойруулан хамтад нь эргүүлэхэд үүсэх биетийн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2933

Зөв гурвалжин пирамидын хажуу ирмэгт үүсэх хоёр талст өнцөг

$2\alpha$ -тай тэнцүү. Пирамидын өндөр

$H$ . Пирамидыг багтаасан конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2958

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамид ба суурийн төв цэг нь

$SO$ шулуун дээр (

$SO$ --- пирамидын өндөр) байрлах конус өгөгдөв.

$E$ цэг

$SD$ ирмэгийн дундаж ба

$F$ цэг

$AF=\dfrac32FD$ байхаар

$AD$ ирмэг дээр байрлана. Конусын нэг тэхлэг огтлолын гурвалжины хоёр орой нь

$CD$ шулуун дээр, гурав дахь орой нь

$EF$ шулуун дээр байв. Хэрэв

$AB=4$ ,

$SO=3$ бол конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №10708

Нэгж радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их хажуу гадаргуутай конусын суурийн радиусыг ол.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн

Интеграл ашиглан дараах биеийн эзлэхүүнийг ол.

$r$ радиустай, $h$ өндөртэй конусын эзлэхүүн;
$r$ радиустай бөмбөрцгийн эзлэхүүн.

ЭЕШ 2007 A1 №26

Талуудын урт нь

$\sqrt{17}+1$ ,

$6$ ,

$\sqrt{17}-1$ байх гурвалжин байв. Эдгээрээс аль богино хоёр талыг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх 2 биетийн эзлэхүүнүүдийн харьцаа аль нь байж болох вэ?

A.

$\dfrac{9-\sqrt{17}}{8}$ B.

$\dfrac{9-\sqrt{17}}{16}$ C.

$\dfrac{\sqrt{17}-9}{8}$ D.

$\dfrac{18-2\sqrt{17}}{6}$ E.

$\sqrt{17}+1$

ЭЕШ 2014 A №36

$6$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй конусын суурь бөмбөрцгийн төвөөс ямар зайд орших вэ?

A. 6 см B. 5 см C. 4 см D. 3 см E. 2 см

Бодлого №4697

3 см радиустай бөмбөрцөгийн эзлэхүүн

$A$ см.куб, гадаргын талбай

$B$ см.кв, 3 см суурийн радиустай 6 см өндөртэй конусын эзлэхүүн

$C$ см.куб бол зөв өгүүлбэрийг сонго.

A.

$B< A< C$ B.

$C< B< A$ C.

$C< A=B$ D.

$A=B< C$ E.

$C=A< B$

Бодлого №4814

Суурийн радиус нь 3, өндөр нь 4 байх конуст багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\pi$ B.

$4.5\pi$ C.

$\dfrac{32\pi}{3}$ D.

$\dfrac{\pi}{6}$ E.

$\dfrac{2\pi}{3}$

Конуст багтсан бөмбөрцөгийн эзлэхүүн

Өндөр нь 4, суурийн радиус нь 3 байх конус өгөгдөв. Уг конусын эзлэхүүнийг түүнд багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$7:4$ B.

$2:1$ C.

$3:1$ D.

$8:3$ E.

$11:4$

Огтлогдсон конусын эзлэхүүн

$y=\frac12x+1$ функцийн графикийн

$0\le x\le 2$ байх хэсгийг

$OX$ тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\dfrac{14}{3}\pi$ B.

$\dfrac{12}{3}\pi$ C.

$5\pi$ D.

$4\pi$ E.

$\dfrac{11}{3}\pi$

Бөмбөрцөгт багтсан конус

$5$ радиустай бөмбөрцөгт

$8$ өндөртэй конус багтжээ. Конусын эзлэхүүнийг бөмбөрцгийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac{16}{125}$ B.

$\dfrac{32}{125}$ C.

$\dfrac{96}{125}$ D.

$\dfrac{32}{125}$ E.

$\dfrac{8}{25}$

Конусын эзлэхүүн

Конусын байгуулагч нь өндөртэйгээ

$60^\circ$ өнцөг үүсгэх бөгөөд байгуулагч өндөр хоёрын уртуудын нийлбэр нь 15 бол түүний эзлэхүүнийг ол.

A.

$\dfrac{125\pi}{2}$ B.

$\dfrac{125\pi}{4}$ C.

$\dfrac{25\pi}{2}$ D.

$\dfrac{25\pi}{4}$ E.

$125\pi$

Конусын хажуу гадаргуу

Конусын суурийн радиус 5, байгуулагч нь 10 бол хажуу гадагуугийн талбай хэдтэй тэнцүү вэ?

A.

$25\pi$ B.

$30\pi$ C.

$50\pi$ D.

$45\pi$ E.

$15\pi$

Конусын хажуу гадаргуу

Конусын суурийн радиус

$4$ , байгуулагч нь

$5$ бол хажуу гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$12 \pi$ B.

$20 \pi$ C.

$15 \pi$ D.

$40 \pi$ E.

$30 \pi$

Бодлого №7989

Хавтгайн гаднах

$M$ цэгээс хавтгайд татсан

$MA=5,$

$MB=8$ налуунуудын хавтгайтай үүсгэх өнцгүүд 2:1 харьцаатай бол

$M$ цэгээс энэ хавтгай хүртэлх зайг ол.

A. 4 B. 4.5 C. 4.8 D. 5

Бодлого №7990

Хавтгайгаас 9.6 нэгж зайд орших

$M$ цэгээс хавтгайд

$AM< BM=16$ нэгж урттай хоёр налуу татав. Тэдгээрийн хавтгайтай үүсгэх өнцгүүд 2:1 харьцаатай бол

$AM$ хэрчмийн уртыг ол.

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

Бодлого №7995

Конуст багтсан бөмбөрцөг конусын өндрийг оройгоос 1:4 харьцаагаар хуваана. Конусын байгуулагч суурийн хавтгайтай үүсгэх өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$75^\circ$ B.

$\arccos\dfrac35$ C.

$45^\circ$ D.

$60^\circ$ E.

$\arccos\dfrac23$

Бодлого №7996

Бөмбөрцөг багтаасан конусын байгуулагч суурийн хавтгайтай

$\alpha= \arccos\frac35$ хэмжээтэй өнцөг үүсгэдэг бол бөмбөрцөг конусын өндрийг оройгоос нь ямар харьцаагаар хуваах вэ?

A. 1:4 B. 1:3 C. 2:3 D. 3:5 E. 3:4

Бодлого №8034

$26$ нэгж радиустай бөмбөрцгийн гадаргуу дээр 10 нэгж радиустай суурь бүхий (суурь нь онгорхой) конус тавихад бөмбөрцгийн гадаргуугийн хэдэн кв.нэгж талбай далдлагдах вэ?

A.

$144\pi$ кв.н. B.

$104\pi$ кв.н. C.

$100\pi$ кв.н. D. 16кв.н.

Бодлого №8035

Суурийн радиус нь

$R$ байх конусын гадаргуу дээр харилцан перпендикуляр гурван байгуулагч татаж болдог байв. Конусын бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$(3+\sqrt2)\pi R^2$ B.

$\frac{13}2\pi R^2$ C.

$\Bigl(1+\sqrt{\frac32}\Bigr)\pi R^2$ D.

$\Bigl(1+\sqrt3\Bigr)\pi R^2$

Бодлого №8036

$H$ өндөртэй конусын гадаргуу дээр харилцан перпендикуляр гурван байгуулагч татаж болдог байв. Конусын бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$(3+\sqrt2)\pi H^2$ B.

$(2+\sqrt3)\pi H^2$ C.

$\Bigl(1+\sqrt{\frac32}\Bigr)\pi H^2$ D.

$(2+\sqrt6)\pi H^2$

Бодлого №8039

Конус, цилиндр хоёр тэнцүү суурь, өндөр, хажуу гадаргуугийн талбайтай бол конусын байгуулагчуудын хооронд үүсэх хамгийн их өнцөг аль вэ?

A.

$30^{\circ};$ B.

$60^{\circ};$ C.

$120^{\circ};$ D.

$45^{\circ}.$

Бодлого №8040

Адил талт цилиндр, адил талт конус хоёулаа тэнцүү хажуу гадаргуугийн талбайтай бол бүтэн гадаргуугийн талбайнууд нь ямар харьцаатай байх вэ?

A.

$1:2;$ B.

$1:1;$ C.

$2:3;$ D.

$4:5.$

Конусын дэлгээс

30 см байгуулагчтай конусын хажуу гадаргуугийн дэлгээс нь

$120^{\circ}$ төв өнцөгтэй сектор үүсгэнэ. Конусын суурийн диаметрийг ол.

A. 18 см B. 20 см C. 24 см D. 28 см E. 30 см

Бодлого №8042

8см өндөр, 6см радиустай конусын хажуу гадаргуугийн дэлгээс болж байгаа секторын төв өнцөг аль вэ?

A.

$180^{\circ}$ B.

$200^{\circ}$ C.

$216^{\circ}$ D.

$220^{\circ}$ E.

$222^{\circ}$

Бодлого №8051

Цилиндр, конус хоёр ерөнхий суурьтай ба суурийн хавтгайн нэг талд байрлана. Хэрэв тэдгээр нь ижил эзлэхүүнтэй бол цилиндр дотор конусын эзлэхүүний хэдий хэсэг харьяалагдах вэ?

A.

$\dfrac13$ B.

$\dfrac12$ C.

$\dfrac{17}{20}$ D.

$\dfrac{19}{27}$ E.

$\dfrac{8}{27}$

Бодлого №8052

Конусын өндрийн дунджийг дайрсан хавтгайгаар хуваагдсан конусын хэсгүүдийн эзлэхүүний ялгавар

$V$ бол анхны конусын эзлэхүүнийг ол.

A.

$3V$ B.

$2V$ C.

$\frac43V$ D.

$\frac32V$

Бодлого №8053

$R$ радиустай дугуйн

$90^\circ$ төв өнцөгт харгалзах секторыг хуйлж хийсэн хажуу гадаргуутай конусын эзлэхүүнийг ол.

A.

$\frac{\sqrt{15}\pi}{192}R^3$ B.

$\frac{\sqrt5\pi}{64}R^3$ C.

$\frac{\sqrt{17}\pi}{201}R^3$ D.

$\frac{\sqrt6\pi}{172}R^3$

Бодлого №8054

$R$ радиустай дугуйн

$120^\circ$ төв өнцөгт харгалзах секторыг хуйлж хийсэн хажуу гадаргуутай конусын эзлэхүүнийг ол.

A.

$\frac{\sqrt2\pi}{64}R^3$ B.

$\frac{\sqrt8\pi}{81}R^3$ C.

$\frac{\sqrt6\pi}{128}R^3$ D.

$\frac{\sqrt3\pi}{92}R^3$

Бодлого №8055

Зөв

$n$ өнцөгт пирамидад багтсан ба түүнийг багтаасан конусуудын эзлэхүүнүүдийн харьцаа

$1:4$ бол

$n$ -г ол.

A.

$n=3$ B.

$n=4$ C.

$n=5$ D.

$n=6$ E.

$n=8$

Бодлого №8056

Зөв

$n$ өнцөгт пирамидад багтсан ба түүнийг багтаасан конусуудын эзлэхүүний харьцаа

$1:2$ бол

$n$ -г ол.

A.

$n=3$ B.

$n=4$ C.

$n=5$ D.

$n=6$ E.

$n=8$

Бодлого №8068

$R$ радиустай дугуйн

$120^{\circ}$ төв өнцөгтэй сектор тэгш хэмийн тэнхлэгээ тойрон эргэхэд үүсэх биеийн эзлэхүүн аль вэ?

A.

$\dfrac 25\pi R^3;$ B.

$\dfrac 23\pi R^3;$ C.

$\dfrac 13\pi R^3;$ D.

$\dfrac 35\pi R^3.$

Бодлого №8079

Суурийн радиус нь 9, өндөр нь 7 нэгж байх конусын оройг дайрсан огтлолуудын талбайн хамгийн их утгыг ол.

A. 63 B. 65 C.

$\frac{65\sqrt3}{2}$ D.

$\frac{63}{\sqrt2}$

Бодлого №8080

Суурийн радиус нь 8 нэгж байх конусын оройг дайрсан огтлолуудын талбайн хамгийн их утга 50кв.н. бол конусын өндрийг ол (конусын өндөр суурийн радиусаас богино).

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

Бодлого №8081

Конусын оройг дайрсан огтлолуудын талбайн хамгийн их утга нь тэнхлэг огтлолын талбайгаас 2 дахин их бол конусын байгуулагч суурийн хавтгайтай үүсгэх өнцөг ол.

A.

$45^\circ$ B.

$30^\circ$ C.

$\frac{45^\circ }2$ D.

$15^\circ$

Бодлого №8082

Конусын өндөр, түүний оройг дайрсан огтлолуудын периметрийн хамгийн их утгаас 4 дахин бага бол конусын байгуулагч суурийн хавтгайтай ямар өнцөг үүсгэх вэ?

A.

$\arccos\frac23$ B.

$\arccos\frac35$ C.

$30^\circ$ D.

$45^\circ$

ЭЕШ 2007 A №11

Талуудын урт нь

$\sqrt{7}+1$ ,

$4$ ,

$\sqrt{7}-1$ байх гурвалжин байв. Эдгээрээс аль богино 2 талыг нь тойруулан эргүүлэхэд үүсэх 2 биетийн эзлэхүүнүүдийн харьцаа аль байж болох вэ?

A.

$\dfrac{3}{4-\sqrt7}$ B.

$\dfrac{4-\sqrt7}{3}$ C.

$\dfrac{\sqrt7-2}{2}$ D.

$\dfrac{18-\sqrt7}{6}$ E.

$\sqrt{17}+1$

ЭЕШ 2014 B №36

$8$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй конусын суурь бөмбөрцгийн төвөөс ямар зайд орших вэ?

A.

$2\dfrac13$ см B.

$2\dfrac23$ см C.

$8\dfrac37$ см D.

$\dfrac38$ см E.

$\dfrac37$ см

Delgees ni ogson coneiin ezlehuun

6 см радиустай дугуйн хагасаар конус хэлбэрийн ёроолгүй биет хийв. Биетийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$3\sqrt3\pi$ B.

$9\sqrt2\pi$ C.

$6\pi$ D.

$9\sqrt3\pi$ E.

$\frac{9\sqrt3}2\pi$

Delgees ni ogson coneiin ezlehuun

9 см радиустай дугуйн

$120^\circ$ сектороор конус хэлбэрийн ёроолгүй биет хийв. Биетийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$9\sqrt2\pi$ B.

$18\sqrt2\pi$ C.

$12\pi$ D.

$9\sqrt3\pi$ E.

$\frac{9\sqrt2}2\pi$

ХИ хажуу гадаргуугийн талбайтай багтсан конус

$R=15$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их хажуу гадаргуугийн талбайтай шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын өндрийг ол.

A.

$30$ B.

$5$ C.

$10$ D.

$15$ E.

$20$

ЭЕШ 2016 C №14

Конусын байгуулагч нь 13см ба өндөр нь 12см бол түүний хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

A.

$60\pi$ B.

$65\pi$ C.

$165\pi$ D.

$32\pi$ E.

$56\pi$

ЭЕШ 2016 D №14

Конусын байгуулагч нь 25см ба өндөр нь 24см бол түүний хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

A.

$160\pi$ B.

$165\pi$ C.

$135\pi$ D.

$180\pi$ E.

$175\pi$

ЭЕШ 2016 A №14

Конусын байгуулагч нь 17 см ба өндөр нь 8 см бол түүний хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

A.

$226\pi$ B.

$235\pi$ C.

$256\pi$ D.

$255\pi$ E.

$275\pi$

ЭЕШ 2016 B №14

Конусын байгуулагч нь 15 см ба өндөр нь 9 см бол түүний хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

A.

$170\pi$ B.

$210\pi$ C.

$160\pi$ D.

$180\pi$ E.

$150\pi$

Конусын хажуу гадаргуугийн талбай

Конусын байгуулагч нь 17 см ба өндөр нь 8 см бол түүний хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

A.

$226\pi$ B.

$235\pi$ C.

$256\pi$ D.

$255\pi$ E.

$275\pi$

ЭЕШ 2017 D №36

Огтлогдсон конуст бөмбөрцөг багтах ба сууриуд нь 4 см, 8 см радиустай байв. Багтсан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$4\sqrt{3}$ B.

$6$ C.

$4\sqrt{2}$ D.

$2\sqrt{2}$ E.

$2\sqrt{3}$

ЭЕШ 2017 D №36

Огтлогдсон конуст бөмбөрцөг багтах ба сууриуд нь 6 см, 8 см радиустай байв. Багтсан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$2\sqrt{3}$ B.

$4$ C.

$2\sqrt{2}$ D.

$\sqrt{2}$ E.

$4\sqrt{3}$

Бодлого №13781

Суурийн радиус нь 3, өндөр нь 4 байх конуст багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\pi$ B.

$4,5\pi$ C.

$\dfrac{32\pi}{3}$ D.

$\dfrac{\pi}{6}$ E.

$\dfrac{2\pi}{3}$

Бодлого №13877

4 см өндөртэй,

$\sqrt{2}$ суурийн радиустай конуст багтсан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ B.

$1$ C.

$\sqrt{2}$ D.

$\sqrt{3}$ E.

$2$

2019 A №20

Конусын байгуулагч нь

$8$ нэгж , суурийн радиус

$6$ нэгж байв. Энэ конусын хажуу гадаргуугийн дэлгээс болох секторын өнцгийг ол.

A.

$270^0$ B.

$90^0$ C.

$480^0$ D. $ 240^0 E.

$\ arccos (-\frac{1}{8})$

ЭЕШ сорилго 2021 №1, Бодлого №35

2 см суурийн радиустай конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 1 см бол конусын эзлэхүүнийг ол.

A.

$\dfrac{32}9\pi$ см.куб B.

$3\pi$ см.куб C.

$\dfrac{35}{9}\pi$ см.куб D.

$4\pi$ см.куб E.

$\dfrac{4}{3}\pi$ см.куб

2019 A №20

Огтлогдсон конусын суурийн радиусууд 3м ба 9 м өндөр нь 8 м бол хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

A.

$120\pi$ м.кв B.

$216\pi$ м.кв C.

$96\pi$ м.кв D.

$100\pi$ м.кв E.

$48\pi$ м.кв

2019 A №20

Огтлогдсон конусын суурийн радиусууд 2 м ба 7 м өндөр нь 12 м бол хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

A.

$108\pi$ м.кв B.

$91\pi$ м.кв C.

$10\pi$ м.кв D.

$117\pi$ м.кв E.

$168\pi$ м.кв

2019 A №20

Огтлогдсон конусын суурийн радиусууд 2м ба 7 м өндөр нь 12 м бол хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

A.

$108\pi$ м.кв B.

$91\pi$ м.кв C.

$107\pi$ м.кв D.

$117\pi$ м.кв E.

$168\pi$ м.кв

ЭЕШ 2007 A1 №29

Конуст бөмбөрцөг багтжээ. Байгуулагч нь бөмбөрцгийг шүргэсэн цэгээрээ оройгоос 8 нэгж, 12 нэгж урттай хэрчмүүдэд хуваагдсан байв.

Конусын өндөр нь $H=\fbox{ab}$ байна.
Бөмбөрцгийн радиус нь $R=\fbox{c}$ байна.
Конус дотроос санамсаргүйгээр нэг цэг авахад тэр нь бөмбөрцөг дотроос авагдсан байх магадлал нь $P(A)=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ .

Хамгийн их хажуу гадаргуутай багтсан конус

$R=5$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их хажуу гадаргуугийн талбайтай шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын өндөр нь

$H=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ байна.

Математикийн Сорилго, №11.4.Б нөхөх

$R=2$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их эзлэхүүнтэй шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын эзлэхүүн нь

$V=\dfrac{\fbox{abc}}{\fbox{de}}\cdot \pi$ байна.

Бодлого №8111

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидад оройнууд нь давхцдаг байхаар шулуун дугуй конус багтжээ. Конусын суурийн радиус 6, конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 2-той тэнцүү бол пирамид ба конусын эзлэхүүний ялгавар

$\fbox{ab}\cdot(\fbox{c}-\pi)$ байна.

Бодлого №8112

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидад оройнууд нь давхцдаг байхаар шулуун дугуй конус багтжээ. Тэдгээрийн өндөр (ерөнхий)

$\dfrac 94$ -тэй, конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 1-тэй тэнцүү бол пирамид ба конусын эзлэхүүнхий ялгавар

$\fbox{ab}\cdot \left(\fbox{c}-\dfrac{\pi}{4}\right)$ байна.

Бодлого №8135

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын эсрэг хоёр хажуу талс нь суурьт перпендикуляр ба пирамидын өндөр

$\sqrt{5}$ -тай тэнцүү. Пирамидын суурь

$ABCD (AD=BC)$ нь тойрог багтаасан адил хажуут трапец бөгөөд

$AB=6, \angle BAD=\dfrac{\pi}{3}$ байв.

$D$ цэгээс

$(SAB)$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho=\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{\fbox{c}}$ болно. Пирамид дотор конус суурийн тойрог нь

$SCD$ гурвалжинд багтсан байхаар, харин орой нь

$SAB$ талс дээр оршихоор байрлажээ. Конусын эзлэхүүн

$V=\dfrac{\pi\sqrt{\fbox{de}}}{\fbox{fg}}$ байна.

Бодлого №8136

$SKLMN$ дөрвөн өнцөгт пирамидын эсрэг хоёр талс нь суурьт перпендикуляр ба

$SM=12.$ Пирамидын суурь

$KLMN (MN>KL)$ нь тойрог багтаасан адил хажуут трапец бөгөөд

$KN=LM=4,$

$KN$ ба

$LM$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\dfrac{\pi}{3}$ -тай тэнцүү.

$M$ цэгээс

$(SKL)$ хавтгай хүртэлх зай

$\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{\fbox{cde}}}{\fbox{fg}}$ байна. Пирамид дотор конус суурийн тойрог нь

$SMN$ гурвалжинд багтсан, харин орой нь

$SKL$ талс дээр оршихоор байрлажээ. Конусын өндөр

$H=\dfrac{\fbox{hk}\cdot\sqrt{\fbox{mn}}}{\fbox{pq}}$ байна.

ЭЕШ 2007 A №29

Конуст бөмбөрцөг багтжээ. Байгуулагч нь бөмбөрцгийг шүргэсэн цэгээрээ оройгоос 8 нэгж, 12 нэгж урттай хэрчмүүдэд хуваагдсан байв.

Конусын өндөр нь $H=\fbox{ab}$ байна. $\text{a}$ ба $\text{b}$ нь хэд вэ?
Бөмбөрцгийн радиус нь $R=\fbox{c}$ болно. $\text{c}$ нь хэд вэ?
Конусын дотроос санамсаргүйгээр нэг цэг авахад тэр нь бөмбөрцөг дотроос авагдсан байх магадлал нь $P(A)=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ нь хэд вэ?

Геометр магадлал

Конуст бөмбөрцөг багтжээ. Байгуулагч нь бөмбөрцгийг шүргэсэн цэгээрээ оройгоос 8 нэгж, 12 нэгж урттай хэрчмүүдэд хуваагдсан байв.

Конусын өндөр нь $H=\fbox{ab}$ байна.
Бөмбөрцгийн радиус нь $R=\fbox{c}$ байна.
Конус дотроос санамсаргүйгээр нэг цэг авахад тэр нь бөмбөрцөг дотроос авагдсан байх магадлал нь $P(A)=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ .

2018 №A.40

Өндөр нь 2, суурийн диаметр нь 5 байх конус өгөгдөв.

Конусын эзлэхүүн $V=\dfrac{2\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.
Уг конуст зөв гурвалжин призм багтааж, суурийн гурвалжны талыг $x$ гэвэл призмийн өндөр нь $\dfrac{2\fbox{c}-\fbox{d}\sqrt3x}{15}$ болно.
Дээрх багтсан призмийн авч болох хамгийн их эзлэхүүн нь $V_{\textit{пр}}=\dfrac{2\fbox{e}\sqrt3}{\fbox{gh}}$ байна.

2018 №A.40

Өндөр нь 2, суурийн диаметр нь 5 байх конус өгөгдөв.

Конусын эзлэхүүн $V=\dfrac{2\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.
Уг конуст зөв гурвалжин призм багтааж, суурийн гурвалжны талыг $x$ гэвэл призмийн өндөр нь $\dfrac{2\fbox{c}-\fbox{d}\sqrt3x}{15}$ болно.
Дээрх багтсан призмийн авч болох хамгийн их эзлэхүүн нь $V_{\textit{пр}}=\dfrac{2\fbox{e}\sqrt3}{\fbox{gh}}$ байна.

Бодлого №2851

Зөв дөрвөн өнцөгт суурьтай огтлогдсон пирамидын суурийн талууд 3 см, 5 см. Огтлогдсон пирамидын ирмэг

$\sqrt{17}$ см. Огтлогдсон пирамидын бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №8031

Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай нь тэгш хэмийн тэнхлэг огтлолуудынхаа талбайн нийлбэртэй тэнцүү бол пирамидын их суурь дахь хоёр талст өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$30^\circ$ B.

$45^\circ$ C.

$\arcsin\sqrt{\frac23}$ D.

$\arcsin2(\sqrt2-1)$

Бодлого №8032

Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай нь хоёр суурийнхаа талбайн нийлбэртэй тэнцүү ба сууриудын талбайн харьцаа 1:3 бол их суурь дахь хоёр талст өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$60^\circ$ B.

$45^\circ$ C.

$30^\circ$ D.

$\arcsin\sqrt{\frac23}$

Бодлого №8059

$a$ ирмэгтэй

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$A,C$ оройнууд ба

$A_1D_1$ ирмэгийн дунджийг дайрсан хавтгайгаар кубээс таслагдсан огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг ол.

A.

$\frac7{24}a^3$ B.

$\frac14a^3$ C.

$\frac37a^3$ D.

$\frac8{25}a^3$

Бодлого №8060

Бүх ирмэг нь

$a$ урттай зөв гурвалжин призм

$ABCA_1B_1C_1$ -ийн

$B,C$ оройнууд ба

$A_1C_1$ ирмэгийн дунджийг дайрсан хавтгайгаар призмээс таслагдсан огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг ол.

A.

$\dfrac{9\sqrt3}{64}a^3$ B.

$\dfrac{\sqrt3}{8}a^3$ C.

$\dfrac16a^3$ D.

$\dfrac{12\sqrt3}{77}a^3$ E.

$\dfrac{7\sqrt3}{48}a^3$

Бодлого №8061

3м өндөртэй огтлогдсон пирамидийн эзлэхүүн 95

$\texttt{м}^{2}$ ба сууриудын периметр 2:3 харьцаатай бол сууриудын талбай хэдэн кв.метр байх вэ?

A. 12 ба 27 B. 20 ба 45 C. 16 ба 36 D. 24 ба 54.

ЭЕШ 2016 C №36

Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 4см, доод суурийн тал 6см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай

$30^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.

A.

$\dfrac{38}{3\sqrt3}$ B.

$\dfrac{37}{3\sqrt3}$ C.

$37\sqrt3$ D.

$10\sqrt3$ E.

$12\sqrt3$

ЭЕШ 2016 D №36

Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 3см, доод суурийн тал 9см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай

$30^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.

A.

$\dfrac{26}{\sqrt3}$ B.

$\dfrac{79}{2\sqrt3}$ C.

$7\sqrt3$ D.

$\dfrac{117}{2\sqrt3}$ E.

$\dfrac{79}{3\sqrt3}$

ЭЕШ 2016 A №36

Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 3см, доод суурийн тал 7см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.

A.

$\dfrac{79}{\sqrt3}$ B.

$\dfrac{77}{\sqrt3}$ C.

$27\sqrt3$ D.

$9\sqrt3$ E.

$18\sqrt3$

ЭЕШ 2016 B №36

Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 2см, доод суурийн тал 5см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.

A.

$\dfrac{26}{4}\sqrt3$ B.

$\dfrac{39}{4\sqrt3}$ C.

$\dfrac{39}{\sqrt3}$ D.

$\dfrac{39}{4}\sqrt3$ E.

$18\sqrt3$

Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн

Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 3см, доод суурийн тал 7см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай

$30^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.

A.

$\dfrac{79}{\sqrt3}$ B.

$\dfrac{77}{\sqrt3}$ C.

$27\sqrt3$ D.

$9\sqrt3$ E.

$18\sqrt3$

Бодлого №2934

Адил талт гурвалжны нэг тал

$p$ хавтгайтай

$\alpha$ өнцөг үүсгэнэ. Өөр нэг тал нь мөн хавтгайтай

$\beta$ өнцөг үүсгэнэ. Гурвалжны хавтгай ба

$p$ хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

Бодлого №8001

Гурван талст өнцгийн хавтгай өнцгүүдийн нэг нь тэгш, нөгөө хоёр нь ижил хэмжээтэй байв. өнцгийн ирмэгүүдээс ижил урттай хэрчим огтолсон хавтгай, тэгш хавтгай өнцөгтэй талст перпендикуляр бол нөгөө хоёр хавтгай өнцгийн хэмжээ аль вэ?

A.

$\arcsin \dfrac 13;$ B.

$60^{\circ};$ C.

$45^{\circ};$ D.

$30^{\circ}.$

Бодлого №8002

Гурван талст өнцгийн хоёр хавтгай өнцөг нь ижил

$60^{\circ}$ хэмжээтэй ба гурав дахь хавтгай өнцгийн эсрэг ирмэг дэх хоёр талст өнцөг тэгш байв. Гуравдахь хавтгай өнцгийн хэмжээ аль вэ?

A.

$\arccos \dfrac 14;$ B.

$45^{\circ};$ C.

$\arccos \dfrac 13;$ D.

$30^{\circ}.$

Бодлого №356

$x^2+(a+2)x+3a+1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь бодит бөгөөд кубуудынх нь нийлбэр нь

$5a-2$ -оос бага байх

$a$ -ийн утгын мужийг ол.

Бодлого №1915

Нэг бассейн 200 м.куб устай, нөгөө нь --- 112 м.куб устай байв. Цоргыг онгойлгож бассейнуудыг дүүргэв. Хэрвээ хоёр дахь бассейнд 1 цагт нэмэгдэх усны хэмжээ нэг дэхээс 22 м.куб-ээр их бол хоёр бассейн хэдэн цагийн дараа адил хэмжээний устай болох вэ?

Бодлого №1921

54 м.куб эзлэхүүнтэй бассейныг хоёр хоолойгоор усаар дүүргэв. Үүний тулд I хоолойг 3 цаг, II хоолойг 2 цаг нээжээ. Хэрвээ I хоолой 1 м.куб ус шахахад II-аас 1 минут илүү зарцуулдаг бол эхний хоолойн чадлыг тодорхойл.

Бодлого №1947

Тус бүр 3 см.куб гурван бодисыг холин 16 грамм бодис үүсгэжээ. Хоёр дахь бодисын 4 грамм нь 3 дахь бодисын 4 граммаас 1/2 см.куб-ээр илүү эзлэхүүнтэй. Хэрэв хоёр дахь бодисын жин нэг дэх бодисынхоос 2 граммаар илүү бол 3 дахь бодисын нягтыг ол.

Бодлого №1990

1200 м.куб, 1400 м.куб, 1600 м.куб эзлэхүүнтэй бассейнуудын эхнийхийг нь нэгдүгээр хоолойгоор, 2 дахь бассейны 800 м.куб-ийг 1-р хоолойгоор, үлдсэн 600 м.куб-ийг нь 2-р хоолойгоор, 3 дахь бассейны 700 м.куб-ийг нь 1-р хоолойгоор, 900 м.куб-ийг нь 3-р хоолойгоор тус тус дүүргэж болно. Эхний хоолойн ажлын бүтээмж нь 2 дахь хоолойгоос 400 м.куб/цаг-аар бага. Хэрэв 2 дахь хоолойн ажлын бүтээмж 700 м.куб/цаг-аас багагүй, 1100 м.куб/цаг-аас хэтрэхгүй бол аль бассейн хурдан дүүрэх вэ?

Бодлого №2046

Усан онгоцнууд өнөөгийн хөгжилд хүрээгүй байхад цагт зарцуулах түлшний хэмжээ нь түүний хурдын кубтай тэнцэнэ хэмээн үздэг байжээ. 15 км/цаг хурдтай үед цагт 1.5 т нүүрс зарцуулах бөгөөд нэг тонн нүүрсний үнэ нь 18 рубль. Бусад зардал нь цагт 16 рубль эзлэнэ. 2000 км замд шаардагдах хамгийн бага хэмжээний зарцуулалтын хэмжээг рублээр ол.

Бодлого №2256

20 гэсэн тоог нэг нэмэгдэхүүн нь куб ба нөгөө нэмэгдэхүүний квадратых нь нийлбэр хамгийн бага байх 2 нэмэгдэхүүнд задал

Бодлого №2259

Ямар нэгэн тооны квадратыг 3 дахин авсан нь түүний хамгийн их утгын кубээс их бол уг тоог ол

Бодлого №2839

Квадрат суурьтай дөрвөн өнцөгт пирамид өгөгджээ. Түүний нэг хажуу ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр. Уг пирамидад доод суурь нь пирамидын суурь дээр байрлах, дээд суурийн ирмэгүүд нь пирамидын талсууд дээр байрлаж байхаар куб багтав. Хэрэв пирамидын хажуу талс сууриа

$\alpha$ өнцгөөр налсан, кубийн ирмэгийн урт

$a$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2859

$a$ талтай кубийн нэг талсын төвийг түүний эсрэг орших талсын ирмэгүүдийн дундаж цэгүүдтэй хэрчмээр холбов. Түүнчлэн эдгээр хэрчмүүдийн төгсгөлүүдийг дараалуулан хэрчмээр холбов. Эдгээр хэрчмүүдээр үүсэх пирамидын бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2860

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгджээ.

$BCA_1$ ба

$B_1C_1D$ хавтгайнууд перпендикуляр уу? Хариултай үндэслэ.

Бодлого №2862

4 талтай кубийн нэг оройгоос гарсан гурван ирмэгийн дунджуудыг дайрсан огтлолын талбайн хэмжээг ол.

Бодлого №2865

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн суурийн квадратын диагнал

$AC$ ба нөгөө суурийн нэг оройг дайран гарсан хавтгай

$AB_1C$ гурвалжин үүсгэнэ. Гурвалжны

$B_1$ оройн өнцөг нь параллелепипедийн суурь ба түүнийг огтлон гарсан хавтгайн хооронд үүсэх өнцгөөс хоёр дахин их бол

$AB_1C$ өнцгийн хэмжээг ол.

Бодлого №2866

Квадрат суурьтай тэгш өнцөгт параллелепипедыг огтлоход ромбо үүсчээ. Огтолсон хавтгай ба суурийн хавтгайн хоорондох хоёр талст өнцөг

$30^\circ$ бол ромбын дотоод өнцгүүдийг ол.

Бодлого №2867

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг

$a$ ,

$AB$ ирмэгийн дундаж цэг

$K$ ,

$DD_1$ ирмэгийн дундаж цэг

$E$ байв.

$A_1KE$ гурвалжны периметрийг ол. Энэ гурвалжныг агуулсан хавтгай кубийн эзлэхүүнийг ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?

Бодлого №2868

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ тэгш өнцөгт параллелепипедын ирмэг

$AB=a$ ,

$BC=a$ ,

$AA_1=b$ байв.

$BD_1$ диагоналтай перпендикуляр,

$A$ оройг дайран гарах огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2869

Зөв гурвалжин призмын суурийн тал ба түүний эсрэг орших ирмэгийн дундажыг агуулсан хавтгай суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэнэ. Энэ хавтгайгаар үүсэх хөндлөн огтлолын талбай

$S=8\sqrt3$ . Призмын эзлэхүүн ба бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2870

Тэгш өнцөгт параллелепипедын диагонал 10 см ба суурийн хавтгайтай

$45^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэнэ. Суурийн нэг тал нь нөгөөгөөсөө 2 см-ээр их бол параллелепипедын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2871

Шулуун параллелепипедын суурийн тал 13 см ба 14 см богино диагонал 17 см, талбай нь

$168$ см.кв бол хажуу гадаргуугийн талбайг ол. Бодолтыг харах

Бодлого №2872

$ABC A_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмын хажуу ирмэг

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ , суурь нь 4 талтай адил талт

$ABC$ гурвалжин болно.

$AB$ ба

$CA$ шулуунууд перпендикуляр бол призмын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2873

$ABC A_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмын хажуу ирмэгүүд

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ ба суурь нь адил талт

$ABC$ гурвалжин болно. Түүнчлэн призмийн бүх ирмэгүүд ижилхэн

$6$ урттай.

$P$ ба

$Q_1$ цэгүүд

$BC$ ба

$A_1C_1$ ирмэгүүдийг

$BP:PC=A_1Q_1: Q_1C_1=1:2$ харьцаагаар хуваана.

$ABB_1A_1$ ба

$ACC_1A_1$ хавтгайг шүргэх,

$PQ_1$ хэрчим дээр төвтэй бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2874

Налуу параллелепипедийн суурь

$a$ талтай,

$\alpha$ хурц өнцөг бүхий

$ABCD$ ромбо байв.

$AA_1$ ирмэгийн урт

$b$ .

$AB_1$ ,

$AD$ ирмэгүүдийн хоорондох өнцөг

$\varphi$ бол параллелепипедийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2880

Квадрат суурьтай тэгш өнцөгт параллелепипедын диагонал

$3,5$ . Харин хажуу талcын диагонал

$2,5$ бол параллелепипедын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2881

Тэгш өнцөгт параллелепипедын суурийн диагонал нь

$d$ урттай бөгөөд суурийн талтайгаа

$\varphi$ өнцөг үүсгэнэ. Харин энэ тал нь параллелепипедын диагоналтай

$\beta$ өнцөг үүсгэнэ. Параллелепипедын хажуу гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2892

Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай ба түүнд багтсан кубийн гадаргуугийн талбайн харьцааг ол.

Бодлого №2896

1 талтай кубэд конус багтсан бөгөөд түүний орой нь кубийн нэг оройтой давхцаж байв. Кубийн гурван тал конусын хажуу гадаргатай шүргэлцэнэ. Харин кубэд багтсан бөмбөрцөг конусын суурьтай шүргэлцэнэ. Конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2904

Бөмбөрцгийн эзлэхүүн

$4$ дм.куб. Уг бөмбөрцөгт багтсан цилиндрийн байгуулагч бөмбөрцгийн төвөөс

$60^\circ$ өнцгөөр харагддаг бол цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2918

$ABCD$ суурьтай

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ ,

$DD_1$ хажуу ирмэгүүд бүхий куб өгөгдөв. Кубийн ирмэг 1.

$AB$ ирмэгийг огтолсон,

$A_1B$ ирмэгтэй

$60^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэсэн,

$B_1C$ талыг агуулсан хавтгай татав. Энэ хавтгай

$AB$ ирмэгийг ямар харьцаагаар хуваах вэ?

Бодлого №2919

$ABCD$ суурьтай

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ ,

$DD_1$ хажуу ирмэгүүд бүхий куб өгөгдөв. Кубийн ирмэг 1-тэй тэнцүү бөгөөд

$M$ ,

$N$ цэгүүд харгалзан

$CD_1$ ба

$CC_1$ хэрчмүүдийн дундаж.

$BM$ ,

$AN$ шулуунуудын хоорондох зайг ол.

Бодлого №2922

1 талтай кубийн оройнууд нь ижил радиустай бөмбөрцгүүдийн төв болно. Бөмбөрцгүүдийн гадна орших кубийн эзлэхүүн

$1/2$ бол кубийн ирмэгийн ямар хэсэг бөмбөрцгийн дотор байрлах вэ?

Бодлого №2923

$AB=6$ ,

$AD=2$ ,

$AA_1=1$ ирмэг бүхий

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ тэгш өнцөгт параллелепипедыг түүний

$AC_1$ диагоналыг агуулсан хавтгайгаар огтлоход үүсэх дүрсийн талуудын квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байв. Огтлолын талбай ба огтлогч хавтгайн

$ABCD$ талстай үүсгэх өнцгийг ол.

Бодлого №2926

$ABCD A_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг нь

$a$ -тай тэнцүү.

$AA_1$ ,

$BB_1$ ирмэгийн дундаж цэгүүд ба

$A$ ,

$C_1$ оройг дайран гарах бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2927

$ABCD A_1B_1C_1D_1$ кубийн

$A$ орой,

$AB$ ба

$AD$ талуудын дундажыг дайрах бөмбөрцөг

$A_1B_1C_1D_1$ талстай шүргэлцэнэ. Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай ба кубийн бүтэн гадаргуугийн талбайн харьцааг ол.

Бодлого №2935

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгджээ.

$AD$ ба

$CC_1$ ирмэгүүдийн дундаж ба

$B$ оройг дайран гарсан хавтгай ба

$ABCD$ талсын хооронд үүсэх өнцгийг ол.

Бодлого №2936

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллелепипедын

$AB_1$ ба

$BC_1$ диагоналууд дээр

$M$ ба

$N$ цэг оршино.

$MN$ ба

$A_1C$ хэрчмүүд параллель бол эдгээр хэрчмүүдийн харьцааг ол.

Бодлого №2940

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгдөв. Хэрэв кубийн ирмэгийн урт 1 бол

$AD$ ,

$DD_1$ ,

$CD$ ирмэгүүд болон

$BC_1$ шулууныг шүргэх бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2942

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгдөв. Түүний

$C$ оройгоос татсан диагоналын дундажыг дайрсан, уг диагоналд перпендикуляр огтлолын талбайг кубийн гадаргуугийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2975

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг

$9$ . Харгалзан

$BC$ ,

$CD$ ,

$CC_1$ хэрчмүүд дээр орших

$M$ ,

$N$ ,

$K$ цэгүүдийг дайруулан хавтгай татав.

$MCK$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 1,

$MNC$ гурвалжины талбай

$\dfrac{21}2$ ,

$CN$ ба

$CK$ хэрчмүүдийн уртуудын ялгавар 3,

$MNKC$ пирамидын эзлэхүүн 15-аас бага гэдэг нь мэдэгдэж байв.

$MNK$ гурвалжны хавтгай ба

$A_1$ оройг агуулсан гурван талсыг шүргэх бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2976

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг

$1$ .

$DC$ болон

$BC$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд нь харгалзан

$K$ ба

$N$ .

$M$ цэг

$CC_1$ ирмэг дээр

$MC=\dfrac34$ байхаар байрлана.

$M$ ,

$N$ ,

$K$ цэгүүдийг дайрч,

$BB_1D_1D$ хавтгайг шүргэх бөмбөрцгийн радиусын боломжит хамгийн их утгыг ол.

Бодлого №10075

$x^3+ax+b=0$ куб тэгшитгэлийг 2 шийдтэй (3 шийдгүй) байлгах

$a,b$ бодит тоо оршин байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь

$a\neq 0$ ба

$\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{a^3}{27}=0$ байхыг харуул.

Бодлого №10354

Куб зэргийн функц

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ нь

$x=\alpha,\beta$ цэгүүдэд экстремум утгуудтай бол максимум утга ба минимум утгын ялгаврыг

$a$ ,

$\alpha$ ,

$\beta$ -аар илэрхийл.

Бодлого №10448

$x^3+2x^2+3x+4=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь

$\alpha$ ,

$\beta$ ,

$\gamma$ бол

$\alpha+\beta$ ,

$\beta+\gamma$ ,

$\gamma+\alpha$ тоонууд шийд нь болох куб тэгшитгэл зохио.

Бодлого №10666

$f(x)$ нь куб функц бөгөөд ахлах гишүүний коэффициент нь

$1$ ,

$f(1)=2$ ,

$f(-1)=-2$ ,

$f^\prime (-1)=0$ бол

$f(x)$ -г ол.

Бодлого №10675

$f(x)$ нь ахлах гишүүний коэффициент нь 1-тэй тэнцүү куб олон гишүүнт ба

$f(3)=20$ байв. Хэрэв

$f(x)$ нь

$(x-1)^2$ -д хуваагдах бол

$f(x)$ -ийг ол.

Бодлого №10687

$f(x)$ куб функц байг. Хэрэв

$y=f(x)$ функцийн

$(-1, 9)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициент

$-12$ ба

$f(x)$ функц нь

$x=1$ үед минимум утга

$-11$ -ийг авдаг бол

$f(x)$ функцийг ол.

Бодлого №10707

Квадрат суурьтай гурван хэмжээсийн нийлбэр нь 1 байх тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүн

$V$ , бүтэн гадаргуун талбай

$S$ бол

$V-2S$ -ийн хамгийн бага утгыг ол.

Бодлого №15029

Тус бүр 3 см.куб гурван бодисыг холин 16 грамм бодис үүсгэжээ. Хоёр дахь бодисын 4 грамм нь 3 дахь бодисын 4 граммаас 1/2 см.куб-ээр илүү эзлэхүүнтэй. Хэрэв хоёр дахь бодисын жин нэг дэх бодисынхоос 2 граммаар илүү бол 3 дахь бодисын нягтыг ол.

ЭЕШ 2006 A №15

Кубийн гол диагональ 10 нэгж бол эзлэхүүнийг нь ол.

A.

$1000\sqrt3$ B.

$\dfrac{\sqrt3}{9}\cdot1000$ C.

$1000$ D.

$\dfrac{1000}{3}$ E.

$\dfrac{2000}{3}$

ЭЕШ 2006 C №15

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$AA_1$ ирмэгийн дунджаас

$C_1$ хүртэл

$6$ нэгж бол эзлэхүүнийг ол.

A.

$64$ B.

$27$ C.

$125$ D.

$216$ E.

$36$

ЭЕШ 2007 A1 №17

Кубийн гол диагональ

$\sqrt{12}$ бол түүний бүх ирмэгүүдийн уртын нийлбэрийг ол.

A.

$13$ B.

$34$ C.

$24$ D.

$47$ E.

$12$

Төсөөгийн коэффициент

Кубийн ирмэг бүрийг 2 дахин урт болгоход гадаргуугийн талбай хэд дахин ихсэх вэ?

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 16

Бодлого №4697

3 см радиустай бөмбөрцөгийн эзлэхүүн

$A$ см.куб, гадаргын талбай

$B$ см.кв, 3 см суурийн радиустай 6 см өндөртэй конусын эзлэхүүн

$C$ см.куб бол зөв өгүүлбэрийг сонго.

A.

$B< A< C$ B.

$C< B< A$ C.

$C< A=B$ D.

$A=B< C$ E.

$C=A< B$

Кубын 2 оройн хоорондох хамгийн богино зам

Ялаа

$\sqrt5$ урттай ирмэгтэй

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$D$ орой дээр сууж байв.

$D$ –ийн эсрэг орших

$B_1$ оройд кубийн гадаргуугаар явж хүрэх хамгийн богино замын уртыг ол.

A.

$2\sqrt5$ B.

$15/2$ C.

$5$ D.

$\sqrt{15}$ E.

$3\sqrt5$

Бодлого №4735

Кубийн нэг талсын талбай нь 49 см.кв бол кубийн эзлэхүүнийг ол.

A. 49 см.куб B. 64 см.куб C. 125 см.куб D. 144 см.куб E. 343 см.куб

Тэгш өнцөгт параллелепепидийн эзлэхүүн

Тэгш өнцөгт параллелепепидийн урт, өргөн, өндрийг нь тус бүр 3 дахин ихэсгэв. Эхлэхүүн нь хэд дахин ихсэх вэ?

A.

$3$ B.

$6$ C.

$9$ D.

$18$ E.

$27$

Пирамидын эзлэхүүн

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн

$A$ оройгоос гарсан 3 ирмэгийн дундаж цэгүүд дээр суурьтай

$A$ оройтой пирамидийн эзлэхүүнийг параллелепипедийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac{1}{12}$ B.

$\dfrac{1}{6}$ C.

$\dfrac{1}{24}$ D.

$\dfrac{1}{48}$ E.

$\dfrac{1}{16}$

Бодлого №5852

Гүйцэд гадаргуугийн талбай 24 см

$^2$ байх кубэд багтсан бөмбөрцөгийн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$4\pi$ B.

$6\pi$ C.

$8\pi$ D.

$12\pi$ E.

$16\pi$

Бодлого №6150

$3x^2-ax+2a-1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн кубийн нийлбэрийг ол.

A.

$\frac a{27}(a^2+18-9)$ B.

$\frac{a^3+18a^2-9a}{18}$ C.

$\frac{a(a^2-18a+9)}{27}$ D.

$\frac{a^2-18a+9}9$

Бодлого №7486

Кубийн ирмэгийг

$10\%$ багасгахад бүтэн гадаргуу нь хэдэн хувиар багасах вэ?

A.

$18\%$ B.

$19\%$ C.

$20\%$ D.

$21\%$ E.

$11\%$

Кубийн диагоналиудын хоорондох өнцөг

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$BD_1$ диагональ, талсын

$AC$ диагональтай үүсгэх өнцгийг ол.

A.

$45^\circ$ B.

$60^\circ$ C.

$90^\circ$ D.

$120^\circ$ E.

$150^\circ$

Бодлого №7991

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагонал хажуу ирмэгтэй

$45^\circ$ , суурийн ирмэгүүдтэй ижил өнцөг үүсгэдэг бол энэ өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$30^\circ$ B.

$45^\circ$ C.

$\arccos\frac23$ D.

$60^\circ$ E.

$75^\circ$

Бодлого №7992

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ суурийн хавтгайтай

$45^\circ$ , хажуугийн хамар хоёр талстай ижил өнцөг үүсгэдэг бол энэ өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$30^\circ$ B.

$45^\circ$ C.

$\arccos\frac13$ D.

$60^\circ$

Бодлого №8017

Кубийн төвийг суурийн талсын оройнуудтай холбоход үүсэх пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай кубийн диагональ огтлолын талбай

$S$ -ээр яаж илэрхийлэгдэх вэ? Кубийн диагональ огтлол гэдэг нь түүний аль нэг параллель хоёр талсын диагоналийг дайрсан огтлол юм.

A.

$\dfrac14S$ B.

$\dfrac12S$ C.

$S$ D.

$\dfrac32S$ E.

$\dfrac23S$

Бодлого №8019

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хажуу ирмэг 6 нэгж урттай, диагонал нь суурийн периметрээс 2 дахин богино бол суурийн талбайг ол.

A. 18 кв.нэгж B. 24 кв.н. C. 30 кв.н. D. 36 кв.н.

Бодлого №8020

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн урт, өргөн, өндрийн нийлбэр 25 м, гүйцэд гадаргуугийн талбай 400

$\mbox{м}^2$ бол параллелепипедийн диагоналын уртыг ол.

A. 12 м B. 15 м C. 17 м D. 12.5 м

Бодлого №8023

Диагоналийн урт нь 2 нэгж байх бүх тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүтэн гадаргуугийн талбайн хамгийн их утгыг ол.

A. 4кв.н. B. 8кв.н. C. 12кв.н. D. 16кв.н.

Бодлого №8024

Диагоналийн урт нь адилхан бүх тэгш өнцөгт параллелепипед дотроос хамгийн их бүтэн гадаргуугийн талбайтай нь 18кв.нэгж талбайтай байвал эдгээр параллелепипедийн диагоналийн уртыг ол.

A.

$\sqrt3$ нэгж B.

$\sqrt6$ нэгж C.

$3$ нэгж D.

$\sqrt{10}$ нэгж

Бодлого №8025

өгсөн тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүтэн гадаргуугийн талбай 192кв.нэгж байснаа түүний урт, өргөн өндрийн хэмжээсийг 1 нэгжээр нэмэгдүүлэхэд 274кв.нэгж болж нэмэгдэв. Анхны параллелепипедийн диагоналийн уртыг ол.

A. 8 нэгж. B. 10 н. C. 13 н. D. 15 н.

Бодлого №8026

Диагональ нь 17 нэгж урттай, бүтэн гадаргуугийн талбай нь 552кв.нэгж байсан тэгш өнцөгт параллелепипедийн урт, өргөн, өндрийн хэмжээг 1 нэгжээр нэмэгдүүлэхэд бүтэн гадаргуугийн талбай нь хэд болох вэ?

A. 576кв.нэгж B. 608кв.н. C. 624кв.н. D. 674кв.н.

Бодлого №8043

Кубийн төвийг суурийн талсын оройнуудтай холбоход үүсэх пирамидын эзлэхүүнийг кубийн эзлэхүүн

$V$ -ээр илэрхийл.

A.

$\dfrac14V$ B.

$\dfrac16V$ C.

$\dfrac38V$ D.

$\dfrac12V$ E.

$\dfrac58V$

Бодлого №8044

Кубийн дээд суурийн төвийг доод суурийн оройнуудтай холбоход үүсэх пирамидын эзлэхүүнийг кубийн эзлэхүүн

$V$ -ээр илэрхийл.

A.

$\dfrac12V$ B.

$\dfrac13V$ C.

$\dfrac14V$ D.

$\dfrac23V$ E.

$\dfrac16V$

Бодлого №8047

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагонал нь гурван талсынхаа диагоналаас 1, 2, 10 нэгжээр урт бол параллелепипедийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$150\sqrt{61}$ B.

$2001$ C.

$100\sqrt{31}$ D.

$160\sqrt{41}$

Бодлого №8048

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гурван талсын диагонал 7, 8, 9 нэгж урттай бол параллелепипедийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$48\sqrt{11}$ B.

$23\sqrt{23}$ C.

$151$ D.

$62\sqrt3$

Бодлого №8065

Бөмбөрцөг багтаасан зөв зургаан өнцөгт призмийн өндөр 2 нэгж бол эзлэхүүн нь хэдэн куб нэгж вэ?

A.

$2\sqrt{3};$ B.

$3\sqrt{3};$ C.

$4\sqrt{3};$ D.

$5\sqrt{3}.$

Бодлого №8066

$\sqrt{3}$ нэгж радиустай бөмбөрцөг багтаасан зөв зургаан өнцөгт призмийн эзлэхүүн хэдэн куб нэгж байх вэ?

A.

$36$ B.

$24$ C.

$30$ D.

$20$ E.

$18$

ЭЕШ 2007 A №18

Кубийн гол диагонал

$\sqrt{12}$ бол түүний ирмэгийн уртын нийлбэрийг ол.

A. 13 B. 34 C. 24 D. 47 E. 12

ЭЕШ 2012 B №19

Бүх талс нь будагтай кубийг 1000 тэнцүү кубд хуваав. Эдгээр кубээс таамгаар 1-ийг сонгоход ядаж 1 талс нь будагтай куб таарах магадлалыг ол.

A.

$\dfrac{12}{125}$ B.

$\dfrac{13}{125}$ C.

$\dfrac{48}{125}$ D.

$\dfrac{61}{125}$ E.

$\dfrac{64}{125}$

Кубийн эзлэхүүн ба талсуудын талбай

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гурван ялгаатай талсын талбай 10, 25, 40 бол эзлэхүүнийг ол.

A. 50 B. 100 C. 125 D. 150 E. 200

Кубийн талсын диагоналийн урт

Кубийн бүтэн гадаргуугийн талбай 3-тай тэнцүү бол талсын диагоналийн уртыг ол.

A.

$2$ B.

$3$ C.

$1$ D.

$\sqrt2$ E.

$4$

Кубийг багтаасан бөмбөрцөг

Кубийг багтаасан бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай

$75\pi$ бол кубийн ирмэгийг ол.

A.

$3$ B.

$4$ C.

$6$ D.

$5$ E.

$3\sqrt5$

Кубын гүйцэт гадаргуу ба гол диагонал

Кубийн гүйцэд гадаргуугийн талбай 72 бол гол диагоналын уртыг ол.

A.

$4\sqrt3$ B.

$8$ C.

$6$ D.

$8\sqrt2$ E.

$12$

Cubeiin ogtlol

$ABCD$ суурьтай

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$AD, D_1C_1$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд,

$B_1C_1$ ирмэгийг

$1:3$ харьцаагаар хуваах цэгүүдийг дайрсан хавтгайгаар огтлоход огтлол дээр хэдэн өнцөгт үүсэх вэ?

A.

$3$ B.

$4$ C.

$5$ D.

$6$ E.

$7$

Кубын диагоналийн урт

Кубийн бүтэн гадаргуугийн талбай

$3$ -тай тэнцүү бол талсын диагоналийн урт хэдтэй тэнцүү вэ?

A.

$2$ B.

$3$ C.

$4$ D.

$\sqrt2$ E.

$1$

Cubeiin ogtlol

$ABCD$ суурьтай

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$AD, D_1C_1$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд,

$B_1C_1$ ирмэгийг

$3:1$ харьцаагаар хуваах цэгүүдийг дайрсан хавтгайгаар огтлоход огтлол дээр хэдэн өнцөгт үүсэх вэ?

A.

$7$ B.

$6$ C.

$5$ D.

$4$ E.

$3$

Кубын 2 оройн хоорондох хамгийн богино зам

Ялаа

$\sqrt3$ урттай ирмэгтэй

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$D$ орой дээр сууж байв.

$D$ –ийн эсрэг орших

$B_1$ оройд кубийн гадаргуугаар явж хүрэх хамгийн богино замын уртыг ол.

A.

$2\sqrt5$ B.

$15/2$ C.

$5$ D.

$\sqrt{15}$ E.

$3\sqrt5$

Төсөөгийн коэффициент

Кубийн ирмэг бүрийг 4 дахин урт болгоход гадаргуугийн талбай хэд дахин ихсэх вэ?

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 16

Бодлого №14246

Нэгж эзлэхүүнтэй кубүүдийг өрөхөд үүссэн биетийн бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

A. 30 B. 27 C. 24 D. 22 E. 20

ЭЕШ 2006 A №15

Кубийн гол диагональ 10 нэгж бол эзлэхүүнийг нь ол.

A.

$1000\sqrt3$ B.

$\dfrac{\sqrt3}{9}\cdot1000$ C.

$1000$ D.

$\dfrac{1000}{3}$ E.

$\dfrac{2000}{3}$

Бодлого №14650

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хажуу ирмэг 6 нэгж урттай, диагонал нь суурийн периметрээс 2 дахин богино бол суурийн талбайг ол.

A. 18 кв.нэгж B. 24 кв.н. C. 30 кв.н. D. 36 кв.н.

2018 №A.07

Куб хэдэн ирмэгтэй вэ?

A.

$8$ B.

$10$ C.

$14$ D.

$12$ E.

$6$

2018 №A.31

Тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй саванг хэрэглэсэний дараа урт, өргөн, өндөр нь тус бүр

$20\%$ -аар багассан бол гадаргуун талбай нь хэдэн хувиар багассан бэ?

A.

$20\%$ B.

$36\%$ C.

$16\%$ D.

$64\%$ E.

$74.4\%$

Кубийн эзлэхүүн ба талсуудын талбай

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гурван ялгаатай талсын талбай 8, 15, 30 бол эзлэхүүнийг ол.

A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 E. 90

Бодлого №15842

Кубийн ирмэгийг

$10\%$ ихэсгэхэд бүтэн гадаргуу нь хэдэн хувиар ихсэх вэ?

A.

$18\%$ B.

$19\%$ C.

$20\%$ D.

$21\%$ E.

$11\%$

Кубийн хөндлөн огтлол

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэгийн урт

$a$ ,

$M$ цэг

$DD_1$ ирмэг дээр орших бөгөөд

$D_1M=\dfrac14a$ бол

$AB_1M$ гурвалжны периметр $p=\dfrac{a}{2}(\fbox{a}+\fbox{b}\sqrt{2}+\sqrt{\fbox{cd}}),$
$B_1$ ба $M$ цэгийг дайрсан $C_1D$ шулуунуудтай параллель хавтгайн кубийг огтлох хэсгийн талбай $S=\dfrac{\fbox{e}\sqrt{\fbox{fg}}}{32}a^2$

байна.

ЭЕШ 2006 A №26

Улаан, хар, шар гурван зөв шоог (куб хэлбэртэй, нэгэн төрлийн цул) тавцан дээр санамсаргүйгээр шидээд буусан нүхний тоог нь харгалзан

$x; y; z$ гэж тэмдэглэв. (Жишээлбэл

$x=1$ гэж улаан шоо нэг нүхтэй талаар буусныг илэрхийлнэ)

$x$ тэгш байх магадлал $\dfrac{1}{\fbox{a}}$ .
$x< y$ байх магадлал $\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{cd}}$ .
$x+y< z$ байх магадлал $\dfrac{\fbox{e}}{54}$ байна.

ЭЕШ 2006 C №26

Улаан, хар, шар гурван зөв шоог (куб хэлбэртэй) тавцан дээр санамсаргүйгээр шидэхэд буусан нүхний тоог нь харгалзан

$x;y;z$ гэж тэмдэглэв. (Жишээлбэл

$x=1$ гэж улаан шоо нэг нүхтэй талаар буусныг илэрхийлнэ)

$x$ анхны тоо байх магадлал $\dfrac{1}{\fbox{a}}$
$x>y$ байх магадлал $\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{cd}}$
$x+y>z$ байх магадлал $\dfrac{\fbox{efg}}{216}$

байна.

ЭЕШ 2011 B №25

4 нэгж талтай квадратын өнцгүүдээс нь нэг, нэг квадрат салган авч үлдсэн хэсгээр тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэрийн сав хийлээ. Савны эзлэхүүн хамгийн ихдээ хэд байх вэ? Таслан авсан квадратын талыг

$x$ гэвэл эзлэхүүн нь

$V=4x^3-\fbox{ab}x^2+\fbox{cd}x$ болох ба түүний хамгийн их эзлэхүүн нь

$V=\fbox{e}\dfrac{\fbox{fg}}{\fbox{hi}}$ байна.

Бодлого №6271

$\dfrac1{x^2-2x}+\dfrac1{x^2-6x+8}=1$ тэгшитгэлийг хувиргавал

$x^3-\fbox{a}x^2+\fbox{b}x+\fbox{c}=0$ куб тэгшитгэл гарах ба

$x^3-\fbox{a}x^2+\fbox{b}x+\fbox{c}=(x-2)(x^2-\fbox{d}x-\fbox{e})$ тул

$x_1=2,$

$x_{2,3}=\fbox{f}\pm\sqrt{\fbox{g}}$ шийдтэй байна. Тодорхойлогдох мужийг тооцвол анхны тэгшитгэлийн шийд

$x_{2,3}$ болно.

Бодлого №7662

А нь 8-аас цөөнгүй ялгаатай натурал тоонуудаас тогтох олонлог. Түүний бүх тоонуудын хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч нь 462 ба аль ч 2 тооных нь хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч 250-аас бага байв. А олонлогийн бүх элементүүдийн үржвэрийг 9 дахин нэмэгдүүлэхэд бүтэн куб болдог бол А олонлогийн хамгийн их тоо нь

$\fbox{ab}$ ба хамгийн бага тоо нь

$\fbox{c}$ байна.

Бодлого №8085

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ (

$AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\parallel DD_1$ ) кубийн

$A_1D_1$ ирмэгийн дундаж ба

$B$ ,

$C$ ,

$C_1$ оройнуудыг дайрсан бөмбөрцөгийн радиус

$\sqrt{41}$ -тэй тэнцүү бол кубийн гадаргуун талбай

$\fbox{abc}$ байна.

Бодлого №8086

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ (

$AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\parallel DD_1$ ) кубийн

$B_1C_1$ ирмэгийн дундаж ба

$A, B, D$ оройнуудыг дайрсан бөмбөлгийн радиус

$\sqrt{82}$ -тай тэнцүү бол кубийн талсын талбай

$\fbox{abc}$ байна.

Бодлого №8095

Эзлэхүүн нь 8-тай тэнцүү параллелепипед

$R=\sqrt{3}$ радиустай бөмбөлөгт багтжээ. Параллелепипедийн бүтэн гадаргуугийн талбай

$\fbox{ab}$ байна.

Тэнцэтгэл биш ашиглан бодох бодлого

Эзлэхүүн нь

$\dfrac{8\sqrt{3}}{9}$ -тай тэнцүү параллелепипед

$R=1$ радиустай бөмбөлөгт багтжээ. Параллелепипедийн бүтэн гадаргуугийн талбай

$\fbox{a}$ байна.

Бодлого №8107

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$AA_1, CC_1$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$E, F$ цэгүүдийг

$AE=2\cdot A_1E, CF=2\cdot C_1F$ байхаар авчээ.

$B, E, F$ цэгүүдийг дайрсан хавтгайгаар куб хоёр олон талстад хуваагдав.

$B_1$ цэгийг агуулсан олон талстын эзлэхүүнийг кубийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцаа

$\fbox{ab}:\fbox{cd}$ байна.

Бодлого №8108

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$B_1C_1, AA_1$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$E,F$ цэгүүдийг

$B_1E=EC_1, AF=2\cdot A_1F$ байхаар авчээ.

$B, E, F$ цэгүүдийг дайрсан хавтгайгаар куб хоёр олон талстад хуваагдав.

$B_1$ цэгийг агуулсан олон талстын эзлэхүүнийг кубийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцаа

$\fbox{ab}:\fbox{cde}$ байна.

Бодлого №8115

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг 6-тай тэнцүү.

$A$ орой,

$B_1C_1$ ирмэгийн дундаж

$M$ цэг,

$DD_1$ ирмэг дээр орших

$K$ цэгийг дайрсан хавтгай

$A_1B_1C_1D_1$ талсыг талбайнууд нь 1:19 харьцаатай байхаар 2 хэсэгт хуваадаг байвал

$AK=\fbox{a}\cdot \sqrt{\fbox{bc}}$ байна.

Бодлого №8116

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг 4-тэй тэнцүү.

$D$ орой,

$A_1B_1$ ирмэгийн дундаж

$L$ цэг,

$CC_1$ ирмэг дээр орших

$M$ цэгийг дайрсан хавтгай

$A_1B_1C_1D_1$ талсыг талбайнууд нь 1:27 харьцаатай байхаар 2 хэсэгт хуваадаг байвал

$D_1M=\fbox{a}$ байна.

Бөмбөлгийн радиус, Координатын арга

Ирмэгийн урт нь 1-тэй тэнцүү

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгдөв.

$BA, BB_1, BC$ ирмэгүүд ба $(A_1DC_1)$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус $r=\dfrac{\fbox{a}\cdot \sqrt{\fbox{b}}-\fbox{c}\cdot \sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{e}}$ байна.
$BA, BB_1, BC$ ирмэгүүд ба $DA_1$ шулууныг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус $R=\fbox{f}\cdot \sqrt{\fbox{g}}-\sqrt{\fbox{h}}$ байна.

Бодлого №8128

Ирмэгийн урт нь 1-тэй тэнцүү

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ куб өгөгдөв.

$CB, CC_1, CD$ ирмэгүүд ба $(B_1AD_1)$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус $r=\dfrac{\fbox{a}\cdot \sqrt{\fbox{b}}-\fbox{c}\cdot \sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{e}}$ байна.
$CB, CC_1, CD$ ирмэгүүд ба $AD_1$ шулууныг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус $R=\fbox{f}\cdot \sqrt{\fbox{g}}-\sqrt{\fbox{h}}$ байна.

Бодлого №8268

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллелепипедийн талсуудын

$AC$ ,

$DC_1$ диагоналиуд дээр харгалзан

$M,N$ цэгүүдийг

$MN\|BD_1$ байхаар авав.

$\overrightarrow{CD}=\vec a$ ,

$\overrightarrow{CB}=\vec b$ ,

$\overrightarrow{CC_1}=\vec c$ гэвэл

$\overrightarrow{BD_1}=\vec a+\fbox{a}\vec b+\vec c$ ,

$\overrightarrow{CA}=\vec a+\vec b+\fbox{b}\vec c$ ба

$MN:BD_1=\fbox{c}:\fbox{d}$ болно.

Бодлого №8283

$a$ ирмэгтэй

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$AA_1$ ,

$BC$ ,

$C_1D_1$ ирмэгүүд дээр харгалзан байрлах

$P,Q,R$ цэгүүдийн хоорондох зайн квадратуудын нийлбэрийн хамгийн бага утга нь

$\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}a^2$ байх ба энэ үед

$AP:PA_1=\fbox{c}:\fbox{d}$ юм.

Бодлого №8284

Тэгш өнцөгт параллелепипед

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ -ийн ирмэгүүд

$AA_1=a$ ,

$BC=b$ ,

$C_1D_1=c$ бол эдгээр ирмэгүүд дээр харгалзан байрлах

$P,Q,R$ цэгүүдийн хоорондох зайн квадратуудын нийлбэрийн хамгийн бага утга нь

$\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}(a^2+b^2+c^2)$ байх ба энэ үед

$AP:PA_1=\fbox{c}:\fbox{d}$ болно.

Бодлого №8289

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллелепипедийн

$BC$ ирмэгийн дундаж цэг

$M$ -ийг дайрч

$AC_1$ ,

$DD_1$ шулуунуудыг харгалзан

$N,P$ цэгүүдээр огтолсон шулуун оршин байх ба

$\overrightarrow{AN}=\dfrac2{\fbox{a}}\overrightarrow{AC_1}$ ,

$\overrightarrow{DP}=\fbox{b}\overrightarrow{DD_1}$ ,

$MN:NP=\fbox{c}:\fbox{d}$ болно.

Бодлого №8290

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллелепипедийн

$B,D,A_1$ оройнуудыг дайрсан хавтгай түүний

$AC_1$ диагоналийг

$F$ цэгээр огтолдог ба

$\overrightarrow{AB}=\vec a$ ,

$\overrightarrow{AD}=\vec b$ ,

$\overrightarrow{AA_1}=\vec c$ гэвэл

$\overrightarrow{DF}=\displaystyle\frac13(\fbox{a}\vec a-\fbox{b}\vec b+\vec c)$ ,

$AF:FC_1=\fbox{c}:\fbox{d}$ болно.

Бодлого №8291

$a$ урттай ирмэг бүхий кубийн зэргэлдээ хоёр талсын солбисон диагоналиудын хоорондох зайг

$\delta$ гэе. Эдгээр диагоналийн ерөнхий перпендикуляр хэрчим диагоналийг

$\fbox{a}:\fbox{b}$

$(a< b)$ харьцаагаар хуваах ба

$\delta=\displaystyle\frac{\sqrt{\fbox{c}}}3\,a$ байна.

ЭЕШ 2014 B №40

$ABCDEFS$ зөв зургаан өнцөгт пирамид дотор 4 см радиустай бөмбөрцөг багтжээ. Апофем нь суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодолт:

$SOM$ -аас

$SO=8$ см. Иймд

$SK=12$ см болох ба

$SGK$ -аас $GK=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ см тул (2 оноо)
Суурийн талбай $S_c=\fbox{cd}\sqrt{\fbox{b}}$ см.кв болно. (3 оноо)
Эндээс пирамидын эзлэхүүн $V=\fbox{efg}\sqrt{\fbox{b}}$ см.куб (3 оноо)

ЭЕШ 2013 A №25

Ирмэг нь 6 нэгж

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$AA_1$ ,

$CC_1$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$M, N$ цэгүүдийг

$|A_1M|=|C_1N|=2$ байхаар тэмдэглэв.

$DN$ ба $D_1C_1$ шулуунуудын огтлолцлын цэг $K$ , $DM$ ба $D_1A_1$ шулуунуудын огтлолцлын цэг $L$ бол $|C_1K|=|A_1L|=\fbox{a}$ (1 оноо).
$KL$ шулуун $A_1B_1$ ба $B_1C_1$ ирмэгүүдийг харгалзан $E$ ба $F$ цэгүүдээр огтлох бол $|C_1F|=|A_1E|=\fbox{b}$ (1 оноо).
$V_{A_1MLE}=V_{C_1KNF}=\fbox{c}$ (2 оноо).
$V_{D_1DKL}=\fbox{de}$ (1 оноо).
$D, M, N$ цэгүүдийг дайрсан хавтгайгаар куб 2 олон талстад хуваагдах бөгөөд $D_1$ цэгийг агуулсан олон талстын эзлэхүүн $\fbox{fg}$ (3 оноо).

Төгсгөлгүй буурах геометр прогресс

Төгсгөлгүй буурах

$b_{n}$ геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь

$\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i=2$ , квадратуудын нийлбэр нь

$\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^2=1$ бол

$b_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ ,

$q=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болох тул кубуудын нийлбэр нь

$\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^3=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$ байна.

3.1.6 бодлого дасгал

18. Координатын эхийг дайрсан

$5x-3y+2z-3=0$ хавтгайтай параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.

Бодлого №2310

Хажуу ирмэгийн урт нь

$1$ см байх зөв

$4$ өнцөгт пирамидын эзлэхүүн хамгийн ихдээ хэд байх вэ?

Бодлого №2819

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн тэгш хэмийн төвөөс хажуу ирмэг хүртэлх зай

$d$ бөгөөд хажуу ирмэг дэх хоёр талст өнцөг

$\varphi$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Пирамидын хажуу ирмэгийн урт

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын эзлэхүүн нь

$V$ болно. Хажуу ирмэгийн суурийн хавтгайд налсан өнцөг

$\alpha$ бол пирамидын хажуу ирмэгийг ол.

Бодлого №2821

Пирамидын суурь нь

$\alpha$ хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин. Пирамидын өндөр нь

$H$ . Пирамидын хажуу ирмэгүүдийн суурийн хавтгайтай ижилхэн

$\beta$ -өнцөг үүсгэх бол пирамидийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2822

$ABCF$ пирамидын

$ABC$ суурийн

$BK$ медиан ба

$AF$ хажуу ирмэгийн дундаж

$L$ цэгийг дайруулан хавтгай татав.

$BCKLF$ олон талт ба

$ABKL$ пирамидын эзлэхүүнүүдийн харьцааг ол.

Бодлого №2823

Дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь квадрат болно. Пирамидын нэг хажуу ирмэг суурийн хавтгайдаа перпендикуляр бөгөөд өөр хоёр ирмэг нь

$60^\circ$ налсан байжээ. Хэрэв квадратын тал нь 4-тэй тэнцүү бол пирамидын бүтэн гадаргуугын талбайг ол.

Бодлого №2824

Бөмбөрцгийг багтаасан зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр бөмбөрцгийн диаметраас дөрөв дахин их бол пирамид ба бөмбөрцгийн эзлэхүүний харьцааг ол.

Бодлого №2825

Зөв гурвалжин пирамидын суурийн талбай ба хажуу талын хоорондын өнцөг

$45^\circ$ . Пирамидын эзлэхүүн нь

$\dfrac{1}{3}$ бол пирамидын суурийн талуудын уртыг ол.

Бодлого №2826

Зөв зургаан өнцөгт пирамидын суурийн тал 2, хажуу ирмэг 4 бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2827

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг 3, суурийн тал 2 бол хажуу талын суурийн хавтгайтай үүсгэх өнцгийн косинусыг ол.

Бодлого №2828

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр

$H$ . Хажуу талсуудын үүсгэх хоёр талст өнцөг

$2\alpha$ бол суурийн талуудын уртыг ол.

Бодлого №2829

Бөмбөрцөгт багтсан пирамидын суурь нь 10 диагоналтай тэгш өнцөгт. Пирамидын хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай

$\beta$ өнцөг үүсгэдэг бол бөмбөрцгийн бүтэн гадаргуугийн талбай ба эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2830

Зөв гурвалжин пирамидын хажуу талс суурьтайгаа

$\alpha$ өнцөг үүсгэх бол хажуу талсуудын хооронд үүсэх хоёр талст өнцгийг ол.

Бодлого №2831

$SABCD$ пирамидын суурь нь

$ABCD$ тэгш өнцөгт бөгөөд түүний талууд нь

$a\sqrt3$ ба

$a$ байв.

$SC$ хажуу ирмэг суурьтайгаа перпендикуляр, харин

$SA$ хажуу ирмэг нь

$\alpha$ өнцөг үүсгэнэ. Пирамидыг түүний

$BD$ ирмэгийг дайрсан

$SA$ ирмэгтэй параллель хавтгайгаар огтлоход үүсэх хөндлөн огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2832

Зөв гурвалжин пирамидын суурийн төвийг хажуу ирмэгийн дундажтай холбосон хэрчмийн урт суурийн талтай тэнцүү. Пирамидын хажуу талсуудын хоорондох өнцгийг ол.

Бодлого №2833

Пирамидын суурь нь 3 ба 4 талтай тэгш өнцөгт. Тэгш өнцөгтийн богино талд налсан хажуу талс суурийн хавтайтай

$45^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэх бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2834

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн тал 8 ба хажуу ирмэгүүд нь суурьтайгаа

$60^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэдэг. Суурийн оройг дайруулан түүнийг дайраагүй суурийн диагоналтай параллель хавтгай татахад пирамидын өндрийг сууриас тооцоход

$1:2$ харьцаагаар хуваав. Хөдлөн огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2835

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн талбай 8, хажуу ирмэгийн суурьтаа налсан өнцөг

$60^\circ$ . Пирамидыг түүний аль нэг суурийн оройг дайрсан, уг оройн эсрэг орших ирмэгтэй перпендикуляр хавтгайгаар огтлоход үүсэх хөндлөн огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2837

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг

$\sqrt 6$ , суурийг багтаасан тойргийн радиус

$\sqrt2$ бол пирамидыг багтаасан бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2838

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу тал суурьтайгаа

$\dfrac{\pi}{3}$ өнцөг үүсгэнэ. Суурьт багтсан тойргийн радиус

$\sqrt3$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2839

Квадрат суурьтай дөрвөн өнцөгт пирамид өгөгджээ. Түүний нэг хажуу ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр. Уг пирамидад доод суурь нь пирамидын суурь дээр байрлах, дээд суурийн ирмэгүүд нь пирамидын талсууд дээр байрлаж байхаар куб багтав. Хэрэв пирамидын хажуу талс сууриа

$\alpha$ өнцгөөр налсан, кубийн ирмэгийн урт

$a$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2840

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн тал

$a$ , суурьт налсан хоёр талст өнцөг

$2\alpha$ байв. Уг хоёр талст өнцгийг таллан хуваах хавтгай татав. Үүсэх хөндлөн огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2842

Гурвалжин пирамидын суурийн талууд 6 см, 5 см, 5 см ба хажуу талсууд нь суурьтайгаа үүсгэх 2 талст өнцөг

$45^\circ$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2843

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр 2, хажуу талс нь суурьтай

$60^\circ$ үүсгэх бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2844

Пирамидыг суурьтай нь параллель хавтгайгаар огтлоход өндөр нь орой талаасаа

$2:3$ харьцаагаар хуваагджээ. Хэрэв энэ хөндлөн огтлолын талбай нь суурийн талбайгаас

$84$ см.кв-аар бага бол хөндлөн огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2845

Тэгш өнцөгт суурьтай пирамидын суурийн диагонал

$l$ ба диагоналуудын хоорондох өнцөг

$\alpha$ . Пирамидын өндөр суурийн периметртэй тэнцүү бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2846

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын апофем

$m$ , оройн өнцөг

$\alpha$ бол түүний гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2847

Адил хажуут гурвалжин суурьтай пирамидын суурийн хоёр тал 6 см, нөгөө тал нь 8 см. Хажуу ирмэгүүд өөр хоорондоо тэнцүү бүгд 9 см. Пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2848

Зөв зургаан өнцөгт пирамидын хажуу ирмэгийн суурьт налсан өнцөг

$\alpha=45^\circ$ . Суурийн приметр 24 бол пирамидын эзлэхүүнийг ол. Хариуг таслалаас хойш нэг орны нарийвчлалтайгаар ойролцоогоор тооцоол.

$\sqrt3=1,73$ гэж ав.

Бодлого №2849

Пирамидын суурь 6 талтай адил талт гурвалжин, өндөр нь 9 бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

$\sqrt3=1,7$ гэж үз.

Бодлого №2850

Тэгш өнцөгт гурвалжин суурьтай пирамидын суурийн катетууд 6 ба 8. Пирамидын хажуу талсууд суурьтай үүсгэх хоёр талст өнцгүүд бүгд тэнцүү

$60^\circ$ бол пирамидын өндрийг ол.

$\sqrt3=1,7$ гэж үз.

Бодлого №2852

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын диагонал огтлолын талбай суурьтайгаа хэм чацуу. Хажуу ирмэг 5 бол пирамидын суурийн талбайг ол.

Бодлого №2853

Олон өнцөгт суурьтай зөв пирамидын суурийн дотоод өнцгүүдийн нийлбэр

$540^\circ$ . Пирамидын хажуу ирмэгийн урт нь

$l$ ба суурьт налсан өнцөг нь

$\beta$ -бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2854

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг дэх хоёр талст өнцөг

$120^\circ$ . Пирамидын диагонал огтлолын талбай

$q$ бол түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2855

$S$ оройтой

$SABC$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SC$ ирмэг дээрх

$D$ цэг түүнийг

$SD:DC=1:2$ гэж хуваана. Хэрэв

$AB=a$ ,

$\angle ASB=\alpha$ бол

$ABD$ гурвалжны талбайг ол.

Бодлого №2856

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг

$18$ , суурийн диагонал

$16\sqrt2$ бол түүний өндөрийг ол.

Бодлого №2857

Зөв зургаан өнцөгт пирамидын суурийн тал

$a$ . Түүний хажуу гадаргуугийн талбай суурийн талбайгаас 10 дахин их бол энэ пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2858

Зөв гурвалжин пирамидын суурийн тал

$a$ , хажуу ирмэг нь суурьтаа

$\varphi$ өнцгөөр налдаг бол пирамидын эзлэхүүн, хажуу гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2859

$a$ талтай кубийн нэг талсын төвийг түүний эсрэг орших талсын ирмэгүүдийн дундаж цэгүүдтэй хэрчмээр холбов. Түүнчлэн эдгээр хэрчмүүдийн төгсгөлүүдийг дараалуулан хэрчмээр холбов. Эдгээр хэрчмүүдээр үүсэх пирамидын бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2878

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ шулуун призмийн суурь нь

$ABCD$ параллельограмм.

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ цэгүүд харгалзан

$A_1B$ ,

$B_1C$ ,

$DA$ талууд дээр оршино.

$KM$ шулуун

$B_1C_1$ шулуунтай параллель,

$A_2$ цэг

$AA_1$ ирмэг дээр орших ба

$AA_2:A_2A_1=3$ байв.

$ABC$ хавтгайтай параллельиар

$A_2$ цэгийг дайран гарах

$\pi$ хавтгай

$BK$ ,

$BL$ ,

$BM$ ,

$BN$ хэрчмүүдийг харгалзан

$E$ ,

$F$ ,

$G$ ,

$H$ цэгүүдээр огтолно. Хэрэв

$ABCD A_1B_1C_1D_1$ призмын эзлэхүүн

$V$ бол

$CEFGH$ дөрвөн өнцөгт пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2879

Зөв зургаан өнцөгт призмын хамгийн том диагонал огтлолын талбай 1 бол призмын хажуу гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2894

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр 4, түүний суурийг багтаасан тойргийн урт

$\sqrt3\pi$ . Уг пирамидад багтсан ба түүнийг багтаасан конусуудын эзлэхүүний зөрөөг ол.

Бодлого №2900

Хажуу ирмэгийн урт нь

$a$ -тай тэнцүү зөв гурвалжин пирамид бөмбөрцөгт багтсан байв. Пирамидын хажуу ирмэг суурийн хавтгайтаагаа

$\alpha$ өнцөг үүсгэдэг гэвэл бөмбөрцөгийн гадаргуугийн талбай ба пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2917

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь

$AB=4$ ,

$BC=2$ талууд бүхий

$ABCD$ тэгш өнцөгт. Бүх хажуу ирмэгүүдийн урт 3 бөгөөд

$M$ цэг нь

$SA$ -ын дундаж.

$BM$ шулууныг агуулсан

$AC$ диагоналтай параллель хавтгай татав.

$SAC$ өнцгийг ол. Бодолтыг харах!

Бодлого №2920

Пирамидын суурь нь 2 см тал бүхий

$ABC$ зөв гурвалжин байв.

$ACD$ талс суурьтаа перпендикуляр бөгөөд

$AD=CD=\sqrt{6}$ см. Пирамидын

$BD$ ирмэгийн урт ба түүний бүх квадрат хэлбэртэй огтлолуудын талбайг ол.

Бодлого №2921

$PQRS$ тетраэдрийн

$PQ$ ирмэг дээрх

$F$ цэгийг

$RS$ ирмэг дээрх

$G$ цэгтэй,

$QS$ ирмэг дээрх

$O$ цэгийг

$PR$ ирмэг дээрх

$N$ цэгтэй,

$PS$ ба

$QP$ ирмэгүүдийн дундаж

$X$ ба

$Y$ цэгүүдиийг тус тус хэрчмээр холбоход

$FG$ ,

$ON$ ,

$XY$ хэрчмүүд нэг цэгт огтолцож байв.

$PS=QR=PQ=5$ ,

$PF=3$ ,

$PS$ ба

$QR$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$60^\circ$ -тай тэнцүү гэвэл

$FOGN$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Бодлого №2925

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SO$ өндөр нь

$H$ -тай тэнцүү. Харин

$ASC$ (

$AS$ ба

$CS$ эсрэг байрлах хажуу ирмэгүүд) өнцөг

$2\alpha$ .

$K$ цэг

$SO$ шулуун дээр орших ба

$SK:SO_1=1:3$ (

$O_1$ -пирамидын багтсан бөмбөрцгийн төв) гэсэн харьцаагаар байрлана. Пирамидын суурьтай параллель,

$K$ цэгийг дайран гарах хавтгайгаар үүсэх огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2928

$SABC$ пирамидын суурь нь

$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжин.

$B$ өнцөг тэгш,

$A$ өнцөг

$\alpha$ -тай тэнцүү, пирамидын хажуу ирмэг бүр суурийн хавтгайтай

$45^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол

$SAC$ ,

$SBC$ хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг ол.

Бодлого №2929

$MABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь

$AB=a$ ,

$AD=b$ талуудтай

$ABCD$ тэгш өнцөгт байв.

$MAD$ ба

$MAB$ талсууд суурийн хавтгайтай перпендикуляр, харин

$MDC$ талс

$45^\circ$ -ийн өнцөгөөр налдаг бол пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2932

Пирамидын суурь адил хажуут трапец ба хажуу талын урт нь 5 байв. Мөн уг трапецад тойрог багтааж болох ба трапецийн дундаж шугам багтсан тойргийг талбайн харьцаа нь

$3/7$ байх хоёр хэсэгт хуваана. Пирамидын өндөр суурийн периметртэй тэнцүү бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2933

Зөв гурвалжин пирамидын хажуу ирмэгт үүсэх хоёр талст өнцөг

$2\alpha$ -тай тэнцүү. Пирамидын өндөр

$H$ . Пирамидыг багтаасан конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2937

$SABC$ гурвалжин пирамидийн

$S$ орой дахь хавтгай өнцгүүд бүгд тэгш байв.

$SO$ нь пирамидын өндөр бөгөөд

$AOB$ гурвалжны талбайг

$BOC$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцаа нь

$k$ бол

$ASB$ гурвалжны талбайг

$BSC$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2939

Пирамидын суурь нь

$a$ талтай зөв гурвалжин. Түүний нэг хажуу талс нь суурьтайгаа ижил гурвалжин бөгөөд түүнд перпендикуляр байв. Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2941

$SABC$ (

$S$ --- оройн цэг) зөв гурвалжин пирамидын хажуу ирмэг болон суурийн хавтгайн хоорондох өнцөг

$\alpha$ , суурийн талын урт

$a$ бөгөөд

$SH$ нь пирамидын өндөр.

$H$ цэгийг дайрсан

$SA$ ба

$BC$ ирмэгүүдтэй параллель огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2943

Гурвалжин пирамидын

$A$ ба

$B$ оройг дайрсан,

$AS$ ба

$BS$ ирмэгүүдийг харгалзан

$M$ ба

$N$ цэгт огтлох бөмбөрцөг байгуулав.

$B$ ба

$N$ цэгүүдийг дайруулан

$SC$ ирмэгийг

$P$ ба

$Q$ цэгт огтлох бөгөөд

$PQ=\dfrac13SC$ байх өөр нэг бөмбөрцөг байгуулав. Хэрэв

$M$ нь

$SA$ ирмэгийн дундаж цэг бөгөөд

$SC=\dfrac32SA$ бол

$SC$ хэрчим

$QC$ (

$QC< PC$ ) хэрчмийн ямар хэсэгтэй тэнцэх вэ?

Бодлого №2944

Пирамидын өндөр 5, суурийн талууд 7, 8, 9. Нэгэн бөмбөрцөг түүний бүх хажуу талсыг суурийн тал дээр орших цэгээр шүргэх бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2946

$SABC$ (

$S$ --- оройн цэг) зөв гурвалжин пирамидын

$B$ ба

$C$ оройг дайруулан

$SA$ ирмэгийг

$S$ оройгоос тооцоход

$m:n$ харьцаагаар хуваах огтлогч хавтгай татав. Хэрэв

$SABC$ пирамидын эзлэхүүн

$V$ ,

$ABC$ суурийн төвөөс огтлогч хавтгай хүртэлх зай

$D$ бол огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2947

$ABCD$ пирамидын

$AC$ ,

$BC$ ,

$DC$ ирмэгүүд харилцан перпендикуляр бөгөөд

$AC=BC=DC=4$ байв.

$AB$ ирмэгийн дундаж цэг

$N$ ,

$AD$ ирмэг дээр

$M$ цэг орших бөгөөд

$AM:MD=3$ .

$CN$ шулуун дээр төвтэй бөмбөрцөг

$AD$ ирмэгийг

$M$ цэгт шүргэнэ. Бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2950

$S$ оройтой

$SABCD$ зөв дөрвөлжин пирамидын

$BC$ ирмэг дээр

$DM:DC=1:15$ байхаар

$M$ цэг авав.

$SAB$ ,

$SCD$ хажуу талсуудыг шүргэх цилиндрийн нэг суурь нь

$M$ цэгийг агуулдаг, нөгөө суурь нь

$SC$ ирмэгтэй ерөнхий цэгтэй байв. Цилиндрийн хажуу гадаргуу пирамидын

$SH$ өндөртэй

$O$ цэгт огтлолцох ба

$SO:SH=1:3$ байв. Цилиндр ба пирамидын ерөнхий цэгийг ол.

Бодлого №2951

$SABC$ (

$S$ нь оройн цэг) зөв гурвалжин пирамидын

$BC$ ирмэг дээр

$BD:DC=2:3$ байхаар

$D$ цэг авав.

$SAB$ ,

$SBC$ хажуу талсуудыг шүргэх цилиндрийн нэг суурь нь

$D$ цэгийг агуулдаг, нөгөө суурь нь

$SC$ ирмэгтэй ерөнхий цэгтэй байв. Хэрэв цилиндрийн хажуу гадаргуу

$AC$ талтай цор ганц ерөнхий цэгтэй гэвэл цилиндр ба пирамидын эзлэхүүний харьцааг ол.

Бодлого №2952

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь

$ABCD$ параллелограмм ба

$S$ оройн суурь дээрх ортогнал проекц нь параллелограммын диагоналиудын огтлолцлын цэг болж байв.

$BS$ ба

$BC$ ирмэгүүдэд дээр харгалзан

$BE=\dfrac14BS$ ,

$BF=\dfrac13BC$ байхаар

$E$ ба

$F$ цэгүүд авав.

$P$ ба

$Q$ цэгүүд нь харгалзан

$AE$ ба

$SF$ шулуунуудад харъяалагдах бөгөөд

$PQ$ шулуун нь пирамидын суурийн хавтгайтай перпендикуляр байв.

$ABCD$ параллелограммын талбай 3,

$PQ=12$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2953

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь

$ABCD$ параллелограмм ба

$S$ оройн суурь дээрх ортогнал проекц нь параллелограммын диагоналиудын огтлолцлын цэг болж байв.

$DS$ ба

$AD$ ирмэгүүдэд дээр харгалзан

$DP=\dfrac15DS$ ,

$DQ=\dfrac14AD$ байхаар

$P$ ба

$Q$ цэгүүд авав.

$N$ ба

$M$ цэгүүд нь харгалзан

$CP$ ба

$SQ$ шулуунуудад харъяалагдах бөгөөд

$NM$ шулуун нь пирамидын суурийн хавтгайтай перпендикуляр байв.

$ABCD$ параллелограммын талбай 6,

$NM=8$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2955

$SABC$ пирамидын

$SH$ өндрийн суурь

$H$ цэг нь

$ABC$ гурвалжны

$CM$ медиан дээр орших бөгөөд

$SH$ өндрийн дундаж цэг

$O$ нь

$S$ орой,

$SA$ ирмэг дээрх

$E$ цэг,

$SB$ ирмэг дээрх

$F$ цэгүүдээс нэгэн ижил зайд алслагдаж байв. Хэрэв

$SH=8$ ,

$AB=16\sqrt2$ ,

$EF=8\sqrt{\dfrac25}$ ,

$SMC$ өнцгийн хэмжээ

$30^\circ$ -ээс хэтрэхгүй,

$AB$ ба

$SC$ хэрчмүүдийн дундаж цэгүүд

$4\sqrt{13}$ зайтай бол

$SABC$ пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2956

$PQRP_1Q_1R_1$ зөв гурвалжин призмийн доод суурийн

$PQ$ ирмэгийг дайруулан

$RR_1$ ирмэгийг огтлох огтлогч хавтгай татан түүнийг хоёр олон талст болгон хуваав. Эдгээрийн

$PQR$ гурвалжин нэг талс нь болох олон талстын эзлэхүүнийг

$QQ_1PP_1$ дөрвөн өнцөгт талс нь болох олон талстын эзлэхүүнд харьцуулсан харьцаа

$q$ . Хэрэв

$PQ_1$ ба

$RR_1$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\varphi$ бол огтлогч хавтгай ба пирамидын сууриудын хооронд үүсгэх өнцгийн хэмжээг ол.

Бодлого №2957

$SKLM$ зөв гурвалжин пирамидын

$ML$ тал ба

$SK$ ирмэгтэй параллел

$\pi$ хавтгайгаас

$S$ ба

$K$ цэгүүд хүртэлх зайнууд нь

$ML$ шулуун хүртэлх зайнаас 2 дахин бага байв.

$MSK$ хажуу талс дээр буулгасан

$SP$ өндрийн урт

$d$ ,

$SL$ хажуу ирмэг ба пирамидын

$SO$ өндрийн хоорондох өнцөг

$\beta$ байв.

$\pi$ хавтгайгаар үүсэх огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2958

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамид ба суурийн төв цэг нь

$SO$ шулуун дээр (

$SO$ --- пирамидын өндөр) байрлах конус өгөгдөв.

$E$ цэг

$SD$ ирмэгийн дундаж ба

$F$ цэг

$AF=\dfrac32FD$ байхаар

$AD$ ирмэг дээр байрлана. Конусын нэг тэхлэг огтлолын гурвалжины хоёр орой нь

$CD$ шулуун дээр, гурав дахь орой нь

$EF$ шулуун дээр байв. Хэрэв

$AB=4$ ,

$SO=3$ бол конусын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2959

$KLMN$ гурвалжин пирамидад багтсан бөмбөрцгийн төв нь түүний нэг талсыг уг талсад багтсан гурвалжны төв цэгт шүргэнэ. Хэрэв

$MK=\dfrac45$ ,

$\angle NMK=\dfrac\pi2$ ,

$\angle KML=3\arcctg\dfrac13$ ,

$\angle NML=\dfrac\pi2-\arcctg\dfrac13$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2960

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь

$ABCD$ ромбо байв. Уг ромбын

$A$ өнцөг хурц, өндөр нь 4 ба

$S$ оройн суурь дээрх ортогнал проекц нь ромбын диагоналуудын огтлолцлын цэг болж байв. Хэрэв 2 радиустай бөмбөрцөг пирамидын бүх талсыг шүргэх бөгөөд уг бөмбөрцгийн төвөөс

$AC$ шулуун хүртэлх зай нь

$\dfrac{2\sqrt2}3AB$ бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2962

$TABCD$ пирамидын суурь нь

$BC\parallel AD, AD:BC=2$ байх

$ABCD$ трапец байв. Пирамидын

$T$ оройг дайруулан

$BC$ шулуунтай параллел,

$AB$ хэрчмийг

$AM:MB=2$ байх

$M$ цэгт огтлох хавтгай татахад үүсэх огтлолын талбай

$S$ ,

$BC$ ирмэгээс огтлогч хавтгай хүртэлх зай

$D$ бол 1) Огтлогч хавтгай пирамидын эзлэхүүнийг ямар харьцаагаар хуваах вэ? 2) Пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2964

$SPQRT$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SO$ өндрийн урт

$h$ ,

$SP$ хажуу ирмэг нь

$PQRT$ хавтгайтай

$\gamma$ өнцөг үүсгэнэ. Пирамидын суурийн хавтгайнууд болон бүх хажуу ирмэгийг шүргэсэн бөмбөрцөг ба пирамидын бүх оройгоос ижил зайд алслагдсан хавтгай хоёрын огтлолцолд үүсэх тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2967

$SABC$ (

$S$ нь оройн цэг) зөв гурвалжин пирамидад багтсан бөмбөрцөг нь

$KL=LM=\sqrt{6}$ байх

$KLMK_1L_1M_1$ шулуун, гурвалжин призмд багтах ба

$KK_1$ ирмэг

$AB$ шулуун дээр байрлаж байв. Хэрэв

$SC$ ирмэг

$LL_1M_1M$ хавтгайтай параллель бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2971

$KLMNK_1L_1M_1N_1$ призмийн суурь нь

$K$ орой дахь өнцөг нь

$60^\circ$ -тэй тэнцүү

$KLMN$ ромбо.

$LL_1$ ба

$LM$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүү нь харгалзан

$E$ ба

$F$ .

$SABCD$ (

$S$ оройтой) зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SA$ ирмэг

$LN$ шулуун дээр орших ба

$B$ ,

$D$ оройнууд нь харгалзан

$MM_1$ ,

$EF$ ирмэгүүд дээр оршино. Хэрэв

$SA=2AB$ бол призм ба пирамидын эзлэхүүнүүдийн харьцааг ол.

Бодлого №2972

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь

$ABCD$ (

$BC\parallel AD$ ) трапец ба

$BC=\dfrac45AD$ ,

$\angle ASD=\angle CDS=\dfrac\pi2$ байв. Пирамидын бүх оройнууд

$2$ өндөртэй,

$\dfrac53$ суурийн радиустай цилиндрийн суурийн тойргууд дээр байрлах бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2973

Талсууд нь хурц өнцөгт гурвалжнууд байх

$EFGH$ пирамидын өндрүүд өөр хоорондоо тэнцүү байв. Хэрэв

$EF=17$ ,

$HG=14$ ба

$\angle EHG=60^\circ$ бол

$HF$ ирмэгийн уртыг ол.

Бодлого №2974

$SABCD$ пирамидын

$AB$ ,

$BC$ ,

$AC$ ирмэгүүд дэх 2 талст өнцгүүд нь харгалзан

$90^\circ$ ,

$30^\circ$ ,

$90^\circ$ байв. Өгөгдсөн хавтгай

$SB$ ,

$SC$ ,

$AC$ ,

$AB$ ирмэгүүдийг харгалзан

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ цэгт огтлох ба

$KLMN$ нь

$KL$ суурь нь

$MN$ сууриасаа 2 дахин богино байдаг трапец болно. Хэрэв трапецийн өндөр нь

$13$ ба

$AS=BC=13$ бол уг трапецийн талбайг ол.

Бодлого №2975

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэг

$9$ . Харгалзан

$BC$ ,

$CD$ ,

$CC_1$ хэрчмүүд дээр орших

$M$ ,

$N$ ,

$K$ цэгүүдийг дайруулан хавтгай татав.

$MCK$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 1,

$MNC$ гурвалжины талбай

$\dfrac{21}2$ ,

$CN$ ба

$CK$ хэрчмүүдийн уртуудын ялгавар 3,

$MNKC$ пирамидын эзлэхүүн 15-аас бага гэдэг нь мэдэгдэж байв.

$MNK$ гурвалжны хавтгай ба

$A_1$ оройг агуулсан гурван талсыг шүргэх бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Сорилго №2, 2019-2020

Пирамидын суурь нь

$30^\circ$ -ын хурц өнцөг бүхий 6 талтай ромбо байв. Хажуу талсуудын суурьтай үүсгэх хоёр талст өнцгүүд тэнцүү бөгөөд пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай 36 бол хажуу талсуудын суурьтай үүсгэх хоёр талст өнцгийг градусаар илэрхийл.

A.

$15^\circ$ B.

$30^\circ$ C.

$45^\circ$ D.

$60^\circ$ E.

$75^\circ$

ЭЕШ 2007 A1 №19

$ABCS$ пирамидын хажуу ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд суурь нь

$(\angle C=90^\circ)$ тэгш өнцөгт гурвалжин байв. Хэрэв

$ACS$ ,

$BCS$ ,

$ABS$ хажуу талсуудын өндөр харгалзан

$SD$ ,

$SE$ ,

$SO$ бол

$\dfrac{V_{DEOS}}{V_{ABCS}}$ -г ол.

A.

$\dfrac{1}{2}$ B.

$\dfrac{4}{5}$ C.

$\dfrac{2}{3}$ D.

$\dfrac{1}{4}$ E.

$\dfrac{1}{6}$

ЭЕШ 2010 A №14

Бөмбөрцөгт багтсан зөв гурвалжин пирамидын суурь нь бөмбөрцгийн төвийг дайрч байв. Бөмбөрцгийн радиус

$2\sqrt3$ -тай тэнцүү. Пирамидын эзлэхүүнийг ол.

A.

$4\sqrt3$ B.

$16$ C.

$20$ D.

$19$ E.

$18$

Пирамидын эзлэхүүн

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн

$A$ оройгоос гарсан 3 ирмэгийн дундаж цэгүүд дээр суурьтай

$A$ оройтой пирамидийн эзлэхүүнийг параллелепипедийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac{1}{12}$ B.

$\dfrac{1}{6}$ C.

$\dfrac{1}{24}$ D.

$\dfrac{1}{48}$ E.

$\dfrac{1}{16}$

Эсрэг ирмэгүүдийн хоорондох өнцөг

$ABCD$ зөв тетраэдрийн эсрэг ирмэг

$AB$ ба

$CD$ -ийн хоорондох өнцгийг ол.

A.

$45^\circ$ B.

$60^\circ$ C.

$90^\circ$ D.

$120^\circ$ E. олох боломжгүй

Проекцийн талбай

Зөв гурвалжин пирамидийн суурийн талбайг хажуу гадаргуугийн талбайд харьцуулсан харьцаа

$2:3$ бол түүний хажуу талс суурийн хавтгайтай үүсгэх өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$\arccos\dfrac4{\sqrt{21}}$ B.

$\arccos\dfrac23$ C.

$45^\circ$ D.

$60^\circ$ E.

$\dfrac23$

Проекцийн талбай

Зөв дөрвөлжин пирамидийн суурийн талбайг хажуу гадаргуугийн талбайд харьцуулсан харьцаа

$1:\sqrt3$ бол пирамидийн суурийн хоёр талст өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$\arctg\sqrt3$ B.

$30^\circ$ C.

$45^\circ$ D.

$60^\circ$ E.

$\arccos\dfrac1{\sqrt3}$

Хоёр талст өнцөг

Бүх ирмэг нь

$a$ урттай

$ABCD$ тетраэдрийн

$D$ орой,

$BC$ ирмэгийн дунджийг дайрч

$AC$ ирмэгтэй параллел байрлах хавтгай

$(ABC)$ талстай үүсгэх өнцгийн синусыг ол.

A.

$\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$ B.

$\dfrac{7\sqrt{11}}{22}$ C.

$\dfrac{4\sqrt{66}}{33}$ D.

$\dfrac{3\sqrt{55}}{44}$ E.

$\dfrac{4\sqrt{22}}{33}$

Бодлого №8000

$a$ урттай ирмэг бүхий зөв тетраэдрийн суурийн нэг ирмэг ба эсрэг ирмэгийн дунджийг дайрсан хавтгай, тетраэдрийн суурийн талстай үүсгэх өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$30^\circ$ B.

$45^\circ$ C.

$\arcsin\frac{\sqrt2}3$ D.

$\arcsin\frac{\sqrt3}3$

Бодлого №8005

Гурвалжин пирамидын хажуу ирмэгүүд ижил урттай бол түүний суурь ямар гурвалжин байхад пирамидын өндөр суурийн тал дээрээ буух вэ?

A. хурц өнцөгт B. мохоо өнцөгт C. тэгш өнцөгт D. ямар ч гурвалжны хувьд боломжгүй

Бодлого №8006

Гурвалжин пирамидын хажуу ирмэгүүд ижил урттай бол түүний суурь ямар гурвалжин байхад пирамидын өндөр суурийн талсынхаа гадна буух вэ?

A. хурц өнцөгт B. мохоо өнцөгт C. тэгш өнцөгт D. ямар ч гурвалжны хувьд боломжгүй

Бодлого №8007

Зөв биш гурвалжин суурьтай пирамидын хажуу ирмэгүүд суурийн хавтгайтай ижил өнцөг үүсгэдэг бол пирамидын өндөр суурийн гурвалжны хаана буух вэ?

A. медиануудын огтлолцлын цэг дээр B. өндрүүдийн огтлолцлын цэг дээр C. багтаасан тойргийн төв дээр D. багтсан тойргийн төв дээр E. аль нь ч биш

Бодлого №8008

Зөв биш гурвалжин суурьтай пирамидын хажуу талсууд суурийн хавтгайтай ижил өнцөг үүсгэдэг бол пирамидын өндөр суурийн гурвалжны хаана буух вэ?

A. медиануудын огтлолцлын цэг дээр B. өндрүүдийн огтлолцлын цэг дээр C. багтаасан тойргийн төв дээр D. багтсан тойргийн төв дээр

Бодлого №8017

Кубийн төвийг суурийн талсын оройнуудтай холбоход үүсэх пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай кубийн диагональ огтлолын талбай

$S$ -ээр яаж илэрхийлэгдэх вэ? Кубийн диагональ огтлол гэдэг нь түүний аль нэг параллель хоёр талсын диагоналийг дайрсан огтлол юм.

A.

$\dfrac14S$ B.

$\dfrac12S$ C.

$S$ D.

$\dfrac32S$ E.

$\dfrac23S$

Бодлого №8018

Пирамидын өндрийн дундаж цэгийг дайруулан суурьтай параллель хавтгайгаар огтлоход үүсэх жижиг пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай анхны пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай

$S$ -ээр яаж илэрхийлэгдэх вэ?

A.

$\dfrac12S$ B.

$\dfrac14S$ C.

$\dfrac16S$ D.

$\dfrac18S$ E.

$\dfrac13S$

Бодлого №8029

Гурвалжин пирамидын таван ирмэг ижил 2 нэгж урттай байхад бүтэн гадаргуугийн талбайн хамгийн их утга хэд байх вэ?

A.

$2(2+\sqrt3)$ кв.н. B.

$2(\sqrt2+\sqrt3)$ кв.н. C.

$4+\sqrt3$ кв.н. D.

$2(1+\sqrt3)$ кв.н.

Бодлого №8030

Гурвалжин пирамидын таван ирмэг ижил 3 нэгж урттай бол бүтэн гадаргуугийн талбайн хамгийн их утгыг ол.

A.

$\frac92(1+\sqrt3)$ кв.н. B.

$\frac92(\sqrt2+\sqrt3)$ кв.н. C.

$\frac92(2+\sqrt3)$ кв.н. D.

$9+\sqrt3$ кв.н.

Бодлого №8037

Гурвалжин пирамидын суурийн талууд 26, 28, 30 нэгж урттай ба хажуу талсууд суурийн хавтгайтай нэг ижил

$60^\circ$ өнцөг үүсгэнэ. Пирамидын бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

A. 976 кв.н B. 990 кв.н C. 1008 кв.н D. 1002 кв.н E. 1000 кв.н

Бодлого №8038

Гурвалжин пирамидын суурийн талууд 11, 25, 30 нэгж урттай ба хажуу талсууд суурийн хавтгайтай ижил өнцөг үүсгэнэ. Пирамидын өндөр 12 нэгж бол суурийн хоёр талст өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$30^\circ$ B.

$60^\circ$ C.

$\arctg4$ D.

$\arctg3$ E.

$75^\circ$

Бодлого №8043

Кубийн төвийг суурийн талсын оройнуудтай холбоход үүсэх пирамидын эзлэхүүнийг кубийн эзлэхүүн

$V$ -ээр илэрхийл.

A.

$\dfrac14V$ B.

$\dfrac16V$ C.

$\dfrac38V$ D.

$\dfrac12V$ E.

$\dfrac58V$

Бодлого №8044

Кубийн дээд суурийн төвийг доод суурийн оройнуудтай холбоход үүсэх пирамидын эзлэхүүнийг кубийн эзлэхүүн

$V$ -ээр илэрхийл.

A.

$\dfrac12V$ B.

$\dfrac13V$ C.

$\dfrac14V$ D.

$\dfrac23V$ E.

$\dfrac16V$

Бодлого №8045

$ABCD$ параллелограмм суурьтай

$SABCD$ пирамидын эзлэхүүн

$V$ ба

$SD,SC$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд харгалзан

$M,N$ бол

$SMNB$ пирамидын эзлэхүүнийг ол.

A.

$\frac18V$ B.

$\frac16V$ C.

$\frac38V$ D.

$\frac14V$

Бодлого №8046

$ABCD$ параллелограмм суурьтай пирамидын оpой

$S$ , эзлэхүүн

$V$ ба

$SD$ ирмэгийн дундаж цэг

$M$ бол

$SABM$ пирамидын эзлэхүүнийг ол.

A.

$\frac14V$ B.

$\frac38V$ C.

$\frac58V$ D.

$\frac5{16}V$

Бодлого №8055

Зөв

$n$ өнцөгт пирамидад багтсан ба түүнийг багтаасан конусуудын эзлэхүүнүүдийн харьцаа

$1:4$ бол

$n$ -г ол.

A.

$n=3$ B.

$n=4$ C.

$n=5$ D.

$n=6$ E.

$n=8$

Бодлого №8056

Зөв

$n$ өнцөгт пирамидад багтсан ба түүнийг багтаасан конусуудын эзлэхүүний харьцаа

$1:2$ бол

$n$ -г ол.

A.

$n=3$ B.

$n=4$ C.

$n=5$ D.

$n=6$ E.

$n=8$

Бодлого №8057

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 18 нэгж, түүнд багтсан бөмбөрцгийн радиус 5 нэгж бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

A.

$1200$ B.

$1350$ C.

$2010$ D.

$2100$ E.

$2700$

Бодлого №8058

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр 18 нэгж, түүнд багтсан бөмбөрцгийн радиус 5 нэгж бол пирамидын суурийн талыг ол.

A. 15 B. 32 C.

$15\sqrt3$ D.

$17\sqrt2$

Огтлогдсон пирамид

$1248$ м.кв эзлэхүүнтэй огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидийн апофем ба сууриудын талууд

$5:9:3$ харьцаатай бол бүтэн гадаргуугийн талбай хэдэн м.кв байх вэ?

A.

$800$ B.

$840$ C.

$860$ D.

$880$ E.

$900$

Бодлого №8071

Гурвалжин пирамидийн суурийн талууд 6, 8, 10 нэгж урттай байв. Суурийн нэг талыг дайрч эсрэг ирмэгт перпендикуляр байх огтлол суурийн хавтгайтай

$60^{\circ}$ өнцөг үүсгэдэг бол талбай нь хэдэн кв.нэгж байх вэ?

A.

$16$ B.

$14$ C.

$13$ D.

$12$ E.

$10$

Бодлого №8072

Гурвалжин пирамидийн суурийн нэг талыг дайрч эсрэг ирмэгт перпендикуляр байрлах хавтгай суурийн хавтгайтай

$45^{\circ}$ өнцөг үүсгэнэ. Энэ огтлолд 5, 6, 9 нэгж талуудтай гурвалжин үүссэн бол пирамидийн суурийн талбай хэдэн кв.нэгж байх вэ?

A.

$18$ B.

$20$ C.

$24$ D.

$25$ E.

$28$

Бодлого №8073

$SABCD$ пирамидын суурь

$ABCD$ параллелограмм бол

$A$ орой ба

$SB,SD$ ирмэгүүдийн дунджийг дайрсан хавтгай

$SC$ ирмэгийг оройгоос ямар харьцаагаар хуваах вэ?

A. 1:1 B. 1:2 C. 2:3 D. 1:3

Бодлого №8074

$SABC$ зөв гурвалжин пирамидын

$SA$ ирмэгийн дундаж цэг ба

$BC$ ирмэгийг дайрсан хавтгай пирамидын өндрийг оройгоос нь ямар харьцаагаар хуваах вэ?

A. 2:1 B. 3:2 C. 3:1 D. 1:1

ЭЕШ 2011 C №9

Бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь бөмбөрцгийн төвийг дайрсан байв. Пирамидын эзлэхүүн 18-тэй тэнцүү бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$\sqrt3$ B.

$3$ C.

$4$ D.

$2$ E.

$\dfrac32$

Пирамидын эзлэхүүн

Хажуу ирмэгүүд нь 13 байх пирамидын суурь нь 6 ба 8 талтай тэгш өнцөгт байв. Эзлэхүүнийг ол.

A. 96 B. 188 C. 192 D. 196 E. 260

Cubeiin ogtlol

$ABCD$ суурьтай

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн

$AD, D_1C_1$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд,

$B_1C_1$ ирмэгийг

$1:3$ харьцаагаар хуваах цэгүүдийг дайрсан хавтгайгаар огтлоход огтлол дээр хэдэн өнцөгт үүсэх вэ?

A.

$3$ B.

$4$ C.

$5$ D.

$6$ E.

$7$

Пирамидын эзлэхүүн

$ABCD$ пирамидын

$AB=2$ ,

$BC=\sqrt7$ ,

$CA=3$ ,

$AD=BD=CD=4$ бол эзлэхүүнийг ол.

A.

$6\sqrt3$ B.

$\sqrt{41}$ C.

$\dfrac{\sqrt{21}}{3}$ D.

$\dfrac{\sqrt{42}}{3}$ E.

$\dfrac{\sqrt{41}}{2}$

pyramidiin ezlehuun

$ABCD$ пирамидын

$AB=2, BC=\sqrt7, CA=3, AD=BD=CD=5$ бол эзлэхүүнийг ол.

A.

$\sqrt{17}$ B.

$\sqrt{41}$ C.

$\frac{\sqrt{51}}{3}$ D.

$\frac{\sqrt{42}}{3}$ E.

$\frac{\sqrt{51}}{2}$

Пирамидын хажуу ирмэгийн урт

Зөв дөрвөн өнцөгтийн пирамидын эзлэхүүн

$200$ , хажуу ирмэгийн суурийн хавтгайд налсан өнцгийн косинус нь

$\dfrac{5}{13}$ байв. Пирамидын хажуу ирмэгийн уртыг ол.

A.

$12\sqrt2$ B.

$13\sqrt2$ C.

$13$ D.

$26$ E.

$20$

Пирамидын хажуу ирмэгийн урт

Зөв дөрвөн өнцөгтийн пирамидын эзлэхүүн

$24$ , хажуу ирмэгийн суурийн хавтгайд налсан өнцгийн косинус нь

$\dfrac{3}{5}$ байв. Пирамидын хажуу ирмэгийн уртыг ол.

A.

$4$ B.

$4\sqrt3$ C.

$6\sqrt3$ D.

$7$ E.

$5$

ЭЕШ 2010 B №14

Бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь нь бөмбөрцгийн төвийг дайрч байв. Пирамидын эзлэхүүн 18-тай тэнцүү бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$\sqrt3$ B.

$3$ C.

$4$ D.

$2$ E.

$\dfrac32$

Бодлого №13885

$SABC$ зөв гурвалжин пирамидын

$SA$ ирмэгийн дундаж цэг ба

$BC$ ирмэгийг дайрсан хавтгай пирамидын өндрийг оройгоос ямар харьцаагаар хуваах вэ?

A.

$1:3$ B.

$3:2$ C.

$3:1$ D.

$1:2$ E.

$1:1$

Пирамидын эзлэхүүн

Хажуу ирмэгүүд нь 25 байх пирамидын суурь нь

$7\sqrt2$ талтай квадрат байв. Эзлэхүүнийг ол.

A. 784 B. 688 C. 792 D. 800 E. 825

2021 A №24

$f(x)=x^2-4x+5$ функцийг

$x=1$ цэгт татсан нормал шулууны тэгшитгэл бич.

A.

$y=-2x+4$ B.

$y=\frac12+\frac32$ C.

$y=-\frac12x+\frac52$ D.

$y=2x$ E.

$y=2x-4$

2019 A №24

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу талс суурьтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэнэ. Суурийн тал нь 4 см бол хажуу ирмэгийн уртыг олоорой

A.

$3\sqrt{5}$ B.

$4\sqrt{5}$ C.

$\sqrt{5}$ D.

$2\sqrt{5}$ E.

$\sqrt{3}$

2019 A №24

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу талс суурьтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэнэ. Суурийн тал нь 6 см бол хажуу ирмэгийн уртыг олоорой

A.

$\sqrt{5}$ B.

$4\sqrt{5}$ C.

$5\sqrt{5}$ D.

$2\sqrt{5}$ E.

$3\sqrt{5}$

2019 B №24

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу талс суурьтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэнэ. Суурийн тал нь 6 см бол хажуу ирмэгийн уртыг олоорой

A.

$\sqrt{5}$ B.

$4\sqrt{5}$ C.

$5\sqrt{5}$ D.

$2\sqrt{5}$ E.

$3\sqrt{5}$

ЭЕШ 2009 B1 №26

$ABCD$ пирамидын

$ABD$ ,

$BCD$ ,

$CAD$ хажуу талсууд ижил талбайтай ба

$AD$ ,

$BD$ ,

$CD$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$DA_1:DA=1:2$ ,

$DB_1:DB=2:5$ ,

$DC_1:DC=5:9$ байх

$A_1, B_1, C_1$ цэгүүд авав. Тэгвэл

$DA_1B_1C_1$ ба

$DABC$ (

$D$ -орой) пирамидуудын хажуу гадаргуугийн талбайн харьцаа

$\fbox{a}:\fbox{bc}$ (3 оноо), эзлэхүүний харьцаа

$\fbox{d}:\fbox{e}$ байна. (4 оноо)

ЭЕШ 2012 A №25

Гурвалжин пирамидын суурь нь

$30^\circ$ хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд уг пирамидын хажуу ирмэгүүд нь тэнцүү 6 нэгж урттай ба суурийн хавтгайтай

$45^\circ$ өнцөг үүсгэнэ.

Пирамидын өндөр $\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ (2 оноо)
Суурийн гурвалжны талбай $\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$ (2 оноо)
Пирамидын эзлэхүүн $\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}$ (1 оноо)
Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус нь $\fbox{g}\sqrt{\fbox{h}}$ (2 оноо)

ЭЕШ 2014 A №40

$ABCDEFS$ зөв зургаан өнцөгт пирамид дотор 3 см радиустай бөмбөрцөг багтжээ. Апофем нь суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодолт:

$SOM$ -аас

$SO=6$ см. Иймд

$SK=9$ см болох ба

$SGK$ -аас $GK=\fbox{a}\sqrt{\fbox{a}}$ см тул (2 оноо)
Суурийн талбай $S_c=\fbox{bc}\sqrt{\fbox{a}}$ см.кв болно. (3 оноо)
Эндээс пирамидын эзлэхүүн $V=\fbox{def}\sqrt{\fbox{a}}$ см.куб (3 оноо)

Пирамидын эзлэхүүн

Суурь нь

$\sqrt{2}$ талтай зөв гурвалжин , хажуу ирмэгүүд нь бүгд

$1$ урттай байх гурвалжин пирамидын эзлэхүүн

$\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ ба энэ пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус

$\frac{\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{d}}$ байна.

Менелайн теорем

$ABCD$ пирамидын

$AB, CD$ ирмэгүүдийн дундаж цэгийг харгалзан

$M, N$ гээд

$DA$ ирмэг дээр

$DP:PA=2:3$ байх

$P$ цэг авахад

$M, N, P$ цэгүүдийг дайрсан хавтгай

$AC$ шулууныг

$S$ ,

$CB$ ирмэгийг

$Q$ цэгээр огтолбол

$\overrightarrow{SC}=\fbox{a}\overrightarrow{CA}$ ,

$CQ:QB=\fbox{b}:\fbox{c}$ байна.

Бодлого №4778

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу талс суурьтайгаа

$\dfrac{\pi}{3}$ өнцөг үүсгэнэ. Суурьт багтсан тойргийн радиус

$\sqrt3$ бол хажуу ирмэгийн урт

$\sqrt{\fbox{ab}}$ , бүтэн гадаргуугийн талбай

$\fbox{cd}$ , эзлэхүүн нь

$\fbox{ef}$ байна.

Бодлого №4827

$ABCD$ тетраэдрийн

${AC=AB=AD=6,BC=BD=CD=6\sqrt{2}}$ байв.

Тетраэдрийн бүтэн гадаргуугийн талбай $\fbox{ab}+\fbox{cd}\sqrt{3}$ байна.
Тетраэдрийн эзлэхүүн $\fbox{ef}$ байна.
Тетраэдрт багтсан бөмбөрцгийн радиус $\fbox{g}-\fbox{h}\sqrt3$ байна.
$A$ цэгээс $(BCD)$ хавтгай хүртэлх зай $\fbox{i}\sqrt{\fbox{j}}$ байна.

Бодлого №4894

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурийн тал 2-той, хажуу ирмэг ба суурийн хавтгайн хоорондох өнцөг

$\arccos \dfrac1{\sqrt{5}}$ -тай тэнцүү.

$SA$ ,

$SD$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$E$ ,

$F$ цэгүүдийг

$AE=2\cdot ES$ ,

$DF=8\cdot SF$ байхаар аваад,

$E$ ба

$F$ цэгүүдийг дайрсан

$AB$ -тэй параллель

$\alpha$ хавтгайгаар пирамидыг огтлох огтлолыг байгуулав.

Огтлолын талбай $S=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{de}}$ байна.
$A$ цэгт төвтэй $\alpha$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөрцгийн радиус $R=\dfrac{\fbox{f}\cdot\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$ байна.
$\alpha$ ба $(ABC)$ хавтгайн хоорондох өнцөг $\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{k}}{\sqrt{\fbox{m}}}$ .

Тэгш өнцөгт пирамид

Суурь нь

$\sqrt{2}$ талтай зөв гурвалжин , хажуу ирмэгүүд нь бүгд

$1$ урттай байх гурвалжин пирамидын эзлэхүүн

$\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ ба энэ пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус

$\frac{\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{d}}$ байна.

Зөв гурвалжин пирамидын эзлэхүүн

Зөв гурвалжин пирамидын суурийн тал нь

$4$ ба өндөр нь

$\sqrt3$ байв. Cуурийн талбай нь

$\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ ба эзлэхүүн нь

$V=\fbox{c}$ байна.

Пирамидын эзлэхүүн

Зөв 6 өнцөгт пирамидийн суурийг багтаасан тойргийн радиус

$2\sqrt[4]3$ , өндөр нь 5 бол суурийн талбай нь

$S=\fbox{ab}$ , эзлэхүүн нь

$V=\fbox{cd}$ байна.

Пирамид

Гурвалжин пирамидын суурь нь

$45^\circ$ хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд уг пирамидын хажуу ирмэгүүд нь тэнцүү

$4\sqrt3$ нэгж урттай ба суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол:

Пирамидын өндөр $\fbox{a}$
Суурийн гурвалжны талбай $\fbox{bc}$
Пирамидын эзлэхүүн $\fbox{de}$
Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус нь $\fbox{f}$ байна.

Призм ба пирамидын эзлэхүүн

$ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн

$ABC$ суурийн талбай нь 8, өндөр 6 байв.

$AA_1$ ,

$BB_1$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд нь харгалзан

$M$ ба

$N$ бол

Призмийн эзлэхүүн $\fbox{ab}$ ;
$CABNM$ пирамидын эзлэхүүн $\fbox{cd}$ ;
Призм дотор санамсаргүйгээр цэг сонгоход тэр нь $CABMN$ пирамид дотор байх магадлал $\dfrac{1}{\fbox{e}}$ байна.

Бодлого №8087

$SKLM$ зөв гурвалжин пирамидын

$SK$ хажуу ирмэг ба

$SO$ өндрийг дайрсан огтлолын талбай пирамидын суурийн талбайгаас 2 дахин их ба пирамидын хажуу ирмэгийн урт

$\sqrt{13}$ -тай тэнцүү бол пирамидын хажуу талсын талбай

$\dfrac{\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$ -тай тэнцүү.

Бодлого №8088

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SB$ ба

$SD$ хажуу ирмэгүүдийг дайран гарсан огтлолын талбай пирамидын суурийн талбайгаас 3 дахин их ба пирамидын хажуу ирмэгийн урт

$\sqrt{37}$ -той тэнцүү бол пирамидын хажуу талсын талбай

$\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{\fbox{c}}$ -тэй тэнцүү.

Бодлого №8089

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр

$H=3$ , эзлэхүүн нь

$V=9\sqrt{3}$ байвал энэ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.

Бодлого №8090

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр

$H=4\sqrt{3}$ , эзлэхүүн нь

$V=48$ байвал энэ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=2\sqrt{\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}}$ байна.

Бодлого №8093

Ирмэг бүрийн урт нь

$2\sqrt{3}$ -тай тэнцүү

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидыг

$AD$ ирмэгийн дундаж цэгийг дайрсан,

$AC$ ба

$SD$ шулуунтай параллель хавтгайгаар огтлоход пирамидын огтлолд

$\fbox{a}$ -өнцөгт үүсэв. Энэ олон өнцөгтийн периметр

$\sqrt{\fbox{b}}+2\sqrt{\fbox{c}}+\fbox{d}$ байна.

Бодлого №8094

Ирмэг бүрийн урт нь 2-той тэнцүү

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$AB$ ирмэгийг огтолсон,

$AC$ ба

$SB$ шулуунтай параллель хавтгайгаар огтлоход пирамидын огтлолд

$\fbox{a}$ -өнцөгт үүсэв. Огтлолын пирамидын суурийн хавтгайтай огтолцоход үүсэх хэрчмийн урт

$\sqrt{2}$ -той тэнцүү бол огтлолын олон өнцөгтийн периметр

$\fbox{b}+\sqrt{\fbox{c}}+\sqrt{\fbox{d}}$ байна.

Бодлого №8097

$SABC$ зөв гурвалжин пирамидын хувьд

$AB=BC=CA=1, \\ SA=SB=SC=2$ байв.

$ABC$ гурвалжинд

$BM$ медиан,

$SAB$ гурвалжинд

$AD$ биссектрис татав.

$DM=\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{\fbox{c}}$ байна.

Бодлого №8098

$SABC$ зөв гурвалжин пирамидын хувьд

$AB=BC=CA=3$ ,

$SA=SB=SC=2\sqrt{3}$ байв.

$ABC$ гурвалжинд

$BM$ медиан,

$ASB$ гурвалжинд

$AR$ өндөр татав.

$MR=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.

Бодлого №8099

$SABC$ гурвалжин пирамидын хувьд

$SC\perp AB, SC\perp AC,$

$AB=BC=2, AC=1,$

$SC=4$ байвал энэ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\fbox{a}\cdot \sqrt{\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{de}}}$ байна.

Бодлого №8100

$SKLM$ гурвалжин пирамидын хувьд

$SK\perp LM$ ,

$SK\perp KM$ ,

$KL=LM=3$ ,

$KM=5$ ,

$SK=2$ байвал энэ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\fbox{a}\cdot\sqrt{\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{de}}}$ байна.

Бодлого №8101

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SA$ хажуу ирмэг ба суурийн хавтгай

$(ABCD)$ -ийн хоорондох өнцөг нь

$SA$ хажуу ирмэг ба

$SBC$ талсын хавтгайн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү бол энэ өнцгийн хэмжээ

$\varphi=\arcsin\sqrt{\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}}$ байна.

Бодлого №8102

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SA$ хажуу ирмэг ба

$BD$ диагональ нь

$SBC$ хажуу талсын хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэнэ. Энэ өнцгийн хэмжээ

$\varphi=\arcsin\sqrt{\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}}$ байна.

Бодлого №8105

Ирмэгүүд нь 15; 9; 9; 12; 12; 3-тай тэнцүү гурвалжин пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ , пирамидын эзлэхүүн

$V=\dfrac{\fbox{d}}{4}\sqrt{\fbox{efg}}$ байна.

Бодлого №8106

Ирмэгүүд нь 2; 6; 6; 8; 8; 10-тай тэнцүү гурвалжин пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\fbox{a}$ , пирамидын эзлэхүүн

$V=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\sqrt{\fbox{def}}$ байна.

Бодлого №8109

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь

$ABCD$ ба орой нь

$S$ байг.

$SA, SB, SC$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$M, N, K$ цэгүүдийг

$\dfrac{SM}{MA}=\dfrac 12, \dfrac{SN}{NB}=1, \dfrac{SK}{KC}=3$ байхаар авчээ.

$M, N, K$ цэгүүдийг дайрсан хавтгай

$SD$ ирмэгийг огтлох цэгийг

$L$ гэвэл

$\dfrac{SL}{LD}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.

Бодлого №8110

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь

$ABCD$ ба орой нь

$S$ байг.

$SA, SB, SC$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$M, N, K$ цэгүүдийг

$\dfrac{SM}{MA}=\dfrac 23, \dfrac{SN}{NB}=2, \dfrac{SK}{KC}=4$ байхаар авчээ.

$M, N, K$ цэгүүдийг дайрсан хавтгай

$SD$ ирмэгийг огтлох цэгийг

$L$ гэвэл

$\dfrac{SL}{LD}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.

Бодлого №8111

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидад оройнууд нь давхцдаг байхаар шулуун дугуй конус багтжээ. Конусын суурийн радиус 6, конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 2-той тэнцүү бол пирамид ба конусын эзлэхүүний ялгавар

$\fbox{ab}\cdot(\fbox{c}-\pi)$ байна.

Бодлого №8112

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидад оройнууд нь давхцдаг байхаар шулуун дугуй конус багтжээ. Тэдгээрийн өндөр (ерөнхий)

$\dfrac 94$ -тэй, конуст багтсан бөмбөрцгийн радиус 1-тэй тэнцүү бол пирамид ба конусын эзлэхүүнхий ялгавар

$\fbox{ab}\cdot \left(\fbox{c}-\dfrac{\pi}{4}\right)$ байна.

Бодлого №8113

$DABC$ гурвалжин пирамидын

$DAB, DAC, DBC$ талсууд тэнцүү талбайтай.

$DA$ ирмэг дээр

$A_1$ цэгийг

$DA_1:DA=2:5$ байхаар,

$DB$ ирмэг дээр

$B_1$ цэгийг

$DB_1:DB=5:6$ байхаар,

$DC$ ирмэг дээр

$C_1$ цэгийг авав.

$DA_1B_1C_1$ пирамидын хажуу гадаргуугийн талбайг

$DABC$ пирамидын хажуу гадаргуугийн талбайд харьцуулсан харьцаа 47:90 байвал

$DA_1B_1C_1$ пирамидын эзлэхүүнийг

$DABC$ пирамидын эзлэхүүнд хаьцуулсан харьцаа

$\fbox{a}:\fbox{b}$ байна.

Бодлого №8114

$DABC$ гурвалжин пирамидын

$DAB, DAC, DBC$ талсууд тэнцүү талбайтай.

$DA$ ирмэг дээр

$A_1$ цэгийг

$DA_1:DA=3:7$ ,

$DB$ ирмэг дээр

$B_1$ цэгийг

$DB_1:DB=7:9$ байхаар,

$DC$ ирмэг дээр

$C_1$ цэгийг авав.

$DA_1B_1C_1$ пирамидын эзлэхүүнийг

$DABC$ пирамидын эзлэхүүнд харьцуулсан харьцаа 1:3 байвал

$DA_1B_1C_1$ пирамидын хажуу гадаргуугийн талбайг

$DABC$ пирамидын хажуу гадаргуугийн талбайд харьцуулсан харьцаа

$\fbox{ab}:\fbox{cde}$ байна.

Бодлого №8117

Зөв гурвалжин пирамид дотор хоёр бөмбөрцөг байрлажээ. Нэг нь

$r=5$ радиустай бөгөөд пирамидын суурь ба хажуу талсуудыг шүргэдэг байхаар, нөгөө нь I бөмбөрцгийг гадаад байдлаар болон пирамидын хажуу талсуудыг шүргэдэг байхаар байрлажээ. Пирамид нь хамгийн бага эзлэхүүнтэй гэж мэдэгдэж байгаа бол бөмбөрцгүүдийн эзлэхүүний нийлбэр

$\dfrac{\fbox{abc}}{\fbox{d}}\cdot \pi$ байна.

Бодлого №8118

Зөв гурвалжин пирамид дотор хоёр бөмбөрцөг байрлажээ. Нэг нь

$r=5$ радиустай бөгөөд пирамидын суурь ба хажуу талсуудыг шүргэдэг байхаар, нөгөө нь I бөмбөрцгийг гадаад байдлаар болон пирамидын хажуу талсуудыг шүргэдэг байхаар байрлажээ. Пирамид нь хамгийн бага эзлэхүүнтэй гэж мэдэгдэж байгаа бол хоёр дахь бөмбөрцгийн радиус

$R=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\cdot (\sqrt{\fbox{cd}}-1)$ байна.

Бодлого №8119

$SABC$ гурвалжин пирамидын

$SA$ хажуу ирмэг дээр

$M$ цэгийг

$MA:MS=2:1$ байхаар авчээ.

$M$ цэгийг дайрсан

$AB$ -тэй параллель хавтгай

$AC$ ирмэгийг

$P$ цэгээр огтлох ба пирамидыг эзлэхүүнүүдийнх нь харьцаа 5:4 байх хоёр олон талстад хуваана.

$PC:PA=\fbox{a}$ эсвэл

$PC:PA=(\fbox{b}+\sqrt{\fbox{cd}}):\fbox{e}$ байна.

Бодлого №8120

$SABC$ гурвалжин пирамидын

$SA$ хажуу ирмэг дээр

$M$ цэгийг

$MA:MS=3:2$ байхаар авчээ.

$M$ цэгийг дайрсан

$AB$ -тэй параллель хавтгай

$AC$ ирмэгийг

$P$ цэгээр огтлох ба пирамидыг эзлэхүүнүүдийнх нь харьцаа 13:12 байх хоёр олон талстад хуваана.

$PC:PA=\fbox{a}:\fbox{b}$ эсвэл

$PC:PA=(\fbox{c}+\sqrt{\fbox{def}}):\fbox{gh}$ байна.

Бодлого №8123

$SABCD$ пирамидын суурь

$ABCD$ нь

$BC$ ба

$AD$ суурьтай трапец бөгөөд

$BC:AD=2:3$ болно. Трапецийн диагоналиуд

$E$ цэгт огтолцох ба пирамидад багтсан бөмбөлгийн төв

$O$ нь

$SE$ хэрчим дээр орших ба түүнийг

$SO:OE=5:2$ харьцаанд хуваана. Хэрэв

$SBC$ талсын талбай 12-той тэнцүү байвал пирамидын бүтэн гадаргуугийн талбай

$\fbox{abc}$ байна.

Бодлого №8124

$SABCD$ пирамидын суурь

$ABCD$ нь

$BC$ ба

$AD$ суурьтай трапец бөгөөд

$BC:AD=2:5$ болно. Трапецийн диагоналиуд

$E$ цэгт огтолцох ба пирамидад багтсан бөмбөлгийн төв

$O$ нь

$SE$ хэрчим дээр орших ба түүнийг

$SO:OE=7:2$ харьцаанд хуваана. Хэрэв

$SBC$ талсын талбай 8-той тэнцүү байвал пирамидын бүтэн гадаргуугийн талбай

$\fbox{abc}$ байна.

Бодлого №8125

$SABC$ гурвалжин пирамидын

$SH$ өндрийн суурь

$H$ нь

$ABC$ талс дээр оршино.

$SH=\sqrt{\dfrac{5}{21}}, SA=1, SB=2, \measuredangle ASB=120^{\circ}, \measuredangle ACB=60^{\circ}$ байвал

$SABC$ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{\fbox{c}}$ -тэй тэнцүү.

Бодлого №8126

$SABC$ гурвалжин пирамидын

$SH$ өндрийн суурь

$H$ нь

$ABC$ талс дээр оршино.

$SH=\dfrac{\sqrt{15}}{2}, SA=3, SB=2, \measuredangle ASB=60^{\circ}, \measuredangle ACB=120^{\circ}$ байвал

$SABC$ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\sqrt{\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}}$ -тэй тэнцүү.

Зөв 4 өнцөгт пирамид

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус 12-той тэнцүү ба энэ бөмбөлгийн төв

$O$ -оос хажуу ирмэг хүртэлх зай

$4\sqrt{2}$ -той тэнцүү.

Пирамидын өндөр $H=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ байна.
$O$ цэгээс пирамидын хажуу талс хүртэлх зай $\rho=\fbox{d}\cdot \sqrt{\fbox{e}}$ байна.
Пирамидад багтсан бөмбөлгийн радиус $r=\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}}(\fbox{h}\cdot \sqrt{\fbox{k}}-1)$ байна.

Бодлого №8130

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$6\sqrt{2}$ -той тэнцүү ба энэ бөмбөлгийн төв

$O$ -оос хажуу талс хүртэлх зай

$3$ -тай тэнцүү.

Пирамидын өндөр $H=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$ байна.
$O$ цэгээс пирамидын хажуу ирмэг хүртэлх зай $\rho=\fbox{d}$ байна.
Пирамидад багтсан бөмбөлгийн радиус $r=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}(\fbox{g}-\sqrt{\fbox{h}})$ байна.

Бодлого №8131

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурийн тал нь 8-тай,

$SO$ өндөр нь 3-тай тэнцүү.

$M$ ,

$K$ нь харгалзан

$SB$ ,

$BC$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд бол

$AMSK$ пирамидын эзлэхүүн $V=\fbox{a}$ .
$AM$ ба $SK$ шулуунуудын хоорондох өнцөг $\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ байна.
$AM$ ба $SK$ шулуунуудын хоорондох зай $\rho=\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{fg}}$ байна.

Бодлого №8132

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурйн тал нь

$4\sqrt{2}$ -тoй, пирамидын хажуу ирмэг ба суурийн хавтгайн хоорондох өнцөг

$\arctg\dfrac 14$ -тэй тэнцүү.

$M, K$ нь харгалзан

$SD, AD$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд бол

1)

$CMSK$ пирамидын эзлэхүүн

$V=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.

2)

$CM$ ба

$SK$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ef}}$ байна.

3)

$CM$ ба

$SK$ шулуунуудын хоорондох зай

$\rho=\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}\cdot\sqrt{\fbox{k}}}$ байна.

Бодлого №8133

$ABCD$ гурвалжин пирамидын хувьд

$AC\perp BD,$

$AB=BD=AD=6$ ба

$AC$ ирмэгийн дундаж цэг

$(ABD)$ ба

$(BCD)$ хавтгайнуудаас ижил зайд орших бөгөөд

$AC$ ирмэг болон

$(CBD)$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\arcsin\dfrac 13$ -тай тэнцүү байв.

1)

$CD=\fbox{a}$ байна.

2)

$\angle CAD=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}$ байна.

3)

$BD$ ирмэг ба

$(ACD)$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\varphi=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}$ -тэй тэнцүү.

Бодлого №8134

$ABCD$ гурвалжин пирамидын хувьд

$AB\perp DC$ ,

$\angle ADB=\dfrac{\pi}{2}$ ,

$\angle ABD=\dfrac{\pi}{6}$ ,

$CD$ ирмэг ба

$(ABD)$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\dfrac{\pi}{3}$ -тай тэнцүү,

$AD=5,$

$CD$ ирмэгийн дундаж цэг

$(ABD)$ ба

$(ABC)$ хавтгайнуудаас ижил зайд оршино.

1)

$BC=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ байна.

2)

$\angle CDB=\arccos\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ байна.

3)

$AB$ ирмэг ба

$(BCD)$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\varphi=\arctg\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$ -тэй тэнцүү.

Бодлого №8135

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын эсрэг хоёр хажуу талс нь суурьт перпендикуляр ба пирамидын өндөр

$\sqrt{5}$ -тай тэнцүү. Пирамидын суурь

$ABCD (AD=BC)$ нь тойрог багтаасан адил хажуут трапец бөгөөд

$AB=6, \angle BAD=\dfrac{\pi}{3}$ байв.

$D$ цэгээс

$(SAB)$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho=\dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{\fbox{c}}$ болно. Пирамид дотор конус суурийн тойрог нь

$SCD$ гурвалжинд багтсан байхаар, харин орой нь

$SAB$ талс дээр оршихоор байрлажээ. Конусын эзлэхүүн

$V=\dfrac{\pi\sqrt{\fbox{de}}}{\fbox{fg}}$ байна.

Бодлого №8136

$SKLMN$ дөрвөн өнцөгт пирамидын эсрэг хоёр талс нь суурьт перпендикуляр ба

$SM=12.$ Пирамидын суурь

$KLMN (MN>KL)$ нь тойрог багтаасан адил хажуут трапец бөгөөд

$KN=LM=4,$

$KN$ ба

$LM$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\dfrac{\pi}{3}$ -тай тэнцүү.

$M$ цэгээс

$(SKL)$ хавтгай хүртэлх зай

$\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{\fbox{cde}}}{\fbox{fg}}$ байна. Пирамид дотор конус суурийн тойрог нь

$SMN$ гурвалжинд багтсан, харин орой нь

$SKL$ талс дээр оршихоор байрлажээ. Конусын өндөр

$H=\dfrac{\fbox{hk}\cdot\sqrt{\fbox{mn}}}{\fbox{pq}}$ байна.

Бодлого №8137

$ABCD$ зөв гурвалжин пирамидын

$ABC$ суурийн тал 12,

$\angle ADB=2\arctg\dfrac 34.$

$ABD$ гурвалжинд

$BA_1$ биссектрис,

$BCD$ гурвалжинд

$BC_1$ медиан,

$CB_1$ өндөр татав.

1)

$A_1B_1C_1D$ пирамидын эзлэхүүн

$V=\dfrac{\fbox{ab}\cdot \sqrt{\fbox{cd}}}{\fbox{ef}}$

2)

$A_1B_1C_1$ гурвалжны

$ABC$ хавтгай дээрх проекцийн талбай

$S=\dfrac{\fbox{ghkm}\cdot\sqrt{\fbox{n}}}{\fbox{pqr}}$ байна.

Бодлого №8138

$ABCD$ зөв гурвалжин пирамидын

$ABC$ суурийн тал 6-тай, хажуу талсуудын хоорондох өнцөг

$\arccos\dfrac1{10}$ -тэй тэнцүү.

$ABD$ гурвалжинд

$BA_1$ биссектрис,

$BCD$ гурвалжинд

$BC_1$ медиан,

$CB_1$ өндөр татав.

1)

$A_1B_1C_1D$ пирамидын эзлэхүүн

$V=\dfrac{\fbox{a}\cdot \sqrt{\fbox{bc}}}{\fbox{de}}$ байна.

2)

$A_1B_1C_1$ гурвалжны

$ABC$ хавтгай дээрх проекцийн талбай

$S=\dfrac{\fbox{fg}\cdot\sqrt{\fbox{h}}}{\fbox{km}}$ байна.

Бодлого №8143

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурийн тал 2-той, пирамидын өндөр

$2\sqrt{2}$ -той тэнцүү.

$SA, SD$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$E$ ба

$F$ цэгүүдийг

$AE=2\cdot ES, SF=5\cdot DF$ байхаар аваад,

$E, F$ цэгүүдийг дайрсан

$CD$ -тэй параллель

$\alpha$ хавтгайгаар пирамидыг огтлох огтлолыг байгуулав.

1) Огтлолын талбай

$S=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.

2)

$A$ цэгт төвтэй

$\alpha$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус

$R=\dfrac{\fbox{ef}\cdot\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{hk}}$ байна.

3)

$\alpha$ ба

$(ABCD)$ хавтгайнуудын хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{m}}{\fbox{np}}$ байна.

Бодлого №8144

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурийн тал 2-той, хажуу ирмэг ба суурийн хавтгайн хоорондох өнцөг

$\arccos \dfrac1{\sqrt{5}}$ -тай тэнцүү.

$SA, SD$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$E, F$ цэгүүдийг

$AE=2\cdot ES, DF=8\cdot SF$ байхаар аваад,

$E$ ба

$F$ цэгүүдийг дайрсан

$AB$ -тэй параллель

$\alpha$ хавтгайгаар пирамидыг огтлох огтлолыг байгуулав.

1) Огтлолын талбай

$S=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{de}}$ байна.

2)

$A$ цэгт төвтэй

$\alpha$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус

$R=\dfrac{\fbox{f}\cdot\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$ байна.

3)

$\alpha$ ба

$(ABC)$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{k}}{\sqrt{\fbox{m}}}$

Бодлого №8145

$ABCD$ зөв тетраэдрийн ирмэг 5-тай тэнцүү.

$AB,$

$CD$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$K, E$ цэгүүдийг

$AK=KB,$

$EC:ED=1:2$ байхаар авав.

$F$ нь

$ABC$ талсын төв.

1)

$BC$ ба

$KE$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot \sqrt{\fbox{cd}}}$ байна.

2)

$BC$ ба

$KE$ шулуунуудын хоорондох зай

$\rho=\dfrac{5\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}$ байна.

3)

$A, B, E, F$ цэгүүдийг дайрсан бөмбөлгийн радиус

$R=5\cdot \sqrt{\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{k}}}$ байна.

Бодлого №8146

$ABCD$ зөв тетраэдрийн ирмэг 5-тай тэнцүү.

$AB,$

$CD$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$K, E$ цэгүүдийг

$AE=EB,$

$EC:ED=3:1$ байхаар авав.

$F$ нь

$ABC$ талсын төв.

1)

$BC$ ба

$KE$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\varphi=\fbox{ab}^{\circ}$ байна.

2)

$BC$ ба

$KE$ шулуунуудын хоорондох зай

$\rho=\dfrac{\fbox{c}}{\sqrt{\fbox{d}}}$ байна.

3)

$A, B, E, F$ цэгүүдийг дайрсан бөмбөлгийн радиус

$R=\dfrac{5}{\fbox{e}}\cdot \sqrt{\dfrac{\fbox{fgh}}{\fbox{k}}}$ байна.

Бодлого №8147

$ABCD$ зөв гурвалжин пирамидын

$ABC$ суурийн тал 2,

$\angle ADC=2\arcsin\dfrac1{6}$ байв.

$K, M, N$ нь харгалзан

$AB, CD, AC$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд,

$KM$ хэрчим дээр

$E$ цэгийг

$3\cdot ME=KE$ байхаар авчээ.

$E$ цэгийг дайрсан,

$KM$ хэрчимд перпендикуляр

$\alpha$ хавтгайгаар пирамидыг огтлох огтлолыг байгуулав.

1)

$\alpha\cap (AD)=A_1$ гэвэл

$DA_1:DA=\fbox{a}:\fbox{bc}$ .

2) Огтлолын талбай

$S=\dfrac{\fbox{de}\cdot\sqrt{\fbox{fg}}}{\fbox{hkm}}$ байна.

3)

$N$ цэгээс

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho=\dfrac{\fbox{np}}{\fbox{q}\cdot\sqrt{\fbox{rs}}}$ байна.

Бодлого №8148

$ABCD$ зөв гурвалжин пирамидын хажуу ирмэгийн урт 12-той, суурийн хавтгай

$(ABC)$ ба хажуу талсын хоорондох өнцөг

$\arccos\dfrac1{\sqrt{105}}$ -тай тэнцүү.

$K, M, N$ нь харгалзан

$AB, CD, AC$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд,

$KM$ хэрчим дээр

$E$ цэгийг

$2\cdot ME=KE$ байхаар авчээ.

$E$ цэгийг дайрсан,

$KM$ хэрчимд перпендикуляр

$\alpha$ хавтгайгаар пирамидыг огтлох огтлолыг байгуулав.

1)

$\alpha\cap (AD)=A_1$ гэвэл

$DA_1:DA=\fbox{ab}:\fbox{cd}$ .

2) Огтлолын талбай

$S=\left(\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}\right)^2\cdot \sqrt{\fbox{km}}$ байна.

3)

$N$ цэгээс

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho=\dfrac{\fbox{np}}{\fbox{q}\cdot\sqrt{\fbox{rs}}}$ байна.

Бодлого №8149

$ABCD$ зөв гурвалжин пирамидын

$ABC$ суурийн тал

$4\sqrt{3}$ ба

$\angle DAB=\arctg\sqrt{\dfrac{37}{3}}$ байв.

$A_1, B_1, C_1$ нь харгалзан

$AD, BD, CD$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд.

1)

$BA_1$ ба

$AC_1$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.

2)

$BA_1$ ба

$AC_1$ шулуунуудын хоорондох зай

$\rho=\dfrac{\fbox{ef}}{\sqrt{\fbox{ghk}}}$ байна.

3)

$AC_1, BA_1, CB_1$ хэрчмүүд ба

$(ABC)$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус

$R=\fbox{m}$ байна.

Бодлого №8150

$ABCD$ зөв гурвалжин пирамидын

$ABC$ суурийн тал

$8\sqrt{3}$ ба пирамидын өндөр

$DO=6$ байв.

$A_1, B_1, C_1$ нь харгалзан

$AD, BD, CD$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд.

1)

$BA_1$ ба

$AC_1$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cde}}$ байна.

2)

$BA_1$ ба

$AC_1$ шулуунуудын хоорондох зай

$\rho=\dfrac{\fbox{fg}}{\sqrt{\fbox{hkm}}}$ байна.

3)

$AC_1, BA_1, CB_1$ хэрчмүүд ба

$(ABC)$ хавтгайг шүргэсэн бөмбөлгийн радиус \\

$R=\dfrac{\fbox{n}}{\fbox{p}}$ байна.

Бодлого №8151

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын апофем 2-той, хажуу ирмэг нь

$ABCD$ суурьтай үүсэх өнцөг

$\arctg\sqrt{\dfrac 32}$ -тай тэнцүү.

$E, F, K$ цэгүүдийг харгалзан

$AB, AD, SC$ ирмэгүүд дээр

$\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{SK}{KC}=\dfrac 12$ байхаар авав.

$E, F, K$ цэгүүдийг дайрсан

$\alpha$ хавтгайгар пирамидыг огтлох огтлолыг байгуулав.

1) Огтлолын талбай

$S=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}\cdot \sqrt{\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}}$ байна.

2)

$D$ цэгээс

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho=\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}\cdot \sqrt{\fbox{h}}}$ байна.

3)

$SD$ шулуун ба

$\alpha$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\varphi=\arcsin\dfrac{\fbox{k}}{\fbox{m}}$ байна.

Бодлого №8152

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурийн тал 2-той, хажуу талс ба суурийн хавтгайн хоорондох өнцөг

$\arctg 2$ -той тэнцүү.

$E, F, K$ цэгүүдийг харгалзан

$AB, AD, SC$ ирмэгүүд дээр

$\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{CK}{KS}=2$ байхаар авав.

$E, F, K$ цэгүүдийг дайрсан

$\alpha$ хавтгайгар пирамидыг огтлох огтлолыг байгуулав.

1) Огтлолын талбай

$S=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{d}}$ байна.

2)

$D$ цэгээс

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho=\dfrac{\fbox{e}\sqrt{\fbox{fg}}}{\fbox{hk}}$ байна.

3)

$SD$ шулуун ба

$\alpha$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\varphi=\arcsin\dfrac{\fbox{m}}{\fbox{n}}$ байна.

Бодлого №8153

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурийн тал 2-той тэнцүү. Пирамидыг,

$SC$ ба

$AD$ шулуунуудтай пралллель

$\alpha$ хавтгайгаар огтлоход тойргийг багтаасан дөрвөн өнцөгт үүсэх бөгөөд түүний периметр

$\dfrac{32}5$ -тай тэнцүү.

1)

$\alpha$ хавтгай пирамидын

$DS$ ирмэгийг огтлох цэгийг

$D_1$ гэвэл

$SD_1:SD=\fbox{a}:\fbox{b}$

2)

$\alpha$ хавтгай пирамидыг эзлэхүүнүүдийнх нь харьцаа

$V_1:V_2=\fbox{cd}:\fbox{ef}$ байх хоёр олон талстад хуваана.

3) Пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн төвөөс

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho=\dfrac{\fbox{gh}\cdot \sqrt{\fbox{km}}}{\fbox{np}\cdot \sqrt{\fbox{qr}}}$ байна.

Бодлого №8154

$SABCD$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$ABCD$ суурийн тал 2-той тэнцүү. Пирамидыг,

$SB$ ба

$AD$ шулуунуудтай паралллель

$\alpha$ хавтгайгаар огтлоход тойргийг багтаасан дөрвөн өнцөгт үүсэх бөгөөд түүний периметр

$\dfrac{48}7$ -тoй тэнцүү.

1)

$\alpha$ хавтгай пирамидын

$DS$ ирмэгийг огтлох цэгийг

$D_1$ гэвэл

$SD_1:SD=\fbox{a}:\fbox{b}$

2)

$\alpha$ хавтгай пирамидыг эзлэхүүнүүдийнх нь харьцаа

$V_1:V_2=\fbox{cd}:\fbox{efg}$ байх хоёр олон талстад хуваана.

3) Пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн төвөөс

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho=\dfrac{\fbox{hkm}\cdot \sqrt{\fbox{np}}}{\fbox{qrs}\cdot \sqrt{\fbox{tu}}}$ байна.

Бодлого №8155

$ABCD$ гурвалжин пирамид ба цилиндр өгөгдөв. Цилиндрийн доод суурийн тойрог

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог болно. Цилиндрийн дээд суурийн тойрог

$DA, DB, DC$ ирмэгүүдийг огтлох ба төв нь

$ABD$ талс дээр оршино. Цилиндрийн суурийн радиус 3,

$ABCD$ пирамидын эзлэхүүн

$27\sqrt{2},$

$AB=24$ байв.

1)

$ABC$ ба

$ABD$ талсуудын хоорондох хоёр талст өнцөг

$\varphi=\arctg\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}$ байна.

2)

$ABCD$ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\sqrt{\dfrac{\fbox{cde}}{\fbox{f}}}$ байна.

Бодлого №8156

$ABCD$ гурвалжин пирамид ба цилиндр өгөгдөв. Цилиндрийн доод суурийн тойрог

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог болно. Цилиндрийн дээд суурийн тойрог

$DA, DB, DC$ ирмэгүүдийг огтлох ба төв нь

$ABD$ талс дээр оршино. Цилиндрийн суурийн радиус 4,

$ABC$ ба

$ABD$ талсуудын хоорондох хоёр талст өнцөг

$\arctg\dfrac1{\sqrt{6}},$

$AB=24$ байв.

1)

$ABCD$ пирамидын эзлэхүүн

$V=\fbox{abc}\cdot \sqrt{\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}}$ байна.

2)

$ABCD$ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\fbox{fg}\cdot \sqrt{\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{i}}}$ байна.

Бодлого №8245

Гурвалжин пирамид

$OABC$ -ийн

$OA$ ирмэгийн дундаж цэг

$D$ ,

$OBC$ талсын медиануудын огтлолцлын цэг

$E$ бол

$\overrightarrow{OA}=\vec a$ ,

$\overrightarrow{OB}=\vec b$ ,

$\overrightarrow{OC}=\vec c$ векторуудаар

$\overrightarrow{DE}=\displaystyle\frac1{\fbox{a}}(-\fbox{b}\vec a+\fbox{c}\vec b+\fbox{d}\vec c)$ гэж задарна.

Бодлого №8246

$OABC$ пирамидийн

$OA$ ирмэгийн дундаж цэг

$D$ ,

$ABC$ талсын медиануудын огтлолцлын цэг

$E$ бол

$\overrightarrow{AO}=\vec a$ ,

$\vec{AB}=\vec b$ ,

$\overrightarrow{AC}=\vec c$ векторуудаар

$\overrightarrow{DE}=-\displaystyle\frac1{\fbox{a}}\vec a+\displaystyle\frac1{\fbox{b}}\vec b+\displaystyle\frac1{\fbox{c}}\vec c$ гэж задрана.

Бодлого №8257

$ABCD$ зөв тетраэдрийн

$ABD$ талсын хүндийн төвийг

$M$ гэвэл

$\overrightarrow{CA}=\vec p$ ,

$\overrightarrow{CB}=\vec q$ ,

$\overrightarrow{CD}=\vec r$ векторуудын хувьд

$\overrightarrow{CM}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}(\vec p+\vec q+\vec r)$ байх ба

$\overrightarrow{CM}$ ,

$\overrightarrow{BD}$ векторуудын хоорондох өнцөг

$\fbox{cd}^\circ$ байна.

Бодлого №8258

Бүх ирмэг нь ижил урттай зөв дөрвөн өнцөгт пирамид

$SABCD$ -ийн

$SC$ ирмэг дээр

$SM:MC=3:1$ байх

$M$ цэг авч

$\overrightarrow{AD}=\vec p$ ,

$\overrightarrow{AB}=\vec q$ ,

$\overrightarrow{AS}=\vec r$ гэвэл

$\overrightarrow{AM}=\dfrac14(\fbox{a}\vec p+3\vec q+\fbox{b}\vec r)$ байх ба

$\overrightarrow{AM}$ ,

$\overrightarrow{BD}$ векторуудын хоорондох өнцөг

$\fbox{cd}^\circ$ байна.

Бодлого №8287

Гурвалжин пирамид

$ABCD$ -ийн

$AB$ ,

$CD$ ,

$BC$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$M,N,Q$ цэгүүдийг

$AM=MB$ ,

$CN=ND$ ,

$CQ:QB=2:3$ байхаар аваад

$MQ$ ,

$AC$ шулуунуудын огтлолцлын цэгийг

$S$ гэвэл

$\overrightarrow{SC}=\fbox{a}\overrightarrow{CA}$ болох ба

$M,N,Q$ цэгүүдийг дайрсан хавтгай

$AD$ ирмэгийг

$AP:PD=\fbox{b}:\fbox{c}$ байх

$P$ цэгээр огтолно.

Бодлого №8288

$ABCD$ пирамидын

$AB$ ,

$CD$ ирмэгүүдийн дундаж цэгийг харгалзан

$M,N$ гээд

$DA$ ирмэг дээр

$DP:PA=2:3$ байх

$P$ цэг авахад

$M,N,P$ цэгүүдийг дайрсан хавтгай

$AC$ шулууныг

$S$ ,

$CB$ ирмэгийг

$Q$ цэгээр огтолбол

$\overrightarrow{SC}=\fbox{a}\overrightarrow{CA}$ ,

$CQ:QB=\fbox{b}:\fbox{c}$ байна.

ЭЕШ 2011 D №24

$ABCDS$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн тал 6 нэгжтэй тэнцүү.

$S$ оройгоос суурийн хавтгайд буулгасан өндрийн суурийг

$O$ гэе.

$D$ ба

$B$ цэгүүдээс

$SC$ ирмэгт харгалзан

$DM$ ба

$BM$ перпендикулярууд буулгасан ба

$\angle OBM=30^\circ$ байв.

$|OM|=\sqrt{\fbox{a}}$ ;
$S$ оройгоос $BC$ талд буулгасан өндрийн суурь $K$ бол $SK=\fbox{b}\sqrt{\fbox{c}}$
Пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай $S=\fbox{de}\sqrt{\fbox{f}}$ юм.

ЭЕШ 2012 B №25

Гурвалжин пирамидын суурь нь

$30^\circ$ хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд уг пирамидын хажуу ирмэгүүд тэнцүү 4 нэгж урттай ба суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэнэ.

Пирамидын өндөр: $\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$
Суурийн гурвалжны талбай: $\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$
Пирамидын эзлэхүүн: $\fbox{e}$
Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус нь $\dfrac{\fbox{f}}{\sqrt{\fbox{g}}}$ байна.

ЭЕШ 2014 B №40

$ABCDEFS$ зөв зургаан өнцөгт пирамид дотор 4 см радиустай бөмбөрцөг багтжээ. Апофем нь суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодолт:

$SOM$ -аас

$SO=8$ см. Иймд

$SK=12$ см болох ба

$SGK$ -аас $GK=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$ см тул (2 оноо)
Суурийн талбай $S_c=\fbox{cd}\sqrt{\fbox{b}}$ см.кв болно. (3 оноо)
Эндээс пирамидын эзлэхүүн $V=\fbox{efg}\sqrt{\fbox{b}}$ см.куб (3 оноо)

Зөв 4 өнцөгт пирамид

Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн диагоналийн урт 8 нэгж, хажуу ирмэгийн урт 5 нэгж бол пирамидын суурийн талын урт нь

$\fbox{a}\sqrt2$ , суурийн талбай нь

$\fbox{bc}$ , өндөр нь

$\fbox{e}$ , эзлэхүүн нь

$\fbox{fg}$ байна.

Пирамид

$\angle C=90^\circ$ ,

$\angle A=45^\circ$ ,

$AB=3$ байх

$ABC$ гурвалжин суурьтай пирамидын хажуу ирмэгүүд суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ өнцөг үүсгэнэ.

Суурийн талбай нь $S=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ ;
Пирамидын өндөр нь $H=\dfrac{\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{e}}$
Эзлэхүүн нь $V=\dfrac{\fbox{f}\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$

Суурийн цэгээс хажуу ирмэг хүртэлх зай

$a$ талтай

$ABCD$ зөв тетраэдр (бүх ирмэгийн урт нь тэнцүү) өгөгдөв.

$A$ оройгоос $BCD$ талд буулгасан $AH$ өндрийн урт $\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}a$ ;
$ABCD$ тетраэдрийн эзлэхүүн $\dfrac{\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{de}}a^3$
Өндрийн суурь $H$ цэгээс $ABC$ талс хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt{\fbox{f}}}{\fbox{g}}a$ байна.

Багтаасан бөмбөлгийн радиус

Зөв гурвалжин пирамидын өндөр

$H=6$ , эзлэхүүн

$V=36\sqrt{3}$ бол энэ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус нь

$R=\fbox{a}$ байна.

ЭЕШ 2016 C №40

$ABC$ зөв гурвалжин суурьтай

$SABC$ пирамидын суурийн талууд нь

$8\sqrt2$ см,

$SC$ хажуу ирмэгийн урт нь

$8$ см бөгөөд суурийн хавтгайд перпендикуляр байв.

$S$ орой ба

$BC$ талын дундаж цэгийг дайрсан шулуун,

$AB$ талын дундаж цэг ба

$C$ оройг дайрсан шулуунуудын хоорондох өнцөг ба хоорондох зайг олоорой.

Бодолт.

$AB$ ,

$CB$ талын дундаж цэгүүдийг харгалзан

$D$ ,

$E$ гэе.

$AB$ шулууныг агуулсан,

$CD$ шулуунд перпендикуляр хавтгайд

$SABC$ пирамидыг проекцлон

$CD$ хэрчим

$D^\prime$ цэгт,

$E$ цэг

$E^\prime$ цэгт,

$S$ цэг

$S^\prime$ цэгт тус тус буусан гэж үзвэл

$S^\prime D^\prime\perp AB$ ба

$S^\prime D^\prime=8$ болно. Бидний олох ёстой 2 шулууны хоорондох зай нь

$S^\prime D^\prime E^\prime$ гурвалжны

$S^\prime E^\prime$ гипотенуз дээр буусан

$D^\prime H$ өндөр юм.

$E^\prime D^\prime=2\sqrt{\fbox{a}}$ ;

$S^\prime E^\prime=\fbox{b}\sqrt{\fbox{c}}$ ;

$D^\prime H=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ . Олох ёстой өнцгөө

$\alpha$ гэж тэмдэглэвэл

$SE=\fbox{f}\sqrt6$ тул

$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{\fbox{g}}}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{\fbox{h}}$ байна.

ЭЕШ 2016 D №40

$ABC$ зөв гурвалжин суурьтай

$SABC$ пирамидын суурийн талууд нь

$8\sqrt2$ см,

$SC$ хажуу ирмэгийн урт нь

$4$ см бөгөөд суурийн хавтгайд перпендикуляр байв.

$S$ орой ба

$BC$ талын дундаж цэгийг дайрсан шулуун,

$AB$ талын дундаж цэг ба

$C$ оройг дайрсан шулуунуудын хоорондох өнцөг ба хоорондох зайг олоорой.

Бодолт.

$AB$ ,

$CB$ талын дундаж цэгүүдийг харгалзан

$D$ ,

$E$ гэе.

$AB$ шулууныг агуулсан,

$CD$ шулуунд перпендикуляр хавтгайд

$SABC$ пирамидыг проекцлон

$CD$ хэрчим

$D^\prime$ цэгт,

$E$ цэг

$E^\prime$ цэгт,

$S$ цэг

$S^\prime$ цэгт тус тус буусан гэж үзвэл

$S^\prime D^\prime\perp AB$ ба

$S^\prime D^\prime=4$ болно. Бидний олох ёстой 2 шулууны хоорондох зай нь

$S^\prime D^\prime E^\prime$ гурвалжны

$S^\prime E^\prime$ гипотенуз дээр буусан

$D^\prime H$ өндөр юм.

$E^\prime D^\prime=2\sqrt{\fbox{a}}$ ;

$S^\prime E^\prime=2\sqrt{\fbox{b}}$ ;

$D^\prime H=\dfrac{\fbox{c}}{\sqrt{\fbox{d}}}$ . Олох ёстой өнцгөө

$\alpha$ гэж тэмдэглэвэл

$SE=\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}$ тул

$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{\fbox{g}}}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{\fbox{h}}$ байна.

ЭЕШ 2016 A №40

$ABC$ зөв гурвалжин суурьтай

$SABC$ пирамидын суурийн талууд нь

$4\sqrt2$ см,

$SC$ хажуу ирмэгийн урт нь

$2$ см бөгөөд суурийн хавтгайд перпендикуляр байв.

$S$ орой ба

$BC$ талын дундаж цэгийг дайрсан шулуун,

$AB$ талын дундаж цэг ба

$C$ оройг дайрсан шулуунуудын хоорондох өнцөг ба хоорондох зайг олоорой.

Бодолт.

$AB$ ,

$CB$ талын дундаж цэгүүдийг харгалзан

$D$ ,

$E$ гэе.

$AB$ шулууныг агуулсан,

$CD$ шулуунд перпендикуляр хавтгайд

$SABC$ пирамидыг проекцлон

$CD$ хэрчим

$D^\prime$ цэгт,

$E$ цэг

$E^\prime$ цэгт,

$S$ цэг

$S^\prime$ цэгт тус тус буусан гэж үзвэл

$S^\prime D^\prime\perp AB$ ба

$S^\prime D^\prime=2$ болно. Бидний олох ёстой 2 шулууны хоорондох зай нь

$S^\prime D^\prime E^\prime$ гурвалжны

$S^\prime E^\prime$ гипотенуз дээр буусан

$D^\prime H$ өндөр юм.

$E^\prime D^\prime=\sqrt{\fbox{a}}$ ;

$S^\prime E^\prime=\sqrt{\fbox{b}}$ ;

$D^\prime H=\dfrac{\fbox{c}}{\sqrt{\fbox{d}}}$ . Олох ёстой өнцгөө

$\alpha$ гэж тэмдэглэвэл

$SE=\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}$ тул

$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{\fbox{g}}}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{\fbox{h}}$ байна.

ЭЕШ 2016 B №40

$ABC$ зөв гурвалжин суурьтай

$SABC$ пирамидын суурийн талууд нь

$12\sqrt2$ см,

$SC$ хажуу ирмэгийн урт нь

$6$ см бөгөөд суурийн хавтгайд перпендикуляр байв.

$S$ орой ба

$BC$ талын дундаж цэгийг дайрсан шулуун,

$AB$ талын дундаж цэг ба

$C$ оройг дайрсан шулуунуудын хоорондох өнцөг ба хоорондох зайг олоорой.

Бодолт.

$AB$ ,

$CB$ талын дундаж цэгүүдийг харгалзан

$D$ ,

$E$ гэе.

$AB$ шулууныг агуулсан,

$CD$ шулуунд перпендикуляр хавтгайд

$SABC$ пирамидыг проекцлон

$CD$ хэрчим

$D^\prime$ цэгт,

$E$ цэг

$E^\prime$ цэгт,

$S$ цэг

$S^\prime$ цэгт тус тус буусан гэж үзвэл

$S^\prime D^\prime\perp AB$ ба

$S^\prime D^\prime=6$ болно. Бидний олох ёстой 2 шулууны хоорондох зай нь

$S^\prime D^\prime E^\prime$ гурвалжны

$S^\prime E^\prime$ гипотенуз дээр буусан

$D^\prime H$ өндөр юм.

$E^\prime D^\prime=\fbox{a}\sqrt{2}$ ;

$S^\prime E^\prime=\fbox{b}\sqrt{\fbox{c}}$ ;

$D^\prime H=2\sqrt{\fbox{d}}$ . Олох ёстой өнцгөө

$\alpha$ гэж тэмдэглэвэл

$SE=\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}$ тул

$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{\fbox{g}}}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{\fbox{h}}$ байна.

Хоёр шулууны хоорондох өнцөг

$ABC$ зөв гурвалжин суурьтай

$SABC$ пирамидын суурийн талууд нь

$4\sqrt2$ см,

$SC$ хажуу ирмэгийн урт нь

$2$ см бөгөөд суурийн хавтгайд перпендикуляр байв.

$S$ орой ба

$BC$ талын дундаж цэгийг дайрсан шулуун,

$AB$ талын дундаж цэг ба

$C$ оройг дайрсан шулуунуудын хоорондох өнцөг ба хоорондох зайг олоорой.

Бодолт.

$AB$ ,

$CB$ талын дундаж цэгүүдийг харгалзан

$D$ ,

$E$ гэе.

$AB$ шулууныг агуулсан,

$CD$ шулуунд перпендикуляр хавтгайд

$SABC$ пирамидыг проекцлон

$CD$ хэрчим

$D^\prime$ цэгт,

$E$ цэг

$E^\prime$ цэгт,

$S$ цэг

$S^\prime$ цэгт тус тус буусан гэж үзвэл

$S^\prime D^\prime\perp AB$ ба

$S^\prime D^\prime=2$ болно. Бидний олох ёстой 2 шулууны хоорондох зай нь

$S^\prime D^\prime E^\prime$ гурвалжны

$S^\prime E^\prime$ гипотенуз дээр буусан

$D^\prime H$ өндөр юм.

$E^\prime D^\prime=\sqrt{\fbox{a}}$ ;

$S^\prime E^\prime=\sqrt{\fbox{b}}$ ;

$D^\prime H=\dfrac{\fbox{c}}{\sqrt{\fbox{d}}}$ . Олох ёстой өнцгөө

$\alpha$ гэж тэмдэглэвэл

$SE=\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}$ тул

$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{\fbox{g}}}{2}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{\fbox{h}}$ байна.

Пирамидын эзлэхүүн

Ирмэгүүд нь 3, 4, 5 урттай тэгш өнцөгт параллелепипедийн аль нэг орой болон түүнтэй холбогдсон оройнуудаар үүсэх пирамидын эзлэхүүн нь

$\fbox{ab}$ , уг пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус нь

$R=\dfrac{\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}}{2}$ байна.

ЭЕШ 2017 D №40

Бүх ирмэг нь 4 урттай байх

$ABCDE$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамид өгөгджээ.

Суурийн диагональ $AC=\fbox{a}\sqrt2$ байна.
Диагональ огтлолын талбай $S_{ACE}=\fbox{b}$ байна.
Пирамидын эзлэхүүн $V_{ABCDE}=\dfrac{32\sqrt2}{\fbox{c}}$ байна.
Пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиус $r=\sqrt{\fbox{d}}-\sqrt2$ байна.
Энэ пирамидад хамгийн их эзлэхүүнтэй, 4 орой нь хажуу ирмэг дээр, 4 орой нь суурь дээр орших тэгш өнцөгт параллелепипед багтаавал эзлэхүүн нь $V_{\text{пар}}=\dfrac{128\sqrt2}{\fbox{ef}}$ байна.

ЭЕШ 2017 B №40

Бүх ирмэг нь 2 урттай байх

$ABCDE$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамид өгөгджээ.

Суурийн диагональ $AC=2\sqrt{\fbox{a}}$ байна.
Диагональ огтлолын талбай $S_{ACE}=\fbox{b}$ байна.
Пирамидын эзлэхүүн $V_{ABCDE}=\dfrac{4\sqrt2}{\fbox{c}}$ байна.
Пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиус $r=\dfrac{\sqrt{\fbox{d}}-\sqrt2}{2}$ байна.
Энэ пирамидад хамгийн их эзлэхүүнтэй, 4 орой нь хажуу ирмэг дээр, 4 орой нь суурь дээр орших тэгш өнцөгт параллелепипед багтаавал эзлэхүүн нь $V_{\text{пар}}=\dfrac{16\sqrt2}{\fbox{ef}}$ байна.

Бодлого №2300

Бүх ирмэгүүдийн нийлбэр нь хамгийн бага байх зөв 6 өнцөгт призмийн эзлэхүүн нь

$V$ бол бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2863

Зөв гурвалжин призмын хажуу талс нь квадрат болно. Призмын хажуу гадаргийн талбай 144 байв. Призмын талсуудын төвөөр оройгоо хийсэн олон талстын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2864

$R$ радиустай бөмбөрцөгт зөв гурвалжин призм багтаасан бөгөөд призмын өндөр нь

$H$ бол эзлэхүүнийг нь ол.

Бодлого №2869

Зөв гурвалжин призмын суурийн тал ба түүний эсрэг орших ирмэгийн дундажыг агуулсан хавтгай суурийн хавтгайтай

$60^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэнэ. Энэ хавтгайгаар үүсэх хөндлөн огтлолын талбай

$S=8\sqrt3$ . Призмын эзлэхүүн ба бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2872

$ABC A_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмын хажуу ирмэг

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ , суурь нь 4 талтай адил талт

$ABC$ гурвалжин болно.

$AB$ ба

$CA$ шулуунууд перпендикуляр бол призмын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2873

$ABC A_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмын хажуу ирмэгүүд

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ ба суурь нь адил талт

$ABC$ гурвалжин болно. Түүнчлэн призмийн бүх ирмэгүүд ижилхэн

$6$ урттай.

$P$ ба

$Q_1$ цэгүүд

$BC$ ба

$A_1C_1$ ирмэгүүдийг

$BP:PC=A_1Q_1: Q_1C_1=1:2$ харьцаагаар хуваана.

$ABB_1A_1$ ба

$ACC_1A_1$ хавтгайг шүргэх,

$PQ_1$ хэрчим дээр төвтэй бөмбөрцөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2875

Нэгэн хавтгай зөв гурвалжин призмын хажуу ирмэгүүдийг доод сууриас нь дээш

$1:2$ ,

$3:4$ ба

$1:5$ гэсэн харьцаагаар хуваажээ. Призмын эзлэхүүн ямар харьцаагаар хуваагдсан бэ?

Бодлого №2876

Тэгш өнцөгт гурвалжин призмын суурь адил хажуут гурвалжин. Суурийн хажуу талын урт

$a$ , суурьт налсан өнцөг нь

$\alpha$ болно. Гурвалжны суурийг дайран гарсан хавтгай түүнд

$\beta$ өнцөгөөр налсан байв. Уг хавтгай призмыг огтлоход үүсэх гурвалжин огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2877

Тэгш өнцөгт гурвалжин призмын доод суурийн нэг талыг дайран гарсан хавтгай эсрэг талын хажуу ирмэгийг огтлож байсан бөгөөд суурийн хавтгайтай

$45^\circ$ -аар налж байв. Хэрэв призмын суурь

$a$ -талтай зөв гурвалжин байсан бол огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2878

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ шулуун призмийн суурь нь

$ABCD$ параллельограмм.

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ цэгүүд харгалзан

$A_1B$ ,

$B_1C$ ,

$DA$ талууд дээр оршино.

$KM$ шулуун

$B_1C_1$ шулуунтай параллель,

$A_2$ цэг

$AA_1$ ирмэг дээр орших ба

$AA_2:A_2A_1=3$ байв.

$ABC$ хавтгайтай параллельиар

$A_2$ цэгийг дайран гарах

$\pi$ хавтгай

$BK$ ,

$BL$ ,

$BM$ ,

$BN$ хэрчмүүдийг харгалзан

$E$ ,

$F$ ,

$G$ ,

$H$ цэгүүдээр огтолно. Хэрэв

$ABCD A_1B_1C_1D_1$ призмын эзлэхүүн

$V$ бол

$CEFGH$ дөрвөн өнцөгт пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2879

Зөв зургаан өнцөгт призмын хамгийн том диагонал огтлолын талбай 1 бол призмын хажуу гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2882

Зөв дөрвөн өнцөгт призмын өндөр

$h$ . Суурийн аль нэг оройгоос түүнийг агуулсан хоёр хажуу талд диагоналууд татахад тэдгээрийн хооронд

$\alpha$ өнцөг үүсч байв. Призмын хажуу гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2883

Шулуун призмын суурь нь нэг тал нь

$a$ -тай тэнцүү параллельограмм бөгөөд уг ирмэг ба түүний эсрэг орших, дээд суурийн ирмэгийг дайран гарах

$Q$ талбай бүхий огтлол суурийн хавтгайтай

$\beta$ өнцөг үүсгэнэ. Призмын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2924

$RST R_1S_1T_1$ шулуун призмийн дээд суурь нь

$\dfrac{\sqrt3}{4}c^2$ талбайтай

$R_1S_1T_1$ гэсэн зөв гурвалжин.

$RS$ шулууныг агуулсан огтлогч хавтай

$TT_1$ ирмэгтэй

$\gamma$ өнцөг үүсгэнэ. Огтлолд үүсэх гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.

Бодлого №2938

$ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн суурийн талууд нь

$AB=BC=1$ ,

$AC=\sqrt3$ .

$AB_1C$ хавтгай уг призмд багтсан цилиндрийн эзлэхүүнийг ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?

Бодлого №2948

$ABCA_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмийн суурийн тал

$a$ , хажуу ирмэг нь

$\dfrac54a$ .

$A_1C_1$ талын дундаж

$D$ ,

$M$ цэг

$DB_1$ хэрчим дээр байрлах ба

$DM=\dfrac16DB_1$ . Өөр нэг призм нь

$BM$ шулууны хувьд

$ABCA_1B_1C_1$ -тай симметр байв. Призмүүдийн ерөнхий хэсгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2949

$ABCA_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмийн суурийн тал

$a$ , хажуу ирмэг нь

$\dfrac98a$ .

$AB$ талын дундаж

$E$ ,

$M$ цэг

$EC$ хэрчим дээр байрлах ба

$EM=\dfrac14EC$ . Өөр нэг призм нь

$MC_1$ шулууны хувьд

$ABCA_1B_1C_1$ -тай симметр байв. Призмүүдийн ерөнхий хэсгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2956

$PQRP_1Q_1R_1$ зөв гурвалжин призмийн доод суурийн

$PQ$ ирмэгийг дайруулан

$RR_1$ ирмэгийг огтлох огтлогч хавтгай татан түүнийг хоёр олон талст болгон хуваав. Эдгээрийн

$PQR$ гурвалжин нэг талс нь болох олон талстын эзлэхүүнийг

$QQ_1PP_1$ дөрвөн өнцөгт талс нь болох олон талстын эзлэхүүнд харьцуулсан харьцаа

$q$ . Хэрэв

$PQ_1$ ба

$RR_1$ шулуунуудын хоорондох өнцөг

$\varphi$ бол огтлогч хавтгай ба пирамидын сууриудын хооронд үүсгэх өнцгийн хэмжээг ол.

Бодлого №2961

Призмийн суурь нь

$\sqrt3$ талтай

$ABC$ зөв гурвалжин.

$AD$ ,

$BE$ ,

$CF$ хажуу ирмэгүүд нь суурьтаа перпендикуляр.

$\dfrac72$ радиустай бөмбөрцөг

$ABC$ хавтгай ба

$AE$ ,

$BF$ ,

$CD$ хэрчмүүдийн үргэлжлэлүүдийг харгалзан

$A$ ,

$B$ ,

$C$ цэгийн талд нь шүргэж байв. Призмийн хажуу ирмэгийн уртыг ол.

Бодлого №2963

$ABCA_1B_1C_1$ призмийн дээд суурь

$A_1B_1C_1$ гурвалжин бөгөөд

$A_1B_1=B_1C_1$ байв. Уг гурвалжны

$B_1D$ медиан ба

$A_1B_1$ талуудын хоорондох өнцөг

$\varphi$ байв.

$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв ба

$A_1B_1C_1$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцлын цэгийг дайруулан

$AC$ шулуунтай параллел хавтгай татав. Хэрэв

$BB_1CC_1$ хажуу талсын

$B_1C$ диагоналын урт

$d$ ба

$\angle BB_1A=\alpha$ бол уг хавгайгаар үүсэх огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2967

$SABC$ (

$S$ нь оройн цэг) зөв гурвалжин пирамидад багтсан бөмбөрцөг нь

$KL=LM=\sqrt{6}$ байх

$KLMK_1L_1M_1$ шулуун, гурвалжин призмд багтах ба

$KK_1$ ирмэг

$AB$ шулуун дээр байрлаж байв. Хэрэв

$SC$ ирмэг

$LL_1M_1M$ хавтгайтай параллель бол бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2968

$ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн суурь нь

$AC=CB=2$ ,

$\angle ACB=2\arcsin\dfrac45$ байх адил хажуут гурвалжин.

$A_1B$ шулуунд перпендикуляр хавтгай

$AB$ ба

$A_1B_1$ ирмэгүүдийг харгалзан

$AK=\dfrac{7}{16}AB$ ,

$LB_1=\dfrac{7}{16}A_1B_1$ байх

$K$ ба

$L$ цэгт огтолно. Огтлолын талбайг ол.

Бодлого №2971

$KLMNK_1L_1M_1N_1$ призмийн суурь нь

$K$ орой дахь өнцөг нь

$60^\circ$ -тэй тэнцүү

$KLMN$ ромбо.

$LL_1$ ба

$LM$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүү нь харгалзан

$E$ ба

$F$ .

$SABCD$ (

$S$ оройтой) зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын

$SA$ ирмэг

$LN$ шулуун дээр орших ба

$B$ ,

$D$ оройнууд нь харгалзан

$MM_1$ ,

$EF$ ирмэгүүд дээр оршино. Хэрэв

$SA=2AB$ бол призм ба пирамидын эзлэхүүнүүдийн харьцааг ол.

ЭЕШ 2008 E1 №17

3 радиустай бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт призмийн өндөр 4 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг призмийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac45\pi$ B.

$\dfrac9{10}\pi$ C.

$\dfrac{9}{20}\pi$ D.

$\dfrac{6\pi}{5}$ E.

$\dfrac{3\pi}{5}$

ЭЕШ 2008 E №16

6 радиустай бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт призмийн өндөр 9 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг призмийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac{32}{63} \pi$ B.

$\dfrac{64}{63} \pi$ C.

$\dfrac{16}{21} \pi$ D.

$\dfrac{8}{21} \pi$ E.

$\dfrac{32}{21} \pi$

Призмийн хөндлөн огтлолын талбай

Зөв гурвалжин суурьтай шулуун призмийн суурийн тал ба өндөр тэнцүү 3 нэгж байв. Суурийн 1 ирмэг ба призмийн суурийн төвүүдийг холбосон хэрчмийн дундаж цэгийг дайрсан огтлолын талбайг ол.

A.

$3\sqrt3$ B.

$4\sqrt2$ C.

$3\sqrt2$ D.

$4\sqrt3$ E.

$8\sqrt3$

Призмд багтсан бөмбөрцөг

Зөв гурвалжин призмд бөмбөрцөг багтах бөгөөд призмийн бүтэн гадаргуугийн талбай

$2\sqrt3$ бол багтсан бөмбөрцгийн радиусыг ол.

A.

$\dfrac13$ B.

$\dfrac12$ C.

$1$ D.

$\dfrac43$ E.

$2$

Призмийн бүтэн гадаргуугийн талбай

Суурь нь

$3$ ,

$4$ ,

$5$ талуудтай гурвалжин байх шулуун призмийн эзлэхүүн нь

$30$ бол бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$17$ B.

$30$ C.

$36$ D.

$60$ E.

$72$

Хоёр шулууны хоорондох өнцөг

$ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн суурь

$a$ талтай адил талт гурвалжин, хажуу ирмэгийн урт

$\sqrt2a$ бол призмийн талсуудын

$A_1B,B_1C$ диагоналиудын хоорондох хурц өнцгийг ол.

A.

$45^\circ$ B.

$60^\circ$ C.

$\arccos\frac14$ D.

$\arccos\sqrt{\frac23}$ E.

$30^\circ$

Бодлого №7988

$ABCA_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмийн бүх ирмэг

$a$ урттай бол түүний хажуу талсуудын

$AB_1,BC_1$ диагоналиудын хоорондох хурц өнцгийг ол.

A.

$45^\circ$ B.

$60^\circ$ C.

$\arccos\frac13$ D.

$\arccos\frac14$

Бодлого №8015

Налуу гурвалжин призмийн хажуу ирмэгүүд хоорондоо 3см, 4см, 5см зайтай ба урт нь 6см байв. Призмийн хажуу гадаргуугийн талбай аль вэ?

A.

$48\texttt{см}^{2};$ B.

$60\texttt{см}^{2};$ C.

$64\texttt{см}^{2};$ D.

$72\texttt{см}^{2}.$

Бодлого №8016

Налуу дөрвөлжин призмйин хажуу ирмэг 3м урттай, хажуу гадаргуугийн талбай нь 66

$\texttt{м}^{2}$ байв. Призмийн зэргэлдээ хажуу ирмэгүүдийн хоорондох зайнуудын харьцаа 1:2:3:5 бол хамгийн их зай нь хэдэн метр байсан бэ?

A.

$10;$ B.

$12;$ C.

$14;$ D.

$15.$

Бодлого №8021

Зөв дөрвөн өнцөгт призмийн диагональ суурийн хавтгайтай

$30^\circ$ өнцөг үүсгэх ба урт нь 2 нэгж бол призмийн бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$3+4\sqrt3$ кв.нэгж B.

$2+3\sqrt2$ кв.н. C.

$2+3\sqrt3$ кв.н. D.

$3+2\sqrt6$ кв.н.

Бодлого №8022

Зөв дөрвөн өнцөгт призмийн диагональ хажуу ирмэгтэй

$30^\circ$ өнцөг үүсгэх ба урт нь 2 нэгж бол призмийн бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$1+4\sqrt3$ кв.н. B.

$2+2\sqrt2$ кв.н. C.

$1+2\sqrt6$ кв.н. D.

$2+\sqrt6$ кв.н.

Бодлого №8027

Шулуун призмийн суурь параллель талууд ба диагональ нь харгалзан 21, 9, 17 нэгж урттай адил хажуут трапец бөгөөд бага хажуу талс нь квадрат байв. Призмийн хажуу гадаргуугийн талбайг ол.

A. 450кв.нэгж. B. 405кв.н. C. 378кв.н. D. 504кв.н.

Бодлого №8028

Шулуун призмийн суурь трапецийн параллель талууд 9 ба 39 нэгж урттай бөгөөд гурван хажуу талс нь квадрат байв. Призмийн гүйцэд гадаргуугийн талбайг ол.

A. 6690кв.нэгж. B. 6642кв.н. C. 6774кв.н. D. 6792кв.н.

Бодлого №8049

Гурвалжин призмийн хажуу ирмэгт перпендикуляр огтлолын өнцгүүд 1:5:6 харьцаатай бөгөөд огтлолын их тал ба призмийн хажуу ирмэгийн урт

$a$ бол призмийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\frac12a^3$ B.

$\frac14a^3$ C.

$\frac16a^3$ D.

$\frac18a^3$

Бодлого №8050

Гурвалжин призмийн бүх ирмэгийн урт

$a$ , нэг гурван талст өнцгийн хавтгай өнцгүүд ижил хэмжээтэй бол призмийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\sqrt2a^3$ B.

$\frac{\sqrt2}2a^3$ C.

$\frac{\sqrt2}4a^3$ D.

$\frac{\sqrt2}6a^3$

Бодлого №8065

Бөмбөрцөг багтаасан зөв зургаан өнцөгт призмийн өндөр 2 нэгж бол эзлэхүүн нь хэдэн куб нэгж вэ?

A.

$2\sqrt{3};$ B.

$3\sqrt{3};$ C.

$4\sqrt{3};$ D.

$5\sqrt{3}.$

Бодлого №8066

$\sqrt{3}$ нэгж радиустай бөмбөрцөг багтаасан зөв зургаан өнцөгт призмийн эзлэхүүн хэдэн куб нэгж байх вэ?

A.

$36$ B.

$24$ C.

$30$ D.

$20$ E.

$18$

Огтлолын талбай

Бүх ирмэг нь

$a$ урттай зөв гурвалжин призмийн доод суурийн нэг ирмэг дээд суурийн төвийг дайрсан огтлолын талбайг ол.

A.

$\dfrac{3\sqrt{11}}{16}a^2$ B.

$\dfrac{\sqrt{91}}6a^2$ C.

$\dfrac5{24}a^2$ D.

$\dfrac{25}{36}a^2$ E.

$\dfrac{5\sqrt{39}}{36}a^2$

Бодлого №8084

Бүх ирмэг нь

$a$ урттай зөв гурвалжин призм

$ABCA_1B_1C_1$ -ийн

$BC$ ирмэг ба

$A_1C_1$ ирмэгийн

$2A_1M=MC_1$ байх

$M$ цэгийг дайрсан огтлолын талбайг ол.

A.

$\dfrac{3\sqrt2}8a^2$ B.

$\dfrac{2\sqrt6}9a^2$ C.

$\dfrac{4\sqrt3}9a^2$ D.

$\dfrac{\sqrt6}4a^2$ E.

$\dfrac{2\sqrt3}9a^2$

ЭЕШ 2008 A №66

$9$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт призмийн өндөр 12 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг призмийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac{27}{5}\pi$ B.

$\dfrac{27}{20}\pi$ C.

$\dfrac{19}{10}\pi$ D.

$\dfrac{9}{10}\pi$ E.

$\dfrac{3}{10}\pi$

ЭЕШ 2008 E1 №17

3 радиустай бөмбөрцөгт багтсан зөв дөрвөн өнцөгт призмийн өндөр 4 бол бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг призмийн эзлэхүүнд харьцуулсан харьцааг ол.

A.

$\dfrac45\pi$ B.

$\dfrac9{10}\pi$ C.

$\dfrac{9}{20}\pi$ D.

$\dfrac{6\pi}{5}$ E.

$\dfrac{3\pi}{5}$

ЭЕШ 2006 A №28

Өндөр нь 5см байх

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ зөв дөрвөн өнцөгт призмийн

$ABCD$ суурийн тал 10см.

$M$ цэг нь

$AB$ тал дээр оршино.

$\left(\dfrac{|A_1M|}{|MC_1|}\right)^2=\dfrac{1}{\fbox{a}}$ бол $|AM|=|MB|$ байна.
Энэ тохиолдолд $(A_1MC_1)$ хавтгай нь $BC$ талыг $N$ цэгээр огтлох ба $S_{A_1MNC_1}=\fbox{bc}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$ байна.

ЭЕШ 2006 C №28

Өндөр нь 9 см байх

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ зөв дөрвөн өнцөгт призмын

$ABCD$ суурийн тал 18 см.

$M$ цэг нь

$AB$ тал дээр оршино.

$\Big(\dfrac{|A_1M|}{|MC_1|}\Big)^2=\dfrac{1}{\fbox{a}}$ бол $|AM|=|MB|$ байна.
Энэ тохиолдолд $(A_1MC_1)$ хавтгай нь $BC$ талыг $N$ цэгээр огтлох ба $S_{A_1MNC_1}=\dfrac{\fbox{bcd}\sqrt{\fbox{3}}}{2}$ байна.

Призм ба пирамидын эзлэхүүн

$ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн

$ABC$ суурийн талбай нь 8, өндөр 6 байв.

$AA_1$ ,

$BB_1$ ирмэгүүдийн дундаж цэгүүд нь харгалзан

$M$ ба

$N$ бол

Призмийн эзлэхүүн $\fbox{ab}$ ;
$CABNM$ пирамидын эзлэхүүн $\fbox{cd}$ ;
Призм дотор санамсаргүйгээр цэг сонгоход тэр нь $CABMN$ пирамид дотор байх магадлал $\dfrac{1}{\fbox{e}}$ байна.

Бодлого №8140

$ABCA_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмийн суурийн тал 12, призмийн өндөр

$\dfrac{6\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ байв.

$AC, A_1C_1, AB$ ирмэгүүд дээр харгалзан

$P, F, E$ цэгүүдийг

$AP=2, A_1F=6, AE=6$ байхаар авав.

$P, F, E$ цэгүүдийг дайрсан хавтгайгаар призмийг огтлох огтлолыг байгуулав.

1) Огтлолын хавтгай ба

$(ABC)$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos \dfrac{\fbox{a}}{\sqrt{\fbox{b}}}$ байна.

2) Огтлолын талбай

$S=\dfrac{\fbox{cde}}{\fbox{f}}$ байна.

Бодлого №8141

$ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн суурь

$ABC$ -ийн хувьд

$AB=BC=5, AC=6$ ба призмийн өндөр нь

$\sqrt{6}$ -тай тэнцүү.

$AC, BC, A_1C_1$ талууд дээр харгалзан

$D, E, D_1$ цэгүүдийг

$DC=\dfrac 14AC, BE=EC,$

$A_1D_1=\dfrac 13A_1C_1$ байхаар аваад

$\alpha=(DED_1)$ хавтгайгаар призмийг огтлох огтлолыг байгуулав.

1) Огтлолын талбай

$S=\dfrac{\fbox{abc}}{\fbox{de}}$ байна.

2)

$\alpha$ хавтгай ба

$(ABC)$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$ байна.

3)

$C_1$ ба

$C$ цэгүүдээс

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зай

$\rho_1=\dfrac{\fbox{h}\cdot\sqrt{\fbox{k}}}{\fbox{m}},$

$\rho=\dfrac{\fbox{n}\cdot \sqrt{\fbox{p}}}{\fbox{q}}$ байна.

Бодлого №8142

$ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн суурь

$ABC$ -ийн хувьд

$AB=BC=5, AC=6$ ба призмийн өндөр нь

$\sqrt{6}$ -тай тэнцүү.

$A_1C_1, B_1C_1, AC$ талууд дээр харгалзан

$D_1, E_1, D$ цэгүүдийг

$C_1D=\dfrac 14A_1C_1, B_1E_1=C_1E_1,$

$AD=\dfrac 13AC$ байхаар аваад

$\alpha=(D_1E_1D)$ хавтгайгаар призмийг огтлох огтлолыг байгуулав.

1) Огтлолын талбай

$S=\dfrac{\fbox{abc}}{\fbox{de}}$ байна.

2)

$\alpha$ хавтгай ба

$(ABC)$ хавтгайн хоорондох өнцөг

$\varphi=\arccos\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$ байна.

3)

$C$ ба

$C_1$ цэгүүдээс

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зай харгалзан

$\rho=\dfrac{\fbox{h}\cdot\sqrt{\fbox{k}}}{\fbox{m}},$

$\rho_1=\dfrac{\fbox{n}\cdot \sqrt{\fbox{p}}}{\fbox{q}}$ байна.

Бодлого №8267

$ABCA_1B_1C_1$ призмийн талсуудын

$AB_1$ ,

$CA_1$ диагоналиуд дээр харгалзан байрлах

$E,F$ цэгүүдийн хувьд

$EF\|BC_1$ нөхцөл биелнэ.

$\overrightarrow{CA}=\vec a$ ,

$\overrightarrow{CB}=\vec b$ ,

$\overrightarrow{CC_1}=\vec c$ гэвэл

$\overrightarrow{AB_1}=\fbox{a}\vec a+\vec b+\fbox{b}\vec c$ ,

$\overrightarrow{CA_1}=\vec a+\fbox{c}\vec b+\vec c$ ,

$\overrightarrow{BC_1}=-\vec b+\fbox{d}\vec c$ ба

$EF:BC_1=\fbox{e}:\fbox{f}$ байна.

Бодлого №8292

Бүх ирмэг нь

$a$ урттай зөв гурвалжин призмийн зэргэлдээ хоёр хажуу талсын солбисон диагоналиудын хоорондох зайг

$\delta$ гэе. Эдгээр диагоналийн ерөнхий перпендикуляр хэрчим диагоналийг

$\fbox{a}:\fbox{b}$

$(a< b)$ харьцаагаар хуваах ба

$\delta=\displaystyle\frac{\sqrt{\fbox{c}}}5\,a$ байна.

2021 B №07

$M(-3, 3\sqrt {2} )$ цэгээс координатын эх хүртэлх зайг ол.

A.

$\sqrt {17}$ B.

$3\sqrt {3}$ C.

$5\sqrt {3}$ D.

$2\sqrt {5}$ E.

$\sqrt {15}$

2019 A №07

Цилиндрийн суурийн радуис

$2$ дм , өндөр нь

$4$ дм бол тэнхлэг огтлолын талбай нь хэдэн дм.кв вэ?

A.

$32$ дм.кв B.

$8$ дм.кв C.

$6$ дм.кв D.

$64$ дм.кв E.

$16$ дм.кв

2021 B №07

$M(-3, 3\sqrt {2} )$ цэгээс координатын эх хүртэлх зайг ол.

A.

$\sqrt {17}$ B.

$3\sqrt {3}$ C.

$5\sqrt {3}$ D.

$2\sqrt {5}$ E.

$\sqrt {15}$

2019 B №07

Цилиндрийн суурийн радуис

$3$ дм , өндөр нь

$5$ дм бол тэнхлэг огтлолын талбай нь хэдэн дм.кв вэ?

A.

$45$ дм.кв B.

$8$ дм.кв C.

$15$ дм.кв D.

$30$ дм.кв E.

$75$ дм.кв

Бодлого №2250

Бөмбөрцөгт хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндр багтжээ. Хэрвээ бөмбөрцөгийн радиус 5 см бол бөмбөрцөгийн эзлэхүүнийг цилиндрийн суурийн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.

Бодлого №2251

Конусын радиус 4дм, өнцөг нь 6дм бөгөөд түүнд хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийг багтаажээ. Цилинприйн өндрийг ол

Бодлого №2255

$R$ радиустай бөмбөрцөгт хамгийн их хажуу гадаргуутай цилиндр багтсан бол энэ цилиндрийн эзлэхүүнийг ол

Бодлого №2889

Диаметр нь

$d=4$ см, өндөр

$h=4$ см бүхий метал цилиндрийг хайлуулж бөмбөлөг хийв. Бөмбөлөгийн радиусыг ол.

Бодлого №2891

Цилиндрт бөмбөрцөг багтав. Цилиндрийн эзлэхүүн

$7.5$ бол түүнд багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2904

Бөмбөрцгийн эзлэхүүн

$4$ дм.куб. Уг бөмбөрцөгт багтсан цилиндрийн байгуулагч бөмбөрцгийн төвөөс

$60^\circ$ өнцгөөр харагддаг бол цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2907

Цилиндрийн хажуу гадаргууг дэлгэхэд

$4\sqrt[3]{\pi}$ талтай квадрат үүснэ. Цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №2909

Тэнхлэг огтлол нь квадрат бөгөөд хажуу гадаргуугийн талбай нь

$80$ -тай тэнцүү цилиндрийн бүтэн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2931

$ABCD$ адил хажуут трапецын

$BC$ суурь нь

$MBCN$ ромбын тал болдог.

$BC=a$ ,

$AD=b$ (

$a< b< 2a$ ). Трапецийн хурц өнцөг

$30^\circ$ , ромбын хурц өнцөг

$60^\circ$ бол трапец ба ромбыг

$BC$ шулуунийг тойруулан хамтад нь эргүүлэхэд үүсэх биетийн гадаргуугийн талбайг ол.

Бодлого №2938

$ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн суурийн талууд нь

$AB=BC=1$ ,

$AC=\sqrt3$ .

$AB_1C$ хавтгай уг призмд багтсан цилиндрийн эзлэхүүнийг ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваах вэ?

Бодлого №2950

$S$ оройтой

$SABCD$ зөв дөрвөлжин пирамидын

$BC$ ирмэг дээр

$DM:DC=1:15$ байхаар

$M$ цэг авав.

$SAB$ ,

$SCD$ хажуу талсуудыг шүргэх цилиндрийн нэг суурь нь

$M$ цэгийг агуулдаг, нөгөө суурь нь

$SC$ ирмэгтэй ерөнхий цэгтэй байв. Цилиндрийн хажуу гадаргуу пирамидын

$SH$ өндөртэй

$O$ цэгт огтлолцох ба

$SO:SH=1:3$ байв. Цилиндр ба пирамидын ерөнхий цэгийг ол.

Бодлого №2951

$SABC$ (

$S$ нь оройн цэг) зөв гурвалжин пирамидын

$BC$ ирмэг дээр

$BD:DC=2:3$ байхаар

$D$ цэг авав.

$SAB$ ,

$SBC$ хажуу талсуудыг шүргэх цилиндрийн нэг суурь нь

$D$ цэгийг агуулдаг, нөгөө суурь нь

$SC$ ирмэгтэй ерөнхий цэгтэй байв. Хэрэв цилиндрийн хажуу гадаргуу

$AC$ талтай цор ганц ерөнхий цэгтэй гэвэл цилиндр ба пирамидын эзлэхүүний харьцааг ол.

Бодлого №2966

Хавгай дээр нэг ерөнхий байгуулагчтай

$r$ радиустай 2 цилиндр хэвтүүлж тавив. Эдгээр цилиндр дээр тэнхлэгүүд нь дээрх цилиндрүүдийн тэнхлэгүүдтэй перпендикуляр бөгөөд бие биеэ байгуулагчаараа шүргэх

$R$ радиустай 2 цилиндрийг мөн хэвтүүлж тавив. Бүх дөрвөн цилиндрийг шүргэх бөмбөрцгийн радиусыг ол.

Бодлого №2969

Хавтгай дээр бие бие шүргэх

$r$ радиустай 2 бөмбөрцөг ба тэдгээрийг шүргэх

$R$ (

$R>r$ ) радиустай цилиндр байрлаж байв. Цилиндр нь хавтгайг өөрийн байгуулагчаар шүргэх бол хавтгай, цилиндр ба 2 бөмбөрцгийг шүргэх бөмбөрцгүүдээс бага радиустай бөмбөрцгийнх нь радиусыг ол.

Бодлого №2972

$SABCD$ дөрвөн өнцөгт пирамидын суурь

$ABCD$ (

$BC\parallel AD$ ) трапец ба

$BC=\dfrac45AD$ ,

$\angle ASD=\angle CDS=\dfrac\pi2$ байв. Пирамидын бүх оройнууд

$2$ өндөртэй,

$\dfrac53$ суурийн радиустай цилиндрийн суурийн тойргууд дээр байрлах бол пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Бодлого №10234

Суурийн радиус нь

$a$ , өндөр нь

$2a$ байх цилиндрийн суурийн диаметрийг дайрсан суурьт

$60^\circ$ өнцгөөр налах хавтгай цилиндрийг ямар эзлэхүүнтэй хэсгүүдэд хуваах вэ?

ММО-06, Бодлого №6

Шулуун дугуй цилиндрийн дээд суурийн

$M$ цэгээс доод суурийн

$N$ цэг дээр буулгасан

$MN$ перпендикулярыг бэхлэв. Дээд суурийн тойргийн дурын цэгийг доод суурийн тойргийн цэгтэй холбогч хэрчмүүдийн дотроос

$MN$ хэрчмийг огтлогч бүх хэрчмүүдийн дундаж цэгүүдийн геометр байрыг ол.

ЭЕШ 2011 A №20

5 см ба 15 см талтай тэгш өнцөгтийг талыг нь тойруулан эргүүлэхэд үүсэх хоёр цилиндрийн аль нь хэд дахин их эзлэхүүнтэй байх вэ?

A.

$9$ B. тэнцүү C.

$5$ D.

$3$ E. 6

Хамгийн их хажуу гадаргуутай багтсан цилиндр

$R$ радиустай бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их хажуу гадаргуутай цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$\pi R^3$ B.

$\dfrac{\pi R^3}{\sqrt2}$ C.

$\dfrac{\pi R^3}{\sqrt3}$ D.

$\dfrac{\pi R^3}{\sqrt4}$ E.

$R^3$

Бөмбөрцөг багтаасан цилиндр

Цилиндрт багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүн нь 168 бол цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

A. 222 B. 162 C. 248 D. 252 E. 192

Хамгийн их эзлэхүүнтэй багтсан цилиндр

$C\colon x^2+y^2+z^2=6$ бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийн суурийн радиусыг ол.

A.

$1$ B.

$2$ C.

$3$ D.

$4$ E.

$5$

Цилиндрт багтсан бөмбөрцөг

Цилиндрт багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүн нь

$168$ бол цилиндрийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$222$ B.

$162$ C.

$248$ D.

$252$ E.

$192$

Бодлого №5799

Цилиндрийн эзлэхүүн нь

$63 \pi$ см.куб ба тэнхлэг огтлолын талбай нь

$18$ см.кв бол суурийн радиусыг ол.

A. 8 B. 7 C. 6 D. 9 E. 10

Бодлого №5800

Цилиндрийн хажуу гадаргын дэлгээс нь

$48\pi$ талбайтай квадрат байв. Суурийн талбайг ол.

A.

$12$ B.

$4 \pi$ C.

$16$ D.

$9 \pi$ E.

$12\pi$

Бодлого №5801

Адил талт цилиндрийн суурийн радиус

$2$ бол эзлэхүүнийг ол.

A.

$16 \pi$ B.

$8 \pi$ C.

$12 \pi$ D.

$18 \pi$ E.

$9\pi$

Бодлого №8039

Конус, цилиндр хоёр тэнцүү суурь, өндөр, хажуу гадаргуугийн талбайтай бол конусын байгуулагчуудын хооронд үүсэх хамгийн их өнцөг аль вэ?

A.

$30^{\circ};$ B.

$60^{\circ};$ C.

$120^{\circ};$ D.

$45^{\circ}.$

Бодлого №8040

Адил талт цилиндр, адил талт конус хоёулаа тэнцүү хажуу гадаргуугийн талбайтай бол бүтэн гадаргуугийн талбайнууд нь ямар харьцаатай байх вэ?

A.

$1:2;$ B.

$1:1;$ C.

$2:3;$ D.

$4:5.$

Бодлого №8051

Цилиндр, конус хоёр ерөнхий суурьтай ба суурийн хавтгайн нэг талд байрлана. Хэрэв тэдгээр нь ижил эзлэхүүнтэй бол цилиндр дотор конусын эзлэхүүний хэдий хэсэг харьяалагдах вэ?

A.

$\dfrac13$ B.

$\dfrac12$ C.

$\dfrac{17}{20}$ D.

$\dfrac{19}{27}$ E.

$\dfrac{8}{27}$

Бодлого №8063

Адил талт цилиндрийн эзлэхүүн ба бүтэн гадаргуугийн талбай ижил тоогоор илэрхийлэгдэж байв. Энэ тоо аль вэ?

A.

$32\pi;$ B.

$48\pi;$ C.

$54\pi;$ D.

$66\pi.$

Бодлого №8064

Адил талт цилиндрийн эзлэхүүн ба хажуу гадаргуугийн талбай ижил тоогоор илэрхийлэгдэнэ. Түүний бүтэн гадаргуугийн талбай аль вэ?

A.

$24\pi;$ B.

$32\pi;$ C.

$48\pi;$ D.

$52\pi.$

Бодлого №8075

Цилиндрийн радиус 37, өндөр 24 нэгж урттай бол түүний квадрат хэлбэртэй огтлол тэнхлэгээсээ ямар зайд хийгдэх вэ?

A. 25 B. 30 C. 35 D.

$17\sqrt5$

Бодлого №8076

Радиус нь 5, өндөр нь 15 нэгж урттай цилиндрийн суурийн тойргууд дээр төгсгөлтэй 17 нэгж урттай хэрчим цилиндрийн тэнхлэгээс ямар зайд байрлах вэ?

A. 3 B. 2 C.

$\sqrt{15}$ D.

$3\sqrt2$

Бодлого №8077

Тэнхлэг огтлолын периметр нь нэг ижил цилиндрүүд дотроос хамгийн их хажуу гадаргуугийн талбайтай цилиндрийн тэнхлэг огтлолын диагоналиудын хоорондох өнцгийн хэмжээг ол.

A.

$45^\circ$ B.

$60^\circ$ C.

$\arccos\frac23$ D.

$90^\circ$

Бодлого №8078

Тэнхлэг огтлолын периметр нь

$p$ байх цилиндрүүдийн хажуу гадаргуугийн талбайн хамгийн их утгыг ол.

A.

$\frac{\pi}{2}p^2$ B.

$\frac{\pi}4p^2$ C.

$\frac{\pi}8p^2$ D.

$\frac{\pi}{16}p^2$

ЭЕШ 2015 D №24

Цилиндрийн радиус 13 см ба түүний өндөр 24 см бол түүний квадрат хэлбэртэй огтлол тэнхлэгээс ямар зайд хийгдэх вэ?

A. 12 см B. 13 см C. 10 см D. 8 см E. 5 см

ЭЕШ 2015 A №24

Цилиндрийн радиус 5 см ба түүний өндөр 8 см бол түүний квадрат хэлбэртэй огтлол тэнхлэгээс ямар зайд хийгдэх вэ?

A. 1 см B. 2 см C. 4 см D. 3 см E. 5 см

ЭЕШ 2015 B №24

Цилиндрийн радиус 5 см ба түүний өндөр 6 см бол түүний квадрат хэлбэртэй огтлол тэнхлэгээс ямар зайд хийгдэх вэ?

A. 1 см B. 2 см C. 4 см D. 3 см E. 5 см

ЭЕШ 2015 C №24

Цилиндрийн радиус 13 см ба түүний өндөр 10 см бол түүний квадрат хэлбэртэй огтлол тэнхлэгээс ямар зайд хийгдэх вэ?

A. 12 см B. 13 см C. 10 см D. 8 см E. 5 см

Цилиндрт багтсан тэгш өнцөгт

Шулуун цилиндрийн суурийн радиус 5см байв. Оройнууд нь цилиндрийн дээд доод суурь дээр байрлах тэгш өнцөгтийн суурь дээрх талын урт 6см, энэ хавтгай цилиндрийн суурьтай

$60^\circ$ үүсгэх бол тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

A. 96 см.кв B. 60 см.кв C. 72 см.кв D. 80 см.кв E. 48 см.кв

Цилиндрийн суурийн радиус

Цилиндрийн эзлэхүүн

$V=65\pi$ ба тэнхлэг огтлолын талбай

$26$ байв. Цилиндрийн суурийн радиусыг ол.

A.

$4$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$5$ E.

$9$

Цилиндрийн суурийн радиус

Цилиндрийн эзлэхүүн

$V=63\pi$ ба тэнхлэг огтлолын талбай

$18$ байв. Цилиндрийн суурийн радиусыг ол.

A.

$3$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$8$ E.

$9$

Цилиндрийн суурийн радиус

Цилиндрийн эзлэхүүн

$V=65\pi$ ба тэнхлэг огтлолын талбай

$26$ байв. Цилиндрийн суурийн радиусыг ол.

A.

$5$ B.

$6$ C.

$7$ D.

$8$ E.

$9$

ЭЕШ 2017 D №36

Суурийн радиус нь 4 см байх шулуун дугуй цилиндрийн нэг үзүүрээс зурагт үзүүлснээр хавтгайгаар огтлоход хамгийн урт байгуулагч нь 14 см, хамгийн богино байгуулагч нь 10 см болсон бол үүссэн биетийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$192\pi$ B.

$182\pi$ C.

$196\pi$ D.

$160\pi$ E.

$224\pi$

ЭЕШ 2017 B №36

Суурийн радиус нь 4 см байх шулуун дугуй цилиндрийн нэг үзүүрээс зурагт үзүүлснээр хавтгайгаар огтлоход хамгийн урт байгуулагч нь 15 см, хамгийн богино байгуулагч нь 9 см болсон бол үүссэн биетийн эзлэхүүнийг ол.

A.

$160\pi$ B.

$240\pi$ C.

$80\pi$ D.

$192\pi$ E.

$144\pi$

Бодлого №14249

Суурийн радиус нь 5 см, өндөр нь 6 см цилиндрээс зурагт үзүүлснээр 2 см куб ухаж авчээ. Ухагдсан цилиндрийн бүтэн гадагуугийн талбайг олоорой.

A.

$110\pi+24$ B.

$106\pi+24$ C.

$106\pi+16$ D.

$80\pi+16$ E.

$110\pi+16$

2018 №A.30

Цилиндрийн тэнхлэг огтлол нь

$5\sqrt2$ диагоналтай квадрат бол түүний хажуу гадаргуугийн талбайг ол.

A.

$25\pi^2$ B.

$25$ C.

$25\pi$ D.

$10\pi$ E.

$10$

Бодлого №8155

$ABCD$ гурвалжин пирамид ба цилиндр өгөгдөв. Цилиндрийн доод суурийн тойрог

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог болно. Цилиндрийн дээд суурийн тойрог

$DA, DB, DC$ ирмэгүүдийг огтлох ба төв нь

$ABD$ талс дээр оршино. Цилиндрийн суурийн радиус 3,

$ABCD$ пирамидын эзлэхүүн

$27\sqrt{2},$

$AB=24$ байв.

1)

$ABC$ ба

$ABD$ талсуудын хоорондох хоёр талст өнцөг

$\varphi=\arctg\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}$ байна.

2)

$ABCD$ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\sqrt{\dfrac{\fbox{cde}}{\fbox{f}}}$ байна.

Бодлого №8156

$ABCD$ гурвалжин пирамид ба цилиндр өгөгдөв. Цилиндрийн доод суурийн тойрог

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог болно. Цилиндрийн дээд суурийн тойрог

$DA, DB, DC$ ирмэгүүдийг огтлох ба төв нь

$ABD$ талс дээр оршино. Цилиндрийн суурийн радиус 4,

$ABC$ ба

$ABD$ талсуудын хоорондох хоёр талст өнцөг

$\arctg\dfrac1{\sqrt{6}},$

$AB=24$ байв.

1)

$ABCD$ пирамидын эзлэхүүн

$V=\fbox{abc}\cdot \sqrt{\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}}$ байна.

2)

$ABCD$ пирамидыг багтаасан бөмбөлгийн радиус

$R=\fbox{fg}\cdot \sqrt{\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{i}}}$ байна.

Бодлого №2911

$A$ ба

$B$ цэг

$60^\circ$ өнцөг үүсгэх хоёр талст өнцгийн ирмэгүүд дээр орших ба

$AC$ ба

$BD$ нь нөгөө талс дээр орших ирмэгт буулгасан перпендикулярууд байв. Хэрэв

$AB=3$ см,

$AC=2$ см,

$BD=3$ см бол

$CD$ -г ол.

Бодлого №2912

Тэгш өнцөгт гурвалжны катет 7 см ба 24 см. Гурвалжны хавтгайд

$30^\circ$ -аар налсан, гипотенузыг нь агуулсан хавтгай тэгш өнцөгийн оройгоос ямар зайд байрлах вэ?

Бодлого №2913

Хавтгайтайгаас

$5\sqrt2$ зайд орших цэгээс хавтгайд

$45^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэх хоёр налуу татахад тэдгээрийн хооронд

$60^\circ$ -ийн өнцөг үүссэн байв. Хоёр налуугийн төгсгөлийн цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Бодлого №2914

$AB$ хэрчим

$PMNQ$ хоёр талст тэгш өнцгийн талсуудыг тулдаг. Хэрчмийн төгсгөлийн цэгүүд нь хоёр талст өнцгийн

$MN$ ирмэгээс ижил зайд байрладаг. Хэрчмийн талсуудад налсан өнцгүүдийн харьцааг ол. Бодолтыг харах!

Бодлого №2915

Тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжны нэг катет

$\alpha$ хавтгайд оршдог. Нөгөө катет нь уг хавтгайтай

$45^\circ$ -ийн өнцөг үүсгэдэг бол гипотенузын

$\alpha$ хавтгайтай үүсгэх өнцгийг ол.

Бодлого №2916

$ABC$ гурвалжны

$C$ өнцөг

$90^\circ$ ба түүний

$AC$ катет нь уг гурвалжны хавтгай ба түүнтэй

$30^\circ$ өнцөг үүсгэх

$\alpha$ хавтгай хоёрын огтлолцол дээр байрлана. Хэрэв

$AC=8$ ,

$AB=3BC$ бол

$B$ оройгоос

$\alpha$ хавтгай хүртэлх зайг ол.

3.1.4 Дасгал бодлого 1

5. Дараах шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол.

a.

$\left\{\begin{array}{c} x=3t - 2\\ y=0 \\ z=-t + 3 \end{array}\right.$ ба

$\vec{\mathstrut r}= (1, 0, 3) + t(2, 0, 1)$

б.

$\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{-1} = \frac {z}{\sqrt{2}}$ ба

$\frac{x+2}{1}=\frac {y-3}{1}={z+5}{\sqrt{2}}$

в.

$\vec{\mathstrut r}= (1, 0, -1) +t(2, -2, 1)$ ба

$\vec{\mathstrut r} = (\frac{1}{7} , \frac{5}{14}, 0) + t(-6, -3, 2)$

Монгол Бодлогын Сан

Бөмбөлгийн гадаргуун талбай

Бөмбөлөг ба хавтгайн харилцан байршил

Бөмбөлөг, бөмбөрцөг

Бөмбөлөгт шүргэгч хавтгай

Геометр байр

Зөв олон талст

Конус

Конус, пирамидын эзлэхүүн

Нийлмэл биетийн гадаргуун талбай, эзлэхүүн

Огтлогдсон пирамид

Олон талст өнцөг

Олон талстын огтлол байгуулах

Олон талстын тэгш хэмийн хавтгай

Параллелепипед

Параллель хавтгайнууд

Параллель шулуун ба хавтгай

Параллель шулуунууд

Перпендикуляр хавтгайнууд

Пирамид

Призмийн гадаргуугийн талбай

Призмийн эзлэхүүн

Төсөөтэй биетүүдийн гадаргуун талбай болон эзлэхүүний харьцаа

Харилцан перпендикуляр шулуунууд

Хялбар олон талст

Цилиндр

Цилиндрийн гадаргуугийн талбай

Цилиндрийн эзлэхүүн

Шулуун ба хавтгайн харилцан байршил

Монгол Бодлогын Сан