Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Гурвалжин

0-180 өнцгийн косинус, синус
Адил хажуу гурвалжин
Багтаасан тойрог
Багтсан тойрог
Биссектрисийн чанар
Героны томьёо
Гурвалжны биссектрисс
Гурвалжны медиан
Гурвалжны өндөр
Гурвалжны талбай
Гурвалжны тэнцэтгэл биш
Евклидийн харьцаа
Косинусын теорем
Өнцөг
Пифагорын теорем
Синусын теорем
Талбайн харьцааны теорем
Төсөөтэй гурвалжнууд
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа
Төсөөтэй гурвалжны элементүүдийн харьцаа
Тэгш өнцөгт гурвалжин
Тэнцүү гурвалжнууд

0-180 өнцгийн косинус, синус


Адил хажуу гурвалжин

$ABC$ адил хажуут гурвалжны оройн өнцөг $\measuredangle B=50^\circ$ бөгөөд $AM=BM$ байхаар $M$ цэгийг $BC$ хажуу тал дээр авсан бол $\measuredangle MAC$ өнцгийг ол.

A. $25^\circ$     B. $5^\circ$     C. $10^\circ$     D. $15^\circ$     E. $20^\circ$    

Багтаасан тойрог

Гурвалжны нэг талын урт $20$ см ба энэ талын эсрэг орших оройг дайрсан багтаасан тойргийн шүргэгч шулуунаас уг талын үзүүрүүд хүртэлх зайнууд нь $25$ см, $16$ см бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $B$ оройг дайрсан шүргэгч шулуунаас $A, C$ цэгүүд хүртэлх зайнууд харгалзан $4$ см ба $9$ см. $B$ оройгоос татсан өндрийн уртыг ол.
$BD$ нь $ABC$ гурвалжны өндөр, $E$ нь $BC$ талын дундаж байг. Хэрэв $AB=30$ см, $BC=26$ см, $AC=28$ см бол $BDE$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $CC_1, AA_1$ өндрүүд татав. Хэрэв $AC=1$, $\angle C_1CA_1=\alpha$. $C_1BA_1$ гурвалжныг багтаасан тойргийн талбайг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $CH, AH_{1}$ өндрүүд татав. $AC=2$ ба $HBH_{1}$ гурвалжныг багтаасан тойргийн талбай нь $\pi/3$. $CH$ өндөр ба $BC$ талуудын хоорондох өнцгийг ол.
$KLM$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус нь $R$ байв. $L$ оройгоос $KM$ талтай перпендикуляр шулуун татав. Энэ шулуун нь $KL$, $LM$ талуудын дундаж перпендикуляр шулуунуудыг $A$, $B$ цэгээр огтлоно. $AL=a$ бол $BL$-ийг ол.
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг дайруулан $AC$, $BC$ талуудад перпендикуляр шулуун татав. Уг шулуунууд нь $CH$ өндрийг эсвэл үргэлжлэлийг $P$ ба $Q$ цэгүүдээр огтолно. $CP=p$, $CQ=q$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Гурвалжинд 2 радиустай тойрог багтав. Гурвалжны нэг тал нь шүргэлтийн цэгээр 7, 2 урттайгаар хуваагдах бол гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцөг нь $\alpha $. Суурьт буулгасан өндрийн хэмжээ нь багтсан тойргийн радиусаас $m$-ээр их бол багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Адил хажуут $KLM$ ($KL=LM$) гурвалжны $KLM$ өнцөг нь $\varphi$. $KLM$ гурвалжны багтсан ба багтаасан тойргуудын радиусын харьцааг ол.
Адил хажуут $ABC$ (AB=BC) гурвалжинд $AD$ биссектрис татав. $BC:DC=k$ бол $DC$ хэрчмийн уртыг $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны суурь нь $AC$. $D$ цэг $BC$ талыг $M$-ээс $2:1$ харьцаанд хуваах ба $E$ цэг $AB$ талын дундаж. $CED$ гурвалжны $CQ$ медиан нь $\sqrt{23}/2$, $DE=\sqrt{23}/2$. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурь ба түүнд буулгасан өндөр $4$. Багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр $24$ см, талбай нь $24\text{ см}^2$ бол багтаасан тойргийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын нийлбэр $14$ см, түүнийг багтаасан тойргийн радиус $5$ см бол өгсөн гурвалжинд багтсан тойргийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг $\alpha$ ба багтаасан тойргийн төвөөс нөгөө хурц өнцөгийн орой хүртлэх зай $a$ бол гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катет нь $12$, гурвалжныг багтаасан тойргийн төвөөс энэ катет хүртлэх зай $2,5$ бол гурвалжны гипотенузын уртыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд нь $20$ ба $21$. Гурвалжиныг багтаасан тойргийн уртыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь $5$ см, харин түүнд татсан өндөр $2$ см бол багтсан ба багтаасан тойргийн радиусийг ол.
Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус, багтсан тойргийн радиусаас $2,5$ дахин их бол их хурц өнцгийн синусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжины багтсан тойрог ба багтаасан тойргийн радиусуудын харьцаа $2/5$. Гурвалжны хурц өнцгүүдийг ол.
$ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтолцлолын цэгийг $M$ гэе. Хэрэв $M'$ цэг нь $M$ цэгтэй гурвалжны ямар нэг талын хувьд тэгш хэмтэй цэг бол $ABC$ гурвалжны багтаасан тойрог дээр байхыг батал.
$ABC$ гурвалжинд $AP$ биссектрис татахад $BP=16$ ба $PC=20$ байв. $ABP$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв нь $AC$ хэрчим дээр орших бол $AB$ талын уртыг ол.
$CQ$ нь $ABC$ гурвалжны биссектрис. $BCQ$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $1/3$ ба төв нь $AC$ хэрчим дээр оршиж байв. Хэрэв $AQ:AB=2:3$ гэвэл $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $A$ өнцөг $\pi-\arcsin(8/17)$, $BC$ талын урт нь $8$. $CB$ хэрчмийн үргэлжлэл дээр $B$ цэгийн талд $BD=1$ байхаар $D$ цэг авав. $A$ оройг дайрсан, $BC$ талыг $D$ цэгт шүргэх тойрог $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийг мөн шүргэх бол уг тойргийн радиусыг ол.
$ABC$ гурвалжны $AH$ биссектрис $BE$ медианыг $BK:KE=2$ харьцаагаар хуваах ба $ABC$ өнцөг $45^\circ$ байв. $BCE$ гурвалжны талбайг энэ гурвалжныг багтаасан дугуйн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны $AM$ ба $BK$ медиануудын үргэлжилэл багтаасан тойргийг харгалзан $E$ ба $F$ цэгээр огтлох ба $AE:AM=2:1$, $BF:BK =3:2$ байв. $ABC$ гурвалжны өнцөгүүдийг ол.
$ABC$ гурвалжны $AM, BK$ медиануудын үргэлжлэлүүд уг гурвалжныг багтаасан тойргийг харгалзан $E$ ба $F$ цэгт огтолох ба $AE:AM=2:1$, $BF:BK=3:2$ байв. $ABC$ гурвалжны өнцгүүдийг ол.
Адил хажуут гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $25$ см, харин түүнд багтсан тойргийн радиус $12$ см. Гурвалжны талуудын уртыг ол.
Зөв гурвалжинг багтаасан тойргийн ямар ч цэгээс гурвалжны нэг орой хүртэлх зай нь энэ оройгоос нөгөө 2 орой хүртэлх зайн нийлбэртэй тэнцүү болохыг батал.
$ABC$ гурвалжны $\angle A=\dfrac{\pi}{3}$, $\angle B=\dfrac{\pi}{4}$. $ABC$ гурвалжны өндөрүүдийн үргэлжилэл багтаасан тойргийг $M$, $N$ ба $P$ цэгүүдээр огтолно. $ABC$ ба $MNP$ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр орших $M$ ба $N$ цэгүүдэд төвтэй 2 тойрог бие биенээ шүргэнэ. Эдгээр тойргууд $AC$ ба $BC$ талуудыг харгалзан $A, P$ ба $B, Q$ цэгүүдээр огтлох ба $AM=PM=2$, $BN=QN=5$ байв. Хэрэв $AQN$ гурвалжны талбайг $MPB$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцаа $15\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ ба $AP=\dfrac25QB\sqrt{\dfrac{2+\sqrt3}{3}}$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
$\triangle ABC$-д багтсан тойргийн радиус 1 ба багтаасан тойргийн төв нь гурвалжны дотор талд оршино. $\measuredangle A=2\alpha$, $\measuredangle B=2\beta$, $\measuredangle C=2\gamma$ гэвэл
  1. $BC$ талын уртыг $\beta$, $\gamma$-аар илэрхийл.
  2. Багтаасан тойргийн радиус $R$-ыг $\beta$, $\gamma$-аар илэрхийл.
  3. Багтсан тойргийн төвийг $I$ гэвэл $R$-г $IA$, $IB$, $IC$-ээр илэрхийл.
Гурвалжны талуудын харьцаа $1:2:2$, багтаасан тойргийн радиус $R$ бол гурвалжны талбайг ол.

A. $\dfrac{15\sqrt{15}}{64}R^2$     B. $\dfrac{15R^2}{64}$     C. $15R^2$     D. $\dfrac{\sqrt{15}R^2}{64}$     E. $\dfrac{R^2}{64}$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $2:3$ харьцаатай ба талбай нь $12$ кв.нэгж бол түүнийг багтаасан дугуйн талбай хэдэн кв.нэгж вэ?

A. $10\pi$     B. $13\pi$     C. $20\pi$     D. $25\pi$     E. $29\pi$    
Талуудын урт нь $6; 25; 29$ нэгж байх гурвалжныг багтаасан ба түүнд багтсан тойргуудын радиусын үржвэр хэдэн нэгж вэ?

A. $21.25$     B. $28.25$     C. $36.25$     D. $84$     E. $92.5$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр 6 ба нэг өнцгийн тангенс нь $2.4$ бол энэ гурвалжныг багтаасан болон энэ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусуудын нийлбэрийг ол.

A. $1.5$     B. $1.6$     C. $1.7$     D. $1.8$     E. $1.9$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2\sqrt{3}$ ба өндрүүдийн сууриар үүсгэгдэх гурвалжны периметр 9 бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

A. $18\sqrt{3}$     B. $9\sqrt{3}$     C. $36\sqrt{3}$     D. $18$     E. $36$    
Зөв гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2\sqrt3$ бол талын уртыг ол.

A. $3$     B. $4$     C. $5$     D. $6$     E. $7$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2$ ба $\sin\alpha=\dfrac14$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. 1     B. 2     C. 4     D. 8     E. $\dfrac14$    
$ABC$ гурвалжны $AB=3$, $\sin\measuredangle ACB=30^\circ$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргоор үүсэх дугуйн талбай хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $4\pi$     B. $5\pi$     C. $8\pi$     D. $9\pi$     E. $16\pi$    
Гурвалжны гурван өндрийн урвуу хэмжигдэхүүний нийлбэр ямар байх вэ? $r$, $R$ нь харгалзан багтсан ба багтаасан тойргийн радиус

A. $\dfrac1r$     B. $\dfrac1R$     C. $\dfrac{R}{r^2}$     D. $\dfrac{r^2}{R}$     E. Аль нь ч биш    
$ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцол (ортотөв) $H$, багтаасан тойргийн радиус $R$, $CH=R$ байсан бол $\measuredangle BCA$ ямар хэмжээтэй байх вэ?

A. $30^\circ$     B. $75^\circ$     C. $45^\circ$     D. $60^\circ$     E. $90^\circ$    
$ABC$ гурвалжны $A,B$ хоёр оройгоос ортотөв хүртэлх зай $R$, $\sqrt2R$ бөгөөд $R$ нь багтаасан тойргийн радиус бол $\measuredangle BCA$ аль нь вэ?

A. $30^\circ$     B. $60^\circ$     C. $75^\circ$     D. $120^\circ$    
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BC$, $CA$, $AB$ талыг харгалзан $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгт шүргэжээ. Хэрэв $A$ оройгоос өндрүүдийн огтлолцол хүртэлх зай багтаасан тойргийн радиустай тэнцүү бол $\begin{array}{c} [-7mm]\smile [-2mm] C_1A_1B_1\end{array}$ ямар байх вэ?

A. $220^\circ$     B. $240^\circ$     C. $230^\circ$     D. $210^\circ$    
$ABC$ гурвалжны $AH_1$, $BH_2$ өндрүүд $H$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв дотоод өнцгүүд нь $\alpha,\beta,\gamma$, багтаасан тойргийн радиус $R$ бол $AH\cdot HH_1$ аль нь вэ?

A. $4R^2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$     B. $3R^2\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma$     C. $2R^2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$     D. $R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $O$, радиус $R$, $A$ оройн дотоод өнцөг $60^\circ$ бол $O$ цэгээс $BC$ тал хүртэлх зай аль нь вэ?

A. $\frac R5$     B. $\frac R4$     C. $\frac R3$     D. $\frac R2$    
$R$ радиустай тойрогт багтсан $ABC$ гурвалжны $AH_1$ өндрийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв орто төв нь $H$, $\measuredangle ABC=\beta$, $\measuredangle BCA=\gamma$ бол $HD$-ийн урт аль вэ?

A. $4R\cos\beta\cos\gamma$     B. $4R\sin\beta\sin\gamma$     C. $3R\sin\beta\sin\gamma$     D. $3R\cos\beta\cos\gamma$    
$ABC$ гурвалжны $A$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцжээ. Багтсан тойргийн төвөөс $D$ хүртэлх зай багтаасан тойргийн радиустай тэнцүү бол $A$ орой дахь дотоод өнцөг хэдэн градус вэ?

A. $120^\circ$     B. $30^\circ$     C. $150^\circ$     D. $60^\circ$    
$R$ радиустай тойрогт багтсан гурвалжны $A$ оройн дотоод өнцгийн биссектрис багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв $BC$ тал багтсан тойргийн төв $P$ цэгээс $150^\circ$ өнцгөөр харагдах бол $PD$ хэрчмийн урт аль нь вэ?

A. $\dfrac{R}{3}$     B. $\sqrt3R$     C. $\dfrac23R$     D. $\sqrt2R$     E. $\dfrac32R$    
$ABC$ гурвалжны $BC$ талын медианы үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцсон. Хэрэв медиануудын огтлолцол $M$, $S_{ABC}:S_{DBC}=3:5$ бол $MBC$, $DBC$ хоёр гурвалжны $M,D$ оройгоос татсан өндрүүдийн харьцаа ямар байх вэ?

A. $3:8$     B. $1:5$     C. $2:5$     D. $1:3$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 4, гипотенузэд буусан өндөр 9 бол багтаасан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $12$     B. $14$     C. $16$     D. $18$     E. $20$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $2:3$ харьцаатай ба талбай нь $156$ кв.нэгж бол түүнийг багтаасан дугуйн талбай хэдэн кв.нэгж вэ?

A. $196\pi$     B. $169\pi$     C. $225\pi$     D. $289\pi$     E. $121\pi$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $\measuredangle BAC=\alpha$ ба багтаасан тойргийн радиус нь $R$ бол $A$ оройгоос гурвалжны ортоцентр $H$ хүртэлх зай аль нь вэ?

A. $R\cos\alpha$     B. $R\sin\alpha$     C. $R\sin2\alpha$     D. $2R\sin\alpha$     E. $2R\cos\alpha$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $6$, $\angle A=70^\circ$, $\angle B=30^\circ$ бол $\angle C$-ийн биссектрисийн урт аль нь вэ?

A. $3$     B. $6$     C. $8$     D. $9$     E. $10$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $5$, $\sin\angle BAC=\dfrac35$ бол $ABC$ гурвалжны талбай хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү байх вэ?

A. $6$     B. $20$     C. $27$     D. $50$     E. $100$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $10$, $\sin\angle BAC=\dfrac45$ бол $ABC$ гурвалжны талбай хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү байх вэ?

A. $48$     B. $64$     C. $100$     D. $128$     E. $256$    
Зөв $ABC$ гурвалжин багтаасан 2 см радиустай тойргийн төвийг дайрсан шулуун $AB$, $AC$ хоёр талыг $P$, $Q$ цэгт огтолжээ. Хэрэв гурвалжны оройнуудаас $PQ$ шулуун хүртэлх зайн квадратуудын нийлбэр $PQ$ шулуунаас хамаардаггүй бол тэр нийлбэрийг ол.

A. 6     B. 9     C. 12     D. 8     E. 10    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2$ ба $\sin\alpha=\dfrac14$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. 1     B. 2     C. 4     D. 8     E. $\dfrac14$    
Зөв гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2\sqrt3$ бол талын уртыг ол.

A. $3$     B. $4$     C. $5$     D. $6$     E. $7$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 8, гипотенузэд буусан өндөр 18 бол багтаасан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $24$     B. $28$     C. $32$     D. $36$     E. $40$    
$AD$, $BC$ суурьтай $ABCD$ трапецийн $A$ ба $B$ оройн биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг $K$ байв. $ABK$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $R=5$ бол $AB$ талын уртыг ол.

A. $10$     B. $2\sqrt{5}$     C. $5$     D. $25$     E. $20$    
$AD$, $BC$ суурьтай $ABCD$ трапецийн $A$ ба $B$ оройн биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг $K$ байв. $AB$ талын урт $20$ бол $ABK$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.

A. $10$     B. $2\sqrt{5}$     C. $5$     D. $25$     E. $20$    
$AD$, $BC$ суурьтай $ABCD$ трапецийн $A$ ба $B$ оройн биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг $K$ байв. $ABK$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $R=3$ бол $AB$ талын уртыг ол.

A. $3$     B. $2\sqrt{3}$     C. $6$     D. $9$     E. $12$    
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=2$, $AC=3$, $BC=4$ ба $AM_1$ медианы үргэлжлэл уг гурвалжныг багтаасан тойргийг $A_1$ цэгт огтолдог гэе. $M_1A_1=\dfrac{\sqrt{2}\fbox{a}}{\sqrt{\fbox{b}}}$ ба $A_1BC$ гурвалжны периметр нь $\fbox{c}+2\sqrt{\fbox{de}}$ байна. Мөн $A_1BC$ гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{f}\sqrt{\fbox{gh}}}{\fbox{i}}$ болно.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=4$, $AC=5$, $BC=6$ ба $AM$ медианы үргэлжлэл уг гурвалжныг багтаасан тойргийг $A_1$ цэгт огтолдог гэе. $MA_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\sqrt{46}$ ба $A_1C$ талын урт $\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{fg}}\sqrt{\fbox{46}}$ байна. Мөн $A_1BC$ гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{hij}}{46}\sqrt{7}$ болно.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=5$, $BC=7$ ба $\cos \alpha=-\dfrac{1}{5}$ бол $AC=\fbox{a}$, $S_{ABC}=4\sqrt{\fbox{b}}$ болно. Мөн уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\sqrt{\fbox{c}}/\fbox{d}$, багтсан ба багтаасан тойргийн радиусуудын харьцаа $\displaystyle\dfrac{12}{\fbox{ef}}$, $AL$ биссектриссийн урт $\displaystyle \sqrt{10}\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AC=7$, $BC=9$ ба $\cos \beta =\dfrac{2}{3}$, $AB< AC$ бол $AB=\fbox{a}$, $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{bc}\sqrt{5}}{10}$, $\sin \alpha =\dfrac{\fbox{d}\sqrt{5}}{\fbox{e}}$ ба багтсан тойргийн радиус $\fbox{f}\sqrt{5}/5$ болно. Энэхүү тойрог дээр $A$, $D$ цэгүүд $BC$ талын $2$ талд байхаар авахад $BD=CD$ бол $BD=\fbox{g}\sqrt{70}/\fbox{hi}$ байна.
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг $O$ гэе. $\measuredangle ABC=30^\circ$, $\measuredangle ACB =20^\circ$ үед $\measuredangle OBC=\fbox{ab}^\circ$, $\measuredangle BOC=\fbox{cde}^\circ$ байна.

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг $I$ гээд $\measuredangle ABC=70^\circ$, $\measuredangle ACB=60^\circ$ гэе. $AI$ шулуун $BC$ талыг $D$ цэгээр огтолдог бол $\measuredangle ADB =\fbox{fg} ^\circ$, $\measuredangle CID=\fbox{hi}^\circ$ байна.
  1. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг $O$ гэе. $\measuredangle ACB=40^\circ$, $\measuredangle OAC =30^\circ$ үед $\measuredangle OAB= \fbox{ab}^\circ$, $\measuredangle OBC= \fbox{cd}^\circ$ байна.
  2. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг $I$ гээд $\measuredangle ABC=30^\circ$, $\measuredangle ACB=100^\circ$ гэе. $IC$ шулуун $AB$ талыг $D$ цэгээр огтолдог бол $\measuredangle BID =\fbox{ef} ^\circ$, $\measuredangle AIC=\fbox{ghi}^\circ$ байна.
Тойрогт $5$ талтай $ABC$ зөв гурвалжин багтжээ. Уг тойргийн $\measuredangle BAC$ өнцөгт тулсан нум дээр $P$ цэг авчээ. $\measuredangle ACP =\theta$ бол $PA+PB=\fbox{ab}\sin \Big(\theta-\dfrac{\pi}{\fbox{c}}\Big)$ болох ба $S_{PAC}=\dfrac{\fbox{de}}{\sqrt{\fbox{f}}}\sin \Big(\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}\pi -\theta\Big)\sin \theta$ байна.
$R=6$ радиустай тойрогт багтсан $ABCDE$ таван өнцөгтийн $AB=6\sqrt{2}$, $\measuredangle ABE=45^\circ$, $\measuredangle EBD=30^\circ$ ба $BC=CD$ бол таван өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт. Синусын теоремоор $AE=2R\sin45^\circ$ гэдгээс $AE=6\sqrt{\fbox{a}}$. Иймд $ABE$ гурвалжны талбай $S_1=3\fbox{b}$. Цаашилбал $\measuredangle BDE=\fbox{c}0^\circ$ гэдгээс $BD=6\sqrt{\fbox{d}}$, $DE=\fbox{e}$. Иймээс $BDE$ гурвалжны талбай $S_2=18\sqrt{\fbox{d}}$. Харин $BCDE$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан гэдгээс $C$ оройн өнцгийг тооцоолж болно. Иймд $BCD$ гурвалжны өндөр $CF=\fbox{f}$ ба түүний талбай $S_3=9\sqrt{\fbox{g}}$. Эдгээрээс таван өнцөгтийн талбай $S=S_1+S_2+S_3$ болно.
$R=4$ радиустай тойрогт багтсан $ABCDE$ таван өнцөгтийн $AB=4\sqrt{2}$, $\measuredangle ABE=45^\circ$, $\measuredangle EBD=30^\circ$ ба $BC=CD$ бол таван өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт. Синусын теоремоор $AE=2R\sin45^\circ$ гэдгээс $AE=4\sqrt{\fbox{a}}$. Иймд $ABE$ гурвалжны талбай $S_1=1\fbox{b}$. Цаашилбал $\measuredangle BDE=\fbox{c}0^\circ$ гэдгээс $BD=4\sqrt{\fbox{d}}$, $DE=\fbox{e}$. Иймээс $BDE$ гурвалжны талбай $S_2=8\sqrt{\fbox{d}}$. Харин $BCDE$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан гэдгээс $C$ оройн өнцгийг тооцоолж болно. Иймд $BCD$ гурвалжны өндөр $CF=\fbox{f}$ ба түүний талбай $S_3=4\sqrt{\fbox{g}}$. Эдгээрээс таван өнцөгтийн талбай $S=S_1+S_2+S_3$ болно.

Багтсан тойрог

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $AB$ талыг $D$ цэгээр, $BC$ талыг $E$ цэгээр шүргэнэ. Хэрэв $BD:AD=1:2$, $BE:CE=1:3$ бол гурвалжны өнцгүүдийг ол.
$18$ см периметртэй гурвалжны багтсан тойрогт суурьтай нь параллель шүргэгч шулуун татав. Энэ шулууны хоёр хажуу талын хооронд үүсэх хэрчмийн урт $2$ см бол гурвалжны суурийн уртыг ол.
Гуралжинд $4$ радиустай тойрог багтав. Хэрэв нэг тал нь шүргэлцлийн цэгээр $6$, $8$-урттай хэсгүүдэд хуваагдсан бол гурвалжны талуудын уртыг ол.
$ABC$ гурвалжинд $BE$ биссектрис татсан ба багтсан тойргийн төв $O$ нь түүнийг $BO:OE=2$ харьцаанд хуваана. Хэрэв $AC=7$, $BC=8$ бол $AB$-г ол.
$AB=8$, $BC=6$, $AC=4$ талуудтай гурвалжинд тойрог багтав. Тойрог $AB$ болон $AC$ талуудыг харгалзан $D, E$ цэгүүдээр шүргэдэг бол $DE$ хэрчмийн уртыг ол.
$AB$ диаметртэй тойргийн гадна орших $M$ цэг нь $AB$ цэгтэй холбогджээ. $MA$ ба $MB$ хэрчмүүд нь тойргийг харгалзан $C$ ба $D$ цэгүүдээр огтлоно. $AMB$ гурвалжинд багтсан тойргийн талбай нь $CMD$ гурвалжинд багтсан тойргийн талбайгаас 4 дахин их. Хэрэв нэг өнцөг нь нөгөөгөөс 2 дахин их гэж үзвэл $AMB$ гурвалжны өнцгүүдийг ол.
$AB=12$ см, $BC=15$ см, $AC=9$ см талуудтай $ABC$ гурвалжинд $BB_{1}$ биссектрис татав. Багтсан тойрог $AB$ талтай шүргэлцэх цэг нь $C_1$. $BB_{1}$, $CC_{1}$ хэрчмүүд $P$ цэгт огтлолцох ба $AP$-ийн үргэлжлэл $BC$-тэй $A_{1}$ цэгт огтлолцох бол $AP:PA_1$-г ол.
$2a$ суурьтай, $h$ өндөртэй адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Багтсан тойргийг шүргүүлэн суурьтай нь параллель шулуун татжээ. Тойргийн радиус ба шүргэгч шулууны талуудын хооронд үүсэх хэрчмийн уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцөг нь $\alpha $. Суурьт буулгасан өндрийн хэмжээ нь багтсан тойргийн радиусаас $m$-ээр их бол багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Адил хажуут $KLM$ ($KL=LM$) гурвалжны $KLM$ өнцөг нь $\varphi$. $KLM$ гурвалжны багтсан ба багтаасан тойргуудын радиусын харьцааг ол.
$a$ суурьтай адил хажуут гурвалжинд $R$ радиустай тойрог багтав. Гурвалжны периметрийг ол.
$a$ суурьтай, $b$ хажуутай адил хажуут гурвалжинд квадрат багтсан ба түүний 2 өнцөг нь суурин дээр, 2 өнцөг нь хоёр хажуу талууд дээр орших бол квадратын талыг ол.
Өндөр нь $8$, суурийг хажуу талд харьцуулсан харьцаа нь $6:5$ байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Багтсан тойргийн радиусыг ол.
Адил талт $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийг шүргүүлэн $AB$ талтай параллельиар $MN$ хэрчим татав ($M, N$ цэгүүд $AC, BC$ талууд дээр оршино). Хэрэв $AB=18$ бол $AMNB$ трапецийн периметрийг ол.
Адил хажуут гурвалжинд $r$ радиустай тойрог багтав. Багтсан тойрог нь суурьт буулгасан өндрийг оройг талаас $1:2$ харьцаатай хэсгүүдэд хуваана. Гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурь нь $12$, багтсан тойргийн радиус нь $3$ бол талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурийн урт $12$, хажуу талуудын урт $10$. Багтсан тойргийн хоёр хажууг шүргэх цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурийн урт $6$ см, хажуу талууд нь $5$ см. Уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.
$CE$ нь адил хажуут $ABC$ ($AC=CB$) гурвалжны өндөр. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $O$ нь $CE$ хэрчмийг $CO=13$, $OE=5$ байх хэрчмүүдэд хуваах бол гурвалжны талуудыг ол.
$2\sqrt3$ см радиустай тойргийн төвийг дайруулан түүнд багтсан зөв гурвалжны талтай параллель шулуун татав. Уг шулууны гурвалжны талуудын хооронд үүсэх хэрчмийн уртыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын ба гипотенуз дээрх проекцүүд нь $m=9$ см ба $n=16$ см бол гурвалжинд багтсан тойргийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн аль нэг катетыг шүргэх цэг нь уг катетаа $m, n$ урттай хэрчимүүдэд хуваасан бол гурвалжны талуудыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны багтсан тойргийн шүргэлтийн цэг гипотенузыг $m=2$ см, $n=3$ см урттай хоёр хэрчимд хуваав. Гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг катет нь $15$ см. Нөгөө катетын гипотенуз дээрх проекц нь $16$ см бол гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын нийлбэр $14$ см, түүнийг багтаасан тойргийн радиус $5$ см бол өгсөн гурвалжинд багтсан тойргийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд нь $a$ ба $b$ байв. Уг гурвалжинтай ерөнхий тэгш өнцөг бүхий түүнд багтсан квадратын периметрийг ол.
$ABC$ гурвалжны $C$ өнцөг нь тэгш. Хэрэв $\angle B=30^\circ$, $BC=6$ см бол багтсан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд нь $6$ см, $8$ см бол багтсан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь $5$ см, харин түүнд татсан өндөр $2$ см бол багтсан ба багтаасан тойргийн радиусийг ол.
Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус, багтсан тойргийн радиусаас $2,5$ дахин их бол их хурц өнцгийн синусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос буулгасан өндөр нь гипотенузыг $9$ ба $16$ урттай хэсгүүдэд хуваасан бол уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд нь $15$ ба $20$. Багтсан тойргийн төвөөс тэгш өнцгөөс татсан өндөр хүртэлх зайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжины багтсан тойрог ба багтаасан тойргийн радиусуудын харьцаа $2/5$. Гурвалжны хурц өнцгүүдийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр $36$. Багтсан тойрог нь гипотенузыг $2:3$ харьцаатай хэрчмүүдэд хуваах бол гипотенузыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз $20$ см, багтсан тойргийн радиус $4$ см катетуудын уртын нийлбэрийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр гипотенузыг $25,6$ ба $14,4$ урттай хэсгүүдэд хуваах бол уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжины багтсан тойргийн гипотенузыг шүргэж байгаа цэгээр гипотенузыг хуваахад үүсэх хэрчмүүдийн уртуудын үржвэр гурвалжны талбайтай тэнцүү болохыг батал.
$AC$ суурьтай, адил хажуут $ABC$ гурвалжин өгчээ. Багтсан тойргийн төв $O$ нь $BC$ талыг $P$ цэгт шүргэх бөгөөд $B$ өнцгийн биссектрисийг $Q$ цэгт огтолж байв. $QP$ ба $OC$ шулуунууд параллель гэдгийг батал.
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $AC$ ба $BC$ талыг харгалзан $M$ ба $N$ цэгт шүргэх ба $BD$ биссектрисийг $P$ ба $Q$ цэгт огтолжээ. Хэрэв $\angle A=\pi/4$, $\angle B=\pi/3$ бол $PQM$ ба $PQN$ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\dfrac{10}3$, $C$ өнцгийн косинус нь $\dfrac{5}{13}$ ба талбай нь $60$ бол гурвалжны талуудыг ол.
$ABC$ гурвалжин ба $BDEF$ ромбо өгөгджээ. Ромбын бүх оройнууд $ABC$ гурвалжны талууд дээр орших бөгөөд $E$ оройн өнцөг нь мохоо. Хэрэв $AE=3$, $CE=7$ ба ромбод багтсан тойргийн радиус $1$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $h_a, h_b, h_c$ өндрүүд мэдэгдэж байв. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусийг ол.
$ABC$ гурвалжны $A$ өнцөг нь $60^\circ$, багтсан тойргийн төв нь $AK$ биссекрисийг $A$ оройгоос $(\sqrt3+1):2$ харьцаанд хуваадаг. $B$ ба $C$ өнцгүүдийг ол.
Гурвалжны талуудын урт $a=6$, $b=8$ ба талбай нь $S=3\sqrt 5$ байв. Гурав дахь талын урт нь уг талд буулгасан медианаас 2 дахин богино бол багтсан тойргийн радиусыг ол.
Гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $1$ ба түүний өндрүүд бүхэл тоо бол түүний өнцгүүдийг ол.
Гурвалжны талуудын урт нь $13, 14, 15$. Гурвалжинд багтсан тойрогтой ижил төвтэй 5 радиустай шинэ тойрог татав. Гурвалжны талуудыг огтлоход үүсэх шинэ тойргийн хөвчүүдийн уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $25$ см, харин түүнд багтсан тойргийн радиус $12$ см. Гурвалжны талуудын уртыг ол.
Адил хажуут $ABC$ ($AB=BC$) гурвалжинд багтсан тойргийн төв нь $O$. $AO$ шулуун нь $BC$ хэрчимтэй $M$ цэгт огтлолцдог. $AO=3$, $OM=27/11$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны медиануудын огтолцлын цэг ба биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг нь хоорондоо $2$ зайтай байв. Хэрэв уг гурвалжинд багтсан тойргийн урт $20\pi$ бол гурвалжны периметрийг ол.
Адил хажуут $ABC$ ($AB=BC$) гурвалжинд багтсан тойргийн $AB$ талтай параллель шүргэгч шулуун $AC$ талтай $M$ цэгт огтлолцох ба $MC=\dfrac25AC$ байв. $ABC$ гурвалжны периметр 20 бол багтсан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөг $ABC$ гурвалжны гипотенуз нь $AB$, талбай нь $30$, багтсан тойргийн төв нь $O$ байв. $AOB$ гурвалжны талбай $13$ бол $ABC$ гурвалжны талуудыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр нь $36$. Уг гурвалжинд багтсан тойргийн шүргэлтийн цэг нь гипотенузыг $2:3$ харьцаагаар хуваана. Гипотенузын уртыг ол.
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BM$ медианыг 3 тэнцүү хэсэгт хуваадаг. $BC:CA:AB$ харьцааг ол.
$\triangle ABC$-д багтсан тойргийн радиус 1 ба багтаасан тойргийн төв нь гурвалжны дотор талд оршино. $\measuredangle A=2\alpha$, $\measuredangle B=2\beta$, $\measuredangle C=2\gamma$ гэвэл
  1. $BC$ талын уртыг $\beta$, $\gamma$-аар илэрхийл.
  2. Багтаасан тойргийн радиус $R$-ыг $\beta$, $\gamma$-аар илэрхийл.
  3. Багтсан тойргийн төвийг $I$ гэвэл $R$-г $IA$, $IB$, $IC$-ээр илэрхийл.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 9 ба 40 бол багтсан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $4$     B. $8$     C. $6$     D. $2$     E. $5$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 27 ба 36 бол багтсан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $6$     B. $18$     C. $3$     D. $9$     E. $\dfrac{9}{2}$    
Талуудын урт нь $6; 25; 29$ нэгж байх гурвалжныг багтаасан ба түүнд багтсан тойргуудын радиусын үржвэр хэдэн нэгж вэ?

A. $21.25$     B. $28.25$     C. $36.25$     D. $84$     E. $92.5$    
$ABC$ гурвалжны $AC$ талын урт $9$м ба $B$ өнцөг $60^\circ$ болно. $O$ нь энэ гурвалжинд багтсан тойргийн төв бол $O$, $A$, $C$ цэгийг дайрсан тойргийн радиусыг ол.

A. $3\sqrt2$     B. $3\sqrt3$     C. $\dfrac92$     D. $9$     E. $\dfrac{2}{\sin 150^\circ}$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр 6 ба нэг өнцгийн тангенс нь $2.4$ бол энэ гурвалжныг багтаасан болон энэ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусуудын нийлбэрийг ол.

A. $1.5$     B. $1.6$     C. $1.7$     D. $1.8$     E. $1.9$    
Талуудын урт нь $5, 12, 13$ байх гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $5$    
6 см, 1 дм, 12 см талтай гурвалжинд багтсан тойргийн, гурвалжны нэг талтай параллел шүргэгчээр 16 см периметртэй гурвалжин таслагдсан бол энэ шүргэгчийн гурвалжин дотор орших хэсгийн урт хэдэн см байх вэ?

A. $7$     B. $\dfrac{40}7$     C. $\dfrac{48}7$     D. $\dfrac{24}7$     E. $\dfrac{20}7$    
Талуудын урт нь 5, 12, 13 байх гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $5$    
$12$, $15$ нэгж талтай гурвалжны гурав дахь тал багтсан тойргийн төвөөс $\arccos\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$ өнцгөөр харагддаг бол энэ өнцгийн эсрэг орших тал хэдэн нэгж вэ?

A. $6$     B. $9$     C. $12$     D. $10$     E. $15$    
Гурвалжны гурван өндрийн урвуу хэмжигдэхүүний нийлбэр ямар байх вэ? $r$, $R$ нь харгалзан багтсан ба багтаасан тойргийн радиус

A. $\dfrac1r$     B. $\dfrac1R$     C. $\dfrac{R}{r^2}$     D. $\dfrac{r^2}{R}$     E. Аль нь ч биш    
Гипотенуз нь 5, түүнд буусан өндөр 2.4 нэгж бол тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус аль нь вэ?

A. $\dfrac52$     B. $2$     C. $\dfrac32$     D. $1$     E. $\dfrac12$    
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BC$, $CA$, $AB$ талыг харгалзан $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгт шүргэжээ. Хэрэв $A$ оройгоос өндрүүдийн огтлолцол хүртэлх зай багтаасан тойргийн радиустай тэнцүү бол $\begin{array}{c} [-7mm]\smile [-2mm] C_1A_1B_1\end{array}$ ямар байх вэ?

A. $220^\circ$     B. $240^\circ$     C. $230^\circ$     D. $210^\circ$    
$R$ радиустай тойрогт багтсан $ABC$ гурвалжны $AH_1$ өндрийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв орто төв нь $H$, $\measuredangle ABC=\beta$, $\measuredangle BCA=\gamma$ бол $HD$-ийн урт аль вэ?

A. $4R\cos\beta\cos\gamma$     B. $4R\sin\beta\sin\gamma$     C. $3R\sin\beta\sin\gamma$     D. $3R\cos\beta\cos\gamma$    
$ABC$ гурвалжны $A$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцжээ. Багтсан тойргийн төвөөс $D$ хүртэлх зай багтаасан тойргийн радиустай тэнцүү бол $A$ орой дахь дотоод өнцөг хэдэн градус вэ?

A. $120^\circ$     B. $30^\circ$     C. $150^\circ$     D. $60^\circ$    
6 см, 1 дм, 12 см талтай гурвалжинд багтсан тойргийн, гурвалжны нэг талтай параллел шүргэгчээр 16 см периметртэй гурвалжин таслагдсан бол энэ шүргэгчийн гурвалжин дотор орших хэсгийн урт хэдэн см байх вэ?

A. $7$     B. $\dfrac{40}7$     C. $\dfrac{48}7$     D. $\dfrac{20}7$     E. $\dfrac{24}7$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 4, гипотенузэд буусан өндөр 9 бол багтаасан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $12$     B. $14$     C. $16$     D. $18$     E. $20$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд нь $a$, $b$; гипотенуз нь $c$ бол уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиус аль нь вэ?

A. $\dfrac{c}{2}$     B. $\dfrac{a+b}{2}$     C. $\dfrac{a+b-c}{2}$     D. $\dfrac{c+a-b}{2}$     E. $\dfrac{c+b-a}{2}$    
Тэгш өнцөгт $\triangle ABC$-ийн хувьд $\angle A=90^\circ$, $BC=10$ ба багтсан тойргийн радиус нь $2$ бол катетуудын аль богинынх нь уртыг ол.

A. $2$     B. $4$     C. $6$     D. $8$     E. $10$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 15 ба 8 бол багтсан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $6$     B. $5$     C. $3$     D. $4$     E. $\dfrac32$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр 12 ба нэг өнцгийн тангенс нь $\dfrac{5}{12}$ бол энэ гурвалжныг багтаасан болон энэ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусуудын нийлбэрийг ол.

A. $3$     B. $3.2$     C. $3.3$     D. $3.4$     E. $4$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр 12 ба нэг өнцгийн тангенс нь $\dfrac{5}{12}$ бол энэ гурвалжныг багтаасан болон энэ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусуудын нийлбэрийг ол.

A. $3$     B. $3.2$     C. $3.3$     D. $3.4$     E. $4$    
$3$ талтай зөв гурвалжинд багтсан тойргийн радиус аль нь вэ?

A. $1$     B. $2$     C. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     D. $\dfrac{1}{\sqrt3}$     E. $\dfrac{1}{3}$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 8, гипотенузэд буусан өндөр 18 бол багтаасан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $24$     B. $28$     C. $32$     D. $36$     E. $40$    
$ABC$ гурвалжинд $AC_1A_1B_1$ ромбо багтсан бөгөөд $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүд харгалзан $BC$, $AC$, $AB$ талууд дээр оршино. $\dfrac{AC_1}{C_1B}=2$, $B_1C=12$ байдаг бол $AC_1=\fbox{a}$, $C_1B=\fbox{b}$ байна. $S_{AC_1B_1}=s$ гэвэл $S_{ABC}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}s$ болох ба $s=2\sqrt{11}$ үед $BC=3\cdot \sqrt{\fbox{ef}-4\cdot \sqrt{\fbox{gh}}}$ байна.
$ABC$ гурвалжинд $AC_1A_1B_1$ ромбо багтсан бөгөөд $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгүүд харгалзан $BC$, $AC$, $AB$ талууд дээр оршино. $\dfrac{AC_1}{C_1B}=3$, $B_1C=9$ байсан бол $AC_1=\fbox{a}$, $C_1B=\fbox{b}$ байна. $S_{AC_1B_1}=s$ гэвэл $S_{ABC}=\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{e}}s$, $s=3\sqrt{2}$ үед $BC=\fbox{f}\sqrt{\fbox{g}}$ байна.
Тэгш өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BC$ гипотенуз ба $AB$ катетад буулгасан медианы суурийг харгалзан $A_1$, $C_1$, тэдгээрийн огтлолыг $O$ гэе. $BC=3\sqrt{6}$, $AC=3\sqrt{2}$ бол $\cos\widehat{C_1CA}=\sqrt{\fbox{a}}/{\fbox{b}}$, $S_{OC_1A}+S_{OA_1C}={\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}}$, $OAC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\fbox{e}\sqrt{2}/s$ байна. Энд $s=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}$ юм.
$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $BC$ гипотенуз ба $AB$ катетад буулгасан медианы суурийг харгалзан $A_1$, $C_1$, тэдгээрийн огтлолыг $O$ гэе. $AB=8$, $BC=4\sqrt{6}$ бол $\cos\widehat{CC_1B}=-\sqrt{\fbox{a}}/{\fbox{b}}$, $S_{OA_1C_1}+S_{OAC}=\fbox{cd}\sqrt{2}/3$, $OA_1C_1$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\fbox{e}\sqrt{2}/s$ байна. Энд $s=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}$ юм.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=5$, $BC=7$ ба $\cos \alpha=-\dfrac{1}{5}$ бол $AC=\fbox{a}$, $S_{ABC}=4\sqrt{\fbox{b}}$ болно. Мөн уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\sqrt{\fbox{c}}/\fbox{d}$, багтсан ба багтаасан тойргийн радиусуудын харьцаа $\displaystyle\dfrac{12}{\fbox{ef}}$, $AL$ биссектриссийн урт $\displaystyle \sqrt{10}\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AC=7$, $BC=9$ ба $\cos \beta =\dfrac{2}{3}$, $AB< AC$ бол $AB=\fbox{a}$, $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{bc}\sqrt{5}}{10}$, $\sin \alpha =\dfrac{\fbox{d}\sqrt{5}}{\fbox{e}}$ ба багтсан тойргийн радиус $\fbox{f}\sqrt{5}/5$ болно. Энэхүү тойрог дээр $A$, $D$ цэгүүд $BC$ талын $2$ талд байхаар авахад $BD=CD$ бол $BD=\fbox{g}\sqrt{70}/\fbox{hi}$ байна.
Адил хажуут $ABC$ (AC=BC) гурвалжны $C$ өнцөгт $\dfrac{12}{5}$ радиустай тойрог багтсан бөгөөд уг тойрог $AC$, $BC$ талуудыг харгалзан $N$, $M$ цэгт шүргэж $AB$ талыг $D$, $E$ цэгүүдэд огтолж байв. $BM=16/5$, $\tg \beta ={3}/{4}$ ба уг тойргийн төв $O$ бол ${MN}\colon{AB}={\fbox{a}}\colon{\fbox{bc}}$, гурвалжны талууд $\fbox{d}$, $\fbox{d}$, $\fbox{e}$ болно. Мөн $ONCM$ дөрвөн өнцөгтийн талбай ${\fbox{fgh}}{ }/{ }{\fbox{ij}}$ байна.
Адил хажуут $ABC$ (AB=BC) гурвалжны $B$ өнцөгт $6$ радиустай тойрог багтсан бөгөөд уг тойрог $AB$, $BC$ талуудыг харгалзан $M$, $N$ цэгүүдэд шүргэж $AC$ талыг $D$, $E$ цэгүүдээр огтолж байв. $AM=9$, $\tg \alpha ={2}/{3}$ ба уг тойргийн төв $O$ бол ${MN}\colon{AC}={\fbox{a}}\colon{\fbox{bc}}$, гурвалжны талууд $\fbox{de}$, $\fbox{de}$, $\fbox{f}\sqrt{\fbox{gh}}$ болно. Мөн $OMBN$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $\fbox{ij}$ байна.
$AB=1$, $AC=2$ катетууд бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг $r$, $AC$ талыг шүргэн гадуур багтсан тойргийн радиусыг $R_{b}$ гэвэл $r=\dfrac{\fbox{a}-\sqrt{\fbox{b}}}{2}$, $R_{b}=\dfrac{\sqrt{\fbox{c}}+1}{\fbox{d}}$ байна. Энэ хоёр тойргийн $BC$ талыг шүргэх цэгүүдийг $E_1$, $E_2$ гэвэл $E_1E_2=\sqrt{\fbox{e}}-\fbox{f}$ болно.
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг $O$ гэе. $\measuredangle ABC=30^\circ$, $\measuredangle ACB =20^\circ$ үед $\measuredangle OBC=\fbox{ab}^\circ$, $\measuredangle BOC=\fbox{cde}^\circ$ байна.

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг $I$ гээд $\measuredangle ABC=70^\circ$, $\measuredangle ACB=60^\circ$ гэе. $AI$ шулуун $BC$ талыг $D$ цэгээр огтолдог бол $\measuredangle ADB =\fbox{fg} ^\circ$, $\measuredangle CID=\fbox{hi}^\circ$ байна.
  1. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг $O$ гэе. $\measuredangle ACB=40^\circ$, $\measuredangle OAC =30^\circ$ үед $\measuredangle OAB= \fbox{ab}^\circ$, $\measuredangle OBC= \fbox{cd}^\circ$ байна.
  2. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг $I$ гээд $\measuredangle ABC=30^\circ$, $\measuredangle ACB=100^\circ$ гэе. $IC$ шулуун $AB$ талыг $D$ цэгээр огтолдог бол $\measuredangle BID =\fbox{ef} ^\circ$, $\measuredangle AIC=\fbox{ghi}^\circ$ байна.
$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $AB$ гипотенуз дээр төв нь орших тойрог $AC$ ба $BC$ талуудыг харгалзан $E$, $D$ цэгүүдээр шүргэв. Хэрэв $AE=1$, $BD=3$ бол $\measuredangle BAC=\fbox{ab}^\circ$, $\triangle ABC$-ийн периметр нь $\fbox{c}+\fbox{d}\sqrt3$, багтсан тойргийн радиус $\fbox{e}$ байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз дээрх катетуудын проекц 25, 144 бол тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр $\fbox{ab}$ болно. Богино катет нь $\fbox{cd}$, урт катет нь $\fbox{efg}$ болох бөгөөд уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $r=\fbox{hi}$ байна.
$ABC$ гурвалжинд $AC_1A_1B_1$ ромбо багтсан бөгөөд $C_1$, $A_1$, $B_1$ цэгүүд нь харгалзан $AB$, $BC$, $CA$ талууд дээр байрлах ба $\dfrac{AC_1}{C_1B}=4$, $B_1C=16$ бол $AC_1=\fbox{a}$, $C_1B=\fbox{b}$ байна. $B_1C_1=4$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $\fbox{cd}\sqrt{\fbox{e}}$

Биссектрисийн чанар


Героны томьёо

Талуудынх нь урт 5, 6, 7 нэгж байх гурвалжны талбай аль нь вэ?

A. $6$     B. $8\sqrt{2}$     C. $3\sqrt{6}$     D. $4\sqrt{3}$     E. $6\sqrt6$    
Талуудынх нь урт 10, 12, 14 нэгж байх гурвалжны талбай аль нь вэ?

A. $24$     B. $32\sqrt{2}$     C. $12\sqrt{6}$     D. $16\sqrt{3}$     E. $24\sqrt6$    

Гурвалжны биссектрисс

$ABC$ гурвалжны $AC$ талын урт $b$, $AB$ талын урт $c$ байв. $A$ цэгээс $BC$ тал руу татсан биссектрис шулуун нь $BC$-г $D$ цэгт огтлоно. $DA=DB$ бол $BC$ талын уртыг ол.
Гурвалжны хоёр тал $35$ см, $14$ см урттай ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн биссектрисийн урт $12$ см бол уг гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $B$ оройгоос $BD$ өндөр, $BL$ биссектрис татав. Хэрэв $ABC$ гурвалжны $AB=6.5$, $BC=7.5$, $AC=7$ бол $BLD$ гурвалжны талбайг ол.
$\angle B=30^\circ$, $AB=4$, $BC=6$ байх $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $B$ өнцгийн биссектрис нь $AC$ талыг $D$ цэгт огтлох бол $ABD$ гурвалжны талбайг ол.
$AC=5$, $AB=6$, $BC=7$ байх $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $C$ өнцгийн биссектрис нь $AB$ талыг $D$ цэгт огтлох бол $ADC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжинд $BE$ биссектрис татсан ба багтсан тойргийн төв $O$ нь түүнийг $BO:OE=2$ харьцаанд хуваана. Хэрэв $AC=7$, $BC=8$ бол $AB$-г ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ медиан болон $BE$ биссектрисүүд харилцан перпедикуляр ба $F$ цэгт огтлолцоно. $DEF$ гурвалжны талбай нь $5$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$4, 8, 9$ талуудтай гурвалжин өгөгдөв. Их тал руу буулгасан биссектрисийн уртыг ол.
$AB=12$ см, $BC=15$ см, $AC=9$ см талуудтай $ABC$ гурвалжинд $BB_{1}$ биссектрис татав. Багтсан тойрог $AB$ талтай шүргэлцэх цэг нь $C_1$. $BB_{1}$, $CC_{1}$ хэрчмүүд $P$ цэгт огтлолцох ба $AP$-ийн үргэлжлэл $BC$-тэй $A_{1}$ цэгт огтлолцох бол $AP:PA_1$-г ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AD$ биссектрис нь түүнийг $ABD$, $ACD$ гурвалжнуудад хуваах ба талбай нь харгалзан $4$ см.кв, $2$ см.кв. Хэрэв $AC$ нь суурь нь бол гурвалжны талуудыг ол.
Адил хажуут $ABC$ ($AB=BC$) гурвалжинд $AD$ биссектрис татав. $ABD$ болон $ADC$ гурвалжнуудын талбай харгалзан $S_1, S_2$. Суурийн уртыг ол.
$a$ суурьтай адил хажуут гурвалжны хажуу тал нь $b$. Хажуу тал руу буулгасан биссектрисийн уртыг ол.
Хэрэв адил хажуут гурвалжны суурийг суурьт харгалзах өнцгийн биссектрист $5:6$ байдаг бол уг гурвалжны өнцгүүдийг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурийн эсрэг орших өнцгийн биссектрис ба суурийн нэг өнцгийн биссектрисийг татав. Хэрэв суурийн өнцгийн косинус нь $p=\frac{\sqrt{975}}{32}$ бол уг 2 биссектрисийн хооронд үүсэх мохоо өнцгийн косинусыг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AD$ биссектрисийн $AC$ суурьтай үүсгэх өнцгийн тангенс нь $0,5$. $\angle ABC$-ийн косинусыг ол.
$AB=4$, $BC=AC=12$ байх $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $AD$ нь биссектрис бол $\angle ADC$-г ол.
Адил хажуут $ABC$ (AB=BC) гурвалжинд $AD$ биссектрис татав. $BC:DC=k$ бол $DC$ хэрчмийн уртыг $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны $1$ катет нь $24$ см, гипотенуз нь $25$ см бол гурвалжны бага өнцгийн оройгоос татсан биссектрисийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны $\angle B=90^\circ$ ба $A$ оройгоос татсан биссектрис нь $BC$ талыг $D$ цэгт огтолно. $BD=4$, $DC=6$ бол $ADC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $ACB$ тэгш өнцгөөс $CD$ биссектрис, $DM$, $DN$ нь харгалзан $ADC$ ба $BDC$ гурвалжнуудын өндрүүд байв. Хэрэв $AM=4$, $BN=9$ бол $AC$-г ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн биссектрис гипотенузыг $3$ см, $4$ см урттай хэрчмүүдэд хуваав. Гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $BC$ гипотенузын урт $20$, $AB$ катетын урт $16$. $A$ оройгоос $C$ өнцгийн биссектрис хүртэлх зайн квадратыг ол.
$ABC$ гурвалжинд $AD$ биссектрис татав. Хэрэв $AB+BD=AC+CD$ гэвэл $ABC$ гурвалжин адил хажуут болохыг батал.
$AC$ суурьтай, адил хажуут $ABC$ гурвалжин өгчээ. Багтсан тойргийн төв $O$ нь $BC$ талыг $P$ цэгт шүргэх бөгөөд $B$ өнцгийн биссектрисийг $Q$ цэгт огтолж байв. $QP$ ба $OC$ шулуунууд параллель гэдгийг батал.
$ABC$ гурвалжны $B$ оройгоос үлдэх оройнуудаас татсан биссектрисүүдэд $BK$ ба $BL$ перпендикуляруудыг буулгав. $KL$ хэрчмийн урт нь $ABC$ гурвалжны периметрийн хагастай тэнцүү болохыг батал.
$KLM$ гурвалжины $KN$ ба $LP$ биссектрисүүд $Q$ цэгт огтлолцдог. $PN$ хэрчмийн урт нь $1$ см ба $M$ орой нь $N, P, Q$ цэгүүдийг дайрах тойрог дээр оршино. $PNQ$ гурвалжны талууд ба өнцгүүдийг ол.
$ABC$ гурвалжны $BAC$ өнцгийн биссектрис $a$-тай тэнцүү. Энэ биссектрисээр диаметрээ хийсэн тойрог $AB$ ба $BC$ талыг харгалзан $2:1$ ба $1:1$ харьцаагаар хуваах бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ биссектрис нь $BC$ талыг $BD:CD=2:1$ харьцаагаар хуваах бол $CE$ медиан нь биссектрисийг ямар харьцаатай хуваах вэ?
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $AC$ ба $BC$ талыг харгалзан $M$ ба $N$ цэгт шүргэх ба $BD$ биссектрисийг $P$ ба $Q$ цэгт огтолжээ. Хэрэв $\angle A=\pi/4$, $\angle B=\pi/3$ бол $PQM$ ба $PQN$ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай $90$ см.кв, $AD$ биссектрис нь $BC$ талыг $BD:CD=2:3$ харьцаагаар хуваадаг. $BL$ хэрчим $AD$ биссектристэй $E$ цэгт огтлолцох ба $L$ цэг $AC$ хэрчмийг $AL:CL=1:2$ байхаар хуваана. $EDCL$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай $40$ см.кв, $AD$ биссектрис $BC$ талыг $BD:DC=3:2$ байхаар хуваана. $AD$ биссектрис $BK$ медианыг $E$ цэгт огтолно. $EDCK$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай $70$ см.кв ба $AD$ биссектрис нь $BC$ талыг $BD:DC=3:2$ байхаар хуваана. $AD$ биссектрис $BK$ хэрчмийг $BE:EK=5:2$ харьцаагаар хувааж байхаар $AC$ тал дээр $K$ цэг авав. $EDCK$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ ба $BE$ биссектрисүүд $O$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $AC:AB:BC=4:3:2$ бол $DOEC$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг $ABC$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжинд $AP$ биссектрис татахад $BP=16$ ба $PC=20$ байв. $ABP$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв нь $AC$ хэрчим дээр орших бол $AB$ талын уртыг ол.
$CQ$ нь $ABC$ гурвалжны биссектрис. $BCQ$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $1/3$ ба төв нь $AC$ хэрчим дээр оршиж байв. Хэрэв $AQ:AB=2:3$ гэвэл $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AH$ биссектрис $BE$ медианыг $BK:KE=2$ харьцаагаар хуваах ба $ABC$ өнцөг $45^\circ$ байв. $BCE$ гурвалжны талбайг энэ гурвалжныг багтаасан дугуйн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
$BMC$ ба $ANC$ өнцгүүд тэгш байхаар хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $AD$ өндөр дээр $M$ цэг, $BP$ өндөр дээр $N$ цэг тус тус авав. $M$ ба $N$ цэгүүдийн хоорондох зай $4+2\sqrt3$ ба $\angle MCN=30^\circ$ байв. $CMN$ гурвалжны $CL$ биссектрисийн уртыг ол.
$KLM$ гурвалжны $KL$ талын урт нь $27$, $KN$ биссектрисийн урт $24$ ба $MN$ хэрчмийн урт $8$ байв. $KMN$ гурвалжны периметрийг ол.
Адил хажуут гурвалжны медиануудын огтолцлын цэг ба биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг нь хоорондоо $2$ зайтай байв. Хэрэв уг гурвалжинд багтсан тойргийн урт $20\pi$ бол гурвалжны периметрийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын урт $a$. Нэг хурц өнцгийнх нь биссектрис $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$ бол катетуудыг ол.
$AD$ нь тэгш өнцөгт $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) гурвалжны биссектрис. $\sqrt{15}$ радиустай тойрог $A, C, D$ цэгүүдийг дайрах бөгөөд уг тойрог $AB$ талыг $E$ цэгт $AE:AB=3:5$ байхаар огтолно. $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос буулгасан өндөр ба биссектрисийн уртууд харгалзан $3$ ба $4$. Гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) гурвалжны $AM$ медиан ба $CD$ биссектрис $O$ цэгт огтлолцов. Хэрэв $CO=9$, $OD=5$ гэвэл $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
2 тойрог дотоод байдлаар $N$ цэгт шүргэлдэнэ. $MN$ хэрчим том тойргийн диаметр болох ба том тойргийн $MK$ хөвч бага тойргийг $C$ цэгт шүргэнэ. $MNK$ өнцгийн биссектрис $NC$ гэж батал.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $AD$ өндөр, $BE$ медиан, $CF$ биссектрис гурав $O$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $OE=2OC$ бол $C$ өнцгийг ол.
$ABC$ гурвалжны $C$ оройгоос татсан медиан, биссектрис ба өндөр нь харгалзан 6, 5 ба 2 гэсэн урттай. $AB$ талын уртыг ол.
$ABC$ гурвалжны $AN$ нь биссектрисс, $AB=8$, $AC=5$, $BN=x+2$, $NC=x$ бол $x$-г ол.

A. $2$     B. $3$     C. $4$     D. $\dfrac{10}{3}$     E. $\dfrac{3}{10}$    
$ABC$ гурвалжны $AM$ нь биссектрисс, $AB=13$, $AC=5$, $BM=x$, $MC=x-5\dfrac13$ бол $x$-г ол.

A. $12$     B. $14$     C. $15$     D. $26/3$     E. $9$    
$AC=9$, $AB=7$ нэгж урттай $ABC$ гурвалжны $A$ оройн дотоод өнцгийн биссектрис нь $AD=DB$ байхаар $BC$ талтай $D$ цэгт огтлолцсон бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $10$     B. $11$     C. $12$     D. $13$     E. $14$    
$ABC$ гурвалжны $AB=6$, $AC=12$, $BC=9$ байв. $D$ цэг нь $A$ оройгоос татсан дотоод өнцгийн биссектриссийн суурь бол $BD$-г ол.

A. 1     B. 2     C. 3     D. 4     E. 5    
$ABC$ гурвалжны периметр 28 см. $AD$ биссектрис суурийг $BD=4$ см, $DC=3$ см урттай хэсгүүдэд хуваах бол $AC$ талын урт хэдтэй тэнцүү вэ?

A. 7     B. 9     C. 10     D. 12     E. 14    
$\triangle ABC$-ийн $AB=5$, $AC=12$, $BC=13$ байв. Хэрэв $D$ нь $A$ оройн биссектрисийн суурь бол $ABD$ гурвалжны талбайг ол.

A. $\dfrac{150}{17}$     B. $8$     C. $7$     D. $10$     E. $\dfrac{25}{3}$    
Гурвалжны хоёр талын урт нь 12 ба 8 нэгж, тэдгээрийн хоорондох өнцгийн биссектрисийн сууриар гурав дахь талын хуваагдсан хоёр хэсгийн нэг нь 6 нэгж урт бол нөгөө хэсгийн урт хэд байж болох вэ?

A. $9$     B. $4$     C. $4, 6$     D. $4, 9$     E. $6$    
Гурвалжны нэг тал 14 нэгж бөгөөд түүнд налсан нэг өнцгийн биссектрис эсрэг орших талаа 7,9 нэгж урттай хэсгүүдэд хуваасан бол гурав дахь талын урт хэд байх вэ?

A. $\dfrac{98}9, \dfrac{76}9$     B. $16, 18$     C. $18, \dfrac{98}9$     D. $\dfrac{76}9, 16$     E. $\dfrac{76}{9}, 18$    
Гурвалжны хоёр тал, тэдгээрийн хоорондох өнцгийн биссектрисийн урт харгалзан $12$, $24$, $8\sqrt3$ нэгж бол энэ өнцөг хэдэн градус байх вэ?

A. $60^\circ$     B. $75^\circ$     C. $30^\circ$     D. $120^\circ$     E. $45^\circ$    
$ABC$ гурвалжны $C$ өнцгийн биссектрисийн $L_3$ суурийг дайрсан $AC$ талтай параллель шулуун $BC$ талыг $E$ цэгт огтолжээ. Хэрэв $BC=a$, $AC=b$ бол $L_3E$ хэрчмийн урт ямар байх вэ?

A. $\dfrac{2ab}{a+b}$     B. $\sqrt{ab}$     C. $\dfrac12\sqrt{ab}$     D. $2\sqrt{ab}$     E. $\dfrac{ab}{a+b}$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектрис хөндий орших катетыг $m$, $n$ $(m>n)$ урттай хэсгүүдэд хуваасан бол гипотенузийн урт ямар байх вэ?

A. $n\sqrt{\dfrac{m-n}{m+n}}$     B. $m\sqrt{\dfrac{m-n}{m+n}}$     C. $n\sqrt{\dfrac{m+n}{m-n}}$     D. $\dfrac{m+n}{2}\sqrt{\dfrac{m+n}{m-n}}$     E. $m\sqrt{\dfrac{m+n}{m-n}}$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектрис хөндий орших катетыг $m$, $n$ $(m>n)$ урттай хэсгүүдэд хуваасан бол нөгөө катетийн урт аль нь бэ?

A. $m\sqrt{\frac{2n}{m-n}}$     B. $n\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}$     C. $\sqrt{mn}$     D. $m\sqrt{\frac{3n}{m-n}}$    
$ABC$ гурвалжинд $AL_1$ биссектрис татахад $L_{1}AC$ гурвалжин өгсөн гурвалжинтай төсөөтэй байсан бол өнцгүүдийн хамааралыг ол ($\measuredangle BAC=\alpha$, $\measuredangle CBA=\beta$, $\measuredangle ACB=\gamma$).

A. $\alpha-3\beta=0$     B. $\alpha-2\beta=0$     C. $3\alpha-4\beta=0$     D. $2\alpha-3\beta=0$    
$ABC$ гурвалжны $AL_1$ биссектрисийн уртыг $\ell_1$, $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ гэв. $ac=(b+c)\ell_1$ байсан бол $\measuredangle BAC=\alpha$, $\measuredangle BCA=\gamma$ өнцгүүд ямар хамааралтай вэ?

A. $3\alpha+2\gamma=2\pi$     B. $2\alpha+3\gamma=\pi$     C. $3\alpha+4\gamma=2\pi$     D. $\alpha+3\gamma=\frac{2\pi}3$    
$ABC$ гурвалжны $AL_1$ биссектрис, $BC=a$, $CA=b$, $a C\,L_1=b^2$ бол $\measuredangle BAC=\alpha$, $\measuredangle CBA=\beta$ хоёр өнцөг ямар хамааралтай вэ?

A. $\alpha=2\beta$     B. $\beta+3\alpha=\pi$     C. $3\beta+\alpha=\pi$     D. $5\alpha+\beta=2\pi$    
$ABC$ гурвалжны $AL_1$ биссектрис, $CM_3$ медиантай $P$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв $AC=4$ см, $AB=6$ см бол $CP:PM_3$ аль вэ?

A. 3:2     B. 4:3     C. 2:3     D. 1:2    
$AB=12$ см, $AC=9$ см гурвалжинд $AL_1$ биссектрис, $CM_3$ медиантай $P$ цэгт огтлолцжээ. $AP:PL_1$ аль вэ?

A. 7:4     B. 4:3     C. 7:3     D. 1:7    
$AB=12$, $BC=18$ гурвалжны $B$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн суурь $L$-ийг дайрсан $AB$ талтай параллель шулуун $BC$ талтай $D$ цэгт огтлолцсон бол $S_{LBD}:S_{ABC}$ аль нь вэ?

A. 3:2     B. 2:3     C. 6:25     D. 12:25    
$AB=12$, $BC=18$ гурвалжны $BL_2$ дотоод өнцгийн биссектрисийн $L_2$ суурийг дайрсан $AB$ талтай параллель шулуун $BC$ талыг $D$ цэгт огтолсон бол $S_{L_2CD}:S_{L_2AB}$ аль нь вэ?

A. $3:2$     B. $9:10$     C. $3:4$     D. $4:5$     E. $8:9$    
$ABC$ гурвалжны $A$ оройн дотоод өнцгийн биссектрисийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцжээ. Багтсан тойргийн төвөөс $D$ хүртэлх зай багтаасан тойргийн радиустай тэнцүү бол $A$ орой дахь дотоод өнцөг хэдэн градус вэ?

A. $120^\circ$     B. $30^\circ$     C. $150^\circ$     D. $60^\circ$    
$R$ радиустай тойрогт багтсан гурвалжны $A$ оройн дотоод өнцгийн биссектрис багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв $BC$ тал багтсан тойргийн төв $P$ цэгээс $150^\circ$ өнцгөөр харагдах бол $PD$ хэрчмийн урт аль нь вэ?

A. $\dfrac{R}{3}$     B. $\sqrt3R$     C. $\dfrac23R$     D. $\sqrt2R$     E. $\dfrac32R$    
$ABC$ гурвалжны $\measuredangle B$ өнцгийн биссектрис $BK$, $AB=4$, $BC=6$ ба $KC=3$ бол $AK$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $\dfrac43$     B. $3$     C. $2$     D. $8$     E. $4$    
$ABC$ гурвалжны $\measuredangle B$ өнцгийн биссектрисс $BK$. $AB=4$, $BC=6$ ба $AK=2$ бол $KC$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $\frac43$     B. $3$     C. $2\sqrt{13}-2$     D. $\frac13$     E. $4$    
Талуудын урт нь 6, 7, 8 нэгж байх гурвалжны 7 урттай тал дээр буусан биссектрисийн суурь уг талаа ямар урттай хэсгүүдэд хуваах вэ?

A. 1 ба 6     B. 2 ба 5     C. 3 ба 4     D. $\sqrt 5$ ба $7-\sqrt5$     E. тэнцүү    
$ABC$ гурвалжны $\measuredangle B$ өнцгийн биссектрис $BK$, $AB=8$, $BC=12$ ба $AK=4$ бол $KC$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $\dfrac83$     B. $6$     C. $4\sqrt{13}-4$     D. $4$     E. $8$    
$ABC$ гурвалжны $\measuredangle B$ өнцгийн биссектрис $BK$, $AB=8$, $BC=12$ ба $KC=6$ бол $AK$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $\dfrac43$     B. $6$     C. $\dfrac{8}{3}$     D. $2$     E. $4$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $5\sqrt2$ см, $4\sqrt2$ см урттай бол тэгш өнцгийн оройгоос татсан биссектрисийн уртыг ол.

A. $4\dfrac{4}{9}$ см     B. $4.6$ см     C. $\dfrac{9}{40}$ см     D. $4\sqrt{6}$ см     E. $2.4$ см    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг катет нь $5$, гипотенуз нь 13 байв. Их хурц өнцгийн оройгоос татсан биссектрисийн уртыг ол.

A. $\dfrac{3\sqrt{13}}{5}$     B. $12.5$     C. $\dfrac{5\sqrt{13}}{3}$     D. $\dfrac{7\sqrt{13}}{3}$     E. $\dfrac{8\sqrt{13}}{5}$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $6$, $\angle A=70^\circ$, $\angle B=30^\circ$ бол $\angle C$-ийн биссектрисийн урт аль нь вэ?

A. $3$     B. $6$     C. $8$     D. $9$     E. $10$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг катет нь $5$, гипотенуз нь 13 байв. Бага өнцгийн оройгоос татсан биссектрисийн уртыг ол.

A. $\dfrac{12\sqrt{26}}{5}$     B. $12.5$     C. $\dfrac{13\sqrt{26}}{3}$     D. $\dfrac{7\sqrt{26}}{3}$     E. $\dfrac{13\sqrt{26}}{5}$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $AB=10\sqrt{3}$, $AC=15\sqrt{3}$, $\measuredangle BAC=60^\circ$ байв. $A$ оройгоос татсан биссектрисийн уртыг ол.

A. $10$     B. $14$     C. $16$     D. $18$     E. $20$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $AB=7$, $AC=8$, $\measuredangle BAC=120^\circ$ байв. $A$ оройгоос татсан биссектрисийн уртыг ол.

A. $\dfrac{56}{15}$     B. $4$     C. $3\dfrac{3}{4}$     D. $5$     E. $6$    
$ABC$ гурвалжны $AN$ нь биссектрисс, $AB=8$, $AC=5$, $BN=x+2$, $NC=x$ бол $x$-г ол.

A. $2$     B. $3$     C. $4$     D. $\dfrac{10}{3}$     E. $\dfrac{3}{10}$    
$ABC$ гурвалжны $AB=6$, $AC=12$, $BC=9$ байв. $D$ цэг нь $A$ оройгоос татсан дотоод өнцгийн биссектриссийн суурь бол $CD$-г ол.

A. 2     B. 3     C. 4     D. 5     E. 6    
$AD$, $BC$ суурьтай $ABCD$ трапецийн $A$ ба $B$ оройн биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг $K$ байв. $ABK$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $R=5$ бол $AB$ талын уртыг ол.

A. $10$     B. $2\sqrt{5}$     C. $5$     D. $25$     E. $20$    
$AD$, $BC$ суурьтай $ABCD$ трапецийн $A$ ба $B$ оройн биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг $K$ байв. $ABK$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $R=3$ бол $AB$ талын уртыг ол.

A. $3$     B. $2\sqrt{3}$     C. $6$     D. $9$     E. $12$    
$ABC$ гурвалжны $AA_1$ биссектрисс, $CC_1$ медиантай $O$ цэгт огтлолцож, $AC=8$, $AB=10$ бол $\dfrac{C_1O}{CC_1}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}$ байна. Мөн $BO$ шулууны $AC$ талтай огтлолцох цэгийг $B_1$ гэвэл $\dfrac{B_1O}{OB}=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ болох бөгөөд $BA_1={5}$ үед $AA_1={\fbox{е}}\sqrt{15}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=2$, $AC=3$ бөгөөд $AL_1$ нь $\measuredangle BAC=\alpha$ өнцгийн биссектрисс байв. $L_1$-ийг дайрсан $AC$ талтай параллель шулуун $AB$ талыг $D$ цэгт огтолдог бол $DL_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна. Хэрвээ $BL_1=1$ бол $AL_1=\fbox{c}\sqrt{2}/2$, $\cos \alpha =\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{ef}}$ болно. Мөн энэ үед $S_{ADL_1C}=\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{ij}}\sqrt{7}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=4$, $AC=3$ бөгөөд $AL_1$ нь $\measuredangle BAC=\alpha$ өнцгийн биссектрисс байв. $L_1$-ийг дайрсан $AC$ талтай параллель шулуун $AB$ талыг $D$ цэгт огтолдог бол $DL_1=\dfrac{\fbox{ab}}{7}$ байна. Хэрвээ $BL_1=4/\sqrt{7}$ бол $AL_1=\fbox{c}\sqrt{14}/7$, $\cos \alpha =\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ болно. Мөн энэ үед $S_{ADL_1C}=\dfrac{\fbox{fg}}{\fbox{hi}}\sqrt{7}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=5$, $BC=7$ ба $\cos \alpha=-\dfrac{1}{5}$ бол $AC=\fbox{a}$, $S_{ABC}=4\sqrt{\fbox{b}}$ болно. Мөн уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\sqrt{\fbox{c}}/\fbox{d}$, багтсан ба багтаасан тойргийн радиусуудын харьцаа $\displaystyle\dfrac{12}{\fbox{ef}}$, $AL$ биссектриссийн урт $\displaystyle \sqrt{10}\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}$ байна.
$AB=3$, $BC=4$, $AC=5$ талтай гурвалжны биссектриссүүд нь $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ бол $\dfrac{A_1B_1}{A_1C_1}=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{87}}{\fbox{cde}}$ ба $BB_1=\dfrac{12\sqrt{\fbox{f}}}{\fbox{g}}$ болно. Мөн $\dfrac{S_{AC_1B_1}}{S_{CA_1B_1}}=\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{i}}$ байна.
$AB=5$, $BC=4$, $AC=6$ талтай гурвалжны биссектриссүүд нь $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ бол $\dfrac{A_1B_1}{A_1C_1}=\dfrac{\fbox{ab}\sqrt{\fbox{cd}}\sqrt{43}}{9}$ ба $BB_1=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{g}}$ болно. Мөн $\left(\dfrac{S_{AC_1B_1}}{S_{CA_1B_1}}\right)^{-1}=\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{ij}}$ байна.
$ABC$ гурвалжин өгчээ. $|AB|=10$, $|BC|=10$, $|AC|=18$ бол $B$ оройгоос татсан биссектриссийн урт $\fbox{ab}$ байна.
$ABC$ гурвалжин өгчээ. $|AB|=15$, $|BC|=12$, $|AC|=18$ бол $B$ оройгоос татсан биссектриссийн урт $\fbox{ab}$ байна.
$ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $AC$ талуудыг харгалзан $x$, $y$, $z$ гээд $AB>AC$ гэж үзье. $A$ өнцгийн дотоод болон гадаад өнцгийн биссектриссүүдийн $BC$ талыг огтлох цэгүүд харгалзан $D$, $E$ бол $DE=\dfrac{\fbox{a} xyz}{z^{\fbox{b}}-y^{\fbox{c}}}$ болох ба $x=6$, $y=5$, $z=7$ үед $DE=\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{f}}$ байна.
$ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $AC$ талуудыг харгалзан $x$, $y$, $z$ гээд $AB>AC$ гэж үзье. $A$ өнцгийн дотоод болон гадаад өнцгийн биссектриссүүдийн $BC$ талыг огтлох цэгүүд харгалзан $D$, $E$ бол $DE=\dfrac{\fbox{a} xyz}{y^{\fbox{b}}-z^{\fbox{c}}}$ болох ба $x=4$, $y=8$, $z=6$ үед $DE=\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{f}}$ байна.

Гурвалжны медиан

Гурвалжны $2$ тал нь харгалзан $6$ см ба $8$ см байв. Уг $2$ талд татсан медианууд нь хоорондоо перпендикуляр бол гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны суурийн урт $26$ см, хажуу талуудад буулгасан медианууд нь харгалзан $30$ ба $39$ см бол гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны медианууд нь $3$ см, $4$ см, $5$ см урттай. Гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны суурь нь $14$ см. Хажуу талууд руу нь буулгасан медиануудын урт нь харгалзан $3\sqrt {7}, 6\sqrt {7}$ см. Гурвалжны хажуу талуудыг ол.
$ABC$ гурвалжны $AM$ медиан нь $BN$ медиантай перпендикуляр. Хэрэв $AM=3$, $BN=4$ бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $B$, $C$ өнцгүүд өгөгдөв ($\angle B\neq\angle C$). $A$ оройгоос татсан медианы $BC$ талтай үүсгэх хурц өнцөг $x$-ийн котангенсийг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BM$, $CN$ медианууд ба $AH$ өндрийн урт нь харгалзан $4$, $5$, $6$. Гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны $2$ талын урт нь $1$ ба $\sqrt {13}$. Гурав дахь талын медиан нь $2$ бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ болон $BE$ медианууд нь перпендикуляр ба $AC=3$, $BC=4$ бол $AB$ талыг ол.
Гурвалжны $2$ тал нь $1$ см ба $\sqrt{15}$ см. Гурав дахь талын медиан нь $2$ см бол гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны $2$ талын урт $a, b$. Хэрэв гурав дахь тал нь түүнд буулгасан медианы урттай тэнцүү гэвэл түүний уртыг ол.
Гурвалжны $2$ тал нь $27$, $29$. Гурав дахь талд буулгасан медианы урт $26$. $27$ урттай талд буулгасан өндрийн уртыг ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$, $CE$ медианууд перпендикуляр ба $AB=c$, $BC=a$ бол $AC$-г ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ медиан болон $BE$ биссектрисүүд харилцан перпедикуляр ба $F$ цэгт огтлолцоно. $DEF$ гурвалжны талбай нь $5$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай нь $12$. $B$ оройгоос $BD$ медианы урт $3$. Хэрэв $\angle ABD=90^\circ$ бол $AC$ талыг ол.
Адил хажуут $ABC$ ($AB=BC$) гурвалжинд $AD$ медиан татав. $\angle B=\alpha$ бол $\angle BAD$ өнцгийг ол.
Оройн өнцөг нь $\alpha$ байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Суурь ба хажуу тал руу буулгасан медиан хоёрын хоорондох өнцгийг ол.
Суурь нь $\sqrt {32}$, хажуу тал руу буулгасан медиан нь $5$ байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Хажуу талыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурь нь $10$ ба талбай нь $60$. Хажуу талд буулгасан медианы уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжны хажуу тал нь $4\sqrt {10}$, хажуу талд татсан медиан нь $3\sqrt{10}$. Гурвалжны суурийн уртыг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны суурь нь $AC$. $D$ цэг $BC$ талыг $M$-ээс $2:1$ харьцаанд хуваах ба $E$ цэг $AB$ талын дундаж. $CED$ гурвалжны $CQ$ медиан нь $\sqrt{23}/2$, $DE=\sqrt{23}/2$. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Адил хажуут гурвалжны хажуу тал $6$ см, хажууд буулгасан медиан $5$ см бол суурийн уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурь $\sqrt{84}$, суурийн эсрэг өнцөг $30^\circ$ бол хажуу талд буулгасан медианы уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжны хажуу талд буулгасан медиан периметрийг $15$, $6$ гэсэн урттай 2 хэсэгт хуваана. Хажуу талын уртыг ол.
$ABC$ гурвалжны $\angle C=30^\circ$ байв. $B$ тэгш өнцгийн оройгоос татсан медиан нь $BK$ ба $AB$ катетын урт нь $4$ см бол $BCK$ гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузд буусан медиан уг гурвалжныг $p_1$, $p_2$ периметртэй 2 гурвалжинд хуваасан бол гурвалжны талуудыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэгээс катетууд хүртэлх зайнууд нь $3$ ба $4$. Энэ цэгээс гипотенуз хүртэлх зайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийг медианд нь харьцуулсан харьцаа $2:3$. Гурвалжны хурц өнгүүдийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын харьцаа $1/2$. Хурц өнцгүүдээс татсан медиануудын хоорондох хурц өнцгийн тангенсийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны $AC$, $BC$ катетуудын урт харгалзан $12$ ба $8$. $K$ нь $BD$ медианы дундаж цэг бол $CK$-г ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдээс татсан медианууд $89$ ба $156$. Гипотенузын уртыг ол.
$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны гадна талд түүний $AC, BC$ катетууд дээр $ACDE$, $BCFG$ квадратууд байгуулав. $ABC$ гурвалжны $CM$ медианы үргэлжлэл $DF$ шулууныг $N$ цэгт огтолно. Хэрэв катетуудын урт нь $1$ ба $4$ бол $CN$-г ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос өндөр ба медиан татав. Хэрэв өндрийг медианд харьцуулсан харьцаа $12/13$ бол гурвалжны их катетыг бага катетад харьцуулсан харьцааг ол.
Гурвалжны нэг оройгоос татсан медиан ба өндөр нь оройн өнцөгөө $3$ тэнцүү хэсэгт хуваах ба медиан нь 10 см урттай бол гурвалжны талуудыг ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ биссектрис нь $BC$ талыг $BD:CD=2:1$ харьцаагаар хуваах бол $CE$ медиан нь биссектрисийг ямар харьцаатай хуваах вэ?
$ABC$ гурвалжны $BD$ медиан дээр $BE=3ED$ байх $E$ цэг авав. $AE$ шулуун $BC$ талыг $M$ цэгт огтолно. $AMC$ ба $ABC$ гурвалжны талбайн харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай $40$ см.кв, $AD$ биссектрис $BC$ талыг $BD:DC=3:2$ байхаар хуваана. $AD$ биссектрис $BK$ медианыг $E$ цэгт огтолно. $EDCK$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AH$ биссектрис $BE$ медианыг $BK:KE=2$ харьцаагаар хуваах ба $ABC$ өнцөг $45^\circ$ байв. $BCE$ гурвалжны талбайг энэ гурвалжныг багтаасан дугуйн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны $AM$ ба $BK$ медиануудын үргэлжилэл багтаасан тойргийг харгалзан $E$ ба $F$ цэгээр огтлох ба $AE:AM=2:1$, $BF:BK =3:2$ байв. $ABC$ гурвалжны өнцөгүүдийг ол.
$ABC$ гурвалжны $AM, BK$ медиануудын үргэлжлэлүүд уг гурвалжныг багтаасан тойргийг харгалзан $E$ ба $F$ цэгт огтолох ба $AE:AM=2:1$, $BF:BK=3:2$ байв. $ABC$ гурвалжны өнцгүүдийг ол.
$ABC$ гурвалжны $BE$ биссекрис ба $AD$ медиан нь перпендикуляр бөгөөд ижилхэн $4$ урттай. $ABC$ гурвалжны талуудыг ол.
Гурвалжны талуудын урт $a=6$, $b=8$ ба талбай нь $S=3\sqrt 5$ байв. Гурав дахь талын урт нь уг талд буулгасан медианаас 2 дахин богино бол багтсан тойргийн радиусыг ол.
$PQR$ гурвалжны $Q$ оройноос татсан медианы урт $\dfrac{3\sqrt{21}}{4}$. $P$ ба $R$ орой дээр төвтэй $5$ ба $1$ радиустай тойргууд бие биеэ шүргэх ба $Q$ орой нь эдгээр тойргуудын ерөнхий шүргэгч дээр байв. Хэрэв $S< 7$ бол $PQR$ гурвалжны талбай $S$-г ол.
Адил хажуут гурвалжны медиануудын огтолцлын цэг ба биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг нь хоорондоо $2$ зайтай байв. Хэрэв уг гурвалжинд багтсан тойргийн урт $20\pi$ бол гурвалжны периметрийг ол.
Тэгш өнцөгт $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) гурвалжны $AM$ медиан ба $CD$ биссектрис $O$ цэгт огтлолцов. Хэрэв $CO=9$, $OD=5$ гэвэл $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$AOB$ гурвалжныг $O$ цэгийг тойруулан $90^{\circ}$ эргүүлэхэд $A$ цэг $A_1$ цэгт, $B$ цэг $B_1$ цэгт буув. $OAB_1$ гурвалжны $AB_1$ талд буулгасан медиан $OA_1B$ гурвалжны $A_1B$ талд буулгасан медиантай перпендикуляр болохыг батал.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $AD$ өндөр, $BE$ медиан, $CF$ биссектрис гурав $O$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $OE=2OC$ бол $C$ өнцгийг ол.
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BM$ медианыг 3 тэнцүү хэсэгт хуваадаг. $BC:CA:AB$ харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны $C$ оройгоос татсан медиан, биссектрис ба өндөр нь харгалзан 6, 5 ба 2 гэсэн урттай. $AB$ талын уртыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгөөс татсан медиануудын уртын харьцаа $2\sqrt{2}:\sqrt{17}$ бол гурвалжны хурц өнцгүүдийг ол.

A. $\arctg3$, $\dfrac\pi2-\arctg3$     B. $\dfrac{\pi}{5}$, $\dfrac{3\pi}{10}$     C. $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{4}$     D. $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{3}$     E. $\arctg2$, $\dfrac\pi2-\arctg2$    
Гурвалжны медиануудуудын урт нь 3, 4, 5 байв. Гурвалжны талбайг ол.

A. $1$     B. $4$     C. $6$     D. $8$     E. $10$    
Гурвалжны хоёр талын урт 22, 46 нэгж, гурав дахь талын медиан 20 нэгж бол тэр талын урт нь аль нь вэ?

A. 60     B. 72     C. 48     D. 50     E. 55    
Гурвалжны 9, 12 урттай медианууд перпендикуляр байв. Талбайг ол.

A. 108     B. 96     C. 84     D. 72     E. 60    
$ABC$ гурвалжны $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$ бол $AD$ медианы урт аль нь вэ?

A. $2$     B. $2.5$     C. $3$     D. $3.5$     E. $4$    
$ABC$ гурвалжны талууд нь $5, 7, 8$ бол хамгийн урт медианы уртыг ол.

A. $\sqrt{21}$     B. $\sqrt{201}/2$     C. $\sqrt{129}/2$     D. $\sqrt{65}/2$     E. $5\sqrt{20}$    
Талууд нь $a,b,c$ урттай гурвалжны медиануудаар байгуулсан гурвалжны медиануудын урт аль вэ?

A. $\dfrac45a, \dfrac45b, \dfrac45c$     B. $\dfrac35a, \dfrac35b, \dfrac35c$     C. $\dfrac34a, \dfrac34b, \dfrac34c$     D. $\dfrac23a, \dfrac23b, \dfrac23c$     E. $\dfrac32a, \dfrac32b, \dfrac32c$    
$a,b$ талтай $ABCD$ параллелограммын $DA,DC$ талын дундажууд болон $B$ оройг холбоход үүссэн гурвалжны медианы урт өгсөн хоёр тал болон $BD=d$ диагоналиар илэрхийлбэл аль нь вэ?

A. $\frac45a, \frac45b, \frac45d$     B. $\frac35a, \frac35b, \frac35d$     C. $\frac34a, \frac34b, \frac34d$     D. $\frac23a, \frac23b, \frac23d$    
Адил хажуут гурвалжны нэг хажуу талын медиан периметрийг 15 см, 6 см урт хэсгүүдэд хуваасан бол гурвалжны талуудын урт хэд хэд вэ?

A. 3, 9, 9     B. 5, 8, 8     C. 13, 4, 4     D. 1, 10, 10     E. 2, 9, 9    
27 см периметртэй адил хажуут гурвалжны нэг хажуу талын медиан периметрийг 1:2 харьцаатай хэсгүүдэд хуваасан бол талууд нь ямар ямар байх вэ?

A. 10, 10, 7     B. 15, 6, 6     C. 11, 8, 8     D. 12, 12, 3     E. 13, 7, 7    
Гурвалжны хоёр талын урт 11, 23 нэгж, гурав дахь талын медиан 10 нэгж бол тэр талын урт аль нь вэ?

A. $25$     B. $30$     C. $36$     D. $24$     E. $26$    
Гурвалжны нэг тал 10 см, нөгөө хоёр талын медиан 9 см, 12 см бол талбай нь аль вэ?

A. $36$ см.кв     B. $72$ см.кв     C. $108$ см.кв     D. $144$ см.кв     E. $150$ см.кв    
Адил хажуут гурвалжны талбай $4.8$, хоёр медианы урт $3$ нэгж бол медиануудын огтлолцлоос суурийн харагдах өнцөг аль вэ?

A. $\arcsin\frac35$     B. $\arccos\frac35$     C. $75^\circ$     D. $60^\circ$     E. $\arccos\frac35$, $\pi-\arccos\frac35$    
$ABC$ гурвалжны $AL_1$ биссектрис, $CM_3$ медиантай $P$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв $AC=4$ см, $AB=6$ см бол $CP:PM_3$ аль вэ?

A. 3:2     B. 4:3     C. 2:3     D. 1:2    
$AB=12$ см, $AC=9$ см гурвалжинд $AL_1$ биссектрис, $CM_3$ медиантай $P$ цэгт огтлолцжээ. $AP:PL_1$ аль вэ?

A. 7:4     B. 4:3     C. 7:3     D. 1:7    
Хэрэв $m,n$ урттай перпендикуляр хоёр медиантай гурвалжны нэг тал $a$ урттай бол энэ талын өндрийн урт аль нь вэ?

A. $\dfrac{mn}{2a}$     B. $\dfrac{4mn}{3a}$     C. $\dfrac{3mn}{4a}$     D. $\dfrac{m^2+n^2}{2a}$     E. $\dfrac{m^2+n^2}{4a}$    
$ABC$ гурвалжны $B$, $C$ хоёр оройгоос татсан медианы урт $6$ ба $4.5$, $BC=5$ бол энэ талд буусан өндрийн урт аль нь вэ?

A. $5$     B. $4.5$     C. $7.2$     D. $6$     E. $6.5$    
$AB=15$, $BC=6$ ба $AC$ талын медианы урт $3\sqrt{11}$ бол $\measuredangle ABC$ хэдэн градус вэ?

A. $60^\circ$     B. $\arccos\frac34$     C. $\arcsin0.4$     D. $\arccos0.3$    
$24$ см.кв талбайтай гурвалжны хоёр медиан 6 см, 8 см урт бол тэдгээрийн хоорондох өнцөг аль нь вэ?

A. $60^\circ$     B. $\arcsin\dfrac23$     C. $\arcsin\dfrac34$     D. $30^\circ$     E. $\arccos\dfrac23$    
$ABC$ гурвалжны $BC$ талын медианы үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцсон. Хэрэв медиануудын огтлолцол $M$, $S_{ABC}:S_{DBC}=3:5$ бол $MBC$, $DBC$ хоёр гурвалжны $M,D$ оройгоос татсан өндрүүдийн харьцаа ямар байх вэ?

A. $3:8$     B. $1:5$     C. $2:5$     D. $1:3$    
Гурвалжны 6, 27 урттай медианууд перпендикуляр байв. Талбайг ол.

A. 108     B. 96     C. 86     D. 78     E. 72    
Гурвалжны медиануудуудын урт нь 5, 12, 13 байв. Гурвалжны талбайг ол.

A. $5$     B. $20$     C. $30$     D. $40$     E. $50$    
$ABC$ гурвалжны $AA_1$ биссектрисс, $CC_1$ медиантай $O$ цэгт огтлолцож, $AC=8$, $AB=10$ бол $\dfrac{C_1O}{CC_1}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}$ байна. Мөн $BO$ шулууны $AC$ талтай огтлолцох цэгийг $B_1$ гэвэл $\dfrac{B_1O}{OB}=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ болох бөгөөд $BA_1={5}$ үед $AA_1={\fbox{е}}\sqrt{15}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=2$, $AC=3$, $BC=4$ ба $AM_1$ медианы үргэлжлэл уг гурвалжныг багтаасан тойргийг $A_1$ цэгт огтолдог гэе. $M_1A_1=\dfrac{\sqrt{2}\fbox{a}}{\sqrt{\fbox{b}}}$ ба $A_1BC$ гурвалжны периметр нь $\fbox{c}+2\sqrt{\fbox{de}}$ байна. Мөн $A_1BC$ гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{f}\sqrt{\fbox{gh}}}{\fbox{i}}$ болно.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=4$, $AC=5$, $BC=6$ ба $AM$ медианы үргэлжлэл уг гурвалжныг багтаасан тойргийг $A_1$ цэгт огтолдог гэе. $MA_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\sqrt{46}$ ба $A_1C$ талын урт $\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{fg}}\sqrt{\fbox{46}}$ байна. Мөн $A_1BC$ гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{hij}}{46}\sqrt{7}$ болно.
Тэгш өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BC$ гипотенуз ба $AB$ катетад буулгасан медианы суурийг харгалзан $A_1$, $C_1$, тэдгээрийн огтлолыг $O$ гэе. $BC=3\sqrt{6}$, $AC=3\sqrt{2}$ бол $\cos\widehat{C_1CA}=\sqrt{\fbox{a}}/{\fbox{b}}$, $S_{OC_1A}+S_{OA_1C}={\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}}$, $OAC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\fbox{e}\sqrt{2}/s$ байна. Энд $s=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}$ юм.
$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $BC$ гипотенуз ба $AB$ катетад буулгасан медианы суурийг харгалзан $A_1$, $C_1$, тэдгээрийн огтлолыг $O$ гэе. $AB=8$, $BC=4\sqrt{6}$ бол $\cos\widehat{CC_1B}=-\sqrt{\fbox{a}}/{\fbox{b}}$, $S_{OA_1C_1}+S_{OAC}=\fbox{cd}\sqrt{2}/3$, $OA_1C_1$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\fbox{e}\sqrt{2}/s$ байна. Энд $s=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}$ юм.
$ABC$ гурвалжины $CC_1$, $AA_1$ медианууд харилцан перепендикуляр бөгөөд урт нь харгалзан $3$, $4$ байв. $AC$ талын урт $\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ ба $BH$ өндөр нь $\dfrac{\fbox{de}}{5}$ болно. $ABC$ гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэг $M$ бол $S_{A_1C_1M}=\fbox{f}$ байна.
$ABC$ гурвалжны $AA_1$, $CC_1$ медианууд харилцан перепендикуляр бөгөөд урт нь харгалзан $9$, $12$ байв. $AC$ талын урт ${\fbox{ab}}$ ба $BH$ өндөр нь $\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{e}}$, $S_{BA_1C_1}=\fbox{fg}$ байна.
$ABC$ гурвалжны хувьд $\sin^2 \alpha +\sin^2 \beta =\sin^2 \gamma$ нөхцөл биелдэг бол $\gamma =\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ байна. $AB=2\sqrt{3}$ үед $CM$ медианы урт $\sqrt{\fbox{b}}$ болно. $AB=2\sqrt{3}$ талтай, эсрэг оройн өнцөг нь тогтмол $\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ байх бүх гурвалжнууд дотроос хамгийн их талбайтай гурвалжны периметр $(\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}+2\sqrt{3})$ байна.

Гурвалжны өндөр

Гурвалжны өндөр нь $12$ см, суурь нь $14$ см, хоёр хажуу талын нийлбэр нь $28$ см бол хоёр хажуу талыг нь ол.
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $B$ оройг дайрсан шүргэгч шулуунаас $A, C$ цэгүүд хүртэлх зайнууд харгалзан $4$ см ба $9$ см. $B$ оройгоос татсан өндрийн уртыг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BM$, $CN$ медианууд ба $AH$ өндрийн урт нь харгалзан $4$, $5$, $6$. Гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны суурь нь $6$. Хажуу талууд руу буулгасан өндрүүд нь харгалзан $2$ ба $2\sqrt{3}$. Гурвалжны хажуу талуудыг ол.
$BD$ нь $ABC$ гурвалжны өндөр, $E$ нь $BC$ талын дундаж байг. Хэрэв $AB=30$ см, $BC=26$ см, $AC=28$ см бол $BDE$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
$ABC$ гурвалжны $B$ оройгоос $BD$ өндөр, $BL$ биссектрис татав. Хэрэв $ABC$ гурвалжны $AB=6.5$, $BC=7.5$, $AC=7$ бол $BLD$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $BC$, $AC$, $AB$ талуудын урт нь харгалзан $41$, $51$, $58$. Гурвалжны талбайг ба $B$ оройгоос буулгасан өндрийг ол.
Гурвалжны $2$ тал нь $27$, $29$. Гурав дахь талд буулгасан медианы урт $26$. $27$ урттай талд буулгасан өндрийн уртыг ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ өндөр $BC$ талаас $4$ см-ээр бага, $AC$ талын урт $5$ см. Хэрвээ гурвалжны талбай нь $16$ см.кв бол түүний периметрийг ол.
$ABC$ гурвалжинд $AE, CD$ өндрүүд татав. Хэрэв $BD=18$, $BC=30$, $AE=20$ бол $AB$-г ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $CC_1, AA_1$ өндрүүд татав. Хэрэв $AC=1$, $\angle C_1CA_1=\alpha$. $C_1BA_1$ гурвалжныг багтаасан тойргийн талбайг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $CH, AH_{1}$ өндрүүд татав. $AC=2$ ба $HBH_{1}$ гурвалжныг багтаасан тойргийн талбай нь $\pi/3$. $CH$ өндөр ба $BC$ талуудын хоорондох өнцгийг ол.
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг дайруулан $AC$, $BC$ талуудад перпендикуляр шулуун татав. Уг шулуунууд нь $CH$ өндрийг эсвэл үргэлжлэлийг $P$ ба $Q$ цэгүүдээр огтолно. $CP=p$, $CQ=q$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
$ABC$ гурвалжны мохоо өнцөгтэй $A$ оройгоос $AD$ өндөр татав. $D$ цэгт төвтэй $AD$ радиустай тойрог нь $AB$ болон $AC$ талуудыг харгалзан $M$, $N$ цэгүүдээр огтолсон ба $AB=c$, $AM=n$, $AN=m$ бол $AC$ талын уртыг ол.
$ABC$ гурвалжны $C$ өнцөг нь мохоо ба $D$ цэг нь $B$-г дайрсан $AB$-д пердиндикуляр шулуун ба $C$-г дайрсан $AC$-д перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол, $ADC$ гурвалжны $C$ оройгоос $AB$ тал руу буулгасан өндрийн суурь $M$ байв. Хэрэв $AM=a$, $MB=b$ бол $AC$-г ол.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=4\sqrt{7}, AC=5\sqrt {7}, BC=6\sqrt {7}$. $B$ оройгоос $ABC$ гурвалжны ортоцентр хүртэлх зайг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $BC$ хажуу руу буулгасан $AD$ өндөр нь $ABC$-г $ABD$, $ADC$ гурвалжнуудад хуваах ба талбайнууд нь харгалзан $4\text{ см}^2$, $2\text{ см}^2$ ба $AC$ нь суурь бол гурвалжны талуудын уртыг ол.
$2a$ суурьтай, $h$ өндөртэй адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Багтсан тойргийг шүргүүлэн суурьтай нь параллель шулуун татжээ. Тойргийн радиус ба шүргэгч шулууны талуудын хооронд үүсэх хэрчмийн уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцөг нь $\alpha $. Суурьт буулгасан өндрийн хэмжээ нь багтсан тойргийн радиусаас $m$-ээр их бол багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Суурь нь $30$ см, суурьт буулгасан өндөр нь $20$ см-тай тэнцүү байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Хажуу тал руу буулгасан өндрийн уртыг ол.
Өндөр нь $8$, суурийг хажуу талд харьцуулсан харьцаа нь $6:5$ байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Багтсан тойргийн радиусыг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны суурийн $B$, $C$ оройнууд ба $A$ оройгоос буулгасан өндрийн дундаж $M$-ийг дайруулан 2 шулуун татав. Уг шулуунууд нь $AC$, $AB$ талуудыг харгалзан $D, E$ цэгүүдээр огтолно. Хэрэв $ABC$ гурвалжны талбай $93$ бол $AEMD$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
Өндрүүдийн огтлолцлын цэг нь нь суурьт буулгасан өндрийг таллан хуваах адил хажуут гурвалжны өнцгүүдийг ол.
Суурь нь $a$, хажуу тал нь $b$ байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Хажуу тал руу буулгасан өндрийн уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжинд $r$ радиустай тойрог багтав. Багтсан тойрог нь суурьт буулгасан өндрийг оройг талаас $1:2$ харьцаатай хэсгүүдэд хуваана. Гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ адил хажуут гурвалжин өгөгдсөн ба $AB=BC=10$, $AC=\sqrt {80}$. $B, C$ оройнуудыг дайрсан $CD$ өндөр дээр төвтэй тойргийн радиусыг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AD$ өндрийн суурь $D$ нь $BC$ талыг $BD:DC=\sqrt {2}:(2-\sqrt {2})$ харьцаанд хуваана. Гурвалжны өнцгүүдийг ол.
Суурь нь $30$, хажуу талд буулгасан өндөр нь $24$ байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Хажуу талын уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурьт буулгасан өндөр нь $5$, хажуу талд буулгасан өндөр нь $6$ бол гурвалжны талбайг ол.
Хэрэв суурьт буулгасан өндөр нь $10$, хажуу талд буулгасан өндөр нь $12$ бол адил хажуут гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурьд буулгасан өндөр, хажуу талд буулгасан өндрүүд харгалзан $m, n$. Гурвалжны талуудыг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AC$ суурийн урт $6$ см, суурьт буулгасан өндөр $4$ см. $CD$ нь уг гурвалжны өндөр бол $CDB$ гурвалжны периметрийг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурийн $B, C$ оройнуудыг $A$ оройгоос $BC$ талд буулгасан өндрийн дундаж цэг $M$-тэй хэрчмээр холбов. $BM, CM$ хэрчмийн үргэлжлэлүүд $AC, AB$ талуудыг харгалзан $D, E$ цэгүүдээр огтлов. Хэрэв $AEMD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $16$ бол $BMA$ гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурьт буулгасан өндөр $10$ см, хажуу талуудад буулгасан өндөр $12$ см бол талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны талбай $S$, суурийн эсрэг оройн өнцөг $\alpha$ бол суурьт буулгасан өндрийн уртыг ол.
$r$ радиустай тойрогт суурь ба суурьт буулгасан өндрийнх нь нийлбэр тойргийн диаметртэй тэнцүү байх адил хажуут гурвалжин багтаав. Суурьт буулгасан өндрийг ол.
$CE$ нь адил хажуут $ABC$ ($AC=CB$) гурвалжны өндөр. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $O$ нь $CE$ хэрчмийг $CO=13$, $OE=5$ байх хэрчмүүдэд хуваах бол гурвалжны талуудыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурь ба түүнд буулгасан өндөр $4$. Багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Адил хажуут гурвалжны хажуу талын урт $5$, суурьт буулгасан өндрийн урт $4$ бол суурийн уртыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын харьцаа $3:2$. Тэгш өнцөгөөс татсан өндөр гипотенузыг нэг нь нөгөөгөөсөө $2$ см урт хоёр хэсэгт хуваасан бол гипотенузыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр $10$. Түүний гипотенузд татсан өндөр нь уг гурвалжныг нэгнийх нь периметр $6$ байх хоёр гурвалжинд хуваав. Нөгөө гурвалжных нь периметрийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь $5$ см, харин түүнд татсан өндөр $2$ см бол багтсан ба багтаасан тойргийн радиусийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийг медианд нь харьцуулсан харьцаа $2:3$. Гурвалжны хурц өнгүүдийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос буулгасан өндөр гипотенузыг $6$ ба $18$ урттай хэсгүүдэд хуваах бол түүний катетуудыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос буулгасан өндөр нь гипотенузыг $9$ ба $16$ урттай хэсгүүдэд хуваасан бол уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд нь $15$ ба $20$. Багтсан тойргийн төвөөс тэгш өнцгөөс татсан өндөр хүртэлх зайг ол.
$ABC$ гурвалжны $ACB$ тэгш өнцгөөс $CD$ биссектрис, $DM$, $DN$ нь харгалзан $ADC$ ба $BDC$ гурвалжнуудын өндрүүд байв. Хэрэв $AM=4$, $BN=9$ бол $AC$-г ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос өндөр ба медиан татав. Хэрэв өндрийг медианд харьцуулсан харьцаа $12/13$ бол гурвалжны их катетыг бага катетад харьцуулсан харьцааг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь $125$ см, бага катет нь $75$ cм байв. Тэгш өнцөгийн оройгоос татсан өндрийн суурь гипотенузыг 2 хэрчимд хуваах ба түүний бага хэрчмээр нь диаметрээ хийсэн тойрог татав. Уг тойргийн өгөгдсөн гурвалжны катетаас таслах хэсгийн уртыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр гипотенузыг $25,6$ ба $14,4$ урттай хэсгүүдэд хуваах бол уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол.
$ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтолцлолын цэгийг $M$ гэе. Хэрэв $M'$ цэг нь $M$ цэгтэй гурвалжны ямар нэг талын хувьд тэгш хэмтэй цэг бол $ABC$ гурвалжны багтаасан тойрог дээр байхыг батал.
Гурвалжны нэг оройгоос татсан медиан ба өндөр нь оройн өнцөгөө $3$ тэнцүү хэсэгт хуваах ба медиан нь 10 см урттай бол гурвалжны талуудыг ол.
$ABC$ гурвалжны $h_a, h_b, h_c$ өндрүүд мэдэгдэж байв. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусийг ол.
$M$ ба $N$ цэгүүд $ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр $B$ өндрөөс 2 ба 6 гэсэн зайд байв. $M$ ба $N$ цэгүүдийг дайрч, $AB$ шулууныг шүргэх тойргийн радиусыг ол. $\angle BAC=30^\circ$.
$AB=14, AC=15, BC=13$ талуудтай $ABC$ гурвалжны $CH$ өндөрийн суурийг дайруулан $AC$ ба $BC$-тэй параллель шулуун татав. Эдгээр нь $BC$ ба $AC$ талуудыг харгалзан $M$ ба $N$ цэгүүдээр огтолно. $MN$ шулуун нь $AB$ талын үргэлжлэлийг $D$ цэгт огтолно. $BD$ хэрчмийн уртыг ол.
$BMC$ ба $ANC$ өнцгүүд тэгш байхаар хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $AD$ өндөр дээр $M$ цэг, $BP$ өндөр дээр $N$ цэг тус тус авав. $M$ ба $N$ цэгүүдийн хоорондох зай $4+2\sqrt3$ ба $\angle MCN=30^\circ$ байв. $CMN$ гурвалжны $CL$ биссектрисийн уртыг ол.
Хурц өнцөгт гурвалжны өндөрүүдийн суурийг холбож байгаа хэрчмүүдийн урт $5, 12, 13$. Гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $1$ ба түүний өндрүүд бүхэл тоо бол түүний өнцгүүдийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос буулгасан өндөр ба биссектрисийн уртууд харгалзан $3$ ба $4$. Гурвалжны талбайг ол.
Дурын $ABC$ гурвалжны хувьд $h_a=2p\dfrac{\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}}{\cos\dfrac{A}{2}}$ болохыг батал. $h_a$ --- $A$ оройгоос татсан өндөр, $2p$ --- гурвалжны периметр.
$ABC$ гурвалжны $\angle A=\dfrac{\pi}{3}$, $\angle B=\dfrac{\pi}{4}$. $ABC$ гурвалжны өндөрүүдийн үргэлжилэл багтаасан тойргийг $M$, $N$ ба $P$ цэгүүдээр огтолно. $ABC$ ба $MNP$ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $AD$ өндөр, $BE$ медиан, $CF$ биссектрис гурав $O$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $OE=2OC$ бол $C$ өнцгийг ол.
$ABC$ гурвалжны $AB$ талын урт $3$, $CD$ өндөрийн урт $3$. Хэрэв $AD$ хэрчмийн урт $BC$ хэрчмийн урттай тэнцүү бол $AC$ талын уртыг ол.
$ABC$ гурвалжны $C$ оройгоос татсан медиан, биссектрис ба өндөр нь харгалзан 6, 5 ба 2 гэсэн урттай. $AB$ талын уртыг ол.
$ABC$ гурвалжны хувьд $BC=2$, $\angle BAC=60^\circ$, $\angle ABC=45^\circ$ ба орто төв нь $H$ бол $BH$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $2$     B. $2\sqrt2$     C. $\dfrac{\sqrt6}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     E. $2\sqrt{6}:3$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $AC=4$, $\angle BAC=45{}^\circ ,\; \angle ABC=60{}^\circ $ ба орто төв нь $H$ бол $AH$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $\sqrt{6} $     B. $8\sqrt{2} $     C. $\dfrac{4\sqrt{6} }{3} $     D. $\sqrt{2} $     E. $\dfrac{2\sqrt{2} }{\sqrt{3} } $    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2\sqrt{3}$ ба өндрүүдийн сууриар үүсгэгдэх гурвалжны периметр 9 бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

A. $18\sqrt{3}$     B. $9\sqrt{3}$     C. $36\sqrt{3}$     D. $18$     E. $36$    
$ABC$ гурвалжны орто төв нь $H$. $\measuredangle ACB=105^\circ$, $\measuredangle ABC= 30^\circ$ ба $AH=8\sqrt2$ бол $AC$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $4\sqrt2$     B. $4\sqrt3$     C. $7$     D. $5\sqrt2$     E. $8$    
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=4$, $AC=7$, $BC=5$ байв. $CD$ өндрийн уртыг ол.

A. $3$     B. $3\sqrt{3}$     C. $2\sqrt{3}$     D. $2\sqrt{6}$     E. $4$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын урт нь 10, 24. Гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийн уртыг ол.

A. $9\dfrac{3}{13}$     B. $9$     C. $10\dfrac{3}{13}$     D. $9\dfrac{5}{13}$     E. $10$    
Гурвалжны дотор орших цэгээс талууд хүртэлх зайг, тэр талд буусан өндөрт харьцуулсан харьцааны нийлбэр хэд байх вэ?

A. $1$     B. $\dfrac13$     C. $\dfrac23$     D. $\dfrac12$     E. гурвалжны хэлбэрээс хамаарна    
Гурвалжны гурван өндрийн урвуу хэмжигдэхүүний нийлбэр ямар байх вэ? $r$, $R$ нь харгалзан багтсан ба багтаасан тойргийн радиус

A. $\dfrac1r$     B. $\dfrac1R$     C. $\dfrac{R}{r^2}$     D. $\dfrac{r^2}{R}$     E. Аль нь ч биш    
$ABC$ гурвалжны $BC,AC$ талуудад буулгасан өндөр харгалзан $AH_1,BH_2$ бөгөөд $BC=16$, $CA=12$, $BH_2-AH_1=2$ бол эдгээр өндрийн урт хэд байх вэ?

A. 3, 5     B. 8, 10     C. 6, 8     D. 5, 7     E. 7, 9    
$ABC$ гурвалжны $AH_1,BH_2$ өндрүүд $H$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв $\measuredangle H_1HB=30^\circ$, $AH_1=3\sqrt3$, $BH_1=4$, $\measuredangle B>\measuredangle A$ бол $BC$, $AC$ хоёр талын урт хэд хэд байх вэ?

A. $6\sqrt3, 5$     B. $8, 10\sqrt3$     C. $6\sqrt3, 8$     D. $9, 13$    
Катетууд нь $3:7$ гэж харьцдаг тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузэд буулгасан өндөр 42 см бол түүний сууриар гипотенузийн хуваагдсан хэсгүүдийн урт хэд вэ?

A. 16, 100     B. 18, 98     C. 20, 96     D. 22, 94     E. 26, 90    
$ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцол (ортотөв) $H$, багтаасан тойргийн радиус $R$, $CH=R$ байсан бол $\measuredangle BCA$ ямар хэмжээтэй байх вэ?

A. $30^\circ$     B. $75^\circ$     C. $45^\circ$     D. $60^\circ$     E. $90^\circ$    
Гипотенуз нь 5, түүнд буусан өндөр 2.4 нэгж бол тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус аль нь вэ?

A. $\dfrac52$     B. $2$     C. $\dfrac32$     D. $1$     E. $\dfrac12$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 3, гипотенузэд буусан өндөр 8 нэгж бол гипотенузийн урт аль нь вэ?

A. $8$     B. $4$     C. $9$     D. $5$     E. Ийм гурвалжин олдохгүй    
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $BC$, $CA$, $AB$ талыг харгалзан $A_1$, $B_1$, $C_1$ цэгт шүргэжээ. Хэрэв $A$ оройгоос өндрүүдийн огтлолцол хүртэлх зай багтаасан тойргийн радиустай тэнцүү бол $\begin{array}{c} [-7mm]\smile [-2mm] C_1A_1B_1\end{array}$ ямар байх вэ?

A. $220^\circ$     B. $240^\circ$     C. $230^\circ$     D. $210^\circ$    
$ABC$ гурвалжны $AH_1$, $BH_2$ өндрүүд $H$ цэгт огтлолцсон бол $AH:HH_1$ харьцаа аль нь вэ? үүнд: $\measuredangle BAC=\alpha$, $\measuredangle CBA=\beta$, $\measuredangle ACB=\gamma$ байсан гэж бод.

A. $\dfrac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}$     B. $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}$     C. $\dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}$     D. $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}$     E. $1$    
$ABC$ гурвалжны $AH_1$, $BH_2$ өндрүүд $H$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв дотоод өнцгүүд нь $\alpha,\beta,\gamma$, багтаасан тойргийн радиус $R$ бол $AH\cdot HH_1$ аль нь вэ?

A. $4R^2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$     B. $3R^2\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma$     C. $2R^2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$     D. $R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$    
$R$ радиустай тойрогт багтсан $ABC$ гурвалжны $AH_1$ өндрийн үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв орто төв нь $H$, $\measuredangle ABC=\beta$, $\measuredangle BCA=\gamma$ бол $HD$-ийн урт аль вэ?

A. $4R\cos\beta\cos\gamma$     B. $4R\sin\beta\sin\gamma$     C. $3R\sin\beta\sin\gamma$     D. $3R\cos\beta\cos\gamma$    
Хэрэв $m,n$ урттай перпендикуляр хоёр медиантай гурвалжны нэг тал $a$ урттай бол энэ талын өндрийн урт аль нь вэ?

A. $\dfrac{mn}{2a}$     B. $\dfrac{4mn}{3a}$     C. $\dfrac{3mn}{4a}$     D. $\dfrac{m^2+n^2}{2a}$     E. $\dfrac{m^2+n^2}{4a}$    
$ABC$ гурвалжны $B$, $C$ хоёр оройгоос татсан медианы урт $6$ ба $4.5$, $BC=5$ бол энэ талд буусан өндрийн урт аль нь вэ?

A. $5$     B. $4.5$     C. $7.2$     D. $6$     E. $6.5$    
$ABC$ гурвалжны $BC$ талын медианы үргэлжлэл багтаасан тойрогтой $D$ цэгт огтлолцсон. Хэрэв медиануудын огтлолцол $M$, $S_{ABC}:S_{DBC}=3:5$ бол $MBC$, $DBC$ хоёр гурвалжны $M,D$ оройгоос татсан өндрүүдийн харьцаа ямар байх вэ?

A. $3:8$     B. $1:5$     C. $2:5$     D. $1:3$    
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $A,B$ оройгоос буулгасан өндрийн суурь $H_1$, $H_2$ байжээ. Хэрэв $\measuredangle ACB=\arccos\frac13$ бол $S_{ABH_1H_2}:S$ аль нь вэ?

A. $8:9$     B. 6:7     C. 5:9     D. 4:5    
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны өндрүүдийн суурь $H_1$, $H_2$, $H_3$, дотоод өнцгүүд нь $\alpha,\beta,\gamma$ бол $S_{H_1H_2H_3}:S_{ABC}$ аль нь вэ?

A. $1:2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$     B. $2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$     C. $1:(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)$     D. $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 4, гипотенузэд буусан өндөр 9 бол багтаасан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $12$     B. $14$     C. $16$     D. $18$     E. $20$    
Тэгш өнцөгт $ABC$, $\measuredangle C=90^\circ$ гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр $h$, $\measuredangle A=\alpha$, өндрийн суурь $H$ бол $AH=?$

A. $\dfrac{h}{\cos\alpha}$     B. $h\cdot\ctg\alpha$     C. $h\cdot\tg\alpha$     D. $\dfrac{h}{\sin\alpha}$     E. $\dfrac{2h}{\sin2\alpha}$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $AC=8$, $\angle ACB=105^\circ$, $\angle ABC=30^\circ$ ба орто төв $H$ бол $AH$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $2\sqrt6$     B. $2\sqrt2$     C. $8\sqrt2$     D. $8$     E. $\dfrac{8\sqrt6}{3}$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $\measuredangle BAC=\alpha$ ба багтаасан тойргийн радиус нь $R$ бол $A$ оройгоос гурвалжны ортоцентр $H$ хүртэлх зай аль нь вэ?

A. $R\cos\alpha$     B. $R\sin\alpha$     C. $R\sin2\alpha$     D. $2R\sin\alpha$     E. $2R\cos\alpha$    
$ABC$ гурвалжны $A$ ба $C$ оройн өндрүүд $H$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $4$ нэгж ба $\sin\angle BAH=\dfrac25$ бол $|BH|=?$

A. $3\dfrac56$     B. $3\dfrac15$     C. $3\dfrac78$     D. $3$     E. $3\dfrac13$    
$ABC$ адил хажуут гурвалжны $AB=AC=13$, $BC=10$ байв. $BD$ өндрийн уртыг ол.

A. $4$     B. $4\sqrt2$     C. $\dfrac{17}{2}$     D. $8$     E. $9\dfrac{3}{13}$    
$\triangle ABC$-ийн хувьд $\angle A=30^\circ$, $\angle B=65^\circ$ байв. $H$ нь $ABC$ гурвалжны ортоцентр бол $\angle AHB$ өнцөг аль нь вэ?

A. $35^\circ$     B. $75^\circ$     C. $85^\circ$     D. $95^\circ$     E. $105^\circ$    
Гурвалжны өндрүүд 12, 15, 20 нэгж урттай бол талбайг ол.

A. $110$     B. $120$     C. $130$     D. $140$     E. $150$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $AB=2$, $\angle BAC=45^\circ$, $\angle ABC=75^\circ$ ба орто төв нь $H$ бол $AH$ хэрчмийн уртыг ол.

A. $\dfrac{2\sqrt6}{3}$     B. $\dfrac{\sqrt6}{2}$     C. $2\sqrt2$     D. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     E. $\sqrt3$    
$\triangle ABC$-ны $\angle A=60^\circ, |AB|=1, |AC|=2$ бол $A$ оройгоос буулгасан өндөр $AA_1$-ийн уртыг ол.

A. $\frac1{\sqrt2}$     B. $1$     C. $\sqrt2$     D. $\sqrt3$     E. $2$    
Адил хажуут гурвалжны хажуу талууд нь $24$ см. Гурвалжны өндөр ямар байхад талбай хамгийн их байх вэ?

A. $12$ см     B. $12\sqrt{2}$ см     C. $12\sqrt{3}$ см     D. $8\sqrt{3}$ см     E. $6\sqrt{3}$ см    
$\triangle ABC$-ны $\angle A=30^\circ, |AB|=\sqrt3, |AC|=2$ бол $A$ оройгоос буулгасан өндөр $AA_1$-ийн уртыг ол.

A. $\frac1{\sqrt2}$     B. $1$     C. $\sqrt2$     D. $\sqrt3$     E. $2$    
$AB=BC$ байх адил хажуут гурвалжны $BC$ тал дээр $BD:DC=1:4$ байх $D$ цэг авав. Гурвалжны $BE$ өндөр $AD$ шулуунаар ямар харьцаанд хуваагдах вэ?

A. $1:4$     B. $2:3$     C. $2:1$     D. $1:2$     E. $3:2$    
$ABC$ хурц өнцөгт гурвалжны $BD$, $AE$ өндрүүд харгалзан $3.2$ см, $4$ см урттай бөгөөд $\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac13$ бол $AC=?$

A. $5$     B. $4$     C. $3$     D. $4.5$     E. $6$    
$ABC$ хурц өнцөгт гурвалжны $BD$, $AE$ өндрүүд харгалзан $7\dfrac5{13}$см, $12$см урттай бөгөөд $\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac35$ бол $AC=?$

A. $13$     B. $14$     C. $15$     D. $16$     E. $18$    
$ABC$ хурц өнцөгт гурвалжны $BD$, $AE$ өндрүүд харгалзан $11.2$см, $12$см урттай бөгөөд $\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac59$ бол $AC=?$

A. $13$     B. $14$     C. $15$     D. $16$     E. $18$    
Тэгш өнцөгт $ABC$, $\measuredangle C=90^\circ$ гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр $h$, $\measuredangle A=\alpha$, өндрийн суурь $H$ бол $BH=?$

A. $\dfrac{h}{\cos\alpha}$     B. $h\cdot\ctg\alpha$     C. $h\cdot\tg\alpha$     D. $\dfrac{h}{\sin\alpha}$     E. $\dfrac{2h}{\sin2\alpha}$    
$ABC$ хурц өнцөгт гурвалжны $BD$, $AE$ өндрүүд харгалзан $9\dfrac{12}{17}$см, $15$см урттай бөгөөд $\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac38$ бол $AC=?$

A. $13$     B. $14$     C. $15$     D. $16$     E. $17$    
$ABC$ хурц өнцөгт гурвалжны $BD$, $AE$ өндрүүд харгалзан $11.2$см, $12$см урттай бөгөөд $\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac59$ бол $AC=?$

A. $13$     B. $14$     C. $15$     D. $16$     E. $18$    
$ABC$ гурвалжны $AH_1$, $BH_2$ өндрүүд $H$ цэгт огтлолцсон ба $\measuredangle BAC=60^\circ$, $\measuredangle CBA=40^\circ$, $\measuredangle ACB=80^\circ$ бол $BH:HH_2$ харьцаа аль нь вэ?

A. $\dfrac{2\cos40^\circ}{\cos80^\circ}$     B. $\dfrac{\cos40^\circ}{2\cos80^\circ}$     C. $\dfrac{2}{2\cos80^\circ-1}$     D. $\dfrac{2}{2\sin80^\circ+1}$     E. $2.5$    
Гурвалжны 2 өндрийн нэг нь огтлолцлын цэгээрээ оройгоос тооцоход 8 см ба 3 см урттай хэсгүүдэд хуваагдсан байв. Хоёр дахь өндрийн огтлолцлын цэгээс суурь хүртэлх зай 2 см байсан 2 дахь өндрийн уртыг нь ол.

A. 11 см     B. 12 см     C. 13 см     D. 14 см     E. 15 см    
Гурвалжны 2 өндрийн нэг нь огтлолцлын цэгээрээ оройгоос тооцоход 4 см ба 3 см урттай хэсгүүдэд хуваагдсан байв. Хоёр дахь өндрийн оройгоос огтлолцлын цэг хүртэлх зай 6 см байсан бол үлдсэн хэсгийн уртыг нь ол.

A. 1 см     B. 2 см     C. 3 см     D. 4 см     E. 5 см    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын урт нь 10, 24. Гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийн уртыг ол.

A. $9\dfrac{3}{13}$     B. $9$     C. $10\dfrac{3}{13}$     D. $9\dfrac{5}{13}$     E. $10$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын урт нь 5, 12. Гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийн уртыг ол.

A. $9\dfrac{3}{13}$     B. $4.5$     C. $5\dfrac{3}{13}$     D. $4\dfrac{5}{13}$     E. $4\dfrac{8}{13}$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 8, гипотенузэд буусан өндөр 18 бол багтаасан тойргийн радиус хэд вэ?

A. $24$     B. $28$     C. $32$     D. $36$     E. $40$    
Катетууд нь $1:2$ гэж харьцдаг тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузэд буулгасан өндөр 38 см бол түүний сууриар гипотенузийн хуваагдсан хэсгүүдийн урт хэд вэ?

A. 16, 79     B. 18, 77     C. 20, 75     D. 19, 76     E. 26, 69    
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=12$, $BC=5$, $AC=13$ ба $AB$ тал дээр ${AC_1}\colon {BC_1}={1}\colon{2}$ байх $C_1$ цэг тэмдэглэв. $BC$ талын дундаж нь $A_1$, $BB_1$ нь $AC$ тал дээр буулгасан өндөр бол $BB_1=\dfrac{\fbox{ab}}{13},$ $S_{AC_1B_1}=\dfrac{\fbox{cdef}}{13^2}$, $S_{CA_1B_1}=\dfrac{\fbox{ghi}}{13^2}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=12$, $BC=9$, $AC=15$ ба $AB$ тал дээр ${AC_1}\colon {BC_1}={2}$ байх $C_1$ цэг, $BC$ тал дээр $BA_1\colon A_1C=1\colon 2$ байх $A_1$ цэгийг тус тус тэмдэглэв. $BB_1$ нь өндөр бол $BB_1=\dfrac{\fbox{ab}}{5},$ $S_{CA_1B_1}=\dfrac{\fbox{cde}}{5^2}$, $S_{BB_1C_1}=\dfrac{\fbox{fgh}}{5^2}$ байна.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны талууд $AB=2\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{5}$ ба $\measuredangle BAC=45^{\circ}$ байв. $AC=\fbox{a}$ болох ба $B$ оройн өндрийн суурь $H$ цэгээс $AB$, $BC$ талууд руу $HD$, $HE$ перепендикулярууд буулгасан бол $DE^{2}=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}}$, $S_{DEH}=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$ болно.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=\sqrt{6}$, $BC=\sqrt{7}$ ба $\measuredangle BAC=45^{\circ}$ байв. $AC=\sqrt{\fbox{a}}+\sqrt{2}$ болох ба $B$ оройн өндрийн суурь $H$ цэгээс $AB$, $BC$ талууд руу $HD$, $HE$ перепендикулярууд буулгасан бол $DE^{2}=\dfrac{\fbox{bc}+8\sqrt{\fbox{d}}}{14}$, $S_{BDHE}=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}+\dfrac{\fbox{g}\sqrt{2}}{7}$ болно.
$ABC$ гурвалжны өнцгүүд $\measuredangle A=30^{\circ}$, $\measuredangle B=120^{\circ}$ ба $AB=10$ бол $C$ оройгоос буулгасан өндөр $h_{C}=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$, $B$ оройн өндөр $h_{B}=\fbox{c}$ болно. $H$ нь $ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцлын цэг бол $H$ цэгээс $AC$ тал хүртэлх зай $\sqrt{\fbox{de}}$ байна.
$ABC$ гурвалжны өнцгүүд $\alpha =30^{\circ}$, $\beta =12^{\circ}$ ба $BC=6$ бол $h_A=\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}$, $h_B=\fbox{c},$ $h_C=\dfrac 35\sqrt{\fbox{de}}$.
$ABC$ гурвалжины $CC_1$, $AA_1$ медианууд харилцан перепендикуляр бөгөөд урт нь харгалзан $3$, $4$ байв. $AC$ талын урт $\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{c}}$ ба $BH$ өндөр нь $\dfrac{\fbox{de}}{5}$ болно. $ABC$ гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэг $M$ бол $S_{A_1C_1M}=\fbox{f}$ байна.
$ABC$ гурвалжны $AA_1$, $CC_1$ медианууд харилцан перепендикуляр бөгөөд урт нь харгалзан $9$, $12$ байв. $AC$ талын урт ${\fbox{ab}}$ ба $BH$ өндөр нь $\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{e}}$, $S_{BA_1C_1}=\fbox{fg}$ байна.
$ABC$ гурвалжинд $H$ нь өндрүүдийн огтлолцлын цэг ба $AH=15$, $BH=9$, $\measuredangle AHB=120^{\circ}$ бол $AB={\fbox{ab}}$, $BC=\sqrt{3}\fbox{cd}$, $AC=\sqrt{3}\fbox{ef}$ болно. $C$ оройгоос татсан өндрийн урт $h_c=\dfrac{\fbox{ghi}}{14}\sqrt{3}$ байна.
$ABC$ гурвалжинд $H$ нь өндрүүдийн огтлолцлын цэг ба $AH=39$, $BH=33$, $\measuredangle AHB=60^{\circ}$ бол $AB={\fbox{ab}}\sqrt{3}$, $BC=\fbox{c}\sqrt{3}$, $AC=\fbox{de}\sqrt{3}$ болно. $C$ оройгоос татсан өндрийн урт $h_c=\dfrac{\fbox{fg}}{\fbox{hi}}\sqrt{3}$ байна.
Нуурын эрэг дээр газрын гадаргаас 8 м өндөрт байрлах ажиглах цэгээс эсрэг эрэг дээр буй шонгийн орой газрын гадаргатай $30^{\circ}$ өнцөг үүсгэн харагдаж байв. Ажиглах цэгээс нуурын мандал руу $45^\circ$ өнцгөөр тусгасан цацраг шонгийн оройг дайрч байсан бол шонгийн өндөр $\fbox{ab}+\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$ м болох тул шон ажиглах цэгээс $\fbox{ef} +\fbox{g}\sqrt{\fbox{h}}$ м зайтай байна.
Нуурын эрэг дээр газрын гадаргаас 9 м өндөрт байрлах ажиглах цэгээс эсрэг эрэг дээр буй шонгийн орой газрын гадаргатай $30^{\circ}$ өнцөг үүсгэн харагдаж байв. Ажиглах цэгээс нуурын мандал руу $45^\circ$ өнцгөөр тусгасан цацраг шонгийн оройг дайрч байсан бол шонгийн өндөр $\fbox{ab}+\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$ м болох тул шон ажиглах цэгээс $\fbox{ef} +\fbox{g}\sqrt{\fbox{h}}$ м зайтай байна.
Бат 1.6 м-ийн өндөртэй ба түүнд модны орой газрын гадаргатай $30^\circ$-ийн өнцөг үүсгэн харагдаж байв. Мод руу чиглэж 8 м явсны дараа модны орой газрын гадаргатай $45^\circ$-ийн өнцөг үүсгэн харагдаж байсан бол модны өндөр $\fbox{a} . \fbox{b}+\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$ м ба анх Бат модноос $\fbox{ef} +\fbox{g}\sqrt{\fbox{h}}$ м зайтай байжээ.
Дорж 1,7 м өндөртэй ба түүнд модны орой газрын гадаргатай $30^\circ$-ийн өнцөг үүсгэн харагдаж байв. Тэрээр мод руу чиглэн 10 м явсны дараа модны орой газрын гадаргатай $45^\circ$-ийн өнцөг үүсгэн харагдаж байсан бол анх Дорж модноос $\fbox{ab} +\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}$ м зайтай байсан ба модны өндөр $\fbox{e}. \fbox{f} +\fbox{g}\sqrt{\fbox{h}}$ м байжээ.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз дээрх катетуудын проекц 25, 144 бол тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр $\fbox{ab}$ болно. Богино катет нь $\fbox{cd}$, урт катет нь $\fbox{efg}$ болох бөгөөд уг гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $r=\fbox{hi}$ байна.

Гурвалжны талбай

Гурвалжны $2$ тал нь харгалзан $6$ см ба $8$ см байв. Уг $2$ талд татсан медианууд нь хоорондоо перпендикуляр бол гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны суурийн урт $26$ см, хажуу талуудад буулгасан медианууд нь харгалзан $30$ ба $39$ см бол гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны медианууд нь $3$ см, $4$ см, $5$ см урттай. Гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны хоёр тал $35$ см, $14$ см урттай ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн биссектрисийн урт $12$ см бол уг гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны нэг талын урт $20$ см ба энэ талын эсрэг орших оройг дайрсан багтаасан тойргийн шүргэгч шулуунаас уг талын үзүүрүүд хүртэлх зайнууд нь $25$ см, $16$ см бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AM$ медиан нь $BN$ медиантай перпендикуляр. Хэрэв $AM=3$, $BN=4$ бол гурвалжны талбайг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BM$, $CN$ медианууд ба $AH$ өндрийн урт нь харгалзан $4$, $5$, $6$. Гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны $2$ талын урт нь $1$ ба $\sqrt {13}$. Гурав дахь талын медиан нь $2$ бол гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны суурийн урт $a$. Гурвалжны суурьтай параллель, талбайг нь хагаслан хуваах хэрчмийн уртыг ол.
Гурвалжны $2$ тал нь $1$ см ба $\sqrt{15}$ см. Гурав дахь талын медиан нь $2$ см бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $B$ оройгоос $BD$ өндөр, $BL$ биссектрис татав. Хэрэв $ABC$ гурвалжны $AB=6.5$, $BC=7.5$, $AC=7$ бол $BLD$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $A$ оройгоос $BC$ хэрчим дээр орших $D$ цэгийг дайруулан шулуун татсан ба $CD:BC=\alpha$, $\left(\alpha< \frac{1}{2}\right)$. $BC$ тал дээр $CD=DE$ байхаар $E$ цэгийг сонгож авав. Түүнээс $AC$ талтай параллелиар $AB$ талыг $F$ цэгээр огтлох шулуун татав. $ACEF$ трапец болон $ADC$ гурвалжны талбайн харьцааг ол.
Гурвалжны нэг талын урт $a$ ба уг талд налсан өнцгүүд нь $\alpha$, $\beta$ бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $BC$, $AC$, $AB$ талуудын урт нь харгалзан $41$, $51$, $58$. Гурвалжны талбайг ба $B$ оройгоос буулгасан өндрийг ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ өндөр $BC$ талаас $4$ см-ээр бага, $AC$ талын урт $5$ см. Хэрвээ гурвалжны талбай нь $16$ см.кв бол түүний периметрийг ол.
$ABC$ гурвалжины $AB$ тал дээр $M, N$ цэгүүд, $AC$ тал дээр $D, E$ цэгүүд нь $BC$ тал дээр $K$, $L$ цэгүүд $AM=MN=NB$, $BK=KL=LC$, $AD=DE=EC$ байхаар оршиж байв. Хэрэв $ABC$ гурвалжны талбай $S$ бол $ML$, $NK$, $BD$, $BE$ шулуунуудаар үүсэх дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
Гурвалжны талын урт $a$ түүнд налсан өнцгүүд $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$ бол гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны талын урт нь $15$ см ба түүнтэй параллель шулуун татахад үүсэх трапецийн талбай нь гурвалжны талбайн $75\%$ болсон бол уг шулууны гурвалжны талуудын хооронд үүсэх хэсгийн уртыг ол.
$ABC$ гурвалжин өгөгджээ. $AC$ диаметртэй тойрог нь $BC$-ийн дунджийг дайрах ба $AB$ талыг $AD=\frac13AB$ байхаар $D$ цэгээр отлоно. Хэрэв $AC=1$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$\angle B=30^\circ$, $AB=4$, $BC=6$ байх $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $B$ өнцгийн биссектрис нь $AC$ талыг $D$ цэгт огтлох бол $ABD$ гурвалжны талбайг ол.
$AC=5$, $AB=6$, $BC=7$ байх $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $C$ өнцгийн биссектрис нь $AB$ талыг $D$ цэгт огтлох бол $ADC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талуудыг $FA:FC=3:1$, $CN:NB=2:3$ харьцаагаар хуваах $F, N$ цэгүүдийг сонгож авав. $AN$ болон $BF$ шулуунууд $M$ цэгт огтлолцоно. $AMB$ болон $ANB$ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.
$AB=4$, $BC=2$, $AC=3$ талтай гурвалжинд тойрог багтав. Уг тойрог $AB$ болон $AC$ талуудыг харгалзан $M, N$ цэгүүдээр шүргэх бол $AMN$ гурвалжны талбайг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $CC_1, AA_1$ өндрүүд татав. Хэрэв $AC=1$, $\angle C_1CA_1=\alpha$. $C_1BA_1$ гурвалжныг багтаасан тойргийн талбайг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $CH, AH_{1}$ өндрүүд татав. $AC=2$ ба $HBH_{1}$ гурвалжныг багтаасан тойргийн талбай нь $\pi/3$. $CH$ өндөр ба $BC$ талуудын хоорондох өнцгийг ол.
$AB$ диаметртэй тойргийн гадна орших $M$ цэг нь $AB$ цэгтэй холбогджээ. $MA$ ба $MB$ хэрчмүүд нь тойргийг харгалзан $C$ ба $D$ цэгүүдээр огтлоно. $AMB$ гурвалжинд багтсан тойргийн талбай нь $CMD$ гурвалжинд багтсан тойргийн талбайгаас 4 дахин их. Хэрэв нэг өнцөг нь нөгөөгөөс 2 дахин их гэж үзвэл $AMB$ гурвалжны өнцгүүдийг ол.
$ABC$ гурвалжны хувьд $\angle BAC=\alpha$, $\angle BCA=\gamma$, $AB=c$. $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай нь $S$, $\angle BAC=\alpha$, $AC=b$ бол $BC$-г ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ медиан болон $BE$ биссектрисүүд харилцан перпедикуляр ба $F$ цэгт огтлолцоно. $DEF$ гурвалжны талбай нь $5$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай нь $12$. $B$ оройгоос $BD$ медианы урт $3$. Хэрэв $\angle ABD=90^\circ$ бол $AC$ талыг ол.
$AC$ диаметртэй тойрог $\triangle ABC$-ны $AB$ талыг $AD:DB=12:5$ байх $D$ цэгээр огтлоно. $AC=26$, $\angle ABC=45^\circ$ бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай нь $16$ см.кв. Хэрэв $AC=5$ см, $BC=8$ см, $C$ өнцөг нь мохоо бол $AB$ талыг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $BC$ хажуу руу буулгасан $AD$ өндөр нь $ABC$-г $ABD$, $ADC$ гурвалжнуудад хуваах ба талбайнууд нь харгалзан $4\text{ см}^2$, $2\text{ см}^2$ ба $AC$ нь суурь бол гурвалжны талуудын уртыг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AD$ биссектрис нь түүнийг $ABD$, $ACD$ гурвалжнуудад хуваах ба талбай нь харгалзан $4$ см.кв, $2$ см.кв. Хэрэв $AC$ нь суурь нь бол гурвалжны талуудыг ол.
Адил хажуут $ABC$ ($AB=BC$) гурвалжинд $AD$ биссектрис татав. $ABD$ болон $ADC$ гурвалжнуудын талбай харгалзан $S_1, S_2$. Суурийн уртыг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны суурийн $B$, $C$ оройнууд ба $A$ оройгоос буулгасан өндрийн дундаж $M$-ийг дайруулан 2 шулуун татав. Уг шулуунууд нь $AC$, $AB$ талуудыг харгалзан $D, E$ цэгүүдээр огтолно. Хэрэв $ABC$ гурвалжны талбай $93$ бол $AEMD$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
$a$ талтай зөв ABC гурвалжин дотор орших цэгээс $AB$, $BC$, $CA$ талуудад перпендикуляр татав. Перпендикулярууд нь харгалзан $m$, $n$, $k$ урттай. $ABC$ гурвалжин болон перпендикуляруудын сууриудаар үүссэн гурвалжны талбайн харьцааг ол.
Адил хажуут гурвалжинд $r$ радиустай тойрог багтав. Багтсан тойрог нь суурьт буулгасан өндрийг оройг талаас $1:2$ харьцаатай хэсгүүдэд хуваана. Гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурь нь $10$ ба талбай нь $60$. Хажуу талд буулгасан медианы уртыг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурь нь $12$, багтсан тойргийн радиус нь $3$ бол талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурьт буулгасан өндөр нь $5$, хажуу талд буулгасан өндөр нь $6$ бол гурвалжны талбайг ол.
Хэрэв суурьт буулгасан өндөр нь $10$, хажуу талд буулгасан өндөр нь $12$ бол адил хажуут гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AC$ сууриар диаметр хийсэн тойрог $BC$ талыг $BD:DC=3:2$ байх $D$ цэгээр огтолно. Хэрэв $AD=12/\sqrt{5}$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурийн $B, C$ оройнуудыг $A$ оройгоос $BC$ талд буулгасан өндрийн дундаж цэг $M$-тэй хэрчмээр холбов. $BM, CM$ хэрчмийн үргэлжлэлүүд $AC, AB$ талуудыг харгалзан $D, E$ цэгүүдээр огтлов. Хэрэв $AEMD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $16$ бол $BMA$ гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурьт буулгасан өндөр $10$ см, хажуу талуудад буулгасан өндөр $12$ см бол талбайг ол.
Адил хажуут гурвалжны талбай $S$, суурийн эсрэг оройн өнцөг $\alpha$ бол суурьт буулгасан өндрийн уртыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын ба гипотенуз дээрх проекцүүд нь $m=9$ см ба $n=16$ см бол гурвалжинд багтсан тойргийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз дээр байгуулсан зөв гурвалжин түүнээс 2 дахин их талбайтай бол тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгүүдийг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр $24$ см, талбай нь $24\text{ см}^2$ бол багтаасан тойргийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын нийлбэр $14$ см, түүнийг багтаасан тойргийн радиус $5$ см бол өгсөн гурвалжинд багтсан тойргийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг $\alpha$ ба багтаасан тойргийн төвөөс нөгөө хурц өнцөгийн орой хүртлэх зай $a$ бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $\angle C=30^\circ$ байв. $B$ тэгш өнцгийн оройгоос татсан медиан нь $BK$ ба $AB$ катетын урт нь $4$ см бол $BCK$ гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны бага өнцөг нь $\alpha$-тай тэнцүү. Бага катет ба гипотенузын дунджуудыг дайруулан гипотенузыг шүргэх тойрог татав. Тойргийн талбайг гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны $B$ өнцөг нь тэгш. $CB$ катет дээр $AD, AE$ нь $A$ өнцгийг гурван тэнцүү хуваах $D, E$ цэгүүд авав. $AD=a$, $AE=b$ бол $ADB$ ба $AEB$ гурвалжинуудын талбайн харьцааг ол.
Тэгш өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BC$ катетын урт $36$, $\cos\angle BAC=\dfrac{8}{17}$ бол $AC$ катет ба гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын нийлбэр $17$ см, гипотениуз нь $13$ см бол гурвалжны талбай ба катетуудыг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны $\angle B=90^\circ$ ба $A$ оройгоос татсан биссектрис нь $BC$ талыг $D$ цэгт огтолно. $BD=4$, $DC=6$ бол $ADC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$, $ABD$ тэгш өнцөгт гурвалжнуудын хувьд $AB=5$. $C, D$ цэгүүд нь $AB$ шулууны $2$ талд орших ба $BC=BD=3$. $E$ цэг $AC$ тал дээр $EC=1$, $F$ цэг $AD$ тал дээр $FD=2$ байхаар байрлана. $ECBDF$ таван өнцөгтийн талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн биссектрис гипотенузыг $3$ см, $4$ см урттай хэрчмүүдэд хуваав. Гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг орой нь тэгш өнцгийн оройтой давхцах квадрат багтав. Хэрэв гурвалжны нэг катет $42$ см, квадратын тал $24$ см бол гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжины багтсан тойргийн гипотенузыг шүргэж байгаа цэгээр гипотенузыг хуваахад үүсэх хэрчмүүдийн уртуудын үржвэр гурвалжны талбайтай тэнцүү болохыг батал.
$ABC$ гурвалжны $BAC$ өнцгийн биссектрис $a$-тай тэнцүү. Энэ биссектрисээр диаметрээ хийсэн тойрог $AB$ ба $BC$ талыг харгалзан $2:1$ ба $1:1$ харьцаагаар хуваах бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $AC$ ба $BC$ талыг харгалзан $M$ ба $N$ цэгт шүргэх ба $BD$ биссектрисийг $P$ ба $Q$ цэгт огтолжээ. Хэрэв $\angle A=\pi/4$, $\angle B=\pi/3$ бол $PQM$ ба $PQN$ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\dfrac{10}3$, $C$ өнцгийн косинус нь $\dfrac{5}{13}$ ба талбай нь $60$ бол гурвалжны талуудыг ол.
$ABC$ гурвалжны $BD$ медиан дээр $BE=3ED$ байх $E$ цэг авав. $AE$ шулуун $BC$ талыг $M$ цэгт огтолно. $AMC$ ба $ABC$ гурвалжны талбайн харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай $90$ см.кв, $AD$ биссектрис нь $BC$ талыг $BD:CD=2:3$ харьцаагаар хуваадаг. $BL$ хэрчим $AD$ биссектристэй $E$ цэгт огтлолцох ба $L$ цэг $AC$ хэрчмийг $AL:CL=1:2$ байхаар хуваана. $EDCL$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай $40$ см.кв, $AD$ биссектрис $BC$ талыг $BD:DC=3:2$ байхаар хуваана. $AD$ биссектрис $BK$ медианыг $E$ цэгт огтолно. $EDCK$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны талбай $70$ см.кв ба $AD$ биссектрис нь $BC$ талыг $BD:DC=3:2$ байхаар хуваана. $AD$ биссектрис $BK$ хэрчмийг $BE:EK=5:2$ харьцаагаар хувааж байхаар $AC$ тал дээр $K$ цэг авав. $EDCK$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AD$ ба $BE$ биссектрисүүд $O$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $AC:AB:BC=4:3:2$ бол $DOEC$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг $ABC$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
$CQ$ нь $ABC$ гурвалжны биссектрис. $BCQ$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $1/3$ ба төв нь $AC$ хэрчим дээр оршиж байв. Хэрэв $AQ:AB=2:3$ гэвэл $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжин ба $BDEF$ ромбо өгөгджээ. Ромбын бүх оройнууд $ABC$ гурвалжны талууд дээр орших бөгөөд $E$ оройн өнцөг нь мохоо. Хэрэв $AE=3$, $CE=7$ ба ромбод багтсан тойргийн радиус $1$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AH$ биссектрис $BE$ медианыг $BK:KE=2$ харьцаагаар хуваах ба $ABC$ өнцөг $45^\circ$ байв. $BCE$ гурвалжны талбайг энэ гурвалжныг багтаасан дугуйн талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны $AB, AC$ талуудын дундаж цэгүүд харгалзан $K, N$. $B$ оройг дайруулан $AC$ талтай $F$ цэгт, $KN$ хэрчимтэй $L$ цэгт огтлолцох шулуун татав. $KL:LN=3:2$ ба $ABC$ гурвалжны талбай $40$ бол $AKLF$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.
Гурвалжны талуудын урт $a=6$, $b=8$ ба талбай нь $S=3\sqrt 5$ байв. Гурав дахь талын урт нь уг талд буулгасан медианаас 2 дахин богино бол багтсан тойргийн радиусыг ол.
$PQR$ гурвалжны $Q$ оройноос татсан медианы урт $\dfrac{3\sqrt{21}}{4}$. $P$ ба $R$ орой дээр төвтэй $5$ ба $1$ радиустай тойргууд бие биеэ шүргэх ба $Q$ орой нь эдгээр тойргуудын ерөнхий шүргэгч дээр байв. Хэрэв $S< 7$ бол $PQR$ гурвалжны талбай $S$-г ол.
Хурц өнцөгт гурвалжны өндөрүүдийн суурийг холбож байгаа хэрчмүүдийн урт $5, 12, 13$. Гурвалжны талбайг ол.
$\angle C=90^{\circ}$ байх адил хажуут $ABC$ гурвалжин ба $D$ орой нь $AB$ тал дээр, $E$ орой нь $AB$ талын үргэлжлэл дээр $A$ цэгийн талд байрлах $DEF$ гурвалжин өгөгдөв. $KL$ хэрчим нь $2$ гурвалжины хоёулангийх нь дундаж шугам болдог ба $DKLB$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $ABC$ гурвалжны талбайн $5/8$ болно. $DEF$ өнцгийг ол.
Адил хажуут $ABC$ ($AB=BC$) гурвалжинд багтсан тойргийн төв нь $O$. $AO$ шулуун нь $BC$ хэрчимтэй $M$ цэгт огтлолцдог. $AO=3$, $OM=27/11$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AC$ суурь нь уг гурвалжин дотор төвтэй тойргийн хөвч болж байв. $B$ оройг дайрсан шулуунууд тойргийг $D$ ба $E$ цэгүүдэд шүргэнэ. Хэрэв $AB=BC=2$, $\angle ABC=2\arcsin\dfrac1{\sqrt5}$ ба тойргийн радиус нь $1$ бол $DBE$ гурвалжны талбайг ол.
$AD$ нь тэгш өнцөгт $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) гурвалжны биссектрис. $\sqrt{15}$ радиустай тойрог $A, C, D$ цэгүүдийг дайрах бөгөөд уг тойрог $AB$ талыг $E$ цэгт $AE:AB=3:5$ байхаар огтолно. $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос буулгасан өндөр ба биссектрисийн уртууд харгалзан $3$ ба $4$. Гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөгт $ABC$ гурвалжны периметр $54$ см бөгөөд $AC$ катетын урт $10$ см-аас их байв. $BC$ катет дээр төвтэй $6$ см радиустай тойрог $AB$ ба $AC$ шулуунуудыг шүргэх бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
Тэгш өнцөг $ABC$ гурвалжны гипотенуз нь $AB$, талбай нь $30$, багтсан тойргийн төв нь $O$ байв. $AOB$ гурвалжны талбай $13$ бол $ABC$ гурвалжны талуудыг ол.
Тэгш өнцөгт $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) гурвалжны $AM$ медиан ба $CD$ биссектрис $O$ цэгт огтлолцов. Хэрэв $CO=9$, $OD=5$ гэвэл $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр $AE:EC=a$ байх $E$ цэг, $AB$ тал дээр $AD:DB=b$ байх $D$ цэг авав. $CD$ ба $BE$ хэрчмүүд татахад үүсэх дөрвөн өнцөгтийн талбайг гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны $\angle A=\dfrac{\pi}{3}$, $\angle B=\dfrac{\pi}{4}$. $ABC$ гурвалжны өндөрүүдийн үргэлжилэл багтаасан тойргийг $M$, $N$ ба $P$ цэгүүдээр огтолно. $ABC$ ба $MNP$ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.
$ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр $M$ цэг, $BC$ тал дээр $N$ цэг авав. $AN$ ба $BM$ хэрчимүүд $O$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $AMO$, $ABO$, $BNO$ гурвалжнуудын талбай харгалзан $S_1$, $S_2$, $S_3$ бол $CMN$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AB$ ба $BC$ тал дээр $K$ ба $L$ цэг авав. $AL$ ба $CK$ хэрчмүүдийн огтлолцлын цэг $O$. $AOL$ ба $COL$ гурвалжнуудын талбайн харьцаа $1:8$ ба $AOC$ гурвалжин $BKOL$ дөрвөн өнцөгттэй хэм чацуу. $ABC$ гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр орших $M$ ба $N$ цэгүүдэд төвтэй 2 тойрог бие биенээ шүргэнэ. Эдгээр тойргууд $AC$ ба $BC$ талуудыг харгалзан $A, P$ ба $B, Q$ цэгүүдээр огтлох ба $AM=PM=2$, $BN=QN=5$ байв. Хэрэв $AQN$ гурвалжны талбайг $MPB$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцаа $15\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ ба $AP=\dfrac25QB\sqrt{\dfrac{2+\sqrt3}{3}}$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг ол.
Төвүүд нь $MPN$ гурвалжны $MN$ тал дээр байрлах, бие биеэ гадаад байдлаар шүргэх тойргууд $MP$ ба $PN$ талуудыг харгалзан $M, D$ ба $N, C$ цэгүүдээр огтолно. Тойргуудын төвүүд нь харгалзан $O_1$, $O_2$ ба $MO_1=O_1D=3$, $NO_2=CO_2=6$ байв. Хэрэв $MCO_2$ гурвалжны талбайг $O_1DN$ гурвалжны талбайд харьцуулсан харьцаа $\dfrac85\sqrt3$ ба $PN=MP\sqrt{2-\sqrt3}$ бол $MNP$ гурвалжны талбайг ол.
Гурвалжны талуудын харьцаа $1:2:2$, багтаасан тойргийн радиус $R$ бол гурвалжны талбайг ол.

A. $\dfrac{15\sqrt{15}}{64}R^2$     B. $\dfrac{15R^2}{64}$     C. $15R^2$     D. $\dfrac{\sqrt{15}R^2}{64}$     E. $\dfrac{R^2}{64}$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $2:3$ харьцаатай ба талбай нь $12$ кв.нэгж бол түүнийг багтаасан дугуйн талбай хэдэн кв.нэгж вэ?

A. $10\pi$     B. $13\pi$     C. $20\pi$     D. $25\pi$     E. $29\pi$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $\measuredangle ABC=90^\circ$, $AB=BC$, $E$ нь $BC$ тал дээр орших бөгөөд $\dfrac{EC}{BC}=\dfrac{1}{3}$ байх цэг, $S_{\triangle AEC}=24$ бол $AB=?$

A. $6$     B. $8$     C. $10$     D. $12$     E. $14$    
5, 12, 13 талуудтай гурвалжны талбайг ол.

A. 15     B. 36     C. 60     D. 18     E. 30    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2\sqrt{3}$ ба өндрүүдийн сууриар үүсгэгдэх гурвалжны периметр 9 бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

A. $18\sqrt{3}$     B. $9\sqrt{3}$     C. $36\sqrt{3}$     D. $18$     E. $36$    
Гурвалжны медиануудуудын урт нь 3, 4, 5 байв. Гурвалжны талбайг ол.

A. $1$     B. $4$     C. $6$     D. $8$     E. $10$    
Гурвалжны 9, 12 урттай медианууд перпендикуляр байв. Талбайг ол.

A. 108     B. 96     C. 84     D. 72     E. 60    
$\sin\angle ABC=30^\circ$, $AB=BC=8$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

A. $32$     B. $16$     C. $64$     D. $20$     E. $25$    
$AB=3$, $AC=5$ ба $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол. Энд $\alpha=\angle BAC$.

A. $6$     B. $\dfrac{15}{2}$     C. $\dfrac{9}{2}$     D. $12$     E. $8$    
$\triangle ABC$-ийн $AB=5$, $AC=12$, $BC=13$ байв. Хэрэв $D$ нь $A$ оройн биссектрисийн суурь бол $ABD$ гурвалжны талбайг ол.

A. $\dfrac{150}{17}$     B. $8$     C. $7$     D. $10$     E. $\dfrac{25}{3}$    
$ABC$ нь тэгш өнцөгт адил хажуут гурвалжин болно. Хэрэв $DE=3$ ба $AB=5$ бол $ABED$ трапецийн талбайг ол.

A. $2$     B. $4$     C. $6$     D. $16$     E. $8$    
$ABC$ гурвалжны $AB=3$, $\sin\measuredangle ACB=30^\circ$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргоор үүсэх дугуйн талбай хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $4\pi$     B. $5\pi$     C. $8\pi$     D. $9\pi$     E. $16\pi$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 3, гипотенузэд буусан өндөр 8 нэгж бол гипотенузийн урт аль нь вэ?

A. $8$     B. $4$     C. $9$     D. $5$     E. Ийм гурвалжин олдохгүй    
Гурвалжны нэг тал 10 см, нөгөө хоёр талын медиан 9 см, 12 см бол талбай нь аль вэ?

A. $36$ см.кв     B. $72$ см.кв     C. $108$ см.кв     D. $144$ см.кв     E. $150$ см.кв    
Адил хажуут гурвалжны талбай $4.8$, хоёр медианы урт $3$ нэгж бол медиануудын огтлолцлоос суурийн харагдах өнцөг аль вэ?

A. $\arcsin\frac35$     B. $\arccos\frac35$     C. $75^\circ$     D. $60^\circ$     E. $\arccos\frac35$, $\pi-\arccos\frac35$    
$24$ см.кв талбайтай гурвалжны хоёр медиан 6 см, 8 см урт бол тэдгээрийн хоорондох өнцөг аль нь вэ?

A. $60^\circ$     B. $\arcsin\dfrac23$     C. $\arcsin\dfrac34$     D. $30^\circ$     E. $\arccos\dfrac23$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $2:3$ харьцаатай ба талбай нь $156$ кв.нэгж бол түүнийг багтаасан дугуйн талбай хэдэн кв.нэгж вэ?

A. $196\pi$     B. $169\pi$     C. $225\pi$     D. $289\pi$     E. $121\pi$    
Гурвалжны талуудын уртыг 2 дахин ихэсгэвэл талбай нь хэд дахин ихсэх вэ?

A. 2     B. 3     C. 4     D. 5     E. 6    
Талуудынх нь урт 5, 6, 7 нэгж байх гурвалжны талбай аль нь вэ?

A. $6$     B. $8\sqrt{2}$     C. $3\sqrt{6}$     D. $4\sqrt{3}$     E. $6\sqrt6$    
$ABC$ гурвалжны $BC$ талын урт $6$, $\measuredangle BAC=120^\circ$ бол $ABC$ гурвалжны талбай хамгийн ихдээ хэд байж болох вэ?

A. $2\sqrt3$     B. $3\sqrt3$     C. $4\sqrt3$     D. $3$     E. $4$    
Адил хажуут $ABC$ гурвалжны $|AB|=|BC|=8$ ба суурийн өнцөг нь $\dfrac{\pi}6$ бол гурвалжны талбайг ол.

A. $\sqrt{426}$     B. $15\sqrt3$     C. $16\sqrt3$     D. $20\sqrt3$     E. $11\sqrt3$    
Хэрвээ төсөөтэй гурвалжнуудын периметр нь $16$ ба $40$ см, талбайн нийлбэр нь $87$ см.кв бол жижиг гурвалжны талбай аль нь вэ?

A. $10$ см.кв     B. $11$ см.кв     C. $12$ см.кв     D. $13$ см.кв     E. $15$ см.кв    
Гурвалжны өндрүүд 12, 15, 20 нэгж урттай бол талбайг ол.

A. $110$     B. $120$     C. $130$     D. $140$     E. $150$    
Адил хажуут гурвалжны хажуу талууд нь $24$ см. Гурвалжны өндөр ямар байхад талбай хамгийн их байх вэ?

A. $12$ см     B. $12\sqrt{2}$ см     C. $12\sqrt{3}$ см     D. $8\sqrt{3}$ см     E. $6\sqrt{3}$ см    
Талуудынх нь урт 10, 12, 14 нэгж байх гурвалжны талбай аль нь вэ?

A. $24$     B. $32\sqrt{2}$     C. $12\sqrt{6}$     D. $16\sqrt{3}$     E. $24\sqrt6$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $5$, $\sin\angle BAC=\dfrac35$ бол $ABC$ гурвалжны талбай хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү байх вэ?

A. $6$     B. $20$     C. $27$     D. $50$     E. $100$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $10$, $\sin\angle BAC=\dfrac45$ бол $ABC$ гурвалжны талбай хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү байх вэ?

A. $48$     B. $64$     C. $100$     D. $128$     E. $256$    
$ABC$ нь тэнцүү талт гурвалжин болно. $P$ ба $Q$ цэгүүд нь харгалзан $AB$ ба $BC$ талын дундаж цэгүүд. Хэрэв $AB=4$ бол $APQC$-ийн талбай хэд вэ?

A. $8$     B. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     C. $3\sqrt3$     D. $4$     E. $8\sqrt3$    
10, 13, 13 талуудтай гурвалжны талбайг ол.

A. 15     B. 36     C. 60     D. 18     E. 30    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $4$ ба өндрүүдийн сууриар үүсгэгдэх гурвалжны периметр $10$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

A. $18\sqrt{3}$     B. $9\sqrt{3}$     C. $36\sqrt{3}$     D. $18$     E. $20$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $\measuredangle ABC=90^\circ$, $AB=BC$, $E$ нь $BC$ тал дээр орших бөгөөд $\dfrac{EC}{BC}=\dfrac{1}{3}$ байх цэг, $S_{\triangle AEC}=54$ см.кв бол $AB=?$

A. $16$     B. $18$     C. $20$     D. $22$     E. $24$    
$\sin\angle ABC=30^\circ$, $AB=BC=8$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

A. $32$     B. $16$     C. $64$     D. $20$     E. $25$    
$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $B$ оройгоос эсрэг орших талыг дөрвөн тэнцүү хэсэгт хуваах хэрчмүүд татав. Будсан гурвалжны талбайг олоорой.

A. $12$     B. $24$     C. $6$     D. $10$     E. $4.8$    
$AB=4$, $AC=3$ ба $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол. Энд $\alpha=\angle BAC$.

A. $6$     B. $\dfrac{5}{2}$     C. $\dfrac{7}{2}$     D. $12$     E. $3$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $10$ ба $15$ нэгж урттай бөгөөд түүнтэй ерөнхий тэгш өнцөгтэй, нэг орой нь гипотенуз дээр байх тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утгыг ол. Тэгш өнцөгтийн талуудыг $x$, $y$ гээд тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг олбол $x=\fbox{ab}-1.5y$ болно. Тэгш өнцөгтийн талбайг $y$-ээр илэрхийлэн уламжлал ашиглаж, түүний хамгийн их утга авах $y$-ийн утгыг олбол $y=\fbox{c}$ байх ба энэ үед $x=\fbox{d.e}$ болж талбайн хамгийн их утга нь $S=\fbox{fg.h}$ болно.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=3+\sqrt3, AC=\sqrt3+1$ ба ${\angle B=30^\circ}$ бол $\angle C=\fbox{ab}^\circ$, эсвэл $\angle C=\fbox{cde}^\circ$ байна. $\angle C=\fbox{ab}^\circ$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $\sqrt3(\fbox{f}+\sqrt{\fbox{g}})$ ба $\angle C=\fbox{cde}^\circ$ үед $BC=\sqrt{\fbox{h}}+\fbox{i}$ болно.
5, 12, 13 талтай тэгш өнцөгт гурвалжинд хоёр орой нь гипотенуз дээр байх тэгш өнцөгт багтаав. Тэгш өнцөгтийн талбайн хамгийн их утга нь $\fbox{ab}$ байна. Энэ үед тэгш өнцөгтийн өргөн нь $\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ef}}$, урт нь $\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{i}}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=2$, $AC=3$, $BC=4$ ба $AM_1$ медианы үргэлжлэл уг гурвалжныг багтаасан тойргийг $A_1$ цэгт огтолдог гэе. $M_1A_1=\dfrac{\sqrt{2}\fbox{a}}{\sqrt{\fbox{b}}}$ ба $A_1BC$ гурвалжны периметр нь $\fbox{c}+2\sqrt{\fbox{de}}$ байна. Мөн $A_1BC$ гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{f}\sqrt{\fbox{gh}}}{\fbox{i}}$ болно.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=4$, $AC=5$, $BC=6$ ба $AM$ медианы үргэлжлэл уг гурвалжныг багтаасан тойргийг $A_1$ цэгт огтолдог гэе. $MA_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\sqrt{46}$ ба $A_1C$ талын урт $\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{fg}}\sqrt{\fbox{46}}$ байна. Мөн $A_1BC$ гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{hij}}{46}\sqrt{7}$ болно.
$ABC$ гурвалжны хувьд $AC=4$, $AB=4\sqrt{2}$, $\measuredangle B=30 ^{\circ}$ бол $\measuredangle C=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$, эсвэл $\measuredangle C=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\pi$ байна. $C=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $4(\sqrt{\fbox{d}}+\fbox{e} )$, $\measuredangle C=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\pi$ үед $BC=2(\sqrt{\fbox{f}}-\sqrt{\fbox{g}} )$ болно.
$ABC$ гурвалжны талууд $AC=3+\sqrt{3}$, $AC=\sqrt{3}+1$ ба $\measuredangle B=30^{\circ}$ бол $\measuredangle C=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$, эсвэл $\measuredangle C=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\pi$ байна. $C=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $\sqrt{3}(\fbox{d}+\sqrt{\fbox{e}} )$ ба $\measuredangle C=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\pi$ үед $BC=\sqrt{\fbox{f}}+\fbox{g}$ болно.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=8$, $BC=10$, $\cos\widehat{ABC}=1/8$ байдаг гэе.
  1. $ABC$ гурвалжны талбай $\fbox{ab}\sqrt{\fbox{7}}$,
  2. $AC=\fbox{cd}$, $\cos\widehat{ACB}=-\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{fg}}$,
  3. $AB$ талын дунджийг $M$ гээд $BC$, $AC$ талууд дээр $PC=PM$, $QC=QM$ байх $P, Q$ цэгүүд авахад $MP=\dfrac{\fbox{hij}}{\fbox{kl}}$, $MQ=\dfrac{428}{\fbox{mn}}$ байна.
Адил хажуут $ABC$ (AC=BC) гурвалжны $C$ өнцөгт $\dfrac{12}{5}$ радиустай тойрог багтсан бөгөөд уг тойрог $AC$, $BC$ талуудыг харгалзан $N$, $M$ цэгт шүргэж $AB$ талыг $D$, $E$ цэгүүдэд огтолж байв. $BM=16/5$, $\tg \beta ={3}/{4}$ ба уг тойргийн төв $O$ бол ${MN}\colon{AB}={\fbox{a}}\colon{\fbox{bc}}$, гурвалжны талууд $\fbox{d}$, $\fbox{d}$, $\fbox{e}$ болно. Мөн $ONCM$ дөрвөн өнцөгтийн талбай ${\fbox{fgh}}{ }/{ }{\fbox{ij}}$ байна.
Адил хажуут $ABC$ (AB=BC) гурвалжны $B$ өнцөгт $6$ радиустай тойрог багтсан бөгөөд уг тойрог $AB$, $BC$ талуудыг харгалзан $M$, $N$ цэгүүдэд шүргэж $AC$ талыг $D$, $E$ цэгүүдээр огтолж байв. $AM=9$, $\tg \alpha ={2}/{3}$ ба уг тойргийн төв $O$ бол ${MN}\colon{AC}={\fbox{a}}\colon{\fbox{bc}}$, гурвалжны талууд $\fbox{de}$, $\fbox{de}$, $\fbox{f}\sqrt{\fbox{gh}}$ болно. Мөн $OMBN$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $\fbox{ij}$ байна.
Дараахь бодлогуудыг бод.
  1. $ABC$ гурвалжны талууд $a=3$, $b=4$, $c=5$ бол $\dfrac{r}{R}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.
  2. $a=3$, $c=7$ ба $\cos \beta =1-\dfrac{r}{R}$ үед $b=\fbox{c}$ ба энэ үед гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{f}}\sqrt{\fbox{g}}$ болно.
Дараахь бодлогуудыг бод.
  1. $ABC$ гурвалжны талууд $a=6$, $b=8$, $c=10$ бол $\dfrac{r}{R}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.
  2. $a=4$, $c=6$ ба $\cos \beta =1-\dfrac{r}{R}$ бол $b=\fbox{c}$ ба энэ үед гурвалжны талбай $\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{f}}\sqrt{\fbox{g}}$ болно.
$ABC$ гурвалжны хувьд $\sin^2 \alpha +\sin^2 \beta =\sin^2 \gamma$ нөхцөл биелдэг бол $\gamma =\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ байна. $AB=2\sqrt{3}$ үед $CM$ медианы урт $\sqrt{\fbox{b}}$ болно. $AB=2\sqrt{3}$ талтай, эсрэг оройн өнцөг нь тогтмол $\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ байх бүх гурвалжнууд дотроос хамгийн их талбайтай гурвалжны периметр $(\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}+2\sqrt{3})$ байна.
$ADE$ нь тэгш өнцөгт гурвалжин ба $\measuredangle EAD=90^{\circ}$, $\measuredangle ADE=18^{\circ}$ байв. $B$, $C$ цэгүүд нь $AD$ тал дээр оршиж $EC=CD=2$, $EB=BC$ бол $AC=\dfrac{\fbox{a}+\sqrt{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$, $AB=\dfrac{\fbox{d}-\sqrt{\fbox{e}}}{2}$ ба $ADE$ гурвалжны талбай $\dfrac{\sqrt{\fbox{fg}}}{\fbox{h}}\sqrt{5+\sqrt{5}}$ болно.
$ABC$ нь тэгш өнцөгт гурвалжин ба $\measuredangle BAC=90^{\circ}$, $\measuredangle ACB=18^{\circ}$ байв. $D$, $E$ цэгүүд нь $AC$ тал дээр оршиж $BD=DE=3$, $BE=EC$ бол $BD=\dfrac{\fbox{a}\sqrt{\fbox{b}}-\fbox{c}}{4}$, $AB=3\sqrt{\fbox{de}-2\sqrt{\fbox{f}}} /4$ ба $ABC$ гурвалжны талбай $$\dfrac{\fbox{g}\sqrt{\fbox{hi}}}{16}\sqrt{5+\sqrt{5}}$$ болно.
$3$ талтай $ABC$ зөв гурвалжны $AB$ тал дээр $D$ цэг, $AC$ тал дээр $E$ цэгийг $AD=CE$ байхаар авчээ. $DBCE$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг $S$ гэвэл $DE\geq \dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болох тул $S\geq \dfrac{\fbox{cd}}{16}\sqrt{\fbox{e}}$ байна.
$5$ талтай $ABC$ зөв гурвалжны $AB$ тал дээр $D$ цэг, $AC$ тал дээр $E$ цэгийг $AD=CE$ байхаар авчээ. $DBCE$ дөрвөн өнцөгтийн талбайг $S$ гэвэл $DE\geq \dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ болох тул $S\geq \dfrac{\fbox{cd}}{16}\sqrt{\fbox{e}}$ байна.
$3$ талбайтай $ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $AC$ талууд дээр харгалзан $D$, $E$, $F$ цэгүүдийг $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{t}{1-t}$, $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{2t}{1-2t}$, $\dfrac{CF}{FA}=\dfrac{3t}{1-3t}$ байхаар авчээ. $DEF$ гурвалжны талбайг $S$ гэвэл $S=\fbox{ab} t^2-\fbox{cd} t+\fbox{e}$ болох ба $t=\dfrac{3}{\fbox{fg}}$ үед $S$ хамгийн бага $\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{ij}}$ утгаа авна.
$2$ талбайтай $ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $AC$ талууд дээр харгалзан $D$, $E$, $F$ цэгүүдийг $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{t}{1-t}$, $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{2t}{1-2t}$, $\dfrac{CF}{FA}=\dfrac{3t}{1-3t}$ байхаар авчээ. $DEF$ гурвалжны талбайг $S$ гэвэл $S=\fbox{ab}t^2-\fbox{cd}t+\fbox{e}$ болох ба $t=\dfrac{3}{\fbox{fg}}$ үед $S$ хамгийн бага $\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{ij}}$ утгаа авна.
$ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $AC$ талууд дээр харгалзан $F$, $E$, $D$ цэгүүдийг $\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{2}{5}$ байхаар авчээ. $FED$, $ABC$ гурвалжнуудын талбайн харьцаа $\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
$ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $AC$ талууд дээр харгалзан $F$, $E$, $D$ цэгүүдийг $\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{1}{4}$ байхаар авчээ. $FED$, $ABC$ гурвалжнуудын талбайн харьцаа $\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
$ABC$ гурвалжинд $AC_1A_1B_1$ ромбо багтсан бөгөөд $C_1$, $A_1$, $B_1$ цэгүүд нь харгалзан $AB$, $BC$, $CA$ талууд дээр байрлах ба $\dfrac{AC_1}{C_1B}=4$, $B_1C=16$ бол $AC_1=\fbox{a}$, $C_1B=\fbox{b}$ байна. $B_1C_1=4$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $\fbox{cd}\sqrt{\fbox{e}}$
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=3+\sqrt3, AC=\sqrt3+1$ ба ${\angle B=30^\circ}$ бол $\angle C=\fbox{ab}^\circ$, эсвэл $\angle C=\fbox{cde}^\circ$ байна. $\angle C=\fbox{ab}^\circ$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $\sqrt3(\fbox{f}+\sqrt{\fbox{g}})$ ба $\angle C=\fbox{cde}^\circ$ үед $BC=\sqrt{\fbox{h}}+\fbox{i}$ болно.
$\triangle ABC$ гурвалжны талуудын урт нь $AB=8$, $AC=12$, $BC=16$. $D$, $E$ нь харгалзан $AB$ ба $AC$ талууд дээр орших цэгүүд бөгөөд $DE\parallel BC$ байв. Хэрвээ $BD+EC=5$ бол $DE=\fbox{ab}$ ба $S_{\triangle ADE}=\dfrac{\fbox{cd}\sqrt{\fbox{ef}}}{\fbox{g}}$ байна.
$R=6$ радиустай тойрогт багтсан $ABCDE$ таван өнцөгтийн $AB=6\sqrt{2}$, $\measuredangle ABE=45^\circ$, $\measuredangle EBD=30^\circ$ ба $BC=CD$ бол таван өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт. Синусын теоремоор $AE=2R\sin45^\circ$ гэдгээс $AE=6\sqrt{\fbox{a}}$. Иймд $ABE$ гурвалжны талбай $S_1=3\fbox{b}$. Цаашилбал $\measuredangle BDE=\fbox{c}0^\circ$ гэдгээс $BD=6\sqrt{\fbox{d}}$, $DE=\fbox{e}$. Иймээс $BDE$ гурвалжны талбай $S_2=18\sqrt{\fbox{d}}$. Харин $BCDE$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан гэдгээс $C$ оройн өнцгийг тооцоолж болно. Иймд $BCD$ гурвалжны өндөр $CF=\fbox{f}$ ба түүний талбай $S_3=9\sqrt{\fbox{g}}$. Эдгээрээс таван өнцөгтийн талбай $S=S_1+S_2+S_3$ болно.
$ABCDEFGH$ зөв найман өнцөгтийн талын урт $4$; $AC$, $BD$ диагоналиудын хоорондох өнцөг $\fbox{ab.c}^\circ$, $ABCDE$ таван өнцөгтийн талбай $\fbox{de}\sqrt{2}$, $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $\fbox{fg}\sqrt{2}$ байна.
$R=4$ радиустай тойрогт багтсан $ABCDE$ таван өнцөгтийн $AB=4\sqrt{2}$, $\measuredangle ABE=45^\circ$, $\measuredangle EBD=30^\circ$ ба $BC=CD$ бол таван өнцөгтийн талбайг ол.

Бодолт. Синусын теоремоор $AE=2R\sin45^\circ$ гэдгээс $AE=4\sqrt{\fbox{a}}$. Иймд $ABE$ гурвалжны талбай $S_1=1\fbox{b}$. Цаашилбал $\measuredangle BDE=\fbox{c}0^\circ$ гэдгээс $BD=4\sqrt{\fbox{d}}$, $DE=\fbox{e}$. Иймээс $BDE$ гурвалжны талбай $S_2=8\sqrt{\fbox{d}}$. Харин $BCDE$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан гэдгээс $C$ оройн өнцгийг тооцоолж болно. Иймд $BCD$ гурвалжны өндөр $CF=\fbox{f}$ ба түүний талбай $S_3=4\sqrt{\fbox{g}}$. Эдгээрээс таван өнцөгтийн талбай $S=S_1+S_2+S_3$ болно.

Гурвалжны тэнцэтгэл биш

$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгт өгчээ. $AB=6$, $BC=5$, $CD=2$, $DA=7$, $AC=2x-1$ бол $x$-ийн бүхэл утгыг ол.

A. $6$     B. $5$     C. $4$     D. $3$     E. $2$    
$ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AB\mbox{=}8$, $BC\mbox{=}x$, $DA\mbox{=}2x,$ $AC$ диагональ 5, $BD=4$ бол $x$-ийн сондгой утга хэд вэ?

A. 6     B. 5     C. 7     D. 9     E. 4    
Гурвалжны хоёр талын урт нь 5 ба 8 нэгж байв. Гурав дахь талын бүх боломжит уртын утга аль нь вэ?

A. $]3;13[$     B. $]0;5[$     C. $]3;8[$     D. $]5;8[$     E. $]8;13[$    
Гурвалжны хоёр талын урт нь 5 ба 8 нэгж байв. Доорх тоонуудын аль нь гурвалжны гурав дахь тал болж чадах вэ?

A. $1$     B. $3$     C. $12$     D. $13$     E. $17$    
Гурвалжны хоёр талын урт нь 5 ба 8 нэгж байв. Доорх тоонуудын аль нь гурвалжны гурав дахь тал болж чадахгүй вэ?

A. $9$     B. $10$     C. $11$     D. $12$     E. $13$    
Гурвалжны хоёр талын урт нь 4 ба 9 нэгж байв. Гурав дахь талын уртын бүх боломжит утга аль нь вэ?

A. $]3;13[$     B. $]0;5[$     C. $]3;8[$     D. $]5;8[$     E. $]5;13[$    
Гурвалжны хоёр талын урт нь 5 ба 9 нэгж байв. Гурав дахь талын уртын бүх боломжит утга аль нь вэ?

A. $]3;14[$     B. $]0;5[$     C. $]4;14[$     D. $]5;8[$     E. $]5;9[$    

Евклидийн харьцаа

Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын харьцаа $3:2$. Тэгш өнцөгөөс татсан өндөр гипотенузыг нэг нь нөгөөгөөсөө $2$ см урт хоёр хэсэгт хуваасан бол гипотенузыг ол.
$\angle C=90^\circ$, $CD\perp AB$, $AC=15$, $AD=9$ бол $AB=?$

A. $24$     B. $20$     C. $30$     D. $25$     E. $35$    
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=12$, $BC=5$, $AC=13$ ба $AB$ тал дээр ${AC_1}\colon {BC_1}={1}\colon{2}$ байх $C_1$ цэг тэмдэглэв. $BC$ талын дундаж нь $A_1$, $BB_1$ нь $AC$ тал дээр буулгасан өндөр бол $BB_1=\dfrac{\fbox{ab}}{13},$ $S_{AC_1B_1}=\dfrac{\fbox{cdef}}{13^2}$, $S_{CA_1B_1}=\dfrac{\fbox{ghi}}{13^2}$ байна.

Косинусын теорем

$10, 14, 17$ талуудтай гурвалжинд мохоо өнцөг бий юу?
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $R$. $D$ цэг багтаасан тойргийн $BC$ нум дээр орших бөгөөд $AD\cap BC=M$. Хэрэв $\angle BMD=120^\circ$, $AB=R$, $BM:MC=2:3$ бол $BC$ талын уртыг ол.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжинд $AD=5$, $CE=3$ байх өндрүүд татжээ. $AD$, $CE$ шулуунуудын хоорондох өнцөг нь $60^\circ$ бол $AC$ талын уртыг ол.
$ABC$ гурвалжны хувьд $\angle BAC=30^\circ$. Хэрэв $AB=\sqrt {3}, AC=1$ бол $BC$ талыг ол.
Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр $\sqrt3$, хажуу ирмэгүүдийн хоорондох хавтгай өнцөг $30^\circ$ бол пирамидын эзлэхүүн, хажуу гадаргуугийн талбайг ол.
Тойргийн нэг цэгээс $9$ см ба $17$ см урттай $2$ хөвч татав. Хэрэв эдгээр хөвчүүдийн дунджууд хоорондоо $5$ см зайтай бол тойргийн радиусыг ол.

A. $9.75$ см     B. $\dfrac{41}4$ см     C. $12$ см     D. $10$ см     E. $\dfrac{85}8$ см    
$AB$ ба $CD$ параллел шулуунууд $60^\circ$-ийн өнцөгөөр огтолцох хоёр хавтгайд оршино. $A$ ба $D$ цэгүүд огтлолцлын шулуунаас харгалзан $a$ ба $b$ зайд алслагдана. $AB$ ба $CD$ шулуунуудын хоорондох зайг ол.

A. $a+b$     B. $|a-b|$     C. $\sqrt{a^2+b^2+ab}$     D. $\dfrac13\sqrt{a^2+b^2+ab}$     E. $\sqrt{a^2+b^2-ab}$    
Талууд нь 6; 9; 11 нэгж урттай гурвалжны хэлбэрийг тогтоогоорой.

A. Хурц өнцөгт гурвалжин     B. Мохоо өнцөгт гурвалжин     C. Тэгш өнцөгт гурвалжин     D. Адил хажуут гурвалжин     E. Зөв гурвалжин    
10, 14, 17 талуудтай гурвалжны хэлбэрийг тогтоо.

A. Мохоо өнцөгт гурвалжин     B. Хурц өнцөгт гурвалжин     C. Тэгш өнцөгт гурвалжин     D. Адил хажуут гурвалжин     E. Ийм гурвалжин оршин байхгүй    
$ABC$ гурвалжинд $BD$ медиан татжээ. $AB=2\sqrt3$, $AC=8$, $\measuredangle ABD=45^\circ$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $\sqrt6+\sqrt{10}$     B. $4\sqrt3$     C. $16+4\sqrt{15}$     D. $\sqrt{52+8\sqrt{15}}$     E. $2\sqrt{100-2\sqrt{15}}$    
$AD\parallel BC$ байх трапецийн хувьд $AB=5$, $BC=8$, $BD=7$, $\angle A=120^\circ$ байв. Трапецийн талбайг ол.

A. $40$     B. $11\sqrt3$     C. $36$     D. $\dfrac{67}{4}$     E. $\dfrac{55\sqrt3}{4}$    
Гурвалжны нэг өнцгийн косинус нь $-0.6$ байв. Дараахь өгүүлбэрүүдийн аль нь үнэн бэ?

A. Хурц өнцөгт гурвалжин     B. Мохоо өнцөгт гурвалжин     C. Тэгш өнцөгт гурвалжин     D. Мохоо өнцөг нь $120^\circ$     E. Уг өнцгийн синус нь $-0.8$    
$a=2\sqrt2, b=2, c=\sqrt2+\sqrt6$ талуудтай гурвалжны хамгийн бага өнцгийг ол.

A. $90^\circ$     B. $60^\circ$     C. $75^\circ$     D. $30^\circ$     E. $45^\circ$    
Адил хажуут хоёр гурвалжны хажуу талуудын урт тэнцүү байжээ. Хэрэв нэгнийх нь суурь $12$ см, нөгөөгийн суурь, хажуу тал хоёр $8:5$ харьцаатай, оройн өнцгүүдийн нийлбэр $\pi$ байсан бол талуудын урт хэд хэд байх вэ?

A. $40, 25$     B. $24, 15$     C. $20, 15$     D. $32, 20$     E. $16, 10$    
$\sqrt3$ талбайтай адил хажуут гурвалжны медиануудын огтлолцлоос суурийн харагдах өнцөг $120^\circ$ бол суурийн урт аль нь вэ?

A. $2$     B. $5$     C. $6$     D. $3$     E. $4$    
Тэгш өнцөгт трапецийн $AB$ суурь, $AC$ диагональтай тэнцүү бөгөөд $BC^2=AB\cdot AD$ бол бага суурийг их суурьт харьцуулсан харьцаа аль нь вэ?

A. $3:5$     B. $4:5$     C. $3:8$     D. $3:7$     E. $2:3$    
$ABC$ гурвалжны $AB=1.5$, $AC=4$, $\measuredangle A=60^\circ$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $1.5$     B. $3.5$     C. $4$     D. $5.5$     E. $\sqrt{15.25}$    
Гурвалжны талуудын урт $5$, $6$, $7$ нэгж бол их талын эсрэг орших өнцгийн косинус аль нь вэ?

A. $\dfrac15$     B. $\dfrac16$     C. $\dfrac17$     D. $-\dfrac15$     E. $-\dfrac17$    
$ABC$ гурвалжны $AB=3$, $AC=8$, $\measuredangle A=60^\circ$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $\sqrt{61}$     B. $7$     C. $\sqrt{97}$     D. $49$     E. $\sqrt{73}$    
$MNP$ гурвалжинд $MQ$ медиан татжээ. Хэрэв $MP=2\sqrt3$, $NP=8$, $\measuredangle QMP=45^\circ$ бол $MNP$ гурвалжны талбайг ол.

A. $2\sqrt{13}$     B. $4\sqrt{39}$     C. $64$     D. $\sqrt{39}$     E. $6+\sqrt{15}$    
$AC=4$ нэгж, $AB=5$ нэгж урттай $ABC$ гурвалжны $A$ оройн дотоод өнцгийн биссектрис $AD=DB$ байхаар $BC$ талтай $D$ цэгт огтлолцсон бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $6$     B. $6.5$     C. $7$     D. $7.5$     E. $8$    
$ABC$ гурвалжны $AB=7.5$, $AC=20$, $\measuredangle A=60^\circ$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $27.5$     B. $7.5$     C. $20$     D. $10.5$     E. $17.5$    
$ABC$ гурвалжны $AB=6$, $AC=16$, $\measuredangle A=60^\circ$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $\sqrt{244}$     B. $16$     C. $14$     D. $8$     E. $82$    
Гурвалжны талуудын урт $6$, $7$, $9$ нэгж байв. Хамгийн бага өнцгийн косинус нь хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $\dfrac{47}{63}$     B. $-\dfrac{47}{63}$     C. $\dfrac{\sqrt{17}}{36}$     D. $-\dfrac{\sqrt{17}}{36}$     E. $\dfrac16$    
$ABC$ гурвалжны $AB=3$, $BC=7$ ба $\measuredangle BAC=120^\circ$ байв. $AC$ талын урт аль нь вэ?

A. $4$     B. $5$     C. $6$     D. $7$     E. $8$    
$\triangle ABC$-ийн $AB=4$, $AC=6$ ба $\measuredangle BAC=60^\circ$ байв. $A$ оройгоос татсан биссектрисийн уртыг ол.

A. $\dfrac{12\sqrt3}{5}$     B. $3\sqrt{3}$     C. $4\sqrt3$     D. $\dfrac{4\sqrt3}{3}$     E. $2\sqrt{3}$    
$\triangle ABC$-ийн хувьд $$\dfrac{\sin\alpha}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sin\beta}{\sqrt{3}}=\sin\gamma$$ бол хамгийн их өнцгийг ол. Энд $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ нь $\triangle ABC$ны өнцгүүд.

A. $75^\circ$     B. $90^\circ$     C. $108^\circ$     D. $120^\circ$     E. $150^\circ$    
$AD\parallel BC$ байх трапецийн $AB=5$, $BC=8$, $BD=7$, $\angle A=120^\circ$ байв. Трапецийн талбайг ол.

A. $\dfrac{55\sqrt3}{4}$     B. $55$     C. $11\sqrt{3}$     D. $75$     E. $26$    
$ABC$ гурвалжны $AB=3$, $AC=4$, $BC=\sqrt{34}$ бол $AD$ медианы урт аль нь вэ?

A. $\dfrac12$     B. $1$     C. $\dfrac32$     D. $2$     E. $\dfrac52$    
Параллелограммын хоёр талын урт 2 ба 7, нэг диагоналийн урт 8 бол нөгөө диагоналийн уртыг ол.

A. $8$     B. $8.5$     C. $\sqrt{42}$     D. $10$     E. $\sqrt{11}$    
$AD\parallel BC$ байх $ABCD$ трапецийн хувьд $AB=2\sqrt{2}$, $AC=2\sqrt5$, $AD=8$, $\measuredangle ABC=135^\circ$ бол талбайг нь ол.

A. $5$     B. $8$     C. $9$     D. $10$     E. $12$    
5, 7, 9 талуудтай гурвалжны хэлбэрийг тогтоо.

A. Мохоо өнцөгт гурвалжин     B. Хурц өнцөгт гурвалжин     C. Тэгш өнцөгт гурвалжин     D. Адил хажуут гурвалжин     E. Ийм гурвалжин оршин байхгүй    
$ABC$ гурвалжинд $BD$ медиан татжээ. $AB=3$, $AC=8$, $\cos\measuredangle ABD=-\dfrac14$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $4\sqrt2$     B. $\sqrt{31}$     C. $5$     D. $6$     E. $3\sqrt{5}$    
$ABC$ гурвалжинд $BD$ медиан татжээ. $AB=2$, $AC=8$, $\cos\measuredangle ABD=-\dfrac14$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $4\sqrt3$     B. $\sqrt{46}$     C. $5$     D. $6$     E. $3\sqrt{5}$    
$ABC$ гурвалжны $AB=7$, $BC=4$, $\cos\measuredangle ACB=-0.2$ бол $AC$ талын урт хэд вэ?

A. $4$     B. $5$     C. $6$     D. $7$     E. $10$    
$ABC$ гурвалжны $AB=14$, $BC=10$, $\cos\measuredangle ACB=-0.2$ бол $AC$ талын урт хэд вэ?

A. $8$     B. $10$     C. $12$     D. $14$     E. $13$    
Талууд нь 5; 12; 13 нэгж урттай гурвалжны хэлбэрийг тогтоогоорой.

A. Хурц өнцөгт гурвалжин     B. Мохоо өнцөгт гурвалжин     C. Зөв гурвалжин     D. Адил хажуут гурвалжин     E. Тэгш өнцөгт гурвалжин    
$ABC$ гурвалжинд $BD$ медиан татжээ. $AB=2\sqrt3$, $AC=8$, $\measuredangle ABD=45^\circ$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $\sqrt6+\sqrt{10}$     B. $4\sqrt3$     C. $16+4\sqrt{15}$     D. $\sqrt{52+8\sqrt{15}}$     E. $2\sqrt{100-2\sqrt{15}}$    
$ \frac{dy}{dx}=4x-3$ ба $ P(-1,1) $ цэгийг дайрах муруйг ол.

A. $ y=2x^2-1 $     B. $ y=2x^2-3x-4$     C. $ y=4x^2-3x-6$ см     D. $ y=2x^2-3x+2 $ см     E. $ y=4x^2-3x $ см    
$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтжээ. Хэрэв $BC = 12 $ см, $CD = 20$ см, $\measuredangle BAD = 60^\circ$ бол $BD$ хэрчмийн уртыг олно уу?

A. $ 24$ см     B. $ 28$ см     C. $ 26$ см     D. $ 32$ см     E. $ 30$ см    
$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтжээ. Хэрэв $BC = 8 $ см, $CD = 7$ см, $\measuredangle BAD = 60^\circ$ бол $BD$ хэрчмийн уртыг олно уу?

A. $ 13$ см     B. $ 11$ см     C. $ 10$ см     D. $ 12$ см     E. $ 14$ см    
$ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтжээ. Хэрэв $BC = 8 $ см, $CD =7$ см, $\measuredangle BAD = 60^\circ$ бол $BD$ хэрчмийн уртыг олно уу?

A. $ 13$ см     B. $ 11$ см     C. $ 10$ см     D. $ 12$ см     E. $ 14$ см    
Гурвалжны талуудын харьцаа $3:7:8$ ба багтаасан тойргийн радиус нь $\dfrac{14}{\sqrt3}$ бол
  1. Хэмжээгээрээ дундах талын эсрэг орших өнцөг $\fbox{ab}^\circ$ байна.
  2. Периметр нь $\fbox{cd}$ болно.
  3. Багтсан тойргийн радиус нь $\dfrac{\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}}{3}$ байна.
$O$ тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талууд $AB=3$, $BC=7$, $CD=7$, $DA=5$ байв. $ABD$ ба $BDC$ гурвалжнуудаас косинусын теорем бичвэл $\angle C=\fbox{ab}, BD=\fbox{c}$ болно. Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгтийн чанараар $AC=\fbox{d}$ болно. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $\fbox{ef}\sqrt{\fbox{g}}$ байна.

$O$ тойргийн радиуc $\dfrac{\fbox{h}\sqrt{\fbox{i}}}{\fbox{j}}$ байна. $ABD$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\dfrac{\sqrt{\fbox{k}}}{\fbox{l}}$ байна. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналиудын огтлолцолын цэг $E$ бол $\sin\angle AEB=\dfrac{\fbox{m}\sqrt{\fbox{n}}}{\fbox{o}}$ байна.
$\displaystyle ABCDS$ тэгш өнцөгт суурьтай пирамидын хувьд $\displaystyle AB=CD=3,\ AD=BC=4$ ба хажуу ирмэгүүд нь бүгд $\displaystyle 3$ нэгж бол $\displaystyle \cos{\angle{ASD}}=\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна. Мөн пирамидын өндөр нь $\displaystyle\frac{\sqrt{\fbox{cd}}}{\fbox{e}}$ байна.
$\dfrac{8\sqrt7}{7}$ радиустай тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтөд $BC=4$, $\cos\angle BAD=\dfrac18$ байв.
  1. $BD=\fbox{a}$, $CD=\fbox{b}$ байна.
  2. $AB+AD=9$ бол $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $S=\dfrac{\fbox{cd}\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}$ байна.
$ABCD$ дөрвөн өнцөгтөд $AB=1$, $\measuredangle ABC=45^{\circ}$, $\measuredangle ACB=60^{\circ}$, $\measuredangle BAD=105^{\circ}$, $\measuredangle ADB=45^{\circ}$ байв. $AC$ диагоналийн урт $\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}$, $\measuredangle ABD=\fbox{cd}^\circ$, $AD=\dfrac{\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}$, $CD=\dfrac{\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$ болно.
$ABCD$ дөрвөн өнцөгтөд $AB=1$, $\measuredangle ABC=60^{\circ}$, $\measuredangle ACB=45^{\circ}$, $\measuredangle BAD=105^{\circ}$, $\measuredangle ADB=45^{\circ}$ байв. $AC$ диагоналийн урт $\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}$, $\measuredangle ABD=\fbox{cd}^\circ$, $AD=\dfrac{\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}$, $CD=\dfrac{\sqrt{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$ болно.
$ABC$ гурвалжны $AL$ биссектрисс $CM$ медиантай $O$ цэгт огтлолцоно. $AC=4$, $AB=6$ бол $\dfrac{CO}{CM}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$, $BO$ шулууны $AC$ талтай огтлолцох цэгийг $N$ гэвэл $\dfrac{ON}{BN}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болох бөгөөд $BL=\dfrac{12}{5}$ үед $BN=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\sqrt{14}$ байна.
$2(\sqrt{3}+1)$ см урттай $AB$ хэрчмийн $A$ цэгт төвтэй $2\sqrt{2}$ см радиустай тойрог ба $B$ цэгт төвтэй $4$ см радиустай тойргууд $C$, $D$ цэгт огтлолцдог гэе. $\measuredangle CAD =\fbox{ab}^{\circ}$ ба $\measuredangle CBD =\dfrac{\pi}{\fbox{c}}$, дугуйнуудын ерөнхий хэсгийн талбай нь $\dfrac{\fbox{de}}{3}\pi-(4+4\sqrt{3})$ см$^2$ байна.
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AB=5$, $CD=4$, $AC=\dfrac{50}{7}$, $BD=7$ байв.
  1. $BC=\fbox{a}$, $AD=\fbox{b}$ ба $AD$ тал дээр $\measuredangle BED=120^{\circ}$ байх $E$ цэг авбал $BE=\sqrt{\fbox{cd}}$ байна.
  2. Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}\sqrt{6}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=5$, $BC=8$, $\measuredangle ABC=60^{\circ}$ байдаг гэе.
  1. $ABC$ гурвалжны талбай $\fbox{ab}\sqrt{\fbox{c}}$,
  2. $AC=\fbox{d}$, $\cos\widehat{ACB}=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$,
  3. $BC$ талын дунджийг $M$ гээд $AB$, $AC$ талууд дээр $PA=PM$, $QA=QM$ байх $P,Q$ цэгүүд авахад $MP=\dfrac{\fbox{i}}{\fbox{j}}$, $MQ=\dfrac{\fbox{kl}}{\fbox{mn}}$ байна.
$x+2$, $x+3$, $x+4$ тоонууд мохоо өнцөгт гурвалжны талууд байх $x$-ийн утга $]-\fbox{a};\fbox{b}[$ байна.
$x+3$, $x+4$, $x+5$ тоонууд мохоо өнцөгт гурвалжны талууд байх $x$-ийн утга $]-\fbox{a} \fbox{b}[$ байна.
$ABCD$ трапецийн хувьд $AD$, $BC$ талууд параллель ба $|AB|=5$, $|BC|=7$, $|CD|=6$, $|AD|=4$ байв. Трапецийн $A$ оройгоос $BC$ тал дээр буулгасан өндрийн урт $\dfrac{\fbox{a}\sqrt{14}}{\fbox{b}}$ болох тул талбай нь $\dfrac{\fbox{cd}\sqrt{\fbox{ef}}}{3}$ байна.
$ABCA_1B_1C_1$ зөв гурвалжин призмийн суурийн тал 4, призмийн өндөр $\dfrac{\sqrt{42}}{7}$ байв. $AB$, $A_1C_1$, $BB_1$ ирмэгүүдийн дунджийг дайрсан хавтгайгаар призмийг огтлох огтлолыг байгуулав.
  1. Огтлолын хавтгай ба $(ABC)$ хавтгайн хоорондох өнцөг $\varphi=\arccos \sqrt{\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}}$ байна.
  2. Огтлолын талбай $S=\dfrac{\fbox{cd}\cdot \sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}$ байна.
$A$ цэгээс салаалсан, хоорондоо $60^\circ$ өнцөг үүсгэх хоёр шулуун замын нэгэн дээр уулзвараас 300км зайд байгаа $B$ цэгээс 60км/ц хурдтай машин, нөгөө дээр нь уулзвараас 180км зайд байгаа $C$ цэгээс 30км/ц хурдтай машин нэгэн зэрэг уулзварын зүг хөдөлжээ.
  1. Тэдгээрийн хоорондох зай $\fbox{a}$ цагийн дараа хамгийн бага болно. $\text{a}$ хэд вэ?
  2. Энэ зай нь $\fbox{bc}$км байна. $\text{b, c}$-г ол.
$\triangle ABC$-ийн хувьд $a=2$, $b=\sqrt2$, $c=1$ байв.
  1. $\cos\beta=\dfrac{\fbox{a}}{4}$, $\sin\beta=\dfrac{\sqrt{\fbox{b}}}{4}$;
  2. Гурвалжны талбай нь $S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{d}}$;
  3. Багтсан тойргийн радиус нь $r=\dfrac{\sqrt{7}(\fbox{e}-\sqrt{\fbox{f}})}{14}$;
  4. Багтаасан тойргийн радиус нь $R=\dfrac{\fbox{g}\sqrt{14}}{\fbox{h}}$ байна.
$O(0,0)$ цэгт төвтэй 4 радиустай тойрог ба $(2-\sqrt3)x+y-4=0$ шулуун өгөгдөв.
  1. Огтлолцлын цэгүүд нь $A(\fbox{a},\fbox{b})$, $B(\fbox{c},\fbox{d}\sqrt{\fbox{e}})$
  2. $AB$ хэрчмийн урт: $2(\sqrt{\fbox{f}}-\sqrt{\fbox{g}})$
  3. $\measuredangle AOB$ өнцөг: $\fbox{hi}^\circ$ байна.
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтөд $AB=BC=4$, $CD=5$, $DA=9$ байв.
  1. $\triangle ABD$ болон $\triangle BCD$-ээс косинусын теоремоор $BD$-г олж тэнцүүлбэл $\angle A=\fbox{ab}^\circ$. Иймд $BD=\sqrt{\fbox{cd}}$.
  2. $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\fbox{ef}\cdot\sqrt{\fbox{g}}$
Бүх ирмэгийнх нь урт $6$-тай тэнцүү $OABC$ зөв тетраэдрийн $OA$, $OB$, $OC$ ирмэгүүд дээр $OL=3$, $OM=4$, $ON=2$ байхаар $L$, $M$, $N$ цэгүүд авав.
  1. $LM=\sqrt{\fbox{ab}}$, $MN=2\sqrt{\fbox{c}}$, $NL=\sqrt{\fbox{d}}$;
  2. $\sin\angle MLN=\dfrac{\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}}{\sqrt{91}}$;
  3. $S_{\triangle LMN}=\dfrac{\fbox{h}\sqrt{3}}{\fbox{i}}$ байна.
$AB=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ байв. $A$ цэгт төвтэй 2 радиустай тойрог, $B$ цэгт төвтэй $2\sqrt2$ радиустай тойрогтой $C$ ба $D$ цэгүүдэд огтлолцдог. $\measuredangle CAD=\fbox{ab}^\circ$ ба $\measuredangle CBD=\fbox{cd}^\circ$ байна. Хоёр тойргийн огтлолцолд үүсэх дүрсээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь $$S=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\cdot\pi-\fbox{g}-\fbox{h}\sqrt3$$
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтөд $AB=BC=4$, $CD=5$, $DA=9$ байв.
  1. $\triangle ABD$ болон $\triangle BCD$-ээс косинусын теоремоор $BD$-г олж тэнцүүлбэл $\angle A=\fbox{ab}^\circ$. Иймд $BD=\sqrt{\fbox{cd}}$.
  2. $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}=\fbox{ef}\cdot\sqrt{\fbox{g}}$
$AB$ нь $O$ оройтой конусын суурийн диаметр бөгөөд, уг конусын байгуулагч нь суурийн радиусаас 3 дахин урт байв. Хэрвээ суурийн радиус нь $r$, $P$ нь $BP=r$ байх $OB$ хэрчим дээрх цэг бол конусыг $OA$ байгуулагчийн дагуу дэлгэсэн дэлгээсийн төв өнцөг нь $\fbox{abc}^\circ$ байна. $A$ цэгээс конусын гадаргуугийн дагуу явж $P$ цэг хүрэх хамгийн дөт замын урт нь $\sqrt{\fbox{d}}r$ байна.
Эгц босоо $PQ$ шонгын мод 1 шулуун дээрх $A, B, C$ цэгүүдээс харгалзан $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$-аар харагддаг ба $AB=BC=20$ м бол $PQ$ шонгын өндрийг олъё. $CQ=\dfrac{\sqrt3}{\fbox{a}}h$, $BQ=\fbox{b}h$, $AQ=\sqrt{\fbox{c}}h$ болох ба $AQB$ ба $BQC$ гурвалжнууды $B$ өнцгөөс косинусын теорем бичвэл $h=\fbox{de}\sqrt{f}$ болно.
$\dfrac{8\sqrt7}{7}$ радиустай тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтөд $BC=4$, $\cos\angle BAD=\dfrac18$ байв.
  1. $BD=\fbox{a}$, $CD=\fbox{b}$ байна.
  2. $AB+AD=9$ бол $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $S=\dfrac{\fbox{cd}\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}$ байна.


Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AC=12$, $BC=BD=10$, $AD=3$ байв.
  1. $AB=\fbox{a}$ байна (3 оноо).
  2. $CD=\dfrac{\fbox{bc}}{4}$ байна (2 оноо).
  3. Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{f}}\sqrt{7}$ байна (3 оноо).
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AB=4$, $AC=6$, $BD=5$, $DC=\dfrac{45}{8}$ байв.
  1. $BC=\fbox{a}$ байна (3 оноо).
  2. $AD=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ байна (2 оноо).(Хариуг үл хураагдах бутархай хэлбэрээр бичээрэй!)
  3. Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}\sqrt{\fbox{f}}$ байна (3 оноо).

Өнцөг

$ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $AB$ талыг $D$ цэгээр, $BC$ талыг $E$ цэгээр шүргэнэ. Хэрэв $BD:AD=1:2$, $BE:CE=1:3$ бол гурвалжны өнцгүүдийг ол.
$\triangle ABC$-ны дотоод өнцгүүдийн хувьд $\tg B\cdot \tg C=1$ бол $\triangle ABC$ ямар гурвалжин бэ?
Зурагт дүрсэлсэн $x$ өнцгийг ол.

A. $70^\circ$     B. $60^\circ$     C. $40^\circ$     D. $30^\circ$     E. $80^\circ$    
Гурвалжны дотоод өнцгүүд $10^\circ, 60^\circ, x$ бол $x=?$

A. $10^\circ$     B. $80^\circ$     C. $180^\circ$     D. $90^\circ$     E. $110^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $20^\circ$ байв. Нөгөө хоёр өнцгийн ялгавар хэд байх вэ?

A. $20^\circ$     B. $30^\circ$     C. $40^\circ$     D. $50^\circ$     E. $70^\circ$    
$ABC$ адил хажуут гурвалжны $AB=AC$ ба $\tg\angle B=3$ бол $\cos\angle C=?$

A. $-\dfrac{3}{\sqrt{10}}$     B. $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$     C. $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$     D. $3\sqrt{10}$     E. $\dfrac{3}{\sqrt5}$    
$ABC$, $ADC$ гурвалжны $AD$, $BC$ талууд $M$ цэгт огтлолцжээ. Хэрэв $B$, $D$ хоёр орой $AC$ шулууны нэг талд орших бөгөөд $AB=BD$, $\measuredangle ABC=\measuredangle ADC=40^\circ$, $\measuredangle AMC=70^\circ$ бол $\measuredangle BCD$, $\measuredangle ABD$ өнцгүүд хэдэн градус вэ?

A. $60^\circ, 60^\circ$     B. $70^\circ, 80^\circ$     C. $50^\circ, 100^\circ$     D. $30^\circ, 120^\circ$     E. $30^\circ, 150^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $40^\circ$ бол нөгөө хурц өнцгийг ол.

A. $50^\circ$     B. $40^\circ$     C. $180^\circ$     D. $90^\circ$     E. $60^\circ$    
Адил хажуут гурвалжны оройн өнцөг нь $80^\circ$ бол суурийн өнцөг нь аль нь вэ?

A. $30^\circ$     B. $40^\circ$     C. $50^\circ$     D. $80^\circ$     E. $90^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $20^\circ$ бол нөгөө хурц өнцгийг ол.

A. $20^\circ$     B. $70^\circ$     C. $110^\circ$     D. $90^\circ$     E. $60^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $35^\circ$ бол нөгөө хурц өнцгийг ол.

A. $65^\circ$     B. $55^\circ$     C. $35^\circ$     D. $90^\circ$     E. $115^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $15^\circ$ бол нөгөө хурц өнцгийг ол.

A. $90^\circ$     B. $75^\circ$     C. $15^\circ$     D. $45^\circ$     E. $105^\circ$    
Зурагт дүрсэлсэн $x$ өнцгийг ол.

A. $105^\circ$     B. $75^\circ$     C. $40^\circ$     D. $30^\circ$     E. $150^\circ$    
$\measuredangle BAD=45^\circ$, $\measuredangle ABD=30^\circ$ бол $\measuredangle BDC=?$

A. $60^\circ$     B. $75^\circ$     C. $90^\circ$     D. $120^\circ$     E. $105^\circ$    
Хамар хоёр өнцгийн нэг нь $95^\circ$ бол нөгөөг ол.

A. $85^\circ$     B. $115^\circ$     C. $15^\circ$     D. $265^\circ$     E. $105^\circ$    
Хамар хоёр өнцгийн нэг нь $75^\circ$ бол нөгөөг ол.

A. $15^\circ$     B. $115^\circ$     C. $75^\circ$     D. $150^\circ$     E. $105^\circ$    
$\alpha$ өнцгийн хэмжээг ол.

A. $20^\circ$     B. $50^\circ$     C. $70^\circ$     D. $120^\circ$     E. $150^\circ$    
$\alpha$ өнцгийн хэмжээг ол.

A. $50^\circ$     B. $70^\circ$     C. $120^\circ$     D. $20^\circ$     E. $150^\circ$    
$\angle A=90^\circ$ байх $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд $AB=5$, $AC=4$ бол $\cos\measuredangle ABC$ аль нь вэ?

A. $\dfrac{4}{5}$     B. $\dfrac{4}{5}$     C. $\dfrac{5\sqrt{41}}{41}$     D. $\dfrac{4\sqrt{41}}{41}$     E. $0$    
$AB=AC$, $2OB=3BK$ бол $\ctg\dfrac{\theta}{2}$ хэд байх вэ?

A. $\sqrt2$     B. $2\sqrt2$     C. $\dfrac{1}{\sqrt2}$     D. $\dfrac14$     E. $4$    
Өгөгдсөн зурагт $AK\parallel CL$, $\angle A=8x$, $\angle C=4x$, $\angle B=132^\circ$ бол $\angle BCL$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $44^\circ$     B. $88^\circ$     C. $126^\circ$     D. $136^\circ$     E. $144^\circ$    
Гурвалжны дотоод өнцгүүд болох гуравт аль нь вэ?

A. $\dfrac{\pi}{5};\dfrac{2\pi}{5};\dfrac{\pi}{5}$     B. $\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{6}$     C. $\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}$     D. $\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{6}$     E. $\dfrac{2\pi}{5};\dfrac{\pi}{10};\dfrac{\pi}{10}$    
$ABC$ адил хажуут гурвалжны оройн өнцөг $\measuredangle B=50^\circ$ бөгөөд $AM=BM$ байхаар $M$ цэгийг $BC$ хажуу тал дээр авсан бол $\measuredangle MAC$ өнцгийг ол.

A. $25^\circ$     B. $5^\circ$     C. $10^\circ$     D. $15^\circ$     E. $20^\circ$    
Адил хажуут гурвалжны оройн өнцөг нь $100^\circ$ бол суурийн өнцөг нь аль нь вэ?

A. $30^\circ$     B. $40^\circ$     C. $50^\circ$     D. $80^\circ$     E. $90^\circ$    
$\measuredangle BAD=50^\circ$, $\measuredangle BDC=70^\circ$ бол $\measuredangle ABD=?$

A. $25^\circ$     B. $45^\circ$     C. $35^\circ$     D. $20^\circ$     E. $15^\circ$    
Гурвалжны дотоод өнцгүүд $\angle A=20^\circ, \angle B=60^\circ, \angle C$ бол $C$ оройн гадаад өнцөгийн хэмжээг ол.

A. $20^\circ$     B. $80^\circ$     C. $40^\circ$     D. $90^\circ$     E. $100^\circ$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $\sin^2 \alpha +\sin^2 \beta =\sin^2 \gamma$ нөхцөл биелдэг бол $\gamma =\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ байна. $AB=2\sqrt{2}$ талтай, эсрэг оройн өнцөг нь тогтмол $\dfrac{\pi}{\fbox{a}}$ байх бүх гурвалжнууд дотроос хамгийн их периметртэй гурвалжны хувьд $AC=\fbox{b}$, $\measuredangle ABC=\pi /\fbox{c}$ ба энэ үед гурвалжны периметр $\fbox{d}+2\sqrt{2}$ болно.
Гурвалжны $A$, $B$, $C$ оройн өнцгүүд харгалзан $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ба $\sin \alpha \colon \sin \beta \colon \sin \gamma =6\colon 4\colon 3$ харьцаа биелдэг бол их өнцгийн косинус $-\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
Гурвалжны $A$, $B$, $C$ оройн өнцгүүд харгалзан $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ба $\sin \alpha \colon \sin \beta \colon \sin \gamma =8\colon 6\colon 3$ харьцаа биелдэг бол их өнцгийн косинус $-\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.

Пифагорын теорем

Гурвалжны өндөр нь $12$ см, суурь нь $14$ см, хоёр хажуу талын нийлбэр нь $28$ см бол хоёр хажуу талыг нь ол.
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын харьцаа $3:2$. Тэгш өнцөгөөс татсан өндөр гипотенузыг нэг нь нөгөөгөөсөө $2$ см урт хоёр хэсэгт хуваасан бол гипотенузыг ол.
Катетууд нь $1:3$ харьцаатай тэгш өнцөгт гурвалжины гипотенуз нь $2\sqrt{10}$ бол гурвалжны талбайг ол.

A. $6$     B. $3$     C. $2$     D. $12$     E. $-5$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 3, гипотенузэд буусан өндөр 8 нэгж бол гипотенузийн урт аль нь вэ?

A. $8$     B. $4$     C. $9$     D. $5$     E. Ийм гурвалжин олдохгүй    
Зурагт өгөгдсөн $ABC$ гурвалжны $BD$ өндөр бол гурвалжны периметрийг ол.

A. 54     B. 53     C. 49     D. 41     E. 60    

Синусын теорем

Гурвалжны нэг талын урт $a$ ба уг талд налсан өнцгүүд нь $\alpha$, $\beta$ бол гурвалжны талбайг ол.
$ABC$ гурвалжны хувьд $\angle A:\angle C=3:2$, $AB=28$ см, $BC=33$ см бол $\cos\dfrac{\angle C}{2}$-ийг ол.
Адил хажуут гурвалжны суурь ба түүнд буулгасан өндөр $4$. Багтаасан тойргийн радиусыг ол.
$ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $\dfrac{10}3$, $C$ өнцгийн косинус нь $\dfrac{5}{13}$ ба талбай нь $60$ бол гурвалжны талуудыг ол.
4 м талтай $ABCD$ квадратын $AB$ талын дундаж, квадратын төв, $C$ оройг дайрсан тойргийн радиусыг ол.

A. $4\sqrt5$     B. $2\sqrt2$     C. $4\sqrt2$     D. $2\sqrt{10}$     E. $\sqrt{10}$    
$A(1;1)$, $B(1,6)$, $C(0;4)$ бол $\angle ACB$ өнцгийн синусыг ол.

A. $0$     B. $\frac{\sqrt5}{5}$     C. $\frac{\sqrt2}{2}$     D. $\frac{\sqrt3}{2}$     E. $1$    
Зөв гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2\sqrt3$ бол талын уртыг ол.

A. $3$     B. $4$     C. $5$     D. $6$     E. $7$    
Гурвалжны 5 урттай талын эсрэг орших өнцөг нь $60^\circ$ бол периметр нь хамгийн ихдээ хэд байх вэ?

A. $10$     B. $11$     C. $12$     D. $15$     E. $18$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2$ ба $\sin\alpha=\dfrac14$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. 1     B. 2     C. 4     D. 8     E. $\dfrac14$    
Хэрэв $ABC$ гурвалжны $\angle A=75^\circ$, $\angle C=45^\circ$, $AC=6\sqrt2$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. $9$     B. $2\sqrt3+6$     C. $2\sqrt2+6$     D. $6\sqrt3+6$     E. $6\sqrt2+6$    
$ABC$ гурвалжны $AB=3$, $\sin\measuredangle ACB=30^\circ$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргоор үүсэх дугуйн талбай хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $4\pi$     B. $5\pi$     C. $8\pi$     D. $9\pi$     E. $16\pi$    
$ABC$ гурвалжны хувьд $\measuredangle BAC=\alpha$ ба багтаасан тойргийн радиус нь $R$ бол $A$ оройгоос гурвалжны ортоцентр $H$ хүртэлх зай аль нь вэ?

A. $R\cos\alpha$     B. $R\sin\alpha$     C. $R\sin2\alpha$     D. $2R\sin\alpha$     E. $2R\cos\alpha$    
$ABC$ гурвалжны $A$ ба $C$ оройн өндрүүд $H$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $4$ нэгж ба $\sin\angle BAH=\dfrac25$ бол $|BH|=?$

A. $3\dfrac56$     B. $3\dfrac15$     C. $3\dfrac78$     D. $3$     E. $3\dfrac13$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $6$, $\angle A=70^\circ$, $\angle B=30^\circ$ бол $\angle C$-ийн биссектрисийн урт аль нь вэ?

A. $3$     B. $6$     C. $8$     D. $9$     E. $10$    
$ABC$ гурвалжны $AB=3\sqrt3$, $\sin\measuredangle ACB=60^\circ$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан дугуйн талбай хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $4\pi$     B. $5\pi$     C. $8\pi$     D. $9\pi$     E. $16\pi$    
$ABC$ гурвалжны $AB=3\sqrt2$, $\sin\measuredangle ACB=45^\circ$ бол $ABC$ гурвалжныг багтаасан дугуйн талбай хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $9\pi$     B. $5\pi$     C. $8\pi$     D. $16\pi$     E. $4\pi$    
$ABC$ гурвалжны $\angle ABC=75^\circ$, $\angle ACB=45^\circ$, $BC=5$ бол $AB$ талын уртыг ол.

A. $5\sqrt{\dfrac23}$     B. $2\sqrt{\dfrac23}$     C. $4\sqrt{\dfrac23}$     D. $\sqrt3$     E. $10$    
$ABC$ гурвалжны $\angle ABC=75^\circ$, $\angle ACB=45^\circ$, $BC=3$ бол $AB$ талын уртыг ол.

A. $\sqrt{6}$     B. $\sqrt{\dfrac23}$     C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     D. $2\sqrt3$     E. $2\sqrt{\dfrac23}$    
$ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2$ ба $\sin\alpha=\dfrac14$ бол $BC$ талын уртыг ол.

A. 1     B. 2     C. 4     D. 8     E. $\dfrac14$    
$ABC$ гурвалжны $|BC|=\sqrt{6}, |AC|=2, \angle A= 60^\circ$ бол $B$ оройн өндрийн уртыг ол.

A. $\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$     B. $1+\sqrt{3}$     C. $\dfrac{2\sqrt{6}}{1+\sqrt{3}}$     D. $2\cdot \sin 75^\circ$     E. аль нь ч биш    
Зөв гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $2\sqrt3$ бол талын уртыг ол.

A. $3$     B. $4$     C. $5$     D. $6$     E. $7$    
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AD=\sqrt3$, $AB=1$ ба $\angle ADB=30^\circ$, $\angle CAD=75^\circ$ бол
  1. багтаасан тойргийн радиус $R=\fbox{a}$,
  2. $\angle BDC=\fbox{bc}^\circ$,
  3. $AC^2=\fbox{d}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=3+\sqrt3, AC=\sqrt3+1$ ба ${\angle B=30^\circ}$ бол $\angle C=\fbox{ab}^\circ$, эсвэл $\angle C=\fbox{cde}^\circ$ байна. $\angle C=\fbox{ab}^\circ$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $\sqrt3(\fbox{f}+\sqrt{\fbox{g}})$ ба $\angle C=\fbox{cde}^\circ$ үед $BC=\sqrt{\fbox{h}}+\fbox{i}$ болно.
Гурвалжин пирамидын суурь нь $45^\circ$ хурц өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд уг пирамидын хажуу ирмэгүүд нь тэнцүү $4\sqrt3$ нэгж урттай ба суурийн хавтгайтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол:
  1. Пирамидын өндөр $\fbox{a}$
  2. Суурийн гурвалжны талбай $\fbox{bc}$
  3. Пирамидын эзлэхүүн $\fbox{de}$
  4. Пирамидыг багтаасан бөмбөрцгийн радиус нь $\fbox{f}$ байна.
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$, $\beta$ нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac{3}{5}$ гэе. $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$, $\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$.
$ABC$ гурвалжны хувьд $b\sin \beta =c\sin \gamma$ нөхцөл биелдэг бол $b=\fbox{a} c$ болох ба $\sin \alpha +2\cos \beta$ нийлбэр $\alpha = \displaystyle \dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}\pi$, $\beta=\displaystyle\dfrac{\pi}{\fbox{d}}$ үед хамгийн их $\dfrac{\fbox{e}\sqrt{\fbox{f}}}{2}$ утгатай байна.
Тойрогт $5$ талтай $ABC$ зөв гурвалжин багтжээ. Уг тойргийн $\measuredangle BAC$ өнцөгт тулсан нум дээр $P$ цэг авчээ. $\measuredangle ACP =\theta$ бол $PA+PB=\fbox{ab}\sin \Big(\theta-\dfrac{\pi}{\fbox{c}}\Big)$ болох ба $S_{PAC}=\dfrac{\fbox{de}}{\sqrt{\fbox{f}}}\sin \Big(\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}\pi -\theta\Big)\sin \theta$ байна.
$A(-6;1)$, $B(2;5)$, $C(3;-2)$ цэгүүдэд оройтой гурвалжин байв.
  1. $C$ оройн медианы тэгшитгэл $y=-\fbox{a}x+1$ бол $a$-г ол.
  2. $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$ векторын хоорондох өнцөг болох $A$ оройн дотоод өнцгийг $\alpha$ гэвэл $\alpha=\fbox{bc}^\circ$ байна.
  3. Гурвалжныг багтаасан тойргийн тэгшитгэл нь $$(x+\fbox{d})^2+(y-\fbox{e})^2=\fbox{f}^2$$
$a$ талтай $ABCD$ зөв тетраэдр (бүх ирмэгийн урт нь тэнцүү) өгөгдөв.
  1. $A$ оройгоос $BCD$ талд буулгасан $AH$ өндрийн урт $\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}a$;
  2. $ABCD$ тетраэдрийн эзлэхүүн $\dfrac{\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{de}}a^3$
  3. Өндрийн суурь $H$ цэгээс $ABC$ талс хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt{\fbox{f}}}{\fbox{g}}a$ байна.
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AD=\sqrt3$, $CD=\sqrt2$ ба $\angle ADB=60^\circ$, $\angle CAD=45^\circ$ бол
  1. багтаасан тойргийн радиус $R=\fbox{a}$
  2. $\angle BDC=\fbox{bc}^\circ$
  3. $AB^2=\fbox{d}$ байна.
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=3+\sqrt3, AC=\sqrt3+1$ ба ${\angle B=30^\circ}$ бол $\angle C=\fbox{ab}^\circ$, эсвэл $\angle C=\fbox{cde}^\circ$ байна. $\angle C=\fbox{ab}^\circ$ үед $ABC$ гурвалжны талбай $\sqrt3(\fbox{f}+\sqrt{\fbox{g}})$ ба $\angle C=\fbox{cde}^\circ$ үед $BC=\sqrt{\fbox{h}}+\fbox{i}$ болно.
1 радиустай тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $\angle ABC=60^\circ, \angle DAB=105^\circ, |BC|=\sqrt3$ бол
  1. $\angle BCA=\fbox{ab}^\circ$ /1 оноо/
  2. $\angle CAD=\fbox{cd}^\circ$ /2 оноо/
  3. $|CD|=\sqrt{\fbox{e}}$ /2 оноо/
  4. $|AD|=\dfrac{\sqrt{\fbox{f}}-\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{h}}\,\,\, $ /2 оноо/

Талбайн харьцааны теорем

$ABC$ гурвалжны $AB; BC; CA$ талууд дээр харгалзан $M; N; K$ цэгүүдийг $\dfrac{|AM|}{|MB|}=\dfrac25$; $\dfrac{|BN|}{|NC|}=\dfrac{5}{6}$; $\dfrac{|CK|}{|KA|}=\dfrac37$ байхаар авсан бол $\dfrac{S_{MNK}}{S_{ABC}}=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
$ABC$ гурвалжны $AB;BC;CA$ талууд дээр харгалзан $M;N;K$ цэгүүдийг $\dfrac{|AM|}{|MB|}=\dfrac{7}{19};\dfrac{|BN|}{|NC|}=\dfrac{11}{13};\dfrac{|CK|}{|KA|}=\dfrac{3}{7}$ байхаар авсан бол $\dfrac{S_{MNK}}{S_{ABC}}=\dfrac{\fbox{ab}}{156}$
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=12$, $BC=5$, $AC=13$ ба $AB$ тал дээр ${AC_1}\colon {BC_1}={1}\colon{2}$ байх $C_1$ цэг тэмдэглэв. $BC$ талын дундаж нь $A_1$, $BB_1$ нь $AC$ тал дээр буулгасан өндөр бол $BB_1=\dfrac{\fbox{ab}}{13},$ $S_{AC_1B_1}=\dfrac{\fbox{cdef}}{13^2}$, $S_{CA_1B_1}=\dfrac{\fbox{ghi}}{13^2}$ байна.

Төсөөтэй гурвалжнууд

$10$ см, $17$ см, $21$ см талуудтай гурвалжинд нэг тал нь гурвалжны их тал дээр байрлах $24$ см периметртэй тэгш өнцөгт багтав. Тэгш өнцөгтийн талуудыг ол.
$ABC$ гурвалжинд $\measuredangle BAC=2\measuredangle CBA$ бол талуудын хамаарал ямар байх вэ? ($BC=a$, $CA=b$, $AB=c$).

A. $a^2=b(b+c)$     B. $a^2=c(b+c)$     C. $b^2=a(a-c)$     D. $2b^2=a(a+c)$     E. $c^2=a(a+b)$    
Зурагт үзүүлсэн $DE\parallel BC$ ба $AD:DB=3:4$ бол $CE:AC$ харьцааг ол.

A. $\dfrac{3}{4}$     B. $\dfrac{4}{3}$     C. $\dfrac{4}{7}$     D. $\dfrac{3}{7}$     E. $-\dfrac{3}{7}$    
$AB\parallel DE$ бол $x=?$

A. $5$     B. $6$     C. $7$     D. $8$     E. $9$    
Зурагт үзүүлсэн $AC\parallel DK$ ба $AD=2$, $DB=3$, $DK=6$ бол $AC=?$

A. $12$     B. $14$     C. $10$     D. $9$     E. $13$    
Адил талт гурвалжинд нэг тал нь суурь дээр орших квадрат багтжээ. Хэрвээ квадратын тал нь $(2-\sqrt3)\sqrt[4]{3}$ бол гурвалжны талбайг ол.

A. $4$     B. $0.5$     C. $0.25$     D. $0.7$     E. $0.4$    
$ED$ хэрчим $ABC$ гурвалжны $BC$ талтай параллель, $E$, $D$ төгсгөлүүд нь харгалзан $AB$, $AC$ талууд дээр оршино. Хэрэв $AB=8$, $AC=6$, $BC=7$ ба $CD+BE=4$ бол $DE=\fbox{a}$, $S_{AED}=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{de}}\sqrt{15}$ байна.

Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа

Зурагт дүрсэлсэн $ABC$ гурвалжин дотор орших $D$ цэгийг дайруулан талуудтай параллел шулуунууд татахад 1, 16, 25 кв.нэгж талбайтай гурвалжингууд үүсэх бол $S_{ABC}=?$

A. $100$     B. $42$     C. $84$     D. $126$     E. $50$    
Адил хажуут гурвалжны суурьтай параллель шулуун хажуу талыг орой талаас нь $5:3$ харьцаатай хэсгүүдэд хуваажээ. Хэрэв гурвалжны хуваагдсан хэсгүүдийн талбайн ялгавар $56$ см.кв бол гурвалжны талбайг ол.

A. $256$ см.кв     B. $220$ см.кв     C. $224$ см.кв     D. $240$ см.кв     E. ийм байх боломжгүй    
Адил хажуут гурвалжны суурьтай нь параллель хоёр шулуун талбайг нь $9:55:161$ харьцаатай хэсгүүдэд хуваасан бол хажуу тал нь ямар харьцаатай хэсгүүдэд хуваагдах вэ?

A. $3:8:15$     B. $9:64:225$     C. $9:55:161$     D. $5:7:9$     E. $3:5:7$    
Зурагт дүрсэлсэн $ABC$ гурвалжин дотор орших $D$ цэгийг дайруулан талуудтай параллель шулуунууд татахад 4, 16, 25 кв.нэгж талбайтай гурвалжингууд үүсэх бол $S_{ABC}=?$

A. 121     B. 45     C. 90     D. 135     E. 111    
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=12$, $BC=5$, $AC=13$ ба $AB$ тал дээр ${AC_1}\colon {BC_1}={1}\colon{2}$ байх $C_1$ цэг тэмдэглэв. $BC$ талын дундаж нь $A_1$, $BB_1$ нь $AC$ тал дээр буулгасан өндөр бол $BB_1=\dfrac{\fbox{ab}}{13},$ $S_{AC_1B_1}=\dfrac{\fbox{cdef}}{13^2}$, $S_{CA_1B_1}=\dfrac{\fbox{ghi}}{13^2}$ байна.

Төсөөтэй гурвалжны элементүүдийн харьцаа


Тэгш өнцөгт гурвалжин

Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $2\sqrt2$ см, $3\sqrt2$ см урттай бол тэгш өнцгийн оройгоос татсан биссектрисийн уртыг ол.

A. $3\sqrt2$ см     B. $2.4$ см     C. $2\sqrt2$ см     D. $\sqrt{26}$ см     E. $2.6$ см    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудаар талаа хийсэн тэгш өнцөгтийн талбай 18 бол катетуудын үржвэрийг ол.

A. $18$     B. $9$     C. $6$     D. $36$     E. $12$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын урт нь 10, 24. Гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийн уртыг ол.

A. $9\dfrac{3}{13}$     B. $9$     C. $10\dfrac{3}{13}$     D. $9\dfrac{5}{13}$     E. $10$    
$ABC$ ($\measuredangle ABC=90^\circ$) гэсэн тэгш өнцөгт гурвалжны $\cos \measuredangle C=\dfrac{5}{13}$ ба $AC=13$ бол $BC$-ийн уртыг ол.

A. $5$     B. $7$     C. $9$     D. $12$     E. $13$    
$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $\measuredangle BAC=90^\circ$, $BC=9$, $AB=6$ бол $\cos\measuredangle ABC=?$

A. $4/9$     B. $1$     C. $0$     D. $1/2$     E. $2/3$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катет $9$ нэгж, багтсан тойргийн радиус $3$ нэгж бол өндрийн сууриар гипотенузын хуваагдсан хэсгүүд хэд хэдэн нэгж вэ?

A. $8; 7$     B. $\dfrac{42}5; \dfrac{33}5$     C. $6; 9$     D. $\dfrac{27}5; \dfrac{48}5$     E. $7; 9$    
Тэгш өнцөгт гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 3, гипотенузэд буусан өндөр 8 нэгж бол гипотенузийн урт аль нь вэ?

A. $8$     B. $4$     C. $9$     D. $5$     E. Ийм гурвалжин олдохгүй    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $40^\circ$ бол нөгөө хурц өнцгийг ол.

A. $50^\circ$     B. $40^\circ$     C. $180^\circ$     D. $90^\circ$     E. $60^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $20^\circ$ бол нөгөө хурц өнцгийг ол.

A. $20^\circ$     B. $70^\circ$     C. $110^\circ$     D. $90^\circ$     E. $60^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $35^\circ$ бол нөгөө хурц өнцгийг ол.

A. $65^\circ$     B. $55^\circ$     C. $35^\circ$     D. $90^\circ$     E. $115^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хурц өнцөг нь $15^\circ$ бол нөгөө хурц өнцгийг ол.

A. $90^\circ$     B. $75^\circ$     C. $15^\circ$     D. $45^\circ$     E. $105^\circ$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $5\sqrt2$ см, $4\sqrt2$ см урттай бол тэгш өнцгийн оройгоос татсан биссектрисийн уртыг ол.

A. $4\dfrac{4}{9}$ см     B. $4.6$ см     C. $\dfrac{9}{40}$ см     D. $4\sqrt{6}$ см     E. $2.4$ см    
Тэгш өнцөгт $ABC$, $\measuredangle C=90^\circ$ гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндөр $h$, $\measuredangle A=\alpha$, өндрийн суурь $H$ бол $BH=?$

A. $\dfrac{h}{\cos\alpha}$     B. $h\cdot\ctg\alpha$     C. $h\cdot\tg\alpha$     D. $\dfrac{h}{\sin\alpha}$     E. $\dfrac{2h}{\sin2\alpha}$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр 12 ба нэг өнцгийн тангенс нь $\dfrac{5}{12}$ бол энэ гурвалжныг багтаасан болон энэ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусуудын нийлбэрийг ол.

A. $3$     B. $3.2$     C. $3.3$     D. $3.4$     E. $4$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын урт нь 10, 24. Гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийн уртыг ол.

A. $9\dfrac{3}{13}$     B. $9$     C. $10\dfrac{3}{13}$     D. $9\dfrac{5}{13}$     E. $10$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны периметр 12 ба нэг өнцгийн тангенс нь $\dfrac{5}{12}$ бол энэ гурвалжныг багтаасан болон энэ гурвалжинд багтсан тойргийн радиусуудын нийлбэрийг ол.

A. $3$     B. $3.2$     C. $3.3$     D. $3.4$     E. $4$    
Тэгш өнцөгт гурвалжны катетуудын урт нь 5, 12. Гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийн уртыг ол.

A. $9\dfrac{3}{13}$     B. $4.5$     C. $5\dfrac{3}{13}$     D. $4\dfrac{5}{13}$     E. $4\dfrac{8}{13}$    
$ABC$ гурвалжны талууд $AB=12$, $BC=5$, $AC=13$ ба $AB$ тал дээр ${AC_1}\colon {BC_1}={1}\colon{2}$ байх $C_1$ цэг тэмдэглэв. $BC$ талын дундаж нь $A_1$, $BB_1$ нь $AC$ тал дээр буулгасан өндөр бол $BB_1=\dfrac{\fbox{ab}}{13},$ $S_{AC_1B_1}=\dfrac{\fbox{cdef}}{13^2}$, $S_{CA_1B_1}=\dfrac{\fbox{ghi}}{13^2}$ байна.
$ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $AB$ гипотенуз дээр төв нь орших тойрог $AC$ ба $BC$ талуудыг харгалзан $E$, $D$ цэгүүдээр шүргэв. Хэрэв $AE=1$, $BD=3$ бол $\measuredangle ABC=\fbox{ab}^\circ$, $S_{ABC}=\fbox{c}+\fbox{d}\sqrt3$, $AB=\fbox{e}+\fbox{f}\sqrt3$ байна.

Тэнцүү гурвалжнууд